Parastas daļskaitļa pārvēršana decimāldaļā nozīmē decimāldaļskaitļa atrašanu, kas būtu vienāda ar doto kopējo daļskaitli. Pārvēršot parastās daļskaitļus decimāldaļās, mēs saskarsimies ar diviem gadījumiem:
1) kad parastās daļskaitļus var pārvērst decimāldaļās tieši tā;
2) kad parastās daļskaitļus var pārvērst tikai decimāldaļās aptuveni. Apskatīsim šos gadījumus secīgi.
1. Kā parasto nereducējamo daļskaitli pārvērst decimāldaļā jeb, citiem vārdiem sakot, kā parastu daļskaitli aizstāt ar decimāldaļu, kas tai vienāda?
Gadījumā, ja parastās frakcijas var būt tieši tā pārvērš decimāldaļās, ir divos veidosšāda ārstēšana.
Atcerēsimies, kā aizstāt vienu daļu ar citu, kas ir vienāda ar pirmo, vai kā pāriet no vienas daļas uz citu, nemainot pirmās. Mēs to izdarījām, kad samazinājām daļskaitļus līdz kopsaucējam (§86). Kad mēs samazinām daļskaitļus līdz kopsaucējam, mēs rīkojamies šādi: atrodam šo daļskaitļu kopsaucēju, aprēķinām katrai daļai papildu koeficientu un pēc tam reizinim katras daļas skaitītāju un saucēju ar šo koeficientu.
To pamanījuši, ņemsim nesamazināmo daļu 3/20 un mēģināsim to pārvērst decimāldaļā. Šīs daļskaitļa saucējs ir 20, bet jums tas jāpārnes uz citu saucēju, kas būtu attēlots ar vienu ar nullēm. Mēs meklēsim mazāko saucēju no viena, kam seko nulles.
Pirmais veids daļskaitļa pārvēršana decimāldaļā balstās uz saucēja sadalīšanu galvenajos faktoros.
Jānoskaidro, ar kādu skaitli jāreizina 20, lai reizinājums tiktu izteikts kā viens, kam seko nulles. Lai to noskaidrotu, vispirms jāatceras, kādos pirmfaktoros tiek sadalīti skaitļi, kas attēloti ar vienu un nullēm. Šie ir sadalījumi:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Mēs redzam, ka skaitlis, ko attēlo viens ar nullēm, tiek sadalīts tikai divos un pieciniekos, un izvērsumā nav citu faktoru. Turklāt divnieki un piecinieki ir iekļauti paplašinājumā tādā pašā skaitā. Un, visbeidzot, šo un citu faktoru skaits atsevišķi ir vienāds ar nulles skaitu pēc viena noteiktā skaitļa attēlā.
Tagad redzēsim, kā 20 tiek sadalīts pirmfaktoros: 20 = 2 2 5. No tā ir skaidrs, ka skaitļa 20 sadalīšanā ir divi divnieki un viens piecinieks. Tas nozīmē, ka, ja šiem faktoriem pievienosim vienu pieci, mēs iegūsim skaitli, ko attēlo viens ar nullēm. Citiem vārdiem sakot, lai saucēja skaitlis būtu viens ar nullēm, nevis 20, jums ir jāreizina 20 ar 5 un, lai daļdaļas vērtība nemainītos, tā skaitītājs jāreizina ar 5 , t.i.
Tādējādi, lai parastu daļskaitli pārvērstu decimāldaļā, šīs parastās daļdaļas saucējs ir jāsadala pirmfaktoros un pēc tam jāizlīdzina skaitļu divi un piecinieki, ievadot tajā (un, protams, skaitītājā) ) trūkstošos faktorus vajadzīgajā skaitā.
Piemērosim šo secinājumu dažām daļām.
Pārvērst 3/50 uz decimāldaļu. Šīs frakcijas saucējs tiek paplašināts šādi:
Tas nozīmē, ka tai trūkst viena divnieka. Pievienosim to:
Pārvērst 7/40 uz decimāldaļu.
Šīs daļas saucējs tiek sadalīts šādi: 40 = 2 2 2 5, t.i., trūkst divu piecinieku. Ieviesīsim tos skaitītājā un saucējā kā faktorus:
No teiktā nav grūti secināt, kuras parastās daļskaitļus precīzi pārvērš decimāldaļās. Ir pilnīgi skaidrs, ka nereducējama parastā daļdaļa, kuras saucējs nesatur citus primāros faktorus, izņemot 2 un 5, pārvēršas precīzi decimāldaļā. Decimāldaļai, ko iegūst, apgriežot kādu parasto daļskaitli, būs tik daudz zīmju aiz komata, cik reižu parastās daļdaļas saucējā pēc tās samazināšanas ir iekļauts skaitliski dominējošais koeficients 2 vai 5.
Ja ņemam daļskaitli 9/40, tad, pirmkārt, tas pārvērtīsies par decimāldaļu, jo tā saucējā ir iekļauti koeficienti 2 2 2 5, un, otrkārt, iegūtā decimāldaļdaļa būs ar 3 cipariem aiz komata, jo skaitliski dominējošais faktors 2 paplašinās trīs reizes. Patiešām:
Otrais veids(dalot skaitītāju ar saucēju).
Pieņemsim, ka vēlaties pārvērst 3/4 par decimāldaļskaitli. Mēs zinām, ka 3/4 ir koeficients 3, dalīts ar 4. Mēs varam atrast šo koeficientu, dalot 3 ar 4. Darīsim šādi:
Tādējādi 3/4 = 0,75.
Vēl viens piemērs: konvertējiet 5/8 par decimāldaļskaitli.
Tātad 5/8 = 0,625.
Tātad, lai pārvērstu daļu decimāldaļās, jums vienkārši jāsadala daļskaitļa skaitītājs ar tā saucēju.
2. Tagad aplūkosim otro no rindkopas sākumā norādītajiem gadījumiem, t.i., gadījumu, kad parasto daļskaitli nevar pārvērst par precīzu decimāldaļu.
Parastu nereducējamu daļskaitli, kuras saucējs satur citus primāros faktorus, izņemot 2 un 5, nevar precīzi pārvērst decimāldaļās. Faktiski, piemēram, daļu 8/15 nevar pārvērst decimāldaļā, jo tās saucējs 15 tiek sadalīts divos faktoros: 3 un 5.
Mēs nevaram izslēgt no saucēja trīskāršu un nevar izvēlēties tādu veselu skaitli, lai pēc dotā saucēja reizināšanas ar to reizinājums tiktu izteikts kā viens, kam seko nulles.
Šādos gadījumos mēs varam runāt tikai par tuvināšana parastās daļdaļas līdz decimāldaļām.
Kā tas tiek darīts? To dara, dalot parastās daļskaitļa skaitītāju ar saucēju, t.i., šajā gadījumā izmanto otro metodi parastās daļskaitļa pārvēršanai decimāldaļā. Tas nozīmē, ka šī metode tiek izmantota gan precīzai, gan aptuvenai apstrādei.
Ja daļskaitli pārvērš precīzi par decimāldaļu, dalot iegūst pēdējo decimāldaļu.
Ja parastā daļdaļa nepārvēršas par precīzu decimāldaļu, tad dalīšana rada bezgalīgu decimāldaļskaitli.
Tā kā mēs nevaram veikt nebeidzamu dalīšanas procesu, mums ir jāpārtrauc dalīšana kādā decimāldaļā, tas ir, jāveic aptuvens dalījums. Mēs varam, piemēram, pārtraukt dalīšanu ar pirmo zīmi aiz komata, tas ir, aprobežoties ar desmitdaļām; ja nepieciešams, mēs varam apstāties pie otrās decimāldaļas, iegūstot simtdaļas utt. Šajos gadījumos mēs sakām, ka mēs noapaļojam bezgalīgu decimāldaļu. Noapaļošana tiek veikta ar precizitāti, kas nepieciešama šīs problēmas risināšanai.
115.§ Periodiskās daļas jēdziens.
Pastāvīgo decimālo daļu, kurā viens vai vairāki cipari vienmēr atkārtojas vienā un tajā pašā secībā, sauc par periodisku decimālo daļu. Piemēram:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Tiek izsaukta atkārtotu skaitļu kopa periodāšī frakcija. Pirmās no iepriekš uzrakstītajām daļskaitļiem periods ir 3, otrās daļdaļas periods ir 12, trešās daļdaļas periods ir 234. Tas nozīmē, ka periods var sastāvēt no vairākiem cipariem - viens, divi, trīs utt. Pirmo atkārtojošo ciparu kopu sauc par pirmo periodu, otro par kopumu – otro periodu utt., t.i.
Periodiskās frakcijas var būt tīras vai jauktas. Periodisko daļu sauc par tīru, ja tās periods sākas tūlīt aiz komata. Tas nozīmē, ka iepriekš uzrakstītās periodiskās daļas būs tīras. Pret, periodiska daļa tiek saukts par jauktu, ja starp decimālzīmi un pirmo punktu ir viens vai vairāki cipari, kas neatkārtojas, piemēram:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Lai burtu saīsinātu, perioda skaitļus var rakstīt vienu reizi iekavās un aiz iekavām nelikt elipses, t.i., 0,33 vietā... var rakstīt 0,(3); 2.515151 vietā... var rakstīt 2,(51); 0.2333 vietā... var rakstīt 0.2(3); 0.8333 vietā... var rakstīt 0.8(3).
Periodiskās daļas tiek lasītas šādi:
0,(3) - 0 veseli skaitļi, 3 periodā.
7,2(3) - 7 veseli skaitļi, 2 pirms perioda, 3 periodā.
5.00(17) - 5 veseli skaitļi, divas nulles pirms perioda, 17 periodā.
Kā rodas periodiskas daļas? Mēs jau esam redzējuši, ka, pārvēršot daļskaitļus decimāldaļās, var būt divi gadījumi.
Pirmkārt, parastās nereducējamās daļas saucējs nesatur citus faktorus kā 2 un 5; šajā gadījumā parastā daļa kļūst par pēdējo decimāldaļu.
Otrkārt, parastās nereducējamās daļas saucējs satur jebkurus primāros faktorus, izņemot 2 un 5; šajā gadījumā parastā daļa nepārvēršas par pēdējo decimāldaļu. Šajā pēdējā gadījumā, mēģinot pārvērst daļu decimāldaļā, dalot skaitītāju ar saucēju, tiek iegūta bezgalīga daļa, kas vienmēr būs periodiska.
Lai to redzētu, apskatīsim piemēru. Mēģināsim pārvērst daļu 18/7 par decimāldaļu.
Mēs, protams, jau iepriekš zinām, ka daļskaitli ar šādu saucēju nevar pārvērst par pēdējo decimāldaļu, un mēs runājam tikai par aptuvenu konversiju. Sadaliet skaitītāju 18 ar saucēju 7.
Mēs saņēmām astoņas zīmes aiz komata koeficientā. Tālāk nav jāturpina dalīšana, jo tā jau tāpat nebeigsies. Bet no tā ir skaidrs, ka dalīšanu var turpināt bezgalīgi un tādējādi iegūt jaunus skaitļus koeficientā. Šie jaunie skaitļi radīsies, jo mums vienmēr būs pārpalikumi; bet neviens atlikums nevar būt lielāks par dalītāju, kas mums ir 7.
Paskatīsimies, kādas bilances mums bija: 4; 5; 1; 3; 2; b, t.i., tie bija skaitļi, kas mazāki par 7. Acīmredzot to nevar būt vairāk par sešiem, un, turpinot dalīšanu, tie būs jāatkārto, un pēc tiem atkārtosies koeficienta cipari. Iepriekš minētais piemērs apstiprina šo domu: koeficienta decimāldaļas ir šādā secībā: 571428, un pēc tam atkal parādījās skaitļi 57. Tas nozīmē, ka pirmais periods ir beidzies un otrais sākas.
Tādējādi bezgalīga decimāldaļdaļa, kas iegūta, apgriežot parasto datni, vienmēr būs periodiska.
Ja, risinot uzdevumu, tiek sastapta ar periodisku daļskaitli, tad tā tiek ņemta ar precizitāti, kādu prasa uzdevuma nosacījumi (līdz desmitajai, simtajai, tūkstošdaļai utt.).
§ 116. Kopīgas darbības ar parastajām un decimāldaļām.
Risinot dažādas problēmas, saskarsimies ar gadījumiem, kad problēma ietver gan parasto, gan decimāldaļas.
Šādos gadījumos jūs varat rīkoties dažādos veidos.
1. Pārvērst visas daļas aiz komata. Tas ir ērti, jo aprēķini ar decimāldaļskaitļiem ir vienkāršāki nekā ar parastajām daļām. Piemēram,
Pārvērsim daļskaitļus 3/4 un 1 1/5 par decimāldaļām:
2. Pārvērtiet visas frakcijas parastajās daļās. Visbiežāk tas tiek darīts gadījumos, kad ir parastās daļskaitļi, kas nepārvēršas par pēdējiem decimālskaitļiem.
Piemēram, 
Pārvērsim decimāldaļas par parastajām daļām:
3. Aprēķini tiek veikti, nepārvēršot dažas frakcijas citās.
Tas ir īpaši noderīgi, ja piemērs ietver tikai reizināšanu un dalīšanu. Piemēram,
Pārrakstīsim piemēru šādi:
4. Dažos gadījumos pārvērst visas daļskaitļus decimāldaļās(pat tiem, kas pārvēršas periodiskos) un atrod aptuvenu rezultātu. Piemēram,
Pārvērsim 2/3 par decimāldaļskaitli, ierobežojot sevi ar tūkstošdaļām.
Atcerieties, kā pašā pirmajā nodarbībā par decimāldaļām es teicu, ka ir skaitļu daļas, kuras nevar attēlot kā decimāldaļas (skatiet nodarbību “Decimāldaļas”)? Mēs arī uzzinājām, kā faktorēt daļskaitļu saucējus, lai redzētu, vai ir citi skaitļi, izņemot 2 un 5.
Tātad: es meloju. Un šodien mēs uzzināsim, kā pārvērst absolūti jebkuru skaitlisko daļu decimāldaļā. Tajā pašā laikā mēs iepazīsimies ar veselu daļskaitļu klasi ar bezgalīgi nozīmīgu daļu.
Periodiska decimāldaļa ir jebkura decimāldaļa, kas:
- Nozīmīgo daļu veido bezgalīgs skaits ciparu;
- Noteiktos intervālos skaitļi nozīmīgajā daļā tiek atkārtoti.
Atkārtotu ciparu kopu, kas veido nozīmīgo daļu, sauc par daļdaļas periodisko daļu, un ciparu skaitu šajā kopā sauc par daļdaļas periodu. Atlikušo nozīmīgās daļas segmentu, kas neatkārtojas, sauc par neperiodisko daļu.
Tā kā definīciju ir daudz, ir vērts sīkāk apsvērt dažas no šīm daļām:
Šī daļa visbiežāk parādās problēmās. Neperiodiskā daļa: 0; periodiskā daļa: 3; perioda garums: 1.
Neperiodiskā daļa: 0,58; periodiskā daļa: 3; perioda garums: atkal 1.
Neperiodiskā daļa: 1; periodiskā daļa: 54; perioda garums: 2.
Neperiodiskā daļa: 0; periodiskā daļa: 641025; perioda garums: 6. Ērtības labad atkārtotas daļas ir atdalītas viena no otras ar atstarpi - šajā risinājumā tas nav nepieciešams.
Neperiodiskā daļa: 3066; periodiskā daļa: 6; perioda garums: 1.
Kā redzat, periodiskas daļas definīcijas pamatā ir jēdziens nozīmīga skaitļa daļa. Tāpēc, ja esat aizmirsis, kas tas ir, iesaku to atkārtot - skatiet nodarbību “”.
Pāreja uz periodisku decimāldaļu
Apsveriet parasto daļskaitli no formas a /b. Faktorizēsim tā saucēju primārajos faktoros. Ir divas iespējas:
- Izvērsumā ir tikai koeficienti 2 un 5. Šīs daļskaitļus var viegli pārvērst decimāldaļās - skatiet nodarbību “Decimāldaļas”. Tādi cilvēki mūs neinteresē;
- Izvērsumā ir kas cits, nevis 2 un 5. Šajā gadījumā daļskaitli nevar attēlot kā decimāldaļu, bet to var pārvērst periodiskā decimāldaļā.
Lai definētu periodisku decimāldaļskaitli, jāatrod tās periodiskās un neperiodiskās daļas. Kā? Pārvērtiet daļu par nepareizu daļskaitli un pēc tam sadaliet skaitītāju ar saucēju, izmantojot stūri.
Notiks sekojošais:
- Vispirms sadalīsies visa daļa , ja tāda pastāv;
- Aiz komata var būt vairāki skaitļi;
- Pēc kāda laika sāksies skaitļi atkārtojiet.
Tas ir viss! Atkārtotos skaitļus aiz komata apzīmē ar periodisko daļu, bet priekšā esošos ar neperiodisko daļu.
Uzdevums. Pārvērst parastās daļskaitļus par periodiskām decimāldaļām:
Visas daļas bez vesela skaitļa daļas, tāpēc mēs vienkārši sadalām skaitītāju ar saucēju ar “stūri”:
Kā redzat, atlikumi tiek atkārtoti. Daļskaitli ierakstīsim “pareizajā” formā: 1,733 ... = 1,7(3).
Rezultāts ir daļa: 0,5833 ... = 0,58(3).
Rakstīt normāla forma: 4,0909 ... = 4,(09).
Iegūstam daļskaitli: 0,4141 ... = 0.(41).
Pāreja no periodiskas decimāldaļas uz parasto daļu
Apsveriet periodisko decimālo daļu X = abc (a 1 b 1 c 1). Tas ir jāpārvērš par klasisku "divstāvu". Lai to izdarītu, veiciet četras vienkāršas darbības:
- Atrodiet daļdaļas periodu, t.i. saskaitiet, cik ciparu ir periodiskajā daļā. Lai tas ir skaitlis k;
- Atrodiet izteiksmes X · 10 k vērtību. Tas ir līdzvērtīgs decimāldaļas pārvietošanai par pilns periods pa labi - skatiet nodarbību “Decimāldaļu reizināšana un dalīšana”;
- Sākotnējā izteiksme ir jāatņem no iegūtā skaitļa. Šajā gadījumā periodiskā daļa tiek “sadedzināta” un paliek kopējā frakcija;
- Atrodiet X iegūtajā vienādojumā. Mēs pārvēršam visas decimāldaļas par parastajām daļām.
Uzdevums. Samazināt uz parasto nepareiza frakcija cipari:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Mēs strādājam ar pirmo daļskaitli: X = 9, (6) = 9,666 ...
Iekavās ir tikai viens cipars, tāpēc periods ir k = 1. Tālāk mēs reizinām šo daļu ar 10 k = 10 1 = 10. Mums ir:
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Atņemiet sākotnējo daļu un atrisiniet vienādojumu:
10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Tagad apskatīsim otro daļu. Tātad X = 32, (39) = 32,393939...
Periods k = 2, tāpēc visu reiziniet ar 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Vēlreiz atņemiet sākotnējo daļu un atrisiniet vienādojumu:
100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Pārejam pie trešās daļas: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagramma ir tāda pati, tāpēc es sniegšu tikai aprēķinus:
Periods k = 1 ⇒ reizināt visu ar 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.
Visbeidzot, pēdējā daļa: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Atkal ērtības labad periodiskās daļas viena no otras ir atdalītas ar atstarpēm. Mums ir:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000 X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Sadalīšanas darbība ietver vairāku galveno komponentu līdzdalību. Pirmais no tiem ir tā sauktā dividende, tas ir, numurs, uz kuru attiecas sadalīšanas procedūra. Otrais ir dalītājs, tas ir, skaitlis, ar kuru tiek veikta sadalīšana. Trešais ir koeficients, tas ir, rezultāts operācijai, sadalot dividendi ar dalītāju.
Sadalīšanas rezultāts
Visvairāk vienkāršs variants Rezultāts, ko var iegūt, ja divi pozitīvi veseli skaitļi tiek izmantoti kā dividende un dalītājs, ir vēl viens pozitīvs vesels skaitlis. Piemēram, dalot 6 ar 2, koeficients būs vienāds ar 3. Šāda situācija ir iespējama, ja dividende ir dalītājs, tas ir, to dala ar to bez atlikuma.Tomēr ir arī citas iespējas, kad nav iespējams veikt sadalīšanas operāciju bez atlikuma. Šajā gadījumā skaitlis, kas nav vesels skaitlis, kļūst par koeficientu, ko var uzrakstīt kā vesela skaitļa un daļējas daļas kombināciju. Piemēram, dalot 5 ar 2, koeficients ir 2,5.
Skaits periodā
Viena no iespējām, kas var rasties, ja dividende nav dalītāja reizinājums, ir tā sauktais skaitlis periodā. Tas var rasties dalīšanas rezultātā, ja koeficients izrādās bezgalīgi atkārtojas skaitļu kopa. Piemēram, skaitlis punktā var parādīties, dalot skaitli 2 ar 3. Šajā situācijā rezultāts kā decimāldaļdaļa tiks izteikts kā bezgalīga 6 ciparu kombinācija aiz komata.Lai norādītu šādas dalīšanas rezultātu, tika izgudrots īpašs skaitļu rakstīšanas veids periodā: šādu skaitli norāda, iekavās ievietojot atkārtotu ciparu. Piemēram, rezultāts, dalot 2 ar 3, izmantojot šo metodi, tiks ierakstīts kā 0, (6). Šis apzīmējums ir piemērojams arī tad, ja atkārtojas tikai daļa no dalīšanas iegūtā skaitļa.
Piemēram, dalot 5 ar 6, rezultāts būs periodisks skaitlis formā 0,8(3). Šīs metodes izmantošana, pirmkārt, ir efektīvāka, salīdzinot ar mēģinājumu pierakstīt visus skaitļa ciparus vai daļu no tiem periodā, un, otrkārt, tai ir lielāka precizitāte, salīdzinot ar citu šādu skaitļu pārsūtīšanas metodi - noapaļošanu, un turklāt tas ļauj atšķirt skaitļus periodā no precīzas decimāldaļas ar atbilstošo vērtību, salīdzinot šo skaitļu lielumu. Tā, piemēram, ir acīmredzams, ka 0.(6) ir ievērojami lielāks par 0,6.
Kā zināms, racionālo skaitļu kopa (Q) ietver veselo skaitļu kopu (Z), kas savukārt ietver naturālo skaitļu kopu (N). Papildus veselajiem skaitļiem racionālie skaitļi ietver arī daļskaitļus.
Kāpēc tad visa racionālo skaitļu kopa dažreiz tiek uzskatīta par bezgalīgām periodiskām decimāldaļdaļām? Patiešām, papildus daļskaitļiem tie ietver arī veselus skaitļus, kā arī neperiodiskas daļas.
Fakts ir tāds, ka visus veselus skaitļus, kā arī jebkuru daļu, var attēlot kā bezgalīgu periodisku decimāldaļskaitli. Tas ir, visiem racionālajiem skaitļiem varat izmantot vienu un to pašu ierakstīšanas metodi.
Kā tiek attēlots bezgalīgs periodisks decimālskaitlis? Tajā iekavās tiek ievietota atkārtota skaitļu grupa aiz komata. Piemēram, 1.56(12) ir daļskaitlis, kurā atkārtojas ciparu grupa 12, t.i., daļskaitļa vērtība ir 1.561212121212... un tā bezgalīgi. Atkārtotu skaitļu grupu sauc par punktu.
Tomēr mēs varam attēlot jebkuru skaitli šajā formā, ja mēs uzskatām, ka tā periods ir skaitlis 0, kas arī atkārtojas bezgalīgi. Piemēram, skaitlis 2 ir tāds pats kā 2,00000... Tāpēc to var uzrakstīt kā bezgalīgu periodisku daļu, t.i., 2,(0).
To pašu var izdarīt ar jebkuru galīgo daļu. Piemēram:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Tomēr praksē viņi neizmanto ierobežotas daļas pārveidošanu par bezgalīgu periodisku daļu. Tāpēc tie atdala ierobežotas daļas un bezgalīgas periodiskas. Tādējādi pareizāk ir teikt, ka racionālie skaitļi ietver
- visi veseli skaitļi
- pēdējās frakcijas,
- bezgalīgas periodiskas daļas.
Tajā pašā laikā vienkārši atcerieties, ka veseli skaitļi un ierobežotas daļas teorētiski ir attēlojamas bezgalīgu periodisku daļu veidā.
No otras puses, galīgo un bezgalīgo daļu jēdzieni ir piemērojami decimāldaļdaļām. Runājot par daļām, gan galīgās, gan bezgalīgās decimāldaļas var unikāli attēlot kā daļskaitli. Tas nozīmē, ka no parasto daļskaitļu viedokļa periodiskās un galīgās daļas ir viens un tas pats. Turklāt veselus skaitļus var attēlot arī kā daļskaitli, iedomājoties, ka mēs dalām skaitli ar 1.
Kā decimālo bezgalīgo periodisko daļu attēlot kā parastu daļskaitli? Visbiežāk izmantotais algoritms ir aptuveni šāds:
- Samaziniet daļskaitli tā, lai aiz komata būtu tikai punkts.
- Reiziniet bezgalīgu periodisku daļu ar 10 vai 100 vai ... tā, lai decimālpunkts pārvietotos pa labi par vienu punktu (t.i., viens periods nonāk visā daļā).
- Pielīdziniet sākotnējo daļu (a) ar mainīgo x un daļu (b), kas iegūta, reizinot ar skaitli N ar Nx.
- Atņemiet x no Nx. No b es atņemu a. Tas ir, tie veido vienādojumu Nx – x = b – a.
- Atrisinot vienādojumu, rezultāts ir parasta daļa.
Piemērs bezgalīgas periodiskas decimāldaļas pārvēršanai parastā daļskaitlī:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x - 10x = 113,3333... - 11,3333...
90x = 102
x =
Periodiskā daļa bezgalīga decimāldaļdaļa, kurā, sākot no noteikta punkta, ir tikai periodiski atkārtota noteikta ciparu grupa. Piemēram, 1.3181818...; Īsāk sakot, šī daļa ir rakstīta šādi: 1.3(18), tas ir, viņi ievieto punktu iekavās (un saka: "18 periodā"). P. sauc par tīru, ja periods sākas tūlīt aiz komata, piemēram, 2(71) = 2,7171..., un jauktu, ja aiz komata ir skaitļi pirms punkta, piemēram, 1,3(18). Decimāldaļskaitļu loma aritmētikā ir saistīta ar to, ka, racionālos skaitļus, tas ir, parastās (vienkāršās) daļskaitļus attēlo ar decimāldaļskaitļiem, vienmēr tiek iegūtas galīgas vai periodiskas daļas. Precīzāk: galīgo decimāldaļskaitli iegūst, ja nereducējamas vienkāršās daļskaitļa saucējs nesatur citus primāros koeficientus, izņemot 2 un 5; visos citos gadījumos rezultāts ir P. daļa, turklāt tas ir tīrs, ja dotās nereducējamās daļas saucējs vispār nesatur faktorus 2 un 5, un jaukts, ja ir ietverts vismaz viens no šiem faktoriem saucējā. Jebkuru daļskaitli var pārvērst par vienkāršu daļu (tas ir, tas ir vienāds ar kādu racionālu skaitli). Tīra daļa ir vienāda ar vienkāršu daļskaitli, kuras skaitītājs ir periods, un saucēju attēlo skaitlis 9, kas rakstīts tik reižu, cik ciparu ir periodā; Pārvēršot jauktu daļskaitli par vienkāršu daļskaitli, skaitītājs ir starpība starp skaitli, kas attēlots ar skaitļiem pirms otrā perioda, un skaitli, ko attēlo skaitļi pirms pirmā perioda; Lai sastādītu saucēju, skaitlis 9 jāraksta tik reižu, cik skaitļu ir periodā, un pa labi jāpievieno tik nulles, cik skaitļu ir pirms punkta. Šie noteikumi pieņem, ka dotais P. ir pareizs, tas ir, tas nesatur veselas vienības; pretējā gadījumā īpaša uzmanība tiek pievērsta visai daļai. Ir zināmi arī noteikumi, kā noteikt noteiktai parastajai daļdaļai atbilstošās daļas perioda garumu. Piemēram, par daļu a/p, Kur R - pirmskaitlis un 1 ≤ a ≤ p- 1, perioda garums ir dalītājs R - 1. Tātad zināmiem skaitļa tuvinājumiem (sk. Pi)
22/7 un 355/113 periodi ir attiecīgi vienādi ar 6 un 112.
Liels Padomju enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .
Sinonīmi:Skatiet, kas ir “periodiskā daļa” citās vārdnīcās:
Bezgalīga decimāldaļdaļa, kurā, sākot no noteiktas vietas, periodiski atkārtojas noteikta ciparu grupa (periods), piemēram. 0,373737... tīrā periodiskā daļa vai 0,253737... jauktā periodiskā daļa... Liels enciklopēdiskā vārdnīca
Daļa, bezgalīga daļa Krievu sinonīmu vārdnīca. periodiskas daļas lietvārds, sinonīmu skaits: 2 bezgalīga daļa (2) ... Sinonīmu vārdnīca
Decimāldaļdaļa, kurā ciparu sērija atkārtojas tādā pašā secībā. Piemēram, 0,135135135... ir p.d., kura periods ir 135 un kas ir vienāds ar vienkāršo daļskaitli 135/999 = 5/37. Krievu valodā iekļauto svešvārdu vārdnīca. Pavļenkovs F... Krievu valodas svešvārdu vārdnīca
Decimāldaļa ir daļa ar saucēju 10n, kur n dabiskais skaitlis. Tā ir īpaša forma ieraksti: vesela skaitļa daļa decimālo skaitļu sistēmā, tad komats un tad daļdaļa decimālo skaitļu sistēmā, un daļdaļas ciparu skaits ... Wikipedia
Bezgalīga decimāldaļdaļa, kurā, sākot no noteikta punkta, periodiski atkārtojas noteikta ciparu grupa (periods); piemēram, 0,373737... tīrā periodiskā daļa vai 0,253737... jauktā periodiskā daļa. * * * PERIODISKI…… enciklopēdiskā vārdnīca
Bezgalīga decimāldaļdaļa, kurā, sākot no noteiktas vietas, definīcija periodiski atkārtojas. ciparu grupa (punkts); piemēram, 0,373737... tīrs P. d. vai 0,253737... jaukts P. d. ... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca
Skatīt daļu... Krievu sinonīmu un līdzīgu izteicienu vārdnīca. zem. ed. N. Abramova, M.: Krievu vārdnīcas, 1999. frakcijas sīkums, daļa; dunst, bumba, milti, buckshot; daļskaitlis Krievu sinonīmu vārdnīca... Sinonīmu vārdnīca
periodiska decimāldaļa- - [L.G.Sumenko. Angļu-krievu informācijas tehnoloģiju vārdnīca. M.: Valsts uzņēmums TsNIIS, 2003.] Tēmas informāciju tehnoloģijas vispārīgi EN cirkulējošs decimalrecurring decimalperioding decimalperiodic decimalperiodical decimal ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata
Ja kādu veselu skaitli a dala ar citu veselu skaitli b, t.i., tiek meklēts skaitlis x, kas atbilst nosacījumam bx = a, tad var rasties divi gadījumi: vai nu veselu skaitļu virknē ir skaitlis x, kas apmierina šo nosacījumu, vai arī tas izrādās ,… … Enciklopēdiskā vārdnīca F.A. Brokhauss un I.A. Efrons
Daļa, kuras saucējs ir viss grāds skaitļus 10. D. raksta bez saucēja, labās puses skaitītājā ar komatu atdalot tik ciparu, cik saucējā ir nulles. Piemēram, šādā ierakstā daļa kreisajā pusē... ... Lielā padomju enciklopēdija
Notiek ielāde...