Kada je broj djeljiv sa 12. Glavni znaci djeljivosti

m i n postoji cijeli broj k i nk= m, zatim broj m podijeljena n

Upotreba vještina djeljivosti pojednostavljuje proračune i proporcionalno povećava brzinu njihovog izvršenja. Hajde da detaljno analiziramo glavne karakteristike karakteristike djeljivosti.

Najjednostavniji kriterij djeljivosti za jedinice: svi brojevi su djeljivi sa jednim. Jednako je elementarna i sa znakovima djeljivosti po dva, pet, deset. Parni broj se može podijeliti sa dva, ili jedan sa konačnom cifrom 0, sa pet - brojem sa konačnom cifrom 5 ili 0. Samo oni brojevi sa konačnom cifrom 0 će se podijeliti sa deset, sa 100 - samo oni brojevi čije su dvije posljednje cifre nule, uključeno 1000 - samo one sa tri konačne nule.

Na primjer:

Broj 79516 može se podijeliti sa 2, jer se završava na 6, paran broj; 9651 nije djeljivo sa 2, jer je 1 neparna znamenka; 1790 je djeljivo sa 2 jer je konačna znamenka nula. 3470 će biti podijeljeno sa 5 (konačna cifra je 0); 1054 nije djeljivo sa 5 (konačnih 4). 7800 će biti podijeljeno sa 10 i 100; 542000 je djeljivo sa 10, 100, 1000.

Manje poznata, ali vrlo jednostavna karakteristika karakteristike djeljivosti na 3 i 9 , 4 , 6 i 8, 25 . Postoje i karakteristične karakteristike djeljivosti po 7, 11, 13, 17, 19 i tako dalje, ali se u praksi koriste mnogo rjeđe.

Karakteristična karakteristika dijeljenja sa 3 i sa 9.

Na tri i/ili na devet bez ostatka, oni brojevi će se podijeliti za koje je rezultat zbrajanja cifara višekratnik tri i/ili devet.

Na primjer:

Broj 156321, rezultat sabiranja 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18, podijelit će se sa 3 i podijeliti sa 9, odnosno, sam broj se može podijeliti sa 3 i 9. Broj 79123 neće biti podijeljeno sa 3 ili 9, tako da zbir njegovih cifara (22) nije djeljiv sa ovim brojevima.

Karakteristična karakteristika dijeljenja sa 4, 8, 16 i tako dalje.

Broj se može podijeliti bez ostatka sa četiri, ako su njegove posljednje dvije cifre nule ili su broj koji se može podijeliti sa 4. U svim ostalim slučajevima dijeljenje bez ostatka nije moguće.

Na primjer:

Broj 75300 je djeljiv sa 4, pošto su zadnje dvije cifre nule; 48834 nije deljivo sa 4 jer poslednje dve cifre daju 34, što nije deljivo sa 4; 35908 je djeljivo sa 4, jer posljednje dvije cifre od 08 daju broj 8 djeljiv sa 4.

Sličan princip je primjenjiv na kriterij djeljivosti po osam. Broj je djeljiv sa osam ako su njegove posljednje tri cifre nule ili čine broj djeljiv sa 8. Inače, količnik dobiven dijeljenjem neće biti cijeli broj.

Ista svojstva za podjelu po 16, 32, 64 itd., ali se ne koriste u svakodnevnim proračunima.

Karakteristična karakteristika djeljivosti sa 6.

Broj je djeljiv sa šest, ako je djeljiv i sa dva i sa tri, sa svim ostalim opcijama, dijeljenje bez ostatka je nemoguće.

Na primjer:

126 je deljivo sa 6, jer je deljivo sa 2 (konačni paran broj je 6) i 3 (zbir cifara 1 + 2 + 6 = 9 je deljiv sa tri)

Karakteristična karakteristika djeljivosti sa 7.

Broj je djeljiv sa sedam ako je razlika njegovog dvostrukog posljednjeg broja i "broja koji je ostao bez posljednje cifre" djeljiva sa sedam, tada je i sam broj djeljiv sa sedam.

Na primjer:

Broj je 296492. Uzmimo zadnju cifru "2", udvostručimo je, dobije se 4. Oduzmite 29649 - 4 = 29645. Problematično je saznati da li je djeljivo sa 7, pa se ponovo analizira. Zatim udvostručimo posljednju cifru "5", ispadne 10. Oduzimamo 2964 - 10 = 2954. Rezultat je isti, nije jasno da li je djeljivo sa 7, stoga nastavljamo analizu. Analiziramo sa posljednjom cifrom "4", duplo, izlazi 8. Oduzmite 295 - 8 = 287. Uspoređujemo dvije stotine osamdeset sedam - nije djeljivo sa 7, u vezi s tim nastavljamo pretragu. Po analogiji, zadnja znamenka "7", udvostručena, izlazi 14. Oduzmite 28 - 14 \u003d 14. Broj 14 je djeljiv sa 7, tako da je originalni broj djeljiv sa 7.

Karakteristična karakteristika djeljivosti sa 11.

Na jedanaest djeljivi su samo oni brojevi za koje je rezultat zbrajanja cifara postavljenih na neparna mjesta ili jednak zbiru cifara postavljenih na parnim mjestima, ili je različit brojem djeljivim sa jedanaest.

Na primjer:

Broj 103.785 je djeljiv sa 11, jer je zbir cifara na neparnim mjestima, 1 + 3 + 8 = 12, jednak zbiru cifara na parnim mjestima, 0 + 7 + 5 = 12. Broj 9.163.627 je djeljiv sa 11, jer je zbir cifara na neparnim mjestima 9 + 6 + 6 + 7 = 28, a zbir cifara na parnim mjestima 1 + 3 + 2 = 6; razlika između brojeva 28 i 6 je 22, a ovaj broj je djeljiv sa 11. Broj 461.025 nije djeljiv sa 11, jer brojevi 4 + 1 + 2 = 7 i 6 + 0 + 5 = 11 nisu jednaki međusobno, a njihova razlika 11 - 7 = 4 nije djeljiva sa 11.

Karakteristična karakteristika djeljivosti sa 25.

Na dvadeset petće podijeliti brojeve čije su dvije posljednje cifre nule ili čine broj koji se može podijeliti sa dvadeset pet (tj. brojevima koji završavaju na 00, 25, 50 ili 75). U drugim slučajevima, broj se ne može u potpunosti podijeliti sa 25.

Na primjer:

9450 je djeljivo sa 25 (završava se na 50); 5085 nije djeljivo sa 25.

Radi pojednostavljenja dijeljenja prirodnih brojeva izvedena su pravila za dijeljenje brojevima prve desetice i brojevima 11, 25, koji su spojeni u odjeljak znakove djeljivosti prirodnih brojeva. Ispod su pravila po kojima će analiza broja bez dijeljenja s drugim prirodnim brojem odgovoriti na pitanje, da li je prirodni broj višekratnik brojeva 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 i bit jedinica?

Prirodni brojevi koji imaju cifre (završavaju na) 2,4,6,8,0 u prvoj znamenki nazivaju se parni.

Znak djeljivosti brojeva sa 2

Svi parni prirodni brojevi su djeljivi sa 2, na primjer: 172, 94,67 838, 1670.

Znak djeljivosti brojeva sa 3

Svi prirodni brojevi su djeljivi sa 3, čiji je zbir cifara višekratnik 3. Na primjer:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Znak djeljivosti brojeva sa 4

Svi prirodni brojevi su djeljivi sa 4, od kojih su zadnje dvije cifre nule ili višekratnik od 4. Na primjer:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Znak djeljivosti brojeva sa 5

Znak djeljivosti brojeva sa 6

Oni prirodni brojevi koji su istovremeno djeljivi sa 2 i 3 djeljivi su sa 6 (svi parni brojevi koji su djeljivi sa 3). Na primjer: 126 (b - parno, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Znak djeljivosti brojeva sa 9

Ti prirodni brojevi su djeljivi sa 9, čiji je zbir cifara višekratnik 9. Na primjer:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Znak djeljivosti brojeva sa 10

Znak djeljivosti brojeva sa 11

Samo oni prirodni brojevi su djeljivi sa 11, u kojima je zbir cifara koje zauzimaju parna mjesta jednak zbiru cifara koje zauzimaju neparna mjesta, ili razlici između zbira cifara neparnih mjesta i zbira cifara parnih mjesta je višekratnik od 11. Na primjer:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 i 0 + 7 + 7 = 14);
9.163.627 (9 + 6 + b + 7 = 28 i 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Znak djeljivosti brojeva sa 25

Ti prirodni brojevi su djeljivi sa 25, od kojih su zadnje dvije cifre nule ili su višekratnik od 25. Na primjer:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Znak djeljivosti brojeva bitnom jedinicom

Ti prirodni brojevi se dijele na bitnu jedinicu, u kojoj je broj nula veći ili jednak broju nula bitne jedinice. Na primjer: 12.000 je djeljivo sa 10, 100 i 1000.

Serija članaka o znakovima djeljivosti se nastavlja znak djeljivosti sa 3. Ovaj članak prvo daje formulaciju kriterija djeljivosti sa 3 i daje primjere primjene ovog kriterija u pronalaženju koji su od datih cijelih brojeva djeljivi sa 3, a koji nisu. Nadalje, dat je dokaz testa djeljivosti sa 3. Razmatraju se i pristupi utvrđivanju djeljivosti sa 3 brojeva datih kao vrijednost nekog izraza.

Navigacija po stranici.

Znak djeljivosti sa 3, primjeri

Počnimo sa formulacije testa djeljivosti sa 3: cijeli broj je djeljiv sa 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3, ako zbir njegovih cifara nije djeljiv sa 3, tada sam broj nije djeljiv sa 3.

Iz gornje formulacije jasno je da se znak djeljivosti sa 3 ne može koristiti bez mogućnosti sabiranja prirodnih brojeva. Takođe, za uspješnu primjenu znaka djeljivosti sa 3, potrebno je znati da su od svih jednocifrenih prirodnih brojeva brojevi 3, 6 i 9 djeljivi sa 3, a brojevi 1, 2, 4, 5, 7 i 8 nisu djeljivi sa 3.

Sada možemo razmotriti najjednostavnije primjeri primjene testa djeljivosti sa 3. Hajde da saznamo da li je broj djeljiv sa 3? 42. Da bismo to uradili, izračunavamo zbir cifara broja 42, to je jednako 4+2=6. Pošto je 6 deljivo sa 3, onda se, na osnovu znaka deljivosti sa 3, može tvrditi da je broj 42 takođe deljiv sa 3. Ali pozitivni cijeli broj 71 nije djeljiv sa 3, jer je zbir njegovih znamenki 7+1=8, a 8 nije djeljiv sa 3.

Da li je 0 deljivo sa 3? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, nije potreban kriterij djeljivosti sa 3, ovdje se trebamo prisjetiti odgovarajućeg svojstva djeljivosti, koje kaže da je nula djeljiva sa bilo kojim cijelim brojem. Dakle, 0 je deljivo sa 3.

U nekim slučajevima, da bi se pokazalo da dati broj ima ili nema sposobnost da bude djeljiv sa 3, test djeljivosti sa 3 mora se primijeniti nekoliko puta zaredom. Uzmimo primjer.

Pokažite da je broj 907444812 djeljiv sa 3.

Zbir cifara 907444812 je 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Da bismo saznali da li je 39 deljivo sa 3, izračunavamo njegov zbir cifara: 3+9=12. A da bismo saznali da li je 12 deljivo sa 3, nalazimo zbir cifara broja 12, imamo 1+2=3. Pošto smo dobili broj 3 koji je djeljiv sa 3, onda je, zbog predznaka djeljivosti sa 3, broj 12 djeljiv sa 3. Dakle, 39 je deljivo sa 3, jer je zbir njegovih cifara 12, a 12 je deljivo sa 3. Konačno, 907333812 je djeljivo sa 3 jer je zbir njegovih znamenki 39, a 39 je djeljiv sa 3.

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje drugog primjera.

Da li je broj djeljiv sa 3?543 205?

Izračunajmo zbir cifara ovog broja: 5+4+3+2+0+5=19 . Zauzvrat, zbir cifara broja 19 je 1+9=10, a zbir cifara broja 10 je 1+0=1. Kako smo dobili broj 1 koji nije djeljiv sa 3, iz kriterija djeljivosti sa 3 proizlazi da 10 nije djeljivo sa 3. Dakle, 19 nije deljivo sa 3, jer je zbir njegovih cifara 10, a 10 nije deljivo sa 3. Dakle, originalni broj?543205 nije djeljiv sa 3 jer zbir njegovih cifara, jednak 19, nije djeljiv sa 3.

Vrijedi napomenuti da nam direktno dijeljenje datog broja sa 3 također omogućava da zaključimo da li je dati broj djeljiv sa 3 ili ne. Ovim želimo reći da dijeljenje ne treba zanemariti u korist znaka djeljivosti sa 3. U posljednjem primjeru, dijeljenjem 543 205 sa 3 kolonom, osigurali bismo da 543 205 nije deljivo sa 3, iz čega bismo mogli reći da 543 205 nije deljivo ni sa 3.

Dokaz testa djeljivosti sa 3

Sljedeći prikaz broja a pomoći će nam da dokažemo znak djeljivosti sa 3. Možemo razložiti bilo koji prirodni broj a na cifre, nakon čega nam pravilo množenja sa 10, 100, 1000 i tako dalje omogućava da dobijemo prikaz oblika a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , gdje su a n , a n?1 , …, a 0 cifre s lijeva na desno u broju a . Radi jasnoće, dajemo primjer takvog prikaza: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Zapišimo sada nekoliko prilično očiglednih jednakosti: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 i tako dalje.

Zamjena u jednačinu a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 umjesto 10 , 100 , 1 000 i tako dalje izraza 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 i tako dalje, dobijamo
.

Svojstva sabiranja prirodnih brojeva i svojstva množenja prirodnih brojeva omogućavaju da se rezultirajuća jednakost prepiše na sljedeći način:

Izraz je zbir cifara a. Označimo ga zbog kratkoće i praktičnosti slovom A, odnosno prihvatamo . Tada ćemo dobiti prikaz broja a oblika, koji ćemo koristiti u dokazivanju testa djeljivosti sa 3.

Također, da bismo dokazali test djeljivosti sa 3, potrebna su nam sljedeća svojstva djeljivosti:

da bi cijeli broj a bio djeljiv cijelim brojem b, potrebno je i dovoljno da je modul a djeljiv sa modulom od b;
ako su u jednakosti a=s+t svi članovi, osim nekog, djeljivi sa nekim cijelim brojem b, onda je i ovaj član djeljiv sa b.

Sada smo u potpunosti spremni i možemo izvršiti dokaz djeljivosti sa 3, zbog pogodnosti, ovu osobinu formuliramo kao neophodan i dovoljan uslov za djeljivost sa 3.

Da bi cijeli broj a bio djeljiv sa 3, potrebno je i dovoljno da zbir njegovih cifara bude djeljiv sa 3.

Za a=0 teorema je očigledna.

Ako je a različit od nule, tada je modul a prirodan broj, tada je moguć prikaz, gdje je zbir cifara a.

Pošto je zbir i proizvod cijelih brojeva cijeli broj, onda je cijeli broj, onda je prema definiciji djeljivosti proizvod djeljiv sa 3 za bilo koje a 0 , a 1 , ..., a n .

Ako je zbir cifara broja a djeljiv sa 3, odnosno A je djeljiv sa 3, tada je, zbog svojstva djeljivosti naznačenog prije teoreme, djeljiv sa 3, dakle, a je djeljiv sa 3. Ovo dokazuje dovoljnost.

Ako je a djeljiv sa 3, onda je i djeljiv sa 3, tada je zbog istog svojstva djeljivosti broj A djeljiv sa 3, odnosno zbir cifara broja a djeljiv je sa 3. Ovo dokazuje neophodnost.

Ostali slučajevi djeljivosti sa 3

Ponekad se cijeli brojevi ne specificiraju eksplicitno, već kao vrijednost nekog izraza sa varijablom za datu vrijednost varijable. Na primjer, vrijednost izraza za neko prirodno n je prirodan broj. Jasno je da ovakvim dodjeljivanjem brojeva direktno dijeljenje sa 3 neće pomoći da se utvrdi njihova djeljivost sa 3, a znak djeljivosti sa 3 neće se moći uvijek primijeniti. Sada ćemo razmotriti nekoliko pristupa rješavanju takvih problema.

Suština ovih pristupa je da se originalni izraz predstavi kao proizvod više faktora, a ako je barem jedan od faktora djeljiv sa 3, tada će se, zbog odgovarajuće osobine djeljivosti, moći zaključiti da je cijeli proizvod je djeljiv sa 3.

Ponekad se ovaj pristup može implementirati koristeći Newtonov binom. Razmotrimo primjer rješenja.

Da li je vrijednost izraza djeljiva sa 3 za bilo koje prirodno n?

Jednakost je očigledna. Koristimo Newtonovu binomnu formulu:

U zadnjem izrazu, možemo uzeti 3 iz zagrada, i dobijemo. Dobiveni proizvod je djeljiv sa 3, jer sadrži faktor 3, a vrijednost izraza u zagradama za prirodno n je prirodan broj. Dakle, djeljiv je sa 3 za bilo koje prirodno n.

U mnogim slučajevima, djeljivost sa 3 može se dokazati metodom matematičke indukcije. Analizirajmo njegovu primjenu u rješavanju primjera.

Dokažite da je za bilo koje prirodno n vrijednost izraza djeljiva sa 3.

Za dokaz koristimo metodu matematičke indukcije.

Za n=1, vrijednost izraza je , a 6 je djeljivo sa 3 .

Pretpostavimo da je vrijednost izraza deljiva sa 3 kada je n=k, odnosno deljiva sa 3.

Uzimajući u obzir da je deljiv sa 3, pokazaćemo da je vrednost izraza za n=k+1 deljiva sa 3, odnosno pokazaćemo da je djeljiv sa 3.

Hajde da napravimo neke transformacije:

Izraz je podijeljen sa 3 i izrazom je djeljiv sa 3, pa je njihov zbir djeljiv sa 3.

Tako je metoda matematičke indukcije dokazala djeljivost sa 3 za bilo koje prirodno n.

Pokažimo još jedan pristup dokazu djeljivosti sa 3. Ako pokažemo da je za n=3 m , n=3 m+1 i n=3 m+2 , gdje je m proizvoljan cijeli broj, vrijednost nekog izraza (sa varijablom n) djeljiva sa 3, to će dokazati djeljivost izraza sa 3 za bilo koji cijeli broj n . Razmotrite ovaj pristup prilikom rješavanja prethodnog primjera.

Pokažite koliko je deljivo sa 3 za bilo koje prirodno n .

Za n=3 m imamo. Dobiveni proizvod je djeljiv sa 3 jer sadrži faktor 3 djeljiv sa 3.

Dobiveni proizvod je također djeljiv sa 3.

A ovaj proizvod je djeljiv sa 3.

Dakle, djeljiv je sa 3 za bilo koje prirodno n.

U zaključku donosimo rješenje još jednog primjera.

Da li je vrijednost izraza djeljiva sa 3 za neki prirodni n .

Za n=1 imamo. Zbir cifara rezultirajućeg broja je 3, pa nam znak djeljivosti sa 3 omogućava da tvrdimo da je ovaj broj djeljiv sa 3.

Za n=2 imamo. Zbir cifara i ovog broja je 3, pa je djeljiv sa 3.

Jasno je da ćemo za bilo koje drugo prirodno n imati brojeve čiji je zbir cifara 3, dakle, ovi brojevi su djeljivi sa 3.

Na ovaj način, jer je bilo koje prirodno n djeljivo sa 3.

www.cleverstudents.ru

Matematika, 6. razred, udžbenik za učenike obrazovnih organizacija, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.

Teorijski materijal u udžbeniku predstavljen je na način da nastavnik može primijeniti problemski pristup u nastavi. Uz pomoć notnog sistema razlikuju se vježbe četiri nivoa složenosti. U svakom pasusu formulisani su kontrolni zadaci na osnovu onoga što učenici treba da znaju i umeju da postignu da bi dostigli nivo standarda matematičkog obrazovanja. Na kraju udžbenika nalaze se domaći testovi i odgovori. Ilustracije u boji (crteži i dijagrami) pružaju visok nivo jasnoće obrazovnog materijala.
U skladu sa zahtjevima GEF doo.

Zadaci.

4. Nacrtajte trougao ABC i označite tačku O izvan njega (kao na slici 11). Konstruirajte figuru simetričnu trokutu ABC u odnosu na tačku O.

5. Nacrtajte trokut KMN i konstruirajte figuru simetričnu ovom trokutu u odnosu na:
a) njeni vrhovi - tačke M;
b) tačke O - sredine stranice MN.

6. Napravite figuru koja je simetrična:
a) zraka OM u odnosu na tačku O; napiši koja je tačka simetrična tački O;
b) zraka OM u odnosu na proizvoljnu tačku A koja ne pripada ovom zraku;
c) prava AB u odnosu na tačku O, koja ne pripada ovoj pravoj;
d) prava AB u odnosu na tačku O koja pripada ovoj pravoj; napiši koja je tačka simetrična tački O.
U svakom slučaju, opišite relativni položaj centralno simetričnih figura.

Sadržaj
Poglavlje I. Pozitivni i negativni brojevi. Koordinate
§ 1. Rotacija i centralna simetrija
§ 2. Pozitivni i negativni brojevi. Koordinatna linija
§ 3. Modul broja. Suprotni brojevi
§ 4. Poređenje brojeva
§ 5. Paralelnost pravih
§ 6. Numerički izrazi koji sadrže znakove "+", "-"
§ 7. Algebarski zbir i njegova svojstva
§ 8. Pravilo za izračunavanje vrednosti algebarskog zbira dva broja
§ 9. Udaljenost između tačaka koordinatne prave
§ 10. Aksijalna simetrija
§ 11. Brojne praznine
§ 12. Množenje i dijeljenje pozitivnih i negativnih brojeva
§ 13. Koordinate
§ 14. Koordinatna ravan
§ 15. Množenje i dijeljenje običnih razlomaka
§ 16. Pravilo množenja za kombinatorne probleme
Poglavlje II. Pretvaranje doslovnih izraza
§ 17. Proširenje zagrada
§ 18. Pojednostavljenje izraza
§ 19. Rješenje jednačina
§ 20. Rješavanje zadataka za sastavljanje jednačina
§ 21. Dva glavna problema o razlomcima
§ 22. Krug. Obim
§ 23. Krug. Područje kruga
§ 24. Lopta. Sfera
Poglavlje III. Deljivost prirodnih brojeva
§ 25. Delitelji i mnošci
§ 26. Deljivost dela
§ 27. Deljivost zbira i razlike brojeva
§ 28. Znaci djeljivosti sa 2, 5, 10, 4 i 25
§ 29. Znaci djeljivosti sa 3 i 9
§ 30. Prosti brojevi. Dekomponovanje broja na proste faktore
§ 31. Najveći zajednički djelitelj
§ 32. Koprosti brojevi. Znak djeljivosti po proizvodu. Najmanji zajednički višekratnik
Poglavlje IV. Matematika oko nas
§ 33. Odnos dva broja
§ 34. Dijagrami
§ 35. Proporcionalnost količina
§ 36. Rešavanje zadataka pomoću proporcija
§ 37. Razni poslovi
§ 38. Prvo upoznavanje sa pojmom "vjerovatnosti"
§ 39. Prvo upoznavanje sa proračunom vjerovatnoće
Kućni testovi
Teme za projektne aktivnosti
Odgovori

Besplatno preuzmite e-knjigu u prikladnom formatu i pročitajte:

Matematika

REFERENTNI MATERIJAL ZA 1.-6. RAZRED.

Dragi roditelji! Ako tražite nastavnika matematike za svoje dijete, onda je ovaj oglas za vas. Nudim Skype podučavanje: priprema za OGE, Jedinstveni državni ispit, otklanjanje praznina u znanju. Vaše prednosti su jasne:

1) Vaše dijete je kod kuće i možete biti mirni za njega;

2) Nastava se održava u vrijeme koje je pogodno za dijete, a možete čak i pohađati ove časove. Objašnjavam jednostavno i jasno na uobičajenoj školskoj tabli.

3) Možete se i sami sjetiti drugih važnih prednosti Skype časova!

Pišite mi na: ili me odmah dodajte na Skype i dogovorićemo se o svemu. Cijene su pristupačne.

P.S. Nastava je dostupna u grupama od 2-4 učenika.

S poštovanjem, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko je autor ove stranice.

Dragi prijatelji!

Drago mi je što vam mogu ponuditi da preuzmete besplatne referentne materijale za matematiku 5. razred. Preuzmite ovdje!

Dragi prijatelji!

Nije tajna da neka djeca imaju poteškoća s množenjem i dugim dijeljenjem. Najčešće je to zbog nedovoljnog poznavanja tablice množenja. Predlažem da naučite tablicu množenja uz pomoć lota. Više pogledajte ovdje. Preuzmite loto ovdje.

Dragi prijatelji! Uskoro ćete se suočiti (ili ste se već suočili) sa potrebom da odlučite interesnih zadataka. Takvi problemi počinju da se rešavaju u 5. razredu i završavaju. ali ne završavaju rješavanje problema za postotke! Ovi zadaci se nalaze i na kontrolnim i na ispitima: i prenosivi, i OGE i Jedinstveni državni ispit. šta da radim? Moramo naučiti kako riješiti ove probleme. U tome će vam pomoći moja knjiga Kako riješiti probleme s procentima. Detalji ovdje!

Sabiranje brojeva.

a+b=c, gdje su a i b članovi, c je zbir.
Da biste pronašli nepoznati pojam, oduzmite poznati pojam od zbira.

Oduzimanje brojeva.

a-b=c, gdje je a minus, b je oduzetak, c je razlika.
Da biste pronašli nepoznati minuend, morate dodati oduzetak razlici.
Da biste pronašli nepoznati oduzetak, trebate oduzeti razliku od minusa.

Množenje brojeva.

a b=c, gdje su a i b faktori, c je proizvod.
Da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti sa poznatim faktorom.

Podjela brojeva.

a:b=c, gdje je a dividenda, b je djelitelj, c je količnik.
Da biste pronašli nepoznatu dividendu, trebate pomnožiti djelitelj s količnikom.
Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.

Zakoni sabiranja.

a+b=b+a(pomjeranje: zbir se ne mijenja od preuređivanja pojmova).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativno: da biste zbroju dva člana dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg).

Tablica sabiranja.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Zakoni množenja.

a b=b a(pomak: permutacija faktora ne mijenja proizvod).
(a b) c=a (b c)(kombinativno: da pomnožite proizvod dva broja sa trećim brojem, možete pomnožiti prvi broj sa umnoškom drugog i trećeg).
(a+b) c=a c+b c(distributivni zakon množenja u odnosu na sabiranje: da biste pomnožili zbir dva broja sa trećim brojem, možete pomnožiti svaki član ovim brojem i sabrati rezultate).
(a-b) c=a c-b c(distributivni zakon množenja u odnosu na oduzimanje: da biste razliku dva broja pomnožili trećim brojem, možete pomnožiti ovaj broj smanjen i odvojeno oduzet i od prvog rezultata oduzeti drugi).

Tablica množenja.

2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.

2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.

2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.

2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.

2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.

2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.

2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.

2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.

2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

Delitelji i višekratnici.

razdjelnik prirodni broj a imenovati prirodni broj kojim a podijeljeno bez ostatka. (Brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 su djelitelji broja 24, jer je 24 djeljivo sa svakim od njih bez ostatka) 1-djelitelj bilo kojeg prirodnog broja. Najveći djelitelj bilo kojeg broja je sam broj.
Višestruko prirodni broj b je prirodan broj koji je djeljiv bez ostatka sa b. (Brojevi 24, 48, 72, ... su višekratnici broja 24, jer su djeljivi sa 24 bez ostatka). Najmanji višekratnik bilo kojeg broja je sam broj.

Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva.

Brojevi koji se koriste prilikom brojanja objekata (1, 2, 3, 4, ...) nazivaju se prirodni brojevi. Skup prirodnih brojeva označava se slovom N.
Brojevi 0, 2, 4, 6, 8 pozvao čak brojevi. Brojevi koji završavaju na parne cifre nazivaju se parni brojevi.
Brojevi 1, 3, 5, 7, 9 pozvao odd brojevi. Brojevi koji završavaju neparnim ciframa nazivaju se neparni brojevi.
Znak djeljivosti brojem 2. Svi prirodni brojevi koji završavaju parnom cifrom djeljivi su sa 2.
Znak djeljivosti brojem 5. Svi prirodni brojevi koji završavaju na 0 ili 5 djeljivi su sa 5.
Znak djeljivosti brojem 10. Svi prirodni brojevi koji završavaju na 0 djeljivi su sa 10.
Znak djeljivosti brojem 3. Ako je zbir cifara broja djeljiv sa 3, tada je i sam broj djeljiv sa 3.
Znak djeljivosti brojem 9. Ako je zbir cifara broja djeljiv sa 9, tada je i sam broj djeljiv sa 9.
Znak djeljivosti brojem 4. Ako je broj sastavljen od posljednje dvije cifre datog broja djeljiv sa 4, tada je i sam dati broj djeljiv sa 4.
Znak djeljivosti brojem 11. Ako je razlika između zbira cifara na neparnim mjestima i zbira cifara na parnim mjestima djeljiva sa 11, tada je i sam broj djeljiv sa 11.

Prosti broj je broj koji ima samo dva djelitelja: jedan i sam broj.
Složeni broj je broj koji ima više od dva djelitelja.
Broj 1 nije ni prost ni kompozitni broj.
Pisanje složenog broja kao proizvoda samo prostih brojeva naziva se razlaganje složenog broja u proste faktore. Bilo koji složeni broj može se jedinstveno predstaviti kao proizvod prostih faktora.

Najveći zajednički djelitelj datih prirodnih brojeva je najveći prirodni broj kojim je svaki od ovih brojeva djeljiv.
Najveći zajednički djelitelj ovih brojeva jednak je proizvodu zajedničkih prostih faktora u proširenjima ovih brojeva. Primjer. GCD(24, 42)=2 3=6, pošto je 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, njihovi zajednički prosti faktori su 2 i 3.
Ako prirodni brojevi imaju samo jedan zajednički djelitelj - jedan, onda se ovi brojevi nazivaju međusobno prosti.

Najmanji zajednički višekratnik datih prirodnih brojeva je najmanji prirodni broj koji je višekratnik svakog od datih brojeva. Primjer. LCM(24, 42)=168. Ovo je najmanji broj koji je djeljiv sa 24 i 42.
Za pronalaženje LCM nekoliko zadatih prirodnih brojeva potrebno je: 1) svaki od datih brojeva rastaviti na proste faktore; 2) napišite proširenje najvećeg broja i pomnožite ga faktorima koji nedostaju iz proširenja drugih brojeva.
Najmanji umnožak dvaju međusobno prostih brojeva jednak je proizvodu ovih brojeva.

b- imenilac razlomka, pokazuje koliko je jednakih dijelova podijeljeno;

a-brojilac razlomka, pokazuje koliko je takvih dijelova uzeto. Razlomka znači znak podjele.

Ponekad umjesto vodoravne razlomke stavljaju kosu crtu, a običan razlomak se piše ovako: a/b.

At pravilan razlomak brojilac je manji od nazivnika.
At nepravilan razlomak brojilac je veći od nazivnika ili jednak nazivniku.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, onda će se dobiti razlomak jednak njemu.

Dijeljenje i brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim djeliteljem koji nije jedan naziva se redukcija razlomka.

Broj koji se sastoji od cijelog i razlomka naziva se mješoviti broj.
Da bi se nepravilan razlomak predstavio kao mješoviti broj, potrebno je brojilac razlomka podijeliti sa nazivnikom, tada će nepotpuni količnik biti cijeli dio mješovitog broja, ostatak će biti brojnik razlomka , a imenilac će ostati isti.
Da biste mješoviti broj predstavili kao nepravilan razlomak, trebate cijeli broj mješovitog broja pomnožiti sa nazivnikom, rezultatu dodati brojilac razlomka i upisati ga u brojnik nepravilnog razlomka i ostaviti nazivnik isto.

zraka Oh sa poreklom u tački O, na kojoj single cut do i smjer, zvao koordinatni snop.
Poziva se broj koji odgovara tački koordinatnog zraka koordinata ovu tačku. Na primjer , A(3). Čitaj: tačka A sa koordinatom 3.

Najmanji zajednički imenilac ( NOZ) ovih nesvodljivih razlomaka je najmanji zajednički višekratnik ( NOC) imenioci ovih razlomaka.
Da biste razlomke doveli do najmanjeg zajedničkog nazivnika, morate: 1) pronaći najmanji zajednički umnožak imenilaca ovih razlomaka, to će biti najmanji zajednički imenilac. 2) pronaći dodatni faktor za svaki od razlomaka, za koji dijelimo novi imenilac sa imeniocem svakog razlomka. 3) pomnožimo brojilac i imenilac svakog razlomka njegovim dodatnim faktorom.

Od dva razlomka sa istim nazivnikom, veći je onaj sa većim brojiocem, a manjim razlomkom.
Od dva razlomka sa istim brojiocem, onaj sa manjim nazivnikom je veći, a onaj sa većim imeniocem manji.
Da biste uporedili razlomke s različitim brojiocima i različitim nazivnicima, trebate razlomke svesti na najmanji zajednički imenilac, a zatim uporediti razlomke s istim nazivnicima.

Operacije nad običnim razlomcima.

Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, morate sabrati njihove brojnike, a nazivnik ostaviti istim.
Ako trebate sabrati razlomke s različitim nazivnicima, onda prvo smanjite razlomke na najmanji zajednički nazivnik, a zatim dodajte razlomke s istim nazivnicima.
Da bi se oduzeli razlomci sa istim nazivnicima, brojilac drugog razlomka se oduzima od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaje isti.
Ako trebate oduzeti razlomke s različitim nazivnicima, onda se oni prvo dovode do zajedničkog nazivnika, a zatim se oduzimaju razlomci s istim nazivnicima.
Prilikom izvođenja operacija za sabiranje ili oduzimanje mješovitih brojeva, ove operacije se izvode odvojeno za cijele dijelove i za razlomke, a zatim se rezultat zapisuje kao mješoviti broj.

Umnožak dva obična razlomka jednak je razlomku čiji je brojilac jednak umnošku brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika datih razlomaka.
Da biste običan razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je pomnožiti brojilac razlomka sa ovim brojem, a nazivnik ostaviti isti.
Dva broja čiji je proizvod jednak jedan nazivaju se međusobno recipročni brojevi.
Kada se množe mješoviti brojevi, oni se prvo pretvaraju u nepravilne razlomke.
Da biste pronašli razlomak broja, morate taj broj pomnožiti s tim razlomkom.

Da biste običan razlomak podijelili običnim razlomkom, trebate pomnožiti dividendu recipročnom vrijednosti djelitelja.
Prilikom dijeljenja mješovitih brojeva, oni se prvo pretvaraju u nepravilne razlomke.
Da biste običan razlomak podijelili prirodnim brojem, potrebno je pomnožiti nazivnik razlomka sa ovim prirodnim brojem, a brojilac ostaviti isti. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
Da biste pronašli broj po njegovom razlomku, trebate podijeliti s tim razlomkom broj koji mu odgovara.

Decimalni razlomak je broj zapisan u decimalnom sistemu i koji ima cifre manje od jedan. (3,25; 0,1457 itd.)
Decimala iza decimalnog zareza nazivaju se decimalna mjesta.
Decimalni razlomak se neće promijeniti ako se nule dodaju ili odbace na kraju decimalnog razlomka.

Za dodavanje decimalnih razlomaka potrebno je: 1) izjednačiti broj decimalnih mjesta u tim razlomcima; 2) zapisati jednu ispod druge tako da se zarez piše ispod zareza; 3) izvrši sabiranje, zanemarujući zarez, i stavi zarez ispod zareza u zbrojenim razlomcima u zbiru.

Da biste izvršili oduzimanje decimalnih razlomaka, potrebno je: 1) izjednačiti broj decimalnih mjesta u minus i oduzet; 2) potpiše oduzeto ispod smanjenog tako da zarez bude ispod zareza; 3) izvršite oduzimanje, zanemarujući zarez, i kao rezultat stavite zarez ispod zareza minusa i oduzetog.

Da biste decimalni razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno ga je pomnožiti s ovim brojem, zanemarujući zarez, i u rezultirajućem umnošku odvojiti onoliko znamenki s desne strane koliko je bilo nakon decimalne točke u datom razlomku.
Da biste pomnožili jedan decimalni razlomak drugim, morate izvršiti množenje, zanemarujući zareze, i u rezultatu, odvojiti onoliko znamenki zarezom na desnoj strani koliko je bilo iza zareza u oba faktora zajedno.
Da biste decimalu pomnožili sa 10, 100, 1000 itd., trebate pomaknuti decimalni zarez udesno za 1, 2, 3, itd. znamenke.
Pomnožiti decimalu sa 0,1; 0,01; 0,001, itd., trebate pomaknuti zarez ulijevo za 1, 2, 3, itd. znamenke.

Da biste podijelili decimalni razlomak prirodnim brojem, trebate podijeliti razlomak ovim brojem, jer se prirodni brojevi dijele i stavljaju u privatni zarez kada se podjela cijelog dijela završi.
Da biste decimalu podijelili sa 10, 100, 1000, itd., trebate pomaknuti zarez ulijevo za 1, 2, 3, itd. znamenke.

Da biste broj podijelili decimalom, trebate pomaknuti zareze u djelitelju i djelitelju onoliko cifara udesno koliko ih ima nakon decimalnog zareza u djelitelju, a zatim podijeliti prirodnim brojem.
Podijeliti decimalu sa 0,1; 0,01; 0,001, itd., trebate pomjeriti zarez udesno za 1, 2, 3, itd. znamenke. (Dijeljenje decimale sa 0,1; 0,01; 0,001, itd. je isto kao i množenje te decimale sa 10, 100, 1000, itd.)

Da bismo zaokružili broj na određenu cifru, podvlačimo cifru ove cifre, a zatim sve cifre iza podvučene zamenjujemo nulama, a ako su iza decimalnog zareza, odbacujemo. Ako je prva cifra zamijenjena nulom ili odbačena 0, 1, 2, 3 ili 4, tada podvučena znamenka ostaje nepromijenjena. Ako je prva znamenka zamijenjena nulom ili odbačena 5, 6, 7, 8 ili 9, tada se podvučena znamenka povećava za 1.

Aritmetička sredina više brojeva.

Aritmetička sredina nekoliko brojeva je količnik dijeljenja zbira ovih brojeva brojem članova.

Raspon niza brojeva.

Razlika između najveće i najmanje vrijednosti serije podataka naziva se raspon serije brojeva.

Moda serije brojeva.

Broj koji se javlja s najvećom frekvencijom među datim brojevima serije naziva se način niza brojeva.

Stoti dio se zove postotak. Kupite knjigu koja podučava "Kako riješiti probleme s procentima."
Da biste izrazili procente kao razlomak ili prirodan broj, trebate podijeliti postotak sa 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
Da biste broj izrazili kao procenat, morate ga pomnožiti sa 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
Da biste pronašli postotak broja, potrebno je da ga izrazite kao običan ili decimalni razlomak i pomnožite rezultujući razlomak datim brojem.
Da biste pronašli broj prema njegovom procentu, trebate ga izraziti kao običan ili decimalni razlomak i dati broj podijeliti ovim razlomkom.
Da biste pronašli procenat prvog broja od drugog, morate prvi broj podijeliti drugim i rezultat pomnožiti sa 100%.

Količnik dva broja naziva se omjer ovih brojeva. a:b ili a/b je omjer brojeva a i b, štaviše, a je prethodni član, b je sljedeći član.
Ako se uslovi ove relacije preurede, onda se rezultirajuća relacija naziva inverznom od ove relacije. Relacije b/a i a/b su međusobno inverzne.
Omjer se neće promijeniti ako se oba člana omjera pomnože ili podijele istim brojem koji nije nula.

Jednakost dva omjera naziva se proporcija.
a:b=c:d. Ovo je proporcija. Pročitajte: a tako se odnosi na b, kako c odnosi se na d. Brojevi a i d nazivaju se krajnji članovi proporcije, a brojevi b i c su srednji članovi proporcije.

Proizvod ekstremnih članova proporcije jednak je proizvodu njegovih srednjih članova. Za proporciju a:b=c:d ili a/b=c/d glavno svojstvo je napisano ovako: a d=b c.
Da biste pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, trebate podijeliti proizvod prosječnih članova proporcije sa poznatim ekstremnim članom.
Da biste pronašli nepoznati srednji član proporcije, trebate podijeliti proizvod ekstremnih članova proporcije sa poznatim srednjim članom. Proporcionalni zadaci.

Neka vrijednost y zavisi od veličine X. Ako sa povećanjem X nekoliko puta veći at raste za isti faktor, onda takve vrijednosti X i at nazivaju se direktno proporcionalnim.

Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljne vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.

Omjer dužine segmenta na karti i dužine odgovarajuće udaljenosti na tlu naziva se skala karte.

Neka vrijednost at zavisi od veličine X. Ako sa povećanjem X nekoliko puta veći at smanjuje se za isti faktor, onda takve vrijednosti X i at nazivaju se obrnuto proporcionalnim.

Ako su dvije veličine obrnuto proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

Skup je skup nekih objekata ili brojeva sastavljenih prema nekim općim svojstvima ili zakonima (mnogo slova na stranici, puno pravilnih razlomaka sa nazivnikom 5, puno zvijezda na nebu, itd.).
Skupovi se sastoje od elemenata i konačni su ili beskonačni. Skup koji ne sadrži nijedan element naziva se prazan skup i označava se Oh
Mnogo AT naziva se podskup skupa ALI ako su svi elementi skupa AT su elementi skupa ALI.
Postavite raskrsnicu ALI i AT je skup čiji elementi pripadaju skupu ALI i mnogi AT.
Unija skupova ALI i AT je skup čiji elementi pripadaju barem jednom od datih skupova ALI i AT.

Skupovi brojeva.

N– skup prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4,…
Z– skup cijelih brojeva: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Q je skup racionalnih brojeva koji se mogu predstaviti kao razlomak m/n, gdje m- cijeli, n– prirodno (-2; 3/5; v9; v25, itd.)

Koordinatna linija je prava linija na kojoj su dati pozitivan smjer, referentna točka (tačka O) i jedinični segment.
Svaka tačka na koordinatnoj liniji odgovara određenom broju, koji se naziva koordinata ove tačke. Na primjer, A(5). Čitaj: tačka A sa koordinatom pet. U 3). Čitaj: tačka B sa koordinatom minus tri.

Modul broja a (zapišite |a|) naziva se udaljenost od početka do tačke koja odgovara datom broju a. Vrijednost modula bilo kojeg broja nije negativna. |3|=3; |-3|=3, jer udaljenost od početka do broja -3 i do broja 3 jednaka je trima jediničnim segmentima. |0|=0 .
Po definiciji modula broja: |a|=a, ako a?0 i |a|=-a, ako a b.
Ako, kada se porede brojevi a i b, razlika a-b je onda negativan broj a , tada se nazivaju stroge nejednakosti.
Ako su nejednakosti napisane u znacima? ili ?, tada se nazivaju nestroge nejednakosti.

Osobine numeričkih nejednačina.

G) Nejednakost oblika x?a. odgovor:

Glavne ideje i koncepti neophodni za organizaciju volonterskih (dobrovoljnih) aktivnosti. 1. Opšti pristupi organizaciji volonterskih (volonterskih) aktivnosti. 1.1 Osnovne ideje i koncepti neophodni za organizaciju volonterskih (volonterskih) aktivnosti. 1.2. Zakonodavni okvir za volontere […]

Munin zakon Zakoni Manua - drevna indijska zbirka propisa o vjerskoj, moralnoj i društvenoj dužnosti (dharma), koja se također naziva "zakon Arijaca" ili "kodeks časti Arijaca". Manavadharmashastra je jedna od dvadeset dharmashastra. Evo odabranih fragmenata (preveo Georgij Fedorovič […]

"Upravljanje i optimizacija proizvodnog preduzeća" SAŽETAK Dati su osnovni pojmovi poslovnog bontona. Pokazano je da u ovom trenutku, kada se domaća preduzeća i organizacije integrišu u ekonomski život različitih regiona planete, pravila poslovne komunikacije zahtevaju posebnu pažnju. Testovi se daju […]

znak djeljivosti

Znak djeljivosti- pravilo koje vam omogućava da relativno brzo odredite da li je broj višekratnik unaprijed određenog broja, a da ne morate izvršiti stvarno dijeljenje. Po pravilu se zasniva na radnjama sa delom cifara iz notacije broja u pozicionom brojevnom sistemu (obično decimalni).

Postoji nekoliko jednostavnih pravila koja vam omogućavaju da pronađete male djelitelje broja u decimalnom brojevnom sistemu:

Znak djeljivosti sa 2

Znak djeljivosti sa 3

Deljivost sa 4 znaka

Znak djeljivosti sa 5

Znak djeljivosti sa 6

Znak djeljivosti sa 7

Znak djeljivosti sa 8

Znak djeljivosti sa 9

Znak djeljivosti sa 10

Znak djeljivosti sa 11

Znak djeljivosti sa 12

Znak djeljivosti sa 13

Znak djeljivosti sa 14

Znak djeljivosti sa 15

Znak djeljivosti sa 17

Znak djeljivosti sa 19

Znak djeljivosti sa 23

Znak djeljivosti sa 25

Znak djeljivosti sa 99

Broj dijelimo na grupe od po 2 cifre s desna na lijevo (krajnja lijeva grupa može imati jednu cifru) i nalazimo zbir ovih grupa, smatrajući ih dvocifrenim brojevima. Ovaj zbir je djeljiv sa 99 ako i samo ako je sam broj djeljiv sa 99.

Znak djeljivosti sa 101

Broj dijelimo na grupe od po 2 znamenke s desna na lijevo (krajnja lijeva grupa može imati jednu cifru) i nalazimo zbir ovih grupa sa promjenjivim predznacima, smatrajući ih dvocifrenim brojevima. Ovaj zbir je djeljiv sa 101 ako i samo ako je sam broj djeljiv sa 101. Na primjer, 590547 je djeljiv sa 101, pošto je 59-05+47=101 djeljivo sa 101).

Znak djeljivosti sa 2 n

Broj je djeljiv sa n-tim stepenom dva ako i samo ako je broj formiran od njegovih zadnjih n znamenki djeljiv istim stepenom.

Znak djeljivosti sa 5 n

Broj je djeljiv sa n-tim stepenom od 5 ako i samo ako je broj formiran od njegovih zadnjih n znamenki djeljiv istim stepenom.

Znak djeljivosti sa 10 n − 1

Podijelimo broj u grupe od n cifara s desna na lijevo (krajnja lijeva grupa može sadržavati od 1 do n cifara) i pronaći zbir ovih grupa, smatrajući ih n-cifrenim brojevima. Ovaj iznos je djeljiv sa 10 n− 1 ako i samo ako je sam broj djeljiv sa 10 n − 1 .

Znak djeljivosti sa 10 n

Broj je djeljiv sa n-tim stepenom desetice ako i samo ako su njegovih zadnjih n cifara