Jebkuru ģeometrisku ķermeni var raksturot ar virsmas laukumu (S) un tilpumu (V). Platība un apjoms nepavisam nav viens un tas pats. Objektam var būt salīdzinoši mazs V un liels S, piemēram, šādi darbojas cilvēka smadzenes. Aprēķiniet šos rādītājus vienkārši ģeometriskās formas daudz vienkāršāk.
Paralēles: definīcija, veidi un īpašības
Paralēlskaldnis ir četrstūra prizma ar paralelogramu tās pamatnē. Kāpēc jums var būt nepieciešama formula figūras apjoma noteikšanai? Grāmatas, iepakojuma kastes un daudzas citas lietas no Ikdiena. Dzīvojamo un biroju ēku telpas parasti ir taisnstūrveida paralēlskaldnis. Lai uzstādītu ventilāciju, gaisa kondicionēšanu un noteiktu sildelementu skaitu telpā, nepieciešams aprēķināt telpas tilpumu.
Attēlam ir 6 skaldnes - paralelogrami un 12 malas; divas nejauši atlasītas skaldnes tiek sauktas par pamatnēm. Paralēlskaldnis var būt vairāku veidu. Atšķirības ir saistītas ar leņķiem starp blakus esošajām malām. Formulas dažādu daudzstūru Vs atrašanai nedaudz atšķiras.
Ja ģeometriskas figūras 6 skaldnes ir taisnstūri, tad to sauc arī par taisnstūri. Kubs ir īpašs gadījums paralēlskaldnis, kurā visas 6 skaldnes ir vienādi kvadrāti. Šajā gadījumā, lai atrastu V, jums ir jānoskaidro tikai vienas malas garums un jāpalielina tā uz trešo pakāpi.
Lai atrisinātu problēmas, jums būs nepieciešamas zināšanas ne tikai par gatavām formulām, bet arī par figūras īpašībām. Taisnstūra prizmas pamatīpašību saraksts ir mazs un ļoti viegli saprotams:
- Attēla pretējās malas ir vienādas un paralēlas. Tas nozīmē, ka pretī esošās ribas garumā un slīpuma leņķī ir vienādas.
- Visas labā paralēlskaldņa sānu malas ir taisnstūri.
- Ģeometriskas figūras četras galvenās diagonāles krustojas vienā punktā un ar to tiek dalītas uz pusēm.
- Paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar figūras izmēru kvadrātu summu (seko no Pitagora teorēmas).
Pitagora teorēma nosaka, ka taisnleņķa trijstūra malās uzbūvēto kvadrātu laukumu summa ir vienāda ar trijstūra laukumu, kas uzbūvēts uz tā paša trīsstūra hipotenūzas.
Pēdējā īpašuma pierādījums ir redzams zemāk esošajā attēlā. Problēmas risināšanas process ir vienkāršs un neprasa detalizētus paskaidrojumus.
Taisnstūra paralēlskaldņa tilpuma formula
Formula visu veidu ģeometrisko figūru atrašanai ir vienāda: V=S*h, kur V ir nepieciešamais tilpums, S ir paralēlskaldņa pamatnes laukums, h ir augstums, kas nolaists no pretējās virsotnes un perpendikulāri pamatnei. Taisnstūrī h sakrīt ar vienu no figūras malām, tāpēc, lai atrastu taisnstūra prizmas tilpumu, jums jāreizina trīs dimensijas.
Tilpumu parasti izsaka cm3. Zinot visas trīs a, b un c vērtības, skaitļa tilpuma atrašana nepavisam nav grūta. Visizplatītākā problēma vienotajā valsts eksāmenā ir paralēlskaldņa tilpuma vai diagonāles atrašana. Atrisiniet daudzas tipiskas Vienoto valsts eksāmenu uzdevumi Tas nav iespējams bez taisnstūra tilpuma formulas. Uzdevuma piemērs un tā risinājuma dizains ir parādīts attēlā zemāk.
1. piezīme. Taisnstūra prizmas virsmas laukumu var atrast, reizinot ar 2 figūras trīs skaldņu laukumu summu: pamatne (ab) un divas blakus esošās sānu virsmas (bc + ac).
2. piezīme. Sānu virsmu virsmas laukumu var viegli noteikt, reizinot pamatnes perimetru ar paralēlskaldņa augstumu.
Pamatojoties uz paralēlskaldņu pirmo īpašību AB = A1B1 un skaldnes B1D1 = BD. Saskaņā ar Pitagora teorēmas secinājumiem visu leņķu summa iekšā taisnleņķa trīsstūris ir vienāds ar 180°, un kāja, kas atrodas pretī 30° leņķim, ir vienāda ar hipotenūzu. Lietojot šīs zināšanas trijstūrim, mēs varam viegli atrast malu AB un AD garumu. Tad mēs reizinām iegūtās vērtības un aprēķinām paralēlskaldņa tilpumu.
Formula slīpa paralēlskaldņa tilpuma atrašanai
Lai atrastu slīpā paralēlskaldņa tilpumu, figūras pamatnes laukums jāreizina ar augstumu, kas no pretējā stūra nolaists līdz dotajai pamatnei.
Tādējādi nepieciešamo V var attēlot h formā - lapu skaits ar pamatplatību S, tātad klāja tilpums sastāv no visu kāršu Vs.
Problēmu risināšanas piemēri
Vienotā eksāmena uzdevumi jāizpilda noteiktā laikā. Tipiski uzdevumi, kā likums, nesatur liels daudzums aprēķini un kompleksās daļas. Bieži studentam tiek jautāts, kā atrast neregulāras ģeometriskas figūras tilpumu. Šādos gadījumos jums vajadzētu atcerēties vienkāršu noteikumu, ka kopējais tilpums ir vienāds ar sastāvdaļu V summu.
Kā redzams no piemēra attēlā iepriekš, šādu problēmu risināšanā nav nekā sarežģīta. Uzdevumiem no sarežģītākām sadaļām ir jāzina Pitagora teorēma un tās sekas, kā arī figūras diagonāles garuma formula. Lai veiksmīgi atrisinātu testa uzdevumus, pietiek iepriekš iepazīties ar tipisku problēmu paraugiem.
Izmēriet visus nepieciešamos attālumus metros. Daudzu trīsdimensiju figūru apjomu var viegli aprēķināt, izmantojot atbilstošās formulas. Tomēr visas vērtības, kas aizvietotas formulās, jāmēra metros. Tāpēc pirms vērtību pievienošanas formulai pārliecinieties, vai tās visas ir mērītas metros vai esat pārveidojis citas mērvienības metros.
- 1 mm = 0,001 m
- 1 cm = 0,01 m
- 1 km = 1000 m
Lai aprēķinātu taisnstūrveida figūru (kubs, kubs) tilpumu, izmantojiet formulu: tilpums = L × W × H(garums reiz platums reiz augstums). Šo formulu var uzskatīt par vienas figūras virsmas laukuma un tai perpendikulāras malas reizinājumu.
- Piemēram, aprēķināsim telpas tilpumu, kuras garums ir 4 m, platums 3 m un augstums 2,5 m. Lai to izdarītu, vienkārši reiziniet garumu ar platumu un augstumu:
- 4 × 3 × 2,5
- = 12 × 2,5
- = 30. Šīs telpas tilpums ir 30 m 3.
- Kubs ir trīsdimensiju figūra, kuras visas malas ir vienādas. Tādējādi kuba tilpuma aprēķināšanas formulu var uzrakstīt šādi: tilpums = L 3 (vai W 3, vai H 3).
Lai aprēķinātu figūru tilpumu cilindra formā, izmantojiet formulu: pi× R 2 × H. Aprēķinot cilindra tilpumu, apļveida pamatnes laukums tiek reizināts ar cilindra augstumu (vai garumu). Atrodiet apļa pamatnes laukumu, reizinot pi (3.14) ar apļa rādiusa kvadrātu (R) (rādiuss ir attālums no apļa centra līdz jebkuram punktam, kas atrodas uz šī apļa). Pēc tam reiziniet rezultātu ar cilindra augstumu (H), un jūs atradīsiet cilindra tilpumu. Visas vērtības mēra metros.
- Piemēram, aprēķināsim urbuma tilpumu ar diametru 1,5 m un dziļumu 10 m. Sadaliet diametru ar 2, lai iegūtu rādiusu: 1,5/2 = 0,75 m.
- (3,14) × 0,75 2 × 10
- = (3,14) × 0,5625 × 10
- = 17,66. Akas tilpums ir 17,66 m 3.
Lai aprēķinātu bumbiņas tilpumu, izmantojiet formulu: 4/3 x pi× R 3 . Tas ir, jums jāzina tikai bumbiņas rādiuss (R).
- Piemēram, aprēķināsim skaļumu gaisa balons ar diametru 10 m. Sadaliet diametru ar 2, lai iegūtu rādiusu: 10/2=5 m.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 x (3,14) × 125
- = 4,189 × 125
- = 523,6. Balona tilpums ir 523,6 m 3.
Lai aprēķinātu konusa formas figūru tilpumu, izmantojiet formulu: 1/3 x pi× R 2 × H. Konusa tilpums ir vienāds ar 1/3 no cilindra tilpuma, kam ir vienāds augstums un rādiuss.
- Piemēram, aprēķināsim saldējuma konusa tilpumu ar rādiusu 3 cm un augstumu 15 cm Pārrēķinot metros, iegūstam: attiecīgi 0,03 m un 0,15 m.
- 1/3 x (3,14) × 0,03 2 × 0,15
- = 1/3 x (3,14) × 0,0009 × 0,15
- = 1/3 × 0,0004239
- = 0,000141. Saldējuma konusa tilpums ir 0,000141 m3.
Lai aprēķinātu neregulāru formu apjomu, izmantojiet vairākas formulas. Lai to izdarītu, mēģiniet sadalīt figūru vairākās pareizas formas figūrās. Pēc tam atrodiet katra šāda attēla apjomu un saskaitiet rezultātus.
- Piemēram, aprēķināsim nelielas klēts tilpumu. Noliktavai ir cilindrisks korpuss ar augstumu 12 m un rādiusu 1,5 m Noliktavai ir arī konisks jumts ar augstumu 1 m Aprēķinot jumta tilpumu atsevišķi un korpusa tilpumu atsevišķi, mēs var atrast kopējo klēts tilpumu:
- pi × R 2 × H + 1/3 × pi × R 2 × H
- (3,14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 x (3,14) × 1,5 2 × 1
- = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 × (3,14) × 2,25 × 1
- = (3,14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
- = 84,822 + 2,356
- = 87,178. Noliktavas tilpums ir vienāds ar 87,178 m 3.
Videokursā “Saņem A” ir iekļautas visas veiksmīgai tēmai nokārtojot vienoto valsts eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visas problēmas 1-13 Profila vienotais valsts eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa nepieciešamā teorija. Ātri veidi Vienotā valsts eksāmena risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Vizuāls skaidrojums sarežģīti jēdzieni. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.
Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.
Un senie ēģiptieši izmantoja metodes dažādu figūru laukumu aprēķināšanai, līdzīgas mūsu metodēm.
Manās grāmatās "Sākums" slavenais sengrieķu matemātiķis Eiklīds aprakstīja diezgan liels skaitlis metodes daudzu ģeometrisku figūru laukumu aprēķināšanai. Pirmie manuskripti Krievijā, kas satur ģeometrisku informāciju, tika uzrakstīti 16. gadsimtā. Tie apraksta noteikumus dažādu formu figūru laukumu atrašanai.
Šodien ar palīdzību modernas metodes ar lielu precizitāti varat atrast jebkuras figūras laukumu.
Apskatīsim vienu no vienkāršākajām figūrām - taisnstūri - un tā laukuma atrašanas formulu.
Taisnstūra laukuma formula
Apskatīsim figūru (1. att.), kas sastāv no $8$ kvadrātiem ar malām $1$ cm. Viena kvadrāta laukumu ar malu $1$ cm sauc par kvadrātcentimetru un raksta $1\ cm^2 $.
Šī skaitļa laukums (1. att.) būs vienāds ar $8\cm^2$.
Figūras laukums, ko var sadalīt vairākos kvadrātos ar malu $1\ cm$ (piemēram, $p$), būs vienāds ar $p\ cm^2$.
Citiem vārdiem sakot, figūras laukums būs vienāds ar tik daudz $cm^2$, cik kvadrātos ar malu $1\ cm$ šo skaitli var sadalīt.
Aplūkosim taisnstūri (2. att.), kas sastāv no $3$ svītrām, no kurām katra ir sadalīta $5$ kvadrātos ar malu $1\ cm$. viss taisnstūris sastāv no $5\cdot 3=15$ šādiem kvadrātiem, un tā laukums ir $15\cm^2$.
1. attēls.
2. attēls.
Figūru laukumu parasti apzīmē ar burtu $S$.
Lai atrastu taisnstūra laukumu, tā garums jāreizina ar platumu.
Ja tā garumu apzīmējam ar burtu $a$ un platumu ar burtu $b$, tad taisnstūra laukuma formula izskatīsies šādi:
1. definīcija
Skaitļi tiek saukti vienāds ja, uzliekot viens otram, skaitļi sakrīt. Ir vienādi skaitļi vienādas platības un vienādi perimetri.
Figūras laukumu var atrast kā tās daļu laukumu summu.
1. piemērs
Piemēram, attēlā $3$ taisnstūris $ABCD$ ir sadalīts divās daļās ar līniju $KLMN$. Vienas daļas laukums ir $12\ cm^2$, bet otras - $9\ cm^2$. Tad taisnstūra $ABCD$ laukums būs vienāds ar $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Atrodiet taisnstūra laukumu, izmantojot formulu:
Kā redzat, ar abām metodēm atrastās platības ir vienādas.
3. attēls.
4. attēls.
Līnijas segments $AC$ sadala taisnstūri divos vienādos trīsstūros: $ABC$ un $ADC$. Tas nozīmē, ka katra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no visa taisnstūra laukuma.
2. definīcija
Taisnstūris ar vienādas puses sauca kvadrāts.
Ja kvadrāta malu apzīmējam ar burtu $a$, tad kvadrāta laukums tiks atrasts pēc formulas:
Līdz ar to skaitļa $a$ nosaukuma kvadrāts.
2. piemērs
Piemēram, ja kvadrāta mala ir $5$ cm, tad tā laukums ir:
Apjomi
Attīstoties tirdzniecībai un celtniecībai jau seno civilizāciju laikos, radās nepieciešamība atrast apjomus. Matemātikā ir ģeometrijas nozare, kas nodarbojas ar telpisko figūru izpēti, ko sauc par stereometriju. Šīs atsevišķās matemātikas nozares pieminēšana tika atrasta jau $IV$ gadsimtā pirms mūsu ēras.
Senie matemātiķi izstrādāja metodi vienkāršu figūru - kuba un paralēlskaldņa - tilpuma aprēķināšanai. Visas to laiku ēkas bija šādas formas. Bet vēlāk tika atrastas metodes, kā aprēķināt sarežģītāku formu figūru apjomu.
Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums
Ja jūs piepildāt veidni ar mitrām smiltīm un pēc tam apgriežat to otrādi, jūs saņemsiet trīsdimensiju figūra, kam raksturīgs apjoms. Ja jūs izveidojat vairākas šādas figūras, izmantojot vienu un to pašu veidni, jūs iegūsit figūras ar vienādu tilpumu. Ja veidni piepildīsit ar ūdeni, tad arī ūdens tilpums un smilšu figūras tilpums būs vienādi.
5. attēls.
Jūs varat salīdzināt divu trauku tilpumus, piepildot vienu ar ūdeni un ielejot to otrajā traukā. Ja otrais trauks ir pilnībā piepildīts, tad traukiem ir vienādi tilpumi. Ja ūdens paliek pirmajā, tad pirmā trauka tilpums ir lielāks nekā otrā. Ja, lejot ūdeni no pirmā trauka, nav iespējams pilnībā piepildīt otro trauku, tad pirmā trauka tilpums ir mazāks par otrā.
Tilpumu mēra, izmantojot šādas vienības:
$mm^3$ — kubikmilimetrs,
$cm^3$ — kubikcentimetrs,
$dm^3$ — kubikdecimetrs,
$m^3$ — kubikmetrs,
$km^3$ -- kubikkilometrs.
Notiek ielāde...