Кој е коренот на квадратната равенка? Решавање квадратни равенки, коренска формула, примери

Некои проблеми во математиката бараат способност да се пресмета вредноста на квадратниот корен. Таквите проблеми вклучуваат решавање равенки од втор ред. Во оваа статија ќе презентираме ефективен методпресметки квадратни корении користете го при работа со формули за корени на квадратна равенка.

Што е квадратен корен?

Во математиката, овој концепт одговара на симболот √. Историските податоци велат дека за прв пат бил употребен околу првата половина на 16 век во Германија (првото германско дело за алгебра од Кристоф Рудолф). Научниците веруваат дека наведениот симбол е трансформиран Латинска буква r (радикс значи „корен“ на латински).

Коренот на кој било број е еднаков на вредноста чиј квадрат одговара на радикалниот израз. На јазикот на математиката, оваа дефиниција ќе изгледа вака: √x = y, ако y 2 = x.

Коренот на позитивен број (x > 0) е исто така позитивен број (y > 0), но ако го земете коренот на негативен број (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Еве два едноставни примери:

√9 = 3, бидејќи 3 2 = 9; √(-9) = 3i, бидејќи i 2 = -1.

Хероновата итеративна формула за пронаоѓање на вредностите на квадратните корени

Горенаведените примери се многу едноставни, а пресметувањето на корените во нив не е тешко. Почнуваат да се појавуваат тешкотии при наоѓање коренски вредности за која било вредност што не може да се претстави како квадрат природен број, на пример √10, √11, √12, √13, а да не зборуваме за фактот дека во пракса е неопходно да се најдат корени за нецелобројни броеви: на пример √(12,15), √(8,5) и така натаму.

Во сите горенаведени случаи, треба да се користи посебен метод за пресметување на квадратниот корен. Во моментов, познати се неколку такви методи: на пример, проширување на серијата Тејлор, поделба на колони и некои други. Од сите познати методиМожеби наједноставниот и најефективниот е да се користи итеративната формула на Херон, која е позната и како вавилонски метод за одредување квадратни корени (постојат докази дека античките Вавилонци го користеле во нивните практични пресметки).

Нека биде неопходно да се одреди вредноста на √x. Формулата за наоѓање на квадратен корен е следен поглед:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), каде што lim n->∞ (a n) => x.

Ајде да ја дешифрираме оваа математичка нотација. За да пресметате √x, треба да земете одреден број a 0 (може да биде произволен, но за брзо да го добиете резултатот, треба да го изберете така што (a 0) 2 е што е можно поблиску до x. Потоа заменете го во означена формула за пресметување на квадратен корен и да се добие нов број a 1, кој веќе ќе биде поблиску до саканата вредност По ова, потребно е да се замени 1 во изразот и да се добие 2. Оваа постапка треба да се повтори додека. се добива потребната точност.

Пример за користење на итеративната формула на Херон

Алгоритмот опишан погоре за добивање на квадратен корен на даден број може да звучи прилично комплициран и збунувачки за многумина, но во реалноста сè се покажува многу поедноставно, бидејќи оваа формула се конвергира многу брзо (особено ако се избере успешен број a 0) .

Да дадеме едноставен пример: треба да пресметате √11. Ајде да избереме 0 = 3, бидејќи 3 2 = 9, што е поблиску до 11 отколку 4 2 = 16. Заменувајќи во формулата, добиваме:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Нема смисла да се продолжи со пресметките, бидејќи откривме дека 2 и 3 почнуваат да се разликуваат само на 5-то децимално место. Така, беше доволно да се примени формулата само 2 пати за да се пресмета √11 со точност од 0,0001.

Во денешно време, калкулаторите и компјутерите се широко користени за пресметување на корените, меѓутоа, корисно е да се запамети означената формула за да може рачно да се пресмета нивната точна вредност.

Равенки од втор ред

Разбирањето што е квадратен корен и способноста за негово пресметување се користи при решавање на квадратни равенки. Овие равенки се нарекуваат еднаквости со една непозната, чија општа форма е прикажана на сликата подолу.

Овде c, b и a претставуваат некои броеви, а a не смее да биде еднаква на нула, а вредностите на c и b можат да бидат целосно произволни, вклучително и еднакви на нула.

Сите вредности на x што ја задоволуваат еднаквоста наведена на сликата се нарекуваат негови корени (овој концепт не треба да се меша со квадратниот корен √). Бидејќи равенката што се разгледува е од втор ред (x 2), тогаш не може да има повеќе од два корени за неа. Ајде да погледнеме понатаму во статијата како да ги пронајдеме овие корени.

Наоѓање на корените на квадратна равенка (формула)

Овој метод на решавање на видот на еднаквостите што се разгледуваат уште се нарекува и универзален метод, или метод на дискриминација. Може да се користи за какви било квадратни равенки. Формулата за дискриминација и корените на квадратната равенка е следна:

Тоа покажува дека корените зависат од вредноста на секој од трите коефициенти на равенката. Покрај тоа, пресметката на x 1 се разликува од пресметката на x 2 само со знакот пред квадратниот корен. Радикалниот израз, кој е еднаков на b 2 - 4ac, не е ништо повеќе од дискриминатор на односната еднаквост. Дискриминаторот во формулата за корените на квадратната равенка игра важна улога бидејќи го одредува бројот и видот на решенијата. Значи, ако е еднакво на нула, тогаш ќе има само едно решение, ако е позитивно, тогаш равенката има два реални корени, и на крајот, негативната дискриминантна води до два сложени корени x 1 и x 2.

Теорема на Виета или некои својства на корените на равенките од втор ред

На крајот на 16 век, еден од основачите на модерната алгебра, Французин, кој ги проучувал равенките од втор ред, можел да ги добие својствата на нејзините корени. Математички тие можат да бидат напишани вака:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

Двете еднаквости може лесно да ги добие секој за да го направи тоа, само треба да ги извршите соодветните математички операции со корените добиени преку формулата со дискриминаторот.

Комбинацијата на овие два изрази со право може да се нарече втората формула за корените на квадратната равенка, што овозможува да се погодат нејзините решенија без користење на дискриминатор. Овде треба да се забележи дека иако и двата израза се секогаш валидни, погодно е да се користат за решавање на равенката само ако може да се факторизира.

Задача за консолидирање на стекнатото знаење

Ајде да решиме математички проблем во кој ќе ги демонстрираме сите техники што се дискутирани во статијата. Условите на проблемот се следни: треба да најдете два броја за кои производот е -13, а збирот е 4.

Овој услов веднаш не потсетува на теоремата на Виета, користејќи ги формулите за збир на квадратни корени и нивниот производ, пишуваме:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Ако претпоставиме дека a = 1, тогаш b = -4 и c = -13. Овие коефициенти ни овозможуваат да создадеме равенка од втор ред:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Ајде да ја користиме формулата со дискриминаторот и да ги добиеме следните корени:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Односно, проблемот се сведе на пронаоѓање на бројот √68. Забележете дека 68 = 4 * 17, а потоа, користејќи го својството на квадратен корен, добиваме: √68 = 2√17.

Сега да ја користиме формулата за разгледување квадратен корен: a 0 = 4, а потоа:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Нема потреба да се пресметува 3, бидејќи пронајдените вредности се разликуваат само за 0,02. Така, √68 = 8,246. Заменувајќи го во формулата за x 1,2, добиваме:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Како што можеме да видиме, збирот на пронајдените броеви е навистина еднаков на 4, но ако го најдеме нивниот производ, тогаш тој ќе биде еднаков на -12,999, што ги задоволува условите на проблемот со точност од 0,001.

Продолжуваме да ја проучуваме темата “ решавање равенки" Веќе се запознавме со линеарни равенки и продолжуваме кон запознавање квадратни равенки.

Прво, ќе погледнеме што е квадратна равенка, како е напишана во општа форма и ќе дадеме сродни дефиниции. По ова, ќе користиме примери за детално да испитаме како се решаваат нецелосните квадратни равенки. Следно, ќе преминеме на решавање на целосни равенки, ќе ја добиеме коренската формула, ќе се запознаеме со дискриминантата на квадратна равенка и ќе разгледаме решенија за типични примери. Конечно, да ги следиме врските помеѓу корените и коефициентите.

Навигација на страницата.

Што е квадратна равенка? Нивните типови

Прво треба јасно да разберете што е квадратна равенка. Затоа, логично е да се започне разговор за квадратни равенки со дефиниција на квадратна равенка, како и сродни дефиниции. По ова, можете да ги разгледате главните типови квадратни равенки: намалени и ненамалени, како и целосни и нецелосни равенки.

Дефиниција и примери на квадратни равенки

Дефиниција.

Квадратна равенкае равенка на формата a x 2 +b x+c=0, каде што x е променлива, a, b и c се некои броеви, а a е не-нула.

Веднаш да кажеме дека квадратните равенки често се нарекуваат равенки од втор степен. Ова се должи на фактот дека квадратната равенка е алгебарска равенкавтор степен.

Наведената дефиниција ни овозможува да дадеме примери на квадратни равенки. Значи 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, итн. Ова се квадратни равенки.

Дефиниција.

Броеви а, б и в се нарекуваат коефициенти на квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0, а коефициентот a се нарекува прв, или највисок, или коефициент од x 2, b е вториот коефициент, или коефициентот x, а c е слободен член .

На пример, да земеме квадратна равенка од формата 5 x 2 −2 x −3=0, овде водечкиот коефициент е 5, вториот коефициент е еднаков на −2, а слободниот член е еднаков на −3. Ве молиме имајте предвид дека кога коефициентите b и/или c се негативни, како во штотуку дадениот пример, кратката форма на квадратната равенка е 5 x 2 −2 x−3=0, наместо 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Вреди да се напомене дека кога коефициентите a и/или b се еднакви на 1 или −1, тие обично не се експлицитно присутни во квадратната равенка, што се должи на особеностите на пишувањето на таквите . На пример, во квадратната равенка y 2 −y+3=0 водечкиот коефициент е еден, а коефициентот на y е еднаков на −1.

Намалени и ненамалени квадратни равенки

Во зависност од вредноста на водечкиот коефициент, се разликуваат намалени и ненамалени квадратни равенки. Да ги дадеме соодветните дефиниции.

Дефиниција.

Се нарекува квадратна равенка во која водечкиот коефициент е 1 дадена квадратна равенка. Инаку, квадратната равенка е недопрена.

Според оваа дефиниција, квадратни равенки x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 итн. – дадено, во секоја од нив првиот коефициент е еднаков на еден. A 5 x 2 −x−1=0, итн. - ненамалени квадратни равенки, нивните водечки коефициенти се различни од 1.

Од секоја ненамалена квадратна равенка, со делење на двете страни со водечкиот коефициент, можете да отидете на намалениот. Ова дејство е еквивалентна трансформација, односно намалената квадратна равенка добиена на овој начин ги има истите корени како и првобитната нередуцирана квадратна равенка или, како неа, нема корени.

Да погледнеме пример како се врши преминот од ненамалена квадратна равенка во намалена.

Пример.

Од равенката 3 x 2 +12 x−7=0 се оди на соодветната намалена квадратна равенка.

Решение.

Треба само да ги поделиме двете страни на првобитната равенка со водечкиот коефициент 3, тој не е нула, за да можеме да ја извршиме оваа акција. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, што е исто, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, а потоа (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, од каде . Така ја добивме редуцираната квадратна равенка која е еквивалентна на првобитната.

Одговор:

Целосни и нецелосни квадратни равенки

Дефиницијата за квадратна равенка го содржи условот a≠0. Овој услов е неопходен така што равенката a x 2 + b x + c = 0 е квадратна, бидејќи кога a = 0 таа всушност станува линеарна равенка од формата b x + c = 0.

Што се однесува до коефициентите b и c, тие можат да бидат еднакви на нула, и поединечно и заедно. Во овие случаи, квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција.

Се нарекува квадратната равенка a x 2 +b x+c=0 нецелосни, ако барем еден од коефициентите b, c е еднаков на нула.

За возврат

Дефиниција.

Целосна квадратна равенкае равенка во која сите коефициенти се различни од нула.

Ваквите имиња не биле случајно дадени. Ова ќе стане јасно од следните дискусии.

Ако коефициентот b е нула, тогаш квадратната равенка добива форма a·x 2 +0·x+c=0, и е еквивалентна на равенката a·x 2 +c=0. Ако c=0, односно квадратната равенка има форма a·x 2 +b·x+0=0, тогаш може да се препише како a·x 2 +b·x=0. И со b=0 и c=0 ја добиваме квадратната равенка a·x 2 =0. Добиените равенки се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат ниту член со променливата x, ниту слободен член, ниту и двете. Оттука и нивното име - нецелосни квадратни равенки.

Значи равенките x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0,2=0 се примери за целосни квадратни равенки, и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 се нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Од информациите во претходниот став произлегува дека постои три вида нецелосни квадратни равенки:

a·x 2 =0, на него одговараат коефициентите b=0 и c=0;
a x 2 +c=0 кога b=0 ;
и a·x 2 +b·x=0 кога c=0.

Да испитаме по ред како се решаваат нецелосните квадратни равенки на секој од овие типови.

a x 2 =0

Да започнеме со решавање на нецелосни квадратни равенки во кои коефициентите b и c се еднакви на нула, односно со равенки од формата a x 2 =0. Равенката a·x 2 =0 е еквивалентна на равенката x 2 =0, која се добива од оригиналот со делење на двата дела со ненула број a. Очигледно, коренот на равенката x 2 =0 е нула, бидејќи 0 2 =0. Оваа равенка нема други корени, што се објаснува со фактот дека за секој ненулти број p важи неравенката p 2 >0, што значи дека за p≠0 никогаш не се постигнува еднаквоста p 2 =0.

Значи, нецелосната квадратна равенка a·x 2 =0 има еден корен x=0.

Како пример го даваме решението на нецелосната квадратна равенка −4 x 2 =0. Тоа е еквивалентно на равенката x 2 =0, нејзиниот единствен корен е x=0, затоа, првобитната равенка има единствен корен нула.

Кратко решение во овој случај може да се напише на следниов начин:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Сега да погледнеме како се решаваат нецелосни квадратни равенки во кои коефициентот b е нула и c≠0, односно равенки од формата a x 2 +c=0. Знаеме дека поместувањето на член од едната страна на равенката на друга со спротивен знак, како и со делење на двете страни на равенката со ненула број се добива еквивалентна равенка. Затоа, можеме да ги извршиме следните еквивалентни трансформации на нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0:

поместете го c на десната страна, што ја дава равенката a x 2 =−c,
и поделете ги двете страни со a, добиваме .

Добиената равенка ни овозможува да извлечеме заклучоци за нејзините корени. Во зависност од вредностите на a и c, вредноста на изразот може да биде негативна (на пример, ако a=1 и c=2, тогаш ) или позитивна (на пример, ако a=−2 и c=6, тогаш ), не е нула, бидејќи по услов c≠0. Одделно ќе ги анализираме случаите и.

Ако , тогаш равенката нема корени. Оваа изјава произлегува од фактот дека квадратот на кој било број е ненегативен број. Од ова произлегува дека кога , тогаш за кој било број p еднаквоста не може да биде вистина.

Ако , тогаш ситуацијата со корените на равенката е различна. Во овој случај, ако се сетиме за , тогаш коренот на равенката веднаш станува очигледен тоа е бројот, бидејќи . Лесно е да се погоди дека бројот е исто така коренот на равенката, навистина, . Оваа равенка нема други корени, што може да се покаже, на пример, со контрадикција. Ајде да го направиме тоа.

Да ги означиме корените на равенката штотуку објавена како x 1 и −x 1 . Да претпоставиме дека равенката има уште еден корен x 2, различен од наведените корени x 1 и −x 1. Познато е дека заменувањето на неговите корени во равенка наместо x ја претвора равенката во правилна нумеричка равенка. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Својствата на нумеричките еднаквости ни овозможуваат да извршиме одземање по член на точни нумерички равенства, па со одземање на соодветните делови од равенствата се добива x 1 2 −x 2 2 =0. Својствата на операциите со броеви ни овозможуваат да ја преработиме добиената еднаквост како (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Знаеме дека производот на два броја е еднаков на нула ако и само ако барем еден од нив е еднаков на нула. Според тоа, од добиената еднаквост следува дека x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0, што е исто, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1. Така, дојдовме до контрадикција, бидејќи на почетокот рековме дека коренот на равенката x 2 е различен од x 1 и −x 1. Ова докажува дека равенката нема други корени освен и .

Дозволете ни да ги сумираме информациите во овој пасус. Нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0 е еквивалентна на равенката која

нема корени ако,
има два корени и ако .

Да разгледаме примери за решавање на нецелосни квадратни равенки од формата a·x 2 +c=0.

Да почнеме со квадратната равенка 9 x 2 +7=0. По поместување на слободниот член на десната страна од равенката, тој ќе добие форма 9 x 2 =−7. Поделувајќи ги двете страни на добиената равенка со 9, доаѓаме до. Бидејќи на десната страна испадна негативен број, тогаш оваа равенка нема корени, затоа, првобитната нецелосна квадратна равенка 9 x 2 +7=0 нема корени.

Да решиме уште една нецелосна квадратна равенка −x 2 +9=0. Ја поместуваме деветката на десната страна: −x 2 =−9. Сега ги делиме двете страни со −1, добиваме x 2 =9. На десната страна има позитивен број, од кој заклучуваме дека или . Потоа го запишуваме конечниот одговор: нецелосната квадратна равенка −x 2 +9=0 има два корени x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Останува да се занимаваме со решението на последниот тип на нецелосни квадратни равенки за c=0. Нецелосните квадратни равенки од формата a x 2 + b x = 0 ви овозможуваат да решите метод на факторизација. Очигледно, можеме, сместени на левата страна на равенката, за што е доволно да го извадиме заедничкиот фактор x од заградите. Ова ни овозможува да преминеме од првичната нецелосна квадратна равенка на еквивалентна равенка од формата x·(a·x+b)=0. И оваа равенка е еквивалентна на множество од две равенки x=0 и a·x+b=0, од кои последната е линеарна и има корен x=−b/a.

Значи, нецелосната квадратна равенка a·x 2 +b·x=0 има два корени x=0 и x=−b/a.

За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете ја равенката.

Решение.

Со вадење на x од загради се добива равенката . Тоа е еквивалентно на две равенки x=0 и . Добиената линеарна равенка ја решаваме: , и мешаниот број го делиме со заедничка дропка, ние најдовме . Според тоа, корените на првобитната равенка се x=0 и .

По стекнувањето на потребната пракса, решенијата за ваквите равенки може да се напишат накратко:

Одговор:

x=0,.

Дискриминантна, формула за корени на квадратна равенка

За решавање на квадратни равенки, постои коренска формула. Ајде да го запишеме формула за корени на квадратна равенка: , Каде D=b 2 −4 a c- т.н дискриминатор на квадратна равенка. Влезот во суштина значи дека .

Корисно е да се знае како е изведена коренската формула и како се користи за наоѓање на корените на квадратните равенки. Ајде да го сфатиме ова.

Изведување на формулата за корените на квадратна равенка

Дозволете ни да ја решиме квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0. Ајде да извршиме некои еквивалентни трансформации:

Можеме да ги поделиме двете страни на оваа равенка со ненула број a, што ќе резултира со следната квадратна равенка.
Сега изберете целосен квадратна неговата лева страна: . После ова, равенката ќе добие форма.
Во оваа фаза, можно е да ги пренесеме последните два члена на десната страна со спротивен знак, имаме .
И да го трансформираме изразот на десната страна: .

Како резултат на тоа, доаѓаме до равенка која е еквивалентна на првобитната квадратна равенка a·x 2 +b·x+c=0.

Ние веќе решивме равенки слични по форма во претходните параграфи, кога испитувавме. Ова ви овозможува да направите следните заклучоциво врска со корените на равенката:

ако , тогаш равенката нема реални решенија;
ако , тогаш равенката ја има формата, значи, , од која е видлив нејзиниот единствен корен;
ако , тогаш или , што е исто како или , односно равенката има два корени.

Така, присуството или отсуството на корените на равенката, а со тоа и на првобитната квадратна равенка, зависи од знакот на изразот на десната страна. За возврат, знакот на овој израз се одредува со знакот на броителот, бидејќи именителот 4 a 2 е секогаш позитивен, односно знакот на изразот b 2 −4 a c. Овој израз b 2 −4 a c беше наречен дискриминатор на квадратна равенкаи означени со писмото Д. Оттука е јасна суштината на дискриминаторот - врз основа на неговата вредност и знак, заклучуваат дали квадратната равенка има вистински корени, и ако има, колкав е нивниот број - еден или два.

Да се вратиме на равенката и да ја преработиме користејќи ја дискриминаторната нотација: . И ние извлекуваме заклучоци:

ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ако D=0, тогаш оваа равенка има еден корен;
конечно, ако D>0, тогаш равенката има два корени или, кои може да се препишат во форма или, и откако ќе ги прошириме и ги доведеме дропките до заеднички именител добиваме.

Така, ги изведовме формулите за корените на квадратната равенка, тие изгледаат како , каде што дискриминантата D се пресметува со формулата D=b 2 −4·a·c.

Со нивна помош, со позитивна дискриминаторна, можете да ги пресметате двата реални корени на квадратна равенка. Кога дискриминаторот е еднаков на нула, двете формули ја даваат истата вредност на коренот, што одговара на единственото решение на квадратната равенка. И со негативна дискриминаторка, кога се обидуваме да ја искористиме формулата за корените на квадратна равенка, се соочуваме со извлекување на квадратен корен на негативен број, што не носи надвор од опсегот и училишна наставна програма. Со негативна дискриминанта, квадратната равенка нема вистински корени, туку има пар комплексен конјугаткорени, кои може да се најдат со користење на истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со помош на коренски формули

Во пракса, кога решавате квадратни равенки, можете веднаш да ја користите коренската формула за да ги пресметате нивните вредности. Но, ова е повеќе поврзано со наоѓање сложени корени.

Меѓутоа, во училишниот курс за алгебра обично не зборуваме за сложени, туку за вистински корени на квадратна равенка. Во овој случај, препорачливо е, пред да ги користите формулите за корените на квадратната равенка, прво да го пронајдете дискриминаторот, да бидете сигурни дека е ненегативен (во спротивно, можеме да заклучиме дека равенката нема вистински корени). и само тогаш пресметајте ги вредностите на корените.

Горенаведеното расудување ни дозволува да пишуваме алгоритам за решавање на квадратна равенка. За да ја решите квадратната равенка a x 2 +b x+c=0, потребно е:

користејќи ја формулата за дискриминација D=b 2 −4·a·c, пресметај ја нејзината вредност;
заклучи дека квадратната равенка нема вистински корени ако дискриминантата е негативна;
пресметај го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата ако D=0;
најдете два реални корени на квадратна равенка користејќи ја коренската формула ако дискриминантата е позитивна.

Овде само забележуваме дека ако дискриминаторот е еднаков на нула, можете да ја користите и формулата таа ќе ја даде истата вредност како .

Можете да преминете на примери за користење на алгоритам за решавање на квадратни равенки.

Примери за решавање на квадратни равенки

Да разгледаме решенија за три квадратни равенки со позитивна, негативна и нулта дискриминантна. Откако се занимававме со нивното решение, по аналогија ќе биде можно да се реши која било друга квадратна равенка. Да почнеме.

Пример.

Најдете ги корените на равенката x 2 +2·x−6=0.

Решение.

Во овој случај ги имаме следните коефициенти на квадратната равенка: a=1, b=2 и c=−6. Според алгоритмот, прво треба да ја пресметате дискриминаторот за да го направите ова, ги заменуваме наведените a, b и c во формулата за дискриминација, што ја имаме D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Бидејќи 28>0, односно дискриминантата е поголема од нула, квадратната равенка има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја коренската формула, добиваме , тука можете да ги поедноставите добиените изрази со правење поместување на мултипликаторот надвор од коренскиот знакпроследено со намалување на фракцијата:

Одговор:

Да преминеме на следниот типичен пример.

Пример.

Решете ја квадратната равенка −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започнуваме со наоѓање на дискриминаторот: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Според тоа, оваа квадратна равенка има еден корен, кој го наоѓаме како , т.е.

Одговор:

x=3,5.

Останува да размислиме за решавање на квадратни равенки со негативна дискриминантна.

Пример.

Решете ја равенката 5·y 2 +6·y+2=0.

Решение.

Еве ги коефициентите на квадратната равенка: a=5, b=6 и c=2. Ние ги заменуваме овие вредности во формулата за дискриминација, ја имаме D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминантата е негативна, затоа оваа квадратна равенка нема вистински корени.

Ако треба да наведете сложени корени, тогаш користете добро позната формулакорени на квадратна равенка и изврши операции со сложени броеви:

Одговор:

нема вистински корени, сложени корени се: .

Да забележиме уште еднаш дека ако дискриминантата на квадратна равенка е негативна, тогаш во училиште обично веднаш запишуваат одговор во кој укажуваат дека нема вистински корени, а не се наоѓаат сложени корени.

Корен формула за дури втори коефициенти

Формулата за корените на квадратната равенка, каде што D=b 2 −4·a·c ви овозможува да добиете формула со покомпактна форма, што ви овозможува да решавате квадратни равенки со парен коефициент за x (или едноставно со коефициент кој има форма 2·n, на пример, или 14· ln5=2·7·ln5 ). Ајде да ја извадиме.

Да речеме дека треба да решиме квадратна равенка од формата a x 2 +2 n x+c=0. Ајде да ги најдеме неговите корени користејќи ја формулата што ја знаеме. За да го направите ова, ја пресметуваме дискриминаторот D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), а потоа ја користиме коренската формула:

Да го означиме изразот n 2 −a c како D 1 (понекогаш се означува D "). Тогаш формулата за корените на квадратната равенка што се разгледува со вториот коефициент 2 n ќе ја добие формата , каде што D 1 =n 2 −a·c.

Лесно е да се види дека D=4·D 1, или D 1 =D/4. Со други зборови, D 1 е четвртиот дел од дискриминаторот. Јасно е дека знакот D 1 е ист како знакот D. Односно, знакот D 1 е исто така показател за присуство или отсуство на корени на квадратна равенка.

Значи, за да решите квадратна равенка со втор коефициент 2·n, ви треба

Пресметај D 1 =n 2 −a·c ;
Ако Д 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ако D 1 =0, тогаш пресметајте го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата;
Ако D 1 >0, тогаш пронајдете два вистински корени користејќи ја формулата.

Ајде да размислиме да го решиме примерот користејќи ја коренската формула добиена во овој став.

Пример.

Решете ја квадратната равенка 5 x 2 −6 x −32=0 .

Решение.

Вториот коефициент на оваа равенка може да се претстави како 2·(−3) . Односно, можете да ја преработите првобитната квадратна равенка во форма 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тука a=5, n=−3 и c=−32 и да го пресметате четвртиот дел од дискриминаторски: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Бидејќи неговата вредност е позитивна, равенката има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја соодветната формула за корен:

Забележете дека беше можно да се користи вообичаената формула за корените на квадратна равенка, но во овој случај ќе треба да се изврши повеќе пресметковна работа.

Одговор:

Поедноставување на формата на квадратни равенки

Понекогаш, пред да започнете да ги пресметувате корените на квадратната равенка користејќи формули, не е повредено да се постави прашањето: „Дали е можно да се поедностави формата на оваа равенка? Согласете се дека во однос на пресметките ќе биде полесно да се реши квадратната равенка 11 x 2 −4 x−6=0 отколку 1100 x 2 −400 x−600=0.

Вообичаено, поедноставувањето на формата на квадратна равенка се постигнува со множење или делење на двете страни со одреден број. На пример, во претходниот пасус беше можно да се поедностави равенката 1100 x 2 −400 x −600=0 со делење на двете страни со 100.

Слична трансформација се врши со квадратни равенки, чии коефициенти не се . Во овој случај, двете страни на равенката обично се поделени со апсолутните вредности на неговите коефициенти. На пример, да ја земеме квадратната равенка 12 x 2 −42 x+48=0. апсолутни вредности на неговите коефициенти: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Поделувајќи ги двете страни на првобитната квадратна равенка со 6, доаѓаме до еквивалентната квадратна равенка 2 x 2 −7 x+8=0.

И множењето на двете страни на квадратната равенка обично се прави за да се ослободиме од фракционите коефициенти. Во овој случај, множењето се врши со именители на неговите коефициенти. На пример, ако двете страни на квадратната равенка се помножат со LCM(6, 3, 1)=6, тогаш таа ќе добие поедноставен облик x 2 +4·x−18=0.

Како заклучок на оваа точка, забележуваме дека тие речиси секогаш се ослободуваат од минусот на највисокиот коефициент на квадратната равенка со менување на знаците на сите членови, што одговара на множење (или делење) на двете страни со -1. На пример, обично се поместува од квадратната равенка −2 x 2 −3 x+7=0 до решението 2 x 2 +3 x−7=0 .

Врска помеѓу корените и коефициентите на квадратна равенка

Формулата за корените на квадратната равенка ги изразува корените на равенката преку нејзините коефициенти. Врз основа на формулата на коренот, можете да добиете други врски помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатите и најприменливите формули од теоремата на Виета се од формата и . Конкретно, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член. На пример, гледајќи ја формата на квадратната равенка 3 x 2 −7 x + 22 = 0, веднаш можеме да кажеме дека збирот на неговите корени е еднаков на 7/3, а производот на корените е еднаков на 22 /3.

Користејќи ги веќе напишаните формули, можете да добиете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, збирот на квадратите на корените на квадратна равенка можете да го изразите преку неговите коефициенти: .

Библиографија.

Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за ученици образовните институции/ А. Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01155-2.

“, односно равенки од прв степен. Во оваа лекција ќе разгледаме што се нарекува квадратна равенкаи како да се реши.

Што е квадратна равенка?

Важно!

Степенот на равенката се одредува според највисокиот степен до кој стои непознатата.

Ако максималната моќност во која непознатата е „2“, тогаш имате квадратна равенка.

Примери на квадратни равенки

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Важно! Општата форма на квадратна равенка изгледа вака:

A x 2 + b x + c = 0

„а“, „б“ и „в“ се дадени броеви.

„а“ е првиот или највисокиот коефициент;
„б“ е вториот коефициент;
„c“ е бесплатен член.

За да ги најдете „а“, „б“ и „в“ треба да ја споредите вашата равенка со општата форма на квадратната равенка „секира 2 + bx + c = 0“.

Да вежбаме одредување на коефициентите „а“, „б“ и „в“ во квадратни равенки.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Равенката	Шансите
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Како да се решат квадратни равенки

За разлика од линеарните равенки, се користи посебен метод за решавање на квадратни равенки. формула за наоѓање корени.

Запомнете!

За да решите квадратна равенка ви треба:

сведете ја квадратната равенка на општ изглед„секира 2 + bx + c = 0“. Тоа е, само „0“ треба да остане на десната страна;
користете формула за корени:

Ајде да погледнеме пример како да се користи формулата за да се најдат корените на квадратната равенка. Ајде да решиме квадратна равенка.

X 2 − 3x − 4 = 0

Равенката „x 2 − 3x − 4 = 0“ е веќе сведена на општата форма „ax 2 + bx + c = 0“ и не бара дополнителни поедноставувања. За да го решиме, само треба да аплицираме формула за наоѓање корени на квадратна равенка.

Да ги одредиме коефициентите „а“, „б“ и „в“ за оваа равенка.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Може да се користи за решавање на која било квадратна равенка.

Во формулата „x 1;2 =“ радикалниот израз често се заменува
„b 2 − 4ac“ за буквата „D“ и се нарекува дискриминантна. Концептот на дискриминатор е подетално дискутиран во лекцијата „Што е дискриминатор“.

Ајде да погледнеме друг пример на квадратна равенка.

x 2 + 9 + x = 7x

Во оваа форма, доста е тешко да се одредат коефициентите „а“, „б“ и „в“. Ајде прво да ја намалиме равенката на општата форма „ax 2 + bx + c = 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Сега можете да ја користите формулата за корените.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

x = 3
Одговор: x = 3

Има моменти кога квадратните равенки немаат корени. Оваа ситуација се јавува кога формулата содржи негативен број под коренот.

Се надевам дека по проучувањето на оваа статија ќе научите како да ги пронајдете корените на целосна квадратна равенка.

Со помош на дискриминантот, се решаваат само целосни квадратни равенки за решавање на нецелосни квадратни равенки, се користат други методи кои ќе ги најдете во статијата „Решавање на нецелосни квадратни равенки“.

Кои квадратни равенки се нарекуваат целосни? Ова равенки од формата ax 2 + b x + c = 0, каде што коефициентите a, b и c не се еднакви на нула. Значи, за да решиме целосна квадратна равенка, треба да ја пресметаме дискриминантната D.

D = b 2 – 4ac.

Во зависност од вредноста на дискриминаторот, ќе го запишеме одговорот.

Ако дискриминаторот е негативен број (Д< 0),то корней нет.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш x = (-b)/2a. Кога дискриминаторот е позитивен број (D > 0),

тогаш x 1 = (-b - √D)/2a, и x 2 = (-b + √D)/2a.

На пример. Решете ја равенката x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Одговор: 2.

Решете ја равенката 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Одговор: нема корени.

Решете ја равенката 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Одговор: – 3,5; 1.

Значи, да го замислиме решението на целосните квадратни равенки користејќи го дијаграмот на Слика 1.

Користејќи ги овие формули, можете да решите која било целосна квадратна равенка. Само треба да внимавате на равенката е напишана како полином на стандардната форма

А x 2 + bx + c,во спротивно може да згрешите. На пример, при пишување на равенката x + 3 + 2x 2 = 0, може погрешно да одлучите дека

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогаш

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогаш равенката има два корени. И ова не е вистина. (Види решение за пример 2 погоре).

Според тоа, ако равенката не е напишана како полином на стандардната форма, прво мора да се запише целосната квадратна равенка како полином на стандардната форма (на прво место треба да дојде мономот со најголем експонент, т.е. А x 2 , потоа со помалку – bxа потоа и слободен член Со.

Кога ја решавате горната квадратна равенка и квадратна равенка со парен коефициент во вториот член, можете да користите други формули. Ајде да се запознаеме со овие формули. Ако во целосна квадратна равенка коефициентот на вториот член е парен (b = 2k), тогаш равенката може да ја решите користејќи ги формулите дадени на дијаграмот на слика 2.

Целосна квадратна равенка се нарекува намалена ако коефициентот на x 2 е еднаква на еден и равенката ја зема формата x 2 + px + q = 0. Таква равенка може да се даде за решение, или може да се добие со делење на сите коефициенти на равенката со коефициентот А, стои во x 2 .

На слика 3 е прикажан дијаграм за решавање на намалениот квадрат
равенки. Ајде да погледнеме пример за примена на формулите дискутирани во овој напис.

Пример. Решете ја равенката

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ајде да ја решиме оваа равенка користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3

Може да забележите дека коефициентот x во оваа равенка е парен број, односно b = 6 или b = 2k, од каде k = 3. Потоа да се обидеме да ја решиме равенката користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на сликата D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3. Забележувајќи дека сите коефициенти во оваа квадратна равенка се деливи со 3 и извршувајќи го делењето, ја добиваме намалената квадратна равенка x 2 + 2x – 2 = 0 Решете ја оваа равенка користејќи ги формулите за намалениот квадрат
равенки слика 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3.

Како што гледаме, при решавање на оваа равенка со различни формулиго добивме истиот одговор. Затоа, откако темелно ги совладавте формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1, секогаш ќе можете да решите која било целосна квадратна равенка.

blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.

Нека е дадена квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0.
Да ги примениме на квадратниот трином ax 2 + bx + c истите трансформации што ги извршивме во § 13 кога ја докажавме теоремата дека графикот на функцијата y = ax 2 + bx + c е парабола.
Ние имаме

Обично изразот b 2 - 4ac се означува со буквата D и се нарекува дискриминант на квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0 (или дискриминанта на квадратниот трином секира + bx + c).

Така

Ова значи дека квадратната равенка ax 2 + them + c = O може да се препише во форма

Секоја квадратна равенка може да се трансформира во форма (1), што е погодно, како што ќе видиме сега, со цел да се одреди бројот на корените на квадратната равенка и да се најдат овие корени.

Доказ. Доколку Д< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время лева странаравенката (1) зема ненегативни вредности за која било вредност на x. Ова значи дека не постои ниту една вредност на x што би ја задоволила равенката (1), и затоа равенката (1) нема корени.

Пример 1.Решете ја равенката 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Решение. Еве a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Бидејќи Д< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Доказ. Ако D = 0, тогаш равенката (1) добива форма

е единствениот корен на равенката.

Забелешка 1. Се сеќавате ли дека x = - е апсцисата на темето на параболата, која служи како график на функцијата y = ax 2 + нив + c? Зошто ова
вредност испадна дека е единствениот корен на квадратната равенка секира 2 + нив + c - 0? „Ковчегот“ се отвора едноставно: ако D е 0, тогаш, како што утврдивме претходно,

График на истата функција е парабола со теме во точка (види, на пример, Сл. 98). Тоа значи дека апсцисата на темето на параболата и единствениот корен на квадратната равенка за D = 0 се ист број.

Пример 2.Решете ја равенката 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Решение. Овде a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Бидејќи D = 0, тогаш според теорема 2 оваа квадратна равенка има еден корен. Овој корен се наоѓа по формулата

Одговор: 2.5.

Забелешка 2. Забележете дека 4x 2 - 20x +25 е совршен квадрат: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Да го забележивме тоа веднаш, ќе ја решивме равенката вака: (2x - 5) 2 = 0, што значи 2x - 5 = 0, од што добиваме x = 2,5. Во принцип, ако D = 0, тогаш

секира 2 + bx + c = - ова го забележавме претходно во Забелешка 1.
Ако D > 0, тогаш квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0 има два корени, кои се наоѓаат со формулите

Доказ. Дозволете ни да ја преработиме квадратната равенка ax 2 + b x + c = 0 во форма (1)

Да ставиме
По услов, D > 0, што значи дека десната страна од равенката е позитивен број. Тогаш од равенката (2) го добиваме тоа

Значи, дадената квадратна равенка има два корени:

Забелешка 3. Во математиката ретко се случува воведениот поим да нема, фигуративно кажано, секојдневна позадина. Ајде да земеме нешто ново
концепт - дискриминаторски. Запомнете го зборот „дискриминација“. Што значи тоа? Тоа значи понижување на едни и воздигнување на други, т.е. различен став
ција на различни луѓе. Двата збора (дискриминација и дискриминација) доаѓаат од латинскиот discriminans - „дискриминирачки“. Дискриминаторот ги разликува квадратните равенки по бројот на корените.

Пример 3.Решете ја равенката 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Решение. Еве a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Бидејќи D > 0, тогаш според теорема 3 оваа квадратна равенка има два корени. Овие корени се наоѓаат според формулите (3)

Всушност, го развивме следново правило:

Правило за решавање на равенката
секира 2 + bx + c = 0

Ова правило е универзално, се применува и за целосни и за нецелосни квадратни равенки. Меѓутоа, нецелосните квадратни равенки обично не се решаваат со користење на ова правило, попогодно е да се решат како што направивме во претходниот пасус.

Пример 4.Решавање на равенки:

а) x 2 + 3x - 5 = 0; б) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; в) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Решение а) Овде a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Бидејќи D > 0, оваа квадратна равенка има два корени. Ги наоѓаме овие корени користејќи формули (3)

Б) Како што покажува искуството, попогодно е да се работи со квадратни равенки во кои водечкиот коефициент е позитивен. Затоа, прво ги помножиме двете страни на равенката со -1, добиваме

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Овде a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Бидејќи D = 0, оваа квадратна равенка има еден корен. Овој корен се наоѓа со формулата x = -. Средства,

Оваа равенка би можела да се реши поинаку: бидејќи
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, тогаш ја добиваме равенката (Зх - I) 2 = 0, од каде што наоѓаме Зх - 1 = 0, т.е. x = .

в) Овде a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Бидејќи Д< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Математичарите се практични, економични луѓе. Зошто, велат тие, се користи толку долго правило за решавање на квадратна равенка, подобро е веднаш да се напише општа формула:

Ако се покаже дека дискриминантот D = b 2 - 4ac е негативен број, тогаш напишаната формула нема смисла (под знакот на квадратен корен има негативен број), што значи дека нема корени. Ако се покаже дека дискриминаторот е еднаков на нула, тогаш добиваме

Тоа е, еден корен (тие исто така велат дека квадратната равенка во овој случај има два идентични корени:

Конечно, ако се испостави дека b 2 - 4ac > 0, тогаш добиваме два корени x 1 и x 2, кои се пресметуваат со користење на истите формули (3) како што е наведено погоре.

Самиот број во овој случај е позитивен (како и секој Квадратен коренод позитивен број), а двојниот знак пред него значи дека во еден случај (при наоѓање x 1) овој позитивен број се додава на бројот - b, а во друг случај (при наоѓање x 2) овој позитивен број е отстранети
читај од бројот - б.

Имате слобода на избор. Дали сакате детално да ја решите квадратната равенка користејќи го правилото формулирано погоре; Ако сакате, веднаш запишете ја формулата (4) и искористете ја за да ги извлечете потребните заклучоци.

Пример 5. Решавање на равенки:

Решение, а) Се разбира, можете да ги користите формулите (4) или (3), имајќи предвид дека во во овој случај Но, зошто работите со дропки кога е полесно и што е најважно, попријатно да се работи со цели броеви? Да се ослободиме од именителите. За да го направите ова, треба да ги помножите двете страни на равенката со 12, односно со најнискиот заеднички именител на фракциите што служат како коефициенти на равенката. Добиваме

од каде 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Сега да ја користиме формулата (4)

Б) Повторно имаме равенка со фракциони коефициенти: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Ајде да ги помножиме двете страни на равенката со 100, а потоа ќе добиеме равенка со целобројни коефициенти:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Следно, ја користиме формулата (4):

Едноставна пресметка покажува дека дискриминантот (радикален израз) е негативен број. Ова значи дека равенката нема корени.

Пример 6.Решете ја равенката
Решение. Овде, за разлика од претходниот пример, се претпочита да се постапува според правилото наместо според скратената формула (4).

Имаме a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Бидејќи D > 0, квадратната равенка има два корени, кои ќе ги бараме со помош на формулите (3)

Пример 7.Решете ја равенката
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0

Решение. Оваа квадратна равенка се разликува од сите квадратни равенки разгледани досега по тоа што коефициентите не се конкретни бројки, туку изрази на букви. Ваквите равенки се нарекуваат равенки со коефициенти на букви или равенки со параметри. Во овој случај, параметарот (буквата) p е вклучен во вториот коефициент и слободниот член на равенката.
Ајде да го најдеме дискриминаторот:

Пример 8. Решете ја равенката px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Решение. Ова е исто така равенка со параметар p, но, за разлика од претходниот пример, не може веднаш да се реши со помош на формулите (4) или (3). Факт е дека наведените формули се применливи за квадратни равенки, но сè уште не можеме да го кажеме ова за дадена равенка. Навистина, што ако p = 0? Потоа
равенката ќе има форма 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, т.е. x - 1 = 0, од што добиваме x = 1. Сега, ако сигурно знаете дека , тогаш можете да ги примените формулите за корените на квадратот равенка: