Когато числото се дели на 12. Основните признаци на делимост

ми нима цяло число ки nk= м, след това числото мразделена на н

Използването на умения за делимост опростява изчисленията и пропорционално увеличава скоростта на тяхното изпълнение. Нека анализираме подробно основната характеристика характеристики на делимост.

Най-простият критерий за делимост за единици: всички числа се делят на едно. То е също толкова елементарно и с признаци на делимост по две, пет, десет. Четно число може да бъде разделено на две или едно с крайна цифра 0, на пет - число с крайна цифра 5 или 0. Само тези числа с последна цифра 0 ще се разделят на десет, като 100 - само онези числа, чиито две последни цифри са нули, включено 1000 - само тези с три крайни нули.

Например:

Числото 79516 може да бъде разделено на 2, тъй като завършва на 6, четно число; 9651 не се дели на 2, тъй като 1 е нечетна цифра; 1790 се дели на 2, защото последната цифра е нула. 3470 ще бъде разделено на 5 (последната цифра е 0); 1054 не се дели на 5 (окончателно 4). 7800 ще бъде разделено на 10 и 100; 542000 се дели на 10, 100, 1000.

По-малко известна, но много лесна за използване характеристика характеристики на делимостна 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Има и характерни черти на делимост по 7, 11, 13, 17, 19 и така нататък, но на практика се използват много по-рядко.

Характерна особеност на деленето на 3 и на 9.

На трии/или на деветбез остатък ще бъдат разделени онези числа, за които резултатът от събирането на цифрите е кратен на три и/или девет.

Например:

Числото 156321, резултатът от събирането 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 ще бъде разделено на 3 и разделено на 9, съответно самото число може да бъде разделено на 3 и 9. Числото 79123 няма да бъде разделено на 3 или 9, така че сборът от цифрите му (22) не се дели на тези числа.

Характерна особеност на разделянето на 4, 8, 16 и така нататък.

Число може да се раздели без остатък на четири, ако последните му две цифри са нули или са число, което може да се раздели на 4. Във всички останали случаи деленето без остатък не е възможно.

Например:

Числото 75300 се дели на 4, тъй като последните две цифри са нули; 48834 не се дели на 4, защото последните две цифри дават 34, което не се дели на 4; 35908 се дели на 4, тъй като последните две цифри от 08 дават числото 8, делимо на 4.

Подобен принцип е приложим за критерия за делимост по осем. Едно число се дели на осем, ако последните му три цифри са нули или образуват число, делимо на 8. В противен случай частното, получено от делението, няма да бъде цяло число.

Същите имоти за разделяне по 16, 32, 64 и др., но те не се използват в ежедневните изчисления.

Характерна черта на делимост на 6.

Числото се дели на шест, ако се дели и на две, и на три, при всички останали опции делението без остатък е невъзможно.

Например:

126 се дели на 6, тъй като се дели както на 2 (крайното четно число е 6), така и на 3 (сумата от цифрите 1 + 2 + 6 = 9 се дели на три)

Характерна особеност на делимост на 7.

Числото се дели на седемако разликата на двойното му последно число и "числото, останало без последната цифра" се дели на седем, то самото число се дели на седем.

Например:

Числото е 296492. Да вземем последната цифра "2", да я удвоим, излиза 4. Извадете 29649 - 4 = 29645. Проблемно е да разберете дали се дели на 7, затова се анализира отново. След това удвояваме последната цифра "5", излиза 10. Изваждаме 2964 - 10 = 2954. Резултатът е същият, не е ясно дали се дели на 7, затова продължаваме анализа. Анализираме с последната цифра "4", двойна, излиза 8. Изваждаме 295 - 8 = 287. Сравняваме двеста осемдесет и седем - не се дели на 7, във връзка с това продължаваме търсенето. По аналогия последната цифра "7", удвоена, излиза 14. Извадете 28 - 14 \u003d 14. Числото 14 се дели на 7, така че първоначалното число се дели на 7.

Характерна черта на делимост на 11.

На единадесетсамо онези числа са делими, за които резултатът от събирането на цифрите, поставени на нечетни места, е или равен на сбора от цифрите, поставени на четни места, или е различен от число, делимо на единадесет.

Например:

Числото 103 785 се дели на 11, тъй като сборът от цифрите на нечетните места, 1 + 3 + 8 = 12, е равен на сбора от цифрите на четните места, 0 + 7 + 5 = 12. Числото 9 163 627 е дели се на 11, тъй като сборът от цифрите на нечетните места е 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сборът от цифрите на четните места е 1 + 3 + 2 = 6; разликата между числата 28 и 6 е 22 и това число се дели на 11. Числото 461 025 не се дели на 11, тъй като числата 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не са равни на един друг, а разликата им 11 - 7 = 4 не се дели на 11.

Характерна особеност на делимост на 25.

На двадесет и петще раздели числа, чиито две последни цифри са нули, или съставят число, което може да бъде разделено на двадесет и пет (тоест числа, завършващи на 00, 25, 50 или 75). В други случаи числото не може да бъде разделено изцяло на 25.

Например:

9450 се дели на 25 (завършва на 50); 5085 не се дели на 25.

За да се опрости разделянето на естествени числа, бяха получени правилата за деление на числата от първата десетка и числата 11, 25, които се комбинират в раздел признаци на делимост на естествени числа. По-долу са правилата, по които анализът на число, без да се разделя на друго естествено число, ще отговори на въпроса, естествено число ли е кратно на числата 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и малко единица?

Естествени числа, които имат цифри (завършващи на) 2,4,6,8,0 в първата цифра се наричат четни.

Знак за делимост на числата на 2

Всички четни естествени числа се делят на 2, например: 172, 94,67 838, 1670.

Знак за делимост на числата на 3

Всички естествени числа се делят на 3, сумата от цифрите на които е кратна на 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Знак за делимост на числата на 4

Всички естествени числа се делят на 4, последните две цифри от които са нули или кратни на 4. Например:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Знак за делимост на числата на 5

Знак за делимост на числата на 6

Тези естествени числа, които се делят на 2 и 3 едновременно, се делят на 6 (всички четни числа, които се делят на 3). Например: 126 (b - четно, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Знак за делимост на числата на 9

Тези естествени числа се делят на 9, чийто сбор от цифрите е кратен на 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Знак за делимост на числата на 10

Знак за делимост на числата на 11

На 11 се делят само онези естествени числа, в които сборът от цифрите, заемащи четни места, е равен на сбора от цифрите, заемащи нечетни места, или разликата между сбора от цифрите на нечетните места и сбора от цифрите на четните места е кратно на 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Знак за делимост на числата на 25

Тези естествени числа се делят на 25, последните две цифри от които са нули или са кратни на 25. Например:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Знак за делимост на числата на битова единица

Тези естествени числа са разделени на битова единица, в която броят на нулите е по-голям или равен на броя на нулите на битовата единица. Например: 12 000 се дели на 10, 100 и 1000.

Продължава поредица от статии за признаците на делимост знак за делимост на 3. Тази статия първо дава формулировката на критерия за делимост на 3 и дава примери за прилагането на този критерий при установяване кои от дадените цели числа се делят на 3 и кои не. Освен това е дадено доказателството за теста за делимост на 3. Разглеждат се и подходи за установяване на делимостта на 3 на числата, дадени като стойност на някакъв израз.

Навигация в страницата.

Знак за делимост на 3, примери

Да започнем с формулировки на теста за делимост на 3: едно цяло число се дели на 3 , ако сборът от цифрите му се дели на 3 , ако сборът от цифрите му не се дели на 3 , тогава самото число не се дели на 3 .

От горната формулировка става ясно, че знакът за делимост на 3 не може да се използва без възможност за извършване на събиране на естествени числа. Също така, за успешното прилагане на знака за делимост на 3, трябва да знаете, че от всички едноцифрени естествени числа, числата 3, 6 и 9 се делят на 3, а числата 1, 2, 4, 5, 7 и 8 не се делят на 3.

Сега можем да разгледаме най-простото примери за прилагане на теста за делимост на 3. Нека разберем дали числото се дели на 3? 42. За да направите това, изчисляваме сбора от цифрите на числото?42, той е равен на 4+2=6. Тъй като 6 се дели на 3, тогава, по силата на знака за делимост на 3, може да се твърди, че числото? 42 също се дели на 3. Но положителното цяло число 71 не се дели на 3, тъй като сборът от цифрите му е 7+1=8, а 8 не се дели на 3.

Дели се 0 на 3? За да отговорим на този въпрос, не е необходим критерият за делимост на 3, тук трябва да си припомним съответното свойство на делимост, което гласи, че нулата се дели на всяко цяло число. Значи 0 се дели на 3.

В някои случаи, за да се покаже, че дадено число има или няма способността да се дели на 3, тестът за делимост на 3 трябва да се приложи няколко пъти подред. Да вземем пример.

Покажете, че числото 907444812 се дели на 3.

Сборът от цифрите на 907444812 е 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. За да разберем дали 39 се дели на 3, изчисляваме неговата сума от цифри: 3+9=12. И за да разберем дали 12 се дели на 3, намираме сбора от цифрите на числото 12, имаме 1+2=3. Тъй като получихме числото 3, което се дели на 3, то поради знака за делимост на 3 числото 12 се дели на 3. Следователно 39 се дели на 3, тъй като сборът от цифрите му е 12, а 12 се дели на 3. И накрая, 907333812 се дели на 3, защото сборът от цифрите му е 39, а 39 се дели на 3.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на друг пример.

Числото дели ли се на 3?543 205?

Нека изчислим сбора от цифрите на това число: 5+4+3+2+0+5=19 . От своя страна сборът от цифрите на числото 19 е 1+9=10, а сборът от цифрите на числото 10 е 1+0=1. Тъй като получихме числото 1, което не се дели на 3, от критерия за делимост на 3 следва, че 10 не се дели на 3. Следователно 19 не се дели на 3, тъй като сборът от цифрите му е 10, а 10 не се дели на 3. Следователно, първоначалното число?543205 не се дели на 3, тъй като сборът от цифрите му, равен на 19, не се дели на 3.

Струва си да се отбележи, че директното разделяне на дадено число на 3 също ни позволява да заключим дали даденото число се дели на 3 или не. С това искаме да кажем, че не бива да се пренебрегва делението в полза на знака за делимост на 3. В последния пример, разделяйки 543 205 на 3 на колона, ще се уверим, че 543 205 не се дели на 3, от което бихме могли да кажем, че 543 205 също не се дели на 3.

Доказателство за теста за делимост на 3

Следното представяне на числото a ще ни помогне да докажем знака за делимост на 3. Можем да разложим всяко естествено число a на цифри, след което правилото за умножение по 10, 100, 1000 и така нататък ни позволява да получим представяне от формата a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , където a n , a n?1 , …, a 0 са цифри отляво надясно в числото a . За по-голяма яснота даваме пример за такова представяне: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Сега нека напишем редица доста очевидни равенства: 10=9+1=3 3+1, 100=99+1=33 3+1, 1 000=999+1=333 3+1 и т.н.

Заместване в уравнението a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 вместо 10 , 100 , 1 000 и така нататък изрази 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 и така нататък получаваме
.

Свойствата на събиране на естествени числа и свойствата на умножение на естествени числа позволяват полученото равенство да бъде пренаписано, както следва:

Изразяване е сборът от цифрите на a. Нека го обозначим за краткост и удобство с буквата А, тоест приемаме . След това получаваме представяне на числото a от формата, което ще използваме при доказване на теста за делимост на 3.

Също така, за да докажем теста за делимост на 3, се нуждаем от следните свойства на делимост:

за да се дели цяло число a на цяло число b е необходимо и достатъчно модулът на a да се дели на модула на b;
ако в равенството a=s+t всички членове, с изключение на някой, се делят на някакво цяло число b, то този член също се дели на b.

Сега сме напълно подготвени и можем да изпълним доказателство за делимост на 3, за удобство формулираме тази характеристика като необходимо и достатъчно условие за делимост на 3 .

За да се дели цяло число а на 3, е необходимо и достатъчно сумата от цифрите му да се дели на 3.

За a=0 теоремата е очевидна.

Ако a е различно от нула, тогава модулът на a е естествено число, тогава е възможно представяне, където е сумата от цифрите на a.

Тъй като сборът и произведението на цели числа е цяло число, тогава е цяло число, тогава по дефиницията на делимост, продуктът се дели на 3 за всеки a 0 , a 1 , ..., a n .

Ако сборът от цифрите на числото a се дели на 3, тоест A се дели на 3, тогава поради свойството на делимост, посочено преди теоремата, то се дели на 3, следователно a се дели на 3. Това доказва достатъчността.

Ако a се дели на 3, то също се дели на 3, тогава поради същото свойство на делимост числото A се дели на 3, тоест сумата от цифрите на числото a се дели на 3. Това доказва необходимостта.

Други случаи на делимост на 3

Понякога цели числа се посочват не изрично, а като стойност на някакъв израз с променлива за дадена стойност на променливата. Например, стойността на израз за някакво естествено n е естествено число. Ясно е, че при такава спецификация на числата директното деление на 3 няма да помогне за установяване на тяхната делимост на 3, а знакът за делимост на 3 не винаги ще може да се приложи. Сега ще разгледаме няколко подхода за решаване на такива проблеми.

Същността на тези подходи е да се представи оригиналният израз като продукт на няколко фактора и ако поне един от факторите се дели на 3, тогава, поради съответното свойство на делимост, ще бъде възможно да се заключи, че целият продукт се дели на 3.

Понякога този подход може да се приложи с помощта на бинома на Нютон. Нека разгледаме примерно решение.

Делима ли се стойността на израза на 3 за всяко естествено n?

Равенството е очевидно. Нека използваме биномната формула на Нютон:

В последния израз можем да вземем 3 от скоби и получаваме. Полученото произведение се дели на 3, тъй като съдържа коефициент 3, а стойността на израза в скоби за естествено n е естествено число. Следователно, се дели на 3 за всяко естествено n.

В много случаи делимостта на 3 може да се докаже по метода на математическата индукция. Нека анализираме приложението му при решаване на пример.

Докажете, че за всяко естествено n стойността на израза се дели на 3.

За доказателство използваме метода на математическата индукция.

За n=1 стойността на израза е , а 6 се дели на 3 .

Да предположим, че стойността на израза се дели на 3, когато n=k, тоест се дели на 3.

Като вземем предвид, че се дели на 3, ще покажем, че стойността на израза за n=k+1 се дели на 3, тоест ще покажем, че се дели на 3.

Нека направим някои трансформации:

Изразът се разделя на 3 и израза се дели на 3, така че тяхната сума се дели на 3.

Така методът на математическата индукция доказа делимост на 3 за всяко естествено n.

Нека покажем още един подход към доказването на делимост на 3. Ако покажем, че за n=3 m , n=3 m+1 и n=3 m+2 , където m е произволно цяло число, стойността на някакъв израз (с променлива n) се дели на 3, тогава това ще докаже делимост на израза на 3 за всяко цяло число n . Обмислете този подход, когато решавате предишния пример.

Покажете какво се дели на 3 за всяко естествено n .

За n=3 m имаме. Полученият продукт се дели на 3, защото съдържа фактор 3, делим на 3.

Полученият продукт също се дели на 3.

И този продукт се дели на 3.

Следователно, се дели на 3 за всяко естествено n.

В заключение представяме решението на още един пример.

Делима ли се стойността на израза на 3 за някои естествени n .

За n=1 имаме. Сборът от цифрите на полученото число е 3, така че знакът за делимост на 3 ни позволява да твърдим, че това число се дели на 3.

За n=2 имаме. Сборът от цифрите и това число е 3, така че се дели на 3.

Ясно е, че за всяко друго естествено n ще имаме числа, чиято сума от цифри е 3, следователно тези числа се делят на 3.

По този начин, за всяко естествено n се дели на 3.

www.cleverstudents.ru

Математика, 6 клас, учебник за ученици от образователни организации, Зубарева И.И., Мордкович А.Г., 2014 г.

Математика, 6 клас, учебник за ученици от образователни организации, Зубарева I.I., Mordkovich A.G., 2014.

Теоретичният материал в учебника е представен по такъв начин, че учителят да може да приложи проблемен подход към обучението. С помощта на нотационната система се разграничават упражнения от четири нива на сложност. Във всеки параграф са формулирани контролни задачи въз основа на това, което учениците трябва да знаят и могат да постигнат, за да достигнат нивото на стандарта на математическото образование. В края на учебника има домашни тестове и отговори. Цветните илюстрации (чертежи и диаграми) осигуряват високо ниво на яснота на образователния материал.
Отговаря на изискванията на GEF LLC.

Задачи.

4. Начертайте триъгълник ABC и маркирайте точка O извън него (както на фигура 11). Построете фигура, симетрична на триъгълник ABC по отношение на точка O.

5. Начертайте триъгълник KMN и построете фигура, симетрична на този триъгълник по отношение на:
а) върховете му - точки M;
б) точки O - средните точки на страната MN.

6. Изградете фигура, която е симетрична:
а) лъч OM спрямо точка O; запишете коя точка е симетрична на точка O;
б) лъчът OM спрямо произволна точка A, която не принадлежи на този лъч;
в) права АВ по отношение на точка О, която не принадлежи на тази права;
г) права АВ спрямо точка О, принадлежаща на тази права; запишете коя точка е симетрична на точка О.
Във всеки случай опишете относителното положение на централно симетричните фигури.

Съдържание
Глава I. Положителни и отрицателни числа. Координати
§ 1. Въртене и централна симетрия
§ 2. Положителни и отрицателни числа. Координатна линия
§ 3. Модул на числото. Противоположни числа
§ 4. Сравнение на числа
§ 5. Успоредност на правите
§ 6. Числови изрази, съдържащи знаците "+", "-"
§ 7. Алгебричен сбор и неговите свойства
§ 8. Правилото за изчисляване на стойността на алгебричната сума на две числа
§ 9. Разстояние между точките от координатната права
§ 10. Осова симетрия
§ 11. Пропуски в числата
§ 12. Умножение и деление на положителни и отрицателни числа
§ 13. Координати
§ 14. Координатна равнина
§ 15. Умножение и деление на обикновени дроби
§ 16. Правило за умножение за комбинаторни задачи
Глава II. Преобразуване на буквални изрази
§ 17. Разширяване на скоби
§ 18. Опростяване на изразите
§ 19. Решение на уравнения
§ 20. Решаване на задачи за съставяне на уравнения
§ 21. Две основни задачи за дроби
§ 22. Кръг. Обиколка
§ 23. Кръг. Площ на кръг
§ 24. Топка. Сфера
Глава III. Делимост на естествени числа
§ 25. Делители и кратни
§ 26. Делимост на произведение
§ 27. Делност на сбора и разликата на числата
§ 28. Признаци за делимост на 2, 5, 10, 4 и 25
§ 29. Признаци за делимост на 3 и 9
§ 30. Прости числа. Разлагане на число на прости множители
§ 31. Най-голям общ делител
§ 32. Взаимно прости числа. Знак за делимост по продукт. Най-малко общо кратно
Глава IV. Математиката около нас
§ 33. Съотношение на две числа
§ 34. Диаграми
§ 35. Пропорционалност на величините
§ 36. Решаване на задачи с помощта на пропорции
§ 37. Разни задачи
§ 38. Първо запознаване с понятието "вероятност"
§ 39. Първо запознаване с изчисляването на вероятността
Домашни тестове
Теми за дейностите по проекта
Отговори

Изтеглете безплатно електронна книга в удобен формат и прочетете:

математика

СПРАВОЧЕН МАТЕРИАЛ ПО МАТЕМАТИКА ЗА 1-6 КЛАС.

Скъпи родители!Ако търсите учител по математика за вашето дете, то тази обява е за вас. Предлагам обучение по Skype: подготовка за OGE, единен държавен изпит, отстраняване на пропуски в знанията. Вашите предимства са ясни:

1) Детето ви е вкъщи и можете да сте спокойни за него;

2) Занятията се провеждат в удобно за детето време и дори можете да посещавате тези часове. Обяснявам просто и ясно на обичайната училищна дъска.

3) Можете сами да се сетите за други важни предимства на часовете по Skype!

Пишете ми на: или веднага ме добавете в Skype и ще се договорим за всичко. Цените са достъпни.

P.S. Уроците се провеждат в групи от 2-4 ученика.

С уважение, Татяна Яковлевна Андрюшченко е автор на този сайт.

Скъпи приятели!

Имам удоволствието да ви предложа да изтеглите безплатни справочни материали по математика за 5-ти клас. Изтеглете от тук!

Скъпи приятели!

Не е тайна, че някои деца изпитват затруднения при умножение и дълго деление. Най-често това се дължи на недостатъчно познаване на таблицата за умножение. Предлагам да научите таблицата за умножение с помощта на лото. Вижте повече тук. Изтеглете лото тук.

Скъпи приятели!Скоро ще се сблъскате (или вече сте се сблъсквали) с необходимостта да вземете решение задачи по интереси. Такива задачи започват да се решават в 5-ти клас и завършват. но те не завършват решаването на проблеми за проценти! Тези задачи се срещат както в контрола, така и в изпитите: както преносими, така и OGE и Единния държавен изпит. Какво да правя? Трябва да се научим как да решаваме тези проблеми. Моята книга Как да решавам проблеми с проценти ще ви помогне с това. Подробности тук!

Събиране на числа.

a+b=c, където a и b са членове, c е сборът.
За да намерите неизвестния член, извадете известния член от сбора.

Изваждане на числа.

a-b=c, където a е минусът, b е изваждането, c е разликата.
За да намерите неизвестния minuend, трябва да добавите изваждането към разликата.
За да намерите неизвестното изваждане, трябва да извадите разликата от minuend.

Умножение на числа.

a b=c, където a и b са фактори, c е произведението.
За да намерите неизвестния фактор, трябва да разделите произведението на известния фактор.

Деление на числата.

a:b=c, където a е дивидентът, b е делителят, c е частното.
За да намерите неизвестния дивидент, трябва да умножите делителя по частното.
За да намерите неизвестен делител, трябва да разделите дивидента на частното.

Законите на събирането.

a+b=b+a(изместване: сумата не се променя от пренареждането на термините).
(a+b)+c=a+(b+c)(асоциативно: за да добавите трето число към сбора от два члена, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число).

Таблица за добавяне.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Закони за умножение.

a b=b a(изместване: пермутацията на фактори не променя произведението).
(a b) c=a (b c)(комбинативно: за да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото).
(a+b) c=a c+b c(разпределителен закон за умножение по отношение на събирането: за да умножите сбора от две числа по трето число, можете да умножите всеки член по това число и да добавите резултатите).
(a-b) c=a c-b c(разпределителен закон за умножение по отношение на изваждането: за да умножите разликата на две числа с трето число, можете да умножите това число, намалено и извадено отделно и да извадите второто от първия резултат).

Таблица за умножение.

2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.

2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.

2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.

2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5 = 45.

2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6 = 54.

2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7 = 63.

2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8 = 72.

2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9 = 81.

2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10 = 90.

Делители и кратни.

разделителестествено число аназовете естественото число, с което аразделено без остатък. (Числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 са делители на числото 24, тъй като 24 се дели на всяко от тях без остатък) 1-делител на всяко естествено число. Най-големият делител на всяко число е самото число.
Многократниестествено число бе естествено число, което се дели без остатък на б. (Числата 24, 48, 72, ... са кратни на числото 24, тъй като се делят на 24 без остатък). Най-малкото кратно на всяко число е самото число.

Признаци за делимост на естествени числа.

Числата, използвани при броене на обекти (1, 2, 3, 4, ...) се наричат естествени числа. Множеството естествени числа се обозначава с буквата н.
Числа 0, 2, 4, 6, 8 Наречен доричисла. Числата, които завършват на четни цифри, се наричат четни числа.
Числа 1, 3, 5, 7, 9 Наречен странночисла. Числата, които завършват на нечетни цифри, се наричат нечетни числа.
Знак за делимост на число 2. Всички естествени числа, които завършват на четна цифра, се делят на 2.
Знак за делимост на числото 5. Всички естествени числа, които завършват на 0 или 5, се делят на 5.
Знак за делимост на числото 10. Всички естествени числа, които завършват на 0, се делят на 10.
Знак за делимост на число 3. Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то самото число се дели на 3.
Знак за делимост на числото 9. Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 9, то самото число се дели на 9.
Знак за делимост на число 4. Ако числото, съставено от последните две цифри на дадено число, се дели на 4, то самото дадено число се дели на 4.
Знак за делимост на числото 11.Ако разликата между сбора от цифрите на нечетните места и сбора от цифрите на четните места се дели на 11, то самото число се дели на 11.

Простото число е число, което има само два делителя: едно и самото число.
Съставното число е число, което има повече от два делителя.
Числото 1 не е нито просто, нито съставно число.
Записването на съставно число като произведение само на прости числа се нарича разлагане на съставно число в прости множители. Всяко съставно число може да бъде еднозначно представено като продукт на прости фактори.

Най-големият общ делител на дадени естествени числа е най-голямото естествено число, на което всяко от тези числа се дели.
Най-големият общ делител на тези числа е равен на произведението на общите прости множители в разложенията на тези числа. Пример. GCD(24, 42)=2 3=6, тъй като 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, техните общи прости множители са 2 и 3.
Ако естествените числа имат само един общ делител - един, тогава тези числа се наричат взаимно прости.

Най-малкото общо кратно на дадени естествени числа е най-малкото естествено число, което е кратно на всяко от дадените числа. Пример. LCM(24, 42)=168. Това е най-малкото число, което се дели както на 24, така и на 42.
За да намерите LCM на няколко дадени естествени числа, е необходимо: 1) да разложите всяко от дадените числа на прости множители; 2) напишете разширението на най-голямото от числата и го умножете по липсващите фактори от разширенията на други числа.
Най-малкото кратно на две взаимно прости числа е равно на произведението на тези числа.

б- знаменател на дроб, показва на колко равни части са разделени;

а-числителят на дроба, показва колко такива части са взети. Дробната лента означава знак за деление.

Понякога вместо хоризонтална дробна линия те поставят наклонена черта и обикновена дроб се пише така: а/б.

В правилна фракциячислителят е по-малък от знаменателя.
В неправилна дробчислителят е по-голям от знаменателя или равен на знаменателя.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също естествено число, тогава ще се получи равна на него дроб.

Разделянето както на числителя, така и на знаменателя на дроб на техния общ делител, различен от един, се нарича намаляване на дроба.

Число, състоящо се от цяла част и дробна част, се нарича смесено число.
За да се представи неправилна дроб като смесено число, е необходимо числителят на дроба да се раздели на знаменателя, тогава непълното частно ще бъде цялата част от смесеното число, остатъкът ще бъде числителят на дробната част , а знаменателят ще остане същият.
За да представите смесено число като неправилна дроб, трябва да умножите цялата част от смесеното число по знаменателя, да добавите числителя на дробната част към резултата и да го запишете в числителя на неправилната дроб и да оставите знаменателя същото.

Рей охс произход в точката О, на която единичен разрездо и посока, Наречен координатен лъч.
Извиква се числото, съответстващо на точката на координатния лъч координатитази точка. Например , A(3). Прочетете: точка А с координата 3.

Най-малкият общ знаменател ( NOZ) от тези несводими дроби е най-малкото общо кратно ( НОК) знаменатели на тези дроби.
За да доведете дробите до най-малкия общ знаменател, трябва: 1) да намерите най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, това ще бъде най-малкият общ знаменател. 2) намираме допълнителен множител за всяка от дробите, за което разделяме новия знаменател на знаменателя на всяка дроб. 3) умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по нейния допълнителен фактор.

От две дроби с един и същ знаменател тази с по-голям числител е по-голяма, а тази с по-малък числител е по-малка.
От две дроби с един и същ числител тази с по-малък знаменател е по-голяма, а тази с по-голям знаменател е по-малка.
За да сравните дроби с различни числители и различни знаменатели, трябва да намалите дробите до най-малкия общ знаменател и след това да сравните дробите със същите знаменатели.

Операции с обикновени дроби.

За да добавите дроби с едни и същи знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателят същият.
Ако трябва да добавите дроби с различни знаменатели, тогава първо намалете дробите до най-малкия общ знаменател и след това добавете дробите със същите знаменатели.
За да се извадят дроби с еднакви знаменатели, числителят на втората дроб се изважда от числителя на първата дроб, а знаменателят се оставя същият.
Ако трябва да извадите дроби с различни знаменатели, тогава те първо се привеждат до общ знаменател, а след това дроби със същите знаменатели се изваждат.
При извършване на операции за събиране или изваждане на смесени числа тези операции се извършват отделно за цели части и за дробни части, след което резултатът се записва като смесено число.

Произведението на две обикновени дроби е равно на дроб, чийто числител е равен на произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на дадените дроби.
За да умножите обикновена дроб по естествено число, трябва да умножите числителя на дроба по това число и да оставите знаменателя същият.
Две числа, чието произведение е равно на едно, се наричат взаимно реципрочни числа.
Когато се умножават смесени числа, те първо се преобразуват в неправилни дроби.
За да намерите част от число, трябва да умножите числото по тази дроб.

За да разделите обикновена дроб на обикновена дроб, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.
При разделяне на смесени числа те първо се преобразуват в неправилни дроби.
За да разделите обикновена дроб на естествено число, трябва да умножите знаменателя на дробта по това естествено число и да оставите числителя същия. ((2/7):5=2/(75)=2/35).
За да намерите число по неговата дроб, трябва да разделите на тази дроб числото, което му съответства.

Десетичната дроб е число, записано в десетичната система и с цифри по-малко от една. (3,25; 0,1457 и т.н.)
Десетичните знаци след десетичната запетая се наричат десетични знаци.
Десетичната дроб няма да се промени, ако се добавят или изхвърлят нули в края на десетичната дроб.

За да добавите десетични дроби, трябва: 1) да изравните броя на десетичните знаци в тези дроби; 2) запишете ги един под друг, така че запетаята да се изпише под запетаята; 3) извършете събирането, като игнорирате запетаята, и поставете запетая под запетаите в сумираните дроби в сбора.

За да извършите изваждането на десетичните дроби, трябва: 1) да изравните броя на десетичните знаци в минуса и изваждането; 2) подпишете изваденото под намаленото, така че запетаята да е под запетаята; 3) извършете изваждането, пренебрегвайки запетаята, и в резултат поставете запетаята под запетаята на минуса и изваждането.

За да умножите десетична дроб по естествено число, трябва да я умножите по това число, като игнорирате запетаята, и в получения продукт да отделите толкова цифри вдясно, колкото е имало след десетичната запетая в дадената дроб.
За да умножите една десетична дроб по друга, трябва да извършите умножението, като игнорирате запетаите и в получения резултат да отделите толкова цифри със запетая вдясно, колкото е имало след запетаите и в двата фактора заедно.
За да умножите десетичната запетая по 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая надясно с 1, 2, 3 и т.н. цифри.
За да умножите десетичната запетая по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., трябва да преместите запетаята наляво с 1, 2, 3 и т.н. цифри.

За да разделите десетична дроб на естествено число, трябва да разделите дроба на това число, тъй като естествените числа се разделят и се поставят в частна запетая, когато разделянето на цялата част приключи.
За да разделите десетичната запетая на 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите запетаята наляво с 1, 2, 3 и т.н. цифри.

За да разделите число с десетична запетая, трябва да преместите запетаите в делителя и делителя толкова цифри вдясно, колкото са след десетичната запетая в делителя, и след това да ги разделите с естествено число.
За да разделите десетичната запетая на 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., трябва да преместите запетаята надясно с 1, 2, 3 и т.н. цифри. (Разделянето на десетичен знак на 0,1; 0,01; 0,001 и т.н. е същото като умножаването на този десетичен знак по 10, 100, 1000 и т.н.)

За да закръглим число до определена цифра, подчертаваме цифрата на тази цифра и след това заменяме всички цифри зад подчертаната с нули и ако са след десетичната запетая, изхвърляме. Ако първата заменена с нула или изхвърлена цифра е 0, 1, 2, 3 или 4, тогава подчертаната цифра остава непроменена. Ако първата цифра, заменена с нула или изхвърлена, е 5, 6, 7, 8 или 9, тогава подчертаната цифра се увеличава с 1.

Средно аритметично на няколко числа.

Средноаритметичната стойност на няколко числа е частното от разделянето на сбора от тези числа на броя на термините.

Обхватът на поредица от числа.

Разликата между най-големите и най-малките стойности на серията от данни се нарича обхват на серията от числа.

Мода за серия от числа.

Числото, което се среща с най-голяма честота сред дадените числа от редицата, се нарича режим на редицата от числа.

Една стотна се нарича процент. Купете си книга, която учи "Как да решаваме проблеми с проценти".
За да изразите процентите като дроб или естествено число, трябва да разделите процента на 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
За да изразите число като процент, трябва да го умножите по 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
За да намерите процент от число, трябва да изразите процента като обикновена или десетична дроб и да умножите получената дроб по даденото число.
За да намерите число по неговия процент, трябва да изразите процента като обикновена или десетична дроб и да разделите даденото число на тази дроб.
За да намерите процента на първото число от второто, трябва да разделите първото число на второто и резултата да умножите по 100%.

Частното на две числа се нарича съотношение на тези числа. a:bили а/бе съотношението на числата a и b, освен това a е предишният член, b е следващият член.
Ако условията на тази връзка са пренаредени, тогава получената връзка се нарича обратна на тази връзка. Отношенията b/a и a/b са взаимно обратни.
Съотношението няма да се промени, ако и двата члена на съотношението се умножат или разделят на едно и също число, различно от нула.

Равенството на две съотношения се нарича пропорция.
a:b=c:d. Това е пропорция. Прочети: атака се отнася за б, как ° Сотнася се до д. Числата a и d се наричат крайни членове на пропорцията, а числата b и c са средните членове на пропорцията.

Продуктът на екстремните членове на една пропорция е равен на произведението на нейните средни членове. За пропорция a:b=c:dили a/b=c/dосновното свойство се записва така: a d=b c.
За да намерите неизвестния краен член на пропорцията, трябва да разделите произведението на средните членове на пропорцията на известния краен член.
За да намерите неизвестния среден член на пропорцията, трябва да разделите произведението на екстремните членове на пропорцията на известния среден член. Задачи за пропорции.

Нека стойността гзависи от размера х. Ако с увеличение хняколко пъти по-голям от размера внараства със същия коефициент, тогава такива стойности хи все наричат право пропорционални.

Ако две величини са право пропорционални, тогава съотношението на две произволни стойности на първото количество е равно на съотношението на двете съответстващи стойности на второто количество.

Съотношението на дължината на отсечката на картата към дължината на съответното разстояние на земята се нарича мащаб на картата.

Нека стойността взависи от размера х. Ако с увеличение хняколко пъти по-голям от размера внамалява със същия коефициент, тогава такива стойности хи все наричат обратно пропорционални.

Ако две величини са обратно пропорционални, тогава съотношението на две произволно взети стойности на едно количество е равно на обратното съотношение на съответните стойности на другото количество.

Наборът е съвкупност от някои обекти или числа, съставени според някои общи свойства или закони (много букви на страница, много правилни дроби със знаменател 5, много звезди на небето и т.н.).
Множествата са съставени от елементи и са или крайни, или безкрайни. Множество, което не съдържа никакъв елемент, се нарича празно множество и се обозначава ох
Много ATнаречено подмножество на множеството НОако всички елементи от множеството ATса елементи от множеството НО.
Задайте пресичане НОи ATе множество, чиито елементи принадлежат на множеството НОи много AT.
Съюз на множества НОи ATе множество, чиито елементи принадлежат на поне едно от дадените множества НОи AT.

Набори от числа.

н– набор от естествени числа: 1, 2, 3, 4,…
З– набор от цели числа: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Ве набор от рационални числа, представими като дроб м/н, където м- цяла, н– естествено (-2; 3/5; v9; v25 и др.)

Координатната линия е права линия, на която са дадени положителна посока, референтна точка (точка O) и единичен сегмент.
Всяка точка от координатната права съответства на определено число, което се нарича координата на тази точка. Например, А(5). Прочетете: точка А с координата пет. В 3). Прочетете: точка B с координата минус три.

Модулът на числото a (запишете |a|) е разстоянието от началото до точката, съответстваща на даденото число а. Стойността на модула на всяко число е неотрицателна. |3|=3; |-3|=3, защото разстоянието от началото до числото -3 и до числото 3 е равно на три единични отсечки. |0|=0 .
По дефиниция на модула на число: |a|=a, ако a?0и |a|=-a, ако а б.
Ако при сравняване на числа a и b разликата a-bтогава е отрицателно число a , тогава те се наричат строги неравенства.
Ако неравенствата са записани със знаци? или ?, тогава те се наричат нестроги неравенства.

Свойства на числовите неравенства.

ж) Неравенство от вида x?a. Отговор:

Основните идеи и концепции, необходими за организиране на доброволчески (доброволчески) дейности. 1. Общи подходи към организацията на доброволческите (доброволчески) дейности. 1.1.Основни идеи и концепции, необходими за организиране на доброволчески (доброволчески) дейности. 1.2. Законодателна рамка за доброволците […]

Законът на Муна Законите на Ману са древен индийски сборник от предписания за религиозен, морален и социален дълг (дхарма), наричан още „законът на арийците“ или „кодексът на честта на арийците“. Манавадхармашастра е една от двадесетте дхармашастри. Ето избрани фрагменти (превод от Георги Федорович […]

"Управление и оптимизация на производствено предприятие" РЕЗЮМЕ Дадени са основните понятия за бизнес етикет. Показано е, че в момента, когато местните предприятия и организации се интегрират в икономическия живот на различни региони на планетата, правилата на бизнес комуникацията изискват специално внимание. Дават се тестове […]

знак за делимост

Знак за делимост- правило, което ви позволява относително бързо да определите дали дадено число е кратно на предварително определено число, без да се налага да извършвате действително деление. Като правило се основава на действия с част от цифрите от записа на числата в позиционната бройна система (обикновено десетична).

Има няколко прости правила, които ви позволяват да намерите малки делители на число в десетичната бройна система:

Знак за делимост на 2

Знак за делимост на 3

Делност на 4 знака

Знак за делимост на 5

Знак за делимост на 6

Знак за делимост на 7

Знак за делимост на 8

Знак за делимост на 9

Знак за делимост на 10

Знак за делимост на 11

Знак за делимост на 12

Знак за делимост на 13

Знак за делимост на 14

Знак за делимост на 15

Знак за делимост на 17

Знак за делимост на 19

Знак за делимост на 23

Знак за делимост на 25

Знак за делимост на 99

Разделяме числото на групи от по 2 цифри от дясно на ляво (най-лявата група може да има една цифра) и намираме сбора от тези групи, като ги считаме за двуцифрени числа. Тази сума се дели на 99, ако и само ако самото число се дели на 99.

Знак за делимост на 101

Разделяме числото на групи от по 2 цифри от дясно наляво (най-лявата група може да има една цифра) и намираме сбора от тези групи с променливи знаци, като ги считаме за двуцифрени числа. Тази сума се дели на 101, ако и само ако самото число се дели на 101. Например, 590547 се дели на 101, тъй като 59-05+47=101 се дели на 101).

Знак за делимост на 2 н

Едно число се дели на n-та степен на две, ако и само ако числото, образувано от последните n цифри, се дели на същата степен.

Знак за делимост на 5 н

Едно число се дели на n-та степен на 5, ако и само ако числото, образувано от последните n цифри, се дели на същата степен.

Знак за делимост на 10 н − 1

Нека разделим числото на групи от n цифри от дясно на ляво (най-лявата група може да съдържа от 1 до n цифри) и да намерим сбора от тези групи, като ги считаме за n-цифрени числа. Тази сума се дели на 10 н− 1, ако и само ако самото число се дели на 10 н − 1 .

Знак за делимост на 10 н

Едно число се дели на n-та степен на десет, ако и само ако последните n цифри са