Kā manuāli aprēķināt skaitļa sakni. Pētījums par tēmu: "Lielu skaitļu kvadrātsakņu iegūšana bez kalkulatora"

Risinot dažādus uzdevumus no matemātikas un fizikas kursa, skolēni un studenti bieži saskaras ar nepieciešamību izvilkt otrās, trešās vai n-tās pakāpes saknes. Protams, gadsimtā informācijas tehnoloģijasŠo problēmu nebūs grūti atrisināt, izmantojot kalkulatoru. Tomēr rodas situācijas, kad elektronisko palīgu nav iespējams izmantot.

Piemēram, daudzi eksāmeni neļauj ņemt līdzi elektroniku. Turklāt jums var nebūt pie rokas kalkulatora. Šādos gadījumos ir lietderīgi zināt vismaz dažas metodes radikāļu manuālai aprēķināšanai.

Viens no vienkāršākajiem veidiem, kā aprēķināt saknes, ir izmantojot īpašu tabulu. Kas tas ir un kā to pareizi lietot?

Izmantojot tabulu, varat atrast jebkura skaitļa kvadrātu no 10 līdz 99. Tabulas rindās ir desmitu vērtības, bet kolonnās ir vienību vērtības. Šūnā rindas un kolonnas krustpunktā ir divciparu skaitļa kvadrāts. Lai aprēķinātu kvadrātu 63, jāatrod rinda ar vērtību 6 un kolonna ar vērtību 3. Krustojumā atradīsim šūnu ar skaitli 3969.

Tā kā saknes izvilkšana ir kvadrātošanas apgrieztā darbība, lai veiktu šo darbību, ir jārīkojas pretēji: vispirms jāatrod šūna ar skaitli, kuras radikāli vēlaties aprēķināt, pēc tam izmantojiet kolonnas un rindas vērtības, lai noteiktu atbildi. . Kā piemēru apsveriet aprēķinu kvadrātsakne 169.

Tabulā atrodam šūnu ar šo skaitli, horizontāli nosakām desmitniekus - 1, vertikāli atrodam vienības - 3. Atbilde: √169 = 13.

Līdzīgi varat aprēķināt kuba un n-tās saknes, izmantojot atbilstošās tabulas.

Metodes priekšrocība ir tās vienkāršība un papildu aprēķinu trūkums. Trūkumi ir acīmredzami: metodi var izmantot tikai ierobežotam skaitļu diapazonam (skaitlim, kuram tiek atrasta sakne, jābūt diapazonā no 100 līdz 9801). Turklāt tas nedarbosies, ja norādītais numurs nav tabulā.

Galvenā faktorizācija

Ja kvadrātu tabula nav pie rokas vai izrādījās neiespējami atrast sakni ar tās palīdzību, varat mēģināt aprēķina skaitli zem saknes primārajos faktoros. Galvenie faktori ir tie, kas pilnībā (bez atlikuma) var dalīties tikai ar sevi vai ar vienu. Piemēri varētu būt 2, 3, 5, 7, 11, 13 utt.

Apskatīsim saknes aprēķināšanu, kā piemēru izmantojot √576. Sadalīsim to galvenajos faktoros. Mēs saņemam nākamais rezultāts: √576 = √(2∙2∙2∙2∙2∙2∙3∙3) = √(2∙2∙2)² ∙ √3². Izmantojot sakņu pamatīpašību √a² = a, mēs atbrīvosimies no saknēm un kvadrātiem un pēc tam aprēķināsim atbildi: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Ko darīt, ja kādam no reizinātājiem nav sava pāra? Piemēram, apsveriet √54 aprēķinu. Pēc faktorizācijas mēs iegūstam rezultātu šādu veidlapu: √54 = √(2∙ 3∙ 3∙ 3) = √3² ∙ √(2∙3) = 3√6. Nenoņemamo daļu var atstāt zem saknes. Lielākajai daļai ģeometrijas un algebras problēmu šī atbilde tiks uzskatīta par galīgo atbildi. Bet, ja ir nepieciešams aprēķināt aptuvenās vērtības, varat izmantot metodes, kas tiks apspriestas tālāk.

Herona metode

Ko darīt, ja jums vismaz aptuveni jāzina, ar ko ir vienāda izvilktā sakne (ja nav iespējams iegūt veselu skaitli)? Ātri un skaisti precīzs rezultāts sniedz Herona metodes pielietojumu. Tās būtība ir izmantot aptuvenu formulu:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kur R ir skaitlis, kura sakne ir jāaprēķina, a ir tuvākais skaitlis, kura saknes vērtība ir zināma.

Apskatīsim, kā metode darbojas praksē, un novērtēsim, cik tā ir precīza. Aprēķināsim, ar ko √111 ir vienāds. Skaitlim 111 tuvākais skaitlis, kura sakne ir zināma, ir 121. Tādējādi R = 111, a = 121. Aizvietojiet vērtības formulā:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Tagad pārbaudīsim metodes precizitāti:

10,55² = 111,3025.

Metodes kļūda bija aptuveni 0,3. Ja metodes precizitāte ir jāuzlabo, varat atkārtot iepriekš aprakstītās darbības:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Pārbaudīsim aprēķina precizitāti:

10,536² = 111,0073.

Pēc formulas atkārtotas pielietošanas kļūda kļuva pavisam nenozīmīga.

Saknes aprēķināšana ar garo dalīšanu

Šī kvadrātsaknes vērtības noteikšanas metode ir nedaudz sarežģītāka nekā iepriekšējās. Tomēr tā ir visprecīzākā starp citām aprēķina metodēm bez kalkulatora.

Pieņemsim, ka jums ir jāatrod kvadrātsakne ar precizitāti līdz 4 cipariem aiz komata. Analizēsim aprēķina algoritmu, izmantojot patvaļīga skaitļa 1308.1912 piemēru.

1. Sadaliet papīra lapu 2 daļās ar vertikālu līniju un pēc tam novelciet vēl vienu līniju pa labi, nedaudz zem augšējās malas. Rakstīsim numuru kreisajā pusē, sadalot to 2 ciparu grupās, pārejot pa labi un kreisā puse no komata. Pats pirmais cipars kreisajā pusē var būt bez pāra. Ja cipara labajā pusē trūkst zīmes, tad jāpievieno 0. Mūsu gadījumā rezultāts būs 13 08.19 12.
2. Izvēlēsimies labāko liels skaitlis, kura kvadrāts būs mazāks vai vienāds ar pirmo ciparu grupu. Mūsu gadījumā tas ir 3. Rakstīsim to augšējā labajā stūrī; 3 ir rezultāta pirmais cipars. Apakšējā labajā pusē mēs norādām 3 × 3 = 9; tas būs nepieciešams turpmākajiem aprēķiniem. No 13 kolonnā mēs atņemam 9, mēs iegūstam atlikumu 4.
3. Piešķirsim nākamo skaitļu pāri atlikumam 4; mēs saņemam 408.
4. Augšējā labajā pusē esošo skaitli reiziniet ar 2 un pierakstiet to apakšējā labajā stūrī, pievienojot tam _ x _ =. Mēs iegūstam 6_ x _ =.
5. Domuzīmju vietā jāaizstāj ar to pašu skaitli, kas ir mazāks vai vienāds ar 408. Iegūstam 66 × 6 = 396. Mēs rakstām 6 no augšējās labās puses, jo tas ir rezultāta otrais cipars. No 408 atņemiet 396, iegūstam 12.
6. Atkārtosim 3.–6. darbību. Tā kā uz leju pārvietotie cipari atrodas skaitļa daļējā daļā, augšpusē pa labi aiz 6 ir jānoliek komata. Pierakstīsim dubulto rezultātu ar domuzīmēm: 72_ x _ =. Piemērots skaitlis būtu 1: 721×1 = 721. Pierakstīsim to kā atbildi. Atņemsim 1219 - 721 = 498.
7. Iepriekšējā rindkopā doto darbību secību izpildīsim vēl trīs reizes, lai iegūtu vajadzīgo zīmju skaitu aiz komata. Ja turpmākajiem aprēķiniem nav pietiekami daudz rakstzīmju, pašreizējam skaitlim kreisajā pusē jāpievieno divas nulles.

Rezultātā mēs saņemam atbildi: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ja pārbaudāt darbību, izmantojot kalkulatoru, varat pārliecināties, vai visas zīmes ir identificētas pareizi.

Bitu kvadrātsaknes aprēķins

Metodei ir augsta precizitāte . Turklāt tas ir diezgan saprotams un neprasa iegaumēt formulas vai sarežģītu darbību algoritmu, jo metodes būtība ir izvēlēties pareizo rezultātu.

Izvilksim skaitļa 781 sakni. Sīkāk apskatīsim darbību secību.

1. Noskaidrosim, kurš kvadrātsaknes vērtības cipars būs visnozīmīgākais. Lai to izdarītu, kvadrātā 0, 10, 100, 1000 utt. un noskaidrosim, starp kuriem no tiem atrodas radikālais skaitlis. Mēs iegūstam 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Izvēlēsimies desmitnieku vērtību. Lai to izdarītu, mēs pēc kārtas palielināsim ar pakāpēm 10, 20, ..., 90, līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 781. Mūsu gadījumā mēs iegūstam 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. rezultāta n vērtība būs 20 robežās< n <30.
3. Līdzīgi kā iepriekšējā darbībā, tiek atlasīta vienību cipara vērtība. Kvadrātēsim 21,22, ..., 29 pa vienam: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Mēs iegūstam, ka 7824.²< n < 28.
4. Katrs nākamais cipars (desmitdaļas, simtdaļas utt.) tiek aprēķināts tādā pašā veidā, kā parādīts iepriekš. Aprēķini tiek veikti, līdz tiek sasniegta nepieciešamā precizitāte.

Pirms kalkulatoriem skolēni un skolotāji ar roku aprēķināja kvadrātsaknes. Ir vairāki veidi, kā manuāli aprēķināt skaitļa kvadrātsakni. Daži no tiem piedāvā tikai aptuvenu risinājumu, citi sniedz precīzu atbildi.

Soļi

Galvenā faktorizācija

Reaģējiet radikālo skaitli faktoros, kas ir kvadrātskaitļi. Atkarībā no radikālā skaitļa jūs saņemsiet aptuvenu vai precīzu atbildi. Kvadrātskaitļi ir skaitļi, no kuriem var ņemt visu kvadrātsakni. Faktori ir skaitļi, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais skaitlis. Piemēram, skaitļa 8 faktori ir 2 un 4, jo 2 x 4 = 8, skaitļi 25, 36, 49 ir ​​kvadrātskaitļi, jo √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrātveida koeficienti ir faktori, kas ir kvadrātskaitļi. Vispirms mēģiniet saskaitīt radikālo skaitli kvadrātveida faktoros.

• Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 400 (ar roku). Vispirms mēģiniet ieskaitīt 400 kvadrātveida koeficientos. 400 ir 100 reizinātājs, tas ir, dalās ar 25 - tas ir kvadrātveida skaitlis. Dalot 400 ar 25, iegūstat 16. Skaitlis 16 ir arī kvadrātskaitlis. Tādējādi 400 var ieskaitīt kvadrāta koeficientos 25 un 16, tas ir, 25 x 16 = 400.
• To var uzrakstīt šādi: √400 = √(25 x 16).

1. Dažu terminu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar katra termina kvadrātsakņu reizinājumu, tas ir, √(a x b) = √a x √b. Izmantojiet šo noteikumu, lai ņemtu kvadrātsakni no katra kvadrātveida faktora un reizinātu rezultātus, lai atrastu atbildi.

   • Mūsu piemērā ņemiet sakni no 25 un 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ja radikālais skaitlis neiedalās divos kvadrātfaktoros (un tas notiek vairumā gadījumu), jūs nevarēsit atrast precīzu atbildi vesela skaitļa veidā. Bet jūs varat vienkāršot problēmu, sadalot radikālo skaitli kvadrātveida koeficientā un parastā faktorā (skaitlī, no kura nevar ņemt visu kvadrātsakni). Tad jūs ņemsit kvadrātsakni no kvadrātveida koeficienta un pieņemsit kopējā faktora sakni.

   • Piemēram, aprēķiniet skaitļa 147 kvadrātsakni. Skaitli 147 nevar ieskaitīt divos kvadrātfaktoros, bet to var iedalīt šādos faktoros: 49 un 3. Atrisiniet uzdevumu šādi:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ja nepieciešams, novērtējiet saknes vērtību. Tagad jūs varat novērtēt saknes vērtību (atrast aptuveno vērtību), salīdzinot to ar kvadrātskaitļu sakņu vērtībām, kas ir vistuvāk radikālajam skaitlim (abās skaitļu līnijas pusēs). Jūs saņemsiet saknes vērtību kā decimāldaļu, kas jāreizina ar skaitli aiz saknes zīmes.

   • Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Radikālais skaitlis ir 3. Kvadrātskaitļi, kas tam ir vistuvāk, būs skaitļi 1 (√1 = 1) un 4 (√4 = 2). Tādējādi √3 vērtība atrodas starp 1 un 2. Tā kā √3 vērtība, iespējams, ir tuvāk 2 nekā 1, mūsu aprēķins ir: √3 = 1,7. Mēs reizinām šo vērtību ar skaitli saknes zīmē: 7 x 1,7 = 11,9. Ja veicat matemātiku, izmantojot kalkulatoru, jūs iegūsit 12,13, kas ir diezgan tuvu mūsu atbildei.
     • Šī metode darbojas arī ar lielu skaitu. Piemēram, apsveriet √35. Radikālais skaitlis ir 35. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi būs skaitļi 25 (√25 = 5) un 36 (√36 = 6). Tādējādi √35 vērtība atrodas starp 5 un 6. Tā kā √35 vērtība ir daudz tuvāk 6 nekā 5 (jo 35 ir tikai par 1 mazāka par 36), mēs varam teikt, ka √35 ir nedaudz mazāka par 6 Pārbaude kalkulatorā sniedz atbildi 5,92 – mums bija taisnība.

4. Vēl viens veids ir faktorēt radikālo skaitli primārajos faktoros. Pirmfaktori ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 un paši par sevi. Uzrakstiet galvenos faktorus virknē un atrodiet identisku faktoru pārus. Šādus faktorus var izņemt no saknes zīmes.

   • Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 45. Radikālo skaitli veidojam pirmajos faktoros: 45 = 9 x 5 un 9 = 3 x 3. Tādējādi √45 = √(3 x 3 x 5). 3 var izņemt kā saknes zīmi: √45 = 3√5. Tagad mēs varam novērtēt √5.
   • Apskatīsim citu piemēru: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Jūs saņēmāt trīs reizinātājus ar 2; paņemiet pāris no tiem un pārvietojiet tos tālāk par saknes zīmi.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Tagad varat novērtēt √2 un √11 un atrast aptuvenu atbildi.

   Kvadrātsaknes manuāla aprēķināšana

   Izmantojot garo dalījumu

   1. Šī metode ietver procesu, kas līdzīgs garajai dalīšanai, un sniedz precīzu atbildi. Vispirms novelciet vertikālu līniju, kas sadala lapu divās daļās, un pēc tam pa labi un nedaudz zem lapas augšējās malas novelciet horizontālu līniju līdz vertikālajai līnijai. Tagad sadaliet radikālo skaitli skaitļu pāros, sākot ar daļskaitli pēc komata. Tātad numurs 79520789182.47897 tiek rakstīts kā "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Piemēram, aprēķināsim kvadrātsakni no skaitļa 780.14. Novelciet divas līnijas (kā parādīts attēlā) un augšējā kreisajā pusē ierakstiet norādīto skaitli formā “7 80, 14”. Tas ir normāli, ka pirmais cipars no kreisās puses ir nepāra cipars. Jūs ierakstīsit atbildi (šā skaitļa sakni) augšējā labajā stūrī.

   2. Pirmajam skaitļu pārim (vai vienam skaitlim) no kreisās puses atrodiet lielāko veselo skaitli n, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar attiecīgo skaitļu pāri (vai vienu skaitli). Citiem vārdiem sakot, atrodiet kvadrātskaitli, kas ir vistuvāk pirmajam skaitļu pārim (vai vienam skaitlim) no kreisās puses, bet mazāks par to, un paņemiet šī kvadrātskaitļa kvadrātsakni; jūs saņemsiet numuru n. Augšējā labajā stūrī ierakstiet n, bet apakšējā labajā stūrī ierakstiet n kvadrātu.

      • Mūsu gadījumā pirmais cipars pa kreisi būs 7. Nākamais — 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Atņemiet tikko atrastā skaitļa n kvadrātu no pirmā skaitļu pāra (vai viena skaitļa) kreisajā pusē. Aprēķina rezultātu ierakstiet zem apakšdaļas (skaitļa n kvadrāts).

      • Mūsu piemērā no 7 atņemiet 4 un iegūstiet 3.

   4. Noņemiet otro skaitļu pāri un pierakstiet to blakus vērtībai, kas iegūta iepriekšējā darbībā. Pēc tam dubultojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā otrais skaitļu pāris ir "80". Ierakstiet "80" aiz 3. Pēc tam, dubultojot skaitli augšējā labajā pusē, iegūstiet 4. Apakšējā labajā stūrī ierakstiet "4_×_=".

   5. Labajā pusē aizpildiet tukšās vietas.

      • Mūsu gadījumā, ja domuzīmju vietā liekam skaitli 8, tad 48 x 8 = 384, kas ir vairāk nekā 380. Tāpēc 8 ir pārāk liels skaitlis, bet derēs 7. Svītru vietā ierakstiet 7 un iegūstiet: 47 x 7 = 329. Augšējā labajā stūrī ierakstiet 7 – tas ir otrais cipars vēlamajā kvadrātsaknē no skaitļa 780.14.

   6. Atņemiet iegūto skaitli no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē. Ierakstiet iepriekšējās darbības rezultātu zem pašreizējā skaitļa kreisajā pusē, atrodiet atšķirību un ierakstiet to zem apakšdaļas.

      • Mūsu piemērā no 380 atņemiet 329, kas ir vienāds ar 51.

   7. Atkārtojiet 4. darbību. Ja pārsūtāmais skaitļu pāris ir sākotnējā skaitļa daļdaļa, tad ievietojiet atdalītāju (komatu) starp veselo skaitļu un daļējām daļām vajadzīgajā kvadrātsaknē augšējā labajā stūrī. Kreisajā pusē nolaidiet nākamo skaitļu pāri. Divkāršojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā nākamais skaitļu pāris, kas jānoņem, būs skaitļa 780.14 daļēja daļa, tāpēc ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju vēlamajā kvadrātsaknē augšējā labajā stūrī. Noņemiet 14 un ierakstiet to apakšējā kreisajā stūrī. Divkāršs skaitlis augšējā labajā stūrī (27) ir 54, tāpēc apakšējā labajā stūrī ierakstiet "54_×_=".

   8. Atkārtojiet 5. un 6. darbību. Labajā pusē esošo domuzīmju vietā atrodiet lielāko skaitli (domuzīmju vietā ir jāaizstāj viens un tas pats skaitlis), lai reizināšanas rezultāts būtu mazāks vai vienāds ar pašreizējo skaitli kreisajā pusē.

      • Mūsu piemērā 549 x 9 = 4941, kas ir mazāks par pašreizējo skaitli kreisajā pusē (5114). Augšējā labajā pusē ierakstiet 9 un atņemiet reizināšanas rezultātu no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ja kvadrātsaknei jāatrod vairāk zīmju aiz komata, ierakstiet pāris nulles pa kreisi no pašreizējā skaitļa un atkārtojiet 4., 5. un 6. darbību. Atkārtojiet darbības, līdz iegūstat atbildes precizitāti (citu skaitu aiz komata). nepieciešams.

   Procesa izpratne

   Lai apgūtu šo metodi, iedomājieties skaitli, kura kvadrātsakne jums jāatrod kā kvadrāta S laukumu. Šajā gadījumā jūs meklēsit šāda kvadrāta malas L garumu. Mēs aprēķinām L vērtību tā, lai L² = S.

   Katram atbildes ciparam piešķiriet burtu. Apzīmēsim ar A pirmo ciparu L vērtībā (vēlamā kvadrātsakne). B būs otrais cipars, C trešais un tā tālāk.

   Norādiet burtu katram pirmo ciparu pārim. Apzīmēsim ar S a pirmo ciparu pāri S vērtībā, ar S b otro ciparu pāri utt.

   Izprotiet saistību starp šo metodi un garo dalījumu. Tāpat kā dalīšanā, kur mūs interesē tikai nākamais cipars no skaitļa, kuru katru reizi dalām, aprēķinot kvadrātsakni, mēs secīgi apstrādājam ciparu pāri (lai kvadrātsaknes vērtībā iegūtu nākamo ciparu ).

   1. Apsveriet skaitļa S pirmo ciparu pāri Sa (mūsu piemērā Sa = 7) un atrodiet tā kvadrātsakni.Šajā gadījumā vēlamās kvadrātsaknes vērtības pirmais cipars A būs cipars, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar S a (tas ir, mēs meklējam tādu A, lai nevienādība A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Pieņemsim, ka mums ir jāsadala 88962 ar 7; šeit pirmais solis būs līdzīgs: mēs ņemam vērā dalāmā skaitļa 88962 pirmo ciparu (8) un izvēlamies lielāko skaitli, kas, reizinot ar 7, iegūst vērtību, kas ir mazāka vai vienāda ar 8. Tas ir, mēs meklējam skaitlis d, kuram ir patiesa nevienādība: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Garīgi iedomājieties kvadrātu, kura laukums jums ir jāaprēķina. Jūs meklējat L, tas ir, kvadrāta malas garumu, kura laukums ir vienāds ar S. A, B, C ir skaitļi L. To var rakstīt dažādi: 10A + B = L (par divciparu skaitlis) vai 100A + 10B + C = L (trīsciparu skaitlim) un tā tālāk.

      • Ļaujiet (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atcerieties, ka 10A+B ir skaitlis, kurā cipars B apzīmē vienības un cipars A apzīmē desmitus. Piemēram, ja A=1 un B=2, tad 10A+B ir vienāds ar skaitli 12. (10A+B)² ir visa laukuma platība, 100A²- lielā iekšējā laukuma platība, B²- mazā iekšējā kvadrāta laukums, 10A × B- katra no diviem taisnstūriem laukums. Saskaitot aprakstīto figūru laukumus, jūs atradīsiet sākotnējā kvadrāta laukumu.

Kas ir kvadrātsakne?

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Šī koncepcija ir ļoti vienkārša. Dabiski, es teiktu. Matemātiķi mēģina atrast reakciju katrai darbībai. Ir saskaitīšana - ir arī atņemšana. Ir reizināšana - ir arī dalīšana. Ir kvadrātošana... Tātad arī ir ņemot kvadrātsakni! Tas ir viss. Šī darbība ( kvadrātsakne) matemātikā ir norādīta ar šo ikonu:

Pati ikona tiek saukta par skaistu vārdu " radikāls".

Kā izvilkt sakni? Labāk paskatīties piemēri.

Kāda ir kvadrātsakne no 9? Kāds skaitlis kvadrātā dos mums 9? 3 kvadrātā dod mums 9! Tie:

Bet kas ir kvadrātsakne no nulles? Nekādu problēmu! Kādu skaitli kvadrātā veido nulle? Jā, tas dod nulli! Līdzekļi:

Sapratu, kas ir kvadrātsakne? Tad apsveram piemēri:

Atbildes (nekārtīgi): 6; 1; 4; 9; 5.

Izlemts? Tiešām, cik tas ir vieglāk?!

Bet... Ko dara cilvēks, redzot kādu uzdevumu ar saknēm?

Cilvēks sāk skumt... Viņš netic savu sakņu vienkāršībai un vieglumam. Lai gan šķiet, ka viņš zina kas ir kvadrātsakne...

Tas ir tāpēc, ka persona, pētot saknes, ignorēja vairākus svarīgus punktus. Tad šie iedomi nežēlīgi atriebjas par ieskaitēm un eksāmeniem...

Punkts viens. Saknes jāatpazīst pēc skata!

Kāda ir kvadrātsakne no 49? Septiņi? Pa labi! Kā tu zināji, ka ir septiņi? Laukumā septiņi un ieguva 49? Pa labi! Lūdzu, ņemiet vērā, ka izvelciet sakni no 49 mums bija jāveic apgrieztā darbība - kvadrāts 7! Un pārliecinieties, ka nepalaižam garām. Vai arī viņi varēja palaist garām...

Tā ir grūtība sakņu ekstrakcija. Kvadrāts Jūs varat izmantot jebkuru numuru bez problēmām. Reiziniet skaitli ar kolonnu - tas arī viss. Bet priekš sakņu ekstrakcija Nav tik vienkāršas un drošas tehnoloģijas. Mums vajag pacelt atbildi un pārbaudi, vai tā ir pareiza, sadalot to kvadrātā.

Šis sarežģītais radošais process - atbildes izvēle - ir ievērojami vienkāršots, ja jūs atceries populāru skaitļu kvadrāti. Kā reizināšanas tabula. Ja, teiksim, jums jāreizina 4 ar 6, jūs nepievienojat četrus sešas reizes, vai ne? Uzreiz parādās atbilde 24. Lai gan, ne visi to saprot, jā...

Lai brīvi un veiksmīgi strādātu ar saknēm, pietiek zināt skaitļu kvadrātus no 1 līdz 20. Turklāt tur Un atpakaļ. Tie. jums vajadzētu būt iespējai viegli deklamēt gan, teiksim, 11 kvadrātā, gan kvadrātsakni no 121. Lai panāktu šo iegaumēšanu, ir divi veidi. Pirmais ir iemācīties kvadrātu tabulu. Tas lieliski noderēs piemēru risināšanā. Otrais ir atrisināt vairāk piemēru. Tas ļoti palīdzēs atcerēties kvadrātu tabulu.

Un nekādu kalkulatoru! Tikai pārbaudes nolūkiem. Pretējā gadījumā eksāmena laikā jūs nežēlīgi palēnināsit...

Tātad, kas ir kvadrātsakne Un kā ekstrakts saknes- Es domāju, ka tas ir skaidrs. Tagad noskaidrosim, no kā mēs varam tos iegūt.

Otrais punkts. Sakne, es tevi nepazīstu!

No kādiem skaitļiem var ņemt kvadrātsaknes? Jā, gandrīz jebkura no tām. Vieglāk ir saprast, no kā tas ir tas ir aizliegts izvilkt tos.

Mēģināsim aprēķināt šo sakni:

Lai to izdarītu, mums ir jāizvēlas skaitlis, kas kvadrātā dos mums -4. Mēs izvēlamies.

Ko, tas neder? 2 2 dod +4. (-2) 2 atkal dod +4! Tas tā... Nav tādu skaitļu, kurus saliekot kvadrātā, mēs iegūsim negatīvu skaitli! Lai gan es zinu šos skaitļus. Bet es jums neteikšu). Dodieties uz koledžu, un jūs to uzzināsit pats.

Tas pats stāsts notiks ar jebkuru negatīvu skaitli. Līdz ar to secinājums:

Izteiksme, kurā zem kvadrātsaknes zīmes ir negatīvs skaitlis - nav jēgas! Šī ir aizliegta operācija. Tas ir tikpat aizliegts kā dalīt ar nulli. Stingri atcerieties šo faktu! Vai citiem vārdiem:

Jūs nevarat iegūt kvadrātsaknes no negatīviem skaitļiem!

Bet no visiem pārējiem tas ir iespējams. Piemēram, ir pilnīgi iespējams aprēķināt

No pirmā acu uzmetiena tas ir ļoti grūti. Daļskaitļu atlase un sadalīšana kvadrātā... Neuztraucieties. Kad mēs sapratīsim sakņu īpašības, šādi piemēri tiks reducēti uz to pašu kvadrātu tabulu. Dzīve kļūs vieglāka!

Labi, frakcijas. Bet mēs joprojām sastopamies ar tādiem izteicieniem kā:

Ir labi. Viss tas pats. Kvadrātsakne no diviem ir skaitlis, kuru kvadrātā saliekot, mēs iegūstam divus. Tikai šis skaitlis ir pilnīgi nevienmērīgs... Šeit tas ir:

Interesanti ir tas, ka šī daļa nekad nebeidzas... Tādus skaitļus sauc par iracionāliem. Kvadrātsaknēs tas ir visizplatītākais. Starp citu, tāpēc tiek saukti izteicieni ar saknēm neracionāli. Skaidrs, ka visu laiku rakstīt tik bezgalīgu daļu ir neērti. Tāpēc bezgalīgas daļas vietā viņi to atstāj šādi:

Ja, risinot piemēru, jūs nonākat pie kaut kā, ko nevar iegūt, piemēram:

tad atstājam to tā. Šī būs atbilde.

Jums ir skaidri jāsaprot, ko nozīmē ikonas

Protams, ja tiek ņemta skaitļa sakne gluda, jums tas jādara. Uzdevuma atbilde ir, piemēram, formā

Diezgan pilnīga atbilde.

Un, protams, jums ir jāzina aptuvenās vērtības no atmiņas:

Šīs zināšanas ļoti palīdz novērtēt situāciju sarežģītos uzdevumos.

Trešais punkts. Visviltīgākais.

Galvenās neskaidrības darbā ar saknēm rada šis punkts. Tieši viņš dod pārliecību par savām spējām... Tiksim ar šo punktu kārtīgi galā!

Vispirms atkal ņemsim kvadrātsakni no četriem no tiem. Vai es jau esmu tevi nomocījis ar šo sakni?) Nekad, tagad būs interesanti!

Kāds skaitlis ir 4 kvadrātā? Nu divi, divi - dzirdu neapmierinātas atbildes...

Pa labi. Divas. Bet arī mīnus divi dos 4 kvadrātā... Tikmēr atbilde

pareizi un atbilde

rupja kļūda. Kā šis.

Tātad, kāds ir darījums?

Patiešām, (-2) 2 = 4. Un saskaņā ar četru kvadrātsaknes definīciju mīnus divi diezgan piemērots... Šī ir arī kvadrātsakne no četriem.

Bet! Skolas matemātikas kursā pieņemts uzskatīt kvadrātsaknes tikai nenegatīvi skaitļi! Tas ir, nulle un visi ir pozitīvi. Tika izgudrots pat īpašs termins: no numura A-Šo nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir A. Negatīvie rezultāti, iegūstot aritmētisko kvadrātsakni, tiek vienkārši izmesti. Skolā viss ir kvadrātsaknes - aritmētika. Lai gan tas nav īpaši minēts.

Labi, tas ir saprotams. Vēl labāk neuztraukties ar negatīviem rezultātiem... Tas vēl nav apjukums.

Apjukums sākas, risinot kvadrātvienādojumus. Piemēram, jums ir jāatrisina šāds vienādojums.

Vienādojums ir vienkāršs, mēs rakstām atbildi (kā mācīts):

Šī atbilde (starp citu, absolūti pareiza) ir tikai saīsināta versija divi atbildes:

Stop, stop! Tieši virs rakstīju, ka kvadrātsakne ir skaitlis Vienmēr nav negatīvs! Un šeit ir viena no atbildēm - negatīvs! Traucējumi. Šī ir pirmā (bet ne pēdējā) problēma, kas izraisa neuzticību saknēm... Atrisināsim šo problēmu. Pierakstīsim atbildes (lai saprastu!) šādi:

Iekavas nemaina atbildes būtību. Es to vienkārši atdalīju ar iekavām zīmes no sakne. Tagad jūs varat skaidri redzēt, ka pati sakne (iekavās) joprojām ir nenegatīvs skaitlis! Un zīmes ir vienādojuma atrisināšanas rezultāts. Galu galā, risinot jebkuru vienādojumu, mums ir jāraksta Visi Xs, kas, aizstājot sākotnējo vienādojumu, sniegs pareizo rezultātu. Pieci sakne (pozitīva!) ar plusu un mīnusu iekļaujas mūsu vienādojumā.

Kā šis. Ja jūs vienkārši ņemiet kvadrātsakni no jebkā, tu Vienmēr tu dabū viens nenegatīvs rezultāts. Piemēram:

Jo tas - aritmētiskā kvadrātsakne.

Bet, ja risinat kādu kvadrātvienādojumu, piemēram:

Tas Vienmēr izrādās divi atbilde (ar plusu un mīnusu):

Jo tas ir vienādojuma risinājums.

ceru, kas ir kvadrātsakne Jums ir skaidrs, kas jums jādara. Tagad atliek noskaidrot, ko var darīt ar saknēm, kādas ir to īpašības. Un kādi ir punkti un nepilnības... atvainojiet, akmeņi!)

Tas viss ir nākamajās nodarbībās.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Sakne n-naturāla skaitļa pakāpe ašo numuru sauc n kura th pakāpe ir vienāda ar a. Sakne ir apzīmēta šādi: . Tiek izsaukts simbols √ saknes zīme vai radikāla zīme, numurs a - radikāls skaitlis, n - saknes eksponents.

Tiek izsaukta darbība, ar kuru tiek atrasta noteiktās pakāpes sakne sakņu ekstrakcija.

Tā kā saskaņā ar saknes jēdziena definīciju n th grāds

Tas sakņu ekstrakcija- darbība, kas ir apgriezta celšanai pakāpē, ar kuras palīdzību tiek atrasta pakāpes bāze no dotās pakāpes un no dotā eksponenta.

Kvadrātsakne

Skaitļa kvadrātsakne a ir skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar a.

Darbību, ar kuru tiek aprēķināta kvadrātsakne, sauc par kvadrātsakni.

Kvadrātsakne- pretēja darbība kvadrātā (vai skaitļa paaugstināšana līdz otrajai pakāpei). Saliekot skaitli kvadrātā, jāatrod tā kvadrāts. Izvelkot kvadrātsakni, ir zināms skaitļa kvadrāts; tas ir jāizmanto, lai atrastu pašu skaitli.

Tāpēc, lai pārbaudītu darbības pareizību, atrasto sakni var pacelt uz otro pakāpi un, ja pakāpe ir vienāda ar radikālo skaitli, tad sakne tika atrasta pareizi.

Apskatīsim kvadrātsaknes izvilkšanu un pārbaudi, izmantojot piemēru. Aprēķināsim vai (saknes eksponents ar vērtību 2 parasti netiek rakstīts, jo 2 ir mazākais eksponents un jāatceras, ka, ja virs saknes zīmes nav neviena eksponenta, tad tiek domāts eksponents 2), šim nolūkam mēs jāatrod skaitlis, paaugstinot līdz otrajam, pakāpe būs 49. Acīmredzot šāds skaitlis ir 7, jo

7 7 = 7 2 = 49.

Kvadrātsaknes aprēķināšana

Ja dots skaitlis ir 100 vai mazāks, tad tā kvadrātsakni var aprēķināt, izmantojot reizināšanas tabulu. Piemēram, kvadrātsakne no 25 ir 5, jo 5 5 = 25.

Tagad apskatīsim veidu, kā atrast jebkura skaitļa kvadrātsakni, neizmantojot kalkulatoru. Piemēram, ņemsim skaitli 4489 un sāksim to aprēķināt soli pa solim.

1. Noskaidrosim, no kuriem cipariem jāsastāv vajadzīgajai saknei. Tā kā 10 2 = 10 · 10 = 100 un 100 2 = 100 · 100 = 10000, kļūst skaidrs, ka vēlamajai saknei jābūt lielākai par 10 un mazākai par 100, t.i. sastāv no desmitiem un vienībām.
2. Atrodiet saknes desmitu skaitu. Reizinot desmitus, tiek iegūti simti, un mūsu skaitā ir 44 no tiem, tāpēc saknē jāsatur tik daudz desmitnieku, lai desmitnieku kvadrātā būtu aptuveni 44 simti. Tāpēc saknei jābūt 6 desmitiem, jo ​​60 2 = 3600 un 70 2 = 4900 (tas ir pārāk daudz). Tādējādi mēs noskaidrojām, ka mūsu saknē ir 6 desmiti un vairāki, jo tas ir diapazonā no 60 līdz 70.
3. Reizināšanas tabula palīdzēs noteikt vienību skaitu saknē. Aplūkojot skaitli 4489, redzam, ka pēdējais cipars tajā ir 9. Tagad skatāmies reizināšanas tabulu un redzam, ka 9 vienības var iegūt, tikai saliekot kvadrātā skaitļus 3 un 7. Tas nozīmē, ka skaitļa sakne būs vienāds ar 63 vai 67.
4. Mēs pārbaudām saņemtos skaitļus 63 un 67, sadalot tos kvadrātā: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Apskatīsim šo algoritmu, izmantojot piemēru. Mēs atradīsim

1. solis. Mēs sadalām skaitli zem saknes divciparu formās (no labās uz kreiso):

2. solis. Ņemam kvadrātsakni no pirmās skaldnes, t.i., no skaitļa 65, iegūstam skaitli 8. Zem pirmās skaldnes ierakstām skaitļa 8 kvadrātu un atņemam. Mēs piešķiram otro seju (59) atlikumam:

(skaitlis 159 ir pirmais atlikums).

3. solis. Mēs dubultojam atrasto sakni un ierakstām rezultātu kreisajā pusē:

4. solis. Mēs atdalām vienu ciparu labajā pusē atlikušajā daļā (159), un kreisajā pusē mēs iegūstam desmitu skaitu (tas ir vienāds ar 15). Tad mēs dalām 15 ar dubulto saknes pirmo ciparu, t.i., ar 16, jo 15 nedalās ar 16, tad koeficients iegūst nulle, ko mēs ierakstām kā saknes otro ciparu. Tātad koeficientā mēs saņēmām skaitli 80, kuru vēlreiz dubultojam un noņemam nākamo malu

(skaitlis 15 901 ir otrais atlikums).

5. solis. Otrajā atlikumā atdalām vienu ciparu no labās puses un iegūto skaitli 1590 sadalām ar 160. Rezultātu (skaitli 9) ierakstām kā saknes trešo ciparu un pievienojam skaitlim 160. Iegūto skaitli 1609 reizinām ar 9 un atrodiet nākamo atlikumu (1420):

Pēc tam darbības tiek veiktas algoritmā norādītajā secībā (sakni var iegūt ar nepieciešamo precizitātes pakāpi).

komentēt. Ja radikālā izteiksme ir decimāldaļdaļa, tad visa tās daļa tiek sadalīta divu ciparu malās no labās uz kreiso pusi, daļējā daļa - divi cipari no kreisās uz labo, un sakne tiek izvilkta saskaņā ar norādīto algoritmu.

DIDAKTISKS MATERIĀLS

1. Paņem kvadrātsakni no skaitļa: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.