Konseptet med midtlinjen til trapesen
Først, la oss huske hvilken figur som kalles en trapes.
Definisjon 1
En trapes er en firkant der to sider er parallelle og de to andre ikke er parallelle.
I dette tilfellet kalles parallelle sider basene til trapesen, og ikke parallelle - sidene til trapesen.
Definisjon 2
Midtlinjen til en trapes er et linjestykke som forbinder midtpunktene på sidene av trapesen.
Trapes midtlinjeteorem
Vi introduserer nå teoremet på midtlinjen til en trapes og beviser det med vektormetoden.
Teorem 1
Medianlinjen til trapesen er parallell med basene og lik halvparten av summen deres.
Bevis.
La oss få en trapesformet $ABCD$ med basene $AD\ og\ BC$. Og la $MN$ være midtlinjen til denne trapesen (fig. 1).
Figur 1. Midtlinjen til trapesen
La oss bevise at $MN||AD\ og\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Tenk på vektoren $\overrightarrow(MN)$. Deretter bruker vi polygonregelen for vektoraddisjon. På den ene siden får vi det
På den andre siden
Legger vi til de to siste likhetene, får vi
Siden $M$ og $N$ er midtpunktene på sidene av trapesen, har vi
Vi får:
Derfor
Fra den samme likheten (siden $\overrightarrow(BC)$ og $\overrightarrow(AD)$ er codirectional og derfor kollineær), får vi at $MN||AD$.
Teoremet er bevist.
Eksempler på oppgaver om begrepet midtlinjen til en trapes
Eksempel 1
Sidene av trapesen er henholdsvis $15\cm$ og $17\cm$. Omkretsen til trapesen er $52\cm$. Finn lengden på midtlinjen til trapesen.
Løsning.
Angi midtlinjen til trapesen med $n$.
Summen av sidene er
Derfor, siden omkretsen er $52\ cm$, er summen av basene
Derfor får vi ved teorem 1
Svar:$10\cm$.
Eksempel 2
Endene av sirkelens diameter er henholdsvis $9$ cm og $5$ cm fra tangenten. Finn diameteren til denne sirkelen.
Løsning.
La oss få en sirkel med sentrum $O$ og diameter $AB$. Tegn tangenten $l$ og konstruer avstandene $AD=9\ cm$ og $BC=5\ cm$. La oss tegne radien $OH$ (fig. 2).
Figur 2.
Siden $AD$ og $BC$ er avstandene til tangenten, så $AD\bot l$ og $BC\bot l$ og siden $OH$ er radius, så $OH\bot l$, derav $OH | \venstre|AD\høyre||BC$. Fra alt dette får vi at $ABCD$ er en trapes, og $OH$ er dens midtlinje. Ved teorem 1 får vi
En firkant med bare to parallelle sider kalles trapes.
De parallelle sidene av en trapes kalles dens begrunnelse, og de sidene som ikke er parallelle kalles sider. Hvis sidene er like, er en slik trapes likebenet. Avstanden mellom basene kalles høyden på trapesen.
Midtlinje av trapes
Medianlinjen er et segment som forbinder midtpunktene på sidene av trapesen. Midtlinjen til en trapes er parallell med basene.
Teorem:
Hvis en linje som skjærer midten av den ene siden er parallell med basene til trapesen, så deler den den andre siden av trapesen.
Teorem:
Lengden på midtlinjen er lik det aritmetiske gjennomsnittet av lengdene på basene
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
MN midtlinje, AB og CD - baser, AD og BC - sider
MN=(AB+DC)/2
Teorem:
Lengden på midtlinjen til en trapes er lik det aritmetiske gjennomsnittet av lengdene på basene.
Hovedoppgaven: Bevis at midtlinjen til en trapes deler et segment hvis ender ligger i midten av basene på trapesen.
Midtlinje i trekanten
Linjestykket som forbinder midtpunktene til de to sidene i en trekant kalles trekantens midtlinje. Den er parallell med den tredje siden og lengden er halvparten av lengden på den tredje siden.
Teorem: Hvis en linje som skjærer midtpunktet til den ene siden av en trekant er parallell med den andre siden av den gitte trekanten, så halverer den den tredje siden.
AM = MC og BN = NC =>
Bruk av egenskaper for trekant og trapes midtlinje
Delingen av et segment i et visst antall like deler.
Oppgave: Del segment AB i 5 like deler.
Løsning:
La p være en tilfeldig stråle hvis opprinnelse er punkt A og som ikke ligger på linje AB. Vi setter sekvensielt til side 5 like segmenter på p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Vi kobler A 5 til B og trekker linjer gjennom A 4 , A 3 , A 2 og A 1 som er parallelle med A 5 B. De skjærer AB ved henholdsvis B 4 , B 3 , B 2 og B 1. Disse punktene deler segment AB i 5 like deler. Faktisk, fra trapesen BB 3 A 3 A 5 ser vi at BB 4 = B 4 B 3. På samme måte får vi fra trapes B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2
Mens fra trapes B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Så fra B 2 AA 2 følger det at B 2 B 1 = B 1 A. Avslutningsvis får vi:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Det er klart at for å dele segmentet AB i et annet antall like deler, må vi projisere samme antall like segmenter på strålen p. Og fortsett deretter på den måten som er beskrevet ovenfor.
I denne artikkelen er et annet utvalg oppgaver med trapes laget for deg. Forhold er på en eller annen måte forbundet med dens midtlinje. Oppgavetyper er hentet fra den åpne banken av typiske oppgaver. Hvis du ønsker det, kan du friske opp din teoretiske kunnskap. Bloggen har allerede dekket oppgaver som forholdene er knyttet til, samt. Kort om midtlinjen:
Midtlinjen til trapesen forbinder midtpunktene på sidene. Den er parallell med basene og lik deres halvsum.
Før vi løser problemer, la oss vurdere et teoretisk eksempel.
Gitt en trapes ABCD. Diagonal AC som skjærer midtlinjen danner et punkt K, diagonal BD et punkt L. Bevis at segmentet KL er lik halvparten av forskjellen til basene.
La oss først legge merke til det faktum at midtlinjen til en trapes deler ethvert segment hvis ender ligger på basen. Denne konklusjonen tyder på seg selv. Se for deg et segment som forbinder to punkter på basene, det vil dele denne trapesen i to andre. Det viser seg at et segment parallelt med basene til trapeset og som går gjennom midten av siden på den andre siden, vil passere gjennom midten.
Den er også basert på Thales-teoremet:
Hvis på en av de to rette linjene legges flere like segmenter sekvensielt til side og parallelle linjer trekkes gjennom endene deres, og krysser den andre rette linjen, vil de kutte like segmenter på den andre rette linjen.
Det vil si at i dette tilfellet er K midten av AC og L er midten av BD. Derfor er EK midtlinjen til trekanten ABC, LF er midtlinjen til trekanten DCB. I henhold til egenskapen til midtlinjen til en trekant:
Vi kan nå uttrykke segmentet KL i form av baser:
Påvist!
Dette eksemplet er ikke bare gitt. I oppgaver for selvstendig løsning er det nettopp en slik oppgave. Bare det sier ikke at segmentet som forbinder midtpunktene til diagonalene ligger på midtlinjen. Vurder oppgavene:
27819. Finn midtlinjen til en trapes hvis basene er 30 og 16.
Vi beregner etter formelen:
27820. Midtlinjen til trapesen er 28 og den mindre basen er 18. Finn den største basen til trapesen.
La oss uttrykke den større basen:
På denne måten:
27836. En perpendikulær som faller fra toppen av en stump vinkel til den større bunnen av en likebenet trapes deler den inn i deler med lengdene 10 og 4. Finn midtlinjen til denne trapesen.
For å finne midtlinjen må du kjenne til grunnene. Grunnlaget AB er lett å finne: 10+4=14. Finn DC.
La oss konstruere den andre perpendikulære DF:
Segmentene AF, FE og EB vil være lik henholdsvis 4, 6 og 4. Hvorfor?
I en likebenet trapes, deler perpendikulærene som faller til den større basen den i tre segmenter. To av dem, som er bena til avskårne rettvinklede trekanter, er like med hverandre. Det tredje segmentet er lik den mindre basen, siden når du konstruerer de angitte høydene, dannes et rektangel, og i rektangelet er de motsatte sidene like. I denne oppgaven:
Dermed DC=6. Vi beregner:
27839. Basene til trapesen er i forholdet 2:3, og midtlinjen er 5. Finn den mindre basen.
La oss introdusere proporsjonalitetskoeffisienten x. Så AB=3x, DC=2x. Vi kan skrive:
Derfor er den minste basen 2∙2=4.
27840. Omkretsen til en likebenet trapes er 80, midtlinjen er lik sidesiden. Finn siden av trapesen.
Basert på tilstanden kan vi skrive:
Hvis vi betegner midtlinjen gjennom x, får vi:
Den andre ligningen kan allerede skrives som:
27841. Midtlinjen til trapesen er 7, og den ene basen er 4 større enn den andre. Finn den største basen til trapesen.
La oss betegne den mindre basen (DC) som x, så vil den større (AB) være lik x + 4. Vi kan ta opp
Vi fikk at den mindre basen er tidlig enn fem, noe som betyr at den større er 9.
27842. Midtlinjen til trapesen er 12. En av diagonalene deler den i to segmenter, forskjellen på disse er 2. Finn den større bunnen av trapesen.
Vi kan lett finne en større base av trapesen hvis vi beregner segmentet EO. Det er midtlinjen i trekanten ADB, og AB=2∙EO.
Hva har vi? Det sies at midtlinjen er lik 12 og forskjellen mellom segmentene EO og OF er lik 2. Vi kan skrive ned to likninger og løse systemet:
Det er klart at i dette tilfellet er det mulig å velge et tallpar uten beregninger, disse er 5 og 7. Men likevel vil vi løse systemet:
Så EO=12–5=7. Dermed er den større basen lik AB=2∙EO=14.
27844. I en likebenet trapes er diagonalene vinkelrette. Høyden på trapesen er 12. Finn midtlinjen.
Umiddelbart legger vi merke til at høyden trukket gjennom skjæringspunktet til diagonalene i en likebenet trapes ligger på symmetriaksen og deler trapesen i to like rektangulære trapeser, det vil si at basene til denne høyden er delt i to.
Det ser ut til at for å beregne gjennomsnittslinjen, må vi finne grunnlaget. Her oppstår en liten blindgate ... Hvordan, å vite høyden, i dette tilfellet beregne basene? Og nei hvordan! Det er mange slike trapeser med fast høyde og diagonaler som skjærer hverandre i en vinkel på 90 grader. Hvordan være?
Se på formelen for midtlinjen til en trapes. Tross alt trenger vi ikke å vite selve basene, det er nok å vite summen deres (eller halvsummen). Dette kan vi gjøre.
Siden diagonalene skjærer hverandre i rette vinkler, dannes likebenede rette trekanter med høyden EF:
Det følger av ovenstående at FO=DF=FC, og OE=AE=EB. La oss nå skrive ned hva høyden uttrykt gjennom segmentene DF og AE er lik:
Så midtlinjen er 12.
* Generelt er dette et problem, som du forstår, for en muntlig beretning. Men jeg er sikker på at den detaljerte forklaringen er nødvendig. Og så ... Hvis du ser på figuren (forutsatt at vinkelen mellom diagonalene observeres under konstruksjon), fanger likheten FO=DF=FC, og OE=AE=EB umiddelbart oppmerksomheten din.
Som en del av prototypene er det også typer oppgaver med trapeser. Den ble bygget på et ark i en celle og det kreves å finne midtlinjen, siden av cellen er vanligvis 1, men det kan være en annen verdi.
27848. Finn midtlinjen til trapesen ABCD hvis sidene til kvadratcellene er 1.
Det er enkelt, vi beregner basene etter celler og bruker formelen: (2 + 4) / 2 = 3
Hvis basene er bygget i en vinkel til cellenettet, så er det to måter. For eksempel!
Leksjonens mål:
1) introdusere elevene til konseptet med midtlinjen til en trapes, vurdere egenskapene og bevise dem;
2) lære hvordan man bygger midtlinjen til trapesen;
3) å utvikle elevenes evne til å bruke definisjonen av midtlinjen til trapesen og egenskapene til midtlinjen til trapesen når de løser problemer;
4) fortsette å utvikle elevenes evne til å snakke riktig ved å bruke de nødvendige matematiske termene; bevise ditt synspunkt;
5) utvikle logisk tenkning, hukommelse, oppmerksomhet.
I løpet av timene
1. Kontroll av lekser foregår i timen. Leksene var muntlige, husk:
a) definisjon av en trapes; typer trapes;
b) bestemmelse av trekantens midtlinje;
c) egenskapen til midtlinjen til en trekant;
d) et tegn på trekantens midtlinje.
2. Lære nytt stoff.
a) Trapeset ABCD vises på tavlen.
b) Læreren tilbyr å huske definisjonen av en trapes. Hvert skrivebord har et hintdiagram som hjelper til med å huske de grunnleggende konseptene i emnet "Trapes" (se vedlegg 1). Vedlegg 1 utstedes for hver pult.
Elevene tegner trapesen ABCD i notatboken.
c) Læreren foreslår å huske i hvilket emne begrepet midtlinje ble møtt (“Trekantens midtlinje”). Elevene husker definisjonen av midtlinjen til en trekant og dens egenskaper.
e) Skriv ned definisjonen av midtlinjen til trapesen, og avbilde den i en notatbok.
midtlinje En trapes kalles et segment som forbinder midtpunktene på sidene.
Egenskapen til medianlinjen til trapesen på dette stadiet forblir uprøvd, så neste fase av leksjonen innebærer å jobbe med beviset for egenskapen til medianlinjen til trapesen.
Teorem. Midtlinjen til en trapes er parallell med basene og lik halvparten av summen.
Gitt: ABCD - trapes,
MN - midtlinje ABCD
Bevise, hva:
1. BC || MN || AD.
2. MN = (AD + BC).
Vi kan skrive ned noen konsekvenser som følger av betingelsene i teoremet:
AM=MB, CN=ND, BC || AD.
Det er umulig å bevise hva som kreves på grunnlag av de oppførte eiendommene alene. Systemet med spørsmål og øvelser skal lede elevene til ønsket om å koble midtlinjen til en trapes med midtlinjen til en trekant, egenskapene de allerede kjenner til. Hvis det ikke er noen forslag, kan vi stille spørsmålet: hvordan konstruere en trekant der segmentet MN vil være midtlinjen?
La oss skrive en tilleggskonstruksjon for en av sakene.
La oss tegne en linje BN som skjærer forlengelsen av side AD ved punkt K.
Ytterligere elementer vises - trekanter: ABD, BNM, DNK, BCN. Hvis vi beviser at BN = NK, vil dette bety at MN er midtlinjen til ABD, og da kan vi bruke egenskapen til midtlinjen til en trekant og bevise det nødvendige.
Bevis:
1. Tenk på BNC og DNK, i dem:
a) CNB =DNK (egenskapen til vertikale vinkler);
b) BCN = NDK (egenskap for indre kryssliggende vinkler);
c) CN = ND (ved følge av teoremets hypotese).
Så BNC = DNK (på siden og to hjørner ved siden av den).
Q.E.D.
Beviset kan gjennomføres muntlig i timen, og gjenopprettes og skrives ned i en notatbok hjemme (etter skjønn fra læreren).
Det er nødvendig å nevne andre mulige måter å bevise dette teoremet på:
1. Tegn en av diagonalene til trapesen og bruk tegnet og egenskapen til trekantens midtlinje.
2. Kjør CF || BA og vurdere parallellogrammet ABCF og DCF.
3. Kjør EF || BA og vurdere likestillingen til FND og ENC.
g) På dette stadiet gis lekser: s. 84, lærebok, red. Atanasyan L.S. (bevis på egenskapen til midtlinjen til en trapes på en vektor måte), skriv i en notatbok.
h) Vi løser oppgaver for å bruke definisjonen og egenskapene til midtlinjen til trapesen i henhold til de ferdige tegningene (se vedlegg 2). Vedlegg 2 gis til hver elev, og oppgaveløsningen er tegnet opp på samme ark i et kort skjema.
Området til trapeset. Hilsener! I denne publikasjonen vil vi vurdere denne formelen. Hvorfor er det slik det er og hvordan kan du forstå det? Hvis det er en forståelse, trenger du ikke å lære det. Hvis du bare vil se denne formelen og hva som haster, kan du umiddelbart bla nedover siden))
Nå i detalj og i rekkefølge.
En trapes er en firkant, to sider av denne firkanten er parallelle, de to andre er det ikke. De som ikke er parallelle er basene til trapeset. De to andre kalles sider.
Hvis sidene er like, kalles trapesen likebenet. Hvis en av sidene er vinkelrett på basene, kalles en slik trapes rektangulær.
I den klassiske formen er trapesen avbildet som følger - henholdsvis den større basen er nederst, den mindre er øverst. Men ingen forbyr å skildre det og omvendt. Her er skissene:
Det neste viktige konseptet.
Medianlinjen til en trapes er et segment som forbinder midtpunktene på sidene. Medianlinjen er parallell med basene til trapesen og er lik deres halvsum.
La oss nå fordype oss dypere. Hvorfor akkurat?
Tenk på en trapes med baser a og b og med midtlinjen l, og utfør noen ekstra konstruksjoner: tegne rette linjer gjennom basene, og perpendikulære gjennom endene av midtlinjen til de krysser basene:
*Bokstavbetegnelser på hjørner og andre punkter legges ikke inn med vilje for å unngå unødvendige betegnelser.
Se, trekantene 1 og 2 er like i henhold til det andre tegnet på likhet av trekanter, trekanter 3 og 4 er like. Fra trekantenes likhet følger likheten mellom elementene, nemlig bena (de er angitt henholdsvis i blått og rødt).
Nå oppmerksomhet! Hvis vi mentalt "skjærer av" de blå og røde segmentene fra den nedre basen, vil vi ha et segment (dette er siden av rektangelet) lik midtlinjen. Videre, hvis vi "limer" de avskårne blå og røde segmentene til den øvre bunnen av trapesen, vil vi også få et segment (dette er også siden av rektangelet) som er lik midtlinjen til trapeset.
Har det? Det viser seg at summen av basene vil være lik de to medianene til trapesen:
Se en annen forklaring
La oss gjøre følgende - bygg en rett linje som går gjennom den nedre bunnen av trapesen og en rett linje som vil passere gjennom punktene A og B:
Vi får trekanter 1 og 2, de er like i sidevinkler og tilstøtende vinkler (det andre tegnet på trekanters likhet). Dette betyr at det resulterende segmentet (i skissen er det markert med blått) er lik den øvre bunnen av trapesen.
Tenk nå på en trekant:
* Medianlinjen til denne trapesen og medianlinjen til trekanten faller sammen.
Det er kjent at trekanten er lik halvparten av basen parallelt med den, det vil si:
Ok, skjønner det. Nå om området til trapesen.
Formel for trapesareal:
De sier: arealet til en trapes er lik produktet av halvparten av summen av dens baser og høyde.
Det vil si at det viser seg at det er lik produktet av midtlinjen og høyden:
Du har sikkert allerede lagt merke til at dette er åpenbart. Geometrisk kan dette uttrykkes som følger: hvis vi mentalt avskjærer trekanter 2 og 4 fra trapesen og setter dem på henholdsvis trekanter 1 og 3:
Da får vi et rektangel i areal lik arealet til vår trapes. Arealet til dette rektangelet vil være lik produktet av midtlinjen og høyden, det vil si at vi kan skrive:
Men poenget her er selvfølgelig ikke skriftlig, men forståelse.
Last ned (vis) materialet til artikkelen i *pdf-format
Det er alt. Lykke til!
Med vennlig hilsen Alexander.
Laster inn...