nombor tak rasional- ia nombor sebenar, yang tidak rasional, iaitu, tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana integer, . Nombor tak rasional boleh diwakili sebagai perpuluhan tak terhingga tidak berulang.
Set nombor tidak rasional biasanya dilambangkan dengan huruf Latin besar dalam huruf tebal tanpa lorek. Oleh itu: , i.e. set nombor tak rasional ialah perbezaan set nombor nyata dan nombor rasional.
Mengenai kewujudan nombor tidak rasional, lebih tepat lagi segmen yang tidak dapat dibandingkan dengan segmen panjang unit, ahli matematik purba sudah tahu: mereka tahu, sebagai contoh, ketidakseimbangan pepenjuru dan sisi segi empat sama, yang bersamaan dengan ketidakrasionalan nombor.
Hartanah
- Mana-mana nombor nyata boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan tak terhingga, manakala nombor tak rasional dan hanya nombor itu ditulis sebagai pecahan perpuluhan tak terhingga tak berkala.
- Nombor tak rasional mentakrifkan potongan Dedekind dalam set nombor rasional yang tidak mempunyai nombor terbesar dalam kelas bawah dan tiada nombor terkecil di atas.
- Setiap nombor transendental sebenar adalah tidak rasional.
- Setiap nombor tidak rasional adalah sama ada algebra atau transendental.
- Set nombor tak rasional adalah padat di mana-mana pada garis nyata: antara mana-mana dua nombor terdapat nombor tak rasional.
- Susunan pada set nombor tak rasional adalah isomorfik kepada susunan pada set nombor transendental sebenar.
- Set nombor tak rasional tidak boleh dikira, ialah set kategori kedua.
Contoh
| Nombor tak rasional - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Tidak rasional ialah:
Contoh Bukti Ketidakrasionalan
Akar 2
Andaikan sebaliknya: ia adalah rasional, iaitu, ia diwakili sebagai pecahan tidak boleh dikurangkan, dengan integer, dan merupakan nombor asli. Mari kita kuasai persamaan yang sepatutnya:
.Daripada ini ia mengikuti bahawa genap, oleh itu, genap dan . Biar di mana keseluruhannya. Kemudian
Oleh itu, walaupun, oleh itu, walaupun dan . Kami telah memperoleh itu dan genap, yang bercanggah dengan ketakterurangan pecahan . Oleh itu, andaian asal adalah salah, dan merupakan nombor tidak rasional.
Logaritma binari nombor 3
Andaikan sebaliknya: ia adalah rasional, iaitu, ia diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer. Sejak , dan boleh diambil positif. Kemudian
Tetapi ia jelas, ia adalah ganjil. Kami mendapat percanggahan.
e
cerita
Konsep nombor tak rasional telah diterima pakai secara tersirat oleh ahli matematik India pada abad ke-7 SM, apabila Manawa (c. 750 SM - c. 690 SM) mendapati punca kuasa dua beberapa nombor asli, seperti 2 dan 61 tidak boleh dinyatakan secara eksplisit.
Bukti pertama kewujudan nombor tidak rasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus of Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemui bukti ini dengan mengkaji panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoreans, dipercayai bahawa terdapat satu unit panjang, cukup kecil dan tidak boleh dibahagikan, yang merupakan bilangan integer yang termasuk dalam mana-mana segmen. Walau bagaimanapun, Hippasus berhujah bahawa tidak ada satu unit panjang, kerana andaian kewujudannya membawa kepada percanggahan. Dia menunjukkan bahawa jika hipotenus segi tiga sama kaki tegak mengandungi nombor integer segmen unit, maka nombor ini mestilah genap dan ganjil pada masa yang sama. Buktinya kelihatan seperti ini:
- Nisbah panjang hipotenus kepada panjang kaki segi tiga sama kaki boleh dinyatakan sebagai a:b, di mana a dan b dipilih sebagai sekecil mungkin.
- Mengikut teorem Pythagoras: a² = 2 b².
- Kerana a² walaupun, a mestilah genap (kerana kuasa dua nombor ganjil akan menjadi ganjil).
- Sejauh mana a:b tidak dapat dikurangkan b mesti ganjil.
- Kerana a malah, menandakan a = 2y.
- Kemudian a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², oleh itu b adalah genap, maka b malah.
- Walau bagaimanapun, ia telah terbukti b ganjil. Percanggahan.
Ahli matematik Yunani memanggil nisbah kuantiti yang tidak boleh dibandingkan alogos(tidak dapat diungkapkan), tetapi menurut legenda, Hippasus tidak diberi penghormatan sewajarnya. Terdapat legenda bahawa Hippasus membuat penemuan semasa dalam pelayaran laut dan dibuang ke laut oleh Pythagorean lain "kerana mencipta unsur alam semesta, yang menafikan doktrin bahawa semua entiti di alam semesta boleh dikurangkan kepada nombor bulat dan nisbahnya. " Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematik Pythagoras, memusnahkan andaian yang mendasari keseluruhan teori bahawa nombor dan objek geometri adalah satu dan tidak boleh dipisahkan.
Nombor tidak rasional telah diketahui oleh manusia sejak zaman dahulu. Beberapa abad sebelum era kita, ahli matematik India Manava mendapati bahawa punca kuasa dua beberapa nombor (contohnya, 2) tidak boleh dinyatakan secara eksplisit.
Artikel ini adalah sejenis pelajaran pengenalan dalam topik "Nombor tidak rasional". Kami akan memberikan definisi dan contoh nombor tidak rasional dengan penjelasan, dan juga mengetahui cara untuk menentukan sama ada nombor yang diberikan adalah tidak rasional.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nombor tak rasional. Definisi
Nama "nombor tidak rasional" nampaknya mencadangkan definisi kepada kita. Nombor tak rasional ialah nombor nyata yang bukan rasional. Dalam erti kata lain, nombor sedemikian tidak boleh diwakili sebagai pecahan m n , di mana m ialah integer dan n ialah nombor asli.
Definisi. Nombor tak rasional
Nombor tak rasional ialah nombor yang, dalam tatatanda perpuluhan, adalah pecahan perpuluhan tak berulang tak terhingga.
Nombor tak rasional boleh diwakili sebagai pecahan tak berkala tak terhingga. Set nombor tak rasional dilambangkan dengan $I$ dan ia bersamaan dengan: $I=R / Q$ .
contohnya. Nombor tak rasional ialah:
Operasi pada nombor tak rasional
Pada set nombor tak rasional, empat operasi aritmetik asas boleh diperkenalkan: tambah, tolak, darab dan bahagi; tetapi untuk tiada operasi tersenarai set nombor tak rasional mempunyai sifat penutupan. Sebagai contoh, hasil tambah dua nombor tak rasional boleh menjadi nombor rasional.
contohnya. Cari hasil tambah dua nombor tak rasional $0.1010010001 \ldots$ dan $0.0101101110 \ldots$ . Yang pertama daripada nombor ini dibentuk oleh urutan satu, masing-masing dipisahkan oleh satu sifar, dua sifar, tiga sifar, dll., yang kedua - dengan urutan sifar, antara yang satu, dua satu, tiga satu, dsb. ditempatkan:
$$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Oleh itu, hasil tambah dua nombor tak rasional yang diberi ialah nombor $\frac(1)(9)$ , iaitu rasional.
Contoh
Senaman. Buktikan bahawa nombor $\sqrt(3)$ adalah tidak rasional.
Bukti. Kami akan menggunakan kaedah pembuktian secara bercanggah. Katakan bahawa $\sqrt(3)$ ialah nombor rasional, iaitu, ia boleh diwakili sebagai pecahan $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan nombor asli koprima.
Kami kuasai kedua-dua belah kesamaan, kami dapat
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Anak panah kiri 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Nombor 3$\cdot n^(2)$ boleh dibahagi dengan 3. Oleh itu $m^(2)$ dan oleh itu $m$ boleh dibahagi dengan 3. Meletakkan $m=3 \cdot k$, kesamaan $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ boleh ditulis sebagai
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Anak panah kiri 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Anak panah kiri n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Ia berikutan daripada kesamaan terakhir bahawa $n^(2)$ dan $n$ boleh dibahagi dengan 3, jadi pecahan $\frac(m)(n)$ boleh dikurangkan sebanyak 3. Tetapi dengan andaian, pecahan $\ frac(m)(n)$ tidak boleh dikurangkan. Percanggahan yang terhasil membuktikan bahawa nombor $\sqrt(3)$ tidak boleh diwakili sebagai pecahan $\frac(m)(n)$ dan, oleh itu, adalah tidak rasional.
Q.E.D.
Semua nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan sepunya. Ini terpakai kepada nombor bulat (contohnya, 12, -6, 0), dan pecahan perpuluhan akhir (contohnya, 0.5; -3.8921), dan pecahan perpuluhan berkala tak terhingga (contohnya, 0.11(23); -3 ,(87 )).
tetapi perpuluhan tak terhingga tidak berulang tidak boleh diwakili sebagai pecahan biasa. Itulah mereka nombor tidak rasional(iaitu tidak rasional). Contoh nombor sedemikian ialah π, iaitu lebih kurang sama dengan 3.14. Walau bagaimanapun, apa yang sama dengannya tidak dapat ditentukan, kerana selepas nombor 4 terdapat siri nombor lain yang tidak berkesudahan di mana tempoh berulang tidak dapat dibezakan. Pada masa yang sama, walaupun nombor π tidak dapat dinyatakan dengan tepat, ia mempunyai makna geometri yang khusus. Nombor π ialah nisbah panjang mana-mana bulatan kepada panjang diameternya. Oleh itu nombor tak rasional memang wujud secara semula jadi, begitu juga nombor rasional.
Satu lagi contoh nombor tak rasional ialah punca kuasa dua nombor positif. Mengeluarkan akar dari beberapa nombor memberikan nilai rasional, dari yang lain - tidak rasional. Contohnya, √4 = 2, iaitu punca 4 ialah nombor rasional. Tetapi √2, √5, √7 dan banyak lagi menghasilkan nombor tidak rasional, iaitu, mereka boleh diekstrak hanya dengan anggaran, dibundarkan ke tempat perpuluhan tertentu. Dalam kes ini, pecahan diperoleh bukan berkala. Iaitu, adalah mustahil untuk mengatakan dengan tepat dan pasti apakah punca nombor ini.
Jadi √5 ialah nombor antara 2 dan 3, kerana √4 = 2, dan √9 = 3. Kita juga boleh membuat kesimpulan bahawa √5 lebih hampir kepada 2 daripada 3, kerana √4 lebih dekat kepada √5 daripada √9 kepada √5. Sesungguhnya, √5 ≈ 2.23 atau √5 ≈ 2.24.
Nombor tidak rasional juga diperoleh dalam pengiraan lain (dan bukan sahaja apabila mengekstrak akar), ia adalah negatif.
Berhubung dengan nombor tidak rasional, kita boleh mengatakan bahawa tidak kira apa segmen unit yang kita ambil untuk mengukur panjang yang dinyatakan oleh nombor sedemikian, kita tidak akan dapat mengukurnya dengan pasti.
Dalam operasi aritmetik, nombor tak rasional boleh mengambil bahagian bersama dengan nombor rasional. Pada masa yang sama, terdapat beberapa peraturan. Sebagai contoh, jika hanya nombor rasional yang terlibat dalam operasi aritmetik, maka hasilnya sentiasa nombor rasional. Jika hanya yang tidak rasional mengambil bahagian dalam operasi, maka adalah mustahil untuk mengatakan dengan jelas sama ada nombor rasional atau tidak rasional akan muncul.
Sebagai contoh, jika anda mendarab dua nombor tak rasional √2 * √2, anda mendapat 2 - ini ialah nombor rasional. Sebaliknya, √2 * √3 = √6 ialah nombor tidak rasional.
Jika operasi aritmetik melibatkan nombor rasional dan nombor tak rasional, maka keputusan tak rasional akan diperolehi. Contohnya, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 - 4.
Mengapakah √17 - 4 nombor tak rasional? Bayangkan anda mendapat nombor rasional x. Kemudian √17 = x + 4. Tetapi x + 4 ialah nombor rasional, kerana kita mengandaikan bahawa x adalah rasional. Nombor 4 juga rasional, jadi x + 4 adalah rasional. Walau bagaimanapun, nombor rasional tidak boleh sama dengan tak rasional √17. Oleh itu, andaian bahawa √17 - 4 memberikan keputusan yang rasional adalah tidak betul. Keputusan operasi aritmetik akan menjadi tidak rasional.
Walau bagaimanapun, terdapat pengecualian kepada peraturan ini. Jika kita mendarab nombor tak rasional dengan 0, kita mendapat nombor rasional 0.
Definisi nombor tak rasional
Nombor tak rasional ialah nombor yang, dalam tatatanda perpuluhan, adalah pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga.
Jadi, sebagai contoh, nombor yang diperoleh dengan mengambil punca kuasa dua nombor asli adalah tidak rasional dan bukan kuasa dua nombor asli. Tetapi tidak semua nombor tidak rasional diperoleh dengan mengekstrak punca kuasa dua, kerana nombor "pi" yang diperoleh dengan membahagikan juga tidak rasional, dan anda tidak mungkin mendapatkannya apabila cuba mengekstrak punca kuasa dua daripada nombor asli.
Sifat nombor tak rasional
Tidak seperti nombor yang ditulis dalam pecahan perpuluhan tak terhingga, hanya nombor tak rasional ditulis dalam pecahan perpuluhan tak terhingga bukan berkala.
Hasil tambah dua nombor tak rasional bukan negatif akhirnya boleh menjadi nombor rasional.
Nombor tak rasional mentakrifkan bahagian Dedekind dalam set nombor rasional, dalam kelas bawah yang tidak ada nombor terbesar, dan dalam kelas atas tidak ada yang lebih kecil.
Sebarang nombor transendental sebenar adalah tidak rasional.
Semua nombor tidak rasional adalah sama ada algebra atau transendental.
Set nombor tak rasional pada baris itu padat, dan di antara mana-mana dua nombornya pasti ada nombor tak rasional.
Set nombor tak rasional adalah tak terhingga, tidak boleh dikira dan merupakan set kategori ke-2.
Apabila melakukan sebarang operasi aritmetik pada nombor rasional, kecuali bahagi dengan 0, hasilnya akan menjadi nombor rasional.
Apabila menambah nombor rasional kepada nombor tak rasional, hasilnya sentiasa nombor tak rasional.
Apabila menambah nombor tidak rasional, kita boleh mendapatkan nombor rasional sebagai hasilnya.
Set nombor tak rasional adalah tidak genap.
Nombor tidak rasional
Kadangkala agak sukar untuk menjawab soalan sama ada sesuatu nombor itu tidak rasional, terutamanya dalam kes di mana nombor itu dalam bentuk pecahan perpuluhan atau dalam bentuk ungkapan berangka, punca atau logaritma.
Oleh itu, tidaklah berlebihan untuk mengetahui nombor mana yang tidak rasional. Jika kita mengikut definisi nombor tak rasional, maka kita sudah tahu bahawa nombor rasional tidak boleh menjadi tidak rasional.
Nombor tak rasional bukan:
Pertama, semua nombor asli;
Kedua, integer;
Ketiga, pecahan biasa;
Keempat, nombor bercampur yang berbeza;
Kelima, ini ialah pecahan perpuluhan berkala tak terhingga.
Sebagai tambahan kepada semua di atas, sebarang kombinasi nombor rasional yang dilakukan oleh tanda-tanda operasi aritmetik, seperti +, -, , :, tidak boleh menjadi nombor tidak rasional, kerana dalam kes ini hasil dua nombor rasional juga akan menjadi nombor rasional.
Sekarang mari kita lihat mana antara nombor yang tidak rasional:
Tahukah anda tentang kewujudan kelab peminat di mana peminat fenomena matematik misteri ini semakin banyak mencari maklumat tentang Pi, cuba merungkai misterinya. Mana-mana orang yang mengetahui dengan teliti nombor Pi tertentu selepas titik perpuluhan boleh menjadi ahli kelab ini;
Adakah anda tahu bahawa di Jerman, di bawah perlindungan UNESCO, terdapat istana Castadel Monte, terima kasih kepada perkadaran yang anda boleh mengira Pi. Seluruh istana telah didedikasikan untuk nombor ini oleh Raja Frederick II.
Ternyata mereka cuba menggunakan nombor Pi dalam pembinaan Menara Babel. Tetapi untuk penyesalan besar kami, ini membawa kepada keruntuhan projek, kerana pada masa itu pengiraan tepat nilai Pi tidak dikaji dengan secukupnya.
Penyanyi Kate Bush dalam cakera barunya merakam lagu yang dipanggil "Pi", di mana seratus dua puluh empat nombor dari siri nombor terkenal 3, 141 berbunyi ... ..
Memuatkan...