Okul aritmetik dersinde tüm matematiksel işlemler gerçek sayılarla yapılır. Bu sayılar kümesi (veya sürekli sıralı bir alan) bir takım özelliklere (aksiyomlara) sahiptir: çarpma ve toplamanın değişme ve ilişkilendirilebilirliği, sıfır, bir, zıt ve ters elemanların varlığı. Ayrıca uygulanan düzen ve süreklilik aksiyomları Karşılaştırmalı analiz Reel sayıların tüm özelliklerini belirlemenizi sağlar.
Bölme, çarpma işleminin tersi işlemi olduğundan, gerçek sayıları sıfıra bölerken kaçınılmaz olarak çözülemeyen iki problem ortaya çıkar. Birincisi, sıfıra bölme sonucunun çarpma yöntemiyle kontrol edilmesinin sayısal bir ifadesi yoktur. Bölüm hangi sayı olursa olsun sıfırla çarpılırsa temettü elde etmek mümkün değildir. İkinci olarak, 0:0 örneğinde cevap kesinlikle herhangi bir sayı olabilir ve bu sayı bir bölenle çarpıldığında her zaman sıfıra döner.
Yüksek matematikte sıfıra bölme
Sıfıra bölmenin sıralanan zorlukları, bu işlemin tabu haline getirilmesine yol açtı. en azından, bir okul kursunun parçası olarak. Ancak yüksek matematikte bu yasağı aşmanın yollarını buluyorlar.
Örneğin tanıdık sayı doğrusundan farklı, farklı bir cebirsel yapı oluşturarak. Böyle bir yapının örneği bir tekerlektir. Burada kanunlar ve kurallar var. Özellikle bölme, çarpma işlemine bağlı değildir ve ikili bir işlemden (iki bağımsız değişkenli) /x simgesiyle gösterilen tekli bir işleme (tek bağımsız değişkenli) dönüşür.
Gerçek sayılar alanının genişlemesi, sonsuz büyük ve sonsuz küçük miktarları kapsayan hipergerçek sayıların ortaya çıkması nedeniyle ortaya çıkar. Bu yaklaşım, “sonsuzluk” terimini belirli bir sayı olarak ele almamızı sağlar. Üstelik sayı doğrusu genişlediğinde bu sayı işaretini kaybederek bu doğrunun iki ucunu birleştiren ideal bir noktaya dönüşür. Bu yaklaşım, UTC+12 ve UTC-12 olmak üzere iki saat dilimi arasında hareket ederken kendinizi içinde bulabileceğiniz tarih çizgisine benzetilebilir. ertesi gün veya bir öncekinde. Bu durumda herhangi bir x≠0 için x/0=∞ ifadesi doğru olur.
0/0 belirsizliğini ortadan kaldırmak için tekerlek için yeni bir ⏊=0/0 elemanı eklenmiştir. Aynı zamanda bu cebirsel yapının kendine has nüansları vardır: 0 x≠0; x-x≠0 v Genel dava. Ayrıca x·/x≠1, çünkü bölme ve çarpma artık ters işlemler olarak kabul edilmiyor. Ancak tekerleğin bu özellikleri, böyle bir cebirsel yapıda biraz farklı işleyen dağıtım yasasının özdeşlikleri kullanılarak iyi bir şekilde açıklanmaktadır. Daha ayrıntılı açıklamalar özel literatürde bulunabilir.
Herkesin alışık olduğu cebir aslında daha fazla şeyin özel bir halidir. karmaşık sistemlerörneğin aynı tekerlek. Gördüğünüz gibi yüksek matematikte sıfıra bölmek mümkündür. Bu, sayılar, cebirsel işlemler ve bunların uyduğu yasalar hakkındaki geleneksel fikirlerin sınırlarının ötesine geçmeyi gerektirir. Her ne kadar bu oldukça Doğal süreç, yeni bilgi arayışına eşlik eder.
Sıfıra bölme sonucunu belirlerseniz sıfıra bölebileceğinizi söylüyorlar. Sadece cebiri genişletmeniz gerekiyor. Garip bir tesadüf eseri, böyle bir uzantının en azından bir kısmını veya daha anlaşılır ve basit bir örneğini bulmak mümkün değil. İnterneti düzeltmek için, ya böyle bir uzantıya yönelik yöntemlerden birinin gösterimine ya da bunun neden mümkün olmadığının bir açıklamasına ihtiyacınız var.
Makale bu eğilimin devamı olarak yazılmıştır:
Sorumluluk reddi beyanı
Bu makalenin amacı “ insan dili", matematiğin temel ilkelerinin nasıl çalıştığını, bilgiyi nasıl yapılandırdığını ve matematiğin dalları arasında gözden kaçırılan neden-sonuç ilişkilerini nasıl düzelttiğini anlatıyor. Tüm akıl yürütmeler felsefidir; bazı yargılarda genel kabul görmüş olanlardan ayrılırlar (bu nedenle matematiksel olarak katı olduklarını iddia etmezler). Makale, “kuleyi yıllar önce geçmiş” okuyucunun seviyesine göre tasarlanmıştır.Aritmetik, temel, genel ve doğrusal cebir, matematiksel ve standart dışı analiz, küme teorisi, genel topoloji, projektif ve afin geometri ilkelerinin anlaşılması arzu edilir, ancak gerekli değildir.
Deneyler sırasında hiçbir sonsuzluk zarar görmemiştir.
Giriş
“Sınırların ötesine” geçmek, yeni bilgi arayışının doğal bir sürecidir. Ancak her araştırma yeni bilgi getirmez ve dolayısıyla fayda sağlamaz.1. Aslında her şey bizden önce zaten bölünmüş durumda!
1.1 Sayı doğrusunun afin uzantısı
Sıfıra bölme işleminde tüm maceracıların muhtemelen başlayacağı yerden başlayalım. Fonksiyonun grafiğini hatırlayalım
.
Sıfırın soluna ve sağına doğru fonksiyon şöyle gider: farklı taraflar"yokluk". En altta genel bir “havuz” var ve hiçbir şey görünmüyor.
Havuza balıklama dalmak yerine içine ne aktığına, ne çıktığına bakalım. Bunu yapmak için matematiksel analizin ana aracı olan limiti kullanacağız. Ana "püf noktası", sınırın belirli bir noktaya mümkün olduğu kadar yaklaşmanıza izin vermesi, ancak "üstüne adım atmanıza" izin vermemesidir. “Havuz” un önünde böyle bir “çit”.
Orijinal
Tamam, “çit” dikildi. Artık o kadar korkutucu değil. Havuza iki yolumuz var. Sola gidelim - dik bir iniş, sağda - dik bir tırmanış. “Çit”e doğru ne kadar yürürseniz yürüyün, o bir daha yaklaşmıyor. Alt ve üst “hiçlik”i aşmanın hiçbir yolu yoktur. Şüpheler ortaya çıkıyor: belki de bir daire çiziyoruz? Hayır olmasına rağmen sayılar değişiyor, bu da onların bir daire içinde olmadığı anlamına geliyor. Matematiksel analiz araçlarının sandığını biraz daha karıştıralım. Kit, "çitli" sınırlara ek olarak pozitif ve negatif sonsuzluklar içerir. Miktarlar tamamen soyuttur (sayılar değildir), iyi biçimlendirilmiştir ve kullanıma hazırdır! Bize yakışıyor. “Varlığımızı” (gerçek sayılar kümesini) iki işaretli sonsuzlukla tamamlayalım.
Matematik dilinde:
Argümanın sonsuza yöneldiği durumlarda limit almanızı ve limit alma sonucunda sonsuzluğa ulaşmanızı sağlayan bu uzantıdır.Aynı şeyi farklı terminoloji kullanarak açıklayan iki matematik dalı vardır.
Özetleyelim:
Sonuç olarak. Eski yaklaşımlar artık işe yaramıyor. Sistemin bir dizi "eğer", "hepsi için" vb. şeklindeki karmaşıklığı arttı. Yalnızca iki belirsizliğimiz vardı: 1/0 ve 0/0 (güç işlemlerini dikkate almadık), yani beş tane vardı. Bir belirsizliğin açığa çıkması daha da fazla belirsizlik yarattı.
1.2 Tekerlek
İşaretsiz sonsuzluğun tanıtılmasıyla bitmedi. Belirsizliklerden çıkmak için ikinci bir rüzgara ihtiyacınız var.Yani elimizde bir dizi gerçek sayı ve 1/0 ve 0/0 olmak üzere iki belirsizlik var. İlkini ortadan kaldırmak için sayı doğrusunda yansıtmalı bir genişletme gerçekleştirdik (yani işaretsiz sonsuzluğu ekledik). 0/0 formunun ikinci belirsizliğini ele almaya çalışalım. Biz de aynısını yapalım. Sayılar kümesine ikinci belirsizliği temsil eden yeni bir öğe ekleyelim.
Bölme işleminin tanımı çarpma işlemine dayanmaktadır. Bu bize yakışmıyor. İşlemleri birbirinden ayıralım, ancak gerçek sayılar için olağan davranışı koruyalım. "/" işaretiyle gösterilen tekli bölme işlemini tanımlayalım.
İşlemleri tanımlayalım.
Bu yapıya “Tekerlek” denir. Terim, sayı doğrusu ve 0/0 noktasının projektif uzantısının topolojik resmine olan benzerliği nedeniyle alınmıştır.
Her şey iyi görünüyor ama şeytan ayrıntıda gizli:
Tüm özellikleri oluşturmak için, öğe kümesinin genişletilmesine ek olarak, dağıtım yasasını tanımlayan bir değil iki kimlik biçiminde bir bonus eklenir.
Matematik dilinde:Genel cebir açısından alanla işlem yaptık. Ve alanda bildiğiniz gibi sadece iki işlem tanımlanmıştır (toplama ve çarpma). Bölünme kavramı tersten, hatta daha derine, birim elemanlardan türetilir. Yapılan değişiklikler cebirsel sistemimizi hem toplama işlemi (sıfır nötr eleman olarak) hem de çarpma işlemi (bir nötr eleman olarak) için bir monoid haline dönüştürüyor.Öncülerin çalışmaları her zaman ∞ ve ⊥ sembollerini kullanmaz. Bunun yerine girişleri /0 ve 0/0 biçiminde bulabilirsiniz.
Dünya artık o kadar da harika değil, değil mi? Yine de aceleye gerek yok. Dağıtım yasasının yeni kimliklerinin genişletilmiş kümemizle başa çıkıp çıkamayacağını kontrol edelim..
Bu sefer sonuç çok daha iyi.Özetleyelim:
Sonuç olarak. Cebir harika çalışıyor. Ancak “tanımsız” kavramı esas alınarak, onu var olan bir şey olarak görmeye ve onunla işlemeye başladılar. Bir gün birisi her şeyin kötü olduğunu söyleyecek ve bu "tanımsız"ı birkaç "tanımsız" parçaya bölmeniz gerektiğini söyleyecek, ancak daha küçük olanlara Genel cebir şöyle diyecek: "Sorun değil kardeşim!"
Bu, kuaterniyonlarda ek (j ve k) hayali birimlerin yaklaşık olarak nasıl varsayıldığıdır.
Evgeniy Shiryaev, öğretmen ve Politeknik Müzesi Matematik Laboratuvarı başkanı, AiF.ru'ya sıfıra bölme hakkında şunları söyledi:
1. Konunun yargı yetkisi
Katılıyorum, kuralı özellikle kışkırtıcı yapan şey yasak. Bu nasıl yapılamaz? Kim yasakladı? Peki ya sivil haklarımız?
Ne Rusya Federasyonu Anayasası, ne Ceza Kanunu, ne de okulunuzun tüzüğü bizi ilgilendiren fikri eyleme itiraz etmiyor. Yani yasak yok yasal güç ve hiçbir şey sizi burada, AiF.ru sayfalarında bir şeyi sıfıra bölmeye çalışmaktan alıkoyamaz. Örneğin bin.
2. Öğretildiği gibi bölelim
Unutmayın, bölmeyi ilk öğrendiğinizde, ilk örnekler çarpma işlemini kontrol ederek çözülüyordu: Bölenle çarpılan sonucun, bölünebilen sayıyla aynı olması gerekiyordu. Eşleşmiyorsa karar vermediler.
Örnek 1. 1000: 0 =...
Bir an için yasak kuralı unutalım ve cevabı tahmin etmek için birkaç girişimde bulunalım.
Hatalı olanlar çekle kesilecektir. Aşağıdaki seçenekleri deneyin: 100, 1, −23, 17, 0, 10.000. Her biri için kontrol aynı sonucu verecektir:
100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0
Sıfır çarpıldığında her şey kendine dönüşür ve asla bine dönüşmez. Sonucu formüle etmek kolaydır: hiçbir sayı testi geçemez. Yani sıfırdan farklı bir sayının sıfıra bölünmesi sonucu hiçbir sayı olamaz. Bu tür bir bölünme yasak değildir, ancak hiçbir sonucu da yoktur.
3. Nüans
Yasağı çürütmek için neredeyse bir fırsatı kaçırıyorduk. Evet, sıfır olmayan bir sayının 0'a bölünemeyeceğini kabul ediyoruz. Peki belki 0'ın kendisi bölebilir?
Örnek 2. 0: 0 = ...
Özel için önerileriniz nelerdir? 100? Lütfen: 100'ün 0 böleni ile çarpımı bölen 0'a eşittir.
Daha fazla seçenek! 1? Çok uygun. Ve -23 ve 17, hepsi bu. Bu örnekte test herhangi bir sayı için pozitif olacaktır. Ve dürüst olmak gerekirse, bu örnekteki çözüme sayı değil, sayılar kümesi denmelidir. Herkes. Ve Alice'in Alice değil, Mary Ann olduğunu ve her ikisinin de bir tavşanın rüyası olduğunu kabul etmek çok uzun sürmez.
4. Peki ya yüksek matematik?
Sorun çözüldü, nüanslar dikkate alındı, noktalar yerleştirildi, her şey netleşti - sıfıra bölme örneğinin cevabı tek bir sayı olamaz. Bu tür sorunları çözmek umutsuz ve imkansızdır. Bunun anlamı... ilginç! İki tane al.
Örnek 3. 1000'i 0'a nasıl böleceğinizi bulun.
Ama hiçbir şekilde. Ancak 1000 diğer sayılara kolaylıkla bölünebilir. Elimizdeki görevi değiştirsek bile en azından elimizden geleni yapalım. Ve sonra görüyorsunuz, kendimizi kaptırıyoruz ve cevap kendiliğinden ortaya çıkacak. Bir dakikalığına sıfırı unutup yüze bölelim:
Yüz sıfırdan çok uzaktır. Böleni azaltarak bir adım atalım:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Dinamikler açıktır: bölen sıfıra ne kadar yakınsa bölüm o kadar büyük olur. Eğilim, kesirlere geçerek ve payı azaltmaya devam ederek daha da gözlemlenebilir:
Geriye, bölümü istediğimiz kadar büyüterek sıfıra istediğimiz kadar yaklaşabileceğimizi belirtmek kalıyor.
Bu süreçte sıfır yoktur ve son bölüm yoktur. Sayıyı ilgilendiğimiz sayıya yakınsayan bir diziyle değiştirerek onlara doğru hareketi belirttik:
Bu, temettü için benzer bir değişiklik anlamına gelir:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Okların çift taraflı olması boşuna değil: bazı diziler sayılara yakınlaşabilir. Daha sonra diziyi sayısal limitiyle ilişkilendirebiliriz.
Bölümlerin sırasına bakalım:
Sınırsızca büyür, hiçbir sayı için çabalamaz ve hiçbirini aşmaz. Matematikçiler sayılara semboller ekler ∞ böyle bir dizinin yanına çift taraflı bir ok koyabilmek için:
Limiti olan dizilerin sayılarıyla karşılaştırma, üçüncü örneğe bir çözüm önermemize olanak tanır:
1000'e yakınsayan bir diziyi, 0'a yaklaşan pozitif sayılar dizisine eleman bazında böldüğümüzde, ∞'a yakınsayan bir dizi elde ederiz.
5. Ve işte iki sıfırlı nüans
Sıfıra yakınsayan iki pozitif sayı dizisinin bölünmesinin sonucu nedir? Eğer bunlar aynı ise birim de aynıdır. Bölünen dizi sıfıra daha hızlı yakınsarsa bölümdeki dizinin sıfır limiti vardır. Ve bölenin elemanları bölenin elemanlarından çok daha hızlı azaldığında, bölümün sırası büyük ölçüde artacaktır:
Belirsiz durum. İşte buna denir: tür belirsizliği 0/0 . Matematikçiler bu belirsizliğe uyan dizileri gördüklerinde, iki özdeş sayıyı birbirine bölmek için acele etmiyorlar, ancak dizilerden hangisinin sıfıra daha hızlı ve tam olarak nasıl gittiğini buluyorlar. Ve her örneğin kendine özel bir cevabı olacak!
6. Hayatta
Ohm kanunu bir devredeki akım, gerilim ve direnci ilişkilendirir. Genellikle bu biçimde yazılır:
Düzgün fiziksel anlayışı bir kenara bırakalım ve resmi olarak sağ tarafa iki sayının bölümü olarak bakalım. Elektrikle ilgili bir okul problemini çözdüğümüzü hayal edelim. Bu durum voltajı volt cinsinden ve direnci ohm cinsinden verir. Sorun belli, çözüm tek eylemde.
Şimdi süperiletkenliğin tanımına bakalım: Bu, bazı metallerin sıfır elektrik direncine sahip olma özelliğidir.
Peki, süperiletken devre problemini çözelim mi? Sadece ayarla R= 0 işe yaramıyor, fizik kusuyor ilginç görev açıkça arkasında duran Bilimsel keşif. Ve bu durumda sıfıra bölmeyi başaranlar Nobel Ödülü. Her türlü yasağı aşabilmekte fayda var!
Sıfıra bölme sonucunu belirlerseniz sıfıra bölebileceğinizi söylüyorlar. Sadece cebiri genişletmeniz gerekiyor. Garip bir tesadüf eseri, böyle bir uzantının en azından bir kısmını veya daha anlaşılır ve basit bir örneğini bulmak mümkün değil. İnterneti düzeltmek için, ya böyle bir uzantıya yönelik yöntemlerden birinin gösterimine ya da bunun neden mümkün olmadığının bir açıklamasına ihtiyacınız var.
Makale bu eğilimin devamı olarak yazılmıştır:
Sorumluluk reddi beyanı
Bu makalenin amacı matematiğin temel ilkelerinin nasıl çalıştığını “insan dilinde” açıklamak, bilgiyi yapılandırmak ve matematiğin dalları arasındaki gözden kaçırılan neden-sonuç ilişkilerini yeniden kurmaktır. Tüm akıl yürütmeler felsefidir; bazı yargılarda genel kabul görmüş olanlardan ayrılırlar (bu nedenle matematiksel olarak katı olduklarını iddia etmezler). Makale, “kuleyi yıllar önce geçmiş” okuyucunun seviyesine göre tasarlanmıştır.Aritmetik, temel, genel ve doğrusal cebir, matematiksel ve standart dışı analiz, küme teorisi, genel topoloji, projektif ve afin geometri ilkelerinin anlaşılması arzu edilir, ancak gerekli değildir.
Deneyler sırasında hiçbir sonsuzluk zarar görmemiştir.
Giriş
“Sınırların ötesine” geçmek, yeni bilgi arayışının doğal bir sürecidir. Ancak her araştırma yeni bilgi getirmez ve dolayısıyla fayda sağlamaz.1. Aslında her şey bizden önce zaten bölünmüş durumda!
1.1 Sayı doğrusunun afin uzantısı
Sıfıra bölme işleminde tüm maceracıların muhtemelen başlayacağı yerden başlayalım. Fonksiyonun grafiğini hatırlayalım.
Sıfırın solunda ve sağında fonksiyon farklı “yokluk” yönlerine gider. En altta genel bir “havuz” var ve hiçbir şey görünmüyor.
Havuza balıklama dalmak yerine içine ne aktığına, ne çıktığına bakalım. Bunu yapmak için matematiksel analizin ana aracı olan limiti kullanacağız. Ana "püf noktası", sınırın belirli bir noktaya mümkün olduğu kadar yaklaşmanıza izin vermesi, ancak "üstüne adım atmanıza" izin vermemesidir. “Havuz” un önünde böyle bir “çit”.
Orijinal
Tamam, “çit” dikildi. Artık o kadar korkutucu değil. Havuza iki yolumuz var. Sola gidelim - dik bir iniş, sağda - dik bir tırmanış. “Çit”e doğru ne kadar yürürseniz yürüyün, o bir daha yaklaşmıyor. Alt ve üst “hiçlik”i aşmanın hiçbir yolu yoktur. Şüpheler ortaya çıkıyor: belki de bir daire çiziyoruz? Hayır olmasına rağmen sayılar değişiyor, bu da onların bir daire içinde olmadığı anlamına geliyor. Matematiksel analiz araçlarının sandığını biraz daha karıştıralım. Kit, "çitli" sınırlara ek olarak pozitif ve negatif sonsuzluklar içerir. Miktarlar tamamen soyuttur (sayılar değildir), iyi biçimlendirilmiştir ve kullanıma hazırdır! Bize yakışıyor. “Varlığımızı” (gerçek sayılar kümesini) iki işaretli sonsuzlukla tamamlayalım.
Matematik dilinde:
Argümanın sonsuza yöneldiği durumlarda limit almanızı ve limit alma sonucunda sonsuzluğa ulaşmanızı sağlayan bu uzantıdır.Aynı şeyi farklı terminoloji kullanarak açıklayan iki matematik dalı vardır.
Özetleyelim:
Sonuç olarak. Eski yaklaşımlar artık işe yaramıyor. Sistemin bir dizi "eğer", "hepsi için" vb. şeklindeki karmaşıklığı arttı. Yalnızca iki belirsizliğimiz vardı: 1/0 ve 0/0 (güç işlemlerini dikkate almadık), yani beş tane vardı. Bir belirsizliğin açığa çıkması daha da fazla belirsizlik yarattı.
1.2 Tekerlek
İşaretsiz sonsuzluğun tanıtılmasıyla bitmedi. Belirsizliklerden çıkmak için ikinci bir rüzgara ihtiyacınız var.Yani elimizde bir dizi gerçek sayı ve 1/0 ve 0/0 olmak üzere iki belirsizlik var. İlkini ortadan kaldırmak için sayı doğrusunda yansıtmalı bir genişletme gerçekleştirdik (yani işaretsiz sonsuzluğu ekledik). 0/0 formunun ikinci belirsizliğini ele almaya çalışalım. Biz de aynısını yapalım. Sayılar kümesine ikinci belirsizliği temsil eden yeni bir öğe ekleyelim.
Bölme işleminin tanımı çarpma işlemine dayanmaktadır. Bu bize yakışmıyor. İşlemleri birbirinden ayıralım, ancak gerçek sayılar için olağan davranışı koruyalım. "/" işaretiyle gösterilen tekli bölme işlemini tanımlayalım.
İşlemleri tanımlayalım.
Bu yapıya “Tekerlek” denir. Terim, sayı doğrusu ve 0/0 noktasının projektif uzantısının topolojik resmine olan benzerliği nedeniyle alınmıştır.
Her şey iyi görünüyor ama şeytan ayrıntıda gizli:
Tüm özellikleri oluşturmak için, öğe kümesinin genişletilmesine ek olarak, dağıtım yasasını tanımlayan bir değil iki kimlik biçiminde bir bonus eklenir.
Matematik dilinde:Genel cebir açısından alanla işlem yaptık. Ve alanda bildiğiniz gibi sadece iki işlem tanımlanmıştır (toplama ve çarpma). Bölünme kavramı tersten, hatta daha derine, birim elemanlardan türetilir. Yapılan değişiklikler cebirsel sistemimizi hem toplama işlemi (sıfır nötr eleman olarak) hem de çarpma işlemi (bir nötr eleman olarak) için bir monoid haline dönüştürüyor.Öncülerin çalışmaları her zaman ∞ ve ⊥ sembollerini kullanmaz. Bunun yerine girişleri /0 ve 0/0 biçiminde bulabilirsiniz.
Dünya artık o kadar da harika değil, değil mi? Yine de aceleye gerek yok. Dağıtım yasasının yeni kimliklerinin genişletilmiş kümemizle başa çıkıp çıkamayacağını kontrol edelim.
Bu sefer sonuç çok daha iyi.Özetleyelim:
Sonuç olarak. Cebir harika çalışıyor. Ancak “tanımsız” kavramı esas alınarak, onu var olan bir şey olarak görmeye ve onunla işlemeye başladılar. Bir gün birisi her şeyin kötü olduğunu söyleyecek ve bu "tanımsız"ı birkaç "tanımsız" parçaya bölmeniz gerektiğini söyleyecek, ancak daha küçük olanlara Genel cebir şöyle diyecek: "Sorun değil kardeşim!"
Bu, kuaterniyonlarda ek (j ve k) hayali birimlerin yaklaşık olarak nasıl varsayıldığıdır.
- öğretici
Üç yaşındaki kızım Sofia Son zamanlardaÖrneğin bu bağlamda sıklıkla “sıfır”dan bahsedilir:
- Sonya, başta dinlememiş gibisin ama sonra itaat ettin, ne oldu?..
- Peki... sıfır!
Onlar. his negatif sayılar ve tarafsızlığın zaten sıfırı var, ah nasıl. Yakında şunu soracak: Bu neden sıfıra bölünemiyor?
Ve böylece karar verdim basit kelimelerle Sıfıra bölme ve bunun gibi şeyler hakkında hala hatırladığım her şeyi yaz.
Genel olarak bölünmeyi yüz kez duymaktansa bir kez görmek daha iyidir.
Peki, ya da bir'i x'e bölerek şunu görebilirsiniz...
Burada sıfırın hayatın, evrenin, her şeyin merkezi olduğunu hemen görebilirsiniz. Cevap olarak ana soru tüm bunlarla ilgili olarak kendinizi 42 yapın, ama merkez zaten 0. Bir işareti bile yok, ne artı (itaat ettim), ne de eksi (dinlemedim), gerçekten sıfır. Ve domuz yavruları hakkında çok şey biliyor.
Çünkü herhangi bir domuz yavrusu sıfırla çarpılırsa domuz yavrusu bu yuvarlak kara deliğin içine çekilir ve sonuç yine sıfır olur. Bu sıfır, toplama ve çıkarmadan çarpmaya, bölmeden söz etmeye gelince o kadar da nötr değil... İşte yukarıdaki sıfır “0/x” ise yine o zaman Kara delik. Her şey sıfıra gidiyor. Ancak bölme sırasında ve hatta aşağıdan bakıldığında “x/0” varsa, o zaman başlar... beyaz tavşan Sonya'yı takip edin!
Okulda size “sıfıra bölemezsiniz” derler ve utanmazlar. Kanıt olarak hesap makinesine “1/0=” dürtecekler ve sıradan bir hesap makinesi de kızarmadan “E”, “Hata” yazacak, “imkansız - yani imkansız” diyorlar. Her ne kadar orada sahip olduğunuz şey sıradan bir hesap makinesi olarak kabul edilecek olsa da, başka bir soru. Şimdi, 2014 yılında, bir Android telefondaki standart bir hesap makinesi bana tamamen farklı bir şey söylüyor:
Vay sonsuzluk. Bakışınızı kaydırın, daireler kesin. Yani yapamazsın. Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Eğer dikkatli olursan. Çünkü dikkat etmeden Android'im de henüz aynı fikirde değil: "0/0=Hata", yine imkansız. Tekrar deneyelim: “-1/0 = -∞”, ah nasıl. İlginç bir görüş ama ben buna katılmıyorum. Ayrıca “0/0=Hata” fikrine de katılmıyorum.
Bu arada, mevcut sitelere güç veren JavaScript de Android hesap makinesiyle aynı fikirde değil: tarayıcı konsoluna gidin (hala F12?) ve oraya şunu yazın: “0/0” (giriş). JS size cevap verecektir: “NaN”. Bu bir hata değil. Bu "Numara Değildir" - yani. bir tür şey, ama bir sayı değil. JS'nin “1/0”ı “Sonsuzluk” olarak da anlamasına rağmen. Zaten daha yakın. Ama şimdilik sadece sıcak...
Üniversitede - yüksek matematik. Sınırlar, kutuplar ve diğer şamanizm vardır. Ve her şey giderek daha karmaşık hale geliyor, lafı dolaştırıyorlar, ama sırf matematiğin kristal yasalarını ihlal etmek için değil. Ancak sıfıra bölmeyi bu mevcut yasalara uydurmaya çalışmazsanız, o zaman bu fanteziyi parmaklarınızda hissedebilirsiniz.
Bunu yapmak için bölme işlemine tekrar bakalım:
Takip etmek sağ çizgi, sağdan sola doğru. X sıfıra ne kadar yakınsa, X'e bölünen o kadar fazla uçar. Ve bulutların arasında bir yerde “artı sonsuzluk”. Ufuk gibi hep uzaktadır, yetişemezsin ona.
Şimdi soldan sağa doğru sol çizgiyi takip edin. Aynı hikaye, ancak şimdi bölünmüş olan, sonsuzca aşağıya, "eksi sonsuzluğa" doğru uçuyor. Buradan “1/0= +∞” ve “-1/0 = 1/-0 = -∞” görüşü çıkar.
Ancak işin püf noktası şu ki, eğer işleri sınırlarla karmaşıklaştırmazsanız "0 = -0", sıfırın işareti yoktur. Ve eğer birini işareti olmayan böylesine "basit" bir sıfıra bölerseniz, o zaman sonsuz - sıfır gibi işaretsiz "sadece" sonsuzluk elde edeceğinizi varsaymak mantıklı değil mi? Nerede - üstünde mi, altında mı? O her yerdedir; her yönde sıfırdan sonsuz derecede uzaktadır. Bu sıfırdır, ters çevrilmiştir. Sıfır - hiçbir şey yok. Sonsuzluk her şeydir. Hem olumlu hem de olumsuz. Bu kadar. Ve hemen. Mutlak.
Ama “0/0” diye bir şey vardı, başka bir şey, sonsuzluk değil… Haydi şu numarayı yapalım: “2*0=0”, evet okuldaki öğretmen diyecek. Ayrıca: “3*0=0” - yine evet. Bir de "sıfıra bölemezsin" umurumuzda olmasa, zaten bütün dünya yavaş yavaş bölünüyor diyorlar, "2=0/0" ve "3=0/0" elde ediyoruz. Bunu hangi sınıfta öğretiyorlar, tabii ki sıfır olmadan.
Bir dakika bekleyin, "2 = 0/0 = 3", "2=3" mü çıkıyor?! Bu yüzden korkuyorlar, bu yüzden “imkansız”. “1/0”dan daha korkutucu olan tek şey “0/0”dır; bir android hesap makinesi bile bundan korkar.
Ama korkmuyoruz! Çünkü matematiğin hayal gücüne sahibiz. Kendimizi yıldızların arasında bir yerlerde sonsuz Mutlak olarak hayal edebilir, oradan sonlu sayıların ve insanların günahkar dünyasına bakabilir ve bu açıdan hepsinin aynı olduğunu anlayabiliriz. Ve "2" ile "3" ve hatta "-1" ve okuldaki öğretmen de belki.
Bu yüzden mütevazı bir şekilde 0/0'ın sonlu dünyanın tamamı olduğunu, daha doğrusu sonsuz olmayan ve boş olmayan her şey olduğunu öne sürüyorum.
Resmi matematikten uzak fantezilerimde sıfır bölü X böyle görünüyor. Aslında 1/x gibi görünüyor, sadece büküm noktası birde değil sıfırda. Bu arada, 2/x'in ikide bir bükülmesi var ve 0,5/x'in de 0,5'te bir bükülmesi var.
x=0'da 0/x'in tüm sonlu değerleri aldığı ortaya çıktı - sonsuzluğu değil, boşluğu değil. Grafikte sıfırda bir delik var, eksenler görünüyor.
Elbette sıfır (boşluk) anlamına gelen “0*0 = 0”ın da 0/0 kategorisine girdiği iddia edilebilir. Biraz önüme geçeyim, sıfır dereceleri olacak ve bu itiraz parçalara ayrılacak.
Hata! Sonsuzdaki bir birim 0/0 olarak da yazılabilir, bu da (0/0)/0 - sonsuzla sonuçlanır. Artık düzen düzgün, her şey sıfırların oranıyla ifade edilebilir.
Örneğin sonluyu sonsuza eklersek, o zaman sonsuzluk sonluyu emer ve sonsuz kalır:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.
Ve eğer sonsuzluk boşlukla çarpılırsa, o zaman bunlar birbirini emer ve sonuç sonlu bir dünya olur:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.
Ancak bu sadece rüyaların ilk seviyesidir. Daha derine inebilirsin.
Eğer “bir sayının kuvveti” kavramını ve “1/x = x^-1” ifadesini zaten biliyorsanız, biraz düşünerek tüm bu bölme ve parantezlerden ((0/0)/ gibi) geçebilirsiniz. 0) basitçe güçlere:
1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1
İpucu.
Burada sonsuzluk ve boşlukla her şey okuldaki kadar basittir. Ve sonlu dünya şu şekilde derecelere gider:
0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.
Ah!
Sıfırın pozitif kuvvetlerinin sıfır olduğu ortaya çıktı, negatif güçler Sıfır sonsuzluktur ve sıfırın sıfır derecesi sonlu bir dünyadır.
“0^x” evrensel nesnesi bu şekilde ortaya çıkıyor. Bu tür nesneler birbirleriyle mükemmel etkileşime girerler, yine genel olarak birçok yasaya, güzelliğe uyarlar.
Mütevazı matematik bilgim, onlardan bir Abel grubu çıkarmak için yeterliydi; bu grup, boşlukta izole edilmiş olduğundan ("sadece soyut nesneler, bir tür gösterim, üs gibi"), en havalı matematik öğretmeninin testini bile geçti. karar “ilginç ama hiçbir şey işe yaramayacak.” Keşke burada bir şeyler yolunda gitseydi, bu tabu bir konudur - sıfıra bölme. Genel olarak rahatsız etmeyin.
Sonsuzluğu sonlu bir sayıyla çarpmaya çalışalım:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.
Yine, sıfır antipodunun sonlu sayıları absorbe ettiği gibi, sonsuzluk da sonlu bir sayıyı absorbe etti, aynı kara delik:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.
Ayrıca derecelerin güce benzediği de ortaya çıktı. Onlar. İkinci derecenin sıfırı normal sıfırdan (birinci derecenin 0^1) daha güçlüdür. Ve sonsuzluk eksi ikinci derece sıradan sonsuzluktan (0^-1) daha güçlüdür.
Ve boşluk mutlakla çarpıştığında güçlerini ölçerler; kim daha fazlasına sahipse o kazanır:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.
Eğer güçleri eşitse yok olurlar ve geriye sonlu bir dünya kalır:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.
Bu arada, resmi matematik zaten yakında. Temsilcileri, "kutupları" ve kutupların farklı güçlere (sıralara) sahip olduğunu ve ayrıca "k sırasının sıfırını" biliyor. Ama yine de "yanındaki" katı yüzeyi ayaklar altına alıyorlar ve bir kara deliğe atlamaktan korkuyorlar.
Ve benim için sonuncusu rüyaların üçüncü seviyesidir. Örneğin, tüm bu 0^-1 ve 0^-2, farklı güçlerdeki sonsuzluklardır. Veya 0^1, 0^2 - farklı güçlerdeki sıfırlar. Ancak "-1" ve "-2" ve "+1" ve "+2" - hepsi bu - 0/0, 0^0'a eşit, zaten geçti. Görünüşe göre bu seviyedeki rüyalardan ne oldukları önemli değil; sıfırlar, sonsuzluklar ve hatta sonlu dünya bile oraya bir miktar aydınlanmayla ulaşıyor. Bir noktaya kadar. Tek kategoride. Bu mutluluğa Tekillik denir.
İtiraf etmeliyim ki, aydınlanma durumu dışında tek bir noktayı değil, tek bir kategoriyi gözlemliyorum - "0^0 U 0^(0^0)" birliği - oldukça eksiksiz.
Bütün bunlardan ne gibi faydalar elde edilebilir? Sonuçta, Hata = √-1'de hesap makinelerini parçalayan biraz daha az çılgın "hayali sayılar" bile resmi matematik haline gelebildi ve artık çelik üretimi hesaplamalarını basitleştirdi.
Tıpkı bir ağacın yapraklarının uzaktan aynı görünmesi gibi ama daha yakından bakıldığında hepsinin farklı olduğu görülür. Ve eğer düşünürseniz, yine aynılar. Ve senden ya da benden pek farklı değil. Daha doğrusu, dikkatli düşünürseniz hiç de farklı değiller.
Buradaki fayda hem farklılıklara hem de soyuta odaklanabilme yeteneğidir. Bu, işte, yaşamda ve hatta ölümle ilgili olarak çok faydalıdır.
Tavşan deliğine ne güzel bir yolculuktu Sonya!
Yükleniyor...