Öğrenciler geometri çalışmadan çok önce piramit kavramıyla karşılaşırlar. Arıza, dünyanın ünlü büyük Mısır harikalarında yatıyor. Bu nedenle, bu harika çokyüzlüyü incelemeye başladığınızda çoğu öğrenci bunu zaten açıkça hayal ediyor. Yukarıda belirtilen tüm cazibe merkezleri doğru şekle sahiptir. Ne oldu düzenli piramit ve hangi özelliklere sahip olduğu daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Temas halinde

Tanım

Piramidin pek çok tanımı vardır. Antik çağlardan beri çok popüler olmuştur.

Örneğin Öklid onu, birden başlayarak belirli bir noktada birleşen düzlemlerden oluşan bedensel bir figür olarak tanımladı.

Heron daha kesin bir formülasyon sağladı. Bu rakamın bu olduğunu vurguladı üçgen şeklinde bir tabanı ve düzlemleri vardır, bir noktada birleşiyor.

Güvenen modern yorum piramit belirli bir k-gon ve k düz figürden oluşan uzaysal bir çokyüzlü olarak temsil edilir üçgen şekli, ortak bir noktası var.

Daha ayrıntılı olarak bakalım, hangi unsurlardan oluşur:

K-gon, şeklin temeli olarak kabul edilir;
Yan kısmın kenarları olarak 3gen şekiller çıkıntı yapar;
yan elemanların çıktığı üst kısma tepe adı verilir;
bir köşeyi bağlayan tüm bölümlere kenarlar denir;
düz bir çizgi tepe noktasından şeklin düzlemine 90 derecelik bir açıyla indirilirse, iç boşlukta bulunan kısmı piramidin yüksekliğidir;
herhangi bir yanal elemanda, çokyüzlümüzün kenarına apothem adı verilen bir dik çizilebilir.

Kenar sayısı 2*k formülü kullanılarak hesaplanır; burada k, k-gonunun kenar sayısıdır. Piramit gibi bir çokyüzlünün kaç yüzü olduğu k+1 ifadesi kullanılarak belirlenebilir.

Önemli! Düzenli şekilli bir piramit, taban düzlemi eşit kenarları olan bir k-gon olan stereometrik bir şekildir.

Temel özellikler

Doğru piramit birçok özelliği var, bunlar ona özgüdür. Bunları listeleyelim:

Temel, doğru şeklin bir figürüdür.
Piramidin yan elemanları sınırlayan kenarları eşit sayısal değerlere sahiptir.
Yan elemanlar ikizkenar üçgenlerdir.
Şeklin yüksekliğinin tabanı çokgenin merkezine düşerken, aynı zamanda yazılı ve çevrelenenin de merkezi noktasıdır.
Tüm yan kaburgalar taban düzlemine aynı açıda eğimlidir.
Tüm yan yüzeyler tabana göre aynı eğim açısına sahiptir.

Listelenen tüm özellikler sayesinde eleman hesaplamaları yapmak çok daha kolaydır. Yukarıdaki özelliklere dayanarak şunlara dikkat ediyoruz: iki işaret:

Çokgenin bir daireye sığması durumunda, yan yüzlerin tabanı olacaktır. eşit açılar.
Bir çokgenin etrafında bir daire tarif ederken, piramidin tepe noktasından çıkan tüm kenarları eşit uzunluklara ve tabanla eşit açılara sahip olacaktır.

Temel bir karedir

Düzenli dörtgen piramit - tabanı kare olan çokyüzlü.

Görünüşte ikizkenar olan dört yan yüzü vardır.

Bir kare bir düzlem üzerinde tasvir edilmiştir, ancak normal bir dörtgenin tüm özelliklerine dayanmaktadır.

Örneğin, bir karenin kenarını köşegeniyle ilişkilendirmek gerekiyorsa, aşağıdaki formülü kullanın: köşegen, karenin kenarının çarpımına ve ikinin kareköküne eşittir.

Düzenli bir üçgene dayanmaktadır

Doğru Üçgen piramit– tabanı düzenli 3-gon olan bir çokyüzlü.

Taban normal bir üçgen ise ve yan kenarlar tabanın kenarlarına eşitse, o zaman böyle bir şekil tetrahedron denir.

Bir tetrahedronun tüm yüzleri eşkenar 3-gondur. İÇİNDE bu durumda Hesaplama yaparken bazı noktaları bilmeniz ve bunlarla zaman kaybetmemeniz gerekir:

kaburgaların herhangi bir tabana eğim açısı 60 derecedir;
tüm iç yüzlerin boyutu da 60 derecedir;
herhangi bir yüz temel görevi görebilir;
Şeklin içine çizilenler eşit elemanlardır.

Bir çok yüzlünün bölümleri

Herhangi bir çokyüzlüde vardır çeşitli bölüm türleri düz. Genellikle bir okul geometri dersinde iki kişiyle çalışırlar:

eksenel;
temele paraleldir.

Bir çokyüzlünün tepe noktasından, yan kenarlardan ve eksenden geçen bir düzlemle kesişmesiyle eksenel bir kesit elde edilir. Bu durumda eksen tepe noktasından çizilen yüksekliktir. Kesme düzlemi tüm yüzlerin kesişme çizgileriyle sınırlanır ve bu da bir üçgen oluşturur.

Dikkat! Düzenli bir piramitte eksenel bölüm bir ikizkenar üçgendir.

Kesme düzlemi tabana paralel gidiyorsa sonuç ikinci seçenektir. Bu durumda tabana benzer bir kesit şeklimiz var.

Örneğin, tabanda bir kare varsa, tabana paralel olan bölüm de yalnızca daha küçük boyutlarda bir kare olacaktır.

Bu durumdaki problemleri çözerken şekillerin benzerlik işaretlerini ve özelliklerini kullanırlar, Thales teoremine dayanarak. Öncelikle benzerlik katsayısının belirlenmesi gerekmektedir.

Düzlem tabana paralel çizilirse ve kesilirse Üst kısmıçokyüzlü, daha sonra alt kısımda düzenli bir kesik piramit elde edilir. O halde kesik bir çokyüzlünün tabanlarının benzer çokgenler olduğu söylenir. Bu durumda yan yüzler ikizkenar yamuklardır. Eksenel bölüm de ikizkenardır.

Kesik bir çokyüzlünün yüksekliğini belirlemek için, yüksekliğin eksenel bölümde yani yamukta çizilmesi gerekir.

Yüzey alanları

Bir okul geometri dersinde çözülmesi gereken temel geometrik problemler şunlardır: Piramidin yüzey alanını ve hacmini bulma.

İki tür yüzey alanı değeri vardır:

yan elemanların alanı;
tüm yüzeyin alanı.

Adından da neyden bahsettiğimiz anlaşılıyor. Yan yüzey yalnızca yan elemanları içerir. Bundan, onu bulmak için yan düzlemlerin alanlarını, yani ikizkenar 3-gon alanlarını toplamanız gerektiği sonucu çıkar. Yan elemanların alanı için formülü türetmeye çalışalım:

Bir ikizkenar 3-gon'un alanı Str=1/2(aL), burada a tabanın kenarı, L ise apothemdir.
Yan düzlemlerin sayısı tabandaki k-gon tipine bağlıdır. Örneğin, düzenli bir dörtgen piramidin dört yanal düzlemi vardır. Bu nedenle dört rakamlı alanların alanlarını toplamak gerekir Skenar=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. İfade bu şekilde basitleştirilmiştir çünkü değer 4a = Rosn'dir, burada Rosn tabanın çevresidir. Ve 1/2*Rosn ifadesi onun yarı çevresidir.
Yani, yan elemanların alanının olduğu sonucuna vardık düzenli piramit tabanın yarı çevresi ile apothemin çarpımına eşittir: Sside=Rosn*L.

Piramidin toplam yüzeyinin alanı, yan düzlemlerin ve tabanın alanlarının toplamından oluşur: Sp.p. = Sside + Sbas.

Tabanın alanına gelince, burada çokgenin türüne göre formül kullanılıyor.

Düzenli bir piramidin hacmi taban düzleminin alanı ile yüksekliğin çarpımının üçe bölünmesine eşittir: V=1/3*Sbas*H, burada H çokyüzlünün yüksekliğidir.

Geometride düzenli piramit nedir

Düzenli bir dörtgen piramidin özellikleri

Piramit. Kesilmiş piramit

Piramit yüzlerinden biri çokgen olan bir çokyüzlüdür ( temel ) ve diğer tüm yüzler ortak bir köşe noktasına sahip üçgenlerdir ( yan yüzler ) (Şek. 15). Piramit denir doğru tabanı düzenli bir çokgen ise ve piramidin tepesi tabanın ortasına doğru çıkıntı yapıyorsa (Şekil 16). Tüm kenarları eşit olan üçgen piramit denir dörtyüzlü .

Yan kaburga Bir piramidin yan yüzünün tabana ait olmayan tarafı Yükseklik piramit, tepesinden taban düzlemine kadar olan mesafedir. Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları birbirine eşittir, tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Düzgün bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliğine ne denir? özlü söz . Çapraz bölüm Aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzleme piramidin kesiti denir.

Yan yüzey alanı piramit tüm yan yüzlerin alanlarının toplamıdır. Toplam yüzey alanı tüm yan yüzlerin ve tabanın alanlarının toplamına denir.

Teoremler

1. Bir piramitte tüm yan kenarlar taban düzlemine eşit olarak eğimliyse, piramidin tepesi tabanın yakınında çevrelenen dairenin merkezine yansıtılır.

2. Bir piramidin tüm yan kenarları eşit uzunluklara sahipse, piramidin tepesi, tabanın yakınında çevrelenen bir dairenin merkezine yansıtılır.

3. Bir piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit eğimliyse, piramidin tepesi tabanda yazılı bir dairenin merkezine yansıtılır.

Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için doğru formül şöyledir:

Nerede V- hacim;

S tabanı– üs alanı;

H– piramidin yüksekliği.

Düzenli bir piramit için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede P– taban çevresi;

ha bir– özlü söz;

H- yükseklik;

S dolu

S tarafı

S tabanı– üs alanı;

V– düzenli bir piramidin hacmi.

Kesilmiş piramit piramidin taban ile piramidin tabanına paralel bir kesme düzlemi arasında kalan kısmına denir (Şekil 17). Düzenli kesik piramit Düzenli bir piramidin taban ile piramidin tabanına paralel kesme düzlemi arasında kalan kısmına denir.

Gerekçeler kesik piramit - benzer çokgenler. Yan yüzler – yamuklar. Yükseklik Kesik bir piramidin tabanları arasındaki mesafedir. Diyagonal kesik bir piramit, aynı yüzde yer almayan köşelerini birleştiren bir bölümdür. Çapraz bölüm kesik piramidin aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen bir düzlemle kesitidir.

Kesik bir piramit için aşağıdaki formüller geçerlidir:

(4)

Nerede S 1 , S 2 – üst ve alt tabanların alanları;

S dolu- toplam yüzey alanı;

S tarafı– yan yüzey alanı;

H- yükseklik;

V– kesik bir piramidin hacmi.

Düzenli bir kesik piramit için formül doğrudur:

Nerede P 1 , P 2 – tabanların çevreleri;

ha bir– düzenli kesik piramidin özeti.

Örnek 1. Düzenli bir üçgen piramitte tabandaki dihedral açı 60°'dir. Yan kenarın eğim açısının taban düzlemine teğetini bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 18).

Piramit doğrudur, yani tabandadır eşkenar üçgen ve tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Tabandaki dihedral açı, piramidin yan yüzünün taban düzlemine eğim açısıdır. Doğrusal açı açıdır A iki dik arasında: vb. Piramidin tepesi üçgenin merkezine (çevrel dairenin merkezi ve üçgenin yazılı dairesi) yansıtılır. ABC). Yan kenarın eğim açısı (örneğin S.B.) kenarın kendisi ile taban düzlemine izdüşümü arasındaki açıdır. Kaburga için S.B. bu açı açı olacak SBD. Teğeti bulmak için bacakları bilmeniz gerekir BU YÜZDEN Ve O.B.. Segmentin uzunluğuna izin verin BD 3'e eşittir A. Nokta HAKKINDAçizgi segmenti BD parçalara ayrılmıştır: ve Bulduğumuz yerden BU YÜZDEN: Şunu buluyoruz:

Cevap:

Örnek 2. Tabanlarının köşegenleri cm ve cm'ye eşit ve yüksekliği 4 cm ise düzgün kesik dörtgen piramidin hacmini bulun.

Çözüm. Kesik bir piramidin hacmini bulmak için formül (4)'ü kullanırız. Tabanların alanını bulmak için taban karelerinin köşegenlerini bilerek kenarlarını bulmanız gerekir. Tabanların kenarları sırasıyla 2 cm ve 8 cm'ye eşittir Bu, tabanların alanları anlamına gelir ve Tüm verileri formülde yerine koyarak kesik piramidin hacmini hesaplarız:

Cevap: 112 cm3.

Örnek 3. Tabanlarının kenarları 10 cm ve 4 cm, piramidin yüksekliği 2 cm olan düzgün üçgen kesik piramidin yan yüzünün alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 19).

Bu piramidin yan yüzü ikizkenar yamuktur. Bir yamuğun alanını hesaplamak için tabanını ve yüksekliğini bilmeniz gerekir. Tabanlar duruma göre verilir, sadece yüksekliği bilinmez. Onu nereden bulacağız A 1 e bir noktadan dik A 1 alt taban düzleminde, A 1 D– itibaren dik A başına 1 AC. A 1 e= 2 cm, çünkü bu piramidin yüksekliğidir. Bulmak AlmanyaÜstten görünümü gösteren ek bir çizim yapalım (Şek. 20). Nokta HAKKINDA– üst ve alt tabanların merkezlerinin projeksiyonu. o zamandan beri (bkz. Şekil 20) ve Öte yandan TAMAM– dairenin içine yazılan yarıçap ve OM– bir daire içine yazılan yarıçap:

MK = DE.

Pisagor teoremine göre

Yan yüz alanı:

Cevap:

Örnek 4. Piramidin tabanında ikizkenar bir yamuk bulunur; tabanları A Ve B (A> B). Her bir yan yüz, piramidin taban düzlemine eşit bir açı oluşturur J. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 21). Piramidin toplam yüzey alanı SABCD alanların toplamına ve yamuğun alanına eşit ABCD.

Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, tepe noktasının tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılacağı ifadesini kullanalım. Nokta HAKKINDA– köşe projeksiyonu S piramidin tabanında. Üçgen SODüçgenin dik izdüşümüdür CSD tabanın düzlemine. Düzlemsel bir şeklin ortogonal izdüşümü alanına ilişkin teoremi kullanarak şunu elde ederiz:

Aynı şekilde şu anlama gelir Böylece sorun yamuğun alanını bulmaya indirgendi ABCD. Bir yamuk çizelim ABCD ayrı ayrı (Şek. 22). Nokta HAKKINDA- yamuk içine yazılmış bir dairenin merkezi.

Bir daire yamuk içine yazılabildiğinden, o zaman veya Pisagor teoreminden elimizdeki

Bu video eğitimi, kullanıcıların Piramit teması hakkında fikir edinmelerine yardımcı olacaktır. Doğru piramit. Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız ve ona bir tanım vereceğiz. Düzenli bir piramidin ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu düşünelim. Daha sonra düzgün bir piramidin yan yüzeyi ile ilgili teoremi kanıtlıyoruz.

Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız ve ona bir tanım vereceğiz.

Bir çokgen düşünün bir 1 bir 2...Birα düzleminde yer alan ve nokta Pα düzleminde yer almayan (Şekil 1). Noktaları birleştirelim P zirvelerle Bir 1, Bir 2, Bir 3, … Bir. Aldık Nüçgenler: bir 1 bir 2 R, bir 2 bir 3 R ve benzeri.

Tanım. Çokyüzlü RA 1 A 2 ...A n, ondan yapılmış N-kare bir 1 bir 2...Bir Ve Nüçgenler RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n Bir n-1 denir N-kömür piramidi. Pirinç. 1.

Pirinç. 1

Dörtgen bir piramit düşünün PABCD(İncir. 2).

R- piramidin tepesi.

ABCD- piramidin tabanı.

RA- yan kaburga.

AB- taban kaburga.

noktadan R hadi dikeyi bırakalım RN taban düzlemine ABCD. Çizilen dikey piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 2

Piramidin tam yüzeyi yan yüzeyden, yani tüm yan yüzlerin alanından ve taban alanından oluşur:

S dolu = S tarafı + S ana

Aşağıdaki durumlarda bir piramit doğru olarak adlandırılır:

tabanı düzenli bir çokgendir;
piramidin tepesini tabanın merkezine bağlayan bölüm yüksekliğidir.

Düzenli dörtgen piramit örneğini kullanarak açıklama

Düzenli bir dörtgen piramit düşünün PABCD(Şek. 3).

R- piramidin tepesi. Piramidin tabanı ABCD- düzenli bir dörtgen, yani bir kare. Nokta HAKKINDA köşegenlerin kesişme noktası karenin merkezidir. Araç, RO piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 3

Açıklama: doğru N Bir üçgende, yazılı dairenin merkezi ile çevrel dairenin merkezi çakışır. Bu merkeze çokgenin merkezi denir. Bazen tepe noktasının merkeze yansıtıldığını söylerler.

Düzgün bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliğine ne denir? özlü söz ve belirlenmiş ha bir.

1. Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları eşittir;

2. Yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Düzenli dörtgen piramit örneğini kullanarak bu özelliklerin kanıtını vereceğiz.

Verilen: PABCD- düzenli dörtgen piramit,

ABCD- kare,

RO- piramidin yüksekliği.

Kanıtlamak:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Bkz. Şekil. 4.

Pirinç. 4

Kanıt.

RO- piramidin yüksekliği. Yani düz RO düzleme dik ABC ve bu nedenle doğrudan JSC, VO, SO Ve YAPMAK içinde yatıyor. Yani üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK- dikdörtgen.

Bir kare düşünün ABCD. Bir karenin özelliklerinden şu sonuç çıkar: AO = VO = CO = YAPMAK.

Daha sonra dik üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK bacak RO- genel ve bacaklar JSC, VO, SO Ve YAPMAK eşittir, yani bu üçgenlerin iki tarafı da eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden parçaların eşitliği çıkar, RA = PB = RS = PD. 1. nokta kanıtlandı.

Segmentler AB Ve Güneş aynı karenin kenarları oldukları için eşittirler, RA = PB = RS. Yani üçgenler AVR Ve VSR- ikizkenar ve üç tarafı eşittir.

Benzer şekilde üçgenleri buluyoruz ABP, VCP, CDP, DAP Paragraf 2'de kanıtlanması gerektiği gibi ikizkenar ve eşittir.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresi ile apothemin çarpımının yarısına eşittir:

Bunu kanıtlamak için düzgün bir üçgen piramit seçelim.

Verilen: RAV'lar- düzenli üçgen piramit.

AB = BC = AC.

RO- yükseklik.

Kanıtlamak: . Bkz. 5.

Pirinç. 5

Kanıt.

RAV'lar- düzenli üçgen piramit. Yani AB= AC = BC. İzin vermek HAKKINDA- üçgenin merkezi ABC, Daha sonra RO piramidin yüksekliğidir. Piramidin tabanında eşkenar üçgen bulunur ABC. dikkat et ki .

üçgenler RAV, RVS, RSA- eşit ikizkenar üçgenler (özelliğe göre). Üçgen piramidin üç yan yüzü vardır: RAV, RVS, RSA. Bu, piramidin yan yüzeyinin alanının şu şekilde olduğu anlamına gelir:

S tarafı = 3S RAW

Teorem kanıtlandı.

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanına yazılan dairenin yarıçapı 3 m, piramidin yüksekliği 4 m'dir Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Verilen: düzenli dörtgen piramit ABCD,

ABCD- kare,

R= 3m,

RO- piramidin yüksekliği,

RO= 4 m.

Bulmak: S tarafı. Bkz. 6.

Pirinç. 6

Çözüm.

Kanıtlanmış teoreme göre, .

Önce tabanın kenarını bulalım AB. Düzenli bir dörtgen piramidin tabanına yazılan dairenin yarıçapının 3 m olduğunu biliyoruz.

Sonra m.

Karenin çevresini bulun ABCD 6 m kenarlı:

Bir üçgen düşünün BCD. İzin vermek M- yanın ortası DC. Çünkü HAKKINDA- orta BD, O (M).

Üçgen DPC- ikizkenar. M- orta DC. Yani, RM- medyan ve dolayısıyla üçgendeki yükseklik DPC. Daha sonra RM- piramidin özeti.

RO- piramidin yüksekliği. Daha sonra düz RO düzleme dik ABC ve bu nedenle doğrudan OM, içinde yatıyor. Hadi özlü sözü bulalım RM itibaren dik üçgen ROM.

Artık piramidin yan yüzeyini bulabiliriz:

Cevap: 60 m2.

Düzenli bir üçgen piramidin tabanı etrafında çevrelenen dairenin yarıçapı m'ye eşittir, yan yüzey alanı 18 m2'dir. Apothemin uzunluğunu bulun.

Verilen: ABCP- düzenli üçgen piramit,

AB = BC = SA,

R= m,

S tarafı = 18 m2.

Bulmak: . Bkz. 7.

Pirinç. 7

Çözüm.

Bir dik üçgende ABCÇevreleyen dairenin yarıçapı verilmiştir. Hadi bir taraf bulalım AB Bu üçgen sinüs yasasını kullanarak.

Tarafı bilmek düzgün üçgen(m), çevresini bulalım.

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanına ilişkin teoreme göre, burada ha bir- piramidin özeti. Daha sonra:

Cevap: 4m.

Böylece piramidin ne olduğuna, düzenli piramidin ne olduğuna baktık ve düzenli piramidin yan yüzeyi hakkındaki teoremi kanıtladık. Bir sonraki derste kesik piramit ile tanışacağız.

Kaynakça

Geometri. 10-11. Sınıflar: öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları(temel ve profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.
Geometri. 10-11 sınıf: Genel eğitime yönelik ders kitabı Eğitim Kurumları/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s .: hasta.
Geometri. 10. Sınıf: Genel eğitim kurumları için matematik alanında derinlemesine ve uzmanlaşmış çalışma içeren ders kitabı /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. baskı, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: hasta.

İnternet portalı "Yaklass" ()
İnternet portalı "Festival pedagojik fikirler"Eylül ayının ilki" ()
İnternet portalı “Slideshare.net” ()

Ev ödevi

Düzenli bir çokgen düzensiz bir piramidin tabanı olabilir mi?
Düzgün bir piramidin ayrık kenarlarının birbirine dik olduğunu kanıtlayın.
Eğer piramidin öz uzunluğu tabanının kenarına eşitse, düzgün bir dörtgen piramidin tabanının kenarındaki dihedral açının değerini bulun.
RAV'lar- düzenli üçgen piramit. Piramidin tabanındaki dihedral açının doğrusal açısını oluşturun.

özlü söz- normal bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliği (ayrıca kısa çizgi, normal çokgenin ortasından yanlarından birine indirilen dik uzunluğun uzunluğudur);
yan yüzler (ASB, BSC, CSD, DSA) - tepe noktasında buluşan üçgenler;
yan kaburgalar ( GİBİ , B.S. , CS , D.S. ) — ortak yönler yan kenarlar;
piramidin tepesi (t.S) - yan kaburgaları birleştiren ve taban düzleminde yer almayan bir nokta;
yükseklik ( BU YÜZDEN ) - piramidin tepesinden tabanının düzlemine çizilen dikey bir bölüm (böyle bir bölümün uçları piramidin tepesi ve dikin tabanı olacaktır);
piramidin çapraz bölümü- piramidin üst kısmından ve tabanın köşegeninden geçen bir bölümü;
temel (ABCD) - piramidin tepe noktasına ait olmayan bir çokgen.

Piramidin özellikleri.

1. Tüm yan kenarlar aynı boyuta sahip olduğunda:

piramidin tabanına yakın bir daire tanımlamak kolaydır ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtılacaktır;
yan kaburgalar taban düzlemi ile eşit açılar oluşturur;
Üstelik bunun tersi de doğrudur; Yan kaburgalar taban düzlemi ile eşit açı oluşturduğunda veya piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabildiğinde ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine doğru yansıtıldığında, bu tüm yan kenarların olduğu anlamına gelir. piramidin boyutları aynı.

2. Yan yüzler taban düzlemine aynı değerde bir eğim açısına sahip olduğunda:

piramidin tabanına yakın bir daire tanımlamak kolaydır ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtılacaktır;
yan yüzlerin yükseklikleri eşit uzunluktadır;
yan yüzeyin alanı, tabanın çevresinin ve yan yüzün yüksekliğinin ½ çarpımına eşittir.

3. Piramidin tabanında çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokgen varsa, bir piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir (gerekli ve yeterli bir koşul). Kürenin merkezi, piramidin kendilerine dik kenarlarının ortasından geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır. Bu teoremden, bir kürenin hem herhangi bir üçgenin hem de herhangi bir düzenli piramidin etrafında tanımlanabileceği sonucuna varıyoruz.

4. Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri 1. noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli koşul) bir piramite küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacak.

En basit piramit.

Açı sayısına bağlı olarak piramidin tabanı üçgen, dörtgen vb. şeklinde ayrılır.

Bir piramit olacak üçgensel, dörtgen, vb., piramidin tabanı bir üçgen, bir dörtgen vb. olduğunda. Üçgen bir piramit bir tetrahedrondur - bir tetrahedron. Dörtgen - beşgen vb.

Tanım

Piramit bir çokgen \(A_1A_2...A_n\) ve \(n\) üçgenlerinden oluşan, ortak bir köşe noktası \(P\) (çokgenin düzleminde yer almayan) ve bunun karşısındaki kenarları olan ve şu şekilde çakışan bir çokyüzlüdür: çokgenin kenarları.
Tanım: \(PA_1A_2...A_n\) .
Örnek: beşgen piramit \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Üçgenler \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), vb. arandı yan yüzler piramitler, segmentler \(PA_1, PA_2\), vb. – yan kaburgalar, çokgen \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – temel, nokta \(P\) – tepe.

Yükseklik piramitler, piramidin tepesinden taban düzlemine doğru inen dik bir çizgidir.

Tabanında üçgen bulunan piramite denir dörtyüzlü.

Piramit denir doğru tabanı düzgün bir çokgen ise ve aşağıdaki koşullardan biri karşılanıyorsa:

\((a)\) piramidin yan kenarları eşittir;

\((b)\) piramidin yüksekliği tabanın yakınında çevrelenen dairenin merkezinden geçer;

\((c)\) yan kaburgalar taban düzlemine aynı açıda eğimlidir.

\((d)\) yan yüzler taban düzlemine aynı açıda eğimlidir.

Düzenli tetrahedron tüm yüzleri eşit eşkenar üçgen olan üçgen bir piramittir.

Teorem

\((a), (b), (c), (d)\) koşulları eşdeğerdir.

Kanıt

Piramidin yüksekliğini \(PH\) bulalım. Piramidin tabanının düzlemi \(\alpha\) olsun.

1) \((a)\)'dan \((b)\)'nin çıktığını kanıtlayalım. \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) olsun.

Çünkü \(PH\perp \alpha\), o zaman \(PH\) bu düzlemde uzanan herhangi bir çizgiye diktir, bu da üçgenlerin dik açılı olduğu anlamına gelir. Bu, bu üçgenlerin ortak kenarı \(PH\) ve hipotenüsün \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) eşit olduğu anlamına gelir. Bu, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) anlamına gelir. Bu, \(A_1, A_2, ..., A_n\) noktalarının \(H\) noktasından aynı uzaklıkta olduğu anlamına gelir, dolayısıyla \(A_1H\) yarıçapıyla aynı daire üzerinde bulunurlar. Bu daire, tanımı gereği \(A_1A_2...A_n\) çokgeni etrafında çevrelenmiştir.

2) \((b)\)'nin \((c)\) anlamına geldiğini kanıtlayalım.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) Dikdörtgen ve iki ayak üzerinde eşit. Bu, açılarının da eşit olduğu anlamına gelir, dolayısıyla \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) \((c)\)'nin \((a)\) anlamına geldiğini kanıtlayalım.

İlk noktaya benzer şekilde üçgenler \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hem bacak boyunca hem de dar açı boyunca dikdörtgendir. Bu, hipotenüslerinin de eşit olduğu anlamına gelir, yani \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) \((b)\)'nin \((d)\) anlamına geldiğini kanıtlayalım.

Çünkü düzgün bir çokgende çevrelenmiş ve yazılı dairelerin merkezleri çakışır (genel anlamda bu noktaya düzgün çokgenin merkezi denir), o zaman \(H\) yazılı dairenin merkezi olur. \(H\) noktasından tabanın kenarlarına dik çizgiler çizelim: \(HK_1, HK_2\), vb. Bunlar yazılı dairenin yarıçaplarıdır (tanım gereği). O halde, TTP'ye göre (\(PH\) düzleme diktir, \(HK_1, HK_2\), vb. kenarlara dik çıkıntılardır) eğimli \(PK_1, PK_2\), vb. \(A_1A_2, A_2A_3\), vb. kenarlara dik. sırasıyla. Yani tanım gereği \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) yan yüzler ile taban arasındaki açılara eşittir. Çünkü \(PK_1H, PK_2H, ...\) üçgenleri eşittir (iki tarafı dikdörtgen şeklinde), sonra açılar \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) eşittir.

5) \((d)\) öğesinin \((b)\) anlamına geldiğini kanıtlayalım.

Dördüncü noktaya benzer şekilde, \(PK_1H, PK_2H, ...\) üçgenleri eşittir (bacak boyunca dikdörtgen ve dar açı olarak), yani \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) doğru parçalarıdır. eşit. Bu, tanım gereği \(H\)'nin tabanda yazılı bir dairenin merkezi olduğu anlamına gelir. Ama çünkü Düzgün çokgenler için, yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri çakışır, bu durumda \(H\) çevrelenmiş dairenin merkezidir. Chtd.

Sonuçlar

Düzenli bir piramidin yan yüzleri eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Tanım

Düzgün bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliğine ne denir? özlü söz.
Düzenli bir piramidin tüm yan yüzlerinin özleri birbirine eşittir ve aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır.

Önemli notlar

1. Düzenli bir üçgen piramidin yüksekliği, tabanın (taban normal bir üçgendir) yüksekliklerinin (veya açıortaylarının veya ortancalarının) kesişme noktasına düşer.

2. Düzenli bir dörtgen piramidin yüksekliği, tabanın köşegenlerinin kesişme noktasına düşer (taban bir karedir).

3. Düzenli bir altıgen piramidin yüksekliği, tabanın köşegenlerinin kesişme noktasına düşer (taban normal bir altıgendir).

4. Piramidin yüksekliği tabanda uzanan herhangi bir düz çizgiye diktir.

Tanım

Piramit denir dikdörtgen yan kenarlarından biri taban düzlemine dik ise.

Önemli notlar

1. Dikdörtgen piramitte tabana dik olan kenar piramidin yüksekliğidir. Yani \(SR\) yüksekliktir.

2. Çünkü \(SR\) tabandan herhangi bir doğruya diktir, bu durumda \(\üçgen SRM, \üçgen SRP\)– dik üçgenler.

3. Üçgenler \(\üçgen SRN, \üçgen SRK\)- ayrıca dikdörtgen.
Yani bu kenarın oluşturduğu herhangi bir üçgen ve bu kenarın tabanda bulunan tepe noktasından çıkan köşegen dikdörtgen olacaktır.

\[(\Large(\text(Piramitin hacmi ve yüzey alanı))))\]

Teorem

Piramidin hacmi, taban alanı ile piramidin yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir: \

Sonuçlar

\(a\) tabanın kenarı, \(h\) piramidin yüksekliği olsun.

1. Düzenli üçgen piramidin hacmi \(V_(\text(sağ üçgen.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Düzenli bir dörtgen piramidin hacmi \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Düzgün altıgen piramidin hacmi \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Düzenli bir tetrahedronun hacmi \(V_(\text(right tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorem

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresi ile apothemin yarı ürününe eşittir.

\[(\Large(\text(Frustum))))\]

Tanım

Rastgele bir piramit \(PA_1A_2A_3...A_n\) düşünün. Piramidin yan kenarında bulunan belirli bir noktadan piramidin tabanına paralel bir düzlem çizelim. Bu düzlem piramidi iki çokyüzlüye bölecektir; bunlardan biri piramittir (\(PB_1B_2...B_n\)) ve diğeri denir. kesik piramit(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Kesik piramidin iki tabanı vardır - birbirine benzeyen çokgenler \(A_1A_2...A_n\) ve \(B_1B_2...B_n\).

Kesik bir piramidin yüksekliği, üst tabanın bir noktasından alt tabanın düzlemine çizilen bir diktir.

Önemli notlar

1. Kesik bir piramidin tüm yan yüzleri yamuktur.

2. Düzenli bir kesik piramidin (yani normal bir piramidin kesitiyle elde edilen bir piramidin) tabanlarının merkezlerini birleştiren segment yüksekliktir.