Най -вече в уравнение. практиката трябва да използва средната аритметична стойност, която може да бъде изчислена като проста и претеглена средноаритметична.
Средноаритметична (CA)-нНай -често срещаният тип среда. Използва се в случаите, когато обемът на променлива характеристика за цялата популация е сумата от стойностите на характеристиките на отделните й единици. За социалните явления е характерна адитивността (сумирането) на обемите на променливия атрибут, това определя полето на приложение на CA и обяснява неговото разпространение като обобщаващ показател, Например: общият фонд на заплатата е сумата от заплатата на всички служители.
За да изчислите CA, трябва да разделите сумата на всички характерни стойности на техния брой. CA се прилага в 2 форми.
Помислете първо за простата средноаритметична.
1-CA просто (начална, определяща форма) е равна на простата сума от отделните стойности на усреднения атрибут, разделена на общия брой на тези стойности (използва се, когато има негрупирани инд. стойности на атрибута):
Изчисленията могат да бъдат обобщени в следната формула:
(1)
където 
- средната стойност на променливия признак, т.е. простата средноаритметична стойност;
означава сумиране, тоест добавяне на отделни характеристики;
х- индивидуални стойности на променлива характеристика, които се наричат варианти;
н - брой единици от населението
Пример 1,се изисква да се намери средната продукция на един работник (ключар), ако е известно колко части е направил всеки от 15 -те работници, т.е. редица инд. стойности на атрибута, бр.: 21; двадесет; двадесет; 19; 21; 19; осемнадесет; 22; 19; двадесет; 21; двадесет; осемнадесет; 19; двайсет.
CA simple се изчислява по формулата (1), бр.:
Пример 2... Нека изчислим CA въз основа на условни данни за 20 магазина, включени в търговското дружество (Таблица 1). маса 1
Разпределение на магазини на търговско дружество "Весна" по търговска площ, кв. М
|
Магазин № |
Магазин № | ||
За да изчислите средната площ на магазина ( 
) е необходимо да се добавят площите на всички магазини и резултатът да се раздели на броя магазини:
Така средната площ на магазина за тази група търговски предприятия е 71 кв. М.
Следователно, за да определите CA просто, трябва да разделите сумата от всички стойности на даден атрибут на броя единици, които имат този атрибут.
2
където е 1
,
е 2
,
… ,е н
–
тегло (честота на повтаряне на едни и същи знаци); - сумата от произведенията на величината на характеристиките по тяхната честота; - общият брой единици в населението.
(2)
Където NS- настроики;
е- честота (тегло).
Претегленият SA е коефициентът на разделяне на сумата от произведенията на вариантите и съответните им честоти на сумата от всички честоти. Честоти ( е), които се появяват във формулата за CA обикновено се извикват везни, в резултат на което CA, изчислена като се вземат предвид теглата, се нарича претеглена.
Ще илюстрираме техниката за изчисляване на CA, претеглена, като използваме горния пример 1. За да направим това, ние групираме първоначалните данни и ги поставяме в таблица.
Средната стойност на групираните данни се определя, както следва: първо опциите се умножават по честотите, след това се добавят продуктите и получената сума се разделя на сумата от честотите.
Съгласно формулата (2), претегленият CA е равен на, бр: 
NS
Разпределение на магазините на Vesna по търговски площи, кв. м
По този начин резултатът е същият. Това обаче вече ще бъде среднопретеглената аритметична стойност.
В предишния пример изчислихме средното аритметично, като приемем, че абсолютните честоти (броя на магазините) са известни. В редица случаи обаче абсолютните честоти отсъстват, но относителните честоти са известни или, както обикновено се наричат, честоти, които показват дял илидела на честотите в цялото население.
При изчисляване на CA претеглена употреба честотиви позволява да опростите изчисленията, когато честотата е изразена в големи, многоцифрени числа. Изчислението се извършва по същия начин, но тъй като средната стойност се увеличава с коефициент 100, резултатът трябва да се раздели на 100.
Тогава формулата за средноаритметичната претеглена стойност ще изглежда така:
където д- честота, т.е. делът на всяка честота в общата сума на всички честоти.
(3)В нашия пример 2 първо определяме дела на магазините по групи в общия брой магазини на фирма "Весна". Така че за първата група специфичното тегло съответства на 10% 
... Получаваме следните данни Таблица 3
Какво е средноаритметична
Средната аритметична стойност на няколко величини е отношението на сумата на тези величини към техния брой.
Средната аритметична стойност на определена поредица от числа се нарича сумата от всички тези числа, разделена на броя членове. По този начин средната аритметична стойност е средната стойност на числова серия.
Какво е средното аритметично на няколко числа? И те са равни на сумата от тези числа, която е разделена на броя членове в тази сума.
Как да намерим средната аритметика
Няма нищо трудно в изчисляването или намирането на средната аритметична стойност на няколко числа, достатъчно е да се съберат всички представени числа и да се раздели получената сума на броя членове. Полученият резултат ще бъде средната аритметична стойност на тези числа.
Нека разгледаме по -отблизо този процес. Какво трябва да направим, за да изчислим средната аритметика и да получим крайния резултат от това число.
Първо, за да го изчислите, трябва да определите набор от числа или техния брой. Този набор може да включва големи и малки числа и техният брой може да бъде всичко.
Второ, всички тези числа трябва да се добавят, за да се получи тяхната сума. Естествено, ако числата са прости и броят им е малък, тогава изчисленията могат да се направят, като се запише на ръка. И ако наборът от числа е впечатляващ, тогава е по -добре да използвате калкулатор или електронна таблица.
И четвърто, сумата, получена от сумирането, трябва да бъде разделена на броя на числата. В резултат на това ще получим резултата, който ще бъде средната аритметична стойност на тази серия.
За какво означава аритметиката?
Средната аритметична стойност може да бъде полезна не само за решаване на примери и задачи в уроците по математика, но и за други цели, необходими в ежедневието на човек. Такива цели могат да бъдат изчисляване на средната аритметична стойност, за да се изчислят средните финансови разходи на месец, или да се изчисли времето, което прекарвате на пътя, също така, за да разберете посещаемостта, производителността, скоростта на движение, доходността и много други.
Така че, нека се опитаме да изчислим колко време отделяте за училище. Всеки път, когато отивате на училище или се прибирате вкъщи, прекарвате различно време на пътя, защото когато бързате, вървите по -бързо и следователно пътят отнема по -малко време. Но, връщайки се у дома, можете да вървите бавно, да общувате със съученици, да се възхищавате на природата и затова ще ви отнеме повече време по пътя.
Следователно няма да можете да определите точно времето, прекарано на пътя, но благодарение на средната аритметична стойност можете приблизително да разберете времето, което прекарвате на пътя.
Да кажем, че в първия ден след уикенда сте прекарали петнадесет минути по пътя от вкъщи до училище, на втория ден пътуването ви е отнело двадесет минути, в сряда сте изминали разстоянието за двадесет и пет минути, в същото време сте си проправи път в четвъртък, а в петък не бързаше и се върна за половин час.
Нека да намерим средната аритметика, като добавим време за всичките пет дни. Така,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Сега нека разделим тази сума на броя на дните
Чрез този метод научихте, че пътуването от дома до училище отнема приблизително двадесет и три минути от вашето време.
Домашна работа
1. Използвайте някои прости изчисления, за да намерите средноаритметичната стойност на броя на учениците във вашия клас на седмица.
2. Намерете средната аритметична стойност:
3. Решете проблема:
Когато броят на елементите от множеството числа на стационарен случаен процес се стреми към безкрайност, средната аритметична се стреми към математическото очакване на случайна променлива.
Въведение
Ние обозначаваме множеството от числа х = (х 1 , х 2 , …, х н), тогава средната стойност на извадката обикновено се обозначава с хоризонтална лента над променливата (произнася се „ хс ред ").
Гръцката буква μ обикновено се използва за означаване на средната аритметика на целия набор от числа. За случайна величина, за която е определена средната стойност, μ е вероятностна средна стойностили математическото очакване на случайна променлива. Ако множеството хе съвкупност от случайни числа с вероятностна средна μ, след това за всяка извадка х iот тази колекция μ = E ( х i) е математическото очакване на тази извадка.
На практика разликата между μ и x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))е, че μ е типична променлива, защото можете да видите извадката, а не цялата популация. Следователно, ако извадката е представена по случаен начин (от гледна точка на теорията на вероятностите), тогава x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x)))(но не μ) може да се третира като случайна величина с вероятностно разпределение в извадката (вероятностно разпределение на средната стойност).
И двете количества се изчисляват по един и същи начин:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)Примери за
- За три числа ги добавете и разделете на 3:
- За четири числа ги добавете и разделете на 4:
Непрекъсната произволна променлива
Ако има интеграл на някаква функция f (x) (\ displaystyle f (x))една променлива, тогава средната аритметична стойност на тази функция на интервала [a; b] (\ displaystyle)дефинирани чрез определен интеграл:
f (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x. (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx.)Това предполага, че b> a. (\ displaystyle b> а.)
Някои проблеми при използването на средната стойност
Липса на здравина
Въпреки че средната аритметична стойност често се използва като средни стойности или централни тенденции, тя не е стабилна статистика, което означава, че средната аритметична стойност е силно повлияна от „големи отклонения“. Трябва да се отбележи, че за разпределения с голям коефициент на изкривяване средната аритметика може да не съответства на понятието „средна стойност“, а средните стойности от стабилната статистика (например медианата) могат по -добре да опишат централната тенденция.
Класически пример е изчисляването на средния доход. Средната аритметична стойност може да бъде тълкувана погрешно като медиана, което може да доведе до заключението, че има повече хора с по -високи доходи, отколкото са в действителност. „Средният“ доход се тълкува по такъв начин, че доходите на повечето хора са близки до този брой. Този „среден“ (по смисъла на средноаритметичния) доход е по -висок от дохода на повечето хора, тъй като високият доход с голямо отклонение от средното прави средното аритметично силно изкривено (за разлика от това, средният доход „се съпротивлява“ на такива пристрастие). Този „среден“ доход обаче не казва нищо за броя на хората близо до средния доход (и не казва нищо за броя на хората в близост до модалния доход). Независимо от това, ако вземете леко понятията „среден“ и „мнозинство от хората“, можете да направите грешен извод, че повечето хора имат по -високи доходи, отколкото са в действителност. Например, доклад за "средния" нетен доход в Медина, Вашингтон, изчислен като средната аритметична стойност на годишните нетни доходи на всички жители, би дал изненадващо голям брой поради Бил Гейтс. Помислете за извадката (1, 2, 2, 2, 3, 9). Средната аритметична стойност е 3,17, но пет от шест стойности са под тази средна стойност.
Сложна лихва
Ако цифрите умножавам, но не сгънете, трябва да използвате средната геометрия, а не средната аритметика. Най -често този инцидент възниква при изчисляване на възвръщаемостта на инвестициите във финанси.
Например, ако запасите спаднаха с 10% през първата година и се увеличиха с 30% през втората година, тогава е неправилно да се изчисли „средното“ увеличение през тези две години като средна аритметична стойност (-10% + 30%) / 2 = 10%; правилната средна стойност в този случай се дава от кумулативния годишен темп на растеж, при който годишният ръст е само около 8.16653826392% ≈ 8.2%.
Причината за това е, че процентите имат нова отправна точка всеки път: 30% е 30%. от число, по -малко от цената в началото на първата година:ако акцията е била на 30 долара в началото и е паднала с 10%, тя е на 27 долара в началото на втората година. Ако акциите са нараснали с 30%, те струват 35,1 долара в края на втората година. Средната аритметична стойност на този растеж е 10%, но тъй като акциите са само 5,1 долара за 2 години, средно 8,2% увеличение дава крайния резултат от 35,1 долара:
[$ 30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $ 30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $ 35,1]. Ако използваме средноаритметичната стойност от 10% по същия начин, няма да получим действителната стойност: [$ 30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $ 36,3].
Сложна лихва в края на 2 -ра година: 90% * 130% = 117%, тоест общо увеличение от 17% и средна годишна сложна лихва 117% ≈ 108.2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ приблизително 108.2 \%), тоест средногодишен ръст от 8,2%.
Упътвания
Основна статия: Статистически данни за местоназначението
При изчисляване на средната аритметична стойност на някаква променлива, която се променя циклично (например фаза или ъгъл), трябва да се обърне специално внимание. Например средната стойност на числата 1 и 359 ще бъде 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180. Този номер е неправилен поради две причини.
Средната стойност за цикличната променлива, изчислена с помощта на горната формула, ще бъде изкуствено изместена от реалната средна стойност към средата на числовия диапазон. Поради това средната стойност се изчислява по различен начин, а именно числото с най -малка вариация (централна точка) се избира като средна стойност. Също така, вместо да се изважда, се използва модулното разстояние (тоест обиколката). Например модулното разстояние между 1 ° и 359 ° е 2 °, а не 358 ° (на кръг между 359 ° и 360 ° == 0 ° - един градус, между 0 ° и 1 ° - също 1 °, общо) - 2 °).
Три деца отидоха в гората за горски плодове. Най -голямата дъщеря намери 18 плодове, средната - 15, а по -малкият брат - 3 плодове (виж фиг. 1). Донесоха плодовете на майка ми, която реши да раздели плодовете по равно. Колко плодове е получило всяко от децата?
Ориз. 1. Илюстрация за проблема
Решение
(yag.) - децата събраха всичко
2) Разделете общия брой плодове на броя на децата:
(да) има всяко дете
Отговор: всяко дете ще получи 12 плодове.
В задача 1 числото, получено в отговора, е средната аритметична стойност.
Средноаритметичноняколко числа се нарича коефициент на разделяне на сумата на тези числа на техния брой.
Пример 1
Имаме две числа: 10 и 12. Намерете средната им аритметика.
Решение
1) Определете сумата от тези числа :.
2) Броят на тези числа е 2, следователно средната аритметична стойност на тези числа е :.
Отговор: Средната аритметична стойност на 10 и 12 е 11.
Пример 2
Имаме пет числа: 1, 2, 3, 4 и 5. Намерете средната им аритметика.
Решение
1) Сумата от тези числа е :.
2) По дефиниция средната аритметична стойност е частното от разделянето на сумата от числата на техния брой. Имаме пет числа, така че средната аритметична стойност е:
Отговор: средната аритметична стойност на данните в условието за числа е 3.
В допълнение към факта, че постоянно се предлага да се намери в класната стая, намирането на средната аритметична стойност е много полезно в ежедневието. Да предположим например, че искаме да отидем на почивка в Гърция. За да изберем подходящите дрехи, разглеждаме текущата температура в тази страна. Ние обаче не знаем общата картина на времето. Следователно е необходимо да се установи температурата на въздуха в Гърция например за една седмица и да се намери средната аритметична стойност на тези температури.
Пример 3
Температура в Гърция за седмицата: понеделник -; Вторник -; Сряда -; Четвъртък -; Петък -; Събота -; Неделя -. Изчислете средната температура за седмицата.
Решение
1) Нека изчислим сумата от температурите :.
2) Разделете получената сума на броя дни :.
Отговор: средна седмична температура прибл.
Възможността за намиране на средната аритметична стойност също може да е необходима за определяне на средната възраст на играчите във футболен отбор, тоест за да се установи дали отборът има опит или не. Необходимо е да се сумират възрастите на всички играчи и да се раздели на техния брой.
Задача 2
Търговецът продаваше ябълки. Отначало той ги продаде на цена от 85 рубли за 1 кг. Така той продаде 12 кг. След това свали цената до 65 рубли и продаде останалите 4 кг ябълки. Каква беше средната цена на ябълките?
Решение
1) Нека изчислим колко пари е спечелил търговецът общо. Той продаде 12 килограма на цена от 85 рубли за 1 кг: 
(триене).
Той продаде 4 килограма на цена от 65 рубли за 1 кг: (рубли).
Следователно общата сума на спечелените пари е равна на: (рубли).
2) Общото тегло на продадените ябълки е :.
3) Разделете получената сума пари на общото тегло на продадените ябълки и получете средната цена за 1 кг ябълки: (рубли).
Отговор: средната цена на 1 кг продадени ябълки е 80 рубли.
Средното аритметично ви помага да оцените данните като цяло, без да приемате всяка стойност поотделно.
Не винаги обаче е възможно да се използва понятието за средна аритметична стойност.
Пример 4
Стрелецът е изстрелял два изстрела в целта (виж фиг. 2): първият път, когато удари с един метър по -високо от целта, а вторият - с един метър по -ниско. Средната аритметична стойност ще покаже, че е ударил точния център, въпреки че е пропуснал и двата пъти.
Ориз. 2. Илюстрация например
В този урок се запознахме с понятието средна аритметика. Научихме дефиницията на това понятие, научихме как да изчисляваме средната аритметика за няколко числа. Научихме и практическото приложение на тази концепция.
- Н. Я. Виленкин. Математика: учебник. за 5 cl. общ учр. - Ед. 17 -ти. - М.: Мнемосина, 2005. )
- Игор имаше 45 рубли със себе си, Андрей - 28, а Денис - 17.
- С всичките си пари те купиха 3 билета за кино. Колко струваше един билет?
Зареждане ...