Събиране на дроби с еднакви знаменатели
Съществуват два вида събиране на дроби:
- Събиране на дроби с еднакви знаменатели
- Събиране на дроби с различни знаменатели
Първо, нека научим събирането на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен. Например, нека съберем дробите и . Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:
Пример 2.Добавете дроби и .
Отговорът не беше правилна дроб. Когато дойде краят на задачата, обичайно е да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част от нея. В нашия случай цяла частсе откроява лесно - две делено на две е равно на едно:
Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пица към пицата, получавате една цяла пица:
Пример 3. Добавете дроби и .
Отново събираме числителите и оставяме знаменателя непроменен:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако добавите още пица към пицата, получавате пица:
Пример 4.Намерете стойността на израз 
Този пример се решава точно по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:
Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.
Както можете да видите, няма нищо сложно в събирането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:
- За да добавите дроби с еднакъв знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;
Събиране на дроби с различни знаменатели
Сега нека научим как да събираме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на дробите трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.
Например, дроби могат да се добавят, защото имат еднакви знаменатели.
Но дробите не могат да се добавят веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.
Има няколко начина за намаляване на дроби до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като другите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.
Същността на този метод е, че първо се търси LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб, за да се получи първият допълнителен фактор. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител.
След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.
Пример 1. Нека съберем дробите и
Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6
LCM (2 и 3) = 6
Сега да се върнем към дробите и . Първо, разделете LCM на знаменателя на първата дроб и вземете първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.
Полученото число 2 е първият допълнителен множител. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка наклонена линия над фракцията и запишете допълнителния фактор, намерен над нея:
Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.
Полученото число 3 е вторият допълнителен множител. Записваме го до втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората дроб и записваме допълнителния фактор, намерен над нея:
Сега имаме всичко готово за добавяне. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители:
Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека вземем този пример до края:
Това завършва примера. Оказва се да добавите .
Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пица към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:
Намаляването на дроби до един и същ (общ) знаменател може също да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки дробите и до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни части (приведени към един знаменател).
Първият чертеж представлява дроб (четири части от шест), а вторият чертеж представлява дроб (три части от шест). Като добавим тези парчета, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова подчертахме цялата й част. В резултат на това получихме (една цяла пица и още една шеста пица).
Моля, обърнете внимание, че сме описали този пример твърде подробно. IN образователни институцииНе е прието да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни множители по вашите числители и знаменатели. Ако бяхме в училище, трябваше да напишем този пример по следния начин:
Но също така има задна странамедали. Ако не си водите подробни бележки в първите етапи на изучаване на математика, тогава започват да се появяват въпроси от този сорт. „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.
За да улесните събирането на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:
- Намерете LCM на знаменателите на дробите;
- Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб;
- Умножете числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители;
- Съберете дроби с еднакви знаменатели;
- Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата й част;
Пример 2.Намерете стойността на израз 
.
Нека използваме инструкциите, дадени по-горе.
Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите
Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4
Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб
Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го над първата дроб:
Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получаваме втория допълнителен множител 4. Записваме го над втората дроб:
Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го над третата дроб:
Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители
Умножаваме числителите и знаменателите по техните допълнителни множители:
Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Всичко, което остава, е да съберем тези дроби. Добавете го:
Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се премества на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на новия ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.
Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава изберете цялата част от нея
Нашият отговор се оказа неправилна дроб. Трябва да подчертаем цяла част от него. Подчертаваме:
Получихме отговор
Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
Има два вида изваждане на дроби:
- Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
- Изваждане на дроби с различни знаменатели
Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, но да оставите знаменателя същия.
Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Да го направим:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:
Пример 2.Намерете стойността на израза.
Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:
Пример 3.Намерете стойността на израз 
Този пример се решава точно по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:
Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:
- За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
- Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да подчертаете цялата част от нея.
Изваждане на дроби с различни знаменатели
Например, можете да извадите дроб от дроб, защото дробите имат еднакви знаменатели. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.
Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Тогава LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва над първата дроб. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва над втората дроб.
След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.
Пример 1.Намерете значението на израза:
Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.
Първо намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12
LCM (3 и 4) = 12
Сега да се върнем към дробите и
Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Напишете четири над първата дроб:
Правим същото с втората фракция. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:
Сега сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека вземем този пример до края:
Получихме отговор
Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако изрежете пица от пица, ще получите пица
Това е подробната версия на решението. Ако бяхме в училище, щяхме да решаваме този пример по-кратко. Такова решение би изглеждало така:
Намаляването на дробите до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки тези дроби до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица, но този път ще бъдат разделени на равни части (намалени до същия знаменател):
Първата снимка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като изрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.
Пример 2.Намерете стойността на израз 
Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.
Нека намерим LCM на знаменателите на тези дроби.
Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на всяка дроб.
Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го над първата дроб:
Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го над втората дроб:
Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го над третата дроб:
Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.
Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:
Отговорът се оказа обикновена дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-просто. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази фракция.
За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (НОД) на числата 20 и 30.
И така, намираме gcd на числата 20 и 30:
Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения gcd, тоест на 10
Получихме отговор
Умножение на дроб по число
За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дадения дроб по това число и да оставите знаменателя същия.
Пример 1. Умножете дроб по числото 1.
Умножете числителя на дробта по числото 1
Записът може да се разбира като отнемащ половин 1 път. Например, ако вземете пица веднъж, ще получите пица
От законите на умножението знаем, че ако умножаемото и множителят се разменят, произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:
Тази нотация може да се разбира като вземане на половината от едно. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:
Пример 2. Намерете стойността на израз
Умножете числителя на дробта по 4
Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:
Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете 4 пици, ще получите две цели пици
И ако разменим множителя и множителя, получаваме израза . То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:
Умножение на дроби
За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да подчертаете цялата част от нея.
Пример 1.Намерете стойността на израза.
Получихме отговор. Препоръчително е тази фракция да се намали. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателното решение ще приеме следната форма:
Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:
Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:
И вземете две от тези три части:
Ще направим пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:
Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:
С други думи, говорим за пица с еднакъв размер. Следователно стойността на израза е
Пример 2. Намерете стойността на израз
Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:
Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:
Пример 3.Намерете стойността на израз
Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:
Отговорът се оказа обикновена дроб, но би било добре да бъде съкратен. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-големия общ делител (НОД) на числата 105 и 450.
И така, нека намерим gcd на числата 105 и 450:
Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на gcd, който намерихме сега, тоест на 15
Представяне на цяло число като дроб
Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . Това няма да промени значението на пет, тъй като изразът означава "числото пет, разделено на едно", а това, както знаем, е равно на пет:
Реципрочни числа
Сега ще се запознаем с много интересна темапо математика. Нарича се "обратни числа".
Определение. Обратно на номера е число, което, когато се умножи поа дава едно.
Нека заместим в това определение вместо променливата аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:
Обратно на номер 5 е число, което, когато се умножи по 5 дава едно.
Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че е възможно. Нека си представим пет като дроб:
След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само с главата надолу:
Какво ще се случи в резултат на това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:
Това означава, че обратното на числото 5 е числото , тъй като когато умножите 5 по, получавате едно.
Реципрочната стойност на число може да се намери и за всяко друго цяло число.
Можете също така да намерите реципрочната стойност на всяка друга дроб. За да направите това, просто го обърнете.
Деление на дроб на число
Да кажем, че имаме половин пица:
Нека го разделим поравно между две. Колко пица ще получи всеки човек?
Вижда се, че след разделянето на половината пица се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.
Разделянето на дроби се извършва с помощта на реципрочни числа. Реципрочните числа ви позволяват да замените делението с умножение.
За да разделите дроб на число, трябва да умножите дробта по обратното на делителя.
Използвайки това правило, ще запишем разделянето на нашата половина от пица на две части.
И така, трябва да разделите дроба на числото 2. Тук дивидентът е дробта, а делителят е числото 2.
За да разделите дроб на числото 2, трябва да умножите тази дроб по реципрочната стойност на делителя 2. Реципрочната стойност на делителя 2 е дробта. Така че трябва да умножите по
) и знаменател по знаменател (получаваме знаменателя на произведението).
Формула за умножение на дроби:
Например:
Преди да започнете да умножавате числители и знаменатели, трябва да проверите дали дробта може да бъде намалена. Ако можете да намалите фракцията, ще ви бъде по-лесно да правите допълнителни изчисления.
Деление на обикновена дроб на дроб.
Деление на дроби с естествени числа.
Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както в случая със събирането, ние преобразуваме цялото число в дроб с единица в знаменателя. Например:
Умножение на смесени дроби.
Правила за умножение на дроби (смесени):
- преобразувайте смесени дроби в неправилни дроби;
- умножаване на числителите и знаменателите на дроби;
- намаляване на фракцията;
- Ако получите неправилна дроб, ние преобразуваме неправилната дроб в смесена дроб.
Забележка!За да умножите смесена дроб с друга смесена дроб, първо трябва да ги преобразувате във формата на неправилни дроби и след това да умножите според правилото за умножение на обикновени дроби.
Вторият начин за умножаване на дроб по естествено число.
Може да е по-удобно да използвате втория метод за умножаване на обикновена дроб по число.
Забележка!За да умножите дроб по естествено числоНеобходимо е да разделите знаменателя на фракцията на това число и да оставите числителя непроменен.
От примера, даден по-горе, става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.
Многоетажни дроби.
В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:
За да приведете такава фракция в обичайната й форма, използвайте разделяне на 2 точки:
Забележка!При разделяне на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.
Забележка, Например:
Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:
Практически съвети за умножение и деление на дроби:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в черновата си, отколкото да се изгубите в умствени изчисления.
2. В задачи със различни видоведроби - преминават към формата на обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.
4. Трансформираме многостепенни дробни изрази в обикновени, използвайки деление на 2 точки.
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
Действия с дроби. В тази статия ще разгледаме примери, всичко подробно с обяснения. Ще разгледаме обикновените дроби. Ще разгледаме десетичните числа по-късно. Препоръчвам да гледате цялото нещо и да го изучавате последователно.
1. Сбор от дроби, разлика от дроби.
Правило: при събиране на дроби с равни знаменатели се получава дроб, чийто знаменател остава същият, а числителят му ще бъде равен на сбора от числителите на дробите.
Правило: когато изчисляваме разликата между дроби с еднакви знаменатели, получаваме дроб - знаменателят остава същият, а числителят на втората се изважда от числителя на първата дроб.
Формално записване на сумата и разликата на дроби с равни знаменатели:
Примери (1):
Ясно е, че когато са дадени обикновени дроби, тогава всичко е просто, но какво ще стане, ако те са смесени? Нищо сложно...
Опция 1– можете да ги конвертирате в обикновени и след това да ги изчислите.
Вариант 2– можете да „работите“ отделно с целите и дробните части.
Примери (2):
Повече ▼:
Какво става, ако е дадена разликата на две смесени дроби и числителят на първата дроб е по-малък от числителя на втората? Можете също да действате по два начина.
Примери (3):
*Преобразуван в обикновени дроби, изчислена разликата, преобразува получената неправилна дроб в смесена дроб.
*Разбихме го на цели и дробни части, получихме три, след това представихме 3 като сбор от 2 и 1, като единица беше представена като 11/11, след това намерихме разликата между 11/11 и 7/11 и изчислихме резултата . Значението на горните трансформации е да вземем (изберем) единица и да я представим под формата на дроб със знаменателя, от който се нуждаем, след което можем да извадим друга от тази дроб.
Друг пример:
Извод: има универсален подход - за да се изчисли сумата (разликата) на смесени дроби с еднакви знаменатели, те винаги могат да бъдат преобразувани в неправилни, след което изпълнете необходимо действие. След това, ако резултатът е неправилна дроб, ние я преобразуваме в смесена дроб.
По-горе разгледахме примери с дроби, които имат равни знаменатели. Ами ако знаменателите са различни? В този случай дробите се свеждат до един и същ знаменател и се извършва определеното действие. За промяна (преобразуване) на дроб се използва основното свойство на дробта.
Нека да разгледаме прости примери:
В тези примери веднага виждаме как една от дробите може да се трансформира, за да се получат равни знаменатели.
Ако посочим начини за намаляване на дроби до един и същи знаменател, тогава ще наречем този МЕТОД ПЪРВИ.
Тоест веднага, когато „оценявате“ дроб, трябва да разберете дали този подход ще работи - проверяваме дали по-големият знаменател се дели на по-малкия. И ако се дели, тогава извършваме трансформация - умножаваме числителя и знаменателя така, че знаменателите на двете дроби да станат равни.
Сега вижте тези примери:
При тях този подход е неприложим. Има и начини за свеждане на дроби до общ знаменател; нека ги разгледаме.
Метод ВТОРИ.
Умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората, а числителя и знаменателя на втората дроб по знаменателя на първата:
*Всъщност ние редуцираме дробите, когато знаменателите станат равни. След това използваме правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели.
Пример:
*Този метод може да се нарече универсален и винаги работи. Единственият недостатък е, че след изчисленията може да се окажете с фракция, която ще трябва да бъде намалена допълнително.
Да разгледаме един пример:
Вижда се, че числителят и знаменателят се делят на 5:
Метод ТРЕТИ.
Трябва да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите. Това ще бъде общият знаменател. Що за номер е това? Това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от числата.
Вижте, ето две числа: 3 и 4, има много числа, които се делят на тях - това са 12, 24, 36, ... Най-малкото от тях е 12. Или 6 и 15, те се делят на 30, 60, 90 .... Най-малкото е 30. Въпросът е - как да определим това най-малко общо кратно?
Има ясен алгоритъм, но често това може да стане веднага без изчисления. Например, според горните примери (3 и 4, 6 и 15) не е необходим алгоритъм, ние взехме големи числа (4 и 15), удвоихме ги и видяхме, че те се делят на второто число, но двойки числа могат да бъдат други, например 51 и 119.
Алгоритъм. За да определите най-малкото общо кратно на няколко числа, трябва:
- разложете всяко число на ПРОСТИ множители
— запишете разлагането на ПО-ГОЛЕМИТЕ от тях
- умножете го по ЛИПСВАЩИТЕ множители на други числа
Нека да разгледаме примери:
50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
в разлагане Повече ▼една петица липсва
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
в разширяването на по-голямо число две и три липсват
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Най-малкото общо кратно на две прости числа е техният продукт
Въпрос! Защо намирането на най-малкото общо кратно е полезно, след като можете да използвате втория метод и просто да намалите получената дроб? Да, възможно е, но не винаги е удобно. Погледнете знаменателя на числата 48 и 72, ако просто ги умножите 48∙72 = 3456. Съгласете се, че е по-приятно да работите с по-малки числа.
Нека да разгледаме примери:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
разширяването на по-голямо число липсва тройка
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Сега нека използваме първия метод:
*Вижте разликата в изчисленията, в първия случай има минимум от тях, но във втория трябва да работите отделно върху лист хартия и дори фракцията, която сте получили, трябва да бъде намалена. Намирането на LOC значително опростява работата.
Още примери:
* Във втория пример е ясно, че най-малкото число, което се дели на 40 и 60 е 120.
РЕЗУЛТАТ! ОБЩ АЛГОРИТЪМ ЗА ИЗЧИСЛЕНИЕ!
— свеждаме дробите до обикновени, ако има цяла част.
- привеждаме дробите към общ знаменател (първо гледаме дали един знаменател се дели на друг; ако се дели, тогава умножаваме числителя и знаменателя на тази друга дроб; ако не се дели, действаме с други методи посочени по-горе).
- След като получихме дроби с равни знаменатели, извършваме операции (събиране, изваждане).
- ако е необходимо, намаляваме резултата.
- ако е необходимо, изберете цялата част.
2. Произведение от дроби.
Правилото е просто. При умножаване на дроби техните числители и знаменатели се умножават:
Примери:
В тази статия учител по математика и физика говори за това как да извършва основни операции с обикновени дроби: събиране и изваждане, умножение и деление. Научете как да представяте смесено число като неправилна дроб и обратно, както и как да съкращавате дроби.
Събиране и изваждане на обикновени дроби
Нека ви го напомним знаменателдроб е числото, което е отдолу, А числител- номерът, който се намира по-гореот дробната черта. Например в дроб числото е числителят, а числото е знаменателят.
Общ знаменателе най-малкото възможно число, което се дели както на знаменателя на първата дроб, така и на знаменателя на втората дроб.
Пример 1. Добавете две дроби: .
Нека използваме описания по-горе алгоритъм:
1) Най-малкото число, което се дели както на знаменателя на първата дроб, така и на знаменателя на втората дроб, е равно на . Това число ще бъде общият знаменател. Сега трябва да приведете двете дроби към общ знаменател.
2) Добавете получените дроби: 
.
Умножение на обикновени дроби
С други думи, за всички реални числа , , , важи следното равенство:
Пример 2. Умножение на дроби: .
За да разрешим този проблем, използваме формулата, представена по-горе: 
.
Деление на дроби
С други думи, за всички реални числа , , , , важи следното равенство:
Пример 3. Разделяне на дроби: .
За да разрешим този проблем, използваме горната формула: 
.
Представяне на смесено число като неправилна дроб
Нека сега да разберем какво да направите, ако трябва да извършите някаква операция с дроби, представени под формата на смесени числа. В този случай първо трябва да представите смесени числа като неправилни дроби и след това да извършите необходимата операция.
Нека ви го напомним грешноНарича се дроб, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя.
Спомнете си също, че смесеното число има фракцияИ цяла част. Например едно смесено число има дробна част, равна на , и цяла част, равна на .
Пример 4. Изразете смесено число като неправилна дроб.
Нека използваме алгоритъма, представен по-горе: 
.
Пример 5. Представете неправилна дроб като смесено число.
Дробните изрази са трудни за разбиране от детето. Повечето хора имат затруднения с. Когато изучава темата „събиране на дроби с цели числа“, детето изпада в ступор, затруднява се да реши проблема. В много примери, преди да се извърши действие, трябва да се извършат поредица от изчисления. Например преобразувайте дроби или преобразувайте неправилна дроб в правилна дроб.
Нека го обясним ясно на детето. Нека вземем три ябълки, две от които ще бъдат цели, а третата нарежете на 4 части. Отделете един резен от нарязаната ябълка, а останалите три поставете до два цели плода. Получаваме ¼ ябълка от едната страна и 2 ¾ от другата. Ако ги комбинираме, получаваме три ябълки. Нека се опитаме да намалим 2 ¾ ябълки с ¼, тоест да премахнем още един резен, получаваме 2 2/4 ябълки.
Нека разгледаме по-отблизо операциите с дроби, които съдържат цели числа:
Първо, нека си припомним правилото за изчисление за дробни изрази с общ знаменател:
На пръв поглед всичко е лесно и просто. Но това се отнася само за изрази, които не изискват преобразуване.
Как да намерим стойността на израз, където знаменателите са различни
В някои задачи трябва да намерите значението на израз, в който знаменателите са различни. Да разгледаме конкретен случай:
3 2/7+6 1/3
Нека намерим стойността на този израз, като намерим общ знаменател за две дроби.
За числата 7 и 3 това е 21. Оставяме целите части същите и довеждаме дробните до 21, за това умножаваме първата дроб по 3, втората по 7, получаваме:
6/21+7/21, не забравяйте, че цели части не могат да бъдат конвертирани. В резултат на това получаваме две дроби с еднакъв знаменател и изчисляваме тяхната сума:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Ами ако резултатът от събирането е неправилна дроб, която вече има цяла част:
2 1/3+3 2/3
IN в такъв случайСъбираме целите части и дробните части, получаваме:
5 3/3, както знаете, 3/3 е едно, което означава 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Намирането на сумата е ясно, нека да разгледаме изваждането:
От всичко казано следва правилото за операции със смесени числа:
- Ако трябва да извадите цяло число от дробен израз, не е необходимо да представяте второто число като дроб, достатъчно е да извършите операцията само върху целите части.
Нека се опитаме сами да изчислим значението на изразите:
Нека разгледаме по-подробно примера под буквата „m“:
4 5/11-2 8/11, числителят на първата дроб е по-малък от втория. За да направим това, вземаме назаем едно цяло число от първата дроб, получаваме,
3 5/11+11/11=3 цяло 16/11, извадете втората от първата дроб:
3 16/11-2 8/11=1 цяло 8/11
- Бъдете внимателни, когато изпълнявате задачата, не забравяйте да преобразувате неправилните дроби в смесени дроби, като подчертавате цялата част. За да направите това, трябва да разделите стойността на числителя на стойността на знаменателя, тогава това, което се случва, заема мястото на цялата част, остатъкът ще бъде числителят, например:
19/4=4 ¾, нека проверим: 4*4+3=19, знаменателят 4 остава непроменен.
Обобщете:
Преди да започнете да изпълнявате задача, свързана с дроби, трябва да анализирате какъв вид израз е, какви трансформации трябва да се направят върху дроба, за да бъде решението правилно. Потърсете по-рационално решение. Не тръгвайте по трудния път. Планирайте всички действия, решете ги първо в чернова, след което ги прехвърлете в училищния си бележник.
За да избегнете объркване при решаването на дробни изрази, трябва да следвате правилото за последователност. Решете всичко внимателно, без да бързате.
Зареждане...