ما هو الشكل الذي نسميه الهرم؟ أولاً ، إنه متعدد السطوح. ثانيًا ، يوجد في قاعدة هذا متعدد السطوح مضلع عشوائي ، وتكون جوانب الهرم (الوجوه الجانبية) بالضرورة على شكل مثلثات تتقارب عند قمة مشتركة واحدة. الآن ، بعد أن تعاملنا مع هذا المصطلح ، دعنا نتعرف على كيفية إيجاد مساحة سطح الهرم.
من الواضح أن مساحة سطح مثل هذا الجسم الهندسي تتكون من مجموع مناطق القاعدة وسطحها الجانبي بالكامل.
حساب مساحة قاعدة الهرم
يعتمد اختيار صيغة الحساب على شكل المضلع الموجود في قاعدة الهرم. يمكن أن يكون صحيحًا ، أي مع جوانب من نفس الطول ، أو غير صحيح. دعنا نفكر في كلا الخيارين.
في القاعدة يوجد مضلع منتظم
من المقرر الدراسي معروف:
- مساحة المربع ستكون مساوية لطول ضلعها التربيعي ؛
- مساحة المثلث متساوي الأضلاع تساوي مربع ضلعه مقسومًا على 4 في الجذر التربيعي لثلاثة.
ولكن هناك أيضًا معادلة عامة لحساب مساحة أي مضلع منتظم (Sn): تحتاج إلى ضرب قيمة محيط هذا المضلع (P) في نصف قطر الدائرة المنقوشة فيه (r) ، و ثم قسّم النتيجة على اثنين: Sn = 1 / 2P * r.
القاعدة عبارة عن مضلع غير منتظم.
مخطط إيجاد مساحته هو تقسيم المضلع بأكمله أولاً إلى مثلثات ، وحساب مساحة كل منها باستخدام الصيغة: 1 / 2a * h (حيث a هي قاعدة المثلث ، h هي الارتفاع خفضت إلى هذه القاعدة) ، اجمع كل النتائج.
مساحة السطح الجانبية للهرم
الآن دعونا نحسب مساحة السطح الجانبي للهرم ، أي مجموع المساحات من جميع جوانبه. يوجد أيضًا خياران هنا.
- دعونا نحصل على هرم تعسفي ، أي واحد قاعدته مضلع غير منتظم. ثم يجب عليك حساب مساحة كل وجه بشكل منفصل وإضافة النتائج. نظرًا لأن جوانب الهرم ، بحكم التعريف ، يمكن أن تكون مثلثات فقط ، فإن الحساب يعتمد على الصيغة المذكورة أعلاه: S = 1 / 2a * h.
- ليكن هرمنا صحيحا أي. في قاعدته يوجد مضلع منتظم ، ويكون إسقاط قمة الهرم في مركزه. بعد ذلك ، لحساب مساحة السطح الجانبي (Sb) ، يكفي إيجاد نصف حاصل ضرب محيط المضلع الأساسي (P) وارتفاع (h) الضلع (نفس الشيء بالنسبة لجميع الوجوه) : Sb \ u003d 1/2 P * h. يتم تحديد محيط المضلع بجمع أطوال جميع جوانبه.
يمكن إيجاد مساحة السطح الإجمالية للهرم المنتظم بجمع مساحة قاعدته مع مساحة السطح الجانبي بأكمله.
أمثلة
على سبيل المثال ، دعنا نحسب جبريًا مساحة سطح عدة أهرامات.
مساحة سطح الهرم الثلاثي
في قاعدة هذا الهرم يوجد مثلث. وفقًا للصيغة So \ u003d 1 / 2a * h ، نجد مساحة القاعدة. نطبق نفس الصيغة لإيجاد مساحة كل وجه من أوجه الهرم ، التي لها أيضًا شكل مثلث ، ونحصل على 3 مناطق: S1 و S2 و S3. مساحة السطح الجانبي للهرم هي مجموع كل المناطق: Sb \ u003d S1 + S2 + S3. بإضافة مساحات الجوانب والقاعدة ، نحصل على المساحة الإجمالية للهرم المطلوب: Sp \ u003d So + Sb.
مساحة سطح هرم رباعي الزوايا
مساحة السطح الجانبية هي مجموع 4 شروط: Sb \ u003d S1 + S2 + S3 + S4 ، يتم حساب كل منها باستخدام صيغة مساحة المثلث. وسيتعين البحث عن مساحة القاعدة ، اعتمادًا على شكل رباعي الزوايا - صحيح أو غير منتظم. يتم الحصول على مساحة السطح الإجمالية للهرم مرة أخرى عن طريق إضافة مساحة القاعدة ومساحة السطح الإجمالية للهرم المحدد.
قبل دراسة الأسئلة حول هذا الشكل الهندسي وخصائصه ، من الضروري فهم بعض المصطلحات. عندما يسمع الإنسان عن الهرم ، فإنه يتخيل أبنية ضخمة في مصر. هذا ما تبدو عليه أبسطها. لكنها تأتي في أنواع وأشكال مختلفة ، مما يعني أن صيغة حساب الأشكال الهندسية ستكون مختلفة.
الهرم - شكل هندسي، للدلالة على وجوه متعددة. في الواقع ، هذا هو نفس متعدد السطوح ، حيث يوجد مضلع في قاعدته ، ويوجد على الجانبين مثلثات متصلة عند نقطة واحدة - الرأس. الشكل من نوعين رئيسيين:
- صيح؛
- مقطوع.
في الحالة الأولى ، القاعدة عبارة عن مضلع منتظم. هنا جميع الأسطح الجانبية متساويةبينهم وبين الشخصية نفسها سوف ترضي عين الكمال.
في الحالة الثانية ، توجد قاعدتان - واحدة كبيرة في الأسفل وأخرى صغيرة بين القمة ، تكرر شكل القاعدة الرئيسية. بمعنى آخر ، الهرم المقطوع عبارة عن متعدد السطوح بقسم موازٍ للقاعدة.
الشروط والتدوين
الشروط الأساسية:
- مثلث منتظم (متساوي الأضلاع)شكل بثلاث زوايا متطابقة وأضلاع متساوية. في هذه الحالة ، كل الزوايا قياسها 60 درجة. هذا الشكل هو أبسط الأشكال المتعددة السطوح المنتظمة. إذا كان هذا الشكل يقع في القاعدة ، فسيطلق على هذا الشكل متعدد السطوح الشكل المثلثي العادي. إذا كانت القاعدة مربعة ، فسيطلق على الهرم اسم هرم رباعي الزوايا منتظم.
- فيرتكس- أعلى نقطة حيث تلتقي الحواف. يتكون ارتفاع القمة من خط مستقيم ينطلق من أعلى الهرم إلى قاعدته.
- حافةهي إحدى مستويات المضلع. يمكن أن يكون على شكل مثلث في حالة الهرم الثلاثي ، أو في شكل شبه منحرف لهرم مقطوع.
- المقطع العرضي- شكل مسطح نتيجة للتشريح. لا يجب الخلط بينه وبين القسم ، حيث يظهر القسم أيضًا ما هو خلف القسم.
- Apothem- قطعة مرسوم من أعلى الهرم إلى قاعدته. إنه أيضًا ارتفاع الوجه حيث توجد نقطة الارتفاع الثانية. هذا التعريف صالح فقط بالنسبة إلى متعدد السطوح منتظم. على سبيل المثال - إذا لم يكن هرمًا مبتورًا ، فسيكون الوجه مثلثًا. في هذه الحالة ، سيصبح ارتفاع هذا المثلث حرجًا.
صيغ المنطقة
أوجد مساحة السطح الجانبي للهرميمكن عمل أي نوع بعدة طرق. إذا لم يكن الشكل متماثلًا وكان مضلعًا بجوانب مختلفة ، فمن الأسهل في هذه الحالة حساب مساحة السطح الإجمالية من خلال إجمالي جميع الأسطح. بمعنى آخر ، تحتاج إلى حساب مساحة كل وجه وإضافتهما معًا.
اعتمادًا على المعلمات المعروفة ، قد تكون هناك حاجة إلى صيغ لحساب مربع ، وشبه منحرف ، ومربع تعسفي ، وما إلى ذلك. الصيغ نفسها في حالات مختلفةسيكون مختلفًا أيضًا.
في حالة الشكل المنتظم ، يكون إيجاد المنطقة أسهل بكثير. يكفي معرفة عدد قليل من المعلمات الرئيسية. في معظم الحالات ، تكون الحسابات مطلوبة على وجه التحديد لهذه الأرقام. لذلك ، سيتم إعطاء الصيغ المقابلة أدناه. خلاف ذلك ، سوف تضطر إلى رسم كل شيء على عدة صفحات ، والتي لن تؤدي إلا إلى إرباكك وتشويشك.
الصيغة الأساسية للحسابستبدو مساحة السطح الجانبية للهرم المنتظم كما يلي:
S \ u003d ½ Pa (P هو محيط القاعدة ، وهو apothem)
دعنا نفكر في أحد الأمثلة. يحتوي متعدد السطوح على قاعدة مكونة من مقاطع A1 و A2 و A3 و A4 و A5 ، وكلها تساوي 10 سم. اجعل مساحة الفسيفساء تساوي 5 سم. تحتاج أولاً إلى إيجاد المحيط. نظرًا لأن جميع الوجوه الخمسة للقاعدة متشابهة ، فيمكن العثور عليها على النحو التالي: P \ u003d 5 * 10 \ u003d 50 سم. بعد ذلك ، نطبق الصيغة الأساسية: S \ u003d ½ * 50 * 5 \ u003d 125 سم مربع .
مساحة السطح الجانبي لهرم مثلثي منتظمأسهل حساب. تبدو الصيغة كما يلي:
S = ½ * ab * 3 ، حيث a هو apothem ، b هو وجه القاعدة. عامل ثلاثة هنا يعني عدد وجوه القاعدة ، والجزء الأول هو مساحة السطح الجانبي. تأمل في مثال. إذا أخذنا شكلًا طوله 5 سم ووجه قاعدته 8 سم ، نحسب: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 سم مربع.
مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوعيصعب حسابها قليلاً. تبدو الصيغة كالتالي: S \ u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a ، حيث p_01 و p_02 هي محيطات القواعد ، وهي apothem. تأمل في مثال. لنفترض ، بالنسبة لشكل رباعي الزوايا ، أن أبعاد جوانب القاعدة هي 3 و 6 سم ، وأن طول القاع هو 4 سم.
هنا ، بالنسبة للمبتدئين ، يجب أن تجد محيط القواعد: p_01 \ u003d 3 * 4 \ u003d 12 سم ؛ p_02 = 6 * 4 = 24 سم ويبقى استبدال القيم في الصيغة الرئيسية والحصول على: S = 1/2 * (12 + 24) * 4 = 0.5 * 36 * 4 = 72 سم تربيع.
وبالتالي ، من الممكن إيجاد مساحة السطح الجانبية لهرم منتظم بأي تعقيد. احرص على عدم الخلطهذه الحسابات مع المساحة الإجمالية لكامل متعدد السطوح. وإذا كنت لا تزال بحاجة إلى القيام بذلك ، فيكفي حساب مساحة أكبر قاعدة متعددة السطوح وإضافتها إلى مساحة السطح الجانبي لمتعدد الوجوه.
فيديو
لدمج المعلومات حول كيفية العثور على مساحة السطح الجانبي للأهرامات المختلفة ، سيساعدك هذا الفيديو.
لم تحصل على إجابة لسؤالك؟ اقترح موضوعا للمؤلفين.
المشاكل الهندسية النموذجية في المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد هي مشاكل تحديد مساحات السطح لأشكال مختلفة. في هذه المقالة ، نقدم صيغة مساحة السطح الجانبي لهرم رباعي الزوايا منتظم.
ما هو الهرم؟
دعونا نعطي تعريفًا هندسيًا صارمًا للهرم. افترض أن هناك بعض المضلعات مع n جوانب و n من الزوايا. نختار نقطة عشوائية في الفضاء لن تكون في مستوى n-gon المحدد ، ونوصلها بكل رأس من رأس المضلع. سوف نحصل على شكل له بعض الحجم ، والذي يسمى هرم n-gonal. على سبيل المثال ، دعنا نظهر في الشكل أدناه كيف يبدو الهرم الخماسي.
عنصران مهمان في أي هرم هما قاعدته (n-gon) والجزء العلوي. ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض من خلال n مثلثات ، والتي بشكل عام لا تساوي بعضها البعض. يُطلق على العمود العمودي الذي يتم إسقاطه من أعلى إلى القاعدة ارتفاع الشكل. إذا تقاطع مع القاعدة في المركز الهندسي (يتزامن مع مركز كتلة المضلع) ، فإن هذا الهرم يسمى بالخط المستقيم. بالإضافة إلى هذا الشرط ، إذا كانت القاعدة عبارة عن مضلع منتظم ، فإن الهرم بأكمله يسمى منتظم. يوضح الشكل أدناه شكل الأهرامات العادية مع قواعد مثلثة ورباعية وخماسية وسداسية.
سطح الهرم
قبل الانتقال إلى مسألة مساحة السطح الجانبي لهرم رباعي الزوايا منتظم ، ينبغي للمرء أن يسهب بمزيد من التفصيل في مفهوم السطح نفسه.
كما هو مذكور أعلاه والموضح في الأشكال ، فإن أي هرم يتكون من مجموعة من الوجوه أو الجوانب. أحد الأضلاع هو القاعدة و n عبارة عن مثلثات. سطح الشكل كله هو مجموع مساحات كل جانب من جوانبها.
من الملائم دراسة السطح باستخدام مثال الشكل الذي يتكشف. يظهر مسح لهرم رباعي الزوايا منتظم في الأشكال أدناه.
نلاحظ أن مساحة سطحه تساوي مجموع أربع مساحات من مثلثات متساوية الساقين متطابقة ومساحة مربع.
المساحة الكلية لجميع المثلثات التي تشكل جوانب الشكل تسمى مساحة السطح الجانبي. بعد ذلك ، نوضح كيفية حسابه لهرم رباعي الزوايا منتظم.
مساحة السطح الجانبي لهرم منتظم مستطيل
لحساب مساحة السطح الجانبية للشكل المحدد ، ننتقل مرة أخرى إلى المسح أعلاه. لنفترض أننا نعرف ضلع القاعدة المربعة. دعنا نشير إليها بالرمز أ. يمكن ملاحظة أن طول قاعدة كل من المثلثات الأربعة المتطابقة a. لحساب مساحتها الإجمالية ، تحتاج إلى معرفة هذه القيمة لمثلث واحد. من مجرى الهندسة ، من المعروف أن مساحة المثلث S t تساوي ناتج القاعدة والارتفاع اللذين يجب تقسيمهما إلى النصف. بمعنى آخر:
حيث h b هو ارتفاع المثلث متساوي الساقين المرسوم على القاعدة a. بالنسبة للهرم ، هذا الارتفاع هو الحرم. يبقى الآن مضاعفة التعبير الناتج في 4 للحصول على المساحة S b من السطح الجانبي للهرم المعني:
S ب = 4 * S t = 2 * ح ب * أ.
تحتوي هذه الصيغة على معلمتين: العروة وجانب القاعدة. إذا كانت الأخيرة معروفة في معظم حالات المشكلات ، فيجب حساب الأولى بمعرفة كميات أخرى. فيما يلي الصيغ لحساب apotema h b لحالتين:
- عندما يعرف طول الضلع الجانبي ؛
- عندما يعرف ارتفاع الهرم.
إذا أشرنا إلى طول الحافة الجانبية (جانب مثلث متساوي الساقين) بالرمز L ، فسيتم تحديد الأبوتيما h b بالصيغة:
ح ب \ u003d √ (L 2 - أ 2/4).
هذا التعبير هو نتيجة تطبيق نظرية فيثاغورس لمثلث السطح الجانبي.
إذا كان ارتفاع الهرم معروفًا ، فيمكن حساب الأبوتيما h ب على النحو التالي:
ح ب = √ (ح 2 + أ 2/4).
كما أنه ليس من الصعب الحصول على هذا المقدار إذا أخذنا في الاعتبار وجود مثلث قائم الزاوية داخل هرم مكون من الرجلين h و a / 2 والوتر h b.
سنوضح كيفية تطبيق هذه الصيغ من خلال حل مشكلتين مثيرتين للاهتمام.
مشكلة مساحة السطح المعروفة
من المعروف أن مساحة السطح الجانبي لمربع الزوايا تبلغ 108 سم 2. من الضروري حساب قيمة طول ملفه h bif ارتفاع الهرم 7 سم.
نكتب صيغة المساحة S b للسطح الجانبي من خلال الارتفاع. لدينا:
S ب = 2 * √ (ح 2 + أ 2/4) * أ.
هنا قمنا ببساطة باستبدال صيغة الأبوتيما المقابلة في التعبير عن S b. لنقم بتربيع طرفي المعادلة:
S b 2 \ u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.
للعثور على قيمة a ، نقوم بتغيير المتغيرات:
ر 2 + 4 * ح 2 * ر - S ب 2 = 0.
نستبدل الآن القيم المعروفة ونحل المعادلة التربيعية:
ر 2 + 196 * ر - 11664 = 0.
لقد كتبنا فقط الجذر الموجب لهذه المعادلة. ثم تكون جوانب قاعدة الهرم مساوية لـ:
أ = t = √47.8355 6.916 سم.
للحصول على طول أبوتيما ، ما عليك سوى استخدام الصيغة:
ح ب \ u003d √ (ح 2 + أ 2/4) \ u003d √ (7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 سم.
السطح الجانبي لهرم خوفو
دعونا نحدد قيمة مساحة السطح الجانبية لأكبر هرم مصري. من المعروف أن مربعًا طول ضلعه 230.363 مترًا عند قاعدته. كان ارتفاع الهيكل في الأصل 146.5 متر. عوض بهذه الأرقام في الصيغة المقابلة لـ S b ، نحصل على:
S b \ u003d 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a \ u003d 2 * √ (146.5 2 + 230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 م 2.
القيمة التي تم العثور عليها أكبر قليلاً من مساحة 17 ملعب كرة قدم.
جار التحميل...