Ponekad u životu postoje situacije kada morate zaroniti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, trebate odrediti površinu zemljišta trokutastog oblika ili je došao red sljedećeg popravka u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu trokutastog oblika. Bilo je vremena kada ste takav problem mogli riješiti za nekoliko minuta, a sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?
Ne morate da brinete o ovome! Uostalom, sasvim je normalno kada ljudski mozak odluči premjestiti dugo neiskorišteno znanje negdje u zabačeni kutak iz kojeg ga ponekad nije tako lako izvući. Kako ne biste morali mučiti s potragom za zaboravljenim školskim znanjem kako biste riješili takav problem, ovaj članak sadrži različite metode koje olakšavaju pronalaženje željene površine trokuta.
Dobro je poznato da je trokut vrsta poligona koji je ograničen minimalnim mogućim brojem stranica. U principu, svaki poligon se može podijeliti na nekoliko trouglova povezivanjem njegovih vrhova sa segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, poznavajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.
Među svim mogućim trokutovima koji se javljaju u životu, mogu se razlikovati sljedeće posebne vrste: i pravokutni.
Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih uglova pravi, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to pola pravougaonika. Stoga je njegova površina jednaka polovini umnoška stranica koje između njih tvore pravi ugao.
Ako znamo visinu trokuta, spuštenog iz jednog njegovog vrha na suprotnu stranu, i dužinu ove stranice, koja se zove baza, tada se površina računa kao polovina umnožaka visine i osnovice. Ovo se piše pomoću sljedeće formule:
S = 1/2*b*h, u kojem
S je željena površina trokuta;
b, h - visina i osnova trokuta.
Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta, jer će visina prepoloviti suprotnu stranu i lako se može izmjeriti. Ako je površina određena, onda je za visinu zgodno uzeti dužinu jedne od stranica koje tvore pravi ugao.
Sve je ovo svakako dobro, ali kako odrediti da li je jedan od uglova trougla pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, onda možete koristiti ugao izgradnje, trokut za crtanje, razglednicu ili drugi predmet pravokutnog oblika.
Ali šta ako imamo trouglasto zemljište? U tom slučaju postupite na sljedeći način: od vrha navodnog pravog ugla s jedne strane mjeri se rastojanje višestruko od 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a na drugoj strani višestruko udaljenosti od 4 (40 cm, 160 cm, 4 m). Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih tačaka ova dva segmenta. Ako je vrijednost višestruka od 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), onda se može tvrditi da je ugao pravi.
Ako je poznata vrijednost dužine svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Da bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluperimetar. Ovo je zbir svih stranica našeg trougla, podijeljen na pola. Nakon što se izračuna poluperimetar, možete početi određivati površinu pomoću formule:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je
sqrt - kvadratni korijen;
p je vrijednost poluperimetra (p =(a+b+c)/2);
a, b, c - ivice (stranice) trougla.
Ali šta ako trokut ima nepravilan oblik? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takvu figuru na dva pravokutna trougla, čiji se zbroj površina posebno izračunava, a zatim dodaje. Ili, ako su poznati kut između dvije stranice i veličina ovih stranica, onda primijenite formulu:
S = 0,5 * ab * sinC, gdje je
a,b - stranice trougla;
c je ugao između ovih stranica.
Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak je sve moguće u životu, pa gornja formula neće biti suvišna. Sretno sa vašim proračunima!
Trougao je dobro poznata figura. I to, uprkos bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravougaoni, jednakostranični, akutni, jednakokraki, tupi. Svaki od njih je donekle drugačiji. Ali za sve je potrebno znati površinu trokuta.
Uobičajene formule za sve trokute koji koriste dužine stranica ili visina
U njima usvojene oznake: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama na a, n in, n s.
1. Površina trokuta se računa kao proizvod ½, stranice i visine spuštene na nju. S = ½ * a * n a. Slično, treba napisati formule za druge dvije strane.
2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluperimetar (uobičajeno je označavati ga malim slovom p, za razliku od punog perimetra). Poluperimetar se mora izračunati na sljedeći način: zbrojite sve strane i podijelite ih sa 2. Formula za poluperimetar: p \u003d (a + b + c) / 2. Zatim jednakost za površinu Slika izgleda ovako: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).
3. Ako ne želite koristiti poluperimetar, onda će vam dobro doći takva formula u kojoj su prisutne samo dužine stranica: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili kako pronaći poluperimetar.
Opće formule u kojima se pojavljuju uglovi trokuta
Oznaka koja je potrebna za čitanje formula: α, β, γ - uglovi. Leže na suprotnim stranama a, b, c, redom.
1. Prema njemu, polovina proizvoda dviju stranica i sinusa ugla između njih jednaka je površini trokuta. To jest: S = ½ a * b * sin γ. Formule za druga dva slučaja treba napisati na sličan način.
2. Površina trougla može se izračunati iz jedne strane i tri poznata ugla. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Postoji i formula sa jednom poznatom stranom i dva ugla koja su susedna njoj. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Posljednje dvije formule nisu najjednostavnije. Prilično ih je teško zapamtiti.
Opće formule za situaciju kada su poznati polumjeri upisanih ili opisanih kružnica
Dodatne oznake: r, R — radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.
1. Prva formula po kojoj se izračunava površina trokuta odnosi se na poluperimetar. S = r * r. Na drugi način, može se napisati na sljedeći način: S \u003d ½ r * (a + b + c).
2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve strane trougla i podijeliti ih četverostrukim polumjerom opisane kružnice. Doslovno, to izgleda ovako: S = (a * b * c) / (4R).
3. Treća situacija vam omogućava da ne znate stranice, ali su vam potrebne vrijednosti sva tri ugla. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Poseban slučaj: pravokutni trokut
Ovo je najjednostavnija situacija, jer je potrebna samo dužina obje noge. Označeni su latiničnim slovima a i b. Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini površine pravokutnika koji mu se dodaje.
Matematički, to izgleda ovako: S = ½ a * b. Nju je najlakše pamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, pojavljuje se samo razlomak koji označava polovicu.
Poseban slučaj: jednakokraki trokut
Budući da su njegove dvije strane jednake, neke formule za njegovu površinu izgledaju donekle pojednostavljene. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava površinu jednakokračnog trokuta, ima sljedeći oblik:
S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).
Ako ga pretvorite, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokraki trokut je napisana na sljedeći način:
S = ¼ u √(4 * a 2 - b 2).
Formula površine izgleda nešto jednostavnije nego za proizvoljan trokut ako su poznate stranice i ugao između njih. S \u003d ½ a 2 * sin β.
Poseban slučaj: jednakostranični trokut
Obično se u problemima oko njega strana zna ili se nekako može prepoznati. Tada je formula za pronalaženje površine takvog trokuta sljedeća:
S = (a 2 √3) / 4.
Zadaci za pronalaženje površine ako je trokut prikazan na kariranom papiru
Najjednostavnija situacija je kada je pravougaoni trokut nacrtan tako da mu se kraci poklapaju s linijama papira. Zatim samo trebate izbrojati broj ćelija koje staju u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite sa dva.
Kada je trokut oštar ili tupougao, mora se povući u pravougaonik. Tada će u rezultirajućoj figuri biti 3 trokuta. Jedan je onaj koji je dat u zadatku. A druga dva su pomoćna i pravougaona. Područja posljednja dva moraju se odrediti gore opisanom metodom. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i oduzmite od njega one izračunate za pomoćne. Određuje se površina trokuta.
Mnogo je teža situacija u kojoj se nijedna stranica trokuta ne poklapa sa linijama papira. Zatim se mora upisati u pravougaonik tako da vrhovi originalne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju biće tri pomoćna pravougla trougla.
Primjer problema na Heronovoj formuli
Stanje. Neki trougao ima stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm.Morate znati njegovu površinu.
Sada možete izračunati površinu trokuta koristeći gornju formulu. Pod kvadratnim korijenom nalazi se proizvod četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √ (4 * 14) = 2 √ (14).
Ako vam nije potrebna veća preciznost, onda možete uzeti kvadratni korijen od 14. To je 3,74. Tada će površina biti jednaka 7,48.
Odgovori. S \u003d 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.
Primjer zadatka sa pravokutnim trouglom
Stanje. Jedan krak pravouglog trougla je 31 cm duži od drugog. Potrebno je saznati njihove dužine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Rješenje. Morate riješiti sistem od dvije jednačine. Prvi se odnosi na područje. Drugi je odnos nogu koji je dat u zadatku.
180 \u003d ½ a * b;
a \u003d b + 31.
Prvo, vrijednost "a" mora biti zamijenjena u prvu jednačinu. Ispada: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Ima samo jednu nepoznatu veličinu, pa je lako rešiti. Nakon otvaranja zagrada, dobija se kvadratna jednadžba: u 2 + 31 in - 360 \u003d 0. Daje dvije vrijednosti za "in": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor , budući da dužina stranice trokuta ne može biti negativna vrijednost.
Ostaje izračunati drugi krak: rezultirajućem broju dodajte 31. Ispada 40. Ovo su količine koje se traže u zadatku.
Odgovori. Krate trougla su 9 i 40 cm.
Zadatak pronalaženja stranice kroz površinu, stranicu i ugao trougla
Stanje. Površina nekog trougla je 60 cm2. Potrebno je izračunati jednu od njegovih stranica ako je druga strana 15 cm, a ugao između njih 30º.
Rješenje. Na osnovu prihvaćenih oznaka, željena strana je „a“, poznato „b“, dati ugao je „γ“. Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:
60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stepeni 0,5.
Nakon transformacije, "a" se ispostavi da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.
Odgovori. Željena strana je 16 cm.
Problem kvadrata upisanog u pravokutni trokut
Stanje. Tem kvadrata sa stranicom od 24 cm poklapa se sa pravim uglom trokuta. Druga dvojica leže na nogama. Treći pripada hipotenuzi. Dužina jedne od kateta je 42 cm. Kolika je površina pravokutnog trokuta?
Rješenje. Razmotrimo dva pravougla trougla. Prvi je naveden u zadatku. Drugi je baziran na poznatoj kraci originalnog trougla. Slični su jer imaju zajednički ugao i formiraju ih paralelne linije.
Tada su omjeri njihovih nogu jednaki. Kateti manjeg trougla su 24 cm (strana kvadrata) i 18 cm (data je kateta 42 cm minus stranica kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm. To je "x" koji je potreban da bi se izračunala površina trokuta.
18/42 \u003d 24 / x, odnosno x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).
Tada je površina jednaka proizvodu 56 i 42, podijeljenom sa dva, odnosno 1176 cm 2.
Odgovori. Željena površina je 1176 cm 2.
Koncept područja
Koncept površine bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s takvom figurom kao što je kvadrat. Za jediničnu površinu bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi potpunosti, podsjećamo na dva osnovna svojstva za koncept područja geometrijskih oblika.
Nekretnina 1: Ako su geometrijske figure jednake, onda su i njihove površine jednake.
Nekretnina 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štaviše, površina originalne figure jednaka je zbroju vrijednosti površina svih figura koje je čine.
Razmotrimo primjer.
Primjer 1
Očigledno je da je jedna od strana trougla dijagonala pravougaonika, pri čemu je jedna strana $5$ (od $5$ ćelija), a druga $6$ (od $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovini takvog pravokutnika. Površina pravougaonika je
Tada je površina trokuta
Odgovor: 15$.
Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje površina trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i površinu jednakostraničnog trokuta.
Kako pronaći površinu trokuta koristeći visinu i osnovu
Teorema 1
Površina trokuta može se naći kao polovina proizvoda dužine stranice puta visine povučene na tu stranu.
Matematički to izgleda ovako
$S=\frac(1)(2)αh$
gdje je $a$ dužina stranice, $h$ je visina povučena do nje.
Dokaz.
Razmotrimo trougao $ABC$ gdje je $AC=α$. Visina $BH$ je povučena na ovu stranu i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.
Površina pravougaonika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravougaonika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Onda
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Dakle, željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka je
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorema je dokazana.
Primjer 2
Pronađite površinu trokuta na slici ispod, ako ćelija ima površinu jednaku jedan
Osnova ovog trougla je $9$ (pošto je $9$ $9$ ćelija). Visina je također 9$. Tada, prema teoremi 1, dobijamo
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Odgovor: 40,5$.
Heronova formula
Teorema 2
Ako su nam date tri stranice trougla $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može naći na sljedeći način
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ovdje $ρ$ označava poluperimetar ovog trougla.
Dokaz.
Razmotrite sljedeću sliku:
Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ABH$ dobijamo
Iz trougla $CBH$, po Pitagorinoj teoremi, imamo
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Iz ove dvije relacije dobijamo jednakost
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Prema teoremi 1, dobijamo
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Koncept područja
Koncept površine bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s takvom figurom kao što je kvadrat. Za jediničnu površinu bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi potpunosti, podsjećamo na dva osnovna svojstva za koncept područja geometrijskih oblika.
Nekretnina 1: Ako su geometrijske figure jednake, onda su i njihove površine jednake.
Nekretnina 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štaviše, površina originalne figure jednaka je zbroju vrijednosti površina svih figura koje je čine.
Razmotrimo primjer.
Primjer 1
Očigledno je da je jedna od strana trougla dijagonala pravougaonika, pri čemu je jedna strana $5$ (od $5$ ćelija), a druga $6$ (od $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovini takvog pravokutnika. Površina pravougaonika je
Tada je površina trokuta
Odgovor: 15$.
Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje površina trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i površinu jednakostraničnog trokuta.
Kako pronaći površinu trokuta koristeći visinu i osnovu
Teorema 1
Površina trokuta može se naći kao polovina proizvoda dužine stranice puta visine povučene na tu stranu.
Matematički to izgleda ovako
$S=\frac(1)(2)αh$
gdje je $a$ dužina stranice, $h$ je visina povučena do nje.
Dokaz.
Razmotrimo trougao $ABC$ gdje je $AC=α$. Visina $BH$ je povučena na ovu stranu i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.
Površina pravougaonika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravougaonika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Onda
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Dakle, željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka je
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorema je dokazana.
Primjer 2
Pronađite površinu trokuta na slici ispod, ako ćelija ima površinu jednaku jedan
Osnova ovog trougla je $9$ (pošto je $9$ $9$ ćelija). Visina je također 9$. Tada, prema teoremi 1, dobijamo
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Odgovor: 40,5$.
Heronova formula
Teorema 2
Ako su nam date tri stranice trougla $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može naći na sljedeći način
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ovdje $ρ$ označava poluperimetar ovog trougla.
Dokaz.
Razmotrite sljedeću sliku:
Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ABH$ dobijamo
Iz trougla $CBH$, po Pitagorinoj teoremi, imamo
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Iz ove dvije relacije dobijamo jednakost
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Prema teoremi 1, dobijamo
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Formula površine potrebno je odrediti površinu figure, koja je realnovrijedna funkcija definirana na određenoj klasi figura u Euklidovoj ravni i koja zadovoljava 4 uvjeta:
- Pozitivno - Površina ne može biti manja od nule;
- Normalizacija - kvadrat sa stranom jedinice ima površinu od 1;
- Kongruencija - kongruentne figure imaju jednaku površinu;
- Aditivnost - površina spoja 2 figure bez zajedničkih unutrašnjih tačaka jednaka je zbroju površina ovih figura.
| Geometrijska figura | Formula | Crtanje |
|---|---|---|
|
Rezultat zbrajanja udaljenosti između sredina suprotnih strana konveksnog četverokuta bit će jednak njegovom poluperimetru. |
||
|
Sektor kruga. Površina sektora kružnice jednaka je proizvodu njegovog luka i polovine polumjera. |
|
|
|
segment kruga. Da biste dobili površinu segmenta ASB, dovoljno je oduzeti površinu trokuta AOB od površine sektora AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Površina elipse jednaka je proizvodu dužina velike i male poluosi elipse puta pi. |
|
|
|
Elipsa. Druga opcija kako izračunati površinu elipse je kroz njena dva radijusa. |
|
|
|
Trougao. Kroz bazu i visinu. Formula za površinu kruga u smislu njegovog radijusa i prečnika. |
||
|
Square . Preko njegove strane. Površina kvadrata jednaka je kvadratu dužine njegove stranice. |
|
|
|
Square. Kroz svoju dijagonalu. Površina kvadrata je polovina kvadrata dužine njegove dijagonale. |
||
|
pravilan poligon. Da bi se odredila površina pravilnog poligona, potrebno ga je podijeliti na jednake trokute koji bi imali zajednički vrh u središtu upisane kružnice. |
S= r p = 1/2 r n a |
Učitavanje...