Най-малкото общо кратно на две числа. Делители и кратни

Помислете за три начина за намиране на най-малкото общо кратно.

Намиране чрез факторинг

Първият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа в прости множители.

Да предположим, че трябва да намерим LCM от числа: 99, 30 и 28. За да направим това, ние разлагаме всяко от тези числа на прости множители:

За да се дели желаното число на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа до най-високата възникнала степен и да ги умножим заедно:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Така че LCM (99, 30, 28) = 13 860. Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели равномерно на 99, 30 или 28.

За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, трябва да ги разложите на прости множители, след това да вземете всеки прост множител с най-големия показател, с който се среща, и да умножите тези фактори заедно.

Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са взаимно прости. Така

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Същото трябва да се направи, когато се търси най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Намиране чрез избор

Вторият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез напасване.

Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се дели равномерно на други дадени числа, тогава LCM на тези числа е равна на по-голямото от тях. Например, дадени четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:

1. Определете най-голямото число от дадените числа.
2. След това намираме числа, кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали останалите дадени числа се делят на получения продукт.

Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определете най-голямото от тях - това е числото 24. След това намерете числата, които са кратни на 24, като проверите дали всяко от тях се дели на 18 и на 3:

24 1 = 24 се дели на 3, но не се дели на 18.

24 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.

24 3 \u003d 72 - дели се на 3 и 18.

Така че LCM(24, 3, 18) = 72.

Намиране чрез последователно намиране LCM

Третият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.

LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, разделено на техния най-голям общ делител.

Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: GCD (12, 8) = 4. Умножете тези числа:

Разделяме продукта на техния GCD:

Така че LCM(12, 8) = 24.

За намиране на LCM от три или повече числа се използва следната процедура:

1. Първо се намира LCM на всяко две от дадените числа.
2. След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
3. След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
4. Така LCM търсенето продължава, докато има числа.

Пример 2. Да намерим НКМ на три дадени числа: 12, 8 и 9. Вече намерихме НКМ на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да се намери най-малкото общо кратно на 24 и третото дадено число - 9. Определете техния най-голям общ делител: gcd (24, 9) = 3. Умножете LCM с числото 9:

Разделяме продукта на техния GCD:

Така че LCM(12, 8, 9) = 72.

Кратно на число е число, което се дели на дадено число без остатък. Най-малкото общо кратно (LCM) на група от числа е най-малкото число, което се дели равномерно на всяко число в групата. За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да намерите простите множители на дадените числа. Също така LCM може да се изчисли с помощта на редица други методи, които са приложими за групи от две или повече числа.

Стъпки

Редица кратни

Вижте тези числа.Методът, описан тук, се използва най-добре, когато са дадени две числа, които и двете са по-малки от 10. Ако са дадени големи числа, използвайте различен метод.

• Например намерете най-малкото общо кратно на числата 5 и 8. Това са малки числа, така че може да се използва този метод.

1. Кратно на число е число, което се дели на дадено число без остатък. В таблицата за умножение могат да се намерят множество числа.

   • Например числата, кратни на 5, са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете поредица от числа, кратни на първото число.Направете това под кратни на първото число, за да сравните два реда числа.

   • Например числата, кратни на 8, са: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Намерете най-малкото число, което се появява и в двете серии от кратни.Може да се наложи да напишете дълги серии от кратни, за да намерите общата сума. Най-малкото число, което се появява и в двете серии от кратни, е най-малкото общо кратно.

   • Например, най-малкото число, което се появява в поредицата от кратни на 5 и 8, е 40. Следователно 40 е най-малкото общо кратно на 5 и 8.

   Разлагане на глави

   1. Вижте тези числа.Методът, описан тук, се използва най-добре, когато са дадени две числа, които и двете са по-големи от 10. Ако са дадени по-малки числа, използвайте различен метод.

      • Например намерете най-малкото общо кратно на числата 20 и 84. Всяко от числата е по-голямо от 10, така че може да се използва този метод.

   2. Разложете на множители първото число.Тоест трябва да намерите такива прости числа, когато се умножат, получавате дадено число. След като намерите прости фактори, запишете ги като равенство.

      • Например, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)и 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). И така, простите множители на числото 20 са числата 2, 2 и 5. Запишете ги като израз: .

   3. Разложете второто число на прости множители.Направете това по същия начин, както сте разложили на множители първото число, тоест намерете такива прости числа, които при умножение ще получат това число.

      • Например, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)и 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). И така, простите множители на числото 84 са числата 2, 7, 3 и 2. Запишете ги като израз: .

   4. Запишете общите фактори за двете числа.Напишете такива фактори като операция за умножение. Докато записвате всеки фактор, го зачеркнете и в двата израза (изрази, които описват разлагането на числата в прости множители).

      • Например общият фактор за двете числа е 2, така че пишете 2 × (\displaystyle 2\times )и зачеркнете 2 в двата израза.
      • Общият множител и за двете числа е друг фактор 2, така че пишете 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)и зачеркнете второто 2 в двата израза.

   5. Добавете останалите фактори към операцията за умножение.Това са фактори, които не са зачертани и в двата израза, тоест фактори, които не са общи и за двете числа.

      • Например в израза 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)и двете две (2) са зачертани, защото са общи фактори. Коефициентът 5 не е зачертан, така че напишете операцията за умножение, както следва: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • В израза 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)и двете двойки (2) също са зачертани. Фактори 7 и 3 не са зачертани, така че напишете операцията за умножение, както следва: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Изчислете най-малкото общо кратно.За да направите това, умножете числата в писмената операция за умножение.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Значи най-малкото общо кратно на 20 и 84 е 420.

   Намиране на общи делители

   1. Начертайте мрежа, както бихте направили за игра на тик-так.Такава мрежа се състои от две успоредни линии, които се пресичат (под прав ъгъл) с две други успоредни прави. Това ще доведе до три реда и три колони (решетката прилича много на знака #). Напишете първото число в първия ред и втората колона. Напишете второто число в първия ред и третата колона.

      • Например намерете най-малкото общо кратно на 18 и 30. Напишете 18 в първия ред и втората колона и напишете 30 в първия ред и третата колона.

   2. Намерете делителя, общ за двете числа.Запишете го в първия ред и първата колона. По-добре е да се търсят прости делители, но това не е задължително условие.

      • Например 18 и 30 са четни числа, така че общият им делител е 2. Така че напишете 2 в първия ред и първата колона.

   3. Разделете всяко число на първия делител.Запишете всяко частно под съответното число. Частното е резултат от разделянето на две числа.

      • Например, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), така че напишете 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), така че напишете 15 под 30.

   4. Намерете делител, общ за двете частни.Ако няма такъв делител, пропуснете следващите две стъпки. В противен случай запишете делителя във втория ред и първата колона.

      • Например, 9 и 15 се делят на 3, така че напишете 3 във втория ред и първата колона.

   5. Разделете всяко частно на втория делител.Запишете всеки резултат от деленето под съответното частно.

      • Например, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), така че напишете 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), така че напишете 5 под 15.

   6. Ако е необходимо, допълнете мрежата с допълнителни клетки.Повторете горните стъпки, докато частните имат общ делител.

   7. Окръжете числата в първата колона и последния ред на мрежата.След това напишете осветените числа като операция за умножение.

      • Например, числата 2 и 3 са в първата колона, а числата 3 и 5 са ​​в последния ред, така че напишете операцията за умножение по следния начин: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Намерете резултата от умножението на числата.Това ще изчисли най-малкото общо кратно на двете дадени числа.

      • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Значи най-малкото общо кратно на 18 и 30 е 90.

   Алгоритъм на Евклид

   1. Запомнете терминологията, свързана с операцията за разделяне.Дивидентът е числото, което се разделя. Делителят е числото, на което се дели. Частното е резултат от разделянето на две числа. Остатъкът е числото, което остава при разделяне на две числа.

      • Например в израза 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)Почивка. 3:
        15 е делимото
        6 е делителят
        2 е частен
        3 е остатъкът.

Най-голям общ делител

Определение 2

Ако естествено число a се дели на естествено число $b$, тогава $b$ се нарича делител на $a$, а числото $a$ се нарича кратно на $b$.

Нека $a$ и $b$ са естествени числа. Числото $c$ се нарича общ делител както за $a$, така и за $b$.

Множеството общи делители на числата $a$ и $b$ е крайно, тъй като нито един от тези делители не може да бъде по-голям от $a$. Това означава, че сред тези делители има най-големият, който се нарича най-голям общ делител на числата $a$ и $b$ и се използва нотацията за обозначаването му:

$gcd \ (a;b) \ ​​или \ D \ (a;b)$

За да намерите най-големия общ делител на две числа:

1. Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

Пример 1

Намерете gcd на числата $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Изберете числата, които са включени в разширението на тези числа

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$gcd=2\cdot 11=22$

Пример 2

Намерете GCD на мономи $63$ и $81$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това:

Нека разложим числата на прости множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Избираме числата, които са включени в разширението на тези числа

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Нека намерим произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$gcd=3\cdot 3=9$

Можете да намерите GCD на две числа по друг начин, като използвате набора от делители на числата.

Пример 3

Намерете gcd на числата $48$ и $60$.

решение:

Намерете множеството от делители на $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Сега нека намерим набора от делители на $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Нека намерим пресечната точка на тези множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - този набор ще определи множеството от общи делители на числата $48$ и $60 $. Най-големият елемент в този набор ще бъде числото $12$. Така че най-големият общ делител на $48$ и $60$ е $12$.

Определение за NOC

Определение 3

общо кратно на естествените числа$a$ и $b$ е естествено число, което е кратно както на $a$, така и на $b$.

Общите кратни на числата са числа, които се делят на оригинала без остатък. Например за числата $25$ и $50$ общите кратни ще бъдат числата $50,100,150,200$ и т.н.

Най-малкото общо кратно ще се нарича най-малко общо кратно и ще се означава с LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$

За да намерите LCM на две числа, трябва:

1. Разложете числата на прости множители
2. Изпишете факторите, които са част от първото число и добавете към тях факторите, които са част от второто и не отиват към първото

Пример 4

Намерете LCM на числата $99$ и $77$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това

Разложете числата на прости множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Запишете факторите, включени в първия

добавете към тях фактори, които са част от второто и не отиват към първото

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаното най-малко общо кратно

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Съставянето на списъци с делители на числа често отнема много време. Има начин да се намери GCD, наречен алгоритъм на Евклид.

Изявления, на които се основава алгоритъмът на Евклид:

Ако $a$ и $b$ са естествени числа и $a\vdots b$, тогава $D(a;b)=b$

Ако $a$ и $b$ са естествени числа, такива че $b

Използвайки $D(a;b)= D(a-b;b)$, можем последователно да намаляваме разглежданите числа, докато стигнем до двойка числа, така че едното от тях да се дели на другото. Тогава по-малкото от тези числа ще бъде желаният най-голям общ делител за числата $a$ и $b$.

Свойства на GCD и LCM

1. Всяко общо кратно на $a$ и $b$ се дели на K$(a;b)$
2. Ако $a\vdots b$, тогава K$(a;b)=a$

Ако K$(a;b)=k$ и $m$-естествено число, тогава K$(am;bm)=km$

Ако $d$ е общ делител за $a$ и $b$, тогава K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$, тогава $\frac(ab)(c)$ е общо кратно на $a$ и $b$

За произволни естествени числа $a$ и $b$ равенството

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Всеки общ делител на $a$ и $b$ е делител на $D(a;b)$

Математическите изрази и задачи изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често използван в темата.Темата се изучава в гимназията, докато не е особено трудна за разбиране на материала, няма да е трудно за човек, запознат със степените и таблицата за умножение, да избере необходимите числа и намерете резултата.

Определение

Общото кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на оригиналните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа наведнъж, без отклонения.

NOC е кратко име, което е взето от първите букви.

Начини за получаване на номер

За да намерите LCM, методът за умножение на числата не винаги е подходящ, той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. Обичайно е да се разделят на фактори, колкото по-голямо е числото, толкова повече фактори ще има.

Пример №1

За най-простия пример училищата обикновено вземат прости, едноцифрени или двуцифрени числа. Например, трябва да решите следната задача, да намерите най-малкото общо кратно на числата 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има числото 21, просто няма по-малко число.

Пример №2

Вторият вариант е много по-труден. Дадени са числата 300 и 1260, намирането на LCM е задължително. За решаване на задачата се предполагат следните действия:

Разлагане на първото и второто число на най-простите фактори. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Първият етап е завършен.

Вторият етап включва работа с вече получените данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки фактор най-големият брой събития се взема от първоначалните числа. LCM е често срещано число, така че факторите от числата трябва да се повтарят в него до последно, дори и тези, които присъстват в един случай. И двете изходни числа имат в състава си числата 2, 3 и 5, в различни степени 7 е само в един случай.

За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата от представените им степени в уравнението. Остава само да се умножи и да се получи отговорът, с правилното попълване задачата се вписва в две стъпки без обяснение:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Това е цялата задача, ако се опитате да изчислите желаното число чрез умножение, тогава отговорът определено няма да бъде правилен, тъй като 300 * 1260 = 378 000.

Преглед:

6300 / 300 = 21 - вярно;

6300 / 1260 = 5 е правилно.

Коректността на резултата се определя чрез проверка - разделяне на LCM на двете оригинални числа, ако числото е цяло число и в двата случая, тогава отговорът е верен.

Какво означава NOC в математиката

Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-честата цел на това число е да доведе дробите до общ знаменател. Това, което обикновено се изучава в 5-6 клас на гимназията. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия са в задачата. Такъв израз може да намери кратно не само на две числа, но и на много по-голямо число - три, пет и т.н. Колкото повече числа - толкова повече действия в задачата, но сложността на това не се увеличава.

Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите общия им LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - този пример описва факторизацията в детайли, без намаляване.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

За да се състави израз, е необходимо да се споменат всички фактори, в този случай са дадени 2, 5, 3 - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.

Внимание: всички множители трябва да бъдат доведени до пълно опростяване, ако е възможно, разлагане до нивото на едноцифрени числа.

Преглед:

1) 3000 / 250 = 12 - вярно;

2) 3000 / 600 = 5 - вярно;

3) 3000 / 1500 = 2 е правилно.

Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.

Друг начин

В математиката много е свързано, много може да се реши по два или повече начина, същото важи и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следният метод може да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Съставя се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално, а произведението е посочено в пресичащите се клетки на колоната. Можете да отразите таблицата с помощта на ред, взема се число и резултатите от умножаването на това число по цели числа се записват в ред, от 1 до безкрайност, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа се подлагат към същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато се намери общо кратно.

Като се имат предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, който свързва всички числа:

1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.

2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.

3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.

Прави впечатление, че всички числа са доста различни, единственото общо число сред тях е 210, така че ще бъде LCM. Сред процесите, свързани с това изчисление, има и най-големият общ делител, който се изчислява по подобни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но достатъчно значителна, LCM включва изчисляването на число, което се дели на всички дадени първоначални стойности, а GCD предполага изчисляването на най-голямата стойност, на която се делят първоначалните числа.

Темата "Множество числа" се изучава в 5. клас на общообразователно училище. Целта му е да подобри писмените и устните умения за математически изчисления. В този урок се въвеждат нови понятия - "множествени числа" и "делители", отработва се техниката за намиране на делители и кратни на естествено число, способността за намиране на LCM по различни начини.

Тази тема е много важна. Знанията за него могат да бъдат приложени при решаване на примери с дроби. За да направите това, трябва да намерите общия знаменател, като изчислите най-малкото общо кратно (LCM).

Кратното на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Смята се за най-малкото. Множество не може да бъде по-малко от самото число.

Необходимо е да се докаже, че числото 125 е кратно на числото 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

Този метод е приложим за малки числа.

При изчисляване на LCM има специални случаи.

1. Ако трябва да намерите общо кратно за 2 числа (например 80 и 20), където едно от тях (80) се дели без остатък на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че тяхното LCM е произведение на тези две числа.

LCM (6, 7) = 42.

Помислете за последния пример. 6 и 7 по отношение на 42 са делители. Те делят кратно без остатък.

В този пример 6 и 7 са делители на двойки. Техният продукт е равен на най-кратното число (42).

Числото се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

В друг пример трябва да определите дали 9 е делител по отношение на 42.

42:9=4 (остатък 6)

Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се делят естествените числа, а самото кратно се дели на това число.

Най-голям общ делител на числата аи б, умножено по най-малкото им кратно, ще даде произведението на самите числа аи б.

А именно: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Общите кратни за по-сложните числа се намират по следния начин.

Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

Ние разлагаме тези числа на прости множители, записваме ги като продукт на степени:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.