En küçük ortak kat nasıl bulunur?
NOC nasıl bulunur?
İşte size en küçük ortak katı (LCM) bulmanın iki yolunu verecek bir video. Önerilen yöntemlerden ilkini uygulayarak pratik yaptıktan sonra en küçük ortak katın ne olduğunu daha iyi anlayabilirsiniz.
- Her sayıyı asal faktörlerinin bir ürünü olarak temsil ediyoruz:
- Tüm asal faktörlerin kuvvetlerini yazıyoruz:
- En büyük kuvvetlere sahip tüm asal bölenleri (çarpanları) seçip çarpıyoruz ve LCM'yi buluyoruz:
- İlk adım bu sayıları asal çarpanlara ayırmaktır.
- 30 sayısının açılımına dahil olan çarpanları yazıyoruz. Bu 2 x 3 x 5'tir.
- Şimdi bunları 42'yi genişletirken elde ettiğimiz eksik faktörle (7) çarpmamız gerekiyor. 2 x 3 x 5 x 7 elde ederiz.
- 2 x 3 x 5 x 7'nin eşit olduğunu buluruz ve 210 elde ederiz.
- Her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırıyoruz: 8=2*2*2 ve 12=3*2*2
- Sayılardan birinin aynı faktörlerini azaltıyoruz. Bizim durumumuzda 2*2 çakışıyor, bunları 12 sayısı için azaltalım, o zaman 12'nin bir çarpanı kalır: 3.
- Kalan tüm faktörlerin çarpımını bulun: 2*2*2*3=24
En küçük ortak katını bulduğumuz iki sayının her birinin çarpanlarını bulmamız, ardından birinci ve ikinci sayılarda çakışan çarpanları birbiriyle çarpmamız gerekiyor. Ürünün sonucu gerekli kat olacaktır.
Örneğin elimizde 3 ve 5 sayıları var ve LCM'yi (en küçük ortak kat) bulmamız gerekiyor. Biz çoğalmak lazım ve üç ve beş 1 2 3'ten başlayan tüm sayılar için ... her iki yerde de aynı sayıyı görene kadar bu böyle devam eder.
Üçü çarpın ve şunu elde edin: 3, 6, 9, 12, 15
Beşle çarpın ve şunu elde edin: 5, 10, 15
Asal çarpanlara ayırma yöntemi, birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için en klasik yöntemdir. Bu yöntem aşağıdaki videoda açıkça ve basit bir şekilde gösterilmiştir:
Toplama, çarpma, bölme, ortak paydaya indirgeme ve diğer aritmetik işlemler çok heyecan verici bir aktivitedir; bir sayfanın tamamını kaplayan örnekler özellikle büyüleyicidir.
O halde iki sayının bölündüğü en küçük sayı olacak ortak katını bulun. Gelecekte aradığınızı bulmak için formüllere başvurmanıza gerek olmadığını, eğer kafanızda sayabiliyorsanız (ve bu eğitilebilir), o zaman sayıların kendilerinin kafanızda belirdiğini belirtmek isterim. sonra fraksiyonlar fındık gibi çatlar.
Başlangıç olarak, iki sayıyı birbiriyle çarpabileceğinizi, ardından bu rakamı azaltıp bu iki sayıya dönüşümlü olarak bölebileceğinizi ve böylece en küçük katı bulacağınızı öğrenelim.
Mesela 15 ve 6 gibi iki sayıyı çarpın ve 90 elde edin. Bu çok açık daha büyük sayı. Üstelik 15 3'e, 6 da 3'e bölünüyor, yani 90'ı da 3'e bölüyoruz. 30 elde ediyoruz. 30'u 15'i 2'ye bölmeye çalışıyoruz. 30'u da 6'ya bölerek 5'e bölüyoruz. Limit 2 olduğu için çıkıyor sayıların en küçük katı 15, 6 ise 30 olacaktır.
Daha büyük sayılarla biraz daha zor olacaktır. ancak hangi sayıların bölme veya çarpma sırasında sıfır kalan verdiğini biliyorsanız, o zaman prensipte büyük zorluklar yaşanmaz.
En küçük ortak katı bulmanın başka bir yolunu sunuyorum. Açık bir örnekle bakalım.
Aynı anda üç sayının LCM'sini bulmanız gerekir: 16, 20 ve 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16, 20, 28) = 560.
Böylece hesaplamanın sonucu 560 sayısı oldu. En küçük ortak kattır, yani üç sayının her birine kalansız bölünebilir.
En küçük ortak kat, verilen birkaç sayıya kalan bırakmadan bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir rakamı hesaplamak için her sayıyı alıp basit faktörlere ayırmanız gerekir. Eşleşen sayılar kaldırılır. Herkesi birer birer bırakır, sırayla kendi aralarında çarpar ve istenileni - en küçük ortak katı - elde ederiz.
NOC veya en küçük ortak Kat, iki veya daha fazla sayının, verilen sayıların her birine kalansız bölünebilen en küçük doğal sayısıdır.
İşte 30 ve 42'nin en küçük ortak katını nasıl bulacağınıza dair bir örnek.
30 için 2 x 3 x 5'tir.
42 için bu 2 x 3 x 7'dir. 2 ve 3, 30 sayısının açılımında olduğundan bunların üzerini çiziyoruz.
Sonuç olarak 30 ve 42 sayılarının LCM'sinin 210 olduğunu buluyoruz.
En küçük ortak katı bulmak için, birkaç basit adımı sırayla uygulamanız gerekir. Örnek olarak iki sayıyı kullanarak buna bakalım: 8 ve 12
Kontrol ederek 24'ün hem 8'e hem de 12'ye bölünebildiğinden emin oluyoruz ve bu, bu sayıların her birine bölünebilen en küçük doğal sayıdır. Buradayız en küçük ortak katı buldum.
Örnek olarak 6 ve 8 sayılarını kullanarak açıklamaya çalışacağım, en küçük ortak kat bu sayılara (bizim durumumuzda 6 ve 8) bölünebilen ve kalan olmayacak bir sayıdır.
Yani ilk önce 6'yı 1, 2, 3 vb. ile ve 8'i 1, 2, 3 vb. ile çarpmaya başlıyoruz.
Çevrimiçi hesap makinesi, iki veya herhangi başka sayıda sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar.
GCD ve LCM'yi bulmak için hesap makinesi
GCD ve LOC'yi bulun
Bulunan GCD ve LOC: 5806
Hesap makinesi nasıl kullanılır?
- Giriş alanına sayıları girin
- Yanlış karakterler girerseniz giriş alanı kırmızı renkle vurgulanır
- "GCD ve LOC Bul" düğmesini tıklayın
Sayılar nasıl girilir
- Sayılar boşluk, nokta veya virgülle ayrılarak girilir
- Girilen sayıların uzunluğu sınırlı değildir, dolayısıyla uzun sayıların GCD'sini ve LCM'sini bulmak zor değil
GCD ve NOC nedir?
En büyük ortak böleni birkaç sayı, tüm orijinal sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal tamsayıdır. En büyük ortak bölen şu şekilde kısaltılır: GCD.
En küçük ortak Kat Birkaç sayı, orijinal sayıların her birine kalansız bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak kat şu şekilde kısaltılır: NOC.
Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediği nasıl kontrol edilir?
Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için sayıların bazı bölünebilme özelliklerini kullanabilirsiniz. Daha sonra bunları birleştirerek bazılarının bölünebilirliğini ve kombinasyonlarını kontrol edebilirsiniz.
Sayıların bölünebilirliğine ilişkin bazı işaretler
1. Bir sayının 2'ye bölünebilme testi
Bir sayının ikiye bölünebilir olup olmadığını (çift olup olmadığını) belirlemek için bu sayının son rakamına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6 veya 8'e eşitse sayı çifttir, yani 2'ye bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 2'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: bakmak son rakam: 8 sayının ikiye bölünebildiği anlamına gelir.
2. Bir sayının 3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla bir sayının 3'e bölünüp bölünmediğini belirlemek için rakamların toplamını hesaplayıp 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz gerekir. Rakamların toplamı çok büyük olsa bile aynı işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Örnek: 34938 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3'e bölünüyor, yani sayı üçe bölünüyor.
3. Bir sayının 5'e bölünebilme testi
Bir sayının son rakamı sıfır veya beş ise 5'e bölünür.
Örnek: 34938 sayısının 5'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: son rakama bakın: 8, sayının beşe bölünmediği anlamına gelir.
4. Bir sayının 9'a bölünebilme testi
Bu işaret üçe bölünebilme işaretine çok benzer: Bir sayı, rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa 9'a bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 9'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9'a bölünüyor, yani sayı dokuza bölünüyor.
İki sayının GCD'si ve LCM'si nasıl bulunur?
İki sayının gcd'si nasıl bulunur
En basit bir şekildeİki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak, bu sayıların tüm olası bölenlerini bulmak ve içlerinden en büyüğünü seçmektir.
Bu yöntemi OBEB(28, 36) bulma örneğini kullanarak ele alalım:
- Her iki sayıyı da çarpanlarına ayırıyoruz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Ortak faktörleri, yani her iki sayının da sahip olduğu faktörleri buluyoruz: 1, 2 ve 2.
- Bu faktörlerin çarpımını hesaplıyoruz: 1 2 2 = 4 - bu, 28 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.
İki sayının LCM'si nasıl bulunur?
İki sayının en küçük katını bulmanın en yaygın iki yolu vardır. İlk yöntem, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bunların arasından her iki sayı için ortak ve aynı zamanda en küçük olan sayıyı seçebilmenizdir. İkincisi ise bu sayıların gcd'sini bulmak. Sadece onu düşünelim.
LCM'yi hesaplamak için orijinal sayıların çarpımını hesaplamanız ve ardından bunu daha önce bulunan GCD'ye bölmeniz gerekir. Aynı 28 ve 36 sayıları için LCM'yi bulalım:
- 28 ve 36 sayılarının çarpımını bulun: 28·36 = 1008
- OBEB(28, 36), zaten bilindiği gibi, 4'e eşittir
- LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .
Birkaç numara için GCD ve LCM'yi bulma
En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bunun için en büyük ortak böleni bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrıştırılır ve bu sayıların ortak asal çarpanlarının çarpımı bulunur. Birkaç sayının gcd'sini bulmak için aşağıdaki ilişkiyi de kullanabilirsiniz: OBEB(a, b, c) = OBEB(a, b), c).
Benzer bir ilişki en küçük ortak kat için de geçerlidir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Örnek: 12, 32 ve 36 sayıları için OBE ve LCM'yi bulun.
- Öncelikle sayıları çarpanlara ayıralım: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Ortak çarpanları bulalım: 1, 2 ve 2.
- Çarpımları OBEB'yi verecektir: 1·2·2 = 4
- Şimdi LCM'yi bulalım: Bunu yapmak için önce LCM(12, 32)'yi bulalım: 12·32 / 4 = 96.
- Her üç sayının da LCM'sini bulmak için GCD(96, 36)'yı bulmanız gerekir: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.
Örneğin:
12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;
36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.
Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bölücü doğal sayı A- belirli bir sayıyı bölen bir doğal sayıdır A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit .
12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B.
Ortak katlar birkaç sayı, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 da onların ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçük olan vardır; bu durumda bu 90. Bu sayıya denir en küçükortak kat (CMM).
LCM her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.
En küçük ortak kat (LCM). Özellikler.
Değişebilirlik:
İlişkisellik:
Özellikle, ve eş asal sayılar ise, o zaman:
İki tam sayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların bölenidir M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM'nin katları kümesiyle çakışır ( m, n).
Asimptotikleri bazı sayı-teorik fonksiyonlarla ifade edilebilir.
Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve:
Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).
Asal sayıların dağılım kanunundan çıkan sonuç.
En küçük ortak katı (LCM) bulma.
NOC( a, b) çeşitli şekillerde hesaplanabilir:
1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun LCM ile bağlantısını kullanabilirsiniz:
2. Her iki sayının asal çarpanlarına kanonik ayrışımı bilinsin:
Nerede p 1 ,...,pk- çeşitli asal sayılar ve d 1 ,...,dk Ve e 1 ,...,ek— negatif olmayan tamsayılar (karşılık gelen asal sayı genişlemede değilse sıfır olabilirler).
Daha sonra NOC ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:
Başka bir deyişle LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. a, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.
Örnek:
Birkaç sayının en küçük ortak katını hesaplamak, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:
Kural. Bir sayı serisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:
- sayıları asal faktörlere ayrıştırmak;
- en büyük genişlemeyi (istenen ürünün faktörlerinin çarpımı) istenen ürünün faktörlerine aktarın çok sayıda verilenlerden) ve ardından ilk sayıda görünmeyen veya daha az sayıda görünen diğer sayıların açılımından faktörleri ekleyin;
— asal faktörlerin sonuçtaki çarpımı, verilen sayıların LCM'si olacaktır.
Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı faktörlere sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.
28 sayısının asal çarpanlarına (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) eklenir, elde edilen çarpım (84), 21 ve 28'e bölünebilen en küçük sayı olacaktır.
En büyük 30 sayısının asal çarpanları, 25 sayısının 5 çarpanı ile tamamlanır; sonuçta ortaya çıkan 150 çarpımı, en büyük 30 sayısından büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünebilir. Bu en az ürün verilen tüm sayıların katı olduğu olası (150, 250, 300...)
2,3,11,37 sayıları asal sayılar olduğundan LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.
Kural. Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları birbiriyle çarpmanız gerekir.
Başka seçenek:
Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için ihtiyacınız olan:
1) her sayıyı asal faktörlerinin bir ürünü olarak temsil edin, örneğin:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) Tüm asal faktörlerin kuvvetlerini yazın:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) bu sayıların her birinin asal bölenlerini (çarpanlarını) yazın;
4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en büyük derecesini seçin;
5) bu güçleri çarpın.
Örnek. 168, 180 ve 3024 sayılarının LCM'sini bulun.
Çözüm. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Tüm asal bölenlerin en büyük kuvvetlerini yazıp çarpıyoruz:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Ortak katlar
Basitçe söylemek gerekirse, verilen sayıların her birine bölünebilen herhangi bir tam sayı Ortak çoklu tamsayılar verilmiştir.
İki veya daha fazla tam sayının ortak katını bulabilirsiniz.
örnek 1
İki sayının ortak katını hesaplayın: $2$ ve $5$.
Çözüm.
Tanım gereği, $2$ ve $5$'ın ortak katı $10$'dır, çünkü $2$ sayısının ve $5$ sayısının katıdır:
$2$ ve $5$ sayılarının ortak katları aynı zamanda $–10, 20, –20, 30, –30$ vb. sayılar olacaktır, çünkü hepsi $2$ ve $5$ sayılarına bölünmüştür.
Not 1
Sıfır, herhangi bir sayıda sıfırdan farklı tam sayıların ortak katıdır.
Bölünebilme özelliklerine göre, eğer belirli bir sayı birkaç sayının ortak katı ise, o zaman işaretli karşısındaki sayı da verilen sayıların ortak katı olacaktır. Bu, ele alınan örnekten görülebilir.
Verilen tam sayıların ortak katlarını her zaman bulabilirsiniz.
Örnek 2
$111$ ve $55$'ın ortak katını hesaplayın.
Çözüm.
Verilen sayıları çarpalım: $111\div 55=6105$. $6105$ sayısının $111$ ve $55$ sayılarına bölünebildiğini doğrulamak kolaydır:
$6105\div 111=$55;
6105$\böl 55=111$.
Dolayısıyla $6105$, $111$ ve $55$'ın ortak katıdır.
Cevap: $111$ ile $55$'ın ortak katı $6105$'dır.
Ancak önceki örnekte de gördüğümüz gibi bu ortak kat bir değildir. Diğer ortak katlar $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ vb. olacaktır. Böylece şu sonuca vardık:
Not 2
Herhangi bir tamsayı kümesinin sonsuz sayıda ortak katı vardır.
Pratikte bunlar yalnızca pozitif tamsayı (doğal) sayıların ortak katlarını bulmakla sınırlıdır, çünkü katlar kümesi verilen numara ve zıttı örtüşüyor.
En Küçük Ortak Katın Belirlenmesi
Verilen sayıların tüm katları arasında en sık en küçük ortak kat (LCM) kullanılır.
Tanım 2
Verilen tam sayıların en küçük pozitif ortak katı en küçük ortak Kat bu sayılar.
Örnek 3
$4$ ve $7$ sayılarının LCM'sini hesaplayın.
Çözüm.
Çünkü bu sayılar yok ortak bölenler, sonra $NOK(4,7)=28$.
Cevap: $NOK (4,7)=28$.
GCD aracılığıyla NOC'yi bulma
Çünkü LCM ve GCD arasında bir bağlantı var, onun yardımıyla hesaplayabilirsiniz İki pozitif tam sayının LCM'si:
Not 3
Örnek 4
$232$ ve $84$ sayılarının LCM'sini hesaplayın.
Çözüm.
LCM'yi GCD aracılığıyla bulmak için formülü kullanalım:
$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$
Öklid algoritmasını kullanarak $232$ ve $84$ sayılarının OBE'sini bulalım:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
Onlar. $OBEB(232, 84)=4$.
$LCC (232, 84)$'ı bulalım:
$NOK (232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$
Cevap: $NOK (232,84)=$4872.
Örnek 5
$LCD(23, 46)$ değerini hesaplayın.
Çözüm.
Çünkü $46$, $23$'a bölünebilir, bu durumda $gcd (23, 46)=23$ olur. LOC'yi bulalım:
$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$
Cevap: NOK (23,46)=46$.
Böylece formüle edilebilir kural:
Not 4
En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat, zahmetsizce işlem yapmanızı sağlayan temel aritmetik kavramlardır sıradan kesirler. LCM ve çoğunlukla birkaç kesirin ortak paydasını bulmak için kullanılır.
Temel konseptler
Bir X tam sayısının böleni, X'in kalan bırakmadan bölündüğü başka bir Y tamsayıdır. Örneğin 4'ün böleni 2, 36 ise 4, 6, 9'dur. Bir X tam sayısının katı, X'e kalansız bölünebilen bir Y sayısıdır. Örneğin 3, 15'in katıdır ve 6, 12'nin katıdır.
Herhangi bir sayı çiftinin ortak bölenlerini ve katlarını bulabiliriz. Örneğin, 6 ve 9 için ortak kat 18 ve ortak bölen 3'tür. Açıkçası, çiftlerin birden fazla böleni ve katı olabilir, bu nedenle hesaplamalar en büyük bölen GCD'yi ve en küçük kat LCM'yi kullanır.
En küçük bölen anlamsızdır çünkü herhangi bir sayı için o her zaman birdir. Katların sırası sonsuza gittiği için en büyük kat da anlamsızdır.
Gcd'yi bulma
En büyük ortak böleni bulmanın birçok yöntemi vardır; bunlardan en ünlüsü:
- bölenlerin sıralı olarak aranması, bir çift için ortak olanların seçilmesi ve en büyüğünün aranması;
- sayıların bölünemez faktörlere ayrıştırılması;
- Öklid algoritması;
- ikili algoritma.
Bugün Eğitim Kurumları En popüler olanları asal çarpanlara ayırma yöntemleri ve Öklid algoritmasıdır. İkincisi, Diophantine denklemlerini çözerken kullanılır: denklemin tamsayılarda çözümlenme olasılığı açısından kontrol edilmesi için GCD'nin aranması gerekir.
NOC'yi bulmak
En küçük ortak kat ayrıca sıralı arama veya bölünemez faktörlere ayrıştırma yoluyla da belirlenir. Ayrıca, en büyük bölenin önceden belirlenmiş olması durumunda LCM'yi bulmak kolaydır. X ve Y sayıları için LCM ve GCD aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:
LCD(X,Y) = X × Y / OBE(X,Y).
Örneğin, GCM(15,18) = 3 ise LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 olur. LCM kullanmanın en belirgin örneği, en küçük ortak kat olan ortak paydayı bulmaktır. verilen kesirler.
Eş asal sayılar
Bir sayı çiftinin ortak böleni yoksa, böyle bir çifte eş asal denir. Bu tür çiftlerin gcd'si her zaman bire eşittir ve bölenler ve katlar arasındaki bağlantıya bağlı olarak eş asal çiftlerin gcd'si bunların çarpımına eşittir. Örneğin, 25 ve 28 sayıları aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri yoktur ve LCM(25, 28) = 700, bu da çarpımlarına karşılık gelir. Bölünemeyen herhangi iki sayı her zaman aralarında asal olacaktır.
Ortak bölen ve çoklu hesap makinesi
Hesap makinemizi kullanarak, aralarından seçim yapabileceğiniz rastgele sayıda sayı için GCD ve LCM'yi hesaplayabilirsiniz. Ortak bölenlerin ve katların hesaplanmasına ilişkin görevler 5. ve 6. sınıf aritmetiğinde bulunur, ancak GCD ve LCM matematikteki anahtar kavramlardır ve sayılar teorisi, planimetri ve iletişimsel cebirde kullanılır.
Gerçek hayattan örnekler
Kesirlerin ortak paydası
Çoklu kesirlerin ortak paydasını bulurken en küçük ortak kat kullanılır. Bırak girsin aritmetik problemi 5 kesri toplamanız gerekir:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Kesirleri eklemek için ifadenin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir, bu da LCM'yi bulma problemini azaltır. Bunu yapmak için hesap makinesinde 5 sayı seçin ve paydaların değerlerini ilgili hücrelere girin. Program LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360'ı hesaplayacaktır. Şimdi her kesir için LCM'nin paydaya oranı olarak tanımlanan ek faktörleri hesaplamanız gerekir. Yani ek çarpanlar şöyle görünecektir:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Bundan sonra, tüm kesirleri karşılık gelen ek faktörle çarparız ve şunu elde ederiz:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Bu kesirleri kolaylıkla toplayıp 159/360 sonucunu elde edebiliriz. Kesri 3 azaltıyoruz ve son cevabı görüyoruz - 53/120.
Doğrusal Diofant denklemlerini çözme
Doğrusal Diophantine denklemleri ax + by = d biçimindeki ifadelerdir. Eğer d / gcd(a, b) oranı bir tamsayı ise, denklem tamsayılarla çözülebilir. Tamsayı çözümleri olup olmadığını görmek için birkaç denklemi kontrol edelim. Öncelikle 150x + 8y = 37 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesi kullanarak OBE (150,8) = 2'yi buluruz. 37/2'yi böl = 18,5. Sayı tam sayı olmadığından denklemin tam sayı kökleri yoktur.
1320x + 1760y = 10120 denklemini kontrol edelim. Bir hesap makinesi kullanarak GCD(1320, 1760) = 440'ı bulun. 10120/440 = 23'e bölün. Sonuç olarak bir tamsayı elde ederiz, dolayısıyla Diophantine denklemi tamsayı katsayılarıyla çözülebilir. .
Çözüm
GCD ve LCM sayı teorisinde büyük bir rol oynamaktadır ve kavramların kendileri matematiğin çok çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Hesaplamak için hesap makinemizi kullanın en büyük bölenler ve herhangi bir sayının en küçük katları.
Yükleniyor...