Всички формули на квадрати и кубове. Съкратени формули за умножение. Умножение на полином по полином

Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.

Съкратените формули за умножение ви позволяват да извършвате идентични трансформации на изрази - полиноми. С тяхна помощ полиномите могат да бъдат разложени на множители, а като се използват формулите в обратен ред, произведенията на биномите, квадратите и кубовете могат да бъдат представени като полиноми. Нека разгледаме всички общоприети формули за съкратено умножение, тяхното извеждане, общи задачи за идентични трансформации на изрази с помощта на тези формули, както и задачи за домашна работа (отговорите към тях се отварят чрез връзки).

сума квадрат

Формулата за квадрата на сбора е равенството

(квадратът на сбора от две числа е равен на квадрата на първото число плюс двойното произведение на първото число и второто плюс квадрата на второто число).

Вместо аи бвсяко число може да бъде заместено в тази формула.

Формулата на квадрата на сумата често се използва за опростяване на изчисленията. Например,

Използвайки формулата за квадратен сбор, полиномът може да бъде разложен на множители, а именно представен като продукт на два еднакви фактора.

Пример 1

.

Пример 2Запишете като полиномен израз

Решение. По формулата на квадрата на сбора получаваме

Квадратът на разликата

Формулата за квадрата на разликата е равенството

(квадратът на разликата между две числа е равен на квадрата на първото число минус двойното произведение на първото число и второто плюс квадрата на второто число).

Формулата на квадратната разлика често се използва за опростяване на изчисленията. Например,

Използвайки формулата на квадрата на разликата, полиномът може да бъде разложен на множители, а именно представен като продукт на два еднакви фактора.

Формулата следва от правилото за умножение на полином по полином:

Пример 5Запишете като полиномен израз

Решение. По формулата на квадрата на разликата получаваме

.

Приложете сами съкратената формула за умножение и след това вижте решението

Пълен избор на квадрат

Често полином от втора степен съдържа квадрата на сбора или разликата, но се съдържа в скрита форма. За да получите пълния квадрат изрично, трябва да трансформирате полинома. За да направите това, като правило, един от членовете на полинома се представя като двойно произведение и след това същото число се добавя и изважда от полинома.

Пример 7

Решение. Този полином може да се трансформира, както следва:

Тук сме представили 5 хпод формата на двойно произведение от 5/2 от х, добавя се към полинома и се изважда от него същото число, след което се прилага формулата за квадрат на сумата за бинома.

Така че ние доказахме равенството

,

равно на пълен квадрат плюс числото.

Пример 8Помислете за полином от втора степен

Решение. Нека направим следните трансформации върху него:

Тук сме представили 8 хпод формата на двоен продукт хс 4, добавя се към полинома и се изважда от него същото число 4², прилага се квадратната формула на разликата за бинома х − 4 .

Така че ние доказахме равенството

,

което показва, че полином от втора степен

равно на пълен квадрат плюс числото −16.

Приложете сами съкратената формула за умножение и след това вижте решението

сборен куб

Формулата на сборния куб е равенството

(кубът от сбора от две числа е равен на куба на първото число плюс три пъти квадрата на първото число по второто, плюс три пъти произведението на първото число по квадрата на второто, плюс куба от второто число).

Формулата на сборния куб се получава, както следва:

Пример 10Запишете като полиномен израз

Решение. По формулата на сборния куб получаваме

Приложете сами съкратената формула за умножение и след това вижте решението

куб за разлика

Формулата на куба на разликата е равенството

(кубът на разликата от две числа е равен на куба на първото число минус три пъти квадрата на първото число и второто, плюс три пъти произведението на първото число и квадрата на второто минус куба на второто число).

С помощта на формулата на сборния куб полиномът може да се разложи на множители, а именно може да се представи като произведение на три еднакви фактора.

Формулата на куба на разликата се извлича, както следва:

Пример 12.Запишете като полиномен израз

Решение. Използвайки формулата на куба на разликата, получаваме

Приложете сами съкратената формула за умножение и след това вижте решението

Разлика в квадратите

Формулата за разликата на квадратите е равенството

(разликата на квадратите на две числа е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика).

Използвайки формулата за куб на сбора, всеки полином от вида може да бъде разложен на множители.

Доказателството за формулата е получено с помощта на правилото за умножение на полиноми:

Пример 14Запишете произведението като полином

.

Решение. По формулата за разликата на квадратите получаваме

Пример 15Разложете на множители

Решение. Този израз в изрична форма не отговаря на никаква идентичност. Но числото 16 може да бъде представено като степен с основа 4: 16=4². Тогава оригиналният израз ще приеме различна форма:

,

и това е формулата за разликата на квадратите и прилагайки тази формула, получаваме

При изчисляване на алгебрични полиноми, за опростяване на изчисленията, ние използваме съкратени формули за умножение. Има общо седем такива формули. Всички те трябва да се знаят наизуст.

Трябва също да се помни, че вместо "a" и "b" във формулите може да има както числа, така и всякакви други алгебрични полиноми.

Разлика в квадратите

Помня!

Разлика в квадратитедве числа е равно на произведението на разликата на тези числа и техния сбор.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

сума квадрат

Помня!

Квадратът на сбора от две числа е равен на квадрата на първото число плюс двойното произведение на първото число и второто плюс квадрата на второто число.

(а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Имайте предвид, че с тази формула за намалено умножение е лесно намерете квадратите с големи числабез използване на калкулатор или дълго умножение. Нека обясним с пример:

Намерете 112 2 .

• Нека разложим 112 на сбор от числа, чиито квадрати помним добре.
  112 = 100 + 1
• Записваме сбора от числа в скоби и поставяме квадрат върху скобите.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Нека използваме формулата за квадратен сбор:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Не забравяйте, че формулата за квадратна сума е валидна и за всички алгебрични полиноми.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Внимание!

(a + b) 2 не е равно на (a 2 + b 2)

Квадратът на разликата

Помня!

Квадратът на разликата между две числа е равен на квадрата на първото число минус двойното произведение на първото и второто плюс квадрата на второто число.

(а − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Също така си струва да запомните една много полезна трансформация:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Формулата по-горе се доказва чрез просто разширяване на скобите:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

сборен куб

Помня!

Кубът на сбора от две числа е равен на куба на първото число плюс три пъти квадрата на първото число по второто плюс три пъти произведението на първото по квадрата на второто плюс куба на второто.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как да запомним кубчето за сбор

Запомнянето на тази "ужасно" изглеждаща формула е съвсем проста.

• Научете, че "3" идва в началото.
• Двата полинома в средата имат коефициенти 3.
• Припомнете си, че всяко число с нулева степен е 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Лесно е да се види, че във формулата има намаляване на степента "a" и увеличаване на степента "b". Можете да проверите това:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Внимание!

(a + b) 3 не е равно на a 3 + b 3

куб за разлика

Помня!

куб за разликадве числа е равно на куба на първото число минус три пъти квадрата на първото число по второто плюс три пъти произведението на първото число по квадрата на второто минус куба на второто.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Тази формула се запомня като предишната, но само като се вземе предвид редуването на знаците "+" и "-". Има „+“ пред първия член „a 3“ (според правилата на математиката, ние не го пишем). Това означава, че следващият член ще бъде предшестван от "-", след това отново "+" и т.н.

(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сума от кубчета

Да не се бърка със сборния куб!

Помня!

Сума от кубчетае равно на произведението на сбора от две числа от непълния квадрат на разликата.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Сборът от кубчета е произведение на две скоби.

• Първата скоба е сборът от две числа.
• Втората скоба е непълният квадрат на разликата в числата. Непълният квадрат на разликата се нарича израз:
  (a 2 − ab + b 2)
  Този квадрат е непълен, тъй като в средата вместо двойно произведение има обикновено произведение на числата.

Разликата на кубчетата

Да не се бърка с куба за разлика!

Помня!

Разлика на кубчетатае равно на произведението на разликата на две числа от непълния квадрат на сбора.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Бъдете внимателни, когато пишете знаци.

Прилагане на съкратени формули за умножение

Трябва да се помни, че всички формули по-горе се използват и от дясно на ляво.

Много примери в учебниците са предназначени да използвате формули за сглобяване на полинома обратно.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Можете да изтеглите таблица с всички формули за съкратено умножение в раздела "

Една от първите теми, изучавани в курса по алгебра, са формулите за съкратено умножение. В 7-ми клас те се използват в най-простите ситуации, когато се изисква да се разпознае една от формулите в израза и да се разложи на множители полинома или, обратно, бързо да се квадратира или кубира сумата или разликата. В бъдеще FSU се използва за бързо решаване на неравенства и уравнения и дори за изчисляване на някои числови изрази без калкулатор.

Как изглежда списъкът с формули?

Има 7 основни формули, които ви позволяват бързо да умножавате полиноми в скоби.

Понякога този списък включва и разширение от четвърта степен, което следва от представените идентичности и има формата:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Всички равенства имат двойка (сума - разлика), с изключение на разликата на квадратите. Няма формула за сбора на квадратите.

Останалите равенства са лесни за запомняне.:

Трябва да се помни, че FSO работят във всеки случай и за всякакви стойности. аи б: може да бъде както произволни числа, така и целочислени изрази.

В ситуация, в която изведнъж не можете да си спомните кой знак е във формулата пред един или друг термин, можете да отворите скобите и да получите същия резултат като след използване на формулата. Например, ако възникне проблем при прилагането на FSU на куба на разликата, трябва да напишете оригиналния израз и направете умножението едно по едно:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

В резултат на това, след намаляване на всички такива термини, се получава същият полином като в таблицата. Същите манипулации могат да се извършват с всички други FSO.

Приложение на FSO за решаване на уравнения

Например, трябва да решите уравнение, съдържащо Полином от 3-та степен:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Училищната програма не разглежда универсални техники за решаване на кубични уравнения и такива задачи най-често се решават с по-прости методи (например разлагане на множители). Ако забележите, че лявата страна на идентичността прилича на куба на сбора, тогава уравнението може да бъде написано в по-проста форма:

(x + 1)³ = 0.

Коренът на такова уравнение се изчислява устно: х=-1.

Неравенствата се решават по подобен начин. Например, можем да решим неравенството x³ - 6x² + 9x > 0.

На първо място е необходимо изразът да се разложи на фактори. Първо трябва да извадите скобите х. След това трябва да обърнете внимание, че изразът в скоби може да се преобразува в квадрата на разликата.

След това трябва да намерите точките, в които изразът приема нулеви стойности, и да ги маркирате на числовата права. В конкретен случай това ще бъдат 0 и 3. След това, като използвате метода на интервалите, определете в какви интервали x ще отговаря на условието за неравенство.

FSO могат да бъдат полезни при изпълнението някои изчисления без помощта на калкулатор:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

В допълнение, чрез разлагане на изрази на множители можете лесно да намалите дробите и да опростите различни алгебрични изрази.

Примери за задачи за 7-8 клас

В заключение ще анализираме и решим две задачи за прилагането на съкратени формули за умножение в алгебрата.

Задача 1. Опростете израза:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Решение. В условието на задачата се изисква да се опрости изразът, т.е. да се отворят скобите, да се извършат операциите на умножение и степенуване, както и да се изведат всички такива термини. Условно разделяме израза на три части (според броя на термините) и отваряме скобите една по една, като използваме FSU, където е възможно.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(квадратна сума);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(разлика на квадратите);
• В последния член трябва да извършите умножение: 2 м (5 м + 3) = 10 м² + 6 м.

Заменете резултатите в оригиналния израз:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Като вземем предвид знаците, отваряме скобите и даваме подобни термини:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Задача 2. Решете уравнението, съдържащо неизвестното k на степен 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Решение. В този случай е необходимо да се използва FSO и методът на групиране. Трябва да прехвърлим последния и предпоследния термин в дясната страна на идентичността.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Общият множител се взема от дясната и лявата част (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Всичко се прехвърля в лявата страна на уравнението, така че 0 да остане от дясната страна:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Отново трябва да извадите общия фактор:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

От първия получен фактор можем да изведем к. Според кратката формула за умножение вторият фактор ще бъде идентично равен на (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Използвайки формулата за разликата на квадратите:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Тъй като произведението е равно на 0, ако поне един от неговите фактори е равен на нула, няма да е трудно да се намерят всички корени на уравнението:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Въз основа на илюстративни примери може да се разбере как да се запомнят формулите, техните разлики, както и да се решат няколко практически проблема с помощта на FSU. Задачите са прости и не трябва да са трудни за изпълнение.

Съдържание на урока

Квадратът на сбора от два израза

Има редица случаи, в които умножението на полином по полином може да бъде значително опростено. Такъв е например случаят (2 х+ 3г) 2 .

Израз (2 х+ 3г) 2 е умножението на два полинома, всеки от които е равен на (2 х+ 3г)

(2х+ 3г) 2 = (2х+ 3г)(2х+ 3г)

Получаваме умножението на полином по полином. Нека го изпълним:

(2х+ 3г) 2 = (2х+ 3г)(2х+ 3г) = 4х 2 + 6xy + 6xy + 9г 2 = 4х 2 + 12xy+ 9г 2

Тоест, изразът (2 х+ 3г) 2 е равно на 4х 2 + 12xy + 9г 2

(2х+ 3г) 2 = 4х 2 + 12xy+ 9г 2

Нека решим подобен пример, който е по-прост:

(а+б) 2

Израз ( а+б) 2 е умножението на два полинома, всеки от които е равен на ( а+б)

(а+б) 2 = (а+б)(а+б)

Нека направим това умножение:

(а+б) 2 = (а+б)(а+б) = а 2 + аб + аб + б 2 = а 2 + 2аб + б 2

Това е изразът (а+б) 2 е равно на а 2 + 2аб + б 2

(а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2

Оказва се, че случаят ( а+б) 2 може да бъде удължен за всеки аи б. Първият пример, който решихме, а именно (2 х+ 3г) 2 може да се реши с помощта на идентичността (а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2 . За да направите това, трябва да замените вместо променливи аи бсъответни термини от израз (2 х+ 3г) 2 . В този случай променливата амач пишка 2 х, и променливата бмач пишка 3 г

а = 2х

б = 3г

И тогава можем да използваме самоличността (а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2 , но вместо променливи аи бтрябва да замените изрази 2 хи 3 гсъответно:

(2х+ 3г) 2 = (2х) 2 + 2 × 2 х× 3 г + (3г) 2 = 4х 2 + 12xy+ 9г 2

Както миналия път, получихме полином 4х 2 + 12xy+ 9г 2 . Решението обикновено се пише по-кратко, като извършва всички елементарни трансформации в ума:

(2х+ 3г) 2 = 4х 2 + 12xy+ 9г 2

самоличност (а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2 се нарича формула за квадрата на сбора от два израза. Тази формула може да се чете така:

Квадратът на сбора от два израза е равен на квадрата на първия израз плюс двойното произведение на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.

Разгледайте израза (2 + 3) 2 . Може да се изчисли по два начина: да се извърши събиране в скоби и да се направи квадрат на резултата или да се използва формулата за квадрат на сбора от два израза.

Първи начин:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Втори начин:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Пример 2. Преобразуване на израза (5 а+ 3) 2 в полином.

Нека използваме формулата за квадрата на сбора от два израза:

(а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2

(5а + 3) 2 = (5а) 2 + 2 × 5 а × 3 + 3 2 = 25а 2 + 30а + 9

означава, (5а + 3) 2 = 25а 2 + 30а + 9.

Нека се опитаме да решим този пример, без да използваме формулата за квадратен сбор. Трябва да получим същия резултат:

(5а + 3) 2 = (5а + 3)(5а + 3) = 25а 2 + 15а + 15а + 9 = 25а 2 + 30а + 9

Формулата за квадрата на сбора от два израза има геометричен смисъл. Спомняме си, че за да изчислите площта на квадрат, трябва да повишите страната му на втора степен.

Например площта на квадрат със страна аще бъде равно на а 2. Ако увеличите страната на квадрата с б, тогава площта ще бъде равна на ( а+б) 2

Помислете за следната фигура:

Представете си, че страната на квадрата, показана на тази фигура, се увеличава с б. Квадратът има всички страни равни. Ако страната му се увеличи с б, тогава другите страни също ще се увеличат с б

Резултатът е нов квадрат, който е по-голям от предишния. За да го видите добре, нека допълним липсващите страни:

За да изчислите площта на този квадрат, можете отделно да изчислите квадратите и правоъгълниците, включени в него, след което да добавите резултатите.

Първо, можете да изчислите квадрат със страна а- неговата площ ще бъде равна на а 2. След това можете да изчислите правоъгълници със страни аи б- ще бъдат равни аб. След това можете да изчислите квадрат със страна б

Резултатът е следната сума от области:

а 2 + ab+ab + б 2

Сборът от площите на еднакви правоъгълници може да бъде заменен с умножаване на 2 аб, което буквално означава "повторете два пъти площта на правоъгълника ab" . Алгебрично, това се получава чрез намаляване на подобни термини аби аб. Резултатът е израз а 2 + 2аб+ б 2 , което е дясната страна на формулата за квадрата на сумата от два израза:

(а+б) 2 = а 2 + 2аб+ б 2

Квадратът на разликата на два израза

Формулата за квадрата на разликата от два израза е както следва:

(a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2

Квадратът на разликата на два израза е равен на квадрата на първия израз минус двойното произведение на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.

Формулата за квадрата на разликата от два израза се извежда по същия начин като формулата за квадрата на сбора от два израза. Израз ( a-b) 2 е произведение на два полинома, всеки от които е равен на ( a-b)

(a-b) 2 = (a-b)(a-b)

Ако извършите това умножение, ще получите полином а 2 − 2аб + б 2

(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = а 2 − аб− аб+ б 2 = а 2 − 2аб + б 2

Пример 1. Преобразуване на израза (7 х− 5) 2 в полином.

Нека използваме формулата на квадрата на разликата от два израза:

(a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2

(7х− 5) 2 = (7х) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49х 2 − 70х + 25

означава, (7х− 5) 2 = 49х 2 + 70х + 25.

Нека се опитаме да решим този пример, без да използваме формулата на квадрата на разликата. Трябва да получим същия резултат:

(7х− 5) 2 = (7х− 5) (7х− 5) = 49х 2 − 35х − 35х + 25 = 49х 2 − 70х+ 25.

Формулата за квадрата на разликата от два израза също има геометричен смисъл. Ако площта на квадрат със страна ае равно на а 2 , след това площта на квадрата, чиято страна е намалена с б, ще бъде равно на ( a-b) 2

Помислете за следната фигура:

Представете си, че страната на квадрата, показана на тази фигура, е намалена с б. Квадратът има всички страни равни. Ако едната страна се намали с б, тогава другите страни също ще намалеят с б

Резултатът е нов квадрат, който е по-малък от предишния. Той е подчертан в жълто на фигурата. Страната му е а− бот старата страна анамалява с б. За да изчислите площта на този квадрат, можете да използвате оригиналната площ на квадрата а 2 извадете площите на правоъгълниците, които са получени в процеса на намаляване на страните на стария квадрат. Нека покажем тези правоъгълници:

Тогава можем да напишем следния израз: стара област а 2 минус площ абминус площ ( a-b)б

а 2 − аб − (a-b)б

Разгънете скобите в израза ( a-b)б

а 2 − ab - аб + б 2

Ето подобни термини:

а 2 − 2аб + б 2

Резултатът е израз а 2 − 2аб + б 2 , което е дясната страна на формулата за квадрата на разликата на два израза:

(a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2

Формулите за квадрата на сбора и квадрата на разликата обикновено се наричат съкратени формули за умножение. Тези формули ви позволяват значително да опростите и ускорите процеса на умножение на полиноми.

По-рано казахме, че разглеждайки член на полином отделно, той трябва да се разглежда заедно със знака, който се намира пред него.

Но когато се прилагат съкратените формули за умножение, знакът на оригиналния полином не трябва да се разглежда като знак на самия този термин.

Например, като се има предвид изразът (5 х − 2г) 2 и искаме да използваме формулата (a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2 , тогава вместо бтрябва да се заменят 2 г, а не −2 г. Това е особеност на работата с формули, която не бива да се забравя.

(5х − 2г) 2
а = 5х
б = 2г
(5х − 2г) 2 = (5х) 2 − 2 × 5 х×2 г + (2г) 2 = 25х 2 − 20xy + 4г 2

Ако заместим −2 г, тогава това ще означава, че разликата в скобите на оригиналния израз е заменена със сумата:

(5х − 2г) 2 = (5х + (−2г)) 2

и в този случай е необходимо да се приложи не формулата на квадрата на разликата, а формулата на квадрата на сбора:

(5х + (−2г) 2
а = 5х
б = −2г
(5х + (−2г)) 2 = (5х) 2 + 2 × 5 х× (−2 г) + (−2г) 2 = 25х 2 − 20xy + 4г 2

Изключение могат да бъдат изразите на формата (х− (−г)) 2 . В този случай се използва формулата (a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2 вместо бтрябва да бъде заменен (- г)

(х− (−г)) 2 = х 2 − 2 × х× (− г) + (−г) 2 = х 2 + 2xy + г 2

Но квадратни изрази на формата х − (−г), ще бъде по-удобно да замените изваждането със събиране x+y. Тогава оригиналният израз ще приеме формата ( х +г) 2 и ще бъде възможно да се използва формулата на квадрата на сумата, а не на разликата:

(х +г) 2 = х 2 + 2xy + г 2

Куб за сума и куб за разлика

Формулите за куба на сбора от два израза и куба на разликата от два израза са както следва:

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

(a-b) 3 = а 3 − 3а 2 б + 3аб 2 − б 3

Формулата за куба на сбора от два израза може да се чете така:

Кубът на сбора от два израза е равен на куба на първия израз плюс три пъти квадрата на първия израз, умножен на втория плюс три пъти произведението на първия израз, умножен на квадрата на втория плюс куба на втория изразяване.

И формулата за куба на разликата от два израза може да се прочете по следния начин:

Кубът на разликата от два израза е равен на куба на първия израз минус три пъти произведението на квадрата на първия израз и втория плюс три пъти на произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.

При решаване на задачи е желателно тези формули да се знаят наизуст. Ако не си спомняте, не се притеснявайте! Можете да ги извадите сами. Вече знаем как.

Нека сами да извлечем формулата за куб на сбора:

(а+б) 3

Израз ( а+б) 3 е произведение на три полинома, всеки от които е равен на ( а+ б)

(а+б) 3 = (а+ б)(а+ б)(а+ б)

Но изразът ( а+б) 3 може да се запише и като (а+ б)(а+ б) 2

(а+б) 3 = (а+ б)(а+ б) 2

В този случай факторът ( а+ б) 2 е квадратът на сбора от двата израза. Този квадрат на сбора е равен на израза а 2 + 2аб + б 2 .

Тогава ( а+б) 3 може да се запише като (а+ б)(а 2 + 2аб + б 2) .

(а+б) 3 = (а+ б)(а 2 + 2аб + б 2)

И това е умножението на полином по полином. Нека го изпълним:

(а+б) 3 = (а+ б)(а 2 + 2аб + б 2) = а 3 + 2а 2 б + аб 2 + а 2 б + 2аб 2 + б 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

По същия начин можете да извлечете формулата за куба на разликата от два израза:

(a-b) 3 = (а- б)(а 2 − 2аб + б 2) = а 3 − 2а 2 б + аб 2 − а 2 б + 2аб 2 − б 3 = а 3 − 3а 2 б+ 3аб 2 − б 3

Пример 1. Преобразувайте израза ( х+ 1) 3 в полином.

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

(х+ 1) 3 = х 3+3× х 2×1 + 3× х× 1 2 + 1 3 = х 3 + 3х 2 + 3х + 1

Нека се опитаме да решим този пример, без да използваме кубичната формула на сбора от два израза

(х+ 1) 3 = (х+ 1)(х+ 1)(х+ 1) = (х+ 1)(х 2 + 2х + 1) = х 3 + 2х 2 + х + х 2 + 2х + 1 = х 3 + 3х 2 + 3х + 1

Пример 2. Преобразуване на израз (6а 2 + 3б 3) 3 в полином.

Нека използваме формулата на куба за сумата от два израза:

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

(6а 2 + 3б 3) 3 = (6а 2) 3 + 3 × (6 а 2) 2×3 б 3+3×6 а 2 × (3б 3) 2 + (3б 3) 3 = 216а 6+3×36 а 4×3 б 3+3×6 а 2×9 б 6 + 27б 9

Пример 3. Преобразуване на израз ( н 2 − 3) 3 в полином.

(a-b) = а 3 − 3а 2 б + 3аб 2 − б 3

(н 2 − 3) 3 = (н 2) 3 − 3 × ( н 2) 2×3 + 3× н 2 × 3 2 − 3 3 = н 6 − 9н 4 + 27н 2 − 27

Пример 4. Преобразуване на израз (2х 2 − х 3) 3 в полином.

Нека използваме кубичната формула за разликата на два израза:

(a-b) = а 3 − 3а 2 б + 3аб 2 − б 3

(2х 2 − х 3) 3 = (2х 2) 3 − 3 × (2 х 2) 2× х 3+3×2 х 2×( х 3) 2 − (х 3) 3 =
8х 6 − 3 × 4 х 4× х 3+3×2 х 2× х 6 − х 9 =
8х 6 − 12х 7 + 6х 8 − х 9

Умножаване на разликата на два израза по техния сбор

Има задачи, при които се изисква разликата на два израза да се умножи по техния сбор. Например:

(a-b)(а+б)

В този израз разликата от два израза аи бумножено по сбора на същите два израза. Нека направим това умножение:

(a-b)(а+б) = а 2 + аб − аб − б 2 = а 2 − б 2

Това е изразът (a-b)(а+б) се равнява а 2 − б 2

(a-b)(а+б) = а 2 − б 2

Виждаме, че когато умножим разликата на два израза по тяхната сума, получаваме разликата на квадратите на тези изрази.

Произведението на разликата на два израза и тяхната сума е равно на разликата на квадратите на тези изрази.

Случва се (a-b)(а+б) може да се разшири до всякакви аи б. Просто казано, ако при решаване на задача е необходимо да се умножи разликата на два израза по тяхната сума, тогава това умножение може да бъде заменено с разликата на квадратите на тези изрази.

Пример 1. Извършете умножение (2х − 5)(2х + 5)

В този пример разликата в израза е 2 хи 5, умножено по сбора на същите тези изрази. След това по формулата (a-b)(а+б) = а 2 − б 2 ние имаме:

(2х − 5)(2х + 5) = (2х) 2 − 5 2

Изчисляваме дясната страна, получаваме 4 х 2 − 25

(2х − 5)(2х + 5) = (2х) 2 − 5 2 = 4х 2 − 25

Нека се опитаме да решим този пример, без да използваме формулата (a-b)(а+б) = а 2 − б 2 . Ще получим същия резултат 4 х 2 − 25

(2х − 5)(2х + 5) = 4х 2 − 10х + 10х − 25 = 4х 2 − 25

Пример 2. Извършете умножение (4х − 5г)(4х + 5г)

(a-b)(а+б) = а 2 − б 2

(4х − 5г)(4х + 5г) = (4х) 2 − (5г) 2 = 16х 2 − 25г 2

Пример 3. Извършете умножение (2а+ 3б)(2а− 3б)

Нека използваме формулата за умножаване на разликата на два израза по тяхната сума:

(a-b)(а+б) = а 2 − б 2

(2а + 3б)(2а- 3б) = (2а) 2 − (3б) 2 = 4а 2 − 9б 2

В този пример сборът от членове е 2 аи 3 бразположени по-рано от разликата на тези термини. И във формулата (a-b)(а+б) = а 2 − б 2 разликата се намира по-рано.

Няма значение как са подредени факторите ( a-b) в ( а+б) във формулата. Те могат да бъдат написани като (a-b)(а+б) , и (а+б)(a-b) . Резултатът все пак ще бъде а 2 − б 2, тъй като произведението не се променя от пермутация на факторите.

Така че в този пример факторите (2 а + 3б) и 2 а- 3б) може да се запише като (2а + 3б)(2а- 3б) , и (2а- 3б)(2а + 3б) . Резултатът пак ще бъде 4. а 2 − 9б 2 .

Пример 3. Извършете умножение (7 + 3х)(3х − 7)

Нека използваме формулата за умножаване на разликата на два израза по тяхната сума:

(a-b)(а+б) = а 2 − б 2

(7 + 3х)(3х − 7) = (3х) 2 − 7 2 = 9х 2 − 49

Пример 4. Извършете умножение (х 2 − г 3)(х 2 + г 3)

(a-b)(а+б) = а 2 − б 2

(х 2 − г 3)(х 2 + г 3) = (х 2) 2 − (г 3) 2 = х 4 − г 6

Пример 5. Извършете умножение (−5х− 3г)(5х− 3г)

В израза (−5 х− 3г) изваждаме −1, тогава оригиналният израз ще приеме следната форма:

(−5х− 3г)(5х− 3г) = −1(5х + 3г)(5х − 3г)

Работете (5х + 3г)(5х − 3г) заменете с разликата на квадратите:

(−5х− 3г)(5х− 3г) = −1(5х + 3г)(5х − 3г) = −1((5х) 2 − (3г) 2)

Разликата на квадратите беше затворена в скоби. Ако това не се направи, тогава ще се окаже, че −1 се умножава само по (5 х) 2 . И това ще доведе до грешка и ще промени стойността на оригиналния израз.

(−5х− 3г)(5х− 3г) = −1(5х + 3г)(5х − 3г) = −1((5х) 2 − (3г) 2) = −1(25х 2 − 9х 2)

Сега умножете −1 по израза в скоби и получете крайния резултат:

(−5х− 3г)(5х− 3г) = −1(5х + 3г)(5х − 3г) = −1((5х) 2 − (3г) 2) =
−1(25х 2 − 9г 2) = −25х 2 + 9г 2

Умножаване на разликата на два израза по непълния квадрат на тяхната сума

Има задачи, при които се изисква разликата на два израза да се умножи по непълния квадрат на тяхната сума. Това парче изглежда така:

(a-b)(а 2 + аб + б 2)

Първи полином ( a-b) е разликата на два израза, а вторият полином (а 2 + аб + б 2) е непълният квадрат от сбора на тези два израза.

Непълният квадрат на сбора е полином от вида а 2 + аб + б 2 . Това е подобно на обичайния квадрат на сумата а 2 + 2аб + б 2

Например изразът 4х 2 + 6xy + 9г 2 е непълен квадрат на сбора от изрази 2 хи 3 г .

Всъщност първият член на израза 4х 2 + 6xy + 9г 2 , а именно 4 х 2 е квадратът на израза 2 х, тъй като (2 х) 2 = 4х 2. Трети член на израза 4х 2 + 6xy + 9г 2 , а именно 9 г 2 е квадратът на 3 г, тъй като (3 г) 2 = 9г 2. среден член 6 xy, е продукт на изрази 2 хи 3 г.

Така че нека умножим разликата ( a-b) чрез непълен квадрат на сбора а 2 + аб + б 2

(a-b)(а 2 + аб + б 2) = а(а 2 + ab + b 2) − б(а 2 + аб + б 2) =
а 3 + а 2 б + аб 2 − а 2 б − аб 2 − б 3 = а 3 − б 3

Това е изразът (a-b)(а 2 + аб + б 2) се равнява а 3 − б 3

(a-b)(а 2 + аб + б 2) = а 3 − б 3

Това тъждество се нарича формула за умножаване на разликата на два израза по непълния квадрат на тяхната сума. Тази формула може да се чете така:

Произведението на разликата на два израза и непълния квадрат на тяхната сума е равно на разликата на кубовете на тези изрази.

Пример 1. Извършете умножение (2х − 3г)(4х 2 + 6xy + 9г 2)

Първият полином (2 х − 3г) е разликата на два израза 2 хи 3 г. Втори полином 4х 2 + 6xy + 9г 2 е непълният квадрат на сбора от два израза 2 хи 3 г. Това ни позволява да използваме формулата, без да правим дълги изчисления (a-b)(а 2 + аб + б 2) = а 3 − б 3 . В нашия случай умножението (2х − 3г)(4х 2 + 6xy + 9г 2) може да се замени с разликата на кубчетата 2 хи 3 г

(2х − 3г)(4х 2 + 6xy + 9г 2) = (2х) 3 − (3г) 3 = 8х 3 − 27г 3

(a-b)(а 2 + аб+ б 2) = а 3 − б 3 . Получаваме същия резултат, но решението става по-дълго:

(2х − 3г)(4х 2 + 6xy + 9г 2) = 2х(4х 2 + 6xy + 9г 2) − 3г(4х 2 + 6xy + 9г 2) =
8х 3 + 12х 2 г + 18xy 2 − 12х 2 г − 18xy 2 − 27г 3 = 8х 3 − 27г 3

Пример 2. Извършете умножение (3 − х)(9 + 3х + х 2)

Първият полином (3 − х) е разликата на двата израза, а вторият полином е непълният квадрат от сбора на тези два израза. Това ни позволява да използваме формулата (a-b)(а 2 + аб + б 2) = а 3 − б 3

(3 − х)(9 + 3х + х 2) = 3 3 − х 3 = 27 − х 3

Умножаване на сбора от два израза по непълния квадрат на тяхната разлика

Има задачи, при които се изисква сборът от два израза да се умножи по непълния квадрат на тяхната разлика. Това парче изглежда така:

(а+б)(а 2 − аб + б 2)

Първи полином ( а+б (а 2 − аб + б 2) е непълен квадрат на разликата на тези два израза.

Непълният квадрат на разликата е полином от вида а 2 − аб + б 2 . Това е подобно на обикновената квадратна разлика а 2 − 2аб + б 2 освен че в него произведението на първия и втория израз не се удвоява.

Например изразът 4х 2 − 6xy + 9г 2 е непълен квадрат на разликата от изрази 2 хи 3 y .

(2х) 2 − 2х× 3 г + (3г) 2 = 4х 2 − 6xy + 9г 2

Нека се върнем към оригиналния пример. Нека умножим сумата а+бчрез непълния квадрат на разликата а 2 − аб + б 2

(а+б)(а 2 − аб + б 2) = а(а 2 − ab + b 2) + б(а 2 − аб + б 2) =
а 3 − а 2 б + аб 2 + а 2 б − аб 2 + б 3 = а 3 + б 3

Това е изразът (а+б)(а 2 − аб + б 2) се равнява а 3 + б 3

(а+б)(а 2 − аб + б 2) = а 3 + б 3

Това тъждество се нарича формула за умножаване на сбора от два израза по непълния квадрат на тяхната разлика. Тази формула може да се чете така:

Произведението от сбора на два израза и непълния квадрат на тяхната разлика е равно на сбора от кубовете на тези изрази.

Пример 1. Извършете умножение (2х + 3г)(4х 2 − 6xy + 9г 2)

Първият полином (2 х + 3г) е сборът от два израза 2 хи 3 г, и вторият полином 4х 2 − 6xy + 9г 2 е непълният квадрат на разликата на тези изрази. Това ни позволява да използваме формулата, без да правим дълги изчисления (а+б)(а 2 − аб + б 2) = а 3 + б 3 . В нашия случай умножението (2х + 3г)(4х 2 − 6xy + 9г 2) може да бъде заменен със сумата от кубчета 2 хи 3 г

(2х + 3г)(4х 2 − 6xy + 9г 2) = (2х) 3 + (3г) 3 = 8х 3 + 27г 3

Нека се опитаме да решим същия пример, без да използваме формулата (а+б)(а 2 − аб+ б 2) = а 3 + б 3 . Получаваме същия резултат, но решението става по-дълго:

(2х + 3г)(4х 2 − 6xy + 9г 2) = 2х(4х 2 − 6xy + 9г 2) + 3г(4х 2 − 6xy + 9г 2) =
8х 3 − 12х 2 г + 18xy 2 + 12х 2 г − 18xy 2 + 27г 3 = 8х 3 + 27г 3

Пример 2. Извършете умножение (2х+ г)(4х 2 − 2xy + г 2)

Първият полином (2 х+ г) е сборът от два израза, а вторият полином (4х 2 − 2xy + г 2) е непълен квадрат на разликата на тези изрази. Това ни позволява да използваме формулата (а+б)(а 2 − аб+ б 2) = а 3 + б 3

(2х+ г)(4х 2 − 2xy + г 2) = (2х) 3 + г 3 = 8х 3 + г 3

Нека се опитаме да решим същия пример, без да използваме формулата (а+б)(а 2 − аб+ б 2) = а 3 + б 3 . Получаваме същия резултат, но решението става по-дълго:

(2х+ г)(4х 2 − 2xy + г 2) = 2х(4х 2 − 2xy + г 2) + г(4х 2 − 2xy + г 2) =
8х 3 − 4х 2 г + 2xy 2 + 4х 2 г − 2xy 2 + г 3 = 8х 3 + г 3

Задачи за самостоятелно решаване

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

За да се опростят алгебричните полиноми, има съкратени формули за умножение. Не са толкова много от тях и са лесни за запомняне, но трябва да ги запомните. Нотацията, използвана във формулите, може да приеме всякаква форма (число или полином).

Първата съкратена формула за умножение се нарича разлика на квадратите. Той се крие във факта, че от квадрата на едно число квадратът на второто число се изважда равен на разликата между тези числа, както и тяхното произведение.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Нека анализираме за по-голяма яснота:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Втората формула за сума от квадрати. Звучи така, че сумата от две стойности на квадрат е равна на квадрата на първата стойност, към нея се добавя двойното произведение на първата стойност, умножено по втората, към тях се добавя квадратът на втората стойност.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Благодарение на тази формула става много по-лесно да се изчисли квадратът на голямо число, без използването на компютърни технологии.

Така например:квадратът на 112 ще бъде
1) В началото ще анализираме 112 в числа, чиито квадрати са ни познати
112 = 100 + 12
2) Въвеждаме полученото в скоби в квадрат
112 2 = (100+12) 2
3) Прилагайки формулата, получаваме:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третата формула е разлика на квадрат. Което казва, че две стойности, извадени една от друга на квадрат, са равни на факта, че от първата стойност на квадрат изваждаме двойното произведение на първата стойност, умножено по втората, добавяйки към тях квадрата на втората стойност .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

където (a - b) 2 е равно на (b - a) 2 . За да докаже това, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Извиква се четвъртата съкратена формула за умножение сборен куб. Което звучи така: два члена от стойността в куба са равни на куба с 1 стойност, тройното произведение на 1 стойност на квадрат, умножено по 2-рата стойност, се добавя, към тях се добавя тройното произведение на 1 стойност, умножено по квадрата от 2 стойност плюс втората стойност в куб.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Петият, както вече разбрахте, се нарича куб за разлика. Което намира разликите между стойностите, тъй като от първото обозначение в куба изваждаме тройното произведение на първото обозначение на квадрат, умножено по второто, към тях се добавя тройното произведение на първото обозначение, умножено по квадрата на второто обозначение , минус второто обозначение в куба.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Шестият се нарича сума от кубчета. Сумата от кубчетата е равна на произведението на два члена, умножено по непълния квадрат на разликата, тъй като в средата няма удвоена стойност.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

По друг начин можете да кажете, че сумата от кубчета може да се нарече произведение в две скоби.

Извиква се седмият и последен разлика в кубчетата(лесно е да го объркате с формулата на куба на разликата, но това са различни неща). Разликата на кубчетата е равна на произведението на разликата от две стойности, умножено по непълния квадрат на сбора, тъй като в средата няма удвоена стойност.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

И така има само 7 формули за съкратено умножение, те са подобни една на друга и са лесни за запомняне, единственото нещо е да не се бъркате в знаците. Те също са предназначени да се използват в обратен ред и има доста такива задачи, събрани в учебниците. Бъдете внимателни и ще успеете.

Ако имате въпроси относно формулите, не забравяйте да ги напишете в коментарите. Ще се радваме да ви отговорим!

Ако сте в отпуск по майчинство, но искате да печелите пари. Просто следвайте връзката Интернет бизнес с Орифлейм. Всичко е написано и показано много подробно. Ще бъде интересно!