يؤدي استخدام مهارات القسمة إلى تبسيط العمليات الحسابية وزيادة سرعة تنفيذها بشكل متناسب. دعونا نحلل بالتفصيل السمة الرئيسية ميزات القسمة.
المعيار الأكثر وضوحًا للقسمة على الوحدات: جميع الأرقام قابلة للقسمة على واحد. إنه مجرد ابتدائي وبه علامات القابلية للقسمة اثنين, خمسة, عشرة. يمكن قسمة الرقم الزوجي على اثنين ، أو واحد مع رقم نهائي هو 0 ، على خمسة - رقم به رقم أخير من 5 أو 0. فقط تلك الأرقام التي تحتوي على رقم أخير من 0 سيتم قسمة على عشرة ، على 100 - فقط تلك الأعداد التي يكون رقمها الأخير عبارة عن أصفار ، في 1000 - فقط أولئك الذين لديهم ثلاثة أصفار نهائية.
فمثلا:
يمكن قسمة الرقم 79516 على 2 ، لأنه ينتهي بـ 6 ، وهو رقم زوجي ؛ 9651 غير قابل للقسمة على 2 ، لأن الرقم 1 هو رقم فردي ؛ 1790 يقبل القسمة على 2 لأن الرقم الأخير هو صفر. سيتم قسمة 3470 على 5 (الرقم الأخير هو 0) ؛ 1054 لا يقبل القسمة على 5 (النهائي 4). 7800 ستقسم على 10 و 100 ؛ 542000 يقبل القسمة على 10 ، 100 ، 1000.
أقل شهرة ، ولكن من السهل جدًا استخدام الخاصية ميزات القسمةعلى ال 3 و 9 , 4 , 6 و 8, 25 . هناك أيضًا سمات مميزة للقسمة على 7, 11, 13, 17, 19 وما إلى ذلك ، ولكن يتم استخدامها بشكل أقل في الممارسة العملية.
سمة مميزة للقسمة على 3 و 9.
على ال ثلاثةو / أو على تسعبدون الباقي ، سيتم تقسيم هذه الأرقام بحيث تكون نتيجة جمع الأرقام مضاعفًا لثلاثة و / أو تسعة.
فمثلا:
الرقم 156321 ، نتيجة الجمع 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 سيتم قسمة 3 وقسمة 9 ، على التوالي ، الرقم نفسه يمكن قسمة على 3 و 9. الرقم 79123 لن يكون مقسومًا على 3 أو 9 ، لذا فإن مجموع أرقامه (22) لا يقبل القسمة على هذه الأرقام.
سمة مميزة للقسمة على 4 و 8 و 16 وما إلى ذلك.
يمكن تقسيم الرقم بدون الباقي على أربعة، إذا كان آخر رقمين له عبارة عن أصفار أو رقم يمكن تقسيمه على 4. في جميع الحالات الأخرى ، لا يمكن القسمة بدون باقي.
فمثلا:
الرقم 75300 يقبل القسمة على 4 ، لأن الرقمين الأخيرين هما أصفار ؛ الرقم 48834 غير قابل للقسمة على 4 لأن الرقمين الأخيرين يعطينا 34 ، وهو ما لا يقبل القسمة على 4 ؛ 35908 يقبل القسمة على 4 ، لأن الرقمين الأخيرين من 08 يعطي الرقم 8 يقبل القسمة على 4.
مبدأ مماثل ينطبق على معيار القسمة على ثمانية. الرقم قابل للقسمة على ثمانية إذا كانت آخر ثلاثة أرقام له هي أصفار أو شكل رقمًا يقبل القسمة على 8. وإلا فلن يكون حاصل القسمة عددًا صحيحًا.
نفس خصائص القسمة على 16, 32, 64 إلخ ، لكنها لا تُستخدم في الحسابات اليومية.
سمة مميزة للقسمة على 6.
الرقم قابل للقسمة على ستة، إذا كانت قابلة للقسمة على اثنين وثلاثة ، مع جميع الخيارات الأخرى ، فإن القسمة بدون الباقي مستحيلة.
فمثلا:
126 يقبل القسمة على 6 ، لأنه يقبل القسمة على 2 (الرقم الزوجي الأخير هو 6) و 3 (مجموع الأرقام 1 + 2 + 6 = 9 يقبل القسمة على ثلاثة)
سمة مميزة للقسمة على 7.
الرقم قابل للقسمة على سبعةإذا كان الفرق بين الرقم الأخير المزدوج و "العدد المتبقي بدون الرقم الأخير" يقبل القسمة على سبعة ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على سبعة.
فمثلا:
الرقم هو 296492. لنأخذ الرقم الأخير "2" ، ضاعفه ، سيخرج 4. اطرح 29649 - 4 = 29645. من الصعب معرفة ما إذا كان يقبل القسمة على 7 ، وبالتالي حلل مرة أخرى. بعد ذلك ، نضاعف الرقم الأخير "5" ، فيخرج 10. نطرح 2964 - 10 = 2954. النتيجة هي نفسها ، ليس من الواضح ما إذا كانت قابلة للقسمة على 7 ، لذلك نواصل التحليل. نحلل مع الرقم الأخير "4" ، مزدوج ، يخرج 8. اطرح 295 - 8 = 287. نقارن مائتين وسبعة وثمانين - فهي غير قابلة للقسمة على 7 ، فيما يتعلق بهذا نواصل البحث. بالقياس ، فإن الرقم الأخير "7" ، مضاعف ، يخرج 14. اطرح 28 - 14 \ u003d 14. الرقم 14 قابل للقسمة على 7 ، وبالتالي فإن الرقم الأصلي قابل للقسمة على 7.
سمة مميزة للقسمة على 11.
على ال أحد عشرفقط تلك الأرقام قابلة للقسمة حيث تكون نتيجة إضافة الأرقام الموضوعة في أماكن فردية إما مساوية لمجموع الأرقام الموضوعة في الأماكن الزوجية ، أو تختلف برقم قابل للقسمة على أحد عشر.
فمثلا:
العدد 103.785 قابل للقسمة على 11 ، لأن مجموع الأرقام في الأماكن الفردية ، 1 + 3 + 8 = 12 ، يساوي مجموع الأرقام في الأماكن الزوجية ، 0 + 7 + 5 = 12. العدد 9163.627 هو قابلة للقسمة على 11 ، لأن مجموع الأرقام في الأماكن الفردية هو 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ، ومجموع الأرقام في الأماكن الزوجية هو 1 + 3 + 2 = 6 ؛ الفرق بين العددين 28 و 6 هو 22 ، وهذا الرقم قابل للقسمة على 11. العدد 461،025 غير قابل للقسمة على 11 ، لأن الأرقام 4 + 1 + 2 = 7 و 6 + 0 + 5 = 11 لا تساوي بعضهم البعض ، وفرقهم 11-7 = 4 لا يقبل القسمة على 11.
سمة مميزة للقسمة على 25.
على ال خمسة وعشرونستقسم الأعداد التي يكون رقمها الأخير عبارة عن أصفار أو تشكل عددًا يمكن تقسيمه على خمسة وعشرين (أي الأرقام المنتهية بـ 00 أو 25 أو 50 أو 75). في حالات أخرى ، لا يمكن تقسيم الرقم بالكامل على 25.
فمثلا:
9450 يقبل القسمة على 25 (ينتهي بـ 50) ؛ 5085 لا يقبل القسمة على 25.
لتبسيط قسمة الأعداد الطبيعية ، تم اشتقاق قواعد القسمة على أرقام العشرة الأولى والأرقام 11 ، 25 ، والتي يتم دمجها في قسم علامات القسمة على الأعداد الطبيعية. فيما يلي القواعد التي من خلالها سيجيب تحليل رقم دون تقسيمه على رقم طبيعي آخر على السؤال ، وهو رقم طبيعي مضاعف للأرقام 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 9 و 10 و 11 و 25 و وحدة بت؟
الأعداد الطبيعية التي تحتوي على أرقام (تنتهي بـ) 2،4،6،8،0 في الخانة الأولى تسمى زوجي.
علامة قسمة الأعداد على 2
جميع الأعداد الطبيعية الزوجية قابلة للقسمة على 2 ، على سبيل المثال: 172 ، 94.67 838 ، 1670.
علامة قسمة الأعداد على 3
جميع الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على 3 ، ومجموع أرقامها هو مضاعف 3. على سبيل المثال:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
علامة قسمة الأعداد على 4
جميع الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على 4 ، وآخر رقمين منها عبارة عن أصفار أو مضاعفات الرقم 4. على سبيل المثال:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
علامة قسمة الأعداد على 5
علامة قسمة الأعداد على 6
تلك الأعداد الطبيعية التي تقبل القسمة على 2 و 3 في نفس الوقت قابلة للقسمة على 6 (كل الأعداد الزوجية التي تقبل القسمة على 3). على سبيل المثال: 126 (ب - زوجي ، 1 + 2 + 6 = 9 ، 9: 3 = 3).
علامة قسمة الأعداد على 9
هذه الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على 9 ، ومجموع أرقامها هو مضاعف 9. على سبيل المثال:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
علامة قسمة الأعداد على 10
علامة قسمة الأعداد على 11
فقط تلك الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على 11 ، حيث يكون مجموع الأرقام التي تشغل أماكن زوجية مساويًا لمجموع الأرقام التي تشغل أماكن فردية ، أو الفرق بين مجموع أرقام الأماكن الفردية ومجموع أرقام الأماكن الزوجية هو من مضاعفات العدد 11. على سبيل المثال:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 و 0 + 7 + 7 = 14) ؛
9163.627 (9 + 6 + ب + 7 = 28 و 1 + 3 + 2 = 6) ؛
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
علامة قسمة الأعداد على 25
هذه الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على 25 ، وآخر رقمين منها عبارة عن أصفار أو مضاعفات العدد 25. على سبيل المثال:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
علامة على قسمة الأرقام على وحدة بت
يتم تقسيم هذه الأرقام الطبيعية إلى وحدة بت ، حيث يكون عدد الأصفار أكبر من أو يساوي عدد أصفار وحدة البت. على سبيل المثال: 12000 قابلة للقسمة على 10 و 100 و 1000.
تستمر سلسلة من المقالات حول علامات القسمة علامة القسمة على 3. تقدم هذه المقالة أولاً صياغة معيار القابلية للقسمة على 3 ، وتقدم أمثلة على تطبيق هذا المعيار في معرفة أي من الأعداد الصحيحة المعطاة قابلة للقسمة على 3 وأيها غير قابلة للقسمة. علاوة على ذلك ، يتم تقديم إثبات اختبار القابلية للقسمة على 3. يتم أيضًا النظر في مناهج إنشاء القابلية للقسمة على 3 من الأرقام المعطاة كقيمة لبعض التعبيرات.
التنقل في الصفحة.
علامة القسمة على 3 أمثلة
دعنا نبدء ب صيغ اختبار القابلية للقسمة على 3: عدد صحيح يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 ، وإذا كان مجموع أرقامه لا يقبل القسمة على 3 ، فإن الرقم نفسه لا يقبل القسمة على 3.
يتضح من الصيغة أعلاه أنه لا يمكن استخدام علامة القسمة على 3 بدون القدرة على إجراء إضافة أعداد طبيعية. أيضًا ، من أجل التطبيق الناجح لعلامة القابلية للقسمة على 3 ، يجب أن تعرف أنه من بين جميع الأعداد الطبيعية المكونة من رقم واحد ، فإن الأرقام 3 و 6 و 9 قابلة للقسمة على 3 والأرقام 1 و 2 و 4 و 5 ، 7 و 8 غير قابلين للقسمة على 3.
الآن يمكننا النظر في الأبسط أمثلة على تطبيق اختبار القابلية للقسمة على 3. لنكتشف ما إذا كان الرقم يقبل القسمة على 3؟ 42. للقيام بذلك ، نحسب مجموع أرقام العدد؟ 42 ، يساوي 4 + 2 = 6. نظرًا لأن الرقم 6 قابل للقسمة على 3 ، فبفضل علامة القابلية للقسمة على 3 ، يمكن القول إن الرقم؟ 42 قابل للقسمة أيضًا على 3. لكن العدد الصحيح الموجب 71 لا يقبل القسمة على 3 ، لأن مجموع أرقامه هو 7 + 1 = 8 ، و 8 لا يقبل القسمة على 3.
هل 0 يقبل القسمة على 3؟ للإجابة على هذا السؤال ، لا حاجة إلى معيار القابلية للقسمة على 3 ، وهنا نحتاج إلى تذكر خاصية القسمة المقابلة ، والتي تنص على أن الصفر قابل للقسمة على أي عدد صحيح. إذن ، 0 يقبل القسمة على 3.
في بعض الحالات ، لإثبات أن رقمًا معينًا لديه أو لا يمتلك القدرة على أن يكون قابلاً للقسمة على 3 ، يجب تطبيق اختبار القابلية للقسمة على 3 عدة مرات متتالية. لنأخذ مثالا.
بيّن أن الرقم 907444812 يقبل القسمة على 3.
مجموع أرقام 907444812 هو 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39. لمعرفة ما إذا كان 39 يقبل القسمة على 3 ، نحسب مجموع أرقامه: 3 + 9 = 12. ولمعرفة ما إذا كان 12 يقبل القسمة على 3 ، نجد مجموع أرقام العدد 12 ، لدينا 1 + 2 = 3. نظرًا لأننا حصلنا على الرقم 3 ، الذي يقبل القسمة على 3 ، فبسبب علامة القابلية للقسمة على 3 ، فإن الرقم 12 قابل للقسمة على 3. إذن ، 39 يقبل القسمة على 3 ، لأن مجموع أرقامه هو 12 ، و 12 يقبل القسمة على 3. أخيرًا ، 907333812 يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه هو 39 و 39 يقبل القسمة على 3.
لتوحيد المادة ، سنقوم بتحليل الحل لمثال آخر.
هل العدد يقبل القسمة على 3؟ 543 205؟
لنحسب مجموع أرقام هذا الرقم: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19. في المقابل ، مجموع أرقام الرقم 19 هو 1 + 9 = 10 ، ومجموع أرقام الرقم 10 هو 1 + 0 = 1. نظرًا لأننا حصلنا على الرقم 1 ، الذي لا يقبل القسمة على 3 ، فإنه يترتب على معيار القابلية للقسمة على 3 أن الرقم 10 غير قابل للقسمة على 3. لذلك ، 19 لا يقبل القسمة على 3 ، لأن مجموع أرقامه هو 10 ، و 10 لا يقبل القسمة على 3. لذلك ، فإن الرقم الأصلي 543205 لا يقبل القسمة على 3 ، لأن مجموع أرقامه ، الذي يساوي 19 ، لا يقبل القسمة على 3.
من الجدير بالذكر أن القسمة المباشرة لرقم معين على 3 تسمح لنا أيضًا باستنتاج ما إذا كان الرقم المعطى قابلاً للقسمة على 3 أم لا. بهذا نريد أن نقول إنه لا ينبغي إهمال القسمة لصالح علامة القابلية للقسمة على 3. في المثال الأخير ، بقسمة 543205 على 3 على عمود ، نتأكد من أن 543205 لا يقبل القسمة على 3 ، ومنه يمكننا القول أن 543205 لا يقبل القسمة على 3 أيضًا.
إثبات اختبار القابلية للقسمة على 3
سيساعدنا التمثيل التالي للرقم أ في إثبات علامة القابلية للقسمة على 3. يمكننا تحليل أي عدد طبيعي a إلى أرقام ، وبعد ذلك تسمح لنا قاعدة الضرب في 10 و 100 و 1000 وما إلى ذلك بالحصول على تمثيل بالصيغة a = a n 10 n + a n؟ 1 10 n؟ 1 +… + أ 2 10 2 + أ 1 · 10 + أ 0 ، حيث أ ن ، أ ن؟ 1 ، ... ، 0 هي أرقام من اليسار إلى اليمين في الرقم أ. من أجل الوضوح ، نقدم مثالاً على مثل هذا التمثيل: 528 = 500 + 20 + 8 = 5100 + 2 10 + 8.
لنكتب الآن عددًا من التكافؤات الواضحة إلى حد ما: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1 ، 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1 ، 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 وهكذا.
التعويض في المعادلة a = a n 10 n + a n؟ 1 10 n؟ 1 +… + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 بدلاً من 10، 100، 1000 وهكذا على التعبيرات 3 3 + 1، 33 3 +1 ، 999 + 1 = 333 3 + 1 وهكذا ، نحصل عليها
.
تسمح خصائص إضافة الأعداد الطبيعية وخصائص مضاعفة الأعداد الطبيعية بإعادة كتابة المساواة الناتجة على النحو التالي:
تعبير 
هو مجموع أرقام أ. دعنا نسميه للإيجاز والراحة بالحرف A ، أي نحن نقبله. ثم نحصل على تمثيل للرقم أ من النموذج ، والذي سنستخدمه في إثبات اختبار القابلية للقسمة على 3.
أيضًا ، لإثبات اختبار القابلية للقسمة على 3 ، نحتاج إلى الخصائص التالية للقسمة:
- أن العدد الصحيح أ قابل للقسمة على العدد الصحيح ب ضروري وكافي أن معامل الرقم أ قابل للقسمة على معامل الرقم ب ؛
- إذا كانت جميع المصطلحات في المساواة a = s + t قابلة للقسمة على عدد صحيح b ، فإن هذا المصطلح أيضًا قابل للقسمة على b.
الآن نحن على استعداد تام ويمكننا تنفيذها إثبات القابلية للقسمة على 3للراحة ، نقوم بصياغة هذه الميزة كشرط ضروري وكاف للقسمة على 3.
لكي يكون عددًا صحيحًا يقبل القسمة على 3 ، من الضروري والكافي أن يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 3.
بالنسبة إلى أ = 0 ، فإن النظرية واضحة.
إذا كان a مختلفًا عن الصفر ، فإن مقياس a هو عدد طبيعي ، ومن ثم يكون التمثيل ممكنًا ، حيث يكون مجموع أرقام a.
نظرًا لأن مجموع وحاصل ضرب الأعداد الصحيحة هو عدد صحيح ، ثم هو عدد صحيح ، ثم من خلال تعريف القسمة ، فإن حاصل الضرب قابل للقسمة على 3 لأي 0 ، a 1 ، ... ، a n.
إذا كان مجموع أرقام الرقم أ قابلاً للقسمة على 3 ، أي أن أ قابل للقسمة على 3 ، فبسبب خاصية القسمة المشار إليها قبل النظرية ، فإنه قابل للقسمة على 3 ، وبالتالي ، يمكن القسمة على 3. هذا يثبت الكفاية.
إذا كانت a قابلة للقسمة على 3 ، فهي أيضًا قابلة للقسمة على 3 ، ثم نظرًا لنفس خاصية القسمة ، فإن الرقم A قابل للقسمة على 3 ، أي أن مجموع أرقام الرقم a قابل للقسمة على 3. هذا يثبت الضرورة.
حالات أخرى للقسمة على 3
في بعض الأحيان لا يتم تحديد الأعداد الصحيحة بشكل صريح ، ولكن كقيمة لبعض التعبيرات مع متغير لقيمة معينة من المتغير. على سبيل المثال ، قيمة تعبير لبعض n الطبيعي هو رقم طبيعي. من الواضح أنه مع مثل هذا التحديد للأرقام ، فإن القسمة المباشرة على 3 لن تساعد في إثبات قابليتها للقسمة على 3 ، ولن يتم دائمًا تطبيق علامة القسمة على 3. الآن سننظر في عدة طرق لحل مثل هذه المشاكل.
يتمثل جوهر هذه الأساليب في تمثيل التعبير الأصلي كمنتج لعدة عوامل ، وإذا كان أحد العوامل على الأقل قابلاً للقسمة على 3 ، فعندئذٍ ، نظرًا لخاصية القسمة المقابلة ، سيكون من الممكن استنتاج أن المنتج بأكمله يقبل القسمة على 3.
في بعض الأحيان يمكن تنفيذ هذا النهج باستخدام نيوتن ذي الحدين. لنفكر في مثال للحل.
هل قيمة التعبير قابلة للقسمة على 3 لأي قيمة طبيعية n؟
المساواة واضحة. دعنا نستخدم صيغة نيوتن ذات الحدين: 
في التعبير الأخير ، يمكننا إخراج 3 من الأقواس ، ونحصل على. المنتج الناتج قابل للقسمة على 3 ، لأنه يحتوي على عامل 3 ، وقيمة التعبير بين قوسين لـ n الطبيعي هي رقم طبيعي. لذلك ، يمكن القسمة على 3 لأي قيمة n طبيعية.
في كثير من الحالات ، يمكن إثبات القابلية للقسمة على 3 بطريقة الاستقراء الرياضي. دعنا نحلل تطبيقه في حل مثال.
إثبات أن قيمة التعبير لأي n طبيعية قابلة للقسمة على 3.
للإثبات ، نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي.
بالنسبة إلى n = 1 ، تكون قيمة التعبير هي و 6 قابلة للقسمة على 3.
افترض أن قيمة التعبير قابلة للقسمة على 3 عندما تكون n = k ، أي قابلة للقسمة على 3.
مع الأخذ في الاعتبار أنه قابل للقسمة على 3 ، فسوف نظهر أن قيمة التعبير عن n = k + 1 قابلة للقسمة على 3 ، أي أننا سنبين ذلك 
يقبل القسمة على 3.
لنقم ببعض التحولات: 
التعبير مقسوم على 3 والتعبير 
يقبل القسمة على 3 ، لذا فإن مجموعها يقبل القسمة على 3.
لذلك أثبتت طريقة الاستقراء الرياضي قابلية القسمة على 3 لأي ن طبيعي.
دعنا نظهر طريقة أخرى لإثبات القابلية للقسمة على 3. إذا أظهرنا أنه بالنسبة لـ n = 3 m ، n = 3 m + 1 و n = 3 m + 2 ، حيث m هو عدد صحيح عشوائي ، فإن قيمة بعض التعبيرات (مع المتغير n) قابلة للقسمة على 3 ، فهذا سيثبت قابلية القسمة على التعبير على 3 لأي عدد صحيح ن. ضع في اعتبارك هذا النهج عند حل المثال السابق.
اعرض ما هو قابل للقسمة على 3 لأي قيمة طبيعية n.
ل n = 3 م لدينا. الناتج الناتج يقبل القسمة على 3 لأنه يحتوي على العامل 3 يقبل القسمة على 3.
المنتج الناتج قابل للقسمة أيضًا على 3.
وهذا المنتج قابل للقسمة على 3.
لذلك ، يمكن القسمة على 3 لأي قيمة n طبيعية.
في الختام ، نقدم الحل لمثال آخر.
هي قيمة التعبير قابلة للقسمة على 3 
لبعض ن الطبيعية.
بالنسبة إلى n = 1 لدينا. مجموع أرقام الرقم الناتج هو 3 ، لذا فإن علامة القسمة على 3 تسمح لنا بتأكيد أن هذا الرقم قابل للقسمة على 3.
بالنسبة إلى n = 2 لدينا. مجموع الأرقام وهذا الرقم هو 3 ، لذا فهو قابل للقسمة على 3.
من الواضح أنه بالنسبة لأي ن طبيعي آخر ، سيكون لدينا أرقام مجموعها 3 ، لذلك ، هذه الأرقام قابلة للقسمة على 3.
في هذا الطريق، لأي n طبيعي يقبل القسمة على 3.
www.cleverstudents.ru
الرياضيات ، الصف السادس ، كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية ، Zubareva I.I. ، Mordkovich A.G. ، 2014
الرياضيات ، الصف السادس ، كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية ، Zubareva I.I. ، موردكوفيتش إيه جي ، 2014.
يتم تقديم المادة النظرية في الكتاب المدرسي بطريقة تمكن المعلم من تطبيق نهج قائم على حل المشكلات في التدريس. بمساعدة نظام الترميز ، يتم تمييز تمارين من أربعة مستويات من التعقيد. في كل فقرة ، تتم صياغة مهام التحكم بناءً على ما يحتاج الطلاب إلى معرفته والقدرة على تحقيقه من أجل الوصول إلى مستوى مستوى التعليم الرياضي. توجد اختبارات منزلية وإجابات في نهاية الكتاب المدرسي. توفر الرسوم التوضيحية الملونة (الرسومات والمخططات) درجة عالية من الوضوح للمواد التعليمية.
يتوافق مع متطلبات GEF LLC.
مهام.
4. ارسم مثلث ABC وحدد نقطة O خارجه (كما في الشكل 11). ارسم شكلًا متماثلًا للمثلث ABC بالنسبة للنقطة O.
5. ارسم المثلث KMN وقم بتكوين شكل متماثل لهذا المثلث فيما يتعلق بـ:
أ) رؤوسها - النقاط م ؛
ب) النقاط O - نقاط المنتصف للجانب MN.
6. قم ببناء شكل متماثل:
أ) شعاع OM بالنسبة للنقطة O ؛ اكتب أي نقطة متناظرة للنقطة O ؛
ب) الشعاع OM فيما يتعلق بالنقطة التعسفية A التي لا تنتمي إلى هذا الشعاع ؛
ج) الخط المستقيم AB فيما يتعلق بالنقطة O ، لا ينتمي إلى هذا الخط ؛
د) الخط AB فيما يتعلق بالنقطة O التي تنتمي إلى هذا الخط ؛ اكتب أي نقطة متناظرة للنقطة O.
في كل حالة ، صف الموضع النسبي للأشكال المتماثلة مركزيًا.
جدول المحتويات
الفصل الأول. الأعداد الموجبة والسالبة. إحداثيات
§ 1. التناوب والتناظر المركزي
§ 2. الأعداد الموجبة والسالبة. خط التنسيق
§ 3. معامل العدد. أرقام مقابل
§ 4. مقارنة الأرقام
§ 5. توازي الخطوط
الفقرة 6. التعبيرات الرقمية التي تحتوي على علامات "+" ، "-"
§ 7. المجموع الجبري وخصائصه
§ 8. قاعدة حساب قيمة المجموع الجبري لرقمين
§ 9. المسافة بين نقاط خط الإحداثيات
§ 10. التناظر المحوري
§ 11. عدد الفجوات
§ 12. ضرب وقسمة الأعداد الموجبة والسالبة
§ 13. الإحداثيات
§ 14. تنسيق الطائرة
§ 15. ضرب وقسمة الكسور العادية
§ 16. قاعدة الضرب للمسائل الاندماجية
الباب الثاني. تحويل التعبيرات الحرفية
§ 17. توسيع القوس
§ 18. تبسيط التعبيرات
§ 19. حل المعادلات
§ 20. حل مسائل لتجميع المعادلات
§ 21. مشكلتين رئيسيتين على الكسور
§ 22. الدائرة. محيط
§ 23. الدائرة. مساحة الدائرة
§ 24. الكرة. جسم كروى
الفصل الثالث. قسمة الأعداد الطبيعية
§ 25. القواسم والمضاعفات
§ 26. تجزئة العمل
§ 27. قابلية القسمة على مجموع وفرق الأرقام
§ 28. علامات القابلية للقسمة على 2 و 5 و 10 و 4 و 25
§ 29. علامات القابلية للقسمة على 3 و 9
§ 30. الأعداد الأولية. تحليل العدد إلى عوامل أولية
§ 31. القاسم المشترك الأكبر
§ 32. أرقام Coprime. علامة على القسمة على المنتج. أقل مضاعف مشترك
الفصل الرابع. الرياضيات من حولنا
§ 33. نسبة عددين
§ 34. الرسوم البيانية
§ 35. تناسب الكميات
§ 36. حل المشكلات باستخدام النسب
§ 37. مهام متنوعة
المادة 38. الإلمام الأول بمفهوم "الاحتمال"
§ 39. التعارف الأول مع حساب الاحتمال
الاختبارات المنزلية
مواضيع لأنشطة المشروع
الإجابات
تنزيل كتاب إلكتروني مجاني بتنسيق مناسب وقراءة:
رياضيات
مادة مرجعية في الرياضيات للصفوف 1-6.
الآباء الأعزاء!إذا كنت تبحث عن مدرس رياضيات لطفلك ، فهذا الإعلان يناسبك. أقدم دروسًا في سكايب: التحضير لـ OGE ، امتحان الدولة الموحد ، إزالة الثغرات في المعرفة. الفوائد الخاصة بك واضحة:
1) طفلك في المنزل ، ويمكنك أن تكون هادئًا معه ؛
2) تعقد الفصول في وقت مناسب للطفل ، ويمكنك حتى حضور هذه الفصول. أشرح ببساطة وبشكل واضح على لوحة المدرسة المعتادة.
3) يمكنك التفكير في المزايا المهمة الأخرى لفصول Skype بنفسك!
اكتب لي على: أو أضفني على الفور على Skype ، وسنتفق على كل شيء. الأسعار معقولة.
ملاحظة. الدروس متوفرة في مجموعات من 2-4 طلاب.
مع خالص التقدير ، تاتيانا ياكوفليفنا أندريوشينكو هي مؤلفة هذا الموقع.
أصدقائي الأعزاء!
يسعدني أن أقدم لكم تنزيل مواد مرجعية للرياضيات مجانًا الصف الخامس. حمل هنا!
أصدقائي الأعزاء!
لا يخفى على أحد أن بعض الأطفال يواجهون صعوبة في الضرب والقسمة المطولة. غالبًا ما يكون هذا بسبب عدم معرفة كافية بجدول الضرب. أقترح تعلم جدول الضرب بمساعدة اللوتو. شاهد المزيد هنا. قم بتنزيل لوتو هنا.
أصدقائي الأعزاء!قريباً ستواجه (أو واجهت بالفعل) الحاجة لاتخاذ القرار المهام التي تهمك. تبدأ هذه المشاكل في الحل في الصف الخامس والانتهاء. لكنهم لم ينتهوا من حل المشاكل بالنسبة للنسب المئوية! تم العثور على هذه المهام في كل من الضبط والاختبارات: كلاهما قابل للتحويل ، و OGE وامتحان الدولة الموحد. ماذا أفعل؟ نحن بحاجة لمعرفة كيفية حل هذه المشاكل. سيساعدك كتابي "كيفية حل المشكلات باستخدام النسب المئوية" في هذا الأمر. التفاصيل هنا!
جمع الأعداد.
- أ + ب = ج، حيث a و b حدان ، c هو المجموع.
- للعثور على المصطلح غير المعروف ، اطرح المصطلح المعروف من المجموع.
طرح الأعداد.
- أ ب = ج، حيث أ هو المطروح ، ب هو المطروح ، ج هو الفرق.
- للعثور على الحد الأدنى المجهول ، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.
- لإيجاد المطروح المجهول ، عليك طرح الفرق من المطروح الصغرى.
ضرب الأعداد.
- أ ب = ج، حيث أ و ب عاملين ، ج هو المنتج.
- للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى تقسيم المنتج على العامل المعروف.
تقسيم الأعداد.
- أ: ب = ج، حيث أ هو المقسوم ، ب هو القاسم ، ج هو حاصل القسمة.
- لإيجاد المقسوم المجهول ، تحتاج إلى ضرب المقسوم عليه في حاصل القسمة.
- للعثور على قاسم غير معروف ، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة.
قوانين الجمع.
- أ + ب = ب + أ(الإزاحة: المجموع لا يتغير من إعادة ترتيب الشروط).
- (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)(الترابطية: لإضافة رقم ثالث إلى مجموع حدين ، يمكنك إضافة مجموع الثاني والثالث إلى الرقم الأول).
جدول الجمع.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
قوانين الضرب.
- أ ب = ب أ(الإزاحة: تبديل العوامل لا يغير المنتج).
- (أ ب) ج = أ (ب ج)(تجميعي: لضرب حاصل ضرب عددين في رقم ثالث ، يمكنك ضرب الرقم الأول في حاصل ضرب العددين الثاني والثالث).
- (أ + ب) ج = أ ج + ب ج(قانون التوزيع الخاص بالضرب فيما يتعلق بالإضافة: من أجل ضرب مجموع عددين في رقم ثالث ، يمكنك ضرب كل حد في هذا الرقم وإضافة النتائج).
- (أ-ب) ج = أ ج-ب ج(قانون توزيع الضرب فيما يتعلق بالطرح: من أجل ضرب الفرق بين عددين في رقم ثالث ، يمكنك الضرب في هذا العدد المختزل وطرحه بشكل منفصل وطرح الثاني من النتيجة الأولى).
جدول الضرب.
2 1 = 2 ؛ 3 1 = 3 ؛ 4 1 = 4 ؛ 5 1 = 5 ؛ 6 1 = 6 ؛ 7 1 = 7 ؛ 8 1 = 8 ؛ 9 1 = 9.
2 2 = 4 ؛ 3 2 = 6 ؛ 4 2 = 8 ؛ 5 2 = 10 ؛ 6 2 = 12 ؛ 7 2 = 14 ؛ 8 2 = 16 ؛ 9 2 = 18.
2 3 = 6 ؛ 3 3 = 9 ؛ 4 3 = 12 ؛ 5 3 = 15 ؛ 6 3 = 18 ؛ 7 3 = 21 ؛ 8 3 = 24 ؛ 9 3 = 27.
4 2 = 8 ؛ 3 4 = 12 ؛ 4 4 = 16 ؛ 5 4 = 20 ؛ 6 4 = 24 ؛ 7 4 = 28 ؛ 8 4 = 32 ؛ 9 4 = 36.
5 2 = 10 ؛ 3 5 = 15 ؛ 4 5 = 20 ؛ 5 5 = 25 ؛ 6 5 = 30 ؛ 5 7 = 35 ؛ 8 5 = 40 ؛ 9 5 = 45.
6 2 = 12 ؛ 3 6 = 18 ؛ 4 6 = 24 ؛ 5 6 = 30 ؛ 6 6 = 36 ؛ 6 7 = 42 ؛ 8 6 = 48 ؛ 9 6 = 54.
2 7 = 14 ؛ 3 7 = 21 ؛ 4 7 = 28 ؛ 5 7 = 35 ؛ 6 7 = 42 ؛ 7 7 = 49 ؛ 8 7 = 56 ؛ 9 7 = 63.
8 2 = 16 ؛ 3 8 = 24 ؛ 4 8 = 32 ؛ 5 8 = 40 ؛ 6 8 = 48 ؛ 7 8 = 56 ؛ 8 8 = 64 ؛ 9 8 = 72.
9 2 = 18 ؛ 3 9 = 27 ؛ 4 9 = 36 ؛ 5 9 = 45 ؛ 6 9 = 54 ؛ 7 9 = 63 ؛ 8 9 = 72 ؛ 9 9 = 81.
2 10 = 20 ؛ 3 10 = 30 ؛ 4 10 = 40 ؛ 5 10 = 50 ؛ 6 10 = 60 ؛ 7 10 = 70 ؛ 8 10 = 80 ؛ 9 10 = 90.
القواسم والمضاعفات.
- مقسمعدد طبيعي أاسم العدد الطبيعي الذي بواسطته أيقسم بدون باقي. (الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24 هي قواسم على الرقم 24 ، لأن 24 يقبل القسمة على كل منهم بدون الباقي) 1 - القاسم على أي عدد طبيعي. القاسم الأكبر لأي رقم هو الرقم نفسه.
- مضاعفعدد طبيعي بهو رقم طبيعي قابل للقسمة بدون الباقي ب. (الأعداد ٢٤ ، ٤٨ ، ٧٢ ، ... هي مضاعفات العدد ٢٤ ، لأنها قابلة للقسمة على ٢٤ دون الباقي). أصغر مضاعف لأي رقم هو الرقم نفسه.
علامات قسمة الأعداد الطبيعية.
- الأرقام المستخدمة عند عد الأشياء (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...) تسمى الأعداد الطبيعية. يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف ن.
- أعداد 0, 2, 4, 6, 8 اتصل حتىأعداد. تسمى الأعداد التي تنتهي بأرقام زوجية أعدادًا زوجية.
- أعداد 1, 3, 5, 7, 9 اتصل الفرديةأعداد. تسمى الأعداد التي تنتهي بأرقام فردية بالأرقام الفردية.
- علامة القسمة على الرقم 2. كل الأعداد الطبيعية التي تنتهي برقم زوجي قابلة للقسمة على 2.
- علامة القسمة على الرقم 5. كل الأعداد الطبيعية التي تنتهي بالرقم 0 أو 5 قابلة للقسمة على 5.
- علامة القسمة على الرقم 10. كل الأعداد الطبيعية التي تنتهي بالرقم 0 تقبل القسمة على 10.
- علامة القسمة على الرقم 3. إذا كان مجموع أرقام الرقم يقبل القسمة على 3 ، فإن الرقم نفسه قابل للقسمة على 3.
- علامة القسمة على الرقم 9. إذا كان مجموع أرقام الرقم يقبل القسمة على 9 ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 9.
- علامة القسمة على الرقم 4. إذا كان الرقم المكون من آخر رقمين من رقم معين يقبل القسمة على 4 ، فإن الرقم المعطى نفسه قابل للقسمة على 4.
- علامة القسمة على الرقم 11.إذا كان الفرق بين مجموع الأرقام في الأماكن الفردية ومجموع الأرقام في الأماكن الزوجية قابلًا للقسمة على 11 ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 11.
- الرقم الأولي هو الرقم الذي يحتوي على قسمين فقط: واحد والرقم نفسه.
- الرقم المركب هو الرقم الذي يحتوي على أكثر من اثنين من المقسومات.
- الرقم 1 ليس عددًا أوليًا ولا عددًا مركبًا.
- يُطلق على كتابة رقم مركب كمنتج للأعداد الأولية فقط تحليل رقم مركب إلى عوامل أولية. يمكن تمثيل أي رقم مركب بشكل فريد كمنتج للعوامل الأولية.
- القاسم المشترك الأكبر لأعداد طبيعية معينة هو أكبر عدد طبيعي يمكن بواسطته القسمة على كل من هذه الأرقام.
- القاسم المشترك الأكبر لهذه الأعداد يساوي حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة في توسعات هذه الأعداد. مثال. GCD (24، 42) = 2 3 = 6 بما أن 24 = 2 2 2 3، 42 = 2 3 7، عواملهم الأولية المشتركة هي 2 و 3.
- إذا كانت الأعداد الطبيعية تحتوي على قاسم مشترك واحد فقط - واحد ، فإن هذه الأرقام تسمى الجريمة الجماعية.
- المضاعف المشترك الأصغر لأرقام طبيعية معينة هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل رقم من الأرقام المعطاة. مثال. المضاعف المشترك الأصغر (24 ، 42) = 168. هذا هو أصغر عدد يقبل القسمة على كل من 24 و 42.
- لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعديد من الأعداد الطبيعية ، من الضروري: 1) تحليل كل من الأرقام المعطاة إلى عوامل أولية ؛ 2) اكتب مفكوك أكبر الأعداد واضربه في العوامل الناقصة من اتساعات الأعداد الأخرى.
- أصغر مضاعف لرقمين من جرائم حقوق الملكية يساوي حاصل ضرب هذين الرقمين.
ب- مقام الكسر ، يوضح عدد الأجزاء المتساوية المقسمة ؛
أ- يوضح بسط الكسر عدد الأجزاء المأخوذة. الشريط الكسري يعني علامة القسمة.
في بعض الأحيان ، بدلاً من خط كسري أفقي ، يضعون شرطة مائلة ، ويتم كتابة الكسر العادي على النحو التالي: أ / ب.
- في جزء الصحيحالبسط أصغر من المقام.
- في جزء غير لائقالبسط أكبر من المقام أو يساوي المقام.
إذا تم ضرب أو قسمة بسط الكسر في نفس العدد الطبيعي ، فسيتم الحصول على كسر يساوي ذلك.
يسمى قسمة كل من بسط ومقام الكسر على القاسم المشترك لهما بخلاف واحد باختزال الكسر.
- يسمى الرقم الذي يتكون من جزء صحيح وجزء كسري عددًا مختلطًا.
- من أجل تمثيل كسر غير لائق كرقم كسري ، من الضروري قسمة بسط الكسر على المقام ، ثم سيكون حاصل القسمة غير المكتمل هو الجزء الصحيح من العدد المختلط ، والباقي سيكون بسط الجزء الكسري ، والمقام سيبقى كما هو.
- لتمثيل رقم كسري ككسر غير فعلي ، تحتاج إلى ضرب الجزء الصحيح من العدد الكسري في المقام ، وإضافة بسط الجزء الكسري إلى النتيجة وكتابته في بسط الكسر غير الفعلي ، وترك المقام نفس الشيء.
- شعاع أوهمع الأصل عند النقطة ا، التي قطع واحدإلى و اتجاه، اتصل تنسيق شعاع.
- يتم استدعاء الرقم المقابل لنقطة شعاع الإحداثيات تنسيقهذه النقطة. فمثلا ، أ (3). قراءة: النقطة أ بالتنسيق 3.
- القاسم المشترك الأصغر ( NOZ) من هذه الكسور غير القابلة للاختزال هو المضاعف المشترك الأصغر ( شهادة عدم ممانعة) قواسم هذه الكسور.
- لإحضار الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ، يجب: 1) إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور ، فسيكون أقل مقام مشترك. 2) أوجد عاملًا إضافيًا لكل كسر من الكسور ، حيث نقسم المقام الجديد على مقام كل كسر. 3) اضرب بسط ومقام كل كسر في عامله الإضافي.
- من بين كسرين لهما نفس المقام ، يكون البسط الأكبر هو الأكبر ، والآخر ذو البسط الأصغر هو الأصغر.
- من بين كسرين لهما نفس البسط ، يكون الكسر ذو المقام الأصغر هو الأكبر ، والآخر ذو المقام الأكبر هو الأصغر.
- لمقارنة الكسور ببسط مختلف وقواسم مختلفة ، تحتاج إلى تقليل الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر ، ثم مقارنة الكسور ذات المقامات نفسها.
العمليات على الكسور العادية.
- لإضافة كسور لها نفس المقامات ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام كما هو.
- إذا كنت بحاجة إلى إضافة كسور ذات مقامات مختلفة ، فعليك أولاً تقليل الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ، ثم جمع الكسور ذات المقامات نفسها.
- لطرح كسور لها نفس المقام ، يُطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، ويبقى المقام كما هو.
- إذا كنت بحاجة إلى طرح كسور ذات مقامات مختلفة ، فسيتم إحضارها أولاً إلى مقام مشترك ، ثم يتم طرح الكسور التي لها نفس المقامات.
- عند إجراء عمليات جمع أو طرح أرقام مختلطة ، يتم تنفيذ هذه العمليات بشكل منفصل للأجزاء الصحيحة والأجزاء الكسرية ، ثم يتم كتابة النتيجة كرقم مختلط.
- حاصل ضرب كسرين عاديين يساوي كسرًا ، بسطه يساوي حاصل ضرب البسطين ، والمقام هو حاصل ضرب مقامي الكسور المعطاة.
- لضرب كسر عادي في عدد طبيعي ، عليك أن تضرب بسط الكسر في هذا الرقم ، وتترك المقام كما هو.
- يسمى رقمان منتجهما يساوي واحدًا أرقامًا متبادلة.
- عند ضرب الأعداد الكسرية ، يتم تحويلها أولاً إلى كسور غير فعلية.
- لإيجاد كسر من رقم ، عليك ضرب الرقم في هذا الكسر.
- لقسمة كسر مشترك على كسر مشترك ، تحتاج إلى ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.
- عند قسمة الأعداد الكسرية ، يتم تحويلها أولاً إلى كسور غير فعلية.
- لقسمة كسر عادي على عدد طبيعي ، عليك ضرب مقام الكسر في هذا العدد الطبيعي ، وترك البسط كما هو. ((2/7): 5 = 2 / (7 5) = 2/35).
- لإيجاد رقم على كسره ، عليك أن تقسم على هذا الكسر الرقم المقابل له.
- الكسر العشري هو رقم مكتوب في النظام العشري ويحتوي على أرقام أقل من واحد. (3.25 ؛ 0.1457 إلخ.)
- تسمى الأماكن العشرية التي تلي العلامة العشرية بالمنازل العشرية.
- لن يتغير الكسر العشري إذا تمت إضافة الأصفار أو تجاهلها في نهاية الكسر العشري.
لإضافة الكسور العشرية ، تحتاج إلى: 1) معادلة عدد المنازل العشرية في هذه الكسور ؛ 2) اكتبها واحدة تحت الأخرى بحيث يتم كتابة الفاصلة تحت الفاصلة ؛ 3) إجراء عملية الجمع ، وتجاهل الفاصلة ، ووضع فاصلة تحت الفواصل في الكسور المجمعة في المجموع.
لإجراء طرح الكسور العشرية ، تحتاج إلى: 1) معادلة عدد المنازل العشرية في المطروح والصغير. 2) وقّع على المطروح أسفل الفاصلة بحيث تكون الفاصلة أسفل الفاصلة ؛ 3) نفذ عملية الطرح متجاهلاً الفاصلة ، وفي النتيجة ضع الفاصلة أسفل فاصلات المصطلح الصغير والمطروح.
- لضرب كسر عشري في رقم طبيعي ، تحتاج إلى ضربه في هذا الرقم ، وتجاهل الفاصلة ، وفي الناتج الناتج ، افصل أكبر عدد من الأرقام الموجودة على اليمين بعد الفاصلة العشرية في الكسر المحدد.
- لمضاعفة كسر عشري في آخر ، تحتاج إلى إجراء عملية الضرب ، وتجاهل الفواصل ، وفي النتيجة الناتجة ، افصل أكبر عدد من الأرقام بفاصلة على اليمين كما كان بعد الفواصل في كلا العاملين معًا.
- لمضاعفة عدد عشري في 10 ، 100 ، 1000 ، وما إلى ذلك ، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بمقدار 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.
- لضرب رقم عشري في 0.1 ؛ 0.01 ؛ 0.001 ، وما إلى ذلك ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليسار بمقدار 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.
- لقسمة كسر عشري على رقم طبيعي ، تحتاج إلى قسمة الكسر على هذا الرقم ، حيث يتم تقسيم الأعداد الطبيعية ووضعها في فاصلة خاصة عند انتهاء قسمة الجزء بالكامل.
- لتقسيم رقم عشري على 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليسار بمقدار 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.
- لقسمة رقم على رقم عشري ، تحتاج إلى تحريك الفواصل في المقسوم والمقسوم عليه بعدد الأرقام إلى اليمين كما هو بعد الفاصلة العشرية في المقسوم عليه ، ثم القسمة على رقم طبيعي.
- لقسمة عدد عشري على 0.1 ؛ 0.01 ؛ 0.001 ، وما إلى ذلك ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليمين بمقدار 1 ، 2 ، 3 ، إلخ. (قسمة رقم عشري على 0.1 ؛ 0.01 ؛ 0.001 ، إلخ. هو نفس ضرب هذا الرقم العشري في 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ.)
لتقريب رقم إلى رقم معين ، نضع خطًا تحت رقم هذا الرقم ، ثم نستبدل جميع الأرقام الموجودة خلف الرقم الذي تحته خط بأصفار ، وإذا كانت بعد العلامة العشرية ، فإننا نتجاهلها. إذا كان الرقم الأول الذي تم استبداله بصفر أو المهمل هو 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4 ، فسيتم ترك الرقم الذي تحته خط دون تغيير. إذا كان الرقم الأول الذي تم استبداله بصفر أو تم إهماله هو 5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9 ، فسيتم زيادة الرقم الذي تحته خط بمقدار 1.
الوسط الحسابي لعدة أرقام.
المتوسط الحسابي للعديد من الأرقام هو حاصل قسمة مجموع هذه الأرقام على عدد الحدود.
مدى سلسلة من الأرقام.
يُطلق على الفرق بين أكبر وأصغر قيم لسلسلة البيانات نطاق سلسلة الأرقام.
عدد سلسلة الموضة.
يُطلق على الرقم الذي يحدث بأكبر تردد بين الأرقام المعطاة من السلسلة وضع سلسلة الأرقام.
- مائة يسمى نسبة مئوية. شراء كتاب يعلمك "كيفية حل مشاكل النسبة المئوية".
- للتعبير عن النسب المئوية في صورة كسر أو عدد طبيعي ، تحتاج إلى قسمة النسبة المئوية على 100٪. (4٪ = 0.04 ، 32٪ = 0.32).
- للتعبير عن رقم كنسبة مئوية ، تحتاج إلى ضربه بنسبة 100٪. (0.65 = 0.65 100٪ = 65٪ ؛ 1.5 = 1.5 100٪ = 150٪).
- لإيجاد نسبة مئوية من رقم ، تحتاج إلى التعبير عن النسبة المئوية ككسر عادي أو كسر عشري وضرب الكسر الناتج في الرقم المحدد.
- للعثور على رقم بنسبته المئوية ، تحتاج إلى التعبير عن النسبة المئوية في صورة كسر عادي أو عشري وتقسيم الرقم المعطى على هذا الكسر.
- لإيجاد النسبة المئوية للرقم الأول من الثاني ، عليك قسمة الرقم الأول على الثاني وضرب الناتج في 100٪.
- حاصل قسمة رقمين يسمى نسبة هذه الأرقام. أ: بأو أ / بهي نسبة العددين أ و ب ، علاوة على ذلك ، أ هو الحد السابق ، ب هو الحد التالي.
- إذا تم إعادة ترتيب شروط هذه العلاقة ، فإن العلاقة الناتجة تسمى عكس هذه العلاقة. العلاقات ب / أ و أ / ب معكوسة بشكل متبادل.
- لن تتغير النسبة إذا تم ضرب حدي النسبة أو قسمة نفس الرقم غير الصفري.
- المساواة بين نسبتين يسمى نسبة.
- أ: ب = ج: د. هذه نسبة. اقرأ: ألذلك ينطبق على ب، كيف جيعود الى د. يُطلق على الرقمين a و d الأعضاء المتطرفين من النسبة ، والأرقام b و c هما العضوان الأوسطان في النسبة.
- حاصل ضرب الحدود القصوى لنسبة ما يساوي حاصل ضرب حدودها الوسطى. للتناسب أ: ب = ج: دأو أ / ب = ج / دالخاصية الرئيسية مكتوبة مثل هذا: أ د = ب ج.
- للعثور على الحد الأقصى المجهول للنسبة ، تحتاج إلى قسمة حاصل ضرب متوسط شروط النسبة على المصطلح المتطرف المعروف.
- للعثور على الحد الأوسط المجهول للنسبة ، تحتاج إلى قسمة حاصل ضرب الحدود القصوى للنسبة على المدى المتوسط المعروف. مهام النسب.
دع القيمة ذيعتمد على الحجم X. إذا مع زيادة Xعدة أضعاف الحجم فييزيد بنفس العامل ، ثم هذه القيم Xو فيتسمى نسبيًا مباشرًا.
إذا كانت كميتان متناسبتان بشكل مباشر ، فإن نسبة القيمتين التعسفيتين للكمية الأولى تساوي نسبة القيمتين المناظرتين للكمية الثانية.
تسمى نسبة طول المقطع على الخريطة إلى طول المسافة المقابلة على الأرض مقياس الخريطة.
دع القيمة فييعتمد على الحجم X. إذا مع زيادة Xعدة أضعاف الحجم فيينخفض بنفس العامل ، ثم هذه القيم Xو فيتسمى متناسبة عكسيا.
إذا كانت كميتان متناسبتان عكسيًا ، فإن نسبة قيمتين تم أخذهما بشكل تعسفي لكمية واحدة تساوي النسبة العكسية للقيم المقابلة للكمية الأخرى.
- المجموعة عبارة عن مجموعة من بعض العناصر أو الأرقام التي تم تجميعها وفقًا لبعض الخصائص أو القوانين العامة (الكثير من الأحرف على الصفحة ، والكثير من الكسور المنتظمة ذات المقام 5 ، والكثير من النجوم في السماء ، وما إلى ذلك).
- تتكون المجموعات من عناصر وهي إما محدودة أو غير محدودة. المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر تسمى المجموعة الفارغة ويتم الإشارة إليها أوه
- الكثير من فيتسمى مجموعة فرعية من المجموعة لكنإذا كانت جميع عناصر المجموعة فيهي عناصر من المجموعة لكن.
- تعيين التقاطع لكنو فيهي مجموعة تنتمي عناصرها إلى المجموعة لكنوالكثير في.
- اتحاد المجموعات لكنو فيهي مجموعة تنتمي عناصرها إلى مجموعة واحدة على الأقل من المجموعات المحددة لكنو في.
مجموعات من الأرقام.
- ن- مجموعة الأعداد الطبيعية: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...
- ض- مجموعة الأعداد الصحيحة: ... ، -4 ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...
- سهي مجموعة الأرقام المنطقية التي يمكن تمثيلها على شكل كسر م / ن، أين م- كامل، ن- طبيعي (-2 ؛ 3/5 ؛ v9 ؛ v25 ، إلخ.)
- خط الإحداثيات هو خط مستقيم يُعطى عنده اتجاه إيجابي ونقطة مرجعية (النقطة O) وقطاع وحدة.
- تتوافق كل نقطة على خط الإحداثيات مع رقم معين يسمى إحداثيات هذه النقطة. فمثلا، أ (5). قراءة: النقطة أ بالتنسيق خمسة. على الساعة 3). قراءة: النقطة ب مع إحداثيات ناقص ثلاثة.
- مقياس العدد أ (اكتب | أ |) تسمى المسافة من الأصل إلى النقطة المقابلة للرقم المحدد أ. قيمة المعامل لأي رقم غير سالبة. | 3 | = 3 ؛ | -3 | = 3 بسبب المسافة من الأصل إلى الرقم -3 وإلى الرقم 3 تساوي ثلاث أجزاء من الوحدات. |0|=0 .
- حسب تعريف معامل الرقم: | أ | = أ، إذا أ؟ 0و | أ | = -أ، إذا أ ب.
- إذا كان الفرق عند المقارنة بين الأعداد أ وب أ-بهو رقم سالب ، إذن أ ، ثم يطلق عليهم عدم المساواة الصارمة.
- إذا تم كتابة عدم المساواة في العلامات؟ أو؟ ، ثم يطلق عليهم عدم المساواة غير الصارمة.
خصائص عدم المساواة العددية.
ز) 
متباينة بالصيغة x؟ a. إجابه:
علامة القسمة
علامة القسمة- قاعدة تتيح لك تحديد ما إذا كان الرقم مضاعفًا لرقم محدد مسبقًا بسرعة نسبيًا دون الحاجة إلى إجراء القسمة الفعلية. كقاعدة عامة ، يعتمد على الإجراءات مع جزء من الأرقام من تدوين رقم في نظام الأرقام الموضعية (عادةً ما يكون عشريًا).
هناك العديد من القواعد البسيطة التي تسمح لك بالعثور على قواسم صغيرة لرقم في نظام الأرقام العشري:
علامة القسمة على 2
علامة القسمة على 3
القسمة على 4 علامة
علامة القسمة على 5
علامة القسمة على 6
علامة القسمة على 7
علامة القسمة على 8
علامة القسمة على 9
علامة القسمة على 10
علامة القسمة على 11
علامة القسمة على 12
علامة القسمة على 13
علامة القسمة على 14
علامة القسمة على 15
علامة القسمة على 17
علامة القسمة على 19
علامة القسمة على 23
علامة القسمة على 25
علامة القسمة على 99
نقسم العدد إلى مجموعات مكونة من رقمين من اليمين إلى اليسار (يمكن أن تحتوي المجموعة الموجودة في أقصى اليسار على رقم واحد) ونجد مجموع هذه المجموعات ، معتبرين إياها أعدادًا مكونة من رقمين. هذا المجموع قابل للقسمة على 99 إذا وفقط إذا كان الرقم نفسه يقبل القسمة على 99.
علامة القسمة على 101
نقسم العدد إلى مجموعات مكونة من رقمين من اليمين إلى اليسار (يمكن أن تحتوي المجموعة الموجودة في أقصى اليسار على رقم واحد) ونجد مجموع هذه المجموعات بعلامات متغيرة ، معتبرين إياها أعدادًا مكونة من رقمين. هذا المجموع قابل للقسمة على 101 إذا وفقط إذا كان الرقم نفسه يقبل القسمة على 101. على سبيل المثال ، 590547 يقبل القسمة على 101 ، لأن 59-05 + 47 = 101 يقبل القسمة على 101).
علامة القسمة على 2 ن
الرقم قابل للقسمة على القوة النونية لاثنين إذا وفقط إذا كان الرقم المكون من آخر n رقم قابل للقسمة على نفس القوة.
علامة القسمة على 5 ن
الرقم قابل للقسمة على القوة النونية للرقم 5 فقط إذا كان الرقم المكون من آخر رقم n يقبل القسمة على نفس القوة.
علامة القسمة على 10 ن − 1
دعنا نقسم الرقم إلى مجموعات من n من الأرقام من اليمين إلى اليسار (يمكن أن تحتوي المجموعة الموجودة في أقصى اليسار من 1 إلى n من الأرقام) ونجد مجموع هذه المجموعات ، معتبرين إياها أعداد n. هذا المبلغ قابل للقسمة على 10 ن- 1 فقط إذا كان الرقم نفسه قابلاً للقسمة على 10 ن − 1 .
علامة القسمة على 10 ن
الرقم قابل للقسمة على الأس العشرة إذا وفقط إذا كانت أرقامه n الأخيرة
جار التحميل...