Barn på skolen lærer reglene for brøkredusering i 6. klasse. I denne artikkelen vil vi først fortelle deg hva denne handlingen betyr, deretter vil vi forklare hvordan du konverterer en reduserbar brøk til en irreduserbar brøk. Neste punkt blir reglene for brøkredusering, og så kommer vi etter hvert til eksemplene.
Hva betyr det å "redusere en brøkdel"?
Så det vet vi alle vanlige brøker deles inn i to grupper: reduserbare og irreduserbare. Allerede ved navnene kan du forstå at de som er kontrakterbare er kontrahert, og de som er irreduserbare er ikke kontrahert.
- Å redusere en brøk betyr å dele dens nevner og teller med deres (annet enn én) positive divisor. Resultatet er selvfølgelig en ny brøk med en mindre nevner og teller. Den resulterende brøken vil være lik den opprinnelige brøken.
Det er verdt å merke seg at i matematikkbøker med oppgaven "reduser en brøk", betyr dette at du må redusere den opprinnelige brøken til denne irreduserbare formen. Hvis vi snakker med enkle ord, del deretter nevneren og telleren med deres største felles deler og det er en reduksjon.
Hvordan redusere en brøkdel. Regler for reduksjon av brøker (grad 6)
Så det er bare to regler her.
- Den første regelen for å redusere brøker er å først finne den største felles faktoren for nevneren og telleren til brøken din.
- Den andre regelen: del nevneren og telleren med den største felles divisor, og oppnå en irreduserbar brøk.
Hvordan redusere en upassende brøkdel?
Reglene for reduksjon av brøker er identiske med reglene for reduksjon av uekte brøker.
For å redusere en uekte brøk, må du først faktorisere nevneren og telleren i primfaktorer, og først deretter redusere fellesfaktorene.
Redusere blandede fraksjoner
Reglene for reduksjon av fraksjoner gjelder også for reduksjon av blandede fraksjoner. Det er bare en liten forskjell: vi kan ikke berøre hele delen, men redusere brøken eller konvertere den blandede brøken til en uekte brøk, deretter redusere den og igjen konvertere den til en riktig brøkdel.
Det er to måter å redusere blandede fraksjoner på.
Først: skriv brøkdelen inn i primfaktorer og la deretter hele delen være.
Den andre måten: konverter den først til en uekte brøk, skriv den inn i vanlige faktorer, og reduser deretter brøken. Gjør om den allerede oppnådde uekte brøken til en riktig brøk.
Eksempler kan sees på bildet ovenfor.
Vi håper virkelig at vi kunne hjelpe deg og barna dine. Tross alt er de ofte uoppmerksomme i timene, så de må studere mer intensivt hjemme på egenhånd.
I denne artikkelen skal vi se nærmere på hvordan reduserende fraksjoner. La oss først diskutere det som kalles å redusere en brøk. Etter dette, la oss snakke om å redusere en reduserbar brøkdel til en irreduserbar form. Deretter vil vi få tak i regelen for å redusere brøker og til slutt vurdere eksempler på anvendelsen av denne regelen.
Sidenavigering.
Hva vil det si å redusere en brøkdel?
Vi vet at vanlige brøker deles inn i reduserbare og irreduserbare brøker. Du kan gjette ut fra navnene at reduserbare brøker kan reduseres, men ikke reduserbare brøker.
Hva vil det si å redusere en brøkdel? Reduser fraksjon- dette betyr å dele telleren og nevneren med deres positive og forskjellig fra enhet. Det er klart at som et resultat av å redusere en brøk, oppnås en ny brøk med en mindre teller og nevner, og på grunn av den grunnleggende egenskapen til brøken er den resulterende brøken lik den opprinnelige.
La oss for eksempel redusere fellesbrøken 8/24 ved å dele telleren og nevneren med 2. Med andre ord, la oss redusere brøken 8/24 med 2. Siden 8:2=4 og 24:2=12, resulterer denne reduksjonen i brøken 4/12, som er lik den opprinnelige brøken 8/24 (se like og ulik brøk). Som et resultat har vi .
Redusere vanlige fraksjoner til irreduserbar form
Vanligvis er det endelige målet med å redusere en brøk å oppnå en irreduserbar brøk som er lik den opprinnelige reduserbare brøken. Dette målet kan oppnås ved å redusere den opprinnelige reduserbare brøken med dens teller og nevner. Som et resultat av en slik reduksjon oppnås alltid en irreduserbar fraksjon. Faktisk en brøkdel 
er irreduserbar, siden det er kjent at 
Og 
-. Her vil vi si at den største felles divisor for telleren og nevneren til en brøk er det største antallet, som denne fraksjonen kan reduseres med.
Så, redusere en vanlig brøk til en irreduserbar form består av å dele telleren og nevneren til den opprinnelige reduserbare brøken med deres gcd.
La oss se på et eksempel, hvor vi går tilbake til brøken 8/24 og reduserer den med den største felles divisor av tallene 8 og 24, som er lik 8. Siden 8:8=1 og 24:8=3, kommer vi til den irreduserbare brøken 1/3. Så, .
Legg merke til at uttrykket "reduser en brøk" ofte betyr å redusere den opprinnelige brøken til dens irreduserbare form. Med andre ord, å redusere en brøk refererer veldig ofte til å dele telleren og nevneren med deres største felles faktor (i stedet for med noen felles faktor).
Hvordan redusere en brøkdel? Regler og eksempler for å redusere brøker
Det gjenstår bare å se på regelen for reduksjon av brøker, som forklarer hvordan man reduserer en gitt brøk.
Regel for å redusere brøker består av to trinn:
- først, gcd av telleren og nevneren for brøken er funnet;
- for det andre deles telleren og nevneren for brøken på deres gcd, som gir en irreduserbar brøk lik den opprinnelige.
La oss ordne opp i det eksempel på å redusere en brøkdel etter oppgitt regel.
Eksempel.
Reduser brøken 182/195.
Løsning.
La oss utføre begge trinnene foreskrevet av regelen for å redusere en brøkdel.
Først finner vi GCD(182, 195) . Det er mest praktisk å bruke Euklid-algoritmen (se): 195=182·1+13, 182=13·14, det vil si GCD(182, 195)=13.
Nå deler vi telleren og nevneren til brøken 182/195 med 13, og vi får den irreduserbare brøken 14/15, som er lik den opprinnelige brøken. Dette fullfører reduksjonen av fraksjonen.
Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .
Svar:
Det er her vi kan avslutte med å redusere brøker. Men for å fullføre bildet, la oss se på ytterligere to måter å redusere brøker på, som vanligvis brukes i enkle tilfeller.
Noen ganger er telleren og nevneren til brøken som reduseres ikke vanskelig. Å redusere en brøk i dette tilfellet er veldig enkelt: du trenger bare å fjerne alle vanlige faktorer fra telleren og nevneren.
Det er verdt å merke seg at denne metoden følger direkte av regelen om reduserende brøker, siden produktet av alle vanlige primfaktorer for telleren og nevneren er lik deres største felles divisor.
La oss se på løsningen på eksempelet.
Eksempel.
Reduser fraksjonen 360/2 940.
Løsning.
La oss faktorisere telleren og nevneren til enkle faktorer: 360=2·2·2·3·3·5 og 2,940=2·2·3·5·7·7. Dermed, 
.
Nå blir vi kvitt de vanlige faktorene i telleren og nevneren; for enkelhets skyld krysser vi dem ganske enkelt ut: 
.
Til slutt multipliserer vi de resterende faktorene: , og reduksjonen av brøken er fullført.
Her er en kort oppsummering av løsningen: 
.
Svar:
La oss vurdere en annen måte å redusere en brøk på, som består av sekvensiell reduksjon. Her, ved hvert trinn, reduseres brøken med en felles deler av telleren og nevneren, som enten er åpenbar eller lett å bestemme ved hjelp av
Mange elever gjør de samme feilene når de jobber med brøker. Og alt fordi de glemmer de grunnleggende reglene aritmetikk. I dag skal vi gjenta disse reglene på spesifikke oppgaver som jeg gir i timene mine.
Her er oppgaven jeg tilbyr til alle som forbereder seg til Unified State Exam i matematikk:
Oppgave. En nise spiser 150 gram mat per dag. Men hun vokste opp og begynte å spise 20 % mer. Hvor mange gram fôr spiser grisen nå?
Ikke riktig løsning. Dette er et prosentproblem som koker ned til ligningen:
Mange (veldig mange) reduserer tallet 100 i telleren og nevneren til en brøk:
Dette er feilen min elev gjorde akkurat den dagen da han skrev denne artikkelen. Tall som er avkortet er markert med rødt.
Unødvendig å si var svaret feil. Døm selv: grisen spiste 150 gram, men begynte å spise 3150 gram. Økningen er ikke 20 %, men 21 ganger, d.v.s. med 2000 %.
For å unngå slike misforståelser, husk den grunnleggende regelen:
Bare multiplikatorer kan reduseres. Vilkårene kan ikke reduseres!
Dermed ser den riktige løsningen på det forrige problemet slik ut:
Tall som er forkortet i teller og nevner er markert med rødt. Som du kan se, er telleren et produkt, nevneren er et vanlig tall. Derfor er reduksjonen helt lovlig.
Arbeid med proporsjoner
En annen problemområde — proporsjoner. Spesielt når variabelen er på begge sider. For eksempel:
Oppgave. Løs ligningen:
Feil løsning - noen mennesker bokstavelig talt klør etter å forkorte alt med m:
Reduserte variabler vises i rødt. Uttrykket 1/4 = 1/5 viser seg å være fullstendig tull, disse tallene er aldri like.
Og nå - den riktige avgjørelsen. I hovedsak er det vanlig lineær ligning. Det kan løses enten ved å flytte alle elementene til én side, eller ved den grunnleggende proporsjonsegenskapen:
Mange lesere vil innvende: "Hvor er feilen i den første løsningen?" Vel, la oss finne ut av det. La oss huske regelen for å jobbe med ligninger:
Enhver ligning kan deles og multipliseres med et hvilket som helst tall, ikke-null.
Gikk du glipp av trikset? Du kan bare dele på tall ikke-null. Spesielt kan du dele med variabelen m bare hvis m != 0. Men hva om, tross alt, m = 0? La oss erstatte og sjekke:
Vi fikk riktig numerisk likhet, dvs. m = 0 er roten til ligningen. For de resterende m != 0 får vi et uttrykk på formen 1/4 = 1/5, som naturligvis er feil. Dermed er det ingen ikke-null røtter.
Konklusjon: å sette det hele sammen
Så for å løse rasjonelle brøklikninger, husk tre regler:
- Bare multiplikatorer kan reduseres. Tillegg er ikke mulig. Lær derfor å faktorisere telleren og nevneren;
- Hovedegenskapen til proporsjon: produktet av de ekstreme elementene er lik produktet av de midterste;
- Ligninger kan bare multipliseres og divideres med andre tall k enn null. Saken k = 0 må kontrolleres separat.
Husk disse reglene og ikke gjør feil.
Inndeling og telleren og nevneren av brøken på deres felles deler, forskjellig fra en, kalles redusere en brøkdel.
Å forkorte vanlig brøk, må du dele telleren og nevneren med det samme naturlige tallet.
Dette tallet er den største felles divisor for telleren og nevneren for den gitte brøken.
Følgende er mulig skjema for beslutningsopptak Eksempler for å redusere vanlige brøker.
Studenten har rett til å velge hvilken som helst form for opptak.
Eksempler. Forenkle brøker.
Reduser brøken med 3 (del telleren med 3;
del nevneren med 3).
Reduser brøken med 7.
Vi utfører de angitte handlingene i telleren og nevneren til brøken.
Den resulterende fraksjonen reduseres med 5.
La oss redusere denne brøkdelen 4)
på 5·7³- den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren, som består av fellesfaktorene til telleren og nevneren, tatt i potens med den minste eksponenten.
La oss faktorisere telleren og nevneren til denne brøken i primfaktorer.
Vi får: 756=2²·3³·7 Og 1176=2³·3·7².
Bestem GCD (største felles divisor) for telleren og nevneren til brøken 5) .
Dette er produktet av vanlige faktorer tatt med de laveste eksponentene.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Vi deler telleren og nevneren for denne brøken med deres gcd, dvs. med 2²·3·7 vi får en irreduserbar brøkdel 9/14
.
Eller det var mulig å skrive nedbrytningen av teller og nevner i form av et produkt av primfaktorer, uten å bruke potensbegrepet, og deretter redusere brøken ved å krysse ut de samme faktorene i telleren og nevneren. Når det ikke er identiske faktorer igjen, multipliserer vi de resterende faktorene separat i telleren og separat i nevneren og skriver ut den resulterende brøken 9/14 .
Og til slutt var det mulig å redusere denne brøkdelen 5) gradvis, ved å bruke tegn på å dele tall på både telleren og nevneren av brøken. La oss tenke slik: tall 756 Og 1176 ende på et partall, som betyr at begge er delbare med 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Telleren og nevneren til den nye brøken er tall 378 Og 588 også delt inn i 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Vi merker at tallet 294 - til og med, og 189 er oddetall, og reduksjon med 2 er ikke lenger mulig. La oss sjekke delebarheten til tall 189 Og 294 på 3 .
(1+8+9)=18 er delelig med 3 og (2+9+4)=15 er delelig med 3, derav tallene i seg selv 189 Og 294 er delt inn i 3 . Vi reduserer brøken med 3 . Lengre, 63 er delelig med 3 og 98 - Nei. La oss se på andre hovedfaktorer. Begge tallene er delbare med 7 . Vi reduserer brøken med 7 og vi får den irreduserbare brøken 9/14 .
For å forstå hvordan man reduserer brøker, la oss først se på et eksempel.
Å redusere en brøk betyr å dele telleren og nevneren med det samme. Både 360 og 420 ender på et siffer, så vi kan redusere denne brøken med 2. I den nye brøken er også både 180 og 210 delbare med 2, så vi reduserer denne brøken med 2. I tallene 90 og 105 er summen av sifrene er delelig med 3, så begge disse tallene er delbare med 3, vi reduserer brøken med 3. I den nye brøken slutter 30 og 35 på 0 og 5, som betyr at begge tallene er delbare med 5, så vi reduserer brøken med 5. Den resulterende brøkdelen på seks syvendedeler er irreduserbar. Dette er det endelige svaret.
Vi kan komme frem til det samme svaret på en annen måte.
Både 360 og 420 ender på null, som betyr at de er delbare med 10. Vi reduserer brøken med 10. I den nye brøken deles både telleren 36 og nevneren 42 på 2. Vi reduserer brøken med 2. I den nye brøken deles både telleren 36 og nevneren 42 på 2. neste brøk, er både telleren 18 og nevneren 21 delt på 3, noe som betyr at vi reduserer brøken med 3. Vi kom til resultatet - seks syvendedeler.
Og enda en løsning.
Neste gang skal vi se på eksempler på å redusere brøker.
Laster inn...