irrasyonel sayı- o gerçek Numara rasyonel olmayan, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilemez. İrrasyonel bir sayı, tekrar etmeyen sonsuz bir ondalık sayı olarak temsil edilebilir.
İrrasyonel sayılar kümesi, genellikle koyu ve gölgeli bir Latince büyük harfle gösterilir. Böylece: , yani irrasyonel sayılar kümesi reel ve rasyonel sayılar kümelerinin farkı.
İrrasyonel sayıların varlığı üzerine, daha doğrusu Birim uzunluktaki bir parçayla ölçülemeyen parçalar, eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, köşegenin ve karenin kenarının, sayının irrasyonelliğine eşdeğer olan ölçülemezliğini biliyorlardı.
Özellikler
- Herhangi bir gerçek sayı sonsuz ondalık kesir olarak yazılabilirken, irrasyonel sayılar ve sadece bunlar periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirler olarak yazılabilir.
- İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük ve üst sınıfta en küçük sayı olmayan rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind kesimlerini tanımlar.
- Her gerçek aşkın sayı irrasyoneldir.
- Her irrasyonel sayı ya cebirsel ya da aşkındır.
- İrrasyonel sayılar kümesi gerçek doğru üzerinde her yerde yoğundur: herhangi iki sayı arasında bir irrasyonel sayı vardır.
- İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya eşbiçimlidir.
- İrrasyonel sayılar kümesi sayılamaz, ikinci kategorinin bir kümesidir.
Örnekler
| İrrasyonel sayılar - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
İrrasyonel:
Mantıksızlık Kanıt Örnekleri
2'nin kökü
Aksini varsayın: rasyoneldir, yani indirgenemez bir kesir olarak temsil edilir, burada bir tam sayıdır ve doğal bir sayıdır. Sözde eşitliğin karesini alalım:
.Bundan bile, bu nedenle, hatta ve . Bütün nerede olsun. O zamanlar
Bu nedenle, hatta, bu nedenle, hatta ve . Kesirin indirgenemezliğiyle çelişen bunu elde ettik ve eşittir. Bu nedenle, orijinal varsayım yanlıştı ve irrasyonel bir sayıdır.
3 sayısının ikili logaritması
Aksini varsayın: rasyoneldir, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilir. , ve pozitif alınabilir. O zamanlar
Ama açık, garip. Bir çelişki elde ederiz.
e
Öykü
İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manawa'nın (MÖ 750 - MÖ 690), 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemediğini bulduğunda, Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi.
İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bu kanıtı bir pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek bulan bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu; bu, herhangi bir segmente dahil edilen tamsayı sayısıdır. Ancak Hippasus, tek bir uzunluk birimi olmadığını, çünkü varlığının varsayımının bir çelişkiye yol açtığını savundu. Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü bir tamsayı birim parçası içeriyorsa, bu sayının aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiğini gösterdi. Kanıt şöyle görünüyordu:
- Hipotenüsün uzunluğunun bir ikizkenar dik üçgenin bacak uzunluğuna oranı şu şekilde ifade edilebilir: a:B, nerede a ve B mümkün olan en küçük olarak seçilmiştir.
- Pisagor teoremine göre: a² = 2 B².
- Çünkü a² hatta, açift olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olacaktır).
- kadarıyla a:B indirgenemez B tuhaf olmalı.
- Çünkü a hatta, belirtmek a = 2y.
- O zamanlar a² = 4 y² = 2 B².
- B² = 2 y², bu nedenle B eşit, o zaman B Bile.
- Ancak kanıtlandı ki B garip. çelişki.
Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdı. alogolar(ifade edilemez), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygı gösterilmedi. Hippasus'un bir deniz yolculuğunda keşfi yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve oranlarına indirgenebileceği doktrini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane var. " Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve birbirinden ayrılamaz olduğu varsayımını yok etti.
İrrasyonel sayılar eski zamanlardan beri insanlar tarafından bilinmektedir. Çağımızdan birkaç yüzyıl önce, Hintli matematikçi Manava, bazı sayıların (örneğin, 2) kareköklerinin açıkça ifade edilemeyeceğini keşfetti.
Bu makale, "İrrasyonel sayılar" konusundaki bir tür giriş dersidir. İrrasyonel sayıların tanımını ve örneklerini bir açıklama ile vereceğiz ve ayrıca verilen bir sayının irrasyonel olup olmadığını nasıl belirleyeceğimizi öğreneceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
İrrasyonel sayılar. Tanım
"İrrasyonel sayılar" adının kendisi bize bir tanım öneriyor gibi görünüyor. İrrasyonel sayı, rasyonel olmayan gerçek bir sayıdır. Başka bir deyişle, böyle bir sayı, m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu bir mn kesri olarak temsil edilemez.
Tanım. İrrasyonel sayılar
İrrasyonel sayılar, ondalık gösterimde sonsuz tekrarlanmayan ondalık kesirler olan sayılardır.
İrrasyonel bir sayı, sonsuz periyodik olmayan bir kesir olarak temsil edilebilir. İrrasyonel sayılar kümesi $I$ ile gösterilir ve şuna eşittir: $I=R / Q$ .
Örneğin. İrrasyonel sayılar:
İrrasyonel sayılarla ilgili işlemler
İrrasyonel sayılar kümesinde dört temel aritmetik işlem tanıtılabilir: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme; ancak listelenen işlemlerin hiçbiri için irrasyonel sayılar kümesi kapatma özelliğine sahip değildir. Örneğin iki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.
Örneğin. 0,1010010001 $ \ldots$ ve $0,0101101110 \ldots$ olan iki irrasyonel sayının toplamını bulun. Bu sayıların ilki, sırasıyla bir sıfır, iki sıfır, üç sıfır vb. ile ayrılmış bir birler dizisinden, ikincisi - aralarında bir, iki bir, üç bir vb. yerleştirildiler:
$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Böylece, verilen iki irrasyonel sayının toplamı, rasyonel olan $\frac(1)(9)$ sayısıdır.
Örnek
Egzersiz yapmak.$\sqrt(3)$ sayısının irrasyonel olduğunu kanıtlayın.
Kanıt.Çelişki ile ispat yöntemini kullanacağız. $\sqrt(3)$'ın bir rasyonel sayı olduğunu, yani $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ kesri olarak temsil edilebileceğini varsayalım, burada $m$ ve $n$ asal doğal sayılar.
Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
3$\cdot n^(2)$ sayısı 3'e bölünebilir. Bu nedenle $m^(2)$ ve dolayısıyla $m$ 3'e bölünebilir. $m=3 \cdot k$ koyarak, 3 $ \cdot eşitliği n^ (2)=m^(2)$ şu şekilde yazılabilir:
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Son eşitlikten, $n^(2)$ ve $n$'ın 3'e bölünebildiği sonucu çıkar, bu nedenle $\frac(m)(n)$ kesri 3'e indirgenebilir. Ancak varsayıma göre, $\ kesri frac(m)(n)$ indirgenemez. Ortaya çıkan çelişki, $\sqrt(3)$ sayısının bir $\frac(m)(n)$ kesri olarak gösterilemeyeceğini ve bu nedenle irrasyonel olduğunu kanıtlar.
Q.E.D.
Tüm rasyonel sayılar ortak bir kesir olarak temsil edilebilir. Bu, tam sayılar (örneğin, 12, -6, 0) ve son ondalık kesirler (örneğin, 0,5; -3.8921) ve sonsuz periyodik ondalık kesirler (örneğin, 0.11(23); -3 ,(87) için geçerlidir. )).
Ancak sonsuz yinelenmeyen ondalık sayılar adi kesirler olarak gösterilemez. Onlar budur irrasyonel sayılar(yani mantıksız). Böyle bir sayının bir örneği, yaklaşık olarak 3.14'e eşit olan π'dir. Bununla birlikte, tam olarak neye eşit olduğu belirlenemez, çünkü 4 sayısından sonra tekrar eden periyotların ayırt edilemediği sonsuz bir başka sayılar dizisi vardır. Aynı zamanda π sayısı tam olarak ifade edilemese de belirli bir geometrik anlamı vardır. π sayısı, herhangi bir dairenin uzunluğunun çapının uzunluğuna oranıdır. Doğada rasyonel sayılar gibi irrasyonel sayılar da vardır.
İrrasyonel sayılara başka bir örnek, pozitif sayıların kare kökleridir. Bazı sayılardan kök çıkarmak, diğerlerinden rasyonel değerler verir - irrasyonel. Örneğin, √4 = 2, yani 4'ün kökü bir rasyonel sayıdır. Ancak √2, √5, √7 ve diğerleri irrasyonel sayılarla sonuçlanır, yani yalnızca belirli bir ondalık basamağa yuvarlanmış bir yaklaşıklık ile çıkarılabilirler. Bu durumda, kesir periyodik olmayan elde edilir. Yani bu sayıların kökünün ne olduğunu tam ve kesin olarak söylemek mümkün değildir.
Yani √5, √4 = 2 ve √9 = 3 olduğundan, 2 ile 3 arasında bir sayıdır. √5. Gerçekten de, √5 ≈ 2.23 veya √5 ≈ 2.24.
İrrasyonel sayılar diğer hesaplamalarda da elde edilir (ve sadece kök çıkarırken değil), negatiftirler.
İrrasyonel sayılarla ilgili olarak, böyle bir sayı ile ifade edilen uzunluğu ölçmek için hangi birim segmenti alırsak alalım, kesin olarak ölçemeyeceğimizi söyleyebiliriz.
Aritmetik işlemlerde, rasyonel sayılarla birlikte irrasyonel sayılar da katılabilir. Aynı zamanda, bir dizi düzenlilik vardır. Örneğin, bir aritmetik işlemde yalnızca rasyonel sayılar varsa, sonuç her zaman bir rasyonel sayıdır. İşleme sadece irrasyonel olanlar katılırsa, rasyonel veya irrasyonel bir sayının ortaya çıkıp çıkmayacağını kesin olarak söylemek imkansızdır.
Örneğin, iki irrasyonel sayıyı √2 * √2 ile çarparsanız, 2 elde edersiniz - bu bir rasyonel sayıdır. Öte yandan, √2 * √3 = √6 irrasyonel bir sayıdır.
Bir aritmetik işlem bir rasyonel ve bir irrasyonel sayı içeriyorsa, o zaman irrasyonel bir sonuç elde edilecektir. Örneğin, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 - 4.
√17 - 4 neden irrasyonel bir sayıdır? Bir rasyonel sayı x elde ettiğinizi hayal edin. O zaman √17 = x + 4. Ama x + 4 bir rasyonel sayıdır, çünkü x'in rasyonel olduğunu varsaydık. 4 sayısı da rasyoneldir, yani x + 4 rasyoneldir. Ancak bir rasyonel sayı irrasyonel sayı √17'ye eşit olamaz. Bu nedenle, √17 - 4'ün rasyonel bir sonuç verdiği varsayımı yanlıştır. Bir aritmetik işlemin sonucu irrasyonel olacaktır.
Ancak bu kuralın bir istisnası vardır. Bir irrasyonel sayıyı 0 ile çarparsak 0 rasyonel sayı elde ederiz.
İrrasyonel bir sayının tanımı
İrrasyonel sayılar, ondalık gösterimde sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirler olan sayılardır.
Yani örneğin doğal sayıların karekökü alınarak elde edilen sayılar irrasyoneldir ve doğal sayıların karesi değildir. Ancak tüm irrasyonel sayılar karekökleri çıkararak elde edilmez, çünkü bölerek elde edilen "pi" sayısı da irrasyoneldir ve doğal bir sayıdan karekök çıkarmaya çalışırken bunu elde etmeniz pek olası değildir.
İrrasyonel sayıların özellikleri
Sonsuz ondalık kesirlerde yazılan sayıların aksine, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlerde yalnızca irrasyonel sayılar yazılır.
Negatif olmayan iki irrasyonel sayının toplamı sonunda bir rasyonel sayı olabilir.
İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük sayı olmayan, üst sınıfta daha küçük olmayan rasyonel sayılar kümesinde Dedekind bölümleri tanımlar.
Herhangi bir gerçek aşkın sayı irrasyoneldir.
Tüm irrasyonel sayılar ya cebirsel ya da aşkındır.
Doğru üzerindeki irrasyonel sayılar kümesi yoğun bir şekilde paketlenmiştir ve bu sayıların herhangi ikisi arasında bir irrasyonel sayı olması zorunludur.
İrrasyonel sayılar kümesi sonsuzdur, sayılamaz ve 2. kategorinin bir kümesidir.
Rasyonel sayılar üzerinde 0'a bölme dışında herhangi bir aritmetik işlem yapıldığında sonucu bir rasyonel sayı olacaktır.
Bir irrasyonel sayıya bir rasyonel sayı eklerken sonuç her zaman irrasyonel bir sayıdır.
İrrasyonel sayıları toplarken sonuç olarak rasyonel bir sayı elde edebiliriz.
İrrasyonel sayılar kümesi çift değildir.
Rakamlar irrasyonel değildir
Bazen bir sayının irrasyonel olup olmadığı sorusunu cevaplamak, özellikle sayının ondalık kesir şeklinde veya sayısal bir ifade, kök veya logaritma şeklinde olduğu durumlarda oldukça zordur.
Bu nedenle, hangi sayıların irrasyonel olmadığını bilmek gereksiz olmayacaktır. İrrasyonel sayıların tanımını takip edersek, rasyonel sayıların irrasyonel olamayacağını zaten biliyoruz.
İrrasyonel sayılar değildir:
Öncelikle tüm doğal sayılar;
İkincisi, tamsayılar;
Üçüncüsü, adi kesirler;
Dördüncüsü, farklı karışık sayılar;
Beşincisi, bunlar sonsuz periyodik ondalık kesirler.
Yukarıdakilerin tümüne ek olarak, +, -, , : gibi aritmetik işlemlerin işaretleri ile gerçekleştirilen herhangi bir rasyonel sayı kombinasyonu irrasyonel sayı olamaz, çünkü bu durumda iki rasyonel sayının sonucu da olacaktır. rasyonel sayı olsun.
Şimdi hangi sayıların irrasyonel olduğuna bakalım:
Bu gizemli matematiksel fenomenin hayranlarının Pi hakkında daha fazla bilgi aradığı ve gizemini çözmeye çalıştığı bir hayran kulübünün varlığından haberiniz var mı? Ondalık noktadan sonra belirli sayıda Pi sayısını ezbere bilen herkes bu kulübe üye olabilir;
Almanya'da UNESCO'nun koruması altında, orantıları sayesinde Pi'yi hesaplayabileceğiniz Castadel Monte sarayı olduğunu biliyor muydunuz? Kral II. Frederick tarafından bütün bir saray bu sayıya adanmıştır.
Babil Kulesi'nin yapımında Pi sayısını kullanmaya çalıştıkları ortaya çıktı. Ancak büyük üzüntümüz için bu, projenin çökmesine yol açtı, çünkü o zamanlar Pi'nin tam hesaplaması yeterince çalışılmamıştı.
Şarkıcı Kate Bush, yeni diskinde, ünlü sayı serisi 3, 141'den yüz yirmi dört sayının ses çıkardığı "Pi" adlı bir şarkı kaydetti ... ..
Yükleniyor...