От известно време в TheBat (не е ясно по каква причина) вградената база данни със сертификати за SSL спря да работи коректно.

При проверка на публикацията се появява грешка:

Неизвестен CA сертификат
Сървърът не е представил основен сертификат в сесията и съответният основен сертификат не е намерен в адресната книга.
Тази връзка не може да бъде тайна. Моля те
свържете се с вашия администратор на сървъра.

И се предлага избор на отговор – ДА/НЕ. И така всеки път, когато снимате поща.

Решение

В този случай трябва да замените стандарта за внедряване на S/MIME и TLS с Microsoft CryptoAPI в TheBat!

Тъй като трябваше да обединя всички файлове в един, първо конвертирах всички doc файлове в един pdf файл (с помощта на програмата Acrobat) и след това го прехвърлих във fb2 чрез онлайн конвертор. Можете също да конвертирате файлове поотделно. Форматите могат да бъдат абсолютно всякакви (източник) и doc, и jpg, и дори zip архив!

Името на сайта отговаря на същността:) Онлайн Photoshop.

Актуализация май 2015 г

Намерих още един страхотен сайт! Още по-удобно и функционално за създаване на напълно произволен колаж! Този сайт е http://www.fotor.com/ru/collage/ . Използвайте за здравето. И сам ще го използвам.

Изправени в живота с ремонт на електрически печки. Вече направих много неща, научих много, но някак си малко се занимавах с плочки. Наложи се подмяна на контактите на регулаторите и горелките. Възникна въпросът - как да се определи диаметърът на горелката на електрическата печка?

Отговорът се оказа лесен. Няма нужда да измервате нищо, можете спокойно да определите на око какъв размер ви трябва.

Най-малката горелкае 145 милиметра (14,5 сантиметра)

Средна горелкае 180 милиметра (18 сантиметра).

И накрая най голяма горелкае 225 милиметра (22,5 сантиметра).

Достатъчно е да определите размера на око и да разберете какъв диаметър имате нужда от горелка. Когато не знаех това, летех с тези размери, не знаех как да измервам, кой край да навигирам и т.н. Сега помъдрях :) Дано и на теб ти е помогнало!

В живота си се сблъсках с такъв проблем. Мисля, че не съм единственият.

Ако в задачата е необходимо да се извърши пълно изследване на функцията f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 с изграждането на нейната графика, тогава ще разгледаме този принцип подробно.

За да се реши задача от този тип, трябва да се използват свойствата и графиките на основните елементарни функции. Алгоритъмът на изследване включва следните стъпки:

Намиране на областта на дефиниция

Тъй като се провеждат изследвания върху домейна на функцията, е необходимо да се започне с тази стъпка.

Пример 1

Даденият пример включва намиране на нулите на знаменателя, за да бъдат изключени от DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

В резултат на това можете да получите корени, логаритми и т.н. Тогава ODZ може да се търси за корен на четна степен от тип g (x) 4 по неравенството g (x) ≥ 0 , за логаритъм log a g (x) по неравенството g (x) > 0 .

Изследване на границите на ODZ и намиране на вертикални асимптоти

На границите на функцията има вертикални асимптоти, когато едностранните граници в такива точки са безкрайни.

Пример 2

Например, разгледайте граничните точки, равни на x = ± 1 2 .

След това е необходимо да се изследва функцията за намиране на едностранната граница. Тогава получаваме, че: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Това показва, че едностранните граници са безкрайни, което означава, че линиите x = ± 1 2 са вертикалните асимптоти на графиката.

Изследване на функцията и за четно или нечетно

Когато условието y (- x) = y (x) е изпълнено, функцията се счита за четна. Това предполага, че графиката е разположена симетрично по отношение на O y. Когато условието y (- x) = - y (x) е изпълнено, функцията се счита за странна. Това означава, че симетрията върви по отношение на началото на координатите. Ако поне едно неравенство не е изпълнено, получаваме функция от общ вид.

Изпълнението на равенството y (- x) = y (x) показва, че функцията е четна. При конструирането е необходимо да се вземе предвид, че ще има симетрия по отношение на O y.

За решаване на неравенството се използват интервали на нарастване и намаляване с условията f "(x) ≥ 0 и f" (x) ≤ 0, съответно.

Определение 1

Стационарни точкиса точки, които превръщат производната в нула.

Критични точкиса вътрешни точки от областта, където производната на функцията е равна на нула или не съществува.

При вземане на решение трябва да се вземат предвид следните точки:

за съществуващите интервали на нарастване и намаляване на неравенството на формата f "(x) > 0, критичните точки не са включени в решението;
точките, в които функцията е дефинирана без крайна производна, трябва да бъдат включени в интервалите на нарастване и намаляване (например y \u003d x 3, където точката x \u003d 0 прави функцията дефинирана, производната има стойност на безкрайност в този момент y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 е включено в интервала на нарастване);
за да се избегнат разногласия, се препоръчва използването на математическа литература, която се препоръчва от Министерството на образованието.

Включването на критични точки в интервалите на нарастване и намаляване, в случай че те удовлетворяват домейна на функцията.

Определение 2

За определяне на интервалите на нарастване и намаляване на функцията, е необходимо да се намери:

производно;
критични точки;
разбийте областта на дефиниране с помощта на критични точки на интервали;
определете знака на производната на всеки от интервалите, където + е увеличение, а - е намаление.

Пример 3

Намерете производната на домейна f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

За да решите трябва:

намерете стационарни точки, този пример има x = 0;
намерете нулите на знаменателя, примерът приема стойност нула при x = ± 1 2 .

Излагаме точки на цифровата ос, за да определим производната на всеки интервал. За да направите това, достатъчно е да вземете всяка точка от интервала и да направите изчисление. Ако резултатът е положителен, начертаваме + на графиката, което означава увеличение на функцията, и - означава нейното намаляване.

Например f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, което означава, че първият интервал отляво има знак +. Помислете върху числото линия.

Отговор:

има нарастване на функцията на интервала - ∞ ; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
има намаление на интервала [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; +∞.

На диаграмата с помощта на + и - са изобразени положителността и отрицателността на функцията, а стрелките показват намаляване и нарастване.

Точките на екстремума на функция са точките, в които функцията е дефинирана и през които производната променя знака.

Пример 4

Ако разгледаме пример, където x \u003d 0, тогава стойността на функцията в него е f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Когато знакът на производната се промени от + на - и преминава през точката x \u003d 0, тогава точката с координати (0; 0) се счита за максимална точка. Когато знакът се промени от - на +, получаваме минималната точка.

Изпъкналостта и вдлъбнатостта се определят чрез решаване на неравенства от формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 . По-рядко те използват името издутина надолу вместо вдлъбнатина и изпъкналост нагоре вместо издутина.

Определение 3

За определяне на пропуските на вдлъбнатост и изпъкналостнеобходимо:

намерете втората производна;
намерете нулите на функцията на втората производна;
разделяне на домейна на дефиниция чрез точките, които се появяват на интервали;
определете знака на празнината.

Пример 5

Намерете втората производна от областта на дефиницията.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Намираме нулите на числителя и знаменателя, където, използвайки нашия пример, имаме, че нулите на знаменателя x = ± 1 2

Сега трябва да поставите точки на числовата линия и да определите знака на втората производна от всеки интервал. Разбираме това

Отговор:

функцията е изпъкнала от интервала - 1 2 ; 12 ;
функцията е вдлъбната от пропуските - ∞ ; - 1 2 и 1 2 ; +∞.

Определение 4

инфлексна точкае точка от вида x 0 ; f(x0) . Когато има допирателна към графиката на функцията, тогава когато премине през x 0, функцията променя знака на противоположния.

С други думи, това е такава точка, през която втората производна преминава и променя знака, а в самите точки е равна на нула или не съществува. Всички точки се считат за домейн на функцията.

В примера се видя, че няма точки на инфлексия, тъй като втората производна променя знака, докато преминава през точките x = ± 1 2 . Те от своя страна не са включени в областта на дефиницията.

Намиране на хоризонтални и наклонени асимптоти

Когато се дефинира функция в безкрайност, трябва да се търсят хоризонтални и наклонени асимптоти.

Определение 5

Наклонени асимптотисе начертават с помощта на линии, дадени от уравнението y = k x + b, където k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x .

За k = 0 и b, което не е равно на безкрайност, откриваме, че наклонената асимптота става хоризонтална.

С други думи, асимптотите са линиите, към които графиката на функцията се приближава в безкрайност. Това допринася за бързото изграждане на графиката на функцията.

Ако няма асимптоти, но функцията е дефинирана в двете безкрайности, е необходимо да се изчисли границата на функцията в тези безкрайности, за да се разбере как ще се държи графиката на функцията.

Пример 6

Като пример, помислете за това

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. След като проучите функцията, можете да започнете да я изграждате.

Изчисляване на стойността на функция в междинни точки

За да направите графиката най-точна, се препоръчва да намерите няколко стойности на функцията в междинни точки.

Пример 7

От примера, който разгледахме, е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точките x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x = - 1 4. Тъй като функцията е четна, получаваме, че стойностите съвпадат със стойностите в тези точки, т.е. получаваме x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x = 1 4.

Нека напишем и решим:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се определят максимумите и минимумите на функцията, точките на инфлексия, междинните точки, е необходимо да се изградят асимптоти. За удобно обозначаване са фиксирани интервали на увеличение, намаляване, изпъкналост, вдлъбнатост. Разгледайте фигурата по-долу.

Необходимо е да начертаете линии на графиката през маркираните точки, което ще ви позволи да се доближите до асимптотите, следвайки стрелките.

С това приключва пълното изследване на функцията. Има случаи на конструиране на някои елементарни функции, за които се използват геометрични трансформации.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Как да изследваме функция и да начертаем нейната графика?

Като че ли започвам да разбирам душевното лице на вожда на световния пролетариат, автор на събрани съчинения в 55 тома... Дългият път започна с елементарна информация за функции и графики, а сега работата по трудоемка тема завършва с естествен резултат - статия относно пълното функционално изследване. Дългоочакваната задача е формулирана по следния начин:

Изследвайте функцията чрез методите на диференциалното смятане и въз основа на резултатите от изследването изградете нейната графика

Или накратко: разгледайте функцията и я начертайте.

Защо да изследваме?В прости случаи няма да ни е трудно да се справим с елементарни функции, да начертаем графика, получена с помощта елементарни геометрични трансформациии т.н. Свойствата и графичните представяния на по-сложни функции обаче далеч не са очевидни, поради което е необходимо цялостно изследване.

Основните стъпки на решението са обобщени в референтния материал Схема за изследване на функцията, това е вашето ръководство за секции. Манекените се нуждаят от стъпка по стъпка обяснение на темата, някои читатели не знаят откъде да започнат и как да организират проучването, а напредналите студенти може да се интересуват само от няколко точки. Но който и да сте вие, скъпи посетителю, предложеното резюме с указатели към различни уроци ще ви ориентира и насочи в интересната посока за възможно най-кратко време. Роботите пророниха сълза =) Ръководството беше направено под формата на pdf файл и зае полагащото му се място на страницата Математически формули и таблици.

Преди разделях изучаването на функцията на 5-6 точки:

6) Допълнителни точки и графика въз основа на резултатите от изследването.

Що се отнася до крайното действие, мисля, че всички разбират всичко - ще бъде много разочароващо, ако след няколко секунди то бъде задраскано и задачата бъде върната за преработка. ПРАВИЛЕН И ТОЧЕН ЧЕРТЕЖ е основният резултат от решението! Много е вероятно да "прикрие" аналитични пропуски, докато неправилен и/или небрежен график ще създаде проблеми дори при перфектно проведено проучване.

Трябва да се отбележи, че в други източници броят на изследователските елементи, редът на тяхното изпълнение и стилът на проектиране може да се различават значително от предложената от мен схема, но в повечето случаи това е напълно достатъчно. Най-простата версия на задачата се състои само от 2-3 стъпки и е формулирана по следния начин: „изследване на функцията с помощта на производната и графика“ или „изследване на функцията с помощта на 1-ва и 2-ра производна, графика“.

Естествено, ако друг алгоритъм е анализиран подробно във вашето ръководство за обучение или вашият учител стриктно изисква от вас да се придържате към неговите лекции, тогава ще трябва да направите някои корекции в решението. Не по-трудно от замяната на вилица с лъжица за резачка.

Нека проверим функцията за четно/нечетно:

Това е последвано от шаблон за отписване:
, така че тази функция не е нито четна, нито нечетна.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти.

Няма и наклонени асимптоти.

Забележка : Напомням ви, че по-високото ред на растежотколкото , така че крайната граница е точно " плюсбезкрайност."

Нека разберем как се държи функцията в безкрайност:

С други думи, ако отидем надясно, тогава графиката отива безкрайно нагоре, ако отидем наляво, безкрайно надолу. Да, има и два лимита за един запис. Ако имате затруднения с дешифрирането на знаците, моля, посетете урока за безкрайно малки функции.

Така че функцията не се ограничава отгореи не се ограничава отдолу. Като се има предвид, че нямаме точки на прекъсване, става ясно и функционален диапазон: също е всяко реално число.

ПОЛЕЗНА ТЕХНИКА

Всяка стъпка от задачата носи нова информация за графиката на функцията, така че в хода на решението е удобно да се използва вид LAYOUT. Нека начертаем декартова координатна система върху черновата. Какво се знае със сигурност? Първо, графиката няма асимптоти, следователно няма нужда да рисувате прави линии. Второ, знаем как се държи функцията в безкрайност. Според анализа правим първото приближение:

Имайте предвид, че в сила приемственостфункция на и факта, че графиката трябва да пресече оста поне веднъж. Или може би има няколко пресечни точки?

3) Нули на функцията и интервали с постоянен знак.

Първо намерете пресечната точка на графиката с оста y. Просто е. Необходимо е да се изчисли стойността на функцията, когато:

Наполовина над морското равнище.

За да намерите точките на пресичане с оста (нули на функцията), трябва да решите уравнението и тук ни очаква неприятна изненада:

Накрая дебне свободен член, което значително усложнява задачата.

Такова уравнение има поне един реален корен и най-често този корен е ирационален. В най-лошата приказка ни очакват три малки прасенца. Уравнението е разрешимо с помощта на т.нар Формули на Кардано, но увреждането на хартията е сравнимо с почти цялото изследване. В това отношение е по-разумно устно или на чернова да се опитате да вземете поне един цялокорен. Нека проверим дали тези числа са:
- не пасва;
- има!

Тук е късмет. В случай на неуспех можете също да тествате и, и ако тези числа не пасват, страхувам се, че има много малко шансове за печелившо решение на уравнението. Тогава е по-добре да пропуснете напълно изследователската точка - може би нещо ще стане по-ясно на последната стъпка, когато ще пробият допълнителни точки. И ако коренът (корените) са очевидно „лоши“, тогава е по-добре да останете скромно мълчаливи за интервалите на постоянство на знаците и по-точно да завършите чертежа.

Въпреки това имаме красив корен, така че разделяме полинома без остатък:

Алгоритъмът за деление на многочлен на многочлен е разгледан подробно в първия пример от урока. Комплексни граници.

В резултат на това лявата страна на първоначалното уравнение се разширява в продукт:

А сега малко за здравословния начин на живот. Разбира се, че го разбирам квадратни уравнениятрябва да се решава всеки ден, но днес ще направим изключение: уравнението има два реални корена.

На числовата ос нанасяме намерените стойности и интервален методдефинирайте знаците на функцията:

og По този начин, на интервалите диаграма намира
под оста x и на интервали - над тази ос.

Получените констатации ни позволяват да прецизираме нашето оформление, а второто приближение на графиката изглежда така:

Моля, обърнете внимание, че функцията трябва да има поне един максимум на интервала и поне един минимум на интервала. Но ние не знаем колко пъти, къде и кога графикът ще се "навие". Между другото, една функция може да има безкрайно много крайности.

4) Нарастване, намаляване и екстремуми на функцията.

Нека намерим критичните точки:

Това уравнение има два реални корена. Нека ги поставим на числовата ос и определим знаците на производната:

Следователно функцията се увеличава с и намалява с .
В момента функцията достига своя максимум: .
В момента функцията достига своя минимум: .

Установените факти поставят нашия шаблон в доста твърда рамка:

Излишно е да казвам, че диференциалното смятане е мощно нещо. Нека най-накрая да разгледаме формата на графиката:

5) Изпъкналост, вдлъбнатост и точки на инфлексия.

Намерете критичните точки на втората производна:

Нека дефинираме знаците:

Функционалната графика е изпъкнала на и вдлъбната на . Нека изчислим ординатата на инфлексната точка: .

Почти всичко се изчисти.

6) Остава да намерите допълнителни точки, които ще помогнат за по-точно изграждане на графика и извършване на самотест. В случая те са малко, но няма да пренебрегнем:

Нека изпълним чертежа:

Точката на инфлексия е маркирана в зелено, допълнителни точки са маркирани с кръстове. Графиката на кубична функция е симетрична спрямо нейната инфлексна точка, която винаги се намира точно в средата между максимума и минимума.

В хода на заданието дадох три хипотетични междинни рисунки. На практика е достатъчно да начертаете координатна система, да маркирате намерените точки и след всяка точка от изследването мислено да разберете как може да изглежда графиката на функцията. За студентите с добро ниво на подготовка няма да е трудно да извършат такъв анализ само в ума си, без да включват чернова.

За самостоятелно решение:

Пример 2

Разгледайте функцията и изградете графика.

Тук всичко е по-бързо и по-забавно, приблизителен пример за завършване в края на урока.

Много тайни се разкриват при изучаването на дробни рационални функции:

Пример 3

Използвайки методите на диференциалното смятане, изследвайте функцията и въз основа на резултатите от изследването изградете нейната графика.

Решение: първият етап от изследването не се различава по нищо забележително, с изключение на дупка в областта на дефиницията:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос с изключение на точката , домейн: .

, така че тази функция не е нито четна, нито нечетна.

Очевидно функцията е непериодична.

Графиката на функцията се състои от два непрекъснати клона, разположени в лявата и дясната полуравнина - това е може би най-важното заключение от 1-ви параграф.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

а) С помощта на едностранни граници изследваме поведението на функцията в близост до подозрителната точка, където вертикалната асимптота трябва ясно да бъде:

Действително функциите издържат безкрайна празнинав точката
а правата линия (ос) е вертикална асимптотаграфични изкуства.

б) Проверете дали съществуват наклонени асимптоти:

Да, линията е наклонена асимптотаграфики ако .

Няма смисъл да анализираме границите, тъй като вече е ясно, че функцията е в прегръдка с наклонената си асимптота не се ограничава отгореи не се ограничава отдолу.

Втората точка от проучването донесе много важна информация за функцията. Нека направим груба скица:

Извод № 1 се отнася до интервали на знакопостоянство. При "минус безкрайност" графиката на функцията е уникално разположена под оста x, а при "плюс безкрайност" е над тази ос. В допълнение, едностранните граници ни казаха, че както отляво, така и отдясно на точката, функцията също е по-голяма от нула. Моля, обърнете внимание, че в лявата полуравнина графиката трябва да пресича оста x поне веднъж. В дясната полуравнина може да няма нули на функцията.

Извод № 2 е, че функцията нараства от и вляво от точката (върви „отдолу нагоре“). Вдясно от тази точка функцията намалява (отива „отгоре надолу“). Десният клон на графиката със сигурност трябва да има поне един минимум. Отляво крайностите не са гарантирани.

Заключение № 3 дава надеждна информация за вдлъбнатостта на графиката в близост до точката. Засега не можем да кажем нищо за изпъкналост/вдлъбнатост в безкрайност, тъй като линията може да бъде притисната към своята асимптота както отгоре, така и отдолу. Най-общо казано, има аналитичен начин да разберете това точно сега, но формата на графиката "за нищо" ще стане по-ясна на по-късен етап.

Защо толкова много думи? За да контролирате следващите изследователски точки и да избегнете грешки! Допълнителните изчисления не трябва да противоречат на направените заключения.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали с постоянен знак на функцията.

Графиката на функцията не пресича оста.

Използвайки интервалния метод, ние определяме знаците:

, ако ;
, ако .

Резултатите от параграфа напълно съответстват на Заключение №1. След всяка стъпка погледнете черновата, мислено се обърнете към изследването и завършете чертането на графиката на функцията.

В този пример числителят се разделя термин по термин от знаменателя, което е много полезно за диференциация:

Всъщност това вече е направено при намирането на асимптоти.

- критична точка.

Нека дефинираме знаците:

се увеличава с и намалява до

В момента функцията достига своя минимум: .

Нямаше и несъответствия със заключение № 2 и най-вероятно сме на прав път.

Това означава, че графиката на функцията е вдлъбната по цялата област на дефиниция.

Отлично - и не е нужно да рисувате нищо.

Няма инфлексни точки.

Вдлъбнатостта е в съответствие с извод № 3, освен това показва, че в безкрайността (и там, и там) се намира графиката на функцията по-горенеговата наклонена асимптота.

6) Добросъвестно ще фиксираме задачата с допълнителни точки. Тук трябва да се потрудим, защото знаем само две точки от изследването.

И картина, която вероятно мнозина отдавна са представили:

В хода на заданието трябва да се внимава да няма противоречия между етапите на изследването, но понякога ситуацията е спешна или дори отчайващо задънена. Тук анализите "не се събират" - и това е всичко. В този случай препоръчвам спешна техника: намираме възможно най-много точки, принадлежащи на графиката (колко търпение е достатъчно), и ги маркираме в координатната равнина. Графичният анализ на намерените стойности в повечето случаи ще ви каже къде е истината и къде е лъжата. В допълнение, графиката може да бъде предварително изградена с помощта на някаква програма, например в същия Excel (ясно е, че това изисква умения).

Пример 4

Използвайки методите на диференциалното смятане, изследвайте функцията и начертайте нейната графика.

Това е пример за „направи си сам“. При него самоконтролът се засилва от равномерността на функцията - графиката е симетрична спрямо оста и ако нещо в изследването ви противоречи на този факт, потърсете грешка.

Четна или нечетна функция може да бъде изследвана само за и след това може да се използва симетрията на графиката. Това решение е оптимално, но според мен изглежда много необичайно. Лично аз разглеждам цялата цифрова ос, но все още намирам допълнителни точки само отдясно:

Пример 5

Проведете пълно изследване на функцията и начертайте нейната графика.

Решение:бързах силно:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата реална права: .

Това означава, че тази функция е странна, нейната графика е симетрична спрямо началото.

Очевидно функцията е непериодична.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти

За функция, съдържаща степен, обикновено отделноизучаването на "плюс" и "минус безкрайност", обаче животът ни е улеснен само от симетрията на графиката - или има асимптота отляво и отдясно, или я няма. Следователно и двата безкрайни лимита могат да бъдат подредени в един запис. В хода на решението използваме Правилото на L'Hopital:

Правата линия (ос) е хоризонталната асимптота на графиката при .

Обърнете внимание как умело избегнах пълния алгоритъм за намиране на наклонената асимптота: границата е съвсем законна и изяснява поведението на функцията в безкрайност, а хоризонталната асимптота беше намерена „като че ли едновременно“.

От непрекъснатостта на и съществуването на хоризонтална асимптота следва, че функцията ограничено отгореи ограничен отдолу.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали на постоянство.

Тук също съкращаваме решението:
Графиката минава през началото.

Няма други точки на пресичане с координатните оси. Освен това интервалите на постоянство са очевидни и оста не може да бъде начертана: , което означава, че знакът на функцията зависи само от "x":
, ако ;
, ако .

4) Нарастване, намаляване, екстремуми на функцията.

са критични точки.

Точките са симетрични спрямо нулата, както трябва да бъде.

Нека дефинираме знаците на производната:

Функцията расте на интервала и намалява на интервалите

В момента функцията достига своя максимум: .

Заради имота (странност на функцията) минимумът може да бъде пропуснат:

Тъй като функцията намалява на интервала, тогава, очевидно, графиката се намира на "минус безкрайност" подс неговата асимптота. На интервала функцията също намалява, но тук е обратното - след преминаване през максималната точка правата се приближава към оста отгоре.

От горното също следва, че графиката на функцията е изпъкнала при "минус безкрайност" и вдлъбната при "плюс безкрайност".

След тази точка от изследването е начертана и областта на стойностите на функцията:

Ако имате неразбиране на някакви точки, отново ви призовавам да начертаете координатни оси в тетрадката си и с молив в ръцете си анализирайте отново всяко заключение от задачата.

5) Изпъкналост, вдлъбнатост, огъвания на графиката.

са критични точки.

Симетрията на точките е запазена и най-вероятно не грешим.

Нека дефинираме знаците:

Графиката на функцията е изпъкнала на и вдлъбнат на .

Изпъкналост/вдлъбнатост на екстремни интервали беше потвърдена.

Във всички критични точки има огъвания в графиката. Нека намерим ординатите на точките на инфлексия, като същевременно отново намалим броя на изчисленията, използвайки странността на функцията:

Решебник Кузнецов.
III Графики

Задача 7. Проведете пълно изследване на функцията и изградете нейната графика.

Преди да започнете да изтегляте вашите опции, опитайте да разрешите проблема според примера по-долу за опция 3. Някои от опциите са архивирани във формат .rar

7.3 Извършете пълно изследване на функцията и я начертайте