Köşelerde üçgenler var. Üçgen. Dersleri tamamlayın

Üçgen - tanımı ve genel kavramlar

Üçgen, üç kenardan oluşan ve aynı sayıda açıya sahip basit bir çokgendir. Düzlemleri 3 nokta ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan 3 doğru parçası ile sınırlıdır.

Türüne bakılmaksızın herhangi bir üçgenin tüm köşeleri büyük harflerle gösterilir Latin harfleriyle ve kenarları, karşıt köşelerin karşılık gelen tanımlarıyla gösterilmiştir, ancak büyük harflerle, ama küçük. Örneğin, köşeleri A, B ve C olan bir üçgenin kenarları a, b, c'dir.

Öklid uzayında bir üçgen düşünürsek, o zaman bu böyledir geometrik şekil Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçanın kullanılmasıyla oluşturulmuştur.

Yukarıda gösterilen resme dikkatlice bakın. Üzerinde A, B ve C noktaları bu üçgenin köşeleridir ve parçalarına üçgenin kenarları denir. Bu çokgenin her köşesi, içinde açılar oluşturur.

Üçgen türleri

Üçgenler açılarının büyüklüğüne göre şu çeşitlere ayrılır: Dikdörtgen;
Akut açısal;
Geniş.

Dikdörtgen üçgenler, bir dik açısı ve diğer ikisinin dar açısı olan üçgenleri içerir.

Dar üçgenler, tüm açılarının dar olduğu üçgenlerdir.

Ve eğer bir üçgenin bir geniş açısı ve diğer iki dar açısı varsa, o zaman böyle bir üçgen geniş olarak sınıflandırılır.

Her biriniz tüm üçgenlerin aynı olmadığını gayet iyi anlıyorsunuz. eşit taraflar. Ve kenarlarının uzunluğuna göre üçgenler şu şekilde ayrılabilir:

İkizkenar;
Eşkenar;
Çok yönlü.

Ödev: Farklı türde üçgenler çizin. Onları tanımlayın. Aralarında ne gibi bir fark görüyorsunuz?

Üçgenlerin temel özellikleri

Bu basit çokgenler, açılarının veya kenarlarının boyutları açısından birbirlerinden farklı olabilseler de, her üçgen, bu şeklin karakteristik özelliği olan temel özelliklere sahiptir.

Herhangi bir üçgende:

Tüm açılarının toplamı 180°'dir.
Eşkenarlara aitse açılarının her biri 60°'dir.
Eşkenar üçgenin açıları eşit ve eşittir.
Çokgenin kenarı ne kadar küçük olursa, karşısındaki açı da o kadar küçük olur ve bunun tersi de, büyük açı, büyük kenarın karşısındadır.
Kenarlar eşitse karşıtları vardır eşit açılar ve tam tersi.
Bir üçgeni alıp kenarını uzatırsak bir dış açı elde ederiz. İç açıların toplamına eşittir.
Herhangi bir üçgende, hangisini seçerseniz seçin, kenarı diğer 2 kenarın toplamından az ama farklarından fazla olacaktır:

1 A< b + c, a >M.Ö;
2.b< a + c, b >AC;
3.c< a + b, c >a-b.

Egzersiz yapmak

Tablo üçgenin halihazırda bilinen iki açısını göstermektedir. Tüm açıların toplamını bilerek üçgenin üçüncü açısının neye eşit olduğunu bulun ve tabloya girin:

1. Üçüncü açı kaç derecedir?
2. Hangi üçgene aittir?

Üçgenlerin denkliği testleri

İmzalıyorum

II işareti

III işareti

Bir üçgenin yüksekliği,ortayı ve ortancası

Bir üçgenin yüksekliği - şeklin tepe noktasından karşı kenara çizilen dikmeye üçgenin yüksekliği denir. Bir üçgenin tüm yükseklikleri bir noktada kesişir. Bir üçgenin 3 yüksekliğinin hepsinin kesişme noktası diklik merkezidir.

Belirli bir tepe noktasından çizilen ve onu karşı tarafın ortasına bağlayan bir segment medyandır. Medyanlar ve bir üçgenin yükseklikleri, üçgenin veya ağırlık merkezinin ağırlık merkezi adı verilen ortak bir kesişme noktasına sahiptir.

Bir üçgenin açıortayı, bir açının tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan ve aynı zamanda bu açıyı ikiye bölen bir segmenttir. Bir üçgenin tüm açıortayları, üçgenin içine yazılan dairenin merkezi adı verilen bir noktada kesişir.

Bir üçgenin 2 kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta çizgi denir.

Tarihsel referans

Üçgen gibi bir figür Antik çağlarda biliniyordu. Bu figür ve onun özelliklerinden dört bin yıl önce Mısır papirüslerinde bahsediliyordu. Kısa bir süre sonra Pisagor teoremi ve Heron formülü sayesinde üçgenin özelliklerinin incelenmesi daha ileri bir boyuta taşındı. yüksek seviye, ama yine de bu iki bin yıldan fazla bir süre önce gerçekleşti.

15. – 16. yüzyıllarda üçgenin özellikleri üzerine pek çok araştırma yapılmaya başlandı ve bunun sonucunda “Yeni Üçgen Geometrisi” adı verilen planimetri gibi bir bilim ortaya çıktı.

Rus bilim adamı N.I. Lobachevsky, üçgenlerin özelliklerinin bilgisine büyük katkı yaptı. Çalışmaları daha sonra matematik, fizik ve sibernetik alanlarında uygulama buldu.

Üçgenlerin özelliklerinin bilgisi sayesinde trigonometri gibi bir bilim ortaya çıktı. Haritaları hazırlarken, alanları ölçerken ve hatta çeşitli mekanizmaları tasarlarken kullanımı basitçe gerekli olduğundan, bir kişinin pratik ihtiyaçlarında gerekli olduğu ortaya çıktı.

Hangisi en iyisi? ünlü üçgen Bilirsin? Bu elbette Bermuda Şeytan Üçgeni! Adını 50'li yıllarda almıştır çünkü coğrafi konum mevcut teoriye göre ilişkili anormalliklerin ortaya çıktığı noktalar (üçgenin köşeleri). Bermuda Şeytan Üçgeni'nin köşeleri Bermuda, Florida ve Porto Riko'dur.

Ödev: Hangi teoriler hakkında Bermuda Şeytan Üçgeni duydun mu?

Lobaçevski'nin teorisinde bir üçgenin açıları toplandığında bunların toplamının her zaman 180°'den küçük olduğunu biliyor muydunuz? Riemann geometrisinde bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180 dereceden büyüktür ve Öklid'in eserlerinde 180 dereceye eşittir.

Ev ödevi

Belirli bir konuyla ilgili bir bulmaca çözün

Bulmaca soruları:

1. Üçgenin köşesinden karşı taraftaki düz çizgiye çizilen dikmenin adı nedir?
2. Bir üçgenin kenarlarının uzunluklarının toplamını tek kelimeyle nasıl adlandırabilirsiniz?
3. İki kenarı eşit olan bir üçgen söyleyin?
4. Bir açısı 90° olan bir üçgen söyler misiniz?
5. Üçgenin en büyük kenarının adı nedir?
6. İkizkenar üçgenin kenarının adı nedir?
7. Herhangi bir üçgende her zaman üç tane bulunur.
8. Açılarından birinin ölçüsü 90°'yi geçen üçgene ne ad verilir?
9. Şeklimizin üst kısmını karşı tarafın ortasıyla birleştiren parçanın adı?
10. Basit bir ABC çokgeninde, büyük harf Ve bir...?
11. Bir üçgenin açısını ikiye bölen doğru parçasının adı nedir?

Üçgenler konusuyla ilgili sorular:

1. Tanımlayın.
2. Kaç yüksekliği var?
3. Bir üçgenin kaç tane bisektörü vardır?
4. Açılarının toplamı nedir?
5. Bu basit çokgenin hangi türlerini biliyorsunuz?
6. Üçgenlerin dikkat çekici denilen noktalarını isimlendiriniz.
7. Açıyı ölçmek için hangi cihazı kullanabilirsiniz?
8. Saatin ibreleri saat 21'i gösteriyorsa. Saat ibreleri hangi açıyı yapıyor?
9. Bir kişiye "sola", "daire" komutu verilirse hangi açıyla döner?
10. Üç açısı ve üç kenarı olan bir şekille ilgili başka hangi tanımları biliyorsunuz?

Konular > Matematik > Matematik 7. sınıf Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

Üçgen Çeşitleri

Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktayı ve bu noktaları birleştiren üç doğru parçasını ele alalım (Şekil 1).

Üçgen, bu bölümlerle sınırlanan düzlemin bir parçasıdır, bölümlere üçgenin kenarları denir ve bölümlerin uçları (aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç nokta) üçgenin köşeleridir.

Tablo 1 olası tüm üçgen türlerini listelemektedir açılarının büyüklüğüne bağlı olarak .

Tablo 1 - Açıların büyüklüğüne bağlı olarak üçgen türleri

Çizim	Üçgen türü	Tanım
	Dar üçgen	olan bir üçgen tüm açılar keskindir dar açılı denir
	Sağ üçgen	olan bir üçgen açılardan biri doğru dikdörtgen denir
	Geniş açılı üçgen	olan bir üçgen açılardan biri geniş , geniş denir

Dar üçgen

Tanım:

olan bir üçgen tüm açılar keskindir dar açılı denir

Sağ üçgen

Tanım:

olan bir üçgen açılardan biri doğru dikdörtgen denir

Geniş açılı üçgen

Tanım:

olan bir üçgen açılardan biri geniş , geniş denir

Kenar uzunluklarına göre İki önemli üçgen türü vardır.

Tablo 2 - İkizkenar ve eşkenar üçgenler

Çizim	Üçgen türü	Tanım
	İkizkenar üçgen	taraflar ve üçüncü tarafa ikizkenar üçgenin tabanı denir
	Eşkenar (doğru)üçgen	Üç tarafı da eşit olan üçgene eşkenar veya düzgün üçgen denir.

İkizkenar üçgen

Tanım:

İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Bu durumda iki eşit kenar denir taraflar ve üçüncü tarafa ikizkenar üçgenin tabanı denir

Eşkenar (sağ) üçgen

Tanım:

Üç tarafı da eşit olan üçgene eşkenar veya düzgün üçgen denir.

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

Üçgenler eşit ise denir kaplama ile birleştirilebilir .

Tablo 3'te gösterilenler üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.

Tablo 3 – Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

Çizim	Özellik adı	Özellik ifadesi
	İle iki kenar ve aralarındaki açı
	Üçgenlerin denkliği testi İle yan ve iki bitişik açı
	Üçgenlerin denkliği testi İle üç parti

Üçgenlerin denkliği testi iki tarafta ve aralarındaki açı

Özellik ifadesi.
Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı sırasıyla başka bir üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse bu üçgenler eştir

Üçgenlerin denkliği testi bir kenar ve iki bitişik köşe boyunca

Özellik ifadesi.
Bir üçgenin bir kenarı ve komşu iki açısı, başka bir üçgenin bir kenarı ve iki komşu açısına sırasıyla eşitse, bu üçgenler eştir

Üçgenlerin denkliği testi üç tarafta

Özellik ifadesi.
Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eştir

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

Partiler için dik üçgenler Aşağıdaki isimler yaygın olarak kullanılmaktadır.

Hipotenüs, dik üçgenin dik açının karşısındaki tarafıdır (Şekil 2), diğer iki tarafa bacak denir.

Tablo 4 – Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri

Çizim	Özellik adı	Özellik ifadesi
	İle iki taraf
	Dik üçgenler için eşitlik testi İle bacak ve bitişik dar açı
	Dik üçgenler için eşitlik testi İle bacak ve karşı akut açı	Bir dik üçgenin bacağı ve karşı dar açısı sırasıyla başka bir dik üçgenin bacağına ve karşı dar açısına eşitse, bu tür dik üçgenler eştir
	Dik üçgenler için eşitlik testi İle hipotenüs ve dar açı	Bir dik üçgenin hipotenüsü ve dar açısı sırasıyla başka bir dik üçgenin hipotenüsüne ve dar açısına eşitse, bu tür dik üçgenler eştir
	Dik üçgenler için eşitlik testi İle bacak ve hipotenüs	Bir dik üçgenin kenar ve hipotenüsü sırasıyla başka bir dik üçgenin kenar ve hipotenüsüne eşitse, bu tür dik üçgenler eştir

İki taraftaki dik üçgenlerin eşitliğinin işareti

Özellik ifadesi.
Bir dik üçgenin iki bacağı sırasıyla başka bir dik üçgenin iki bacağına eşitse, bu tür dik üçgenler eştir

Dik üçgenler için eşitlik testi bacak ve bitişik dar açı boyunca

Özellik ifadesi.
Bir dik üçgenin bacağı ve bitişik dar açısı sırasıyla başka bir dik üçgenin bacağına ve bitişik dar açısına eşitse, bu tür dik üçgenler eştir

Dik üçgenler için eşitlik testi bacak boyunca ve karşıt akut açıda

Standart tanımlamalar

Köşeleri olan üçgen A, B Ve C(şekle bakınız) olarak belirlenmiştir. Bir üçgenin üç tarafı vardır:

Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları küçük Latin harfleriyle (a, b, c) gösterilir:

Bir üçgen aşağıdaki açılara sahiptir:

Karşılık gelen köşelerdeki açı değerleri geleneksel olarak belirlenir Yunan harfleri (α, β, γ).

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

Öklid düzlemindeki bir üçgen, aşağıdaki temel element üçlüsüyle benzersiz bir şekilde (uyumluluğa kadar) belirlenebilir:

a, b, γ (iki tarafta eşitlik ve aralarındaki açı);
a, β, γ (yanda eşitlik ve iki bitişik açı);
a, b, c (üç tarafta eşitlik).

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

bacak ve hipotenüs boyunca;
iki ayak üzerinde;
bacak ve dar açı boyunca;
hipotenüs ve dar açı boyunca.

Üçgenin bazı noktaları “eşleşmiştir”. Örneğin, tüm kenarların ya 60°'lik bir açıyla ya da 120°'lik bir açıyla görülebildiği iki nokta vardır. Onlar aranmaktadır Torricelli noktaları. Ayrıca kenarlardaki çıkıntıları köşelerde bulunan iki nokta vardır. düzgün üçgen. Bu - Apollonius noktaları. Puan ve buna benzer şeyler denir Brocard puanları.

Doğrudan

Herhangi bir üçgende ağırlık merkezi, diklik merkezi ve çevrel çemberin merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Euler çizgisi.

Çevrel çemberin merkezinden ve Lemoine noktasından geçen düz çizgiye denir. Brocard ekseni. Apollonius noktaları onun üzerindedir. Torricelli noktası ve Lemoine noktası da aynı doğru üzerinde yer alır. Bir üçgenin açılarının dış açıortaylarının tabanları aynı düz çizgi üzerinde bulunur. dış açıortayların ekseni. Bir dik üçgenin kenarlarını içeren doğruların üçgenin kenarlarını içeren doğrularla kesişme noktaları da aynı doğru üzerindedir. Bu çizgiye denir ortosentrik eksen Euler düz çizgisine diktir.

Bir üçgenin çevrel çemberi üzerinde bir nokta alırsak, üçgenin kenarlarına olan izdüşümleri aynı düz çizgi üzerinde yer alacaktır. Simson heteroseksüel bu nokta. Simson'un taban tabana zıt noktalardan oluşan çizgileri diktir.

üçgenler

Tabanlarında köşeleri belirli bir noktadan çizilen üçgene denir cevian üçgeni bu nokta.
Belirli bir noktanın kenarlara izdüşümlerinde köşeleri olan bir üçgene denir ot veya pedal üçgeni bu nokta.
Köşeleri, köşelerinden çizilen doğruların ve çevrelenen daire ile belirli bir noktanın kesiştiği ikinci noktada bulunan üçgene denir. çevresel üçgen. Çevresel üçgen çim üçgenine benzer.

Çevreler

Yazılı daire- herkese dokunan daire üç tarafüçgen. O tek kişi. Yazılı dairenin merkezine denir merkezinde.
Çevrel çember- üçgenin üç köşesinden geçen bir daire. Sınırlandırılmış daire de benzersizdir.
Dış çevre- üçgenin bir kenarına dokunan ve diğer iki kenarın devamı olan bir daire. Bir üçgende böyle üç daire var. Radikal merkezleri, medial üçgenin yazılı dairesinin merkezidir. Spiker'ın noktası.

Bir üçgenin üç tarafının orta noktaları, üç yüksekliğinin tabanları ve köşelerini diklik merkezine bağlayan üç parçanın orta noktaları, adı verilen bir daire üzerinde bulunur. dokuz noktalı daire veya Euler çemberi. Dokuz noktalı dairenin merkezi Euler çizgisi üzerindedir. Dokuz noktadan oluşan bir daire, yazılı bir daireye ve üç dış daireye dokunuyor. Üzerinde yazılı daire ile dokuz noktadan oluşan daire arasındaki teğet noktaya ne ad verilir? Feuerbach noktası. Her tepe noktasından üçgenin dışına doğru kenarları içeren düz çizgiler üzerinde, karşı kenarlara eşit uzunlukta ortezler koyarsak, ortaya çıkan altı nokta aynı daire üzerinde yer alır - Conway dairesi. Herhangi bir üçgene, her biri üçgenin iki kenarına ve diğer iki daireye değecek şekilde üç daire yazılabilir. Bu tür çevrelere denir Malfatti çevreleri. Üçgenin kenarortaylarla bölündüğü altı üçgenin çevrel çemberlerinin merkezleri bir çember üzerinde yer alır. Lamun'un çevresi.

Bir üçgende, üçgenin iki kenarına ve çevrel çembere değen üç daire bulunur. Bu tür çevrelere denir yarı yazılı veya Verrier çevreleri. Verrier dairelerinin teğet noktalarını çevrel çembere bağlayan doğrular bir noktada kesişir. Verrier'in noktası. Çevrel daireyi yazılı bir daireye dönüştüren bir homojenliğin merkezi olarak hizmet eder. Verrier dairelerinin kenarlarla temas noktaları, yazılı dairenin merkezinden geçen düz bir çizgi üzerinde yer alır.

Yazılı dairenin teğet noktalarını köşelere birleştiren parçalar, adı verilen bir noktada kesişir. Gergonne noktası ve köşeleri dış çemberlerin teğet noktalarına bağlayan bölümler Nagel noktası.

Elipsler, paraboller ve hiperboller

Yazılı konik (elips) ve perspektifi

Bir üçgenin içine sonsuz sayıda konik (elips, parabol veya hiperbol) yazılabilir. Bir üçgene rastgele bir konik yazarsak ve teğet noktalarını zıt köşelerle birleştirirsek, ortaya çıkan düz çizgiler adı verilen bir noktada kesişecektir. olasılık ranzalar. Düzlemin bir kenarında veya uzantısında yer almayan herhangi bir noktası için, bu noktada perspektifli yazılı bir konik vardır.

Tanımlanan Steiner elipsi ve odaklarından geçen cevianlar

Ortadaki kenarlara değen bir üçgenin içine bir elips yazabilirsiniz. Böyle bir elips denir yazılı Steiner elipsi(perspektifi üçgenin merkezi olacaktır). Kenarlara paralel köşelerden geçen doğrulara değen sınırlı elipslere denir. Steiner elipsi tarafından tanımlanan. Bir üçgeni afin dönüşüm (“eğim”) kullanarak normal bir üçgene dönüştürürsek, o zaman onun yazılı ve sınırlı Steiner elipsi yazılı ve çevreli bir daireye dönüşecektir. Tanımlanan Steiner elipsinin (Scutin noktaları) odak noktalarından çizilen Chevian çizgileri eşittir (Scutin teoremi). Tanımlanan tüm elipsler arasında, açıklanan Steiner elipsi en küçük alan ve tüm yazılı olanlar arasında Steiner yazılı elips en büyük alana sahiptir.

Brocard elipsi ve perspektörü - Lemoine noktası

Odakları Brocard noktalarında olan bir elips denir Brocard elipsi. Perspektifi Lemoine noktasıdır.

Yazılı bir parabolün özellikleri

Kiepert parabolü

Yazılı parabollerin görünümleri tarif edilen Steiner elipsinde yatmaktadır. Yazılı bir parabolün odağı çevrel çember üzerinde yer alır ve direktriks ortomerkezden geçer. Bir üçgenin içine yazılan ve doğrultmanı Euler'in doğrultmanı olan bir parabole denir Kiepert parabolü. Perspektifi, çevrelenmiş daire ile sınırlı Steiner elipsinin kesiştiği dördüncü noktadır. Steiner noktası.

Kiepert'in abartısı

Tanımlanan hiperbol, yüksekliklerin kesişme noktasından geçerse, eşkenardır (yani asimptotları diktir). Bir eşkenar hiperbolün asimptotlarının kesişme noktası dokuz noktadan oluşan dairenin üzerindedir.

Dönüşümler

Köşelerden geçen çizgiler ve yanlarda olmayan bir nokta ve bunların uzantıları karşılık gelen açıortaylara göre yansıtılırsa, görüntüleri de bir noktada kesişecektir. izogonal eşlenik orijinal olan (eğer nokta çevrelenen dairenin üzerindeyse, ortaya çıkan çizgiler paralel olacaktır). Pek çok dikkate değer nokta çifti izogonal olarak eşleniktir: Çevrel merkez ve ortomerkez, ağırlık merkezi ve Lemoine noktası, Brocard noktaları. Apollonius noktaları Torricelli noktalarına izogonal olarak eşleniktir ve yazılı dairenin merkezi de kendisine izogonal olarak eşleniktir. İzogonal konjugasyonun etkisi altında, düz çizgiler çevrelenmiş koniklere, çevrelenmiş konikler ise düz çizgilere dönüşür. Böylece, Kiepert hiperbol ve Brocard ekseni, Jenzabek hiperbol ve Euler düz çizgisi, Feuerbach hiperbol ve yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkez çizgisi izogonal olarak eşleniktir. İzogonal eşlenik noktaların üçgenlerinin çevrel çemberleri çakışmaktadır. Yazılı elipslerin odakları izogonal olarak eşleniktir.

Simetrik bir cevian yerine tabanı orijinalin tabanı kadar kenar ortasından uzakta olan bir cevian alırsak, bu tür cevianlar da bir noktada kesişecektir. Ortaya çıkan dönüşüme denir izotomik konjugasyon. Ayrıca düz çizgileri tanımlanmış koniklere dönüştürür. Gergonne ve Nagel noktaları izotomik olarak eşleniktir. Afin dönüşümler altında izotomik olarak eşlenik noktalar, izotomik olarak eşlenik noktalara dönüştürülür. İzotomik konjugasyonla, açıklanan Steiner elipsi sonsuz uzaklıktaki düz bir çizgiye gidecektir.

Üçgenin kenarlarının çevrel çemberden kestiği parçalara belli bir noktadan çizilen cevianların tabanlarına değen daireler çizer ve bu çemberlerin teğet noktalarını köşeleri zıt olan çevrel çembere bağlarsak, o zaman bu tür düz çizgiler bir noktada kesişecektir. Orijinal noktayı sonuçtaki noktayla eşleştiren düzlem dönüşümüne denir eş daire dönüşümü. İzogonal ve izotomik konjugatların bileşimi, kendisiyle eş daire şeklinde bir dönüşümün bileşimidir. Bu kompozisyon, üçgenin kenarlarını yerinde bırakan ve dış açıortayların eksenini sonsuzda düz bir çizgiye dönüştüren yansıtmalı bir dönüşümdür.

Belirli bir noktanın Chevian üçgeninin kenarlarına devam edersek ve bunların karşılık gelen kenarlarla kesişme noktalarını alırsak, ortaya çıkan kesişme noktaları, adı verilen tek bir düz çizgi üzerinde yer alacaktır. üç çizgili kutup başlangıç noktası. Ortosentrik eksen, ortosantrın üç çizgili kutbudur; yazılı dairenin merkezinin üç çizgili kutbu dış açıortayların eksenidir. Sınırlandırılmış bir konik üzerinde yer alan noktaların üç çizgili kutupları bir noktada kesişir (sınırlandırılmış bir daire için bu Lemoine noktasıdır, sınırlı bir Steiner elipsi için ağırlık merkezidir). Bir izogonal (veya izotomik) eşlenik ve bir üç çizgili polar bileşimi bir dualite dönüşümüdür (bir noktaya izogonal (izotomik olarak) eşlenik olan bir nokta, bir noktanın üç çizgili kutbu üzerinde yer alıyorsa, o zaman bir noktanın üç çizgili kutbu izogonal (izotomik olarak) bir noktaya eşlenik, bir noktanın üç çizgili kutbu üzerinde yer alır).

Küpler

Bir üçgendeki oranlar

Not: V bu bölüm, , üçgenin üç kenarının uzunluklarıdır ve , , sırasıyla bu üç kenarın karşısında yer alan açılardır (karşıt açılar).

Üçgen eşitsizliği

Dejenere olmayan bir üçgende iki kenarının uzunluklarının toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan daha büyüktür, dejenere bir üçgende eşittir. Başka bir deyişle, bir üçgenin kenar uzunlukları aşağıdaki eşitsizliklerle ilişkilidir:

Üçgen eşitsizliği metrik aksiyomlarından biridir.

Üçgen Açı Toplamı Teoremi

Sinüs teoremi

burada R, üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapıdır. Teoremden şu sonuç çıkıyor: eğer bir< b < c, то α < β < γ.

Kosinüs teoremi

Teğet teoremi

Diğer oranlar

Bir üçgendeki metrik oranlar aşağıdakiler için verilmiştir:

Üçgenleri çözme

Bir üçgenin bilinmeyen kenarlarını ve açılarını bilinenlere dayanarak hesaplamaya tarihsel olarak "üçgenleri çözmek" adı verilmiştir. Yukarıdaki genel trigonometrik teoremler kullanılır.

Bir üçgenin alanı

Özel durumlar Notasyonu

Alan için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:

Vektörleri kullanarak uzayda bir üçgenin alanını hesaplamak

Üçgenin köşeleri , , noktalarında olsun.

Alan vektörünü tanıtalım. Bu vektörün uzunluğu üçgenin alanına eşittir ve üçgenin düzlemine dik olarak yönlendirilir:

Üçgenin koordinat düzlemlerine izdüşümlerinin nerede olduğunu belirleyelim. burada

ve benzer şekilde

Üçgenin alanı.

Bir alternatif de kenarların uzunluklarını hesaplamak (Pisagor teoremini kullanarak) ve ardından Heron formülünü kullanmaktır.

Üçgen teoremleri

Desargues teoremi: iki üçgen perspektif ise (üçgenlerin karşılık gelen köşelerinden geçen çizgiler bir noktada kesişiyorsa), karşılık gelen kenarları aynı çizgide kesişir.

Sonda teoremi: iki üçgen perspektif ve ortolog ise (bir üçgenin köşelerinden üçgenin karşılık gelen köşelerinin karşısındaki kenarlara çizilen dikmeler ve bunun tersi), o zaman her iki ortoloji merkezi (bu dikmelerin kesişme noktaları) ve merkez Perspektifin perspektifi, perspektif eksenine dik olan aynı düz çizgi üzerinde uzanır (Desargues teoreminden düz çizgi).

Okulda incelenen en basit çokgen bir üçgendir. Öğrenciler için daha anlaşılır ve daha az zorlukla karşılaşılır. Var olmasına rağmen Farklı türdeÖzel özelliklere sahip üçgenler.

Hangi şekle üçgen denir?

Üç nokta ve parçadan oluşur. Birincisine köşeler, ikincisine kenarlar denir. Ayrıca, üç bölümün de aralarında açı oluşacak şekilde bağlanması gerekir. Dolayısıyla “üçgen” figürünün adı.

Köşelerdeki adlardaki farklılıklar

Dar, geniş ve düz olabildikleri için üçgenlerin türleri bu isimlerle belirlenir. Buna göre bu tür figürlerin üç grubu vardır.

Birinci. Bir üçgenin tüm açıları dar ise buna dar denir. Her şey mantıklı.

Saniye. Açılardan biri geniş, yani üçgen geniş. Daha basit olamazdı.

Üçüncü. 90 dereceye eşit bir açı vardır ve buna dik açı denir. Üçgen dikdörtgen olur.

Yanlardaki isim farklılıkları

Kenarların özelliklerine bağlı olarak aşağıdaki üçgen türleri ayırt edilir:

genel durum, tüm kenarların keyfi uzunlukta olduğu eşkenar dörtgendir;

iki tarafı aynı sayısal değerlere sahip olan ikizkenarlar;

eşkenar dörtgen olduğundan tüm kenarlarının uzunlukları aynıdır.

Sorun belirli bir üçgen türünü belirtmiyorsa, keyfi bir tane çizmeniz gerekir. Tüm köşelerin keskin olduğu ve kenarların farklı uzunluklarda olduğu.

Tüm üçgenlerde ortak olan özellikler

Bir üçgenin tüm açılarını toplarsanız 180 dereceye eşit bir sayı elde edersiniz. Ve ne tür olduğu önemli değil. Bu kural her zaman geçerlidir.
Bir üçgenin herhangi bir kenarının sayısal değeri diğer iki kenarın toplamından küçüktür. Üstelik aralarındaki farktan daha büyük.
Her dış açının, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplanmasıyla elde edilen bir değeri vardır. Üstelik her zaman yanındaki iç mekandan daha büyüktür.
En küçük açı her zaman üçgenin küçük tarafının karşısındadır. Ve tam tersi, eğer kenar büyükse, açı en büyük olacaktır.

Problemlerde ne tür üçgenler dikkate alınırsa alınsın bu özellikler her zaman geçerlidir. Geri kalan her şey belirli özelliklerden kaynaklanır.

İkizkenar üçgenin özellikleri

Tabana bitişik açılar eşittir.
Tabana çizilen yükseklik aynı zamanda ortanca ve açıortaydır.
Üçgenin yan kenarlarına inşa edilen yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar sırasıyla birbirine eşittir.

Eşkenar üçgenin özellikleri

Eğer böyle bir rakam varsa, o zaman biraz yukarıda açıklanan tüm özellikler doğru olacaktır. Çünkü eşkenar her zaman ikizkenar olacaktır. Ancak bunun tersi geçerli değildir; bir ikizkenar üçgen mutlaka eşkenar olmayacaktır.

Bütün açıları birbirine eşit olup değeri 60°'dir.
Eşkenar üçgenin herhangi bir medyanı onun yüksekliği ve açıortayıdır. Üstelik hepsi birbirine eşittir. Değerlerini belirlemek için, tarafın çarpımı ve 3'ün karekökünün 2'ye bölünmesinden oluşan bir formül vardır.

Dik üçgenin özellikleri

İki dar açının toplamı 90°'ye eşittir.
Hipotenüsün uzunluğu her zaman herhangi bir bacağın uzunluğundan daha büyüktür.
Hipotenüse çizilen medyanın sayısal değeri yarısına eşittir.
Bacak 30°'lik bir açının karşısında yer alırsa aynı değere eşittir.
Tepe noktasından 90° değeriyle çizilen yüksekliğin bacaklara belirli bir matematiksel bağımlılığı vardır: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Burada: a, b - bacaklar, n - yükseklik.

Farklı üçgen türleriyle ilgili problemler

1 numara. Bir ikizkenar üçgen verildiğinde. Çevresi biliniyor ve 90 cm'ye eşit, kenarlarını bulmamız gerekiyor. Gibi ek koşul: Yan taraf tabana göre 1,2 kat daha küçüktür.

Çevrenin değeri doğrudan bulunması gereken miktarlara bağlıdır. Üç tarafın toplamı 90 cm verecektir Şimdi ikizkenar olduğu üçgenin işaretini hatırlamanız gerekiyor. Yani iki taraf eşittir. İki bilinmeyenli bir denklem oluşturabilirsiniz: 2a + b = 90. Burada a kenar, b ise tabandır.

Şimdi sıra ek bir şarta geldi. Bunu takiben ikinci denklem elde edilir: b = 1.2a. Bu ifadeyi ilkinin yerine koyabilirsiniz. Görünüşe göre: 2a + 1,2a = 90. Dönüşümlerden sonra: 3,2a = 90. Dolayısıyla a = 28,125 (cm). Artık temelini bulmak çok kolay. Bu en iyi şekilde ikinci koşuldan yapılır: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Kontrol etmek için üç değer ekleyebilirsiniz: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Bu doğru.

Cevap: Üçgenin kenarları 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm'dir.

2 numara. Eşkenar üçgenin bir kenarı 12 cm'dir, yüksekliğini hesaplamanız gerekir.

Çözüm. Cevabı bulmak için üçgenin özelliklerinin anlatıldığı ana dönmek yeterli. Bu, bir eşkenar üçgenin yüksekliğini, kenarortayını ve açıortayını bulma formülüdür.

n = a * √3 / 2, burada n yükseklik ve a kenardır.

Değiştirme ve hesaplama şu sonucu verir: n = 6 √3 (cm).

Bu formülü ezberlemenize gerek yok. Yüksekliğin üçgeni iki dikdörtgene böldüğünü hatırlamak yeterlidir. Üstelik bir bacak olduğu ortaya çıkıyor ve içindeki hipotenüs orijinalinin kenarı, ikinci bacak ise bilinen tarafın yarısı. Şimdi Pisagor teoremini yazmanız ve yükseklik için bir formül türetmeniz gerekiyor.

Cevap: Yükseklik 6 √3 cm'dir.

Numara 3. Verilen MKR, K açısının 90 derece olduğu bir üçgendir.MR ve KR kenarları biliniyor, sırasıyla 30 ve 15 cm'ye eşitler.P açısının değerini bulmamız gerekiyor.

Çözüm. Çizim yaparsanız MR'ın hipotenüs olduğu anlaşılır. Üstelik KR'nin yan tarafından iki kat daha büyük. Yine özelliklere dönmeniz gerekiyor. Bunlardan biri açılarla ilgilidir. Buradan KMR açısının 30° olduğu açıktır. Bu, istenen açı P'nin 60°'ye eşit olacağı anlamına gelir. Bu, iki dar açının toplamının 90°'ye eşit olması gerektiğini belirten başka bir özellikten kaynaklanmaktadır.

Cevap: P açısı 60°'dir.

4 numara. Bir ikizkenar üçgenin tüm açılarını bulmamız gerekiyor. Tabandaki açıdan dış açının 110° olduğu bilinmektedir.

Çözüm. Yalnızca dış açı verildiği için kullanmanız gereken şey budur. İç kısımla açılmamış bir açı oluşturur. Bu, toplamda 180 derece verecekleri anlamına gelir. Yani üçgenin tabanındaki açı 70 dereceye eşit olacaktır. İkizkenar olduğundan ikinci açının değeri aynıdır. Geriye üçüncü açıyı hesaplamak kalıyor. Tüm üçgenlerde ortak olan bir özelliğe göre açıların toplamı 180°'dir. Bu da üçüncünün 180° - 70° - 70° = 40° olarak tanımlanacağı anlamına gelir.

Cevap: Açılar 70°, 70°, 40°'dir.

Numara 5. Bilindiği gibi ikizkenar üçgen Tabanın karşısındaki açı 90 derecedir. Tabanda işaretlenmiş bir nokta var. Onu dik açıya bağlayan parça onu 1'e 4 oranında böler. Küçük üçgenin tüm açılarını bulmanız gerekir.

Çözüm. Açılardan biri hemen belirlenebilir. Üçgen dik açılı ve ikizkenar olduğundan tabanındakilerin her biri 45° yani 90°/2 olacaktır.

İkincisi, durumda bilinen ilişkiyi bulmanıza yardımcı olacaktır. 1'e 4'e eşit olduğundan bölündüğü kısımlar sadece 5'tir. Bu, bir üçgenin daha küçük açısını bulmak için 90°/5 = 18°'ye ihtiyacınız olduğu anlamına gelir. Üçüncüyü bulmaya devam ediyor. Bunu yapmak için 180°'den (üçgenin tüm açılarının toplamı) 45° ve 18°'yi çıkarmanız gerekir. Hesaplamalar basittir ve şunu elde edersiniz: 117°.