ирационално число- това реално число, което не е рационално, тоест не може да бъде представено като дроб, където са цели числа, . Ирационално число може да бъде представено като безкраен неповтарящ се десетичен знак.
Множеството от ирационални числа обикновено се обозначава с главна латинска буква с удебелен шрифт без засенчване. Така: , т.е. набор от ирационални числа е разлика от множества от реални и рационални числа.
За съществуването на ирационални числа, по-точно отсечките, несъизмерими с отсечка с единична дължина, са били известни още на древните математици: те са знаели например несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на числото.
Имоти
- Всяко реално число може да се запише като безкрайна десетична дроб, докато ирационалните числа и само те се записват като непериодични безкрайни десетични дроби.
- Ирационалните числа определят разрезите на Дедекинд в множеството от рационални числа, които нямат най-голямо число в долния клас и нямат най-малко число в горния клас.
- Всяко реално трансцендентно число е ирационално.
- Всяко ирационално число е или алгебрично, или трансцендентно.
- Множеството от ирационални числа е плътно навсякъде по реалната права: между произволни две числа има ирационално число.
- Редът на множеството от ирационални числа е изоморфен на реда на множеството от реални трансцендентни числа.
- Множеството от ирационални числа е неизброимо, е множество от втора категория.
Примери
| Ирационални числа - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Ирационални са:
Примери за доказване на ирационалност
Корен от 2
Да приемем обратното: рационално, тоест той е представен като несводима дроб, където е цяло число и е естествено число. Нека квадратурираме предполагаемото равенство:
.От това следва, че дори, следователно, дори и . Нека къде е цялото. Тогава
Следователно, дори, следователно, дори и . Получихме това и са четни, което противоречи на неприводимостта на дроба . Следователно, първоначалното предположение е погрешно и е ирационално число.
Двоичен логаритъм на числото 3
Да приемем обратното: той е рационален, тоест е представен като дроб, където и са цели числа. Тъй като , и може да се приеме положително. Тогава
Но е ясно, странно е. Получаваме противоречие.
д
История
Концепцията за ирационалните числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр.н.е., когато Манава (около 750 г. пр. н. е. - около 690 г. пр. н. е.) открива, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61, не могат да бъдат изрично изразени.
Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (около 500 г. пр. н. е.), питагореец, който намери това доказателство чрез изучаване на дължините на страните на пентаграма. По времето на питагорейците се е смятало, че има единична единица дължина, достатъчно малка и неделима, която е цял брой пъти, включена във всеки сегмент. Въпреки това, Хипас твърди, че няма единна единица дължина, тъй като предположението за нейното съществуване води до противоречие. Той показа, че ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник съдържа цял брой единични сегменти, то това число трябва да бъде едновременно четно и нечетно. Доказателството изглеждаше така:
- Съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник може да се изрази като а:б, където аИ бизбрана като възможно най-малка.
- Според питагоровата теорема: а² = 2 б².
- Защото а² дори, атрябва да е четно (тъй като квадратът на нечетно число би бил нечетен).
- Дотолкова доколкото а:бнесводим бтрябва да е странно.
- Защото адори, обозначете а = 2г.
- Тогава а² = 4 г² = 2 б².
- б² = 2 г², следователно бтогава е четно бдори.
- Доказано е обаче, че бстранно Противоречие.
Гръцките математици наричат това съотношение на несъизмерими величини alogos(неизразимо), но според легендите на Хипас не е отдадено дължимото уважение. Има легенда, че Хипас е направил откритието по време на морско пътуване и е бил хвърлен зад борда от други питагорейци „за създаването на елемент от Вселената, който отрича доктрината, че всички същества във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните съотношения. " Откриването на Хипас постави сериозен проблем за питагорейската математика, разрушавайки предположението, залегнало в основата на цялата теория, че числата и геометричните обекти са едно цяло и неразделни.
Ирационалните числа са познати на хората от древни времена. Няколко века преди нашата ера индийският математик Манава открива, че квадратните корени на някои числа (например 2) не могат да бъдат изразени изрично.
Тази статия е един вид встъпителен урок в темата "Ирационални числа". Ще дадем определение и примери за ирационални числа с обяснение, а също така ще разберем как да определим дали дадено число е ирационално.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ирационални числа. Определение
Самото име "ирационални числа" изглежда ни подсказва определение. Ирационалното число е реално число, което не е рационално. С други думи, такова число не може да бъде представено като дроб m n , където m е цяло число, а n е естествено число.
Определение. Ирационални числа
Ирационалните числа са онези числа, които в десетичната система са безкрайни неповтарящи се десетични дроби.
Ирационално число може да бъде представено като безкрайна непериодична дроб. Множеството от ирационални числа се означава с $I$ и е равно на: $I=R / Q$ .
Например. Ирационалните числа са:
Операции върху ирационални числа
Върху множеството от ирационални числа могат да бъдат въведени четири основни аритметични операции: събиране, изваждане, умножение и деление; но за нито една от изброените операции множеството от ирационални числа няма свойството на затваряне. Например сборът от две ирационални числа може да бъде рационално число.
Например. Намерете сбора от две ирационални числа $0.1010010001 \ldots$ и $0.0101101110 \ldots$. Първото от тези числа се образува от поредица от единици, разделени съответно от една нула, две нули, три нули и т.н., второто - от поредица от нули, между които една единица, две единици, три единици и т.н. са поставени:
$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Така сборът от две дадени ирационални числа е числото $\frac(1)(9)$ , което е рационално.
Пример
Задачата.Докажете, че числото $\sqrt(3)$ е ирационално.
Доказателство.Ще използваме метода на доказване чрез противоречие. Да предположим, че $\sqrt(3)$ е рационално число, тоест може да бъде представено като дроб $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , където $m$ и $n$ са взаимно прости естествени числа.
Получаваме квадратура на двете страни на равенството
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Числото 3$\cdot n^(2)$ се дели на 3. Следователно $m^(2)$ и следователно $m$ се дели на 3. Поставяйки $m=3 \cdot k$, равенството $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ може да се запише като
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
От последното равенство следва, че $n^(2)$ и $n$ се делят на 3, така че дробът $\frac(m)(n)$ може да бъде намален с 3. Но по предположение, дробът $\ frac(m)(n)$ е неприводим. Полученото противоречие доказва, че числото $\sqrt(3)$ не може да бъде представено като дроб $\frac(m)(n)$ и следователно е ирационално.
Q.E.D.
Всички рационални числа могат да бъдат представени като обикновена дроб. Това се отнася за цели числа (например 12, -6, 0) и крайни десетични дроби (например 0,5; -3,8921) и безкрайни периодични десетични дроби (например 0,11(23); -3 ,(87) )).
но безкрайни неповтарящи се десетични знацине могат да бъдат представени като обикновени дроби. Това са те ирационални числа(т.е. ирационално). Пример за такова число е π, което е приблизително равно на 3,14. Не може обаче да се определи на какво точно е равно, тъй като след числото 4 има безкрайна поредица от други числа, в които не могат да се разграничат повтарящи се периоди. В същото време, въпреки че числото π не може да бъде изразено точно, то има специфично геометрично значение. Числото π е съотношението на дължината на всеки кръг към дължината на неговия диаметър. Следователно ирационалните числа съществуват в природата, както и рационалните числа.
Друг пример за ирационални числа са квадратните корени от положителни числа. Извличането на корени от едни числа дава рационални стойности, от други - ирационални. Например, √4 = 2, т.е. коренът от 4 е рационално число. Но √2, √5, √7 и много други водят до ирационални числа, тоест те могат да бъдат извлечени само с приближение, закръглено до определен десетичен знак. В този случай фракцията се получава непериодична. Тоест, невъзможно е да се каже точно и определено какъв е коренът на тези числа.
Така че √5 е число между 2 и 3, тъй като √4 = 2 и √9 = 3. Можем също да заключим, че √5 е по-близо до 2, отколкото до 3, тъй като √4 е по-близо до √5, отколкото √9 до √5. Наистина, √5 ≈ 2,23 или √5 ≈ 2,24.
Ирационалните числа се получават и при други изчисления (и не само при извличане на корени), те са отрицателни.
По отношение на ирационалните числа можем да кажем, че без значение какъв единичен сегмент вземем, за да измерим дължината, изразена с такова число, не можем определено да го измерим.
В аритметичните операции ирационалните числа могат да участват заедно с рационалните. В същото време има редица закономерности. Например, ако в аритметична операция участват само рационални числа, тогава резултатът винаги е рационално число. Ако в операцията участват само ирационални, тогава е невъзможно да се каже недвусмислено дали ще се окаже рационално или ирационално число.
Например, ако умножите две ирационални числа √2 * √2, получавате 2 - това е рационално число. От друга страна, √2 * √3 = √6 е ирационално число.
Ако една аритметична операция включва рационално и ирационално число, тогава ще се получи ирационален резултат. Например 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.
Защо √17 - 4 е ирационално число? Представете си, че получавате рационално число x. Тогава √17 = x + 4. Но x + 4 е рационално число, тъй като приехме, че x е рационално. Числото 4 също е рационално, така че x + 4 е рационално. Рационалното число обаче не може да бъде равно на ирационалното √17. Следователно предположението, че √17 - 4 дава рационален резултат, е неправилно. Резултатът от аритметична операция ще бъде ирационален.
Има обаче изключение от това правило. Ако умножим ирационално число по 0, ще получим рационално число 0.
Определение на ирационално число
Ирационалните числа са онези числа, които в десетична нотация са безкрайни непериодични десетични дроби.
Така например числата, получени чрез вземане на корен квадратен от естествени числа, са ирационални и не са квадрати от естествени числа. Но не всички ирационални числа се получават чрез извличане на квадратен корен, тъй като числото "pi", получено чрез разделяне, също е ирационално и е малко вероятно да го получите, когато се опитвате да извлечете квадратния корен от естествено число.
Свойства на ирационалните числа
За разлика от числата, записани в безкрайни десетични дроби, само ирационалните числа се записват в непериодични безкрайни десетични дроби.
Сборът от две неотрицателни ирационални числа може в крайна сметка да бъде рационално число.
Ирационалните числа определят секциите на Дедекинд в множеството от рационални числа, в чийто по-нисък клас няма най-голямо число, а в горния клас няма по-малко.
Всяко реално трансцендентално число е ирационално.
Всички ирационални числа са или алгебрични, или трансцендентни.
Множеството от ирационални числа на линията са плътно опаковани и между всякакви две негови числа задължително има ирационално число.
Множеството от ирационални числа е безкрайно, неизброимо и е множество от 2-ра категория.
При извършване на която и да е аритметична операция върху рационални числа, с изключение на деление на 0, резултатът ще бъде рационално число.
Когато добавяте рационално число към ирационално число, резултатът винаги е ирационално число.
Когато добавяме ирационални числа, в резултат можем да получим рационално число.
Множеството от ирационални числа не е четно.
Числата не са ирационални
Понякога е доста трудно да се отговори на въпроса дали дадено число е ирационално, особено в случаите, когато числото е под формата на десетична дроб или под формата на числов израз, корен или логаритъм.
Следователно няма да е излишно да знаем кои числа не са ирационални. Ако следваме определението за ирационални числа, тогава вече знаем, че рационалните числа не могат да бъдат ирационални.
Ирационалните числа не са:
Първо, всички естествени числа;
Второ, цели числа;
Трето, обикновени фракции;
Четвърто, различни смесени числа;
Пето, това са безкрайни периодични десетични дроби.
В допълнение към всичко по-горе, всяка комбинация от рационални числа, която се изпълнява от знаците на аритметичните операции, като +, -, , :, не може да бъде ирационално число, тъй като в този случай резултатът от две рационални числа също ще бъде рационално число.
Сега нека видим кои от числата са ирационални:
Знаете ли за съществуването на фен клуб, където феновете на този мистериозен математически феномен търсят все повече информация за Пи, опитвайки се да разгадаят неговата мистерия. Всеки човек, който знае наизуст определен брой числа Пи след десетичната запетая, може да стане член на този клуб;
Знаете ли, че в Германия, под закрилата на ЮНЕСКО, се намира дворецът Кастадел Монте, благодарение на чиито пропорции можете да изчислите Пи. На този номер е посветен цял дворец от крал Фридрих II.
Оказва се, че са се опитали да използват числото Пи при изграждането на Вавилонската кула. Но за наше голямо съжаление това доведе до краха на проекта, тъй като по това време точното изчисляване на стойността на Pi не беше достатъчно проучено.
Певицата Кейт Буш в новия си диск записа песен, наречена "Pi", в която прозвучаха сто двадесет и четири числа от известния номер 3, 141 ... ..
Зареждане...