De ceva timp, în TheBat (nu este clar din ce motiv), baza de date de certificate încorporată pentru SSL a încetat să funcționeze corect.

La verificarea postării, apare o eroare:

Certificat CA necunoscut
Serverul nu a prezentat un certificat rădăcină în sesiune și certificatul rădăcină corespunzător nu a fost găsit în agenda de adrese.
Această conexiune nu poate fi secretă. Vă rog
contactați administratorul serverului dvs.

Și se oferă o gamă de răspunsuri - DA / NU. Și așa de fiecare dată când trageți corespondență.

Soluţie

În acest caz, trebuie să înlocuiți standardul de implementare S/MIME și TLS cu Microsoft CryptoAPI în TheBat!

Deoarece trebuia să îmbin toate fișierele într-unul singur, mai întâi am convertit toate fișierele doc într-un singur fișier pdf (folosind programul Acrobat), apoi l-am transferat în fb2 printr-un convertor online. De asemenea, puteți converti fișiere individual. Formatele pot fi absolut orice (sursă) și doc, și jpg și chiar arhiva zip!

Numele site-ului corespunde esenței:) Online Photoshop.

Actualizare mai 2015

Am gasit un alt site grozav! Și mai convenabil și funcțional pentru a crea un colaj complet arbitrar! Acest site este http://www.fotor.com/ru/collage/ . Utilizați pentru sănătate. Și îl voi folosi și eu.

Confruntat în viață cu repararea sobelor electrice. Am făcut deja o mulțime de lucruri, am învățat multe, dar cumva aveam puțin de-a face cu plăcile. A fost necesară înlocuirea contactelor de pe regulatoare și arzătoare. A apărut întrebarea - cum se determină diametrul arzătorului pe aragazul electric?

Răspunsul s-a dovedit a fi simplu. Nu este nevoie să măsori nimic, poți determina cu ochiul calm ce dimensiune ai nevoie.

Cel mai mic arzător este de 145 milimetri (14,5 centimetri)

Arzător mediu este de 180 milimetri (18 centimetri).

Și în sfârșit cel mai mult arzător mare este de 225 milimetri (22,5 centimetri).

Este suficient să determinați dimensiunea prin ochi și să înțelegeți ce diametru aveți nevoie de un arzător. Când nu știam asta, mă plimbam cu aceste dimensiuni, nu știam cum să măsor, pe ce margine să navighez etc. Acum sunt intelept :) Sper ca te-a ajutat si pe tine!

În viața mea m-am confruntat cu o astfel de problemă. Cred că nu sunt singurul.

Dacă în sarcină este necesar să se efectueze un studiu complet al funcției f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului său, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva o problemă de acest tip, ar trebui să folosiți proprietățile și graficele principalelor funcții elementare. Algoritmul de cercetare include următorii pași:

Găsirea domeniului definiției

Deoarece cercetarea se efectuează pe domeniul funcției, este necesar să începeți cu acest pas.

Exemplul 1

Exemplul dat implică găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude din DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ca rezultat, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Atunci ODZ poate fi căutată pentru rădăcina unui grad par de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0 , pentru logaritmul log a g (x) prin inegalitatea g (x) > 0 .

Investigarea limitelor ODZ și găsirea asimptotelor verticale

Există asimptote verticale la limitele funcției, când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2

De exemplu, considerați punctele de frontieră egale cu x = ± 1 2 .

Apoi este necesar să se studieze funcția pentru a găsi limita unilaterală. Atunci obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Aceasta arată că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că liniile x = ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.

Investigarea funcției și pentru par sau impar

Când condiția y (- x) = y (x) este îndeplinită, funcția este considerată a fi pară. Aceasta sugerează că graficul este situat simetric în raport cu O y. Când condiția y (- x) = - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impară. Aceasta înseamnă că simetria merge în raport cu originea coordonatelor. Dacă cel puțin o inegalitate eșuează, obținem o funcție de formă generală.

Îndeplinirea egalității y (- x) = y (x) indică faptul că funcția este pară. La construcție, este necesar să se țină cont de faptul că va exista simetrie față de O y.

Pentru a rezolva inegalitatea, se folosesc intervale de creștere și scădere cu condițiile f „(x) ≥ 0 și, respectiv, f” (x) ≤ 0.

Definiția 1

Puncte staționare sunt puncte care transformă derivata la zero.

Puncte critice sunt puncte interioare din domeniul în care derivata funcției este egală cu zero sau nu există.

Atunci când luați o decizie, trebuie luate în considerare următoarele aspecte:

• pentru intervalele existente de creștere și scădere a inegalității de forma f „(x) > 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
• punctele la care funcția este definită fără o derivată finită trebuie incluse în intervalele de creștere și scădere (de exemplu, y \u003d x 3, unde punctul x \u003d 0 face ca funcția să fie definită, derivata are valoarea infinitului în acest moment, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 este inclus în intervalul de creștere);
• pentru a evita neînțelegerile, se recomandă utilizarea literaturii matematice, care este recomandată de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în intervalele de creștere și scădere în cazul în care acestea satisfac domeniul funcției.

Definiția 2

Pentru determinand intervalele de crestere si scadere a functiei, este necesar sa se gaseasca:

• derivat;
• puncte critice;
• spargeți domeniul definiției cu ajutorul punctelor critice în intervale;
• determinați semnul derivatei la fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.

Exemplul 3

Aflați derivata pe domeniul f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Soluţie

Pentru a rezolva ai nevoie de:

• găsiți puncte staționare, acest exemplu are x = 0 ;
• găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x = ± 1 2 .

Expunem puncte pe axa numerică pentru a determina derivata pe fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din interval și să faceți un calcul. Dacă rezultatul este pozitiv, desenăm + pe grafic, ceea ce înseamnă o creștere a funcției, iar - înseamnă scăderea acesteia.

De exemplu, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare numărul linia.

Răspuns:

• are loc o creştere a funcţiei pe intervalul - ∞ ; - 1 2 și (- 1 2 ; 0 ] ;
• are loc o scădere a intervalului [ 0 ; 1 2) și 1 2 ; +∞ .

În diagramă, folosind + și -, sunt prezentate pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile indică descreșterea și creșterea.

Punctele extreme ale unei funcții sunt punctele în care funcția este definită și prin care derivata își schimbă semnul.

Exemplul 4

Dacă luăm în considerare un exemplu în care x \u003d 0, atunci valoarea funcției din aceasta este f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Când semnul derivatei se schimbă de la + la - și trece prin punctul x \u003d 0, atunci punctul cu coordonatele (0; 0) este considerat punctul maxim. Când semnul este schimbat de la - la +, obținem punctul minim.

Convexitatea și concavitatea se determină prin rezolvarea inegalităților de forma f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0 . Mai rar folosesc denumirea de umflare în jos în loc de concavitate și umflare în loc de bombare.

Definiția 3

Pentru determinarea golurilor de concavitate si convexitate necesar:

• găsiți derivata a doua;
• găsiți zerourile funcției derivatei a doua;
• rupe domeniul definirii prin punctele care apar pe intervale;
• determina semnul decalajului.

Exemplul 5

Găsiți derivata a doua din domeniul definiției.

Soluţie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde, folosind exemplul nostru, avem că zerourile numitorului x = ± 1 2

Acum trebuie să puneți puncte pe dreapta numerică și să determinați semnul derivatei a doua din fiecare interval. Înțelegem asta

Răspuns:

• funcţia este convexă din intervalul - 1 2 ; 12;
• funcţia este concavă din golurile - ∞ ; - 1 2 și 1 2 ; +∞ .

Definiția 4

punct de inflexiune este un punct de forma x 0 ; f(x0). Când are o tangentă la graficul funcției, atunci când trece prin x 0, funcția își schimbă semnul opus.

Cu alte cuvinte, acesta este un astfel de punct prin care derivata a doua trece și își schimbă semnul, iar în punctele în sine este egală cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate a fi domeniul funcției.

În exemplu, s-a văzut că nu există puncte de inflexiune, deoarece derivata a doua își schimbă semnul în timp ce trece prin punctele x = ± 1 2 . Ele, la rândul lor, nu sunt incluse în domeniul definiției.

Găsirea asimptotelor orizontale și oblice

Când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și oblice.

Definiția 5

Asimptote oblice sunt trasate folosind drepte date de ecuația y = k x + b, unde k = lim x → ∞ f (x) x și b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pentru k = 0 și b nu este egal cu infinitul, aflăm că asimptota oblică devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele sunt liniile pe care graficul funcției le apropie la infinit. Aceasta contribuie la construirea rapidă a graficului funcției.

Dacă nu există asimptote, dar funcția este definită la ambele infinitate, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinitități pentru a înțelege cum se va comporta graficul funcției.

Exemplul 6

Ca exemplu, luați în considerare asta

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

este o asimptotă orizontală. După ce ați cercetat funcția, puteți începe să o construiți.

Calcularea valorii unei funcții în puncte intermediare

Pentru a face graficul cel mai precis, se recomandă să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare.

Exemplul 7

Din exemplul pe care l-am luat în considerare, este necesar să găsim valorile funcției în punctele x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Deoarece funcția este pară, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Să scriem și să rezolvăm:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pentru a determina maximele și minimele funcției, punctele de inflexiune, punctele intermediare, este necesar să se construiască asimptote. Pentru o desemnare convenabilă, intervalele de creștere, scădere, convexitate, concavitate sunt fixe. Luați în considerare figura de mai jos.

Este necesar să trasați linii grafice prin punctele marcate, ceea ce vă va permite să vă apropiați de asimptote, urmând săgețile.

Aceasta încheie studiul complet al funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se folosesc transformări geometrice.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Cum se investighează o funcție și se trasează graficul acesteia?

Se pare că încep să înțeleg chipul plin de suflet al liderului proletariatului mondial, autorul unor lucrări adunate în 55 de volume.... Călătoria lungă a început cu informații elementare despre funcții și grafice, iar acum lucrul pe un subiect laborios se termină cu un rezultat natural - un articol despre studiul complet al funcției. Sarcina mult așteptată este formulată după cum urmează:

Investigați funcția prin metode de calcul diferențial și, pe baza rezultatelor studiului, construiți graficul acesteia

Sau pe scurt: examinați funcția și trasați-o.

De ce explora?În cazuri simple, nu ne va fi dificil să ne ocupăm de funcții elementare, desenați un grafic obținut folosind transformări geometrice elementare etc. Cu toate acestea, proprietățile și reprezentările grafice ale funcțiilor mai complexe sunt departe de a fi evidente, motiv pentru care este nevoie de un studiu întreg.

Principalii pași ai soluției sunt rezumați în materialul de referință Schema de studiu a funcției, acesta este ghidul dvs. de secțiune. Dummies au nevoie de o explicație pas cu pas a subiectului, unii cititori nu știu de unde să înceapă și cum să organizeze studiul, iar studenții avansați pot fi interesați doar de câteva puncte. Dar oricine ai fi, dragă vizitator, rezumatul propus cu indicatoare către diverse lecții te va orienta și te va îndrepta în direcția de interes în cel mai scurt timp posibil. Roboții au vărsat o lacrimă =) Manualul a fost alcătuit sub forma unui fișier pdf și și-a luat locul cuvenit pe pagină Formule și tabele matematice.

Obișnuiam să împărțim studiul funcției în 5-6 puncte:

6) Puncte suplimentare și grafic pe baza rezultatelor studiului.

În ceea ce privește acțiunea finală, cred că toată lumea înțelege totul - va fi foarte dezamăgitor dacă în câteva secunde va fi tăiată și sarcina este returnată pentru revizuire. UN DESEN CORECT ȘI EXACTE este principalul rezultat al soluției! Este foarte probabil să „acopere” neglijările analitice, în timp ce un program incorect și/sau neglijent va cauza probleme chiar și cu un studiu perfect realizat.

Trebuie menționat că în alte surse, numărul de articole de cercetare, ordinea implementării lor și stilul de proiectare pot diferi semnificativ de schema propusă de mine, dar în majoritatea cazurilor este destul de suficient. Cea mai simplă versiune a problemei constă în doar 2-3 pași și este formulată cam așa: „explorează funcția folosind derivata și grafică” sau „explorează funcția folosind derivata 1 și 2, grafică”.

Desigur, dacă un alt algoritm este analizat în detaliu în manualul dvs. de instruire sau profesorul vă cere strict să respectați prelegerile sale, atunci va trebui să faceți unele ajustări la soluție. Nu mai dificil decât înlocuirea furculiței cu o lingură cu drujbă.

Să verificăm funcția pentru par / impar:

Acesta este urmat de un șablon de dezabonare:
, deci această funcție nu este nici pară, nici impară.

Deoarece funcția este continuă pe , nu există asimptote verticale.

Nu există nici asimptote oblice.

Notă : Vă reamintesc că cu cât mai sus ordinea de creștere decât , deci limita finală este exact " un plus infinit."

Să aflăm cum se comportă funcția la infinit:

Cu alte cuvinte, dacă mergem la dreapta, atunci graficul merge infinit în sus, dacă mergem la stânga, infinit în jos. Da, există și două limite sub o singură intrare. Dacă întâmpinați dificultăți în descifrarea semnelor, vă rugăm să vizitați lecția despre funcții infinitezimale.

Deci funcția nelimitat de susși nelimitat de jos. Avand in vedere ca nu avem puncte de break, devine clar si intervalul de funcții: este, de asemenea, orice număr real.

TEHNICĂ UTILĂ

Fiecare pas de sarcină aduce informații noi despre graficul funcției, deci în cursul soluției este convenabil să folosiți un fel de LAYOUT. Să desenăm un sistem de coordonate carteziene pe proiect. Ce se știe cu siguranță? În primul rând, graficul nu are asimptote, prin urmare, nu este nevoie să desenați linii drepte. În al doilea rând, știm cum se comportă funcția la infinit. Conform analizei, tragem prima aproximare:

Rețineți că de fapt continuitate funcția pe și faptul că , graficul trebuie să traverseze axa cel puțin o dată. Sau poate sunt mai multe puncte de intersecție?

3) Zerurile funcției și intervalele de semn constant.

Mai întâi, găsiți punctul de intersecție al graficului cu axa y. E simplu. Este necesar să se calculeze valoarea funcției atunci când:

La jumătate deasupra nivelului mării.

Pentru a găsi punctele de intersecție cu axa (zerourile funcției), trebuie să rezolvați ecuația și aici ne așteaptă o surpriză neplăcută:

La sfârșit, un membru liber pândește, ceea ce complică semnificativ sarcina.

O astfel de ecuație are cel puțin o rădăcină reală și cel mai adesea această rădăcină este irațională. În cel mai rău basm, ne așteaptă trei purceluși. Ecuația este rezolvabilă folosind așa-numita formulele lui Cardano, dar deteriorarea hârtiei este comparabilă cu aproape întregul studiu. În acest sens, este mai înțelept oral sau pe ciornă să încerci să ridici cel puțin unul întreg rădăcină. Să verificăm dacă aceste numere sunt:
- nu se potriveste;
- există!

E noroc aici. În caz de eșec, puteți testa și, iar dacă aceste numere nu se potrivesc, atunci mă tem că sunt foarte puține șanse pentru o soluție profitabilă a ecuației. Atunci este mai bine să săriți peste punctul de cercetare - poate că ceva va deveni mai clar la pasul final, când puncte suplimentare vor trece. Și dacă rădăcina (rădăcinile) sunt în mod clar „rele”, atunci este mai bine să rămâneți modest tăcuți cu privire la intervalele de constanță a semnelor și să finalizați mai precis desenul.

Cu toate acestea, avem o rădăcină frumoasă, așa că împărțim polinomul fara rest:

Algoritmul de împărțire a unui polinom la un polinom este discutat în detaliu în primul exemplu al lecției. Limite complexe.

Ca rezultat, partea stângă a ecuației originale se extinde într-un produs:

Și acum puțin despre un stil de viață sănătos. Bineînțeles că înțeleg asta ecuații pătratice trebuie rezolvate în fiecare zi, dar astăzi vom face o excepție: ecuația are două rădăcini reale.

Pe linia numerică, trasăm valorile găsite și metoda intervalului definiți semnele funcției:


og Astfel, pe intervale graficul situat
sub axa x și la intervale - deasupra acestei axe.

Constatările rezultate ne permit să ne rafinăm aspectul, iar a doua aproximare a graficului arată astfel:

Vă rugăm să rețineți că funcția trebuie să aibă cel puțin un maxim pe interval și cel puțin un minim pe interval. Dar nu știm de câte ori, unde și când se va „întoarce” programul. Apropo, o funcție poate avea infinitate extreme.

4) Creșterea, descreșterea și extrema funcției.

Să găsim punctele critice:

Această ecuație are două rădăcini reale. Să le punem pe linia numerică și să determinăm semnele derivatei:


Prin urmare, funcția crește cu si scade cu .
În momentul în care funcția atinge maximul: .
În momentul în care funcția atinge minimul: .

Faptele stabilite conduc șablonul nostru într-un cadru destul de rigid:

Inutil să spun că calculul diferențial este un lucru puternic. Să ne ocupăm în sfârșit de forma graficului:

5) Convexitatea, concavitatea și punctele de inflexiune.

Aflați punctele critice ale derivatei a doua:

Să definim semnele:


Graficul funcției este convex pe și concav pe . Să calculăm ordonata punctului de inflexiune: .

Aproape totul s-a clarificat.

6) Rămâne să găsim puncte suplimentare care să ajute la construirea mai precisă a unui grafic și la efectuarea unui autotest. În acest caz, sunt puține, dar nu vom neglija:

Să executăm desenul:

Punctul de inflexiune este marcat cu verde, punctele suplimentare sunt marcate cu cruci. Graficul unei funcții cubice este simetric față de punctul său de inflexiune, care este întotdeauna situat exact la mijloc între maxim și minim.

Pe parcursul sarcinii, am dat trei desene intermediare ipotetice. În practică, este suficient să desenați un sistem de coordonate, să marcați punctele găsite și, după fiecare punct al studiului, să vă dați seama mental cum ar putea arăta graficul funcției. Nu va fi dificil pentru studenții cu un nivel bun de pregătire să efectueze o astfel de analiză doar în mintea lor, fără a implica o schiță.

Pentru o soluție de sine stătătoare:

Exemplul 2

Explorează funcția și construiește un grafic.

Totul este mai rapid și mai distractiv aici, un exemplu aproximativ de terminare la sfârșitul lecției.

O mulțime de secrete sunt dezvăluite prin studiul funcțiilor raționale fracționale:

Exemplul 3

Folosind metodele de calcul diferențial, investigați funcția și, pe baza rezultatelor studiului, construiți graficul acesteia.

Soluţie: prima etapă a studiului nu diferă în nimic remarcabil, cu excepția unei găuri în zona de definiție:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică, cu excepția punctului , domeniu: .

, deci această funcție nu este nici pară, nici impară.

Evident, funcția nu este periodică.

Graficul funcției este format din două ramuri continue situate în semiplanul stâng și drept - aceasta este poate cea mai importantă concluzie a primului paragraf.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

a) Cu ajutorul limitelor unilaterale, studiem comportamentul funcției în apropierea punctului suspect, unde asimptota verticală trebuie să fie clar:

Într-adevăr, funcțiile rezistă gol nesfârșit la punct
iar linia dreaptă (axa) este asimptotă verticală Arte grafice .

b) Verificați dacă există asimptote oblice:

Da, linia este asimptotă oblică grafica daca .

Nu are sens să analizăm limitele, deoarece este deja clar că funcția într-o îmbrățișare cu asimptota ei oblică nelimitat de susși nelimitat de jos.

Al doilea punct al studiului a adus o mulțime de informații importante despre funcție. Să facem o schiță grosieră:

Concluzia nr. 1 se referă la intervalele de constanță a semnelor. La „minus infinit” graficul funcției este situat în mod unic sub axa x, iar la „plus infinit” se află deasupra acestei axe. În plus, limitele unilaterale ne-au spus că atât la stânga, cât și la dreapta punctului, funcția este, de asemenea, mai mare decât zero. Vă rugăm să rețineți că în semiplanul din stânga, graficul trebuie să traverseze axa x cel puțin o dată. În semiplanul din dreapta, este posibil să nu existe zerouri ale funcției.

Concluzia nr. 2 este că funcția crește pe și la stânga punctului (se duce „de jos în sus”). În dreapta acestui punct, funcția scade (se duce „de sus în jos”). Ramura dreaptă a graficului trebuie să aibă cu siguranță cel puțin un minim. În stânga, extremele nu sunt garantate.

Concluzia nr. 3 oferă informații fiabile despre concavitatea graficului în vecinătatea punctului. Până acum, nu putem spune nimic despre convexitatea/concavitatea la infinit, deoarece linia poate fi apăsată pe asimptota ei atât de sus, cât și de jos. În general, există o modalitate analitică de a descoperi acest lucru chiar acum, dar forma diagramei „degeaba” va deveni mai clară într-o etapă ulterioară.

De ce atâtea cuvinte? Pentru a controla punctele de cercetare ulterioare și a evita greșelile! Calculele ulterioare nu ar trebui să contrazică concluziile trase.

3) Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, intervale de semn constant ale funcției.

Graficul funcției nu traversează axa.

Folosind metoda intervalului, determinăm semnele:

, dacă ;
, dacă .

Rezultatele paragrafului sunt pe deplin în concordanță cu concluzia nr. 1. După fiecare pas, priviți schița, referiți-vă mental la studiu și terminați de desenat graficul funcției.

În acest exemplu, numărătorul este împărțit termen cu termen cu numitor, ceea ce este foarte benefic pentru diferențiere:

De fapt, acest lucru a fost deja făcut la găsirea asimptotelor.

- punct critic.

Să definim semnele:

creste cu si scade la

În momentul în care funcția atinge minimul: .

De asemenea, nu au existat discrepanțe cu Concluzia nr. 2 și, cel mai probabil, suntem pe drumul cel bun.

Aceasta înseamnă că graficul funcției este concav pe întregul domeniu de definiție.

Excelent - și nu trebuie să desenați nimic.

Nu există puncte de inflexiune.

Concavitatea este în concordanță cu concluzia nr. 3, în plus, indică faptul că la infinit (atât acolo, cât și acolo) graficul funcției este situat de mai sus asimptota sa oblică.

6) Vom fixa cu conștiință sarcina cu puncte suplimentare. Aici trebuie să muncim din greu, pentru că știm doar două puncte din studiu.

Și o imagine pe care, probabil, mulți au prezentat-o ​​de mult:

Pe parcursul sarcinii, trebuie avut grijă să se asigure că nu există contradicții între etapele studiului, dar uneori situația este urgentă sau chiar în fundătură disperată. Aici analytics „nu converg” – și atât. În acest caz, recomand o tehnică de urgență: găsim cât mai multe puncte aparținând graficului (câtă răbdare este suficientă), și le marchem pe planul de coordonate. Analiza grafică a valorilor găsite în majoritatea cazurilor vă va spune unde este adevărul și unde este minciuna. În plus, graficul poate fi pre-construit folosind un program, de exemplu, în același Excel (este clar că acest lucru necesită abilități).

Exemplul 4

Folosind metodele de calcul diferențial, investigați funcția și trasați graficul acesteia.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. În ea, autocontrolul este îmbunătățit de uniformitatea funcției - graficul este simetric față de axă și, dacă ceva din studiul dvs. contrazice acest fapt, căutați o eroare.

O funcție pară sau impară poate fi investigată numai pentru , iar apoi poate fi utilizată simetria graficului. Această soluție este optimă, dar pare, după părerea mea, foarte neobișnuită. Personal, iau în considerare întreaga axă numerică, dar mai găsesc puncte suplimentare doar în dreapta:

Exemplul 5

Efectuați un studiu complet al funcției și trasați graficul acesteia.

Soluţie: s-a repezit greu:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie reală: .

Aceasta înseamnă că această funcție este impară, graficul ei este simetric față de origine.

Evident, funcția nu este periodică.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

Deoarece funcția este continuă pe , nu există asimptote verticale

Pentru o funcție care conține un exponent, de obicei separa studiul „plus” și „minus infinit”, cu toate acestea, viața noastră este facilitată doar de simetria graficului - fie există o asimptotă în stânga și în dreapta, fie nu este. Prin urmare, ambele limite infinite pot fi aranjate sub o singură intrare. În cursul soluției, folosim Regula lui L'Hopital:

Linia dreaptă (axa) este asimptota orizontală a graficului la .

Fiți atenți la modul în care am evitat în mod inteligent algoritmul complet pentru găsirea asimptotei oblice: limita este destul de legală și clarifică comportamentul funcției la infinit, iar asimptota orizontală a fost găsită „ca și în același timp”.

Din continuitatea pe şi existenţa unei asimptote orizontale rezultă că funcţia limitat de susși limitat de jos.

3) Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, intervale de constanță.

Aici scurtăm și soluția:
Graficul trece prin origine.

Nu există alte puncte de intersecție cu axele de coordonate. Mai mult, intervalele de constanță sunt evidente, iar axa nu poate fi trasată: , ceea ce înseamnă că semnul funcției depinde doar de „x”:
, dacă ;
, dacă .

4) Creșterea, descreșterea, extrema funcției.


sunt puncte critice.

Punctele sunt simetrice față de zero, așa cum ar trebui să fie.

Să definim semnele derivatei:


Funcția crește pe interval și scade pe intervale

În momentul în care funcția atinge maximul: .

Datorita proprietatii (ciudățenia funcției) minimul poate fi omis:

Deoarece funcția scade pe intervalul , atunci, evident, graficul este situat la „minus infinit” sub cu asimptota ei. Pe interval, funcția scade și ea, dar aici este adevărat opusul - după ce trece prin punctul maxim, linia se apropie de axa de sus.

De asemenea, din cele de mai sus rezultă că graficul funcției este convex la „minus infinit” și concav la „plus infinit”.

După acest punct al studiului, s-a trasat și zona valorilor funcției:

Dacă aveți o înțelegere greșită a vreunui punct, vă îndemn încă o dată să desenați axe de coordonate în caiet și, cu un creion în mâini, să reanalizați fiecare concluzie a temei.

5) Convexitatea, concavitatea, inflexiunile graficului.

sunt puncte critice.

Se păstrează simetria punctelor și, cel mai probabil, nu ne înșelim.

Să definim semnele:


Graficul funcției este convex și concav pe .

S-a confirmat convexitatea/concavitatea la intervale extreme.

În toate punctele critice există inflexiuni în grafic. Să găsim ordonatele punctelor de inflexiune, reducând din nou numărul de calcule, folosind neobișnuirea funcției:

Reşebnik Kuzneţov.
III Grafice

Sarcina 7. Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.

        Înainte de a începe descărcarea opțiunilor, încercați să rezolvați problema conform exemplului de mai jos pentru opțiunea 3. Unele dintre opțiuni sunt arhivate în format .rar

        7.3 Efectuați un studiu complet al funcției și trasați-o

Soluţie.

        1) Domeniu de aplicare:         sau        , adică        .
.
Astfel:         .

        2) Nu există puncte de intersecție cu axa Ox. Într-adevăr, ecuația         nu are soluții.
Nu există puncte de intersecție cu axa Oy deoarece        .

        3) Funcția nu este nici pară, nici impară. Nu există simetrie în jurul axei y. Nici în privința originii nu există simetrie. pentru că
.
Vedem că         și        .

        4) Funcția este continuă în domeniu
.

; .

; .
Prin urmare, punctul         este un punct de discontinuitate de al doilea fel (discontinuitate infinită).

5) Asimptote verticale:       

Găsiți asimptota oblică        . Aici

;
.
Prin urmare, avem o asimptotă orizontală: y=0. Nu există asimptote oblice.

        6) Găsiți prima derivată. Prima derivată:
.
Si de aceea
.
Să găsim puncte staționare în care derivata este egală cu zero, adică
.

        7) Găsiți derivata a doua. Derivata a doua:
.
Și acest lucru este ușor de verificat, deoarece