Триаголник е геометриска фигура која се состои од три прави линии кои се поврзуваат во точки кои не лежат на иста права линија. Точките на поврзување на линиите се темињата на триаголникот, кои се назначени со латински букви(на пр. A, B, C). Поврзувачките прави линии на триаголникот се нарекуваат отсечки, кои исто така обично се означуваат со латински букви. Се разликуваат следниве видови триаголници:

• Правоаголни.
• Тапа.
• Акутна аголна.
• Разноврсна.
• Рамностран.
• Рамнокрак.

Општи формули за пресметување на плоштината на триаголник

Формула за плоштина на триаголник врз основа на должина и висина

S= a*h/2,
каде што a е должината на страната на триаголникот чија површина треба да се најде, h е должината на висината повлечена до основата.

Формулата на Херон

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
каде е √ Квадратен корен, p е полупериметар на триаголникот, a,b,c е должината на секоја страна од триаголникот. Полупериметарот на триаголникот може да се пресмета со формулата p=(a+b+c)/2.

Формула за плоштина на триаголник врз основа на аголот и должината на сегментот

S = (a*b*sin(α))/2,
Каде b,c едолжината на страните на триаголникот, sin(α) е синус на аголот помеѓу двете страни.

Формула за плоштина на триаголник со оглед на радиусот на впишаниот круг и трите страни

S=p*r,
каде што p е полупериметарот на триаголникот чија површина треба да се најде, r е радиусот на кругот впишан во овој триаголник.

Формула за плоштина на триаголник заснован на три страни и радиус на кругот опкружен околу него

S= (a*b*c)/4*R,
каде што a,b,c е должината на секоја страна од триаголникот, R е радиусот на кругот опкружен околу триаголникот.

Формула за плоштина на триаголник со помош на Декартови координати на точки

Декартови координати на точки се координати во системот xOy, каде што x е апсциса, y е ордината. Декартовиот координатен систем xOy на рамнина е меѓусебно нормалните нумерички оски Ox и Oy со заеднички почеток во точката O. Ако координатите на точките на оваа рамнина се дадени во форма A(x1, y1), B(x2, y2 ) и C(x3, y3), тогаш можете да ја пресметате плоштината на триаголникот користејќи ја следнава формула, која се добива од векторскиот производ на два вектори.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
каде || се залага за модул.

Како да се најде плоштината на правоаголен триаголник

Правоаголен триаголник е триаголник со еден агол кој мери 90 степени. Триаголникот може да има само еден таков агол.

Формула за плоштина на правоаголен триаголник на две страни

S= a*b/2,
каде што a,b е должината на нозете. Нозете се страни во непосредна близина на прав агол.

Формула за плоштина на правоаголен триаголник врз основа на хипотенузата и остриот агол

S = a*b*sin(α)/ 2,
каде што a, b се катетите на триаголникот, а sin(α) е синус на аголот под кој се сечат правата a, b.

Формула за плоштина на правоаголен триаголник врз основа на страната и спротивниот агол

S = a*b/2*tg(β),
каде што a, b се катетите на триаголникот, tan(β) е тангента на аголот под кој се поврзани катетите a, b.

Како да се пресмета плоштината на рамнокрак триаголник

Рамнокрак триаголник е оној кој има две еднакви страни. Овие страни се нарекуваат страни, а другата страна е основата. За да ја пресметате плоштината на рамнокрак триаголник, можете да користите една од следниве формули.

Основна формула за пресметување на плоштината на рамнокрак триаголник

S=h*c/2,
каде што c е основата на триаголникот, h е висината на триаголникот спуштен до основата.

Формула на рамнокрак триаголник заснована на страна и основа

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
каде што c е основата на триаголникот, а е големината на една од страните на рамнокрак триаголник.

Како да се најде плоштината на рамностран триаголник

Рамностран триаголник е триаголник во кој сите страни се еднакви. Да се ​​пресмета површина рамностран триаголникможете да ја користите следнава формула:
S = (√3*a*a)/4,
каде што a е должината на страната на рамностран триаголник.

Горенаведените формули ќе ви овозможат да ја пресметате потребната површина на триаголникот. Важно е да се запамети дека за да се пресмета плоштината на триаголниците, треба да се земе предвид видот на триаголникот и достапните податоци што може да се користат за пресметка.

Инструкции

Забавиа аглите се сметаат за основни елементи А. Триаголникот е целосно дефиниран со кој било од неговите основни елементи: или три страни, или една страна и два агли, или две страни и агол меѓу нив. За егзистенција тријаголникдадени од три страни a, b, c, потребно е и доволно да се задоволат неравенките наречени неравенки тријаголник:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

За градење тријаголникна три страни a, b, c, потребно е од точката C на отсечката CB = a да се нацрта круг со радиус b со компас. Потоа, на сличен начин, нацртајте круг од точката Б со радиус еднаква на странав. Нивната пресечна точка А е третото теме од посакуваното тријаголник ABC, каде AB=c, CB=a, CA=b - страни тријаголник. Проблемот има , ако страните a, b, c ги задоволуваат неравенките тријаголникнаведено во чекор 1.

Областа S конструирана на овој начин тријаголник ABC со познати страни a, b, c, се пресметува со хероновата формула:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
каде што a, b, c се страни тријаголник, p – полупериметар.
p = (a+b+c)/2

Ако триаголникот е рамностран, односно сите негови страни се еднакви (a=b=c). тријаголникпресметано со формулата:
S=(a^2 v3)/4

Ако триаголникот е правоаголен, односно еден од неговите агли е еднаков на 90°, а страните што го формираат се катети, третата страна е хипотенузата. ВО во овој случај квадрате еднаков на производот на нозете поделени со два.
S=ab/2

Да најде квадрат тријаголник, можете да користите една од многуте формули. Изберете формула во зависност од тоа кои податоци се веќе познати.

Ќе ви треба

• познавање на формули за наоѓање плоштина на триаголник

Инструкции

Ако ја знаете големината на една од страните и вредноста на висината спуштена на оваа страна од аголот спротивен на неа, тогаш можете да ја пронајдете областа користејќи го следново: S = a*h/2, каде што S е плоштината од триаголникот, a е една од страните на триаголникот, а h - висина, до страната a.

Постои познат метод за одредување на плоштината на триаголникот ако се познати неговите три страни. Тоа е формулата на Херон. За да се поедностави неговото снимање, се воведува средна вредност - полупериметарот: p = (a+b+c)/2, каде што a, b, c - . Тогаш Хероновата формула е следна: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ степенување.

Да претпоставиме дека знаете една од страните на триаголникот и три агли. Тогаш лесно е да се најде плоштината на триаголникот: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), каде β е аголот спротивен на страната a, а α и γ се агли во непосредна близина на страната.

Видео на темата

Забелешка

Најмногу општа формула, која е погодна за сите случаи е формулата на Херон.

Извори:

Совет 3: Како да ја пронајдете плоштината на триаголник врз основа на три страни

Наоѓањето на плоштината на триаголник е еден од најчестите проблеми во училишната планиметрија. Познавањето на трите страни на триаголникот е доволно за да се одреди плоштината на кој било триаголник. Во посебни случаи на рамностран триаголници, доволно е да се знаат должините на две и една страна, соодветно.

Ќе ви треба

• должини на страни на триаголници, Херонова формула, косинусова теорема

Инструкции

Формулата на Херон за плоштината на триаголник е како што следува: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ако го запишеме полупериметарот p, добиваме: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можете да изведете формула за плоштината на триаголник од размислувања, на пример, со примена на косинусната теорема.

Според косинусната теорема, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Користејќи ги воведените нотации, тие можат да се напишат и во форма: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Оттука, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Областа на триаголник се наоѓа и со формулата S = a*c*sin(ABC)/2 со користење на две страни и аголот меѓу нив. Синусот на аголот ABC може да се изрази во однос на него користејќи го основниот тригонометриски идентитет: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Со замена на синусот во формулата за областа и испишување, можете да дојдете до формулата за плоштината на триаголникот ABC.

Видео на темата

За да се изврши поправка, можеби ќе треба да се измери квадратѕидови Ова го олеснува пресметувањето на потребната количина на боја или позадина. За мерења, најдобро е да користите мерна лента или мерна лента. Треба да се преземат мерења после ѕидовибеа израмнети.

Ќе ви треба

• -рулет;
• -скала.

Инструкции

Да се ​​избројат квадратѕидови, треба да ја знаете точната висина на таваните, а исто така да ја измерите должината по подот. Ова е направено на следниов начин: земете сантиметар и поставете го над основата. Обично сантиметар не е доволен за целата должина, затоа прицврстете го во аголот, па одмотувајте го до максималната должина. Во овој момент, ставете ознака со молив, запишете го добиениот резултат и извршете понатамошни мерења на ист начин, почнувајќи од последната мерна точка.

Стандардните тавани се 2 метри 80 сантиметри, 3 метри и 3 метри 20 сантиметри, во зависност од куќата. Ако куќата е изградена пред 50-тите години, тогаш најверојатно вистинската висина е малку помала од наведената. Ако пресметувате квадратза поправка работа, тогаш мала понуда нема да му наштети - размислете врз основа на стандардот. Ако сепак треба да ја знаете вистинската висина, направете мерења. Принципот е сличен на мерењето на должината, но ќе ви треба скалило.

Умножете ги добиените индикатори - ова е квадраттвое ѕидови. Точно, при сликање или за сликање потребно е да се одземе квадратотвори на врати и прозори. За да го направите ова, поставете сантиметар по должината на отворот. Ако зборуваме за врата што подоцна ќе ја промените, тогаш продолжете со отстранување на рамката на вратата, земајќи ја предвид само квадратдиректно до самиот отвор. Површината на прозорецот се пресметува долж периметарот на неговата рамка. По квадратпресметан прозорец и врата, одземете го резултатот од вкупната добиена површина на просторијата.

Ве молиме имајте предвид дека две лица треба да ја измерат должината и ширината на просторијата, ова го олеснува одредувањето сантиметар или мерна лента и, соодветно, повеќе точен резултат. Изведете го истото мерење неколку пати за да бидете сигурни дека бројките што ги добивате се точни.

Видео на темата

Наоѓањето на волуменот на триаголникот е навистина нетривијална задача. Факт е дека триаголникот е дводимензионална фигура, т.е. целосно лежи во една рамнина, што значи дека едноставно нема волумен. Се разбира, не можете да најдете нешто што не постои. Но, да не се откажуваме! Можеме да ја прифатиме следнава претпоставка: волуменот на дводимензионалната фигура е неговата површина. Ќе ја бараме областа на триаголникот.

Ќе ви треба

• лист хартија, молив, линијар, калкулатор

Инструкции

Нацртајте на парче хартија со помош на линијар и молив. Со внимателно испитување на триаголникот, можете да се уверите дека тој навистина нема триаголник, бидејќи е нацртан на рамнина. Обележете ги страните на триаголникот: едната страна нека биде страна „а“, другата страна „б“, а третата страна „в“. Обележете ги темињата на триаголникот со буквите "A", "B" и "C".

Измерете ја која било страна од триаголникот со линијар и запишете го резултатот. По ова, вратете нормална на измерената страна од темето спротивна на неа, таквата нормална ќе биде висината на триаголникот. Во случајот прикажан на сликата, нормалното „h“ е вратено на страната „в“ од темето „А“. Измерете ја добиената висина со линијар и запишете го резултатот од мерењето.

Можеби ќе ви биде тешко да ја вратите точната нормална. Во овој случај, треба да користите различна формула. Измерете ги сите страни на триаголникот со линијар. После ова, пресметајте го полупериметарот на триаголникот „p“ со собирање на добиените должини на страните и делење на нивниот збир на половина. Имајќи ја вредноста на полупериметарот на располагање, можете да ја користите формулата на Херон. За да го направите ова, треба да го земете квадратниот корен од следново: p(p-a)(p-b)(p-c).

Ја добивте потребната површина на триаголникот. Проблемот со наоѓање на волуменот на триаголникот не е решен, но како што споменавме погоре, волуменот не е . Можете да најдете волумен кој во суштина е триаголник во тридимензионалниот свет. Ако замислиме дека нашиот оригинален триаголник стана тродимензионална пирамида, тогаш волуменот на таквата пирамида ќе биде производ на должината на нејзината основа по површината на триаголникот што го добивме.

Забелешка

Колку повнимателно мерите, толку попрецизни ќе бидат вашите пресметки.

Извори:

• Калкулатор „Сè до сè“ - портал за референтни вредности
• волумен на триаголник во 2019 година

Трите точки што уникатно дефинираат триаголник во Декартовиот координатен систем се неговите темиња. Знаејќи ја нивната позиција во однос на секоја од координатните оски, можете да ги пресметате сите параметри на оваа рамна фигура, вклучувајќи ги и оние ограничени со нејзиниот периметар квадрат. Ова може да се направи на неколку начини.

Инструкции

Користете ја формулата на Херон за да пресметате површина тријаголник. Тоа ги вклучува димензиите на трите страни на сликата, затоа започнете ги пресметките со . Должината на секоја страна мора да биде еднаква на коренот на збирот на квадратите на должините на нејзините проекции на координатните оски. Ако ги означиме координатите A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) и C(X3,Y3,Z3), должините на нивните страни може да се изразат на следниов начин: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2).

За да се поедностават пресметките, воведете помошна променлива - полупериметар (P). Од фактот дека ова е половина од збирот на должините на сите страни: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Триаголникот е фигура позната на сите. И ова и покрај богатата разновидност на нејзините форми. Правоаголна, рамностран, остра, рамнокрак, тап. Секој од нив е различен на некој начин. Но, за секој треба да ја дознаете плоштината на триаголникот.

Формули заеднички за сите триаголници кои користат должина на страни или висини

Ознаките усвоени во нив: страни - а, б, в; висини на соодветните страни на a, n во, n со.

1. Плоштината на триаголникот се пресметува како производ од ½, страна и висината одземена од него. S = ½ * a * n a. Формулите за другите две страни треба да бидат напишани слично.

2. Херонова формула, во која се појавува полупериметарот (обично се означува со малата буква p, за разлика од целосниот периметар). Полупериметарот мора да се пресмета на следниов начин: соберете ги сите страни и поделете ги со 2. Формулата за полупериметарот е: p = (a+b+c) / 2. Тогаш еднаквоста за плоштината на ​фигурата изгледа вака: S = √ (p * (p - a) * (р - в) * (р - с)).

3. Ако не сакате да користите полупериметар, тогаш ќе ви биде корисна формула која ги содржи само должините на страните: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (а + в - в) * (а + б - в)). Тој е малку подолг од претходниот, но ќе ви помогне ако сте заборавиле како да го најдете полупериметарот.

Општи формули кои ги вклучуваат аглите на триаголникот

Ознаки потребни за читање на формулите: α, β, γ - агли. Тие лежат спротивните страни a, b, c, соодветно.

1. Според него, половина од производот на двете страни и синусот на аголот меѓу нив е еднаков на плоштината на триаголникот. Тоа е: S = ½ a * b * sin γ. На сличен начинтреба да ги запишете формулите за другите два случаи.

2. Плоштината на триаголникот може да се пресмета од една страна и од три познати агли. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Постои и формула со една позната страна и два соседни агли. Изгледа вака: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Последните две формули не се наједноставни. Прилично е тешко да ги запомните.

Општи формули за ситуации каде што се познати радиусите на впишани или ограничени кругови

Дополнителни ознаки: r, R - радиуси. Првиот се користи за радиусот на впишаниот круг. Вториот е за опишаниот.

1. Првата формула со која се пресметува плоштината на триаголникот е поврзана со полупериметарот. S = r * r. Друг начин да се напише е: S = ½ r * (a + b + c).

2. Во вториот случај, ќе треба да ги помножите сите страни на триаголникот и да ги поделите со четирикратно радиусот на ограничениот круг. Во буквален израз изгледа вака: S = (a * b * c) / (4R).

3. Третата ситуација ви овозможува да направите без да ги знаете страните, но ќе ви требаат вредностите на сите три агли. S = 2 R 2 * sin α * грев β * грев γ.

Посебен случај: правоаголен триаголник

Ова е наједноставната ситуација, бидејќи е потребна само должината на двете нозе. Тие се означени со латинските букви a и b. Плоштад правоаголен триаголникеднаква на половина од површината на правоаголникот додаден на него.

Математички изгледа вака: S = ½ a * b. Најлесно е да се запамети. Бидејќи изгледа како формулата за плоштина на правоаголник, се појавува само дропка, што означува половина.

Посебен случај: рамнокрак триаголник

Бидејќи има две еднакви страни, некои формули за неговата површина изгледаат малку поедноставени. На пример, формулата на Херон, која ја пресметува плоштината на рамнокрак триаголник, ја има следната форма:

S = ½ во √((a + ½ инчи)*(a - ½ инчи)).

Ако го трансформирате, ќе стане пократок. Во овој случај, формулата на Херон за рамнокрак триаголник е напишана на следниов начин:

S = ¼ во √(4 * a 2 - b 2).

Формулата за плоштина изгледа малку поедноставна отколку за произволен триаголник ако се познати страните и аголот меѓу нив. S = ½ a 2 * sin β.

Посебен случај: рамностран триаголник

Обично во проблемите се знае страната за тоа или на некој начин може да се дознае. Тогаш формулата за наоѓање на плоштината на таков триаголник е како што следува:

S = (a 2 √3) / 4.

Проблеми да се најде областа ако триаголникот е прикажан на карирана хартија

Наједноставната ситуација е кога ќе се нацрта правоаголен триаголник така што неговите кати се совпаѓаат со линиите на хартијата. Тогаш само треба да го броите бројот на клетки што се вклопуваат во нозете. Потоа помножете ги и поделете со два.

Кога триаголникот е остар или тап, треба да се нацрта до правоаголник. Тогаш добиената фигура ќе има 3 триаголници. Еден е оној што е даден во проблемот. А другите две се помошни и правоаголни. Областите на последните две треба да се одредат со користење на методот опишан погоре. Потоа пресметајте ја плоштината на правоаголникот и одземете ги од него пресметаните за помошните. Се одредува плоштината на триаголникот.

Ситуацијата во која ниту една од страните на триаголникот не се совпаѓа со линиите на хартијата се покажува како многу посложена. Потоа треба да се впише во правоаголник, така што темињата на оригиналната фигура лежат на неговите страни. Во овој случај, ќе има три помошни правоаголни триаголници.

Пример за проблем со хероновата формула

Состојба. Некој триаголник има познати страни. Тие се еднакви на 3, 5 и 6 см Треба да ја дознаете неговата површина.

Сега можете да ја пресметате површината на триаголникот користејќи ја горната формула. Под квадратниот корен е производ на четири броја: 7, 4, 2 и 1. Односно, плоштината е √(4 * 14) = 2 √(14).

Ако не е потребна поголема точност, тогаш можете да го земете квадратниот корен од 14. Тоа е еднакво на 3,74. Тогаш површината ќе биде 7,48.

Одговори. S = 2 √14 cm 2 или 7,48 cm 2.

Пример проблем со правоаголен триаголник

Состојба. Едниот крак на правоаголен триаголник е 31 cm поголем од вториот, треба да ги дознаете нивните должини ако плоштината на триаголникот е 180 cm 2.
Решение. Ќе треба да решиме систем од две равенки. Првиот е поврзан со областа. Вториот е со односот на нозете, кој е даден во проблемот.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Прво, вредноста на „а“ мора да се замени во првата равенка. Излегува: 180 = ½ (во + 31) * во. Има само една непозната количина, па затоа е лесно да се реши. По отворањето на заградите добиваме квадратна равенка: во 2 + 31 во - 360 = 0. Дава две вредности за „во“: 9 и - 40. Вториот број не е погоден како одговор, бидејќи должината на страната на триаголникот не може да биде негативна вредност.

Останува да се пресмета вториот крак: додадете 31 на добиениот број Излегува 40. Ова се количините што се бараат во проблемот.

Одговори. Кателите на триаголникот се 9 и 40 см.

Задача на наоѓање страна низ плоштината, страната и аголот на триаголникот

Состојба. Плоштината на одреден триаголник е 60 cm 2. Неопходно е да се пресмета една од неговите страни ако втората страна е 15 cm, а аголот меѓу нив е 30º.

Решение. Врз основа прифатени нотации, саканата страна „а“, познатата страна „б“, дадениот агол „γ“. Потоа формулата за областа може да се преработи на следниов начин:

60 = ½ a * 15 * грев 30º. Овде синусот од 30 степени е 0,5.

По трансформациите, „а“ излегува дека е еднакво на 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Тоа е 16.

Одговори. Потребната страна е 16 см.

Задача за квадрат впишан во правоаголен триаголник

Состојба. Темето на квадрат со страна од 24 cm се совпаѓа со правиот агол на триаголникот. Останатите две лежат на страните. Третиот припаѓа на хипотенузата. Должината на едната нога е 42 см. Колкава е плоштината на правоаголен триаголник?

Решение. Размислете за два правоаголни триаголници. Првиот е оној наведен во задачата. Вториот се заснова на познатата катета на оригиналниот триаголник. Тие се слични бидејќи имаат заеднички агол и се формирани од паралелни прави.

Тогаш соодносите на нивните нозе се еднакви. Катетите на помалиот триаголник се еднакви на 24 cm (страната на квадратот) и 18 cm (дадената кратка 42 cm се одзема од страната на квадратот 24 cm). Соодветните краци на голем триаголник се 42 cm и x cm што е потребно за да се пресмета површината на триаголникот.

18/42 = 24 / x, односно x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Тогаш површината е еднаква на производот од 56 и 42 поделен со два, односно 1176 cm 2.

Одговори. Потребната површина е 1176 cm 2.

Површина на триаголник - формули и примери за решавање проблеми

Подолу се формули за наоѓање плоштина на произволен триаголниккои се погодни за пронаоѓање на плоштината на кој било триаголник, без оглед на неговите својства, агли или големини. Формулите се претставени во форма на слика, со објаснувања за нивната примена или оправдување за нивната исправност. Преписките се исто така означени во посебна слика ознаки на буквиво формули и графички симболи на цртежот.

Забелешка . Ако триаголникот има посебни својства(рамнокрак, правоаголен, рамностран), можете да ги користите формулите дадени подолу, како и дополнителни специјални формули кои важат само за триаголници со овие својства:

• „Формула за плоштина на рамностран триаголник“

Формули за површина на триаголник

Објаснувања за формули:
а, б, в- должините на страните на триаголникот чија плоштина сакаме да ја најдеме
р- радиус на кругот впишан во триаголникот
Р- радиус на кругот опкружен околу триаголникот
ч- висина на триаголникот спуштена на страна
стр- полупериметар на триаголник, 1/2 од збирот на неговите страни (периметар)
α - агол спротивен на страната a на триаголникот
β - агол спротивен на страната b на триаголникот
γ - агол спротивен на страната c на триаголникот
ч а, ч б , ч в- висина на триаголникот спуштен на страните a, b, c

Имајте предвид дека горните ознаки одговараат на горната слика, така што при решавањето вистински проблемво однос на геометријата, визуелно ти беше полесно да се замениш вистинските местаформулите се точни вредности.

• Површината на триаголникот е половина од производот од висината на триаголникот и должината на страната за која се спушта оваа висина(Формула 1). Точноста на оваа формула може да се разбере логично. Висината спуштена до основата ќе подели произволен триаголник на два правоаголни. Ако секој од нив го изградите во правоаголник со димензии b и h, тогаш очигледно плоштината на овие триаголници ќе биде еднаква на точно половина од површината на правоаголникот (Spr = bh)
• Површината на триаголникот е половина од производот на неговите две страни и синусот на аголот меѓу нив(Формула 2) (видете пример за решавање на проблем користејќи ја оваа формула подолу). Иако изгледа различно од претходниот, лесно може да се трансформира во него. Ако ја спуштиме висината од аголот B на страната b, излегува дека производот од страната a и синусот на аголот γ, според својствата на синусот во правоаголен триаголник, е еднаков на висината на триаголникот што го нацртавме. , што ни ја дава претходната формула
• Може да се најде областа на произволен триаголник преку работаполовина од радиусот на кругот впишан во него со збирот на должините на сите негови страни(Формула 3), едноставно кажано, треба да го помножите полупериметарот на триаголникот со радиусот на впишаниот круг (ова е полесно да се запомни)
• Областа на произволен триаголник може да се најде со делење на производот од сите негови страни со 4 радиуси од кругот опкружен околу него (Формула 4)
• Формула 5 ја наоѓа плоштината на триаголникот низ должината на неговите страни и полупериметарот (половина од збирот на сите негови страни)
• Формулата на Херон(6) е приказ на истата формула без користење на концептот на полупериметар, само преку должините на страните
• Површината на произволен триаголник е еднаква на производот на квадратот на страната на триаголникот и синусите на аглите во непосредна близина на оваа страна поделени со двојниот синус на аголот спроти оваа страна (Формула 7)
• Површината на произволен триаголник може да се најде како производ на два квадрати од кругот опкружени околу него со синусите на секој од неговите агли. (Формула 8)
• Ако се познати должината на едната страна и вредностите на два соседни агли, тогаш плоштината на триаголникот може да се најде како квадрат на оваа страна поделена со двојниот збир на котангентите на овие агли (Формула 9)
• Ако е позната само должината на секоја од висините на триаголникот (Формула 10), тогаш плоштината на таков триаголник е обратно пропорционална на должините на овие висини, како што е според Хероновата формула.
• Формула 11 ви овозможува да пресметате површина на триаголник врз основа на координатите на неговите темиња, кои се наведени како (x;y) вредности за секое од темињата. Ве молиме имајте предвид дека добиената вредност мора да се земе модуло, бидејќи координатите на поединечните (или дури и сите) темиња може да бидат во регионот на негативни вредности

Забелешка. Следниве се примери за решавање на геометриски задачи за да се најде плоштината на триаголник. Ако треба да решите проблем со геометрија што не е сличен овде, пишете за тоа на форумот. Во решенијата, наместо симболот „квадратен корен“, може да се користи функцијата sqrt(), во која sqrt е симбол на квадратен корен, а радикалниот израз е означен во загради.Понекогаш за едноставни радикални изрази симболот може да се користи √

Задача. Најдете ја плоштината дадена две страни и аголот меѓу нив

Страните на триаголникот се 5 и 6 cm Аголот меѓу нив е 60 степени. Најдете ја плоштината на триаголникот.

Решение.

За да го решиме овој проблем, ја користиме формулата број два од теоретскиот дел на часот.
Плоштината на триаголникот може да се најде низ должината на двете страни и синусот на аголот меѓу нив и ќе биде еднаква на
S=1/2 ab sin γ

Бидејќи ги имаме сите потребни податоци за решението (според формулата), можеме само да ги замениме вредностите од условите на проблемот во формулата:
S = 1/2 * 5 * 6 * грев 60

Во табелата со вредности на тригонометриски функции, ќе ја најдеме и ќе ја замениме вредноста на синус 60 степени во изразот. Тоа ќе биде еднакво на коренот на три пати два.
S = 15 √3 / 2

Одговори: 7,5 √3 (во зависност од барањата на наставникот, веројатно можете да оставите 15 √3/2)

Задача. Најдете ја плоштината на рамностран триаголник

Најдете ја плоштината на рамностран триаголник со страна 3 cm.

Решение .

Областа на триаголник може да се најде со формулата на Херон:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Бидејќи a = b = c, формулата за плоштината на рамностран триаголник ја има формата:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Одговори: 9 √3 / 4.

Задача. Промена на површината при промена на должината на страните

Колку пати ќе се зголеми плоштината на триаголникот ако страните се зголемат за 4 пати?

Решение.

Бидејќи димензиите на страните на триаголникот ни се непознати, за да ја решиме задачата ќе претпоставиме дека должините на страните се соодветно еднакви на произволните броеви a, b, c. Потоа, за да одговориме на прашањето за проблемот, ја наоѓаме областа даден триаголник, а потоа пронајдете ја плоштината на триаголник чии страни се четири пати поголеми. Односот на плоштините на овие триаголници ќе ни го даде одговорот на проблемот.

Подолу даваме текстуално објаснување за решението на проблемот чекор по чекор. Сепак, на самиот крај, истото решение е претставено во попогодна графичка форма. Оние кои сакаат можат веднаш да одат по решението.

За да решиме, ја користиме формулата на Херон (види погоре во теоретскиот дел од лекцијата). Изгледа вака:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(видете ја првата линија на сликата подолу)

Должините на страните на произволен триаголник се специфицирани со променливите a, b, c.
Ако страните се зголемат за 4 пати, тогаш површината на новиот триаголник c ќе биде:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(видете ја втората линија на сликата подолу)

Како што можете да видите, 4 е заеднички фактор што може да се извади од загради од сите четири изрази според општи правиламатематика.
Потоа

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - на третата линија на сликата
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - четврти ред

Квадратниот корен на бројот 256 е совршено извлечен, па ајде да го извадиме од под коренот
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(видете ја петтата линија на сликата подолу)

За да одговориме на прашањето поставено во проблемот, само треба да ја поделиме областа на добиениот триаголник со областа на оригиналниот.
Дозволете ни да ги одредиме соодносите на плоштините со делење на изразите еден со друг и намалување на добиената дропка.

Триаголникот е еден од најчестите геометриски форми, со кој веќе се запознаваме во основно училиште. Секој ученик се соочува со прашањето како да ја пронајде плоштината на триаголник во лекциите по геометрија. Значи, кои карактеристики на наоѓање на површината на дадена фигура може да се идентификуваат? Во оваа статија ќе ги разгледаме основните формули неопходни за да се заврши таква задача, а исто така ќе ги анализираме видовите триаголници.

Видови триаголници

Апсолутно можете да ја најдете плоштината на триаголникот различни начини, бидејќи во геометријата има повеќе од еден вид фигури кои содржат три агли. Овие типови вклучуваат:

• Тапа.
• Рамностран (правилен).
• Правоаголен триаголник.
• Рамнокрак.

Ајде внимателно да го разгледаме секој од постоечките типови на триаголници.

Оваа геометриска фигура се смета за најчеста при решавање на геометриски проблеми. Кога ќе се појави потреба да се нацрта произволен триаголник, оваа опција доаѓа на помош.

Во остар триаголник, како што сугерира името, сите агли се остри и се собираат до 180°.

Овој тип на триаголник е исто така многу чест, но е нешто поретки од акутен триаголник. На пример, кога решавате триаголници (односно, познати се неколку негови страни и агли и треба да ги пронајдете преостанатите елементи), понекогаш треба да одредите дали аголот е тап или не. Косинусот е негативен број.

Б, вредноста на еден од аглите надминува 90 °, така што преостанатите два агли може да земат мали вредности (на пример, 15 ° или дури 3 °).

Да се ​​најде плоштината на триаголник од овој тип, треба да знаете некои нијанси, за кои ќе зборуваме следно.

Правилни и рамнокраки триаголници

Правилен многуаголник е фигура која вклучува n агли и чии страни и агли се сите еднакви. Тоа е она што е правилен триаголник. Бидејќи збирот на сите агли на триаголникот е 180°, тогаш секој од трите агли е 60°.

Правилниот триаголник, поради неговото својство, се нарекува и рамностран фигура.

Исто така, вреди да се напомене дека само еден круг може да се впише во правилен триаголник, а околу него може да се опише само еден круг, а нивните центри се наоѓаат во истата точка.

Покрај рамностран тип, може да се разликува и рамнокрак триаголник, кој е малку различен од него. Во таков триаголник, две страни и два агли се еднакви една на друга, а третата страна (на која соседните еднакви агли) е основата.

На сликата е прикажан рамнокрак триаголник DEF чии агли D и F се еднакви, а DF е основата.

Правоаголен триаголник

Правоаголен триаголник е наречен така затоа што еден од неговите агли е прав, односно еднаков на 90°. Останатите два агли се собираат до 90°.

Најголемата страна на таков триаголник, која се наоѓа спроти аголот од 90°, е хипотенузата, додека преостанатите две страни се катетите. За овој тип на триаголник, се применува Питагоровата теорема:

Збирот на квадратите на должините на краците е еднаков на квадратот на должината на хипотенузата.

Сликата покажува правоаголен триаголник BAC со хипотенуза AC и краци AB и BC.

За да ја пронајдете плоштината на триаголник со прав агол, треба да знаете нумерички вредностинејзините нозе.

Ајде да преминеме на формулите за наоѓање на површината на дадена фигура.

Основни формули за наоѓање област

Во геометријата, постојат две формули кои се погодни за пронаоѓање на плоштината на повеќето видови триаголници, имено за остри, тапи, правилни и рамнокраки триаголници. Ајде да погледнеме во секој од нив.

На страна и висина

Оваа формула е универзална за наоѓање на површината на фигурата што ја разгледуваме. За да го направите ова, доволно е да се знае должината на страната и должината на висината што е нацртана кон неа. Самата формула (половина од производот на основата и висината) е следна:

каде што A е страната на даден триаголник, а H е висината на триаголникот.

На пример, да ја пронајдете областа акутен триаголник ACB, треба да ја помножите неговата страна AB со висината CD и да ја поделите добиената вредност со два.

Сепак, не е секогаш лесно да се најде плоштината на триаголник на овој начин. На пример, за да ја користите оваа формула за тап триаголник, треба да ја проширите едната негова страна и дури потоа да нацртате надморска височина до неа.

Во пракса, оваа формула се користи почесто од другите.

Од двете страни и агол

Оваа формула, како и претходната, е погодна за повеќето триаголници и по нејзиното значење е последица на формулата за пронаоѓање на плоштина покрај една и висина на триаголник. Односно, формулата за која станува збор лесно може да се изведе од претходната. Неговата формулација изгледа вака:

S = ½*sinO*A*B,

каде A и B се страните на триаголникот, а O е аголот помеѓу страните A и B.

Да потсетиме дека синусот на аголот може да се гледа во посебна табела именувана по извонредниот советски математичар В.М.Брадис.

Сега да преминеме на други формули кои се погодни само за исклучителни типови на триаголници.

Плоштина на правоаголен триаголник

Покрај универзалната формула, која ја вклучува потребата да се најде надморска височина во триаголник, областа на триаголникот што содржи прав агол може да се најде од неговите краци.

Така, површината на триаголникот што содржи прав агол е половина од производот на неговите краци, или:

каде a и b се катети на правоаголен триаголник.

Правилен триаголник

Овој типгеометриските фигури се разликуваат по тоа што неговата површина може да се најде со означената вредност на само една од нејзините страни (бидејќи од сите страни правилен триаголниксе еднакви). Значи, кога ќе се соочите со задачата „да ја пронајдете областа на триаголникот кога страните се еднакви“, треба да ја користите следнава формула:

S = A 2 *√3 / 4,

каде А е страната на рамностран триаголник.

Формулата на Херон

Последната опција за наоѓање на плоштината на триаголник е формулата на Херон. За да го користите, треба да ги знаете должините на трите страни на фигурата. Формулата на Херон изгледа вака:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

каде a, b и c се страните на даден триаголник.

Понекогаш се поставува проблемот: „површината на правилен триаголник е да се најде должината на неговата страна“. Во овој случај, треба да ја користиме формулата што веќе ја знаеме за наоѓање на плоштината на правилен триаголник и од неа да ја изведеме вредноста на страната (или нејзиниот квадрат):

A 2 = 4S / √3.

Испитни задачи

Постојат многу формули во задачите на ГИА во математиката. Покрај тоа, доста често е неопходно да се најде плоштината на триаголник на карирана хартија.

Во овој случај, најзгодно е да се нацрта висината на една од страните на фигурата, да се одреди нејзината должина од ќелиите и да се користи универзална формулада ја пронајдете областа:

Значи, откако ќе ги проучите формулите претставени во статијата, нема да имате никакви проблеми да ја пронајдете областа на триаголник од кој било вид.