Cel mai mult în ec. practica trebuie să folosească media aritmetică, care poate fi calculată ca medie aritmetică simplă și ponderată.
Media aritmetică (CA)-n Cel mai comun tip de mediu. Este utilizat în cazurile în care volumul unei caracteristici variabile pentru întreaga populație este suma valorilor caracteristicilor unităților sale individuale. Pentru fenomenele sociale, aditivitatea (sumarea) volumelor atributului variabil este caracteristică, aceasta determină domeniul de aplicare al CA și explică prevalența acestuia ca indicator generalizator, De exemplu: fondul general de salarii este suma salariilor tuturor angajaților.
Pentru a calcula CA, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor caracteristice la numărul lor. CA se aplică în 2 forme.
Luați în considerare mai întâi media aritmetică simplă.
1-CA simplu (forma inițială, definitorie) este egală cu suma simplă a valorilor individuale ale atributului mediat, împărțită la numărul total al acestor valori (utilizat atunci când există valori ind. negrupate ale atributului):
Calculele efectuate pot fi rezumate în următoarea formulă:
(1)
Unde 
- valoarea medie a caracteristicii variabile, adică media aritmetică simplă;
înseamnă însumare, adică adăugarea de caracteristici individuale;
X- valori individuale ale unei caracteristici variabile, care se numesc variante;
n - numărul de unităţi de populaţie
Exemplul 1, este necesar să se afle producția medie a unui muncitor (lăcătuș), dacă se știe câte piese a făcut fiecare dintre cei 15 muncitori, adică. un număr de ind. valori atribute, buc.: 21; douăzeci; douăzeci; 19; 21; 19; optsprezece; 22; 19; douăzeci; 21; douăzeci; optsprezece; 19; douăzeci.
CA simplu se calculează prin formula (1), buc.:
Exemplul 2... Să calculăm CA pe baza datelor condiționate pentru 20 de magazine incluse în societatea comercială (Tabelul 1). tabelul 1
Repartizarea magazinelor societatii comerciale "Vesna" pe suprafata comerciala, mp. M
|
Magazinul nr. |
Magazinul nr. | ||
Pentru a calcula suprafața medie a magazinului ( 
) este necesar să se adună suprafețele tuturor magazinelor și să se împartă rezultatul la numărul de magazine:
Astfel, suprafața medie a magazinului pentru acest grup de întreprinderi comerciale este de 71 mp.
Prin urmare, pentru a determina CA simplu, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor unui anumit atribut la numărul de unități care au acest atribut.
2
Unde f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
greutatea (frecvența de repetare a acelorași semne); - suma produselor mărimii caracteristicilor după frecvența lor; - numarul total de unitati din populatie.
(2)
Unde NS- Opțiuni;
f- frecvența (greutatea).
SA ponderat este coeficientul de împărțire a sumei produselor variantelor și a frecvențelor corespunzătoare acestora la suma tuturor frecvențelor. Frecvențe ( f) care apar în formula CA sunt de obicei numite cântare, în urma căruia CA, calculată ținând cont de ponderi, se numește ponderată.
Vom ilustra tehnica de calcul a CA ponderată folosind exemplul de mai sus 1. Pentru a face acest lucru, grupăm datele inițiale și le plasăm în tabel.
Media datelor grupate se determină astfel: mai întâi, opțiunile sunt înmulțite cu frecvențele, apoi produsele sunt adăugate și suma rezultată este împărțită la suma frecvențelor.
Conform formulei (2), CA ponderată este egală cu, buc.: 
NS
Distributia magazinelor Vesna pe spatii comerciale, mp. m
Astfel, rezultatul este același. Cu toate acestea, aceasta va fi deja valoarea mediei aritmetice ponderate.
În exemplul anterior, am calculat media aritmetică presupunând că sunt cunoscute frecvențele absolute (numărul stocurilor). Cu toate acestea, într-un număr de cazuri, frecvențele absolute sunt absente, dar frecvențele relative sunt cunoscute sau, așa cum sunt de obicei numite, frecvențe care arată o cotă sau proporţia frecvenţelor în întreaga populaţie.
La calcularea utilizării ponderate CA frecvente vă permite să simplificați calculele atunci când frecvența este exprimată în numere mari, cu mai multe cifre. Calculul se face în același mod, însă, deoarece media este mărită cu un factor de 100, rezultatul trebuie împărțit la 100.
Apoi formula pentru media ponderată aritmetică va arăta astfel:
Unde d- frecvență, adică ponderea fiecărei frecvențe în totalul tuturor frecvențelor.
(3)În exemplul nostru 2, determinăm mai întâi proporția magazinelor pe grupuri în numărul total de magazine ale companiei „Vesna”. Deci, pentru primul grup, greutatea specifică corespunde la 10% 
... Obținem următoarele date Tabelul 3
Ce este media aritmetică
Media aritmetică a mai multor mărimi este raportul dintre suma acestor mărimi și numărul lor.
Media aritmetică a unei anumite serii de numere se numește suma tuturor acestor numere, împărțită la numărul de termeni. Astfel, media aritmetică este media unei serii de numere.
Care este media aritmetică a mai multor numere? Și ele sunt egale cu suma acestor numere, care este împărțită la numărul de termeni din această sumă.
Cum să găsiți media aritmetică
Nu este nimic dificil în calcularea sau găsirea mediei aritmetice a mai multor numere, este suficient să adunăm toate numerele prezentate și să împărțiți suma rezultată la numărul de termeni. Rezultatul va fi media aritmetică a acestor numere.
Să aruncăm o privire mai atentă asupra acestui proces. Ce trebuie să facem pentru a calcula media aritmetică și a obține rezultatul final al acestui număr.
În primul rând, pentru a-l calcula, trebuie să determinați un set de numere sau numărul acestora. Acest set poate include numere mari și mici, iar numărul lor poate fi orice.
În al doilea rând, toate aceste numere trebuie adăugate pentru a obține suma lor. Desigur, dacă numerele sunt simple și numărul lor este mic, atunci calculele pot fi făcute notându-le manual. Și dacă setul de numere este impresionant, atunci este mai bine să folosiți un calculator sau o foaie de calcul.
Și, în al patrulea rând, suma obținută în urma adunării trebuie împărțită la numărul de numere. Ca urmare, vom obține rezultatul, care va fi media aritmetică a acestei serii.
Pentru ce înseamnă aritmetica?
Media aritmetică poate fi utilă nu numai pentru rezolvarea exemplelor și problemelor din lecțiile de matematică, ci și în alte scopuri necesare în viața de zi cu zi a unei persoane. Astfel de scopuri pot fi calculul mediei aritmetice pentru a calcula cheltuielile financiare medii pe lună, sau pentru a calcula timpul petrecut pe drum, tot pentru a afla prezența, productivitatea, viteza de deplasare, randamentul și multe altele.
Deci, de exemplu, să încercăm să calculăm cât timp petreci să ajungi la școală. De fiecare dată când mergi la școală sau te întorci acasă, petreci timp diferit pe drum, pentru că atunci când ești grăbit, mergi mai repede și, prin urmare, drumul durează mai puțin. Dar, revenind acasă, poți merge încet, comunicând cu colegii de clasă, admirând natura și, prin urmare, va dura mai mult timp pe drum.
Prin urmare, nu veți putea determina cu exactitate timpul petrecut pe drum, dar datorită mediei aritmetice, puteți afla aproximativ timpul petrecut pe drum.
Să presupunem că, în prima zi după weekend, ai petrecut cincisprezece minute pe drumul de acasă la școală, în a doua zi călătoria a durat douăzeci de minute, miercuri ai parcurs distanța în douăzeci și cinci de minute, în același timp ți-ai făcut drum joi, iar vineri nu te-ai grăbit și te-ai întors pentru o jumătate de oră.
Să găsim media aritmetică, adăugând timpul, pentru toate cele cinci zile. Asa de,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Acum să împărțim această sumă la numărul de zile
Prin această metodă, ați învățat că călătoria de acasă la școală durează aproximativ douăzeci și trei de minute din timpul dumneavoastră.
Teme pentru acasă
1. Folosește câteva calcule simple pentru a găsi media aritmetică a numărului de elevi din clasa ta pe săptămână.
2. Aflați media aritmetică:
3. Rezolvați problema:
Când numărul de elemente ale mulțimii numerelor unui proces aleator staționar tinde spre infinit, media aritmetică tinde spre așteptarea matematică a unei variabile aleatoare.
Introducere
Notăm mulțimea de numere X = (X 1 , X 2 , …, X n), atunci media eșantionului este de obicei indicată printr-o bară orizontală deasupra variabilei (pronunțată „ X cu o linie ").
Litera greacă μ este de obicei folosită pentru a desemna media aritmetică a întregului set de numere. Pentru o variabilă aleatoare pentru care se determină valoarea medie, μ este medie probabilistica sau așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Dacă setul X este o colecție de numere aleatoare cu o medie probabilistă μ, apoi pentru orice probă X i din această colecție μ = E ( X i) este așteptarea matematică a acestui eșantion.
În practică, diferența dintre μ și x ¯ (\ stil de afișare (\ bar (x))) este că μ este o variabilă tipică, deoarece puteți vedea eșantionul mai degrabă decât întreaga populație. Prin urmare, dacă eșantionul este prezentat aleatoriu (din punct de vedere al teoriei probabilităților), atunci x ¯ (\ stil de afișare (\ bar (x)))(dar nu μ) poate fi tratată ca o variabilă aleatoare cu o distribuție de probabilitate pe eșantion (distribuția de probabilitate a mediei).
Ambele cantități sunt calculate în același mod:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)Exemple de
- Pentru trei numere, adună-le și împarte la 3:
- Pentru patru numere, adună-le și împarte la 4:
Variabilă aleatoare continuă
Dacă există o integrală a unei funcții f (x) (\ displaystyle f (x)) o variabilă, apoi media aritmetică a acestei funcții pe interval [A; b] (\ stil de afișare) definit în termeni de integrală definită:
f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x. (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx.)Asta presupune că b> a. (\ displaystyle b> a.)
Câteva probleme de utilizare a mediei
Lipsa robusteței
Deși media aritmetică este adesea folosită ca medii sau tendințe centrale, nu este o statistică robustă, ceea ce înseamnă că media aritmetică este puternic influențată de „abateri mari”. Este de remarcat faptul că, pentru distribuțiile cu un coeficient de asimetrie mare, media aritmetică poate să nu corespundă conceptului de „medie”, iar valorile medii din statistici robuste (de exemplu, mediana) pot descrie mai bine tendința centrală.
Un exemplu clasic este calcularea venitului mediu. Media aritmetică poate fi interpretată greșit ca mediană, ceea ce poate duce la concluzia că există mai mulți oameni cu venituri mai mari decât sunt în realitate. Venitul „mediu” este interpretat în așa fel încât venitul majorității oamenilor să fie aproape de acest număr. Acest venit „mediu” (în sensul mediei aritmetice) este mai mare decât venitul majorității oamenilor, deoarece un venit mare cu o abatere mare de la medie face ca media aritmetică să fie puternic denaturată (dimpotrivă, venitul median „rezistă” o astfel de părtinire). Cu toate acestea, acest venit „mediu” nu spune nimic despre numărul de persoane în apropierea venitului median (și nu spune nimic despre numărul de persoane în apropierea venitului modal). Cu toate acestea, dacă iei cu ușurință conceptele de „medie” și „majoritate a oamenilor”, atunci poți trage concluzia greșită că majoritatea oamenilor au venituri mai mari decât sunt în realitate. De exemplu, un raport privind venitul net „mediu” din Medina, Washington, calculat ca media aritmetică a veniturilor nete anuale ale tuturor rezidenților, ar produce un număr surprinzător de mare din cauza lui Bill Gates. Luați în considerare eșantionul (1, 2, 2, 2, 3, 9). Media aritmetică este 3,17, dar cinci din șase valori sunt sub această medie.
Interes compus
Dacă numerele multiplica, dar nu pliază, trebuie să utilizați media geometrică, nu media aritmetică. Cel mai adesea, acest incident apare atunci când se calculează rentabilitatea investiției în finanțe.
De exemplu, dacă stocurile au scăzut cu 10% în primul an și au crescut cu 30% în al doilea an, atunci este incorect să calculăm creșterea „medie” în acești doi ani ca medie aritmetică (-10% + 30%) / 2 = 10%; valoarea medie corectă în acest caz este dată de rata de creștere anuală cumulată, la care creșterea anuală este de numai aproximativ 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Motivul pentru aceasta este că procentele au un nou punct de plecare de fiecare dată: 30% este 30%. dintr-un număr mai mic decât prețul de la începutul primului an: dacă stocul a fost la 30 USD la început și a scăzut cu 10%, este la 27 USD la începutul celui de-al doilea an. Dacă stocul crește cu 30%, valorează 35,1 USD la sfârșitul celui de-al doilea an. Media aritmetică a acestei creșteri este de 10%, dar deoarece stocul este de doar 5,1 USD în 2 ani, o creștere medie de 8,2% dă rezultatul final de 35,1 USD:
[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Dacă folosim media aritmetică de 10% în același mod, nu vom obține valoarea reală: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3].
Dobândă compusă la sfârșitul anului 2: 90% * 130% = 117%, adică o creștere totală de 17% și o dobândă compusă medie anuală 117% ≈ 108,2% (\ stil de afișare (\ sqrt (117 \%)) \ aproximativ 108,2 \%), adică o creștere medie anuală de 8,2%.
Directii
Articolul principal: Statistici despre destinație
O atenție deosebită trebuie acordată la calcularea mediei aritmetice a unei variabile care se modifică ciclic (de exemplu, fază sau unghi). De exemplu, media numerelor 1 și 359 va fi 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180. Acest număr este incorect din două motive.
Valoarea medie pentru variabila ciclică, calculată folosind formula de mai sus, va fi deplasată artificial de la media reală către mijlocul intervalului numeric. Din această cauză, media se calculează într-un mod diferit, și anume, ca medie este ales numărul cu cea mai mică varianță (punctul central). De asemenea, în loc de scădere, se folosește distanța modulară (adică distanța circumferențială). De exemplu, distanța modulară între 1 ° și 359 ° este 2 °, nu 358 ° (pe un cerc între 359 ° și 360 ° == 0 ° - un grad, între 0 ° și 1 ° - tot 1 °, în total - 2 °).
Trei copii au mers la pădure după fructe de pădure. Fiica cea mare a găsit 18 boabe, cea mijlocie - 15, iar fratele mai mic - 3 fructe de pădure (vezi Fig. 1). Au adus fructele de pădure mamei mele, care a decis să împartă fructele în mod egal. Câte fructe de pădure a primit fiecare dintre copii?
Orez. 1. Ilustrație pentru problema
Soluţie
(yag.) - copiii au adunat totul
2) Împărțiți numărul total de fructe de pădure la numărul de copii:
(yag.) a primit fiecare copil
Răspuns: fiecare copil va primi 12 boabe.
În problema 1, numărul obţinut în răspuns este media aritmetică.
Media aritmetică mai multe numere se numește câtul împărțirii sumei acestor numere la numărul lor.
Exemplul 1
Avem două numere: 10 și 12. Aflați media lor aritmetică.
Soluţie
1) Determinați suma acestor numere:.
2) Numărul acestor numere este 2, prin urmare, media aritmetică a acestor numere este:.
Răspuns: Media aritmetică a 10 și 12 este 11.
Exemplul 2
Avem cinci numere: 1, 2, 3, 4 și 5. Aflați media lor aritmetică.
Soluţie
1) Suma acestor numere este:.
2) Prin definiție, media aritmetică este câtul împărțirii sumei numerelor la numărul lor. Avem cinci numere, deci media aritmetică este:
Răspuns: media aritmetică a datelor în condiția numerelor este 3.
Pe lângă faptul că se sugerează în mod constant să fie găsit în clasă, găsirea mediei aritmetice este foarte utilă în viața de zi cu zi. De exemplu, să presupunem că vrem să plecăm în vacanță în Grecia. Pentru a alege hainele potrivite, ne uităm la temperatura actuală din această țară. Cu toate acestea, nu cunoaștem tabloul general al vremii. Prin urmare, este necesar să aflați temperatura aerului în Grecia, de exemplu, timp de o săptămână și să găsiți media aritmetică a acestor temperaturi.
Exemplul 3
Temperatura in Grecia pentru saptamana: luni -; marți -; miercuri -; joi - ; vineri - ; Sambata - ; Duminică - . Calculați temperatura medie pe săptămână.
Soluţie
1) Să calculăm suma temperaturilor:.
2) Împărțiți suma primită la numărul de zile:.
Răspuns: temperatura medie săptămânală aprox.
Capacitatea de a găsi media aritmetică poate fi necesară și pentru a determina vârsta medie a jucătorilor dintr-o echipă de fotbal, adică pentru a stabili dacă echipa are sau nu experiență. Este necesar să se însumeze vârstele tuturor jucătorilor și să se împartă la numărul lor.
Problema 2
Negustorul vindea mere. La început, le-a vândut la un preț de 85 de ruble pe 1 kg. Așa că a vândut 12 kg. Apoi a scăzut prețul la 65 de ruble și a vândut restul de 4 kg de mere. Care a fost prețul mediu la mere?
Soluţie
1) Să calculăm câți bani a câștigat comerciantul în total. A vândut 12 kilograme la un preț de 85 de ruble pe 1 kg: 
(freca.).
A vândut 4 kilograme la un preț de 65 de ruble pe 1 kg: (ruble).
Prin urmare, suma totală de bani câștigată este egală cu: (ruble).
2) Greutatea totală a merelor vândute este:.
3) Împărțiți suma de bani primită la greutatea totală a merelor vândute și obțineți prețul mediu pentru 1 kg de mere: (ruble).
Răspuns: prețul mediu pentru 1 kg de mere vândute este de 80 de ruble.
Media aritmetică vă ajută să evaluați datele ca întreg, fără a lua fiecare valoare separat.
Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să se folosească conceptul de medie aritmetică.
Exemplul 4
Trăgătorul a tras două focuri în țintă (vezi fig. 2): prima dată a lovit cu un metru mai sus decât ținta, iar a doua - cu un metru mai jos. Media aritmetică va arăta că a lovit chiar în centru, deși a ratat de ambele ori.
Orez. 2. Ilustrație de exemplu
În această lecție, ne-am familiarizat cu conceptul de medie aritmetică. Am învățat definiția acestui concept, am învățat cum să calculăm media aritmetică pentru mai multe numere. Am învățat și aplicarea practică a acestui concept.
- N. Da. Vilenkin. Matematică: manual. pentru 5 cl. general uchr. - Ed. al 17-lea. - M .: Mnemosina, 2005. )
- Igor a avut 45 de ruble cu el, Andrey - 28 și Denis - 17.
- Cu toți banii lor, au cumpărat 3 bilete de cinema. Cât a costat un bilet?
Se încarcă ...