В тригонометрията много формули са по-лесни за извеждане, отколкото за запомняне. Косинусът на двоен ъгъл е прекрасна формула! Позволява ви да получите формули за намаляване и формули за половин ъгъл.
И така, имаме нужда от косинус на двойния ъгъл и тригонометричната единица:
Те дори са подобни: във формулата на косинуса на двоен ъгъл - разликата между квадратите на косинуса и синуса, а в тригонометричната единица - тяхната сума. Ако изразим косинуса от тригонометричната единица:
и го заместваме в косинуса на двойния ъгъл, получаваме:
Това е друга формула за косинус на двоен ъгъл:
Тази формула е ключът към получаване на формулата за намаляване:
И така, формулата за намаляване на степента на синуса е:
Ако в него ъгълът алфа е заменен с половин ъгъл алфа наполовина, а двойният ъгъл две алфа е заменен с ъгъл алфа, тогава получаваме формулата за половин ъгъл за синуса:
Сега от тригонометричната единица изразяваме синуса:
Заменете този израз във формулата за косинус на двоен ъгъл:
Получаваме друга формула за косинус на двоен ъгъл:
Тази формула е ключът към намирането на косинусовата редукция и формулата на половин ъгъл за косинус.
Така формулата за понижаване на степента на косинус е:
Ако в него заменим α с α/2 и 2α с α, тогава получаваме формулата за половин аргумент за косинуса:
Тъй като тангенсът е съотношението на синус към косинус, формулата за тангенс е:
Котангенсът е съотношението на косинус към синус. Така че формулата за котангенса е:
Разбира се, в процеса на опростяване на тригонометричните изрази, няма смисъл да се извеждат формули за половин ъгъл или да се понижава степента всеки път. Много по-лесно е да поставите лист с формули пред вас. И опростяването ще напредне по-бързо и визуалната памет ще се включи за запаметяване.
Но все пак си струва да извлечете тези формули няколко пъти. Тогава ще бъдете абсолютно сигурни, че по време на изпита, когато няма начин да използвате шпалгалка, можете лесно да ги получите, ако възникне нужда.
Стойностите на синусите са в диапазона [-1; 1], т.е. -1 ≤ sin α ≤ 1. Следователно, ако |a| > 1, то уравнението sin x = a няма корени. Например, уравнението sin x = 2 няма корени.
Нека се обърнем към някои задачи.
Решете уравнението sin x = 1/2.
Решение.
Забележете, че sin x е ордината на точката на единичната окръжност, която се получава в резултат на завъртане на точка Р (1; 0) по ъгъла x около началото.
В две точки от окръжността M 1 и M 2 има ордината, равна на ½.
Тъй като 1/2 \u003d sin π / 6, тогава точката M 1 се получава от точка P (1; 0) чрез завъртане през ъгъл x 1 = π / 6, както и през ъгли x \u003d π / 6 + 2πk, където k \u003d +/-1, +/-2, …
Точката M 2 се получава от точка P (1; 0) в резултат на завъртане през ъгъл x 2 = 5π/6, както и през ъглите x = 5π/6 + 2πk, където k = +/- 1, +/-2, ... , т.е. при ъгли x = π – π/6 + 2πk, където k = +/-1, +/-2, ….
И така, всички корени на уравнението sin x = 1/2 могат да бъдат намерени по формулите x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, където k € Z.
Тези формули могат да бъдат комбинирани в една: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, където n € Z (1).
Наистина, ако n е четно число, т.е. n = 2k, то от формула (1) получаваме х = π/6 + 2πk, а ако n е нечетно число, т.е. n = 2k + 1, то от формула (1) получаваме х = π – π/6 + 2πk.
Отговор. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, където n € Z.
Решете уравнението sin x = -1/2.
Решение.
Ординатата -1/2 има две точки от единичната окръжност M 1 и M 2, където x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Следователно всички корени на уравнението sin x = -1/2 могат да бъдат намерени по формулите x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Можем да комбинираме тези формули в една: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Наистина, ако n = 2k, тогава по формула (2) получаваме x = -π/6 + 2πk, а ако n = 2k – 1, тогава по формула (2) намираме x = -5π/6 + 2πk.
Отговор. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
По този начин всяко от уравненията sin x = 1/2 и sin x = -1/2 има безкраен брой корени.
На отсечката -π/2 ≤ x ≤ π/2 всяко от тези уравнения има само един корен:
x 1 \u003d π / 6 - коренът на уравнението sin x \u003d 1/2 и x 1 \u003d -π / 6 - коренът на уравнението sin x = -1/2.
Числото π/6 се нарича арксинус на числото 1/2 и се записва: arcsin 1/2 = π/6; числото -π/6 се нарича арксинус на числото -1/2 и пишат: arcsin (-1/2) = -π/6.
Като цяло, уравнението sin x \u003d a, където -1 ≤ a ≤ 1, на сегмента -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 има само един корен. Ако a ≥ 0, тогава коренът е затворен в интервала; ако< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
По този начин арксинусът на числото a € [–1; 1] такова число се нарича € [–π/2; π/2], чийто синус е a.
arcsin a = α, ако sin α = a и -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Например arcsin √2/2 = π/4, тъй като sin π/4 = √2/2 и – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, тъй като sin (-π/3) = -√3/2 и – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
Подобно на начина, по който се прави при решаване на задачи 1 и 2, може да се покаже, че корените на уравнението sin x = a, където |a| ≤ 1 се изразяват с формулата
x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).
Можем също да докажем, че за всяко a € [-1; 1] формулата arcsin (-a) = -arcsin a е валидна.
От формула (4) следва, че корените на уравнението
sin x = a за = 0, a = 1, a = -1 може да се намери с помощта на по-прости формули:
sin x \u003d 0 x = πn, n € Z (5)
sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
|BD| - дължината на дъгата на окръжност с център в точка А.
α е ъгълът, изразен в радиани.
допирателна ( tgα) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равна на съотношението на дължината на противоположния катет |BC| до дължината на съседния крак |AB| .
котангенс ( ctgα) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равна на съотношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на противоположния крак |BC| .
Тангента
Където н- цяла.
В западната литература допирателната се обозначава по следния начин:
.
;
;
.
Графика на допирателната функция, y = tg x
Котангенс
Където н- цяла.
В западната литература котангенсът се обозначава, както следва:
.
Също така е приета следната нотация:
;
;
.
Графика на котангенсната функция, y = ctg x
Свойства на тангенса и котангенса
Периодичност
Функции y= tg xи y= ctg xса периодични с период π.
Паритет
Функциите тангенс и котангенс са нечетни.
Области на дефиниция и стойности, възходящо, низходящо
Функциите допирателна и котангенс са непрекъснати в своята област на дефиниция (вижте доказателството за непрекъснатост). Основните свойства на тангенса и котангенса са представени в таблицата ( н- цяло число).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Обхват и приемственост | ||
| Диапазон от стойности | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Възходящ | - | |
| Низходящо | - | |
| Крайности | - | - |
| Нули, y= 0 | ||
| Точки на пресичане с оста y, x = 0 | y= 0 | - |
Формули
Изрази по отношение на синус и косинус
;
;
;
;
;
Формули за тангенс и котангенс на сума и разлика
Останалите формули са лесни за получаване, например
Произведение на допирателните
Формулата за сбора и разликата на допирателните
Тази таблица показва стойностите на тангентите и котангентите за някои стойности на аргумента. 
Изрази по отношение на комплексни числа
Изрази в термини на хиперболични функции
;
;
Производни
; .
.
Производна от n-ти ред по отношение на променливата x на функцията:
.
Извеждане на формули за допирателна > > > ; за котангенс > > >
Интеграли
Разширения в серии
За да получите разширението на допирателната по степени на x, трябва да вземете няколко члена на разширението в степенен ред за функциите грях хи cos xи разделете тези полиноми един на друг , . Това води до следните формули.
В .
в .
където B n- Числата на Бернули. Те се определят или от отношението на повторяемост:
;
;
където .
Или по формулата на Лаплас: 
Обратни функции
Обратните функции на допирателната и котангенса са съответно арктангенс и арккотангенс.
Арктангенс, arctg
, където н- цяла.
Arc тангенс, arcctg
, където н- цяла.
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Лан, 2009.
Г. Корн, Наръчник по математика за изследователи и инженери, 2012 г.
Най-простите тригонометрични идентичности
Коефициентът на разделяне на синуса на ъгъла алфа на косинуса на същия ъгъл е равен на тангенса на този ъгъл (Формула 1). Вижте също доказателството за правилността на трансформацията на най-простите тригонометрични тъждества.
Коефициентът на разделяне на косинуса на ъгъла алфа на синуса на същия ъгъл е равен на котангенса на същия ъгъл (Формула 2)
Секансът на ъгъла е равен на един, разделен на косинуса на същия ъгъл (Формула 3)
Сумата от квадратите на синуса и косинуса на един и същи ъгъл е равна на единица (Формула 4). виж също доказателството за сумата от квадратите на косинуса и синуса.
Сумата от единицата и тангенса на ъгъла е равна на съотношението на единицата към квадрата на косинуса на този ъгъл (Формула 5)
Единицата плюс котангенсът на ъгъла е равен на частното от разделянето на единицата на квадрата на синуса на този ъгъл (Формула 6)
Произведението на тангенса и котангенса на един и същи ъгъл е равно на единица (Формула 7).
Преобразуване на отрицателни ъгли на тригонометрични функции (четни и нечетни)
За да се отървете от отрицателната стойност на градусната мярка на ъгъла при изчисляване на синуса, косинуса или тангенса, можете да използвате следните тригонометрични трансформации (идентичности) въз основа на принципите на четните или нечетните тригонометрични функции.
както се вижда, косинуси секанс е равномерна функция, синус, тангенс и котангенс са нечетни функции.
Синусът на отрицателен ъгъл е равен на отрицателната стойност на синуса на същия положителен ъгъл (минус синусът на алфа).
Косинусът "минус алфа" ще даде същата стойност като косинусът на ъгъла алфа.
Тангенс минус алфа е равен на минус допирателна алфа.
Формули за намаляване на двоен ъгъл (синус, косинус, тангенс и котангенс на двоен ъгъл)
Ако трябва да разделите ъгъла наполовина или обратно, преминете от двоен ъгъл към единичен, можете да използвате следните тригонометрични идентичности:
Преобразуване на двоен ъгъл (двоен ъглов синус, двоен ъгъл косинус и двоен ъгъл тангенс) в един се случва съгласно следните правила:
Синус на двоен ъгъле равно на двойното произведение на синуса и косинуса на единичен ъгъл
Косинус на двоен ъгъле равна на разликата между квадрата на косинуса на единичен ъгъл и квадрата на синуса на този ъгъл
Косинус на двоен ъгълравен на два пъти квадрата на косинуса на единичен ъгъл минус едно
Косинус на двоен ъгъле равно на едно минус двойният синус квадрат на единичен ъгъл
Допирателна с двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е два пъти тангенса на единичен ъгъл и чийто знаменател е равен на едно минус тангенсът на квадрата на единичен ъгъл.
Двоен ъгъл котангенсе равно на дроб, чийто числител е квадратът на котангенса на единичен ъгъл минус едно, а знаменателят е равен на удвоения котангенс на единичен ъгъл
Универсални тригонометрични формули за заместване
Формулите за преобразуване по-долу могат да бъдат полезни, когато трябва да разделите аргумента на тригонометричната функция (sin α, cos α, tg α) на две и да доведете израза до стойността на половината от ъгъла. От стойността на α получаваме α/2.Тези формули се наричат формули на универсалното тригонометрично заместване. Тяхната стойност се крие във факта, че тригонометричният израз с тяхна помощ се свежда до израза на тангенса на половин ъгъл, независимо какви тригонометрични функции (sin cos tg ctg) са били първоначално в израза. След това уравнението с тангенса на половин ъгъл е много по-лесно за решаване.
Тригонометрични идентичности на трансформация на полуъгъла
Следват формулите за тригонометрично преобразуване на половината от стойността на ъгъла в неговата целочислена стойност.Стойността на аргумента на тригонометричната функция α/2 се свежда до стойността на аргумента на тригонометричната функция α.
Тригонометрични формули за добавяне на ъгли
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Тангенс и котангенс на сбора от ъглиалфа и бета могат да бъдат преобразувани съгласно следните правила за преобразуване на тригонометрични функции:
Тангенс на сбор от ъглие равно на дроб, числителят на която е сумата от тангенса на първия и тангенса на втория ъгъл, а знаменателят е едно минус произведението на тангенса на първия ъгъл и тангенса на втория ъгъл.
Тангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е равен на разликата между тангенса на редуцирания ъгъл и тангенса на ъгъла, който трябва да се извади, а знаменателят е едно плюс произведението на тангентите на тези ъгли.
Котангенс на сумата от ъглие равно на дроб, чийто числител е равен на произведението на котангенсите на тези ъгли плюс едно, а знаменателят е равен на разликата между котангенса на втория ъгъл и котангенса на първия ъгъл.
Котангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е произведението на котангентите на тези ъгли минус едно, а знаменателят е равен на сумата от котангентите на тези ъгли.
Тези тригонометрични идентичности са удобни за използване, когато трябва да изчислите, например, тангенс от 105 градуса (tg 105). Ако е представен като tg (45 + 60), тогава можете да използвате дадените идентични трансформации на тангенса на сумата от ъглите, след което просто замените табличните стойности на тангенса на 45 и допирателната от 60 градуса.
Формули за преобразуване на сумата или разликата от тригонометрични функции
Изразите, представляващи сумата от формата sin α + sin β, могат да бъдат преобразувани с помощта на следните формули:
Формули за троен ъгъл - преобразувайте sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα
Понякога е необходимо да се преобразува тройната стойност на ъгъла, така че ъгълът α да стане аргумент на тригонометричната функция вместо 3α.В този случай можете да използвате формулите (идентичности) за трансформацията на тройния ъгъл:
Формули за преобразуване на произведението на тригонометрични функции
Ако се наложи да преобразувате произведението от синуси на различни ъгли на косинуси с различни ъгли или дори произведение на синус и косинус, тогава можете да използвате следните тригонометрични идентичности:
В този случай произведението на функциите синус, косинус или тангенс на различни ъгли ще се преобразува в сума или разлика.
Формули за редуциране на тригонометрични функции
Трябва да използвате масата за отливки, както следва. В реда изберете функцията, която ни интересува. Колоната е ъгъл. Например, синусът на ъгъла (α+90) в пресечната точка на първия ред и първата колона, откриваме, че sin (α+90) = cos α .
Зареждане...