Apabila nombor boleh dibahagi dengan 12. Tanda-tanda utama boleh bahagi

m dan n terdapat integer k dan nk= m, kemudian nombor m dibahagikan dengan n

Penggunaan kemahiran pembahagian memudahkan pengiraan, dan secara berkadar meningkatkan kelajuan pelaksanaannya. Marilah kita menganalisis secara terperinci ciri utama ciri pembahagian.

Kriteria yang paling mudah untuk dibahagi bagi unit: semua nombor boleh dibahagi dengan satu. Ia sama seperti asas dan dengan tanda-tanda boleh dibahagikan oleh dua, lima, sepuluh. Nombor genap boleh dibahagikan dengan dua, atau satu dengan digit akhir 0, dengan lima - nombor dengan digit akhir 5 atau 0. Hanya nombor yang mempunyai digit akhir 0 akan dibahagikan dengan sepuluh, dengan 100 - hanya nombor yang dua digit terakhirnya ialah sifar, pada 1000 - hanya mereka yang mempunyai tiga sifar akhir.

Sebagai contoh:

Nombor 79516 boleh dibahagikan dengan 2, kerana ia berakhir dengan 6, nombor genap; 9651 tidak boleh dibahagikan dengan 2, kerana 1 ialah digit ganjil; 1790 boleh dibahagi dengan 2 kerana digit akhir ialah sifar. 3470 akan dibahagikan dengan 5 (digit akhir ialah 0); 1054 tidak boleh dibahagikan dengan 5 (4 akhir). 7800 akan dibahagikan dengan 10 dan 100; 542000 boleh dibahagi dengan 10, 100, 1000.

Kurang dikenali secara meluas, tetapi ciri yang sangat mudah digunakan ciri pembahagian pada 3 dan 9 , 4 , 6 dan 8, 25 . Terdapat juga ciri ciri pembahagian oleh 7, 11, 13, 17, 19 dan sebagainya, tetapi ia digunakan lebih kurang kerap dalam amalan.

Ciri ciri pembahagian dengan 3 dan dengan 9.

Pada tiga dan/atau pada sembilan tanpa baki, nombor tersebut akan dibahagikan yang mana hasil penambahan digit ialah gandaan tiga dan / atau sembilan.

Sebagai contoh:

Nombor 156321, hasil penambahan 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 akan dibahagikan dengan 3 dan dibahagikan dengan 9, masing-masing, nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 3 dan 9. Nombor 79123 tidak akan dibahagikan dengan sama ada 3 atau 9, jadi kerana hasil tambah digitnya (22) tidak boleh dibahagikan dengan nombor ini.

Ciri ciri bahagi dengan 4, 8, 16 dan seterusnya.

Suatu nombor boleh dibahagikan tanpa baki dengan empat, jika dua digit terakhirnya ialah sifar atau nombor yang boleh dibahagikan dengan 4. Dalam semua kes lain, pembahagian tanpa baki tidak boleh dilakukan.

Sebagai contoh:

Nombor 75300 boleh dibahagikan dengan 4, kerana dua digit terakhir ialah sifar; 48834 tidak boleh dibahagikan dengan 4 kerana dua digit terakhir memberikan 34, yang tidak boleh dibahagikan dengan 4; 35908 boleh dibahagi dengan 4, kerana dua digit terakhir 08 memberikan nombor 8 boleh dibahagikan dengan 4.

Prinsip yang sama boleh digunakan untuk kriteria kebolehbahagi oleh lapan. Sesuatu nombor boleh dibahagi dengan lapan jika tiga digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor boleh dibahagikan dengan 8. Jika tidak, hasil bahagi yang diperoleh daripada pembahagian tidak akan menjadi integer.

Sifat yang sama untuk pembahagian oleh 16, 32, 64 dsb., tetapi ia tidak digunakan dalam pengiraan harian.

Ciri ciri kebolehbahagi dengan 6.

Nombor itu boleh dibahagi dengan enam, jika ia boleh dibahagikan dengan dua dan tiga, dengan semua pilihan lain, pembahagian tanpa baki adalah mustahil.

Sebagai contoh:

126 boleh dibahagi dengan 6, kerana ia boleh dibahagi dengan kedua-dua 2 (nombor genap akhir ialah 6) dan 3 (jumlah digit 1 + 2 + 6 = 9 boleh dibahagi dengan tiga)

Ciri ciri kebolehbahagi dengan 7.

Nombor itu boleh dibahagi dengan tujuh jika perbezaan nombor dua kali terakhirnya dan "nombor yang ditinggalkan tanpa digit terakhir" boleh dibahagi dengan tujuh, maka nombor itu sendiri boleh dibahagi dengan tujuh.

Sebagai contoh:

Nombornya ialah 296492. Mari kita ambil digit terakhir "2", dua kali ganda, ia keluar 4. Tolak 29649 - 4 = 29645. Adalah bermasalah untuk mengetahui sama ada ia boleh dibahagikan dengan 7, oleh itu dianalisis semula. Seterusnya, kita menggandakan digit terakhir "5", ia keluar 10. Kita tolak 2964 - 10 = 2954. Hasilnya adalah sama, tidak jelas sama ada ia boleh dibahagikan dengan 7, oleh itu kita meneruskan analisis. Kami menganalisis dengan digit terakhir "4", dua kali ganda, ia keluar 8. Tolak 295 - 8 = 287. Kami membandingkan dua ratus lapan puluh tujuh - ia tidak boleh dibahagikan dengan 7, sehubungan dengan ini kami meneruskan pencarian. Dengan analogi, digit terakhir "7", digandakan, keluar 14. Tolak 28 - 14 \u003d 14. Nombor 14 boleh dibahagikan dengan 7, jadi nombor asal boleh dibahagikan dengan 7.

Ciri ciri kebolehbahagi dengan 11.

Pada sebelas hanya nombor-nombor itu yang dibahagikan yang mana hasil penambahan digit yang diletakkan di tempat ganjil sama ada sama dengan jumlah digit yang diletakkan di tempat genap, atau berbeza dengan nombor yang boleh dibahagi dengan sebelas.

Sebagai contoh:

Nombor 103,785 boleh dibahagikan dengan 11, kerana jumlah digit di tempat ganjil, 1 + 3 + 8 = 12, adalah sama dengan jumlah digit di tempat genap, 0 + 7 + 5 = 12. Nombor 9,163,627 ialah boleh dibahagi dengan 11, kerana jumlah digit di tempat ganjil ialah 9 + 6 + 6 + 7 = 28, dan hasil tambah digit di tempat genap ialah 1 + 3 + 2 = 6; perbezaan antara nombor 28 dan 6 ialah 22, dan nombor ini boleh dibahagikan dengan 11. Nombor 461,025 tidak boleh dibahagikan dengan 11, kerana nombor 4 + 1 + 2 = 7 dan 6 + 0 + 5 = 11 tidak sama dengan satu sama lain, dan perbezaannya 11 - 7 = 4 tidak boleh dibahagikan dengan 11.

Ciri ciri kebolehbahagi dengan 25.

Pada dua puluh lima akan membahagi nombor yang dua digit terakhirnya ialah sifar atau membentuk nombor yang boleh dibahagikan dengan dua puluh lima (iaitu nombor yang berakhir dengan 00, 25, 50 atau 75). Dalam kes lain, bilangan itu tidak boleh dibahagikan sepenuhnya dengan 25.

Sebagai contoh:

9450 boleh dibahagikan dengan 25 (berakhir dengan 50); 5085 tidak boleh dibahagikan dengan 25.

Untuk memudahkan pembahagian nombor asli, peraturan untuk membahagi dengan nombor sepuluh pertama dan nombor 11, 25 telah diterbitkan, yang digabungkan menjadi bahagian. tanda kebolehbahagi nombor asli. Di bawah adalah peraturan yang mana analisis nombor tanpa membahagikannya dengan nombor asli yang lain akan menjawab soalan, adalah nombor asli gandaan nombor 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 dan unit sikit?

Nombor asli yang mempunyai digit (berakhir dengan) 2,4,6,8,0 dalam digit pertama dipanggil genap.

Tanda pembahagian nombor dengan 2

Semua nombor asli boleh dibahagi dengan 2, contohnya: 172, 94.67 838, 1670.

Tanda pembahagian nombor dengan 3

Semua nombor asli yang jumlah digitnya ialah gandaan 3 boleh dibahagi dengan 3. Contohnya:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Tanda pembahagian nombor dengan 4

Semua nombor asli boleh dibahagi dengan 4, dua digit terakhir ialah sifar atau gandaan 4. Contohnya:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Tanda pembahagian nombor dengan 5

Tanda pembahagian nombor dengan 6

Nombor asli yang boleh dibahagi dengan 2 dan 3 pada masa yang sama boleh dibahagi dengan 6 (semua nombor genap yang boleh dibahagi dengan 3). Contohnya: 126 (b - genap, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Tanda pembahagian nombor dengan 9

Nombor asli itu boleh dibahagi dengan 9, hasil tambah digitnya ialah gandaan 9. Contohnya:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Tanda pembahagian nombor dengan 10

Tanda pembahagian nombor dengan 11

Hanya nombor asli itu boleh dibahagi dengan 11, di mana jumlah digit yang menduduki tempat genap adalah sama dengan jumlah digit yang menduduki tempat ganjil, atau perbezaan antara jumlah digit tempat ganjil dan jumlah digit tempat genap ialah gandaan 11. Contohnya:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 dan 0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + b + 7 = 28 dan 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Tanda pembahagian nombor dengan 25

Nombor asli itu boleh dibahagi dengan 25, dua digit terakhir adalah sifar atau gandaan 25. Contohnya:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Tanda kebolehbahagi nombor dengan unit bit

Nombor asli tersebut dibahagikan kepada unit bit, di mana bilangan sifar adalah lebih besar daripada atau sama dengan bilangan sifar unit bit. Contohnya: 12,000 boleh dibahagi dengan 10, 100 dan 1000.

Satu siri artikel mengenai tanda-tanda pembahagian diteruskan tanda boleh bahagi dengan 3. Artikel ini mula-mula memberikan rumusan kriteria kebolehbahagi dengan 3, dan memberikan contoh penggunaan kriteria ini dalam mencari integer yang mana boleh dibahagikan dengan 3 dan yang mana tidak. Selanjutnya, bukti ujian boleh bahagi dengan 3 diberikan. Pendekatan untuk mewujudkan pembahagian dengan 3 nombor yang diberikan sebagai nilai beberapa ungkapan juga dipertimbangkan.

Navigasi halaman.

Tanda boleh bahagi dengan 3, contoh

Mari kita mulakan dengan rumusan ujian bagi kebolehbahagi sebanyak 3: integer boleh dibahagi dengan 3 jika jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 3 , jika jumlah digitnya tidak boleh dibahagi dengan 3 , maka nombor itu sendiri tidak boleh dibahagi dengan 3 .

Daripada rumusan di atas adalah jelas bahawa tanda boleh bahagi dengan 3 tidak boleh digunakan tanpa keupayaan untuk melakukan penambahan nombor asli. Selain itu, untuk kejayaan penerapan tanda kebolehbahagi dengan 3, anda perlu tahu bahawa semua nombor asli satu digit, nombor 3, 6 dan 9 boleh dibahagikan dengan 3, dan nombor 1, 2, 4, 5, 7 dan 8 tidak boleh dibahagikan dengan 3.

Sekarang kita boleh mempertimbangkan yang paling mudah contoh menggunakan ujian untuk kebolehbahagi dengan 3. Mari kita ketahui sama ada nombor itu boleh dibahagi dengan 3? 42. Untuk melakukan ini, kita mengira jumlah digit nombor itu? 42, ia adalah sama dengan 4+2=6. Oleh kerana 6 boleh dibahagi dengan 3, maka, berdasarkan tanda kebolehbahagi dengan 3, boleh dikatakan bahawa nombor? 42 juga boleh dibahagikan dengan 3. Tetapi integer positif 71 tidak boleh dibahagikan dengan 3, kerana jumlah digitnya ialah 7+1=8, dan 8 tidak boleh dibahagikan dengan 3.

Adakah 0 boleh dibahagi dengan 3? Untuk menjawab soalan ini, ujian untuk pembahagian dengan 3 tidak diperlukan, di sini kita perlu mengingati sifat pembahagian yang sepadan, yang menyatakan bahawa sifar boleh dibahagikan dengan mana-mana integer. Jadi 0 boleh dibahagi dengan 3 .

Dalam sesetengah kes, untuk menunjukkan bahawa nombor tertentu mempunyai atau tidak mempunyai keupayaan untuk dibahagi dengan 3, ujian untuk dibahagi dengan 3 perlu digunakan beberapa kali berturut-turut. Mari kita ambil contoh.

Tunjukkan bahawa nombor 907444812 boleh dibahagi dengan 3.

Jumlah digit bagi 907444812 ialah 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Untuk mengetahui sama ada 39 boleh dibahagikan dengan 3 , kami mengira jumlah digitnya: 3+9=12 . Dan untuk mengetahui sama ada 12 boleh dibahagikan dengan 3, kita dapati hasil tambah digit bagi nombor 12, kita mempunyai 1+2=3. Oleh kerana kita mendapat nombor 3, yang boleh dibahagi dengan 3, maka, disebabkan tanda boleh bahagi dengan 3, nombor 12 boleh dibahagikan dengan 3. Oleh itu, 39 boleh dibahagi dengan 3, kerana hasil tambah digitnya ialah 12, dan 12 boleh dibahagi dengan 3. Akhir sekali, 907333812 boleh dibahagi dengan 3 kerana hasil tambah digitnya ialah 39 dan 39 boleh dibahagi dengan 3.

Untuk menyatukan bahan, kami akan menganalisis penyelesaian contoh lain.

Adakah nombor itu boleh dibahagi dengan 3? 543 205?

Mari kita hitung jumlah digit nombor ini: 5+4+3+2+0+5=19 . Sebaliknya, jumlah digit bagi nombor 19 ialah 1+9=10 , dan hasil tambah digit bagi nombor 10 ialah 1+0=1 . Oleh kerana kita mendapat nombor 1, yang tidak boleh dibahagi dengan 3, ia mengikuti daripada kriteria kebolehbahagi dengan 3 bahawa 10 tidak boleh dibahagikan dengan 3. Oleh itu, 19 tidak boleh dibahagikan dengan 3, kerana hasil tambah digitnya ialah 10, dan 10 tidak boleh dibahagikan dengan 3. Oleh itu, nombor asal?543205 tidak boleh dibahagikan dengan 3, kerana hasil tambah digitnya, sama dengan 19, tidak boleh dibahagikan dengan 3.

Perlu diingat bahawa pembahagian terus nombor tertentu dengan 3 juga membolehkan kita membuat kesimpulan sama ada nombor yang diberikan boleh dibahagikan dengan 3 atau tidak. Dengan ini kami ingin mengatakan bahawa perpecahan tidak boleh diabaikan memihak kepada tanda kebolehpecahan oleh 3. Dalam contoh terakhir, membahagikan 543 205 dengan 3 dengan lajur, kita akan memastikan bahawa 543 205 tidak boleh dibahagikan dengan 3, yang mana kita boleh mengatakan bahawa? 543 205 juga tidak boleh dibahagikan dengan 3.

Bukti ujian untuk kebolehbahagi dengan 3

Perwakilan nombor a berikut akan membantu kami membuktikan tanda boleh bahagi dengan 3. Kita boleh menguraikan sebarang nombor asli a kepada digit, selepas itu peraturan pendaraban dengan 10, 100, 1000 dan seterusnya membolehkan kita mendapatkan perwakilan bentuk a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , dengan a n , a n?1 , …, a 0 ialah digit dari kiri ke kanan dalam nombor a . Untuk kejelasan, kami memberikan contoh perwakilan sedemikian: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Sekarang mari kita tulis beberapa kesamaan yang agak jelas: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 dan seterusnya.

Menggantikan ke dalam persamaan a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 bukannya 10 , 100 , 1 000 dan seterusnya ungkapan 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 dan seterusnya, kita dapat
.

Sifat penambahan nombor asli dan sifat pendaraban nombor asli membolehkan kesamaan yang terhasil ditulis semula seperti berikut:

Ungkapan ialah hasil tambah digit bagi a. Marilah kita menetapkannya untuk ringkas dan mudah dengan huruf A, iaitu, kita menerima . Kemudian kami mendapat perwakilan nombor a borang, yang akan kami gunakan dalam membuktikan ujian untuk kebolehbahagi dengan 3.

Juga, untuk membuktikan ujian kebolehbahagi dengan 3, kita memerlukan sifat kebolehbahagi berikut:

untuk integer a boleh dibahagi dengan integer b adalah perlu dan mencukupi bahawa modulus a boleh dibahagikan dengan modulus b;
jika dalam kesamaan a=s+t semua sebutan, kecuali satu, boleh dibahagikan dengan beberapa integer b, maka satu sebutan ini juga boleh dibahagikan dengan b.

Kini kami telah bersedia sepenuhnya dan boleh melaksanakannya bukti boleh bahagi dengan 3, untuk kemudahan, kami merumuskan ciri ini sebagai syarat yang perlu dan mencukupi untuk pembahagian sebanyak 3 .

Untuk integer a boleh dibahagi dengan 3, adalah perlu dan mencukupi bahawa jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 3.

Untuk a=0 teorem adalah jelas.

Jika a adalah berbeza daripada sifar, maka modulus a ialah nombor asli, maka perwakilan adalah mungkin, di mana jumlah digit a.

Oleh kerana jumlah dan hasil darab integer ialah integer, maka ialah integer, maka mengikut takrif kebolehbahagi, hasil darab boleh dibahagikan dengan 3 untuk sebarang a 0 , a 1 , …, a n .

Jika jumlah digit nombor a boleh dibahagi dengan 3, iaitu, A boleh dibahagikan dengan 3, maka, disebabkan oleh sifat boleh bahagi yang ditunjukkan sebelum teorem, ia boleh dibahagikan dengan 3, oleh itu, a boleh dibahagikan dengan 3. Ini membuktikan kecukupan.

Jika a boleh dibahagi dengan 3, maka ia juga boleh dibahagikan dengan 3, maka disebabkan sifat boleh bahagi yang sama, nombor A boleh dibahagikan dengan 3, iaitu, jumlah digit nombor a boleh dibahagikan dengan 3. Ini membuktikan keperluan.

Kes-kes lain pembahagian sebanyak 3

Kadangkala integer dinyatakan tidak secara eksplisit, tetapi sebagai nilai beberapa ungkapan dengan pembolehubah untuk nilai tertentu pembolehubah. Sebagai contoh, nilai ungkapan untuk beberapa n asli ialah nombor asli. Adalah jelas bahawa dengan penugasan nombor ini, pembahagian terus dengan 3 tidak akan membantu untuk mewujudkan kebolehbahagiaan mereka dengan 3, dan tanda kebolehbahagi dengan 3 tidak akan sentiasa dapat digunakan. Sekarang kita akan mempertimbangkan beberapa pendekatan untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Intipati pendekatan ini adalah untuk mewakili ungkapan asal sebagai hasil daripada beberapa faktor, dan jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor boleh dibahagikan dengan 3, maka, disebabkan oleh sifat kebolehbahagi yang sepadan, adalah mungkin untuk membuat kesimpulan bahawa keseluruhan produk boleh dibahagikan dengan 3.

Kadangkala pendekatan ini boleh dilaksanakan menggunakan binomial Newton. Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian.

Adakah nilai ungkapan boleh dibahagikan dengan 3 untuk sebarang n asli?

Kesaksamaan adalah jelas. Mari kita gunakan formula binomial Newton:

Dalam ungkapan terakhir, kita boleh mengambil 3 daripada kurungan, dan kita dapat. Hasil darab yang terhasil boleh dibahagikan dengan 3, kerana ia mengandungi faktor 3, dan nilai ungkapan dalam kurungan untuk n asli ialah nombor asli. Oleh itu, boleh dibahagi dengan 3 untuk sebarang n semula jadi.

Dalam banyak kes, kebolehbahagi dengan 3 boleh dibuktikan dengan kaedah aruhan matematik. Mari analisa aplikasinya dalam menyelesaikan contoh.

Buktikan bahawa bagi mana-mana n semula jadi nilai ungkapan itu boleh dibahagi dengan 3 .

Untuk pembuktiannya, kami menggunakan kaedah aruhan matematik.

Untuk n=1, nilai ungkapan ialah , dan 6 boleh dibahagi dengan 3 .

Katakan nilai ungkapan boleh dibahagi dengan 3 apabila n=k , iaitu, boleh dibahagi dengan 3 .

Dengan mengambil kira bahawa ia boleh dibahagikan dengan 3 , kami akan menunjukkan bahawa nilai ungkapan untuk n=k+1 boleh dibahagikan dengan 3 , iaitu, kami akan menunjukkan bahawa boleh dibahagi dengan 3.

Mari buat beberapa transformasi:

Ungkapan dibahagikan dengan 3 dan ungkapan boleh dibahagi dengan 3, jadi jumlah mereka boleh dibahagi dengan 3.

Jadi kaedah aruhan matematik membuktikan kebolehbahagi dengan 3 bagi sebarang n asli.

Mari kita tunjukkan satu lagi pendekatan kepada bukti kebolehbahagi dengan 3 . Jika kita menunjukkan bahawa untuk n=3 m , n=3 m+1 dan n=3 m+2 , di mana m ialah integer arbitrari, nilai beberapa ungkapan (dengan pembolehubah n) boleh dibahagikan dengan 3 , maka ini akan membuktikan kebolehbahagi ungkapan dengan 3 untuk sebarang integer n . Pertimbangkan pendekatan ini apabila menyelesaikan contoh sebelumnya.

Tunjukkan apa yang boleh dibahagi dengan 3 bagi sebarang n semula jadi.

Untuk n=3 m kita ada. Hasil darab boleh bahagi dengan 3 kerana ia mengandungi faktor 3 boleh bahagi dengan 3 .

Hasil yang terhasil juga boleh dibahagikan dengan 3.

Dan produk ini boleh dibahagikan dengan 3.

Oleh itu, boleh dibahagi dengan 3 untuk sebarang n semula jadi.

Sebagai kesimpulan, kami membentangkan penyelesaian satu lagi contoh.

Adakah nilai ungkapan boleh dibahagikan dengan 3 untuk beberapa n semula jadi.

Untuk n=1 kita ada. Jumlah digit nombor yang terhasil ialah 3, jadi tanda kebolehbahagi dengan 3 membolehkan kita menegaskan bahawa nombor ini boleh dibahagi dengan 3.

Untuk n=2 kita ada. Jumlah digit dan nombor ini ialah 3 , jadi ia boleh dibahagi dengan 3 .

Adalah jelas bahawa untuk mana-mana n semula jadi lain kita akan mempunyai nombor yang jumlah digitnya ialah 3, oleh itu, nombor ini boleh dibahagi dengan 3.

Dengan cara ini, untuk sebarang n semula jadi boleh dibahagi dengan 3.

www.cleverstudents.ru

Matematik, gred 6, buku teks untuk pelajar organisasi pendidikan, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014

Matematik, gred 6, buku teks untuk pelajar organisasi pendidikan, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.

Bahan teori dalam buku teks dipersembahkan sedemikian rupa supaya guru dapat mengaplikasikan pendekatan pengajaran berasaskan masalah. Dengan bantuan sistem tatatanda, latihan empat tahap kerumitan dibezakan. Dalam setiap perenggan, tugasan kawalan digubal berdasarkan perkara yang perlu diketahui dan boleh dicapai oleh pelajar untuk mencapai tahap taraf pendidikan matematik. Terdapat ujian rumah dan jawapan di akhir buku teks. Ilustrasi berwarna (lukisan dan gambar rajah) memberikan tahap kejelasan bahan pendidikan yang tinggi.
Mematuhi keperluan GEF LLC.

Tugasan.

4. Lukiskan segitiga ABC dan tandakan satu titik O di luarnya (seperti dalam Rajah 11). Bina satu rajah simetri kepada segi tiga ABC berkenaan dengan titik O.

5. Lukiskan segi tiga KMN dan bina satu rajah simetri kepada segi tiga ini berkenaan dengan:
a) bucunya - titik M;
b) titik O - titik tengah sisi MN.

6. Bina rajah yang simetri:
a) sinar OM relatif kepada titik O; tulis titik mana yang simetri dengan titik O;
b) sinar OM berkenaan dengan titik A sewenang-wenangnya yang bukan milik sinar ini;
c) garis lurus AB berkenaan dengan titik O, bukan kepunyaan garis ini;
d) garis AB berkenaan dengan titik O kepunyaan garis ini; tulis titik mana yang simetri dengan titik O.
Dalam setiap kes, huraikan kedudukan relatif bagi angka simetri berpusat.

Isi kandungan
Bab I. Nombor positif dan negatif. Koordinat
§ 1. Putaran dan simetri pusat
§ 2. Nombor positif dan negatif. Garis koordinat
§ 3. Modulus nombor. Nombor bertentangan
§ 4. Perbandingan nombor
§ 5. Keselarian garisan
§ 6. Ungkapan angka yang mengandungi tanda "+", "-"
§ 7. Jumlah algebra dan sifatnya
§ 8. Peraturan untuk mengira nilai hasil tambah algebra bagi dua nombor
§ 9. Jarak antara titik garis koordinat
§ 10. Simetri paksi
§ 11. Jurang nombor
§ 12. Pendaraban dan pembahagian nombor positif dan negatif
§ 13. Koordinat
§ 14. Satah koordinat
§ 15. Pendaraban dan pembahagian pecahan biasa
§ 16. Peraturan pendaraban untuk masalah gabungan
Bab II. Menukar ungkapan tersurat
§ 17. Peluasan kurungan
§ 18. Memudahkan ungkapan
§ 19. Penyelesaian persamaan
§ 20. Menyelesaikan masalah untuk menyusun persamaan
§ 21. Dua masalah utama pada pecahan
§ 22. Bulatan. Ukur lilit
§ 23. Bulatan. Luas bulatan
§ 24. Bola. Sfera
Bab III. Kebolehbahagiaan nombor asli
§ 25. Pembahagi dan gandaan
§ 26. Kebolehbahagiaan sesuatu karya
§ 27. Kebolehbahagiaan jumlah dan perbezaan nombor
§ 28. Tanda-tanda pembahagian dengan 2, 5, 10, 4 dan 25
§ 29. Tanda-tanda pembahagian oleh 3 dan 9
§ 30. Nombor perdana. Mengurai nombor kepada faktor perdana
§ 31. Pembahagi Sepunya Terhebat
§ 32. Nombor koprima. Tanda pembahagian oleh sesuatu produk. Gandaan sepunya terkecil
Bab IV. Matematik di sekeliling kita
§ 33. Nisbah dua nombor
§ 34. Gambar rajah
§ 35. Perkadaran kuantiti
§ 36. Menyelesaikan masalah menggunakan perkadaran
§ 37. Pelbagai tugas
§ 38. Perkenalan pertama dengan konsep "kebarangkalian"
§ 39. Perkenalan pertama dengan pengiraan kebarangkalian
Ujian rumah
Topik untuk aktiviti projek
Jawapan

Muat turun percuma e-buku dalam format yang mudah dan baca:

Matematik

BAHAN RUJUKAN MATEMATIK UNTUK GRED 1-6.

Ibu bapa yang dihormati! Jika anda sedang mencari tutor matematik untuk anak anda, maka iklan ini adalah untuk anda. Saya menawarkan tunjuk ajar Skype: persediaan untuk OGE, Peperiksaan Negeri Bersepadu, penghapusan jurang dalam pengetahuan. Faedah anda jelas:

1) Anak anda ada di rumah, dan anda boleh bertenang untuknya;

2) Kelas diadakan pada masa yang sesuai untuk kanak-kanak, dan anda juga boleh menghadiri kelas ini. Saya menerangkan secara ringkas dan jelas di dewan sekolah biasa.

3) Anda boleh memikirkan sendiri kelebihan penting lain kelas Skype!

Tulis kepada saya di: atau segera tambah saya di Skype, dan kami akan bersetuju dengan segala-galanya. Harga mampu milik.

P.S. Pelajaran boleh didapati dalam kumpulan 2-4 pelajar.

Yang ikhlas, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko adalah pengarang laman web ini.

Rakan-rakan yang dikasihi!

Saya berbesar hati menawarkan anda untuk memuat turun bahan rujukan matematik percuma untuk darjah 5. Muat turun di sini!

Rakan-rakan yang dikasihi!

Bukan rahsia lagi bahawa sesetengah kanak-kanak mengalami kesukaran pendaraban dan pembahagian panjang. Selalunya ini disebabkan oleh pengetahuan yang tidak mencukupi tentang jadual pendaraban. Saya bercadang untuk mempelajari jadual pendaraban dengan bantuan loto. Lihat lagi di sini. Muat turun lotto di sini.

Rakan-rakan yang dikasihi! Tidak lama lagi anda akan menghadapi (atau telah pun menghadapi) keperluan untuk membuat keputusan tugas kepentingan. Masalah sedemikian mula diselesaikan pada gred 5 dan selesai. tetapi mereka tidak selesai menyelesaikan masalah untuk peratusan! Tugas-tugas ini ditemui dalam kawalan dan dalam peperiksaan: kedua-duanya boleh dipindah milik, dan OGE dan Peperiksaan Negeri Bersepadu. Apa nak buat? Kita perlu belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah ini. Buku saya Cara Menyelesaikan Masalah dengan Peratusan akan membantu anda dengan ini. Butiran di sini!

Penambahan nombor.

a+b=c, dengan a dan b ialah sebutan, c ialah hasil tambah.
Untuk mencari istilah yang tidak diketahui, tolak istilah yang diketahui daripada jumlahnya.

Penolakan nombor.

a-b=c, di mana a ialah minuend, b ialah subtrahend, c ialah perbezaan.
Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.
Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend.

Pendaraban nombor.

a b=c, dengan a dan b ialah faktor, c ialah hasil darab.
Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan faktor yang diketahui.

Pembahagian nombor.

a:b=c, di mana a ialah dividen, b ialah pembahagi, c ialah hasil bagi.
Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, anda perlu mendarabkan pembahagi dengan hasil bagi.
Untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan dividen dengan hasil bagi.

Undang-undang penambahan.

a+b=b+a(anjakan: jumlah tidak berubah daripada penyusunan semula terma).
(a+b)+c=a+(b+c)(bersekutu: untuk menambah nombor ketiga kepada jumlah dua sebutan, anda boleh menambah jumlah kedua dan ketiga kepada nombor pertama).

Jadual tambahan.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Hukum pendaraban.

a b=b a(anjakan: pilih atur faktor tidak mengubah produk).
(a b) c=a (b c)(kombinatif: untuk mendarab hasil darab dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab nombor pertama dengan hasil darab kedua dan ketiga).
(a+b) c=a c+b c(hukum darab taburan berkenaan dengan penambahan: untuk mendarab jumlah dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab setiap sebutan dengan nombor ini dan menambah hasilnya).
(a-b) c=a c-b c(hukum pendaraban taburan berkenaan dengan penolakan: untuk mendarab perbezaan dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab dengan nombor ini dikurangkan dan ditolak secara berasingan dan tolak kedua daripada hasil pertama).

Jadual pendaraban.

2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.

2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.

2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.

2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.

2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.

2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.

2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.

2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.

2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

Pembahagi dan gandaan.

pembahagi nombor asli a namakan nombor asli yang digunakan a dibahagikan tanpa baki. (Nombor 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 adalah pembahagi nombor 24, kerana 24 boleh dibahagi oleh setiap daripada mereka tanpa baki) 1-pembahagi sebarang nombor asli. Pembahagi terbesar mana-mana nombor ialah nombor itu sendiri.
Pelbagai nombor asli b ialah nombor asli yang boleh dibahagi tanpa baki dengan b. (Nombor 24, 48, 72, ... ialah gandaan nombor 24, kerana ia boleh dibahagikan dengan 24 tanpa baki). Gandaan terkecil mana-mana nombor ialah nombor itu sendiri.

Tanda kebolehbahagi nombor asli.

Nombor yang digunakan semasa mengira objek (1, 2, 3, 4, ...) dipanggil nombor asli. Set nombor asli dilambangkan dengan huruf N.
Nombor 0, 2, 4, 6, 8 dipanggil malah nombor. Nombor yang berakhir dengan digit genap dipanggil nombor genap.
Nombor 1, 3, 5, 7, 9 dipanggil ganjil nombor. Nombor yang berakhir dengan digit ganjil dipanggil nombor ganjil.
Tanda pembahagian mengikut nombor 2. Semua nombor asli yang berakhir dengan digit genap boleh dibahagi dengan 2.
Tanda boleh bahagi dengan nombor 5. Semua nombor asli yang berakhir dengan 0 atau 5 boleh dibahagi dengan 5.
Tanda boleh bahagi dengan nombor 10. Semua nombor asli yang berakhir dengan 0 boleh dibahagi dengan 10.
Tanda pembahagian mengikut nombor 3. Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 3, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 3.
Tanda boleh bahagi dengan nombor 9. Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 9, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 9.
Tanda pembahagian mengikut nombor 4. Jika nombor yang terdiri daripada dua digit terakhir nombor yang diberikan boleh dibahagi dengan 4, maka nombor yang diberikan itu sendiri boleh dibahagi dengan 4.
Tanda boleh bahagi dengan nombor 11. Jika perbezaan antara jumlah digit di tempat ganjil dan jumlah digit di tempat genap boleh dibahagi dengan 11, maka nombor itu sendiri boleh dibahagi dengan 11.

Nombor perdana ialah nombor yang hanya mempunyai dua pembahagi: satu dan nombor itu sendiri.
Nombor komposit ialah nombor yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi.
Nombor 1 bukan nombor perdana mahupun nombor komposit.
Menulis nombor komposit sebagai hasil darab nombor perdana sahaja dipanggil memfaktorkan nombor komposit menjadi faktor perdana. Mana-mana nombor komposit boleh diwakili secara unik sebagai hasil darab faktor perdana.

Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor asli yang diberikan ialah nombor asli terbesar yang setiap nombor ini boleh dibahagikan.
Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor ini adalah sama dengan hasil darab faktor perdana sepunya dalam pengembangan nombor ini. Contoh. GCD(24, 42)=2 3=6, kerana 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, faktor perdana sepunya mereka ialah 2 dan 3.
Jika nombor asli hanya mempunyai satu pembahagi sepunya - satu, maka nombor ini dipanggil coprime.

Gandaan sepunya terkecil bagi nombor asli yang diberikan ialah nombor asli terkecil yang merupakan gandaan bagi setiap nombor yang diberi. Contoh. LCM(24, 42)=168. Ini adalah nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan 24 dan 42.
Untuk mencari LCM bagi beberapa nombor asli yang diberikan, adalah perlu: 1) menguraikan setiap nombor yang diberi kepada faktor perdana; 2) tulis pengembangan nombor terbesar dan darab dengan faktor yang hilang daripada pengembangan nombor lain.
Gandaan terkecil daripada dua nombor koprima adalah sama dengan hasil darab nombor ini.

b- penyebut pecahan, menunjukkan berapa banyak bahagian yang sama dibahagikan;

a-pembilang pecahan, menunjukkan berapa banyak bahagian tersebut telah diambil. Bar pecahan bermaksud tanda bahagi.

Kadangkala, bukannya garis pecahan mendatar, mereka meletakkan garis miring, dan pecahan biasa ditulis seperti ini: a/b.

Pada pecahan wajar pengangka lebih kecil daripada penyebut.
Pada pecahan tak wajar pengangka lebih besar daripada penyebut atau sama dengan penyebut.

Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab atau dibahagikan dengan nombor asli yang sama, maka pecahan yang sama dengannya akan diperolehi.

Membahagi kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan dengan pembahagi sepunya mereka selain daripada satu dipanggil pengurangan pecahan.

Nombor yang terdiri daripada bahagian integer dan bahagian pecahan dipanggil nombor bercampur.
Untuk mewakili pecahan tak wajar sebagai nombor bercampur, adalah perlu untuk membahagikan pengangka pecahan dengan penyebut, maka hasil bahagi tidak lengkap akan menjadi bahagian integer nombor bercampur, bakinya akan menjadi pengangka bahagian pecahan. , dan penyebutnya akan tetap sama.
Untuk mewakili nombor bercampur sebagai pecahan tak wajar, anda perlu mendarab bahagian integer nombor bercampur dengan penyebut, tambahkan pengangka bahagian pecahan kepada hasil dan tuliskannya dalam pengangka bagi pecahan tak wajar, dan biarkan penyebutnya. sama.

Ray Oh dengan asal pada titik O, yang mana potongan tunggal kepada dan arah, dipanggil rasuk koordinat.
Nombor yang sepadan dengan titik sinar koordinat dipanggil menyelaras titik ini. Sebagai contoh , A(3). Baca: titik A dengan koordinat 3.

Penyebut biasa terendah ( NOZ) daripada pecahan tak boleh dikurangkan ini ialah gandaan sepunya terkecil ( NOC) penyebut pecahan ini.
Untuk membawa pecahan kepada penyebut sepunya terkecil, anda mesti: 1) mencari gandaan sepunya terkecil penyebut pecahan ini, ia akan menjadi penyebut sepunya terkecil. 2) cari faktor tambahan bagi setiap pecahan, yang mana kita bahagikan penyebut baharu dengan penyebut setiap pecahan. 3) darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.

Daripada dua pecahan dengan penyebut yang sama, yang mempunyai pengangka yang lebih besar adalah lebih besar, dan yang mempunyai pengangka yang lebih kecil adalah yang lebih kecil.
Daripada dua pecahan dengan pengangka yang sama, yang mempunyai penyebut yang lebih kecil adalah lebih besar, dan yang mempunyai penyebut yang lebih besar adalah lebih kecil.
Untuk membandingkan pecahan dengan pengangka yang berbeza dan penyebut yang berbeza, anda perlu mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa terendah, dan kemudian membandingkan pecahan dengan penyebut yang sama.

Operasi pada pecahan biasa.

Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya, dan biarkan penyebutnya sama.
Jika anda perlu menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, mula-mula kurangkan pecahan kepada penyebut biasa yang paling rendah, dan kemudian tambahkan pecahan dengan penyebut yang sama.
Untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama, pengangka pecahan kedua ditolak daripada pengangka pecahan pertama, dan penyebutnya dibiarkan sama.
Jika anda perlu menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza, maka ia mula-mula dibawa ke penyebut biasa, dan kemudian pecahan dengan penyebut yang sama ditolak.
Apabila melakukan operasi untuk menambah atau menolak nombor bercampur, operasi ini dilakukan secara berasingan untuk bahagian integer dan untuk bahagian pecahan, dan kemudian hasilnya ditulis sebagai nombor bercampur.

Hasil darab dua pecahan biasa adalah sama dengan pecahan yang pengangkanya sama dengan hasil darab pengangka, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebut pecahan yang diberi.
Untuk mendarab pecahan biasa dengan nombor asli, anda perlu mendarabkan pengangka pecahan dengan nombor ini, dan biarkan penyebutnya sama.
Dua nombor yang hasil darabnya sama dengan satu dipanggil nombor saling bersaling.
Apabila mendarab nombor bercampur, ia mula-mula ditukar kepada pecahan tak wajar.
Untuk mencari pecahan nombor, anda perlu mendarab nombor itu dengan pecahan itu.

Untuk membahagi pecahan biasa dengan pecahan biasa, anda perlu mendarabkan dividen dengan salingan pembahagi.
Apabila membahagikan nombor bercampur, ia mula-mula ditukar kepada pecahan tak wajar.
Untuk membahagi pecahan biasa dengan nombor asli, anda perlu mendarab penyebut pecahan dengan nombor asli ini, dan biarkan pengangkanya sama. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
Untuk mencari nombor mengikut pecahannya, anda perlu membahagikan dengan pecahan ini nombor yang sepadan dengannya.

Pecahan perpuluhan ialah nombor yang ditulis dalam sistem perpuluhan dan mempunyai digit kurang daripada satu. (3.25; 0.1457 dsb.)
Tempat perpuluhan selepas titik perpuluhan dipanggil tempat perpuluhan.
Pecahan perpuluhan tidak akan berubah jika sifar ditambah atau dibuang pada penghujung pecahan perpuluhan.

Untuk menambah pecahan perpuluhan, anda perlu: 1) menyamakan bilangan tempat perpuluhan dalam pecahan ini; 2) tuliskan satu di bawah yang lain supaya koma ditulis di bawah koma; 3) lakukan penambahan, abaikan koma, dan letakkan koma di bawah koma dalam pecahan hasil tambah.

Untuk melakukan penolakan pecahan perpuluhan, anda perlu: 1) menyamakan bilangan tempat perpuluhan dalam minuend dan subtrahend; 2) tandatangani tolak di bawah pengurangan supaya koma berada di bawah koma; 3) lakukan penolakan, mengabaikan koma, dan hasilnya, letakkan koma di bawah koma minuend dan subtrahend.

Untuk mendarab pecahan perpuluhan dengan nombor asli, anda perlu mendarabnya dengan nombor ini, mengabaikan koma, dan dalam hasil darab yang terhasil, pisahkan seberapa banyak digit di sebelah kanan seperti yang terdapat selepas titik perpuluhan dalam pecahan yang diberikan.
Untuk mendarab satu pecahan perpuluhan dengan yang lain, anda perlu melakukan pendaraban, mengabaikan koma, dan dalam keputusan yang terhasil, pisahkan seberapa banyak digit dengan koma di sebelah kanan seperti yang terdapat selepas koma dalam kedua-dua faktor bersama-sama.
Untuk mendarab perpuluhan dengan 10, 100, 1000, dsb., anda perlu mengalihkan titik perpuluhan ke kanan dengan 1, 2, 3, dsb. digit.
Untuk mendarab perpuluhan dengan 0.1; 0.01; 0.001, dsb., anda perlu mengalihkan koma ke kiri sebanyak 1, 2, 3, dsb. digit.

Untuk membahagi pecahan perpuluhan dengan nombor asli, anda perlu membahagikan pecahan dengan nombor ini, kerana nombor asli dibahagikan dan diletakkan dalam koma persendirian apabila pembahagian keseluruhan bahagian itu tamat.
Untuk membahagi perpuluhan dengan 10, 100, 1000, dsb., anda perlu mengalihkan koma ke kiri dengan 1, 2, 3, dsb. digit.

Untuk membahagikan nombor dengan perpuluhan, anda perlu mengalihkan koma dalam dividen dan pembahagi seberapa banyak digit ke kanan seperti selepas titik perpuluhan dalam pembahagi, dan kemudian bahagikan dengan nombor asli.
Untuk membahagi perpuluhan dengan 0.1; 0.01; 0.001, dsb., anda perlu mengalihkan koma ke kanan sebanyak 1, 2, 3, dsb. digit. (Membahagikan perpuluhan dengan 0.1; 0.01; 0.001, dsb. adalah sama dengan mendarab perpuluhan itu dengan 10, 100, 1000, dsb.)

Untuk membundarkan nombor kepada digit tertentu, kami menggariskan digit digit ini, dan kemudian kami menggantikan semua digit di belakang yang bergaris dengan sifar, dan jika ia selepas titik perpuluhan, kami buang. Jika digit pertama yang diganti atau dibuang sifar ialah 0, 1, 2, 3, atau 4, maka digit yang bergaris bawah dibiarkan tidak berubah. Jika digit pertama digantikan dengan sifar atau dibuang ialah 5, 6, 7, 8 atau 9, maka digit yang digariskan dinaikkan sebanyak 1.

Min aritmetik bagi beberapa nombor.

Purata aritmetik bagi beberapa nombor ialah hasil bagi membahagikan jumlah nombor ini dengan bilangan sebutan.

Julat siri nombor.

Perbezaan antara nilai terbesar dan terkecil siri data dipanggil julat siri nombor.

Fesyen siri nombor.

Nombor yang berlaku dengan kekerapan terbesar antara nombor siri yang diberikan dipanggil mod siri nombor.

Seperseratus dipanggil peratusan. Beli buku yang mengajar "Cara menyelesaikan masalah peratusan."
Untuk menyatakan peratusan sebagai pecahan atau nombor asli, anda perlu membahagikan peratusan dengan 100%. (4%=0.04; 32%=0.32).
Untuk menyatakan nombor sebagai peratusan, anda perlu mendarabnya dengan 100%. (0.65=0.65 100%=65%; 1.5=1.5 100%=150%).
Untuk mencari peratusan nombor, anda perlu menyatakan peratusan sebagai pecahan biasa atau perpuluhan dan mendarab pecahan yang terhasil dengan nombor yang diberikan.
Untuk mencari nombor dengan peratusannya, anda perlu menyatakan peratusan sebagai pecahan biasa atau perpuluhan dan membahagikan nombor yang diberikan dengan pecahan ini.
Untuk mencari peratusan nombor pertama daripada yang kedua, anda perlu membahagikan nombor pertama dengan yang kedua dan darabkan hasilnya dengan 100%.

Hasil bagi dua nombor dipanggil nisbah nombor ini. a:b atau a/b ialah nisbah nombor a dan b, tambahan pula, a ialah sebutan sebelumnya, b ialah sebutan seterusnya.
Jika istilah hubungan ini disusun semula, maka hubungan yang terhasil dipanggil songsang hubungan ini. Hubungan b/a dan a/b adalah saling songsang.
Nisbah tidak akan berubah jika kedua-dua sebutan nisbah didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama.

Persamaan dua nisbah dipanggil perkadaran.
a:b=c:d. Ini adalah perkadaran. Baca: a jadi terpakai kepada b, bagaimana c merujuk kepada d. Nombor a dan d dipanggil ahli ekstrem perkadaran, dan nombor b dan c ialah ahli pertengahan perkadaran.

Hasil darab sebutan ekstrem bagi suatu bahagian adalah sama dengan hasil darab sebutan tengahnya. Untuk perkadaran a:b=c:d atau a/b=c/d harta utama ditulis seperti ini: a d=b c.
Untuk mencari sebutan ekstrem perkadaran yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan hasil darab sebutan purata perkadaran dengan istilah ekstrem yang diketahui.
Untuk mencari sebutan pertengahan perkadaran yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan hasil darab sebutan melampau perkadaran dengan sebutan pertengahan yang diketahui. Tugas perkadaran.

Biarkan nilai y bergantung pada saiz X. Jika dengan peningkatan X beberapa kali ganda saiznya di meningkat dengan faktor yang sama, maka nilai tersebut X dan di dipanggil berkadar terus.

Jika dua kuantiti adalah berkadar terus, maka nisbah dua nilai arbitrari kuantiti pertama adalah sama dengan nisbah dua nilai sepadan kuantiti kedua.

Nisbah panjang segmen pada peta kepada panjang jarak yang sepadan di atas tanah dipanggil skala peta.

Biarkan nilai di bergantung pada saiz X. Jika dengan peningkatan X beberapa kali ganda saiznya di berkurang dengan faktor yang sama, maka nilai tersebut X dan di dipanggil berkadar songsang.

Jika dua kuantiti adalah berkadar songsang, maka nisbah dua nilai yang diambil secara sewenang-wenangnya bagi satu kuantiti adalah sama dengan nisbah songsang nilai yang sepadan dengan kuantiti yang lain.

Set ialah himpunan beberapa objek atau nombor yang disusun mengikut beberapa sifat atau undang-undang umum (banyak huruf pada halaman, banyak pecahan biasa dengan penyebut 5, banyak bintang di langit, dll.).
Set terdiri daripada unsur dan sama ada terhingga atau tak terhingga. Set yang tidak mengandungi sebarang unsur dipanggil set kosong dan dilambangkan Oh
Banyak AT dipanggil subset bagi set TAPI jika semua elemen set AT adalah unsur-unsur set TAPI.
Tetapkan persimpangan TAPI dan AT ialah set yang unsur-unsurnya tergolong dalam set TAPI dan banyak AT.
Kesatuan set TAPI dan AT ialah set yang unsur-unsurnya tergolong dalam sekurang-kurangnya satu set yang diberikan TAPI dan AT.

Set nombor.

N– set nombor asli: 1, 2, 3, 4,…
Z– set integer: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Q ialah set nombor rasional yang boleh diwakili sebagai pecahan m/n, di mana m- keseluruhan, n– semula jadi (-2; 3/5; v9; v25, dsb.)

Garis koordinat ialah garis lurus di mana arah positif, titik rujukan (titik O) dan segmen unit diberikan.
Setiap titik pada garis koordinat sepadan dengan nombor tertentu, yang dipanggil koordinat titik ini. Sebagai contoh, A(5). Baca: titik A dengan koordinat lima. PADA 3). Baca: titik B dengan koordinat tolak tiga.

Modulus nombor a (tulis |a|) dipanggil jarak dari asal ke titik yang sepadan dengan nombor yang diberikan a. Nilai modulus mana-mana nombor adalah bukan negatif. |3|=3; |-3|=3, kerana jarak dari asal ke nombor -3 dan ke nombor 3 adalah sama dengan tiga segmen unit. |0|=0 .
Mengikut takrif modulus nombor: |a|=a, jika a?0 dan |a|=-a, jika a b.
Jika, apabila membandingkan nombor a dan b, perbezaannya a-b ialah nombor negatif, maka a , maka ia dipanggil ketaksamaan yang ketat.
Jika ketaksamaan ditulis dalam tanda? atau ?, maka ia dipanggil ketidaksamaan tidak ketat.

Sifat ketaksamaan berangka.

G) Ketaksamaan dalam bentuk x?a. Jawapan:

Idea dan konsep utama yang diperlukan untuk penganjuran aktiviti sukarelawan (sukarela). 1. Pendekatan umum kepada penganjuran aktiviti sukarelawan (sukarelawan). 1.1 Idea dan konsep asas yang diperlukan untuk penganjuran aktiviti sukarelawan (sukarelawan). 1.2. Rangka kerja perundangan untuk sukarelawan […]

Undang-undang Muna Undang-undang Manu ialah koleksi preskripsi India purba untuk kewajipan agama, moral dan sosial (dharma), juga dipanggil "undang-undang Arya" atau "kod kehormatan orang Arya". Manavadharmashastra adalah salah satu daripada dua puluh dharmashastra. Berikut ialah serpihan yang dipilih (diterjemahkan oleh Georgy Fedorovich […]

"Pengurusan dan Pengoptimuman Perusahaan Pembuatan" ABSTRAK Konsep asas etika perniagaan diberikan. Ia menunjukkan bahawa pada masa ini, apabila perusahaan dan organisasi domestik sedang disepadukan ke dalam kehidupan ekonomi pelbagai wilayah di planet ini, peraturan komunikasi perniagaan memerlukan perhatian khusus. Ujian diberikan […]

tanda boleh bahagi

Tanda pembahagian- peraturan yang membolehkan anda secara relatif cepat menentukan sama ada nombor adalah gandaan nombor yang telah ditetapkan tanpa perlu melakukan pembahagian sebenar. Sebagai peraturan, ia adalah berdasarkan tindakan dengan sebahagian daripada digit daripada notasi nombor dalam sistem nombor kedudukan (biasanya perpuluhan).

Terdapat beberapa peraturan mudah yang membolehkan anda mencari pembahagi kecil nombor dalam sistem nombor perpuluhan:

Tanda boleh bahagi dengan 2

Tanda boleh bahagi dengan 3

Kebolehbahagi dengan 4 tanda

Tanda boleh bahagi dengan 5

Tanda boleh bahagi dengan 6

Tanda boleh bahagi dengan 7

Tanda boleh bahagi dengan 8

Tanda boleh bahagi dengan 9

Tanda boleh bahagi sebanyak 10

Tanda boleh bahagi dengan 11

Tanda boleh bahagi dengan 12

Tanda boleh bahagi sebanyak 13

Tanda boleh bahagi sebanyak 14

Tanda boleh bahagi sebanyak 15

Tanda boleh bahagi dengan 17

Tanda boleh bahagi sebanyak 19

Tanda boleh bahagi sebanyak 23

Tanda boleh bahagi sebanyak 25

Tanda boleh bahagi dengan 99

Kami membahagikan nombor kepada kumpulan 2 digit dari kanan ke kiri (kumpulan paling kiri boleh mempunyai satu digit) dan mencari jumlah kumpulan ini, menganggapnya sebagai nombor dua digit. Jumlah ini boleh dibahagi dengan 99 jika dan hanya jika nombor itu sendiri boleh dibahagi dengan 99.

Tanda boleh bahagi dengan 101

Kami membahagikan nombor kepada kumpulan 2 digit dari kanan ke kiri (kumpulan paling kiri boleh mempunyai satu digit) dan mencari jumlah kumpulan ini dengan tanda berubah-ubah, menganggapnya sebagai nombor dua digit. Jumlah ini boleh dibahagi dengan 101 jika dan hanya jika nombor itu sendiri boleh dibahagi dengan 101. Contohnya, 590547 boleh dibahagi dengan 101, kerana 59-05+47=101 boleh dibahagi dengan 101).

Tanda boleh bahagi dengan 2 n

Suatu nombor boleh dibahagi dengan kuasa ke dua jika dan hanya jika nombor yang dibentuk oleh n digit terakhirnya boleh dibahagi dengan kuasa yang sama.

Tanda boleh bahagi dengan 5 n

Sesuatu nombor boleh dibahagi dengan kuasa ke 5 jika dan hanya jika nombor yang dibentuk oleh n digit terakhirnya boleh dibahagi dengan kuasa yang sama.

Tanda boleh bahagi sebanyak 10 n − 1

Kami membahagikan nombor kepada kumpulan n digit dari kanan ke kiri (kumpulan paling kiri boleh mengandungi dari 1 hingga n digit) dan mencari jumlah kumpulan ini, menganggapnya sebagai nombor n-digit. Jumlah ini boleh dibahagikan dengan 10 n− 1 jika dan hanya jika nombor itu sendiri boleh dibahagi dengan 10 n − 1 .

Tanda boleh bahagi sebanyak 10 n

Suatu nombor boleh dibahagi dengan kuasa ke-n bagi sepuluh jika dan hanya jika n digit terakhirnya ialah