Instrucțiuni
Determinăm coeficientul unghiular al tangentei la curbă în punctul M.
Curba reprezentând graficul funcției y = f(x) este continuă într-o anumită vecinătate a punctului M (inclusiv punctul M însuși).
Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu f "(x0). Astfel, sensul geometric al derivatei devine clar - calculul coeficientului unghiular al tangentei.
Găsiți valoarea de abscisă a punctului tangent, care este notat cu litera „a”. Dacă coincide cu un punct tangent dat, atunci „a” va fi coordonata sa x. Determinați valoarea funcții f(a) prin substituirea în ecuație funcții valoare de abscisă.
Determinați prima derivată a ecuației funcții f’(x) și înlocuiți valoarea punctului „a”.
Luați ecuația tangentei generale, care este definită ca y = f(a) = f (a)(x – a), și înlocuiți valorile găsite ale lui a, f(a), f "(a) în ea. Ca rezultat, soluția graficului va fi găsită și tangentă.
Rezolvați problema într-un mod diferit dacă punctul tangent dat nu coincide cu punctul tangent. În acest caz, este necesar să înlocuiți „a” în loc de numere în ecuația tangentei. După aceasta, în loc de literele „x” și „y”, înlocuiți valoarea coordonatelor punctului dat. Rezolvați ecuația rezultată în care „a” este necunoscutul. Introduceți valoarea rezultată în ecuația tangentei.
Scrieți o ecuație pentru o tangentă cu litera „a” dacă enunțul problemei specifică ecuația funcțiiși ecuația unei drepte paralele în raport cu tangentei dorite. După aceasta avem nevoie de derivată funcții, la coordonatele din punctul „a”. Înlocuiți valoarea corespunzătoare în ecuația tangentei și rezolvați funcția.
Ecuația tangentei la graficul unei funcții
P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Regiunea Chelyabinsk
Ecuația tangentei la graficul unei funcții
Articolul a fost publicat cu sprijinul Complexului Hotelier ITAKA+. Când stați în orașul constructorilor de nave Severodvinsk, nu veți întâmpina problema găsirii unei locuințe temporare. , pe site-ul complexului hotelier „ITHAKA+” http://itakaplus.ru, puteți închiria ușor și rapid un apartament în oraș, pentru orice perioadă, cu o plată zilnică.
Pe scena modernă dezvoltarea educației, una dintre sarcinile sale principale este formarea unei personalități care gândesc creativ. Capacitatea de creativitate la studenți poate fi dezvoltată numai dacă aceștia sunt implicați sistematic în bazele activităților de cercetare. Fundația pentru ca elevii să-și folosească puterile, abilitățile și talentele creative este formată de cunoștințe și abilități cu drepturi depline. În acest sens, problema formării unui sistem de cunoștințe și abilități de bază pentru fiecare subiect al cursului de matematică școlară este de o importanță nu mică. În același timp, abilitățile cu drepturi depline ar trebui să fie scopul didactic nu al sarcinilor individuale, ci al unui sistem atent gândit al acestora. În sensul cel mai larg, un sistem este înțeles ca un set de elemente interconectate care interacționează care au integritate și o structură stabilă.
Să luăm în considerare o tehnică pentru a-i învăța pe elevi cum să scrie o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții. În esență, toate problemele de găsire a ecuației tangentei se rezumă la necesitatea de a selecta dintr-o mulțime (mănunchi, familie) de linii pe cele care satisfac o anumită cerință - sunt tangente la graficul unei anumite funcții. În acest caz, setul de linii din care se efectuează selecția poate fi specificat în două moduri:
a) un punct situat pe planul xOy (creion central de linii);
b) coeficient unghiular (fascicul paralel de drepte).
În acest sens, la studierea subiectului „Tangentă la graficul unei funcții” pentru a izola elementele sistemului, am identificat două tipuri de probleme:
1) probleme pe o tangentă dată de punctul prin care trece;
2) probleme pe o tangentă dată de panta acesteia.
Instruirea în rezolvarea problemelor tangente a fost realizată folosind algoritmul propus de A.G. Mordkovici. Diferența sa fundamentală față de cele deja cunoscute este că abscisa punctului tangent se notează cu litera a (în loc de x0) și, prin urmare, ecuația tangentei ia forma
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(comparați cu y = f(x 0) + f „(x 0)(x – x 0)). Această tehnică metodologică, în opinia noastră, permite elevilor să înțeleagă rapid și ușor unde sunt scrise coordonatele punctului curent în ecuația tangentei generale și unde sunt punctele de contact.
Algoritm pentru alcătuirea ecuației tangente la graficul funcției y = f(x)
1. Desemnați abscisa punctului tangent cu litera a.
2. Găsiți f(a).
3. Găsiți f „(x) și f „(a).
4. Înlocuiți numerele găsite a, f(a), f "(a) în ecuația generală tangentă y = f(a) = f "(a)(x – a).
Acest algoritm poate fi compilat pe baza identificării independente a operațiunilor de către studenți și a secvenței implementării lor.
Practica a arătat că soluția secvențială a fiecăreia dintre problemele cheie folosind un algoritm vă permite să dezvoltați abilitățile de a scrie ecuația unei tangente la graficul unei funcții în etape, iar pașii algoritmului servesc drept puncte de referință pentru acțiuni. . Această abordare corespunde teoriei formării treptate a acțiunilor mentale dezvoltată de P.Ya. Galperin și N.F. Talizina.
În primul tip de sarcini au fost identificate două sarcini cheie:
- tangenta trece printr-un punct situat pe curbă (problema 1);
- tangenta trece printr-un punct care nu se află pe curbă (problema 2).
Sarcina 1. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției 
în punctul M(3; – 2).
Soluţie. Punctul M(3; – 2) este un punct tangent, deoarece
1. a = 3 – abscisa punctului tangent.
2. f(3) = – 2.
3. f „(x) = x 2 – 4, f „(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ecuația tangentei.
Problema 2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = – x 2 – 4x + 2 care trece prin punctul M(– 3; 6).
Soluţie. Punctul M(– 3; 6) nu este un punct tangent, deoarece f(– 3) 6 (Fig. 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f „(x) = – 2x – 4, f „(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – ecuația tangentei.
Tangenta trece prin punctul M(– 3; 6), prin urmare, coordonatele ei satisfac ecuația tangentei.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.
Dacă a = – 4, atunci ecuația tangentei este y = 4x + 18.
Dacă a = – 2, atunci ecuația tangentei are forma y = 6.
În al doilea tip, sarcinile cheie vor fi următoarele:
- tangenta este paralelă cu o dreaptă (problema 3);
- tangenta trece la un anumit unghi fata de dreapta data (problema 4).
Problema 3. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = x 3 – 3x 2 + 3, paralele cu dreapta y = 9x + 1.
Soluţie.
1. a – abscisa punctului tangent.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f „(x) = 3x 2 – 6x, f „(a) = 3a 2 – 6a.
Dar, pe de altă parte, f "(a) = 9 (condiția de paralelism). Aceasta înseamnă că trebuie să rezolvăm ecuația 3a 2 – 6a = 9. Rădăcinile sale sunt a = – 1, a = 3 (Fig. 3). ).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – ecuația tangentei;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f „(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – ecuația tangentei.
Problema 4. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = 0,5x 2 – 3x + 1, trecând cu un unghi de 45° la dreapta y = 0 (Fig. 4).
Soluţie. Din condiția f „(a) = tan 45° găsim a: a – 3 = 1^a = 4.
1. a = 4 – abscisa punctului tangent.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f „(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – ecuația tangentei.
Este ușor să arăți că soluția oricărei alte probleme se rezumă la rezolvarea uneia sau mai multor probleme cheie. Luați în considerare următoarele două probleme ca exemplu.
1. Scrieți ecuațiile tangentelor la parabola y = 2x 2 – 5x – 2, dacă tangentele se intersectează în unghi drept și una dintre ele atinge parabola în punctul cu abscisa 3 (Fig. 5).
Soluţie. Deoarece abscisa punctului tangent este dată, prima parte a soluției este redusă la problema cheie 1.
1. a = 3 – abscisa punctului de tangenta a uneia dintre laturile unghiului drept.
2. f(3) = 1.
3. f „(x) = 4x – 5, f „(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ecuația primei tangente.
Lasă a – unghiul de înclinare al primei tangente. Deoarece tangentele sunt perpendiculare, atunci este unghiul de înclinare al celei de-a doua tangente. Din ecuația y = 7x – 20 a primei tangente avem tg a = 7. Să găsim
Aceasta înseamnă că panta celei de-a doua tangente este egală cu .
Soluția ulterioară se reduce la sarcina cheie 3.
Fie B(c; f(c)) punctul de tangență al celei de-a doua drepte, atunci
1. – abscisa celui de-al doilea punct de tangenta.
2.
3.
4.– ecuația celei de-a doua tangente.
Notă. Coeficientul unghiular al tangentei poate fi găsit mai ușor dacă elevii cunosc raportul dintre coeficienții dreptelor perpendiculare k 1 k 2 = – 1.
2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor comune la graficele funcțiilor
Soluţie. Sarcina se rezumă la găsirea abscisei punctelor tangente ale tangentelor comune, adică rezolvarea problemei cheie 1 în formă generală, elaborarea unui sistem de ecuații și apoi rezolvarea acestuia (Fig. 6).
1. Fie a abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f „(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .
1. Fie c abscisa punctului tangent situat pe graficul funcției
2.
3. f „(c) = c.
4.
Din moment ce tangentele sunt generale, atunci
Deci y = x + 1 și y = – 3x – 3 sunt tangente comune.
Scopul principal al sarcinilor luate în considerare este de a pregăti elevii să recunoască în mod independent tipul de problemă cheie atunci când rezolvă probleme mai complexe care necesită anumite abilități de cercetare (capacitatea de a analiza, compara, generaliza, prezenta o ipoteză etc.). Astfel de sarcini includ orice sarcină în care sarcina cheie este inclusă ca componentă. Să luăm ca exemplu problema (inversa cu problema 1) de a găsi o funcție din familia tangentelor sale.
3. Pentru ce b și c sunt dreptele y = x și y = – 2x tangente la graficul funcției y = x 2 + bx + c?
Soluţie.
Fie t abscisa punctului de tangență al dreptei y = x cu parabola y = x 2 + bx + c; p este abscisa punctului de tangență al dreptei y = – 2x cu parabola y = x 2 + bx + c. Atunci ecuația tangentei y = x va lua forma y = (2t + b)x + c – t 2 , iar ecuația tangentei y = – 2x va lua forma y = (2p + b)x + c – p 2 .
Să compunem și să rezolvăm un sistem de ecuații
Răspuns: 
Probleme de rezolvat independent
1. Scrieți ecuațiile tangentelor trasate la graficul funcției y = 2x 2 – 4x + 3 în punctele de intersecție ale graficului cu dreapta y = x + 3.
Răspuns: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. Pentru ce valori ale lui a trece tangenta trasată la graficul funcției y = x 2 – ax în punctul graficului cu abscisa x 0 = 1 prin punctul M(2; 3)?
Răspuns: a = 0,5.
3. Pentru ce valori ale lui p linia dreaptă y = px – 5 atinge curba y = 3x 2 – 4x – 2?
Răspuns: p 1 = – 10, p 2 = 2.
4. Aflați toate punctele comune ale graficului funcției y = 3x – x 3 și tangenta trasată la acest grafic prin punctul P(0; 16).
Răspuns: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. Aflați cea mai scurtă distanță dintre parabola y = x 2 + 6x + 10 și linia dreaptă
Răspuns:
6. Pe curba y = x 2 – x + 1, găsiți punctul în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta y – 3x + 1 = 0.
Răspuns: M(2; 3).
7. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = x 2 + 2x – | 4x |, care îl atinge în două puncte. Faceți un desen.
Răspuns: y = 2x – 4.
8. Demonstrați că dreapta y = 2x – 1 nu intersectează curba y = x 4 + 3x 2 + 2x. Găsiți distanța dintre punctele lor cele mai apropiate.
Răspuns:
9. Pe parabola y = x 2 se iau două puncte cu abscisele x 1 = 1, x 2 = 3. Prin aceste puncte se trasează o secantă. În ce punct al parabolei tangenta la aceasta va fi paralelă cu secantei? Scrieți ecuațiile secante și tangente.
Răspuns: y = 4x – 3 – ecuație secante; y = 4x – 4 – ecuația tangentei.
10. Aflați unghiul q între tangentele la graficul funcției y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, trasate în punctele cu abscisele 0 și 1.
Răspuns: q = 45°.
11. În ce puncte tangenta la graficul funcției formează un unghi de 135° cu axa Ox?
Răspuns: A(0; – 1), B(4; 3).
12. În punctul A(1; 8) la curbă 
se trasează o tangentă. Aflați lungimea segmentului tangent dintre axele de coordonate.
Răspuns:
13. Scrieți ecuația tuturor tangentelor comune la graficele funcțiilor y = x 2 – x + 1 și y = 2x 2 – x + 0,5.
Răspuns: y = – 3x și y = x.
14. Aflați distanța dintre tangentele la graficul funcției 
paralel cu axa x.
Răspuns:
15. Determinați în ce unghiuri intersectează parabola y = x 2 + 2x – 8 axa x.
Răspuns: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).
16. Graficul funcției 
găsiți toate punctele, tangenta la fiecare dintre ele la acest grafic intersectează semiaxele pozitive ale coordonatelor, decupând segmente egale din ele.
Răspuns: A(– 3; 11).
17. Linia y = 2x + 7 și parabola y = x 2 – 1 se intersectează în punctele M și N. Aflați punctul K de intersecție al dreptelor tangente la parabolă în punctele M și N.
Răspuns: K(1; – 9).
18. Pentru ce valori ale lui b este linia y = 9x + b tangentă la graficul funcției y = x 3 – 3x + 15?
Raspunsul 1; 31.
19. Pentru ce valori ale lui k linia dreaptă y = kx – 10 are un singur punct comun cu graficul funcției y = 2x 2 + 3x – 2? Pentru valorile găsite ale lui k, determinați coordonatele punctului.
Răspuns: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).
20. Pentru ce valori ale lui b trece tangenta trasată la graficul funcției y = bx 3 – 2x 2 – 4 în punctul cu abscisa x 0 = 2 prin punctul M(1; 8)?
Răspuns: b = – 3.
21. O parabolă cu un vârf pe axa Ox atinge dreapta care trece prin punctele A(1; 2) și B(2; 4) în punctul B. Aflați ecuația parabolei.
Răspuns: 
22. La ce valoare a coeficientului k atinge parabola y = x 2 + kx + 1 de axa Ox?
Răspuns: k = d 2.
23. Aflați unghiurile dintre dreapta y = x + 2 și curba y = 2x 2 + 4x – 3.
29. Aflați distanța dintre tangentele la graficul funcției și generatoarele cu direcția pozitivă a axei Ox la un unghi de 45°.
Răspuns:
30. Aflați locul vârfurilor tuturor parabolelor de forma y = x 2 + ax + b tangentă la dreapta y = 4x – 1.
Răspuns: linie dreaptă y = 4x + 3.
Literatură
1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra și începuturile analizei: 3600 de probleme pentru școlari și cei care intră în universități. – M., Butarda, 1999.
2. Mordkovich A. Seminarul patru pentru profesori tineri. Subiect: Aplicații derivate. – M., „Matematică”, Nr. 21/94.
3. Formarea de cunoștințe și deprinderi pe baza teoriei asimilării treptate a acțiunilor mentale. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talizina. – M., Universitatea de Stat din Moscova, 1968.
În acest articol vom analiza toate tipurile de probleme de găsit
Să ne amintim sensul geometric al derivatului: dacă o tangentă este desenată la graficul unei funcții într-un punct, atunci coeficientul de pantă al tangentei ( egal cu tangenta unghiul dintre tangenta si directia pozitiva a axei) este egala cu derivata functiei in punct.
Să luăm un punct arbitrar pe tangenta cu coordonate:
Și luați în considerare un triunghi dreptunghic:
În acest triunghi 
De aici 
Aceasta este ecuația tangentei trasate la graficul funcției în punct.
Pentru a scrie ecuația tangentei, trebuie doar să cunoaștem ecuația funcției și punctul în care este trasată tangenta. Apoi putem găsi și .
Există trei tipuri principale de probleme de ecuații tangente.
1. Dat un punct de contact
2. Se dă coeficientul de pantă tangentă, adică valoarea derivatei funcției în punct.
3. Sunt date coordonatele punctului prin care se trasează tangenta, dar care nu este punctul de tangență.
Să ne uităm la fiecare tip de sarcină.
1 . Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției 
la punct .
.
b) Aflați valoarea derivatei în punctul . Mai întâi să găsim derivata funcției
Să substituim valorile găsite în ecuația tangentei:
Să deschidem parantezele din partea dreaptă a ecuației. Primim:
Răspuns: .
2. Aflați abscisa punctelor în care funcțiile sunt tangente la grafic 
paralel cu axa x.
Dacă tangenta este paralelă cu axa x, deci unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei este zero, deci tangentea unghiului tangentei este zero. Aceasta înseamnă că valoarea derivatei funcției la punctele de contact este zero.
a) Aflați derivata funcției .
b) Să echivalăm derivata cu zero și să găsim valorile în care tangenta este paralelă cu axa:
Echivalând fiecare factor cu zero, obținem:
Răspuns: 0;3;5
3. Scrieți ecuații pentru tangente la graficul unei funcții , paralel Drept .
O tangentă este paralelă cu o dreaptă. Panta acestei drepte este -1. Deoarece tangentei este paralelă cu această dreaptă, prin urmare, panta tangentei este de asemenea -1. Acesta este cunoaștem panta tangentei, și, prin urmare, valoare derivată în punctul de tangență.
Acesta este al doilea tip de problemă pentru a găsi ecuația tangentei.
Deci, ni se dă funcția și valoarea derivatei în punctul de tangență.
a) Aflați punctele în care derivata funcției este egală cu -1.
Mai întâi, să găsim ecuația derivată.
Să echivalăm derivata cu numărul -1.
Să găsim valoarea funcției în punct.
(dupa conditie)
.
b) Aflați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul .
Să găsim valoarea funcției în punct.
(după condiție).
Să substituim aceste valori în ecuația tangentei:
.
Răspuns:
4 . Scrieți ecuația tangentei la curbă , trecând printr-un punct
Mai întâi, să verificăm dacă punctul este un punct tangent. Dacă un punct este un punct tangent, atunci el aparține graficului funcției, iar coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația funcției. Să substituim coordonatele punctului în ecuația funcției.
Titlu="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} un număr negativ, egalitatea nu este adevărată, iar punctul nu aparține graficului funcției și nu este un punct de contact.
Acesta este ultimul tip de problemă pentru a găsi ecuația tangentei. Primul lucru trebuie să găsim abscisa punctului tangent.
Să găsim valoarea.
Să fie punctul de contact. Punctul aparține tangentei la graficul funcției. Dacă înlocuim coordonatele acestui punct în ecuația tangentei, obținem egalitatea corectă:
.
Valoarea funcției într-un punct este 
.
Să găsim valoarea derivatei funcției în punct.
Mai întâi, să găsim derivata funcției. Acest .
Derivata intr-un punct este egala cu 
.
Să înlocuim expresiile pentru și în ecuația tangentei. Obținem ecuația pentru:
Să rezolvăm această ecuație.
Reduceți numărătorul și numitorul fracției cu 2:
Să aducem partea dreaptă a ecuației la un numitor comun. Primim:
Să simplificăm numărătorul fracției și să înmulțim ambele părți cu - această expresie este strict mai mare decât zero.
Obținem ecuația
Să rezolvăm. Pentru a face acest lucru, să pătram ambele părți și să trecem la sistem.
Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}
Să rezolvăm prima ecuație.
Să decidem ecuație pătratică, primim
A doua rădăcină nu îndeplinește condiția title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}
Să scriem ecuația tangentei la curbă în punct. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea în ecuație 
- Am înregistrat-o deja.
Răspuns:
.
Luați în considerare următoarea figură:
Acesta descrie o anumită funcție y = f(x), care este diferențiabilă în punctul a. Punctul M cu coordonatele (a; f(a)) este marcat. O secantă MR este trasată printr-un punct arbitrar P(a + ∆x; f(a + ∆x)) al graficului.
Dacă acum punctul P este deplasat de-a lungul graficului către punctul M, atunci linia dreaptă MR se va roti în jurul punctului M. În acest caz, ∆x va tinde spre zero. De aici putem formula definiția unei tangente la graficul unei funcții.
Tangenta la graficul unei functii
Tangenta la graficul unei funcții este poziția limită a secantei, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero. Trebuie înțeles că existența derivatei funcției f în punctul x0 înseamnă că în acest punct al graficului există tangentă către el.
În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu derivata acestei funcții în acest punct f’(x0). Acesta este sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii f diferentiabila in punctul x0 este o anumita dreapta care trece prin punctul (x0;f(x0)) si avand un coeficient unghiular f’(x0).
Ecuația tangentei
Să încercăm să obținem ecuația tangentei la graficul unei funcții f în punctul A(x0; f(x0)). Ecuația unei drepte cu panta k are următoarea vedere:
Deoarece coeficientul nostru de pantă este egal cu derivata f’(x0), atunci ecuația va lua următoarea formă: y = f’(x0)*x + b.
Acum să calculăm valoarea lui b. Pentru a face acest lucru, folosim faptul că funcția trece prin punctul A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, de aici exprimăm b și obținem b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Inlocuim valoarea rezultata in ecuatia tangentei:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Luați în considerare următorul exemplu: găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 în punctul x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Înlocuiți valorile obținute în formula tangentei, obținem: y = 1 + 4*(x - 2). Deschizând parantezele și aducând termeni similari obținem: y = 4*x - 7.
Răspuns: y = 4*x - 7.
Schema generala de alcatuire a ecuatiei tangentei la graficul funcției y = f(x):
1. Determinați x0.
2. Calculați f(x0).
3. Calculați f’(x)
O tangentă este o linie dreaptă , care atinge graficul funcției într-un punct și toate punctele care se află la cea mai mică distanță de graficul funcției. Prin urmare, tangenta trece tangentă la graficul funcției la un anumit unghi, iar mai multe tangente la unghiuri diferite nu pot trece prin punctul de tangență. Ecuațiile tangente și ecuațiile normale la graficul unei funcții sunt construite folosind derivata.
Ecuația tangentei este derivată din ecuația dreptei .
Să derivăm ecuația tangentei și apoi ecuația normalei la graficul funcției.
y = kx + b .
În el k- coeficientul unghiular.
De aici obținem următoarea intrare:
y - y 0 = k(X - X 0 ) .
Valoarea derivată f "(X 0 ) funcții y = f(X) la punct X0 egală cu panta k= tg φ tangentă la graficul unei funcții trasate printr-un punct M0 (X 0 , y 0 ) , Unde y0 = f(X 0 ) . Aceasta este sensul geometric al derivatului .
Astfel, putem înlocui k pe f "(X 0 ) și obțineți următoarele ecuația tangentei la graficul unei funcții :
y - y 0 = f "(X 0 )(X - X 0 ) .
În problemele care implică alcătuirea ecuației unei tangente la graficul unei funcții (și vom trece la ele în curând), este necesar să reducem ecuația obținută din formula de mai sus la ecuația unei drepte în formă generală. Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați toate literele și numerele în partea stanga ecuație și lăsați zero în partea dreaptă.
Acum despre ecuația normală. Normal - aceasta este o dreaptă care trece prin punctul de tangență la graficul funcției perpendiculară pe tangentă. Ecuație normală :
(X - X 0 ) + f "(X 0 )(y - y 0 ) = 0
Pentru a vă încălzi, vi se cere să rezolvați singur primul exemplu, apoi să priviți soluția. Există toate motivele să sperăm că această sarcină nu va fi un „duș rece” pentru cititorii noștri.
Exemplul 0. Creați o ecuație tangentă și o ecuație normală pentru graficul unei funcții într-un punct M (1, 1) .
Exemplul 1. Scrieți o ecuație tangentă și o ecuație normală pentru graficul unei funcții 
, dacă abscisa este tangentă .
Să găsim derivata funcției:
Acum avem tot ce trebuie înlocuit în intrarea dată în ajutorul teoretic pentru a obține ecuația tangentei. Primim
În acest exemplu, am avut noroc: panta s-a dovedit a fi zero, așa că reducem separat ecuația la aspectul general nu era nevoie. Acum putem crea ecuația normală:
În figura de mai jos: graficul unei funcții de culoare visiniu, tangentă Culoare verde, portocaliu normal.
Următorul exemplu nu este, de asemenea, complicat: funcția, ca și în cea precedentă, este și un polinom, dar panta nu va fi egală cu zero, așa că se va adăuga încă un pas - aducând ecuația la o formă generală.
Exemplul 2.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
Să găsim derivata funcției:
.
Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:
Înlocuim toate datele obținute în „formula goală” și obținem ecuația tangentei:
Aducem ecuația la forma ei generală (colectăm toate literele și numerele, altele decât zero în partea stângă și lăsăm zero în dreapta):
Compunem ecuația normală:
Exemplul 3. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
Să găsim derivata funcției:
.
Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:
.
Găsim ecuația tangentei:
Înainte de a aduce ecuația la forma sa generală, trebuie să o „pieptănați” puțin: înmulțiți termen cu termen cu 4. Facem acest lucru și aducem ecuația la forma sa generală:
Compunem ecuația normală:
Exemplul 4. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
.
Să găsim derivata funcției:
Să găsim valoarea derivatei în punctul de tangență, adică panta tangentei:
.
Obtinem ecuatia tangentei:
Aducem ecuația la forma ei generală:
Compunem ecuația normală:
O greșeală comună atunci când scrieți ecuații tangente și normale este să nu observați că funcția dată în exemplu este complexă și să calculați derivata ei ca derivată a unei funcții simple. Următoarele exemple sunt deja din funcții complexe(lecția corespunzătoare se va deschide într-o fereastră nouă).
Exemplul 5. Scrieți ecuația tangentei și ecuația normalei la graficul funcției dacă abscisa este punctul de tangență.
Soluţie. Să găsim ordonata punctului tangent:
Atenţie! Această funcție este complexă, deoarece argumentul tangentă (2 X) este în sine o funcție. Prin urmare, găsim derivata unei funcții ca derivată a unei funcții complexe.
Se încarcă...