Kao što su u euklidskoj geometriji tačka i prava linija glavni elementi teorije ravni, tako je i paralelogram jedna od ključnih figura konveksnih četvorougla. Iz njega, poput niti iz lopte, teku koncepti "pravougaonika", "kvadrata", "romba" i drugih geometrijskih veličina.
U kontaktu sa
Definicija paralelograma
konveksan četvorougao, koji se sastoji od segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.
Kako izgleda klasični paralelogram prikazan je četverouglom ABCD. Stranice se nazivaju osnovice (AB, BC, CD i AD), okomice povučene iz bilo kog vrha na stranu suprotnu ovom vrhu se nazivaju visina (BE i BF), prave AC i BD se nazivaju dijagonale.
Pažnja! Kvadrat, romb i pravougaonik su posebni slučajevi paralelograma.
Stranice i uglovi: karakteristike odnosa
Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određeno samom oznakom, dokazani su teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:
- Strane koje su suprotne su identične u paru.
- Uglovi jedan naspram drugog jednaki su u parovima.
Dokaz: Razmotrimo ∆ABC i ∆ADC, koji se dobijaju dijeljenjem četvorougla ABCD sa pravom linijom AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, pošto im je AC uobičajen (vertikalni uglovi za BC||AD i AB||CD, respektivno). Iz ovoga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi znak jednakosti trouglova).
Segmenti AB i BC u ∆ABC u paru odgovaraju pravima CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Pošto su ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su takođe parovi identični, onda je ∠A = ∠C. Imovina je dokazana.
Karakteristike dijagonala figure
Glavna karakteristika ovih linija paralelograma: tačka preseka ih deli na pola.
Dokaz: Neka je točka presjeka dijagonala AC i BD figure ABCD. Oni formiraju dva srazmerna trougla - ∆ABE i ∆CDE.
AB=CD jer su suprotnosti. Prema linijama i sekantima, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.
Po drugom kriteriju jednakosti, ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i istovremeno su proporcionalni dijelovi AC i BD. Imovina je dokazana.
Karakteristike susjednih uglova
Susjedne stranice imaju zbir uglova jednak 180°, budući da leže na istoj strani paralelnih linija i transverzale. Za četvorougao ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Svojstva simetrale:
- , spuštene na jednu stranu, su okomite;
- suprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
- trokut dobijen crtanjem simetrale bit će jednakokračan.
Određivanje karakteristika paralelograma pomoću teoreme
Karakteristike ove figure proizlaze iz njene glavne teoreme, koja kaže sljedeće: četvorougao se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ova tačka ih dijeli na jednake segmente.
Dokaz: neka se prave AC i BD četverougla ABCD sijeku u tj. Kako je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (prema prvom kriteriju jednakosti trouglova). To jest, ∠EAD = ∠ECB. Oni su takođe unutrašnji poprečni uglovi sekante AC za prave AD i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || B.C. Slično svojstvo linija BC i CD je također izvedeno. Teorema je dokazana.
Izračunavanje površine figure
Područje ove figure pronađeno na nekoliko metoda jedan od najjednostavnijih: množenje visine i osnove na koju je nacrtana.
Dokaz: povući okomite BE i CF iz vrhova B i C. ∆ABE i ∆DCF su jednaki, jer su AB = CD i BE = CF. ABCD je po veličini jednak pravokutniku EBCF, jer se sastoje od srazmjernih figura: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz ovoga slijedi da je površina ove geometrijske figure ista kao i pravokutnika:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Za utvrđivanje opšta formula Površina paralelograma je označena visinom kao hb, a sa strane - b. odnosno:
Drugi načini za pronalaženje područja
Proračuni površine kroz stranice paralelograma i ugla, koji oni formiraju, je druga poznata metoda.
,
Spr-ma - područje;
a i b su njegove stranice
α je ugao između segmenata a i b.
Ova metoda je praktično zasnovana na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvek prekida pravougaonog trougla, čiji su parametri trigonometrijski identiteti, to je . Transformirajući odnos, dobijamo . U jednadžbi prve metode zamjenjujemo visinu ovim proizvodom i dobivamo dokaz valjanosti ove formule.
Kroz dijagonale paralelograma i ugla, koje stvaraju kada se ukrštaju, također možete pronaći područje.
Dokaz: AC i BD se seku i formiraju četiri trougla: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbir je jednak površini ovog četvorougla.
Površina svakog od ovih ∆ može se naći izrazom , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , tada se u proračunima koristi jedno značenje sinus To je . Pošto AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2, formula površine se svodi na:
.
Primjena u vektorskoj algebri
Karakteristike sastavnih delova ovog četvorougla našle su primenu u vektorskoj algebri, odnosno sabiranju dva vektora. Pravilo paralelograma to kaže ako su dati vektoriINesu kolinearni, onda će njihov zbir biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.
Dokaz: sa proizvoljno odabranog početka - tj. - konstruisati vektore i . Zatim konstruiramo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili zbiru.
Formule za izračunavanje parametara paralelograma
Identiteti se daju pod sledećim uslovima:
- a i b, α - stranice i ugao između njih;
- d 1 i d 2, γ - dijagonale i u tački njihovog preseka;
- h a i h b - visine spuštene na strane a i b;
| Parametar | Formula |
| Pronalaženje strana | |
| duž dijagonala i kosinusa ugla između njih | 
|
| duž dijagonala i stranica | 
|
| kroz visinu i suprotni vrh | |
| Pronalaženje dužine dijagonala | |
| na stranama i veličini vrha između njih | |
Paralelogram je četvorougaona figura čije su suprotne strane paralelne i jednake u paru. Njegovi suprotni uglovi su takođe jednaki, a tačka preseka dijagonala paralelograma ih deli na pola, kao centar simetrije figure. Posebni slučajevi paralelograma su: geometrijske figure kao kvadrat, pravougaonik i romb. Može se naći površina paralelograma Različiti putevi, ovisno o tome koji početni podaci prate iskaz problema.
Ključna karakteristika paralelograma, koja se vrlo često koristi pri pronalaženju njegove površine, je njegova visina. Visina paralelograma se obično naziva okomom povučenom iz proizvoljne tačke na suprotnoj strani do pravog segmenta koji formira tu stranu.
- U najjednostavnijem slučaju, površina paralelograma se definira kao proizvod njegove osnove i visine.
S = DC ∙ h
gdje je S površina paralelograma;
a - baza;
h je visina povučena do date baze.Ovu formulu je vrlo lako razumjeti i zapamtiti ako pogledate sljedeću sliku.
Kao što možete vidjeti na ovoj slici, ako odsiječemo zamišljeni trokut lijevo od paralelograma i pričvrstimo ga desno, rezultat će biti pravougaonik. Kao što znate, površina pravougaonika se nalazi množenjem njegove dužine sa visinom. Samo u slučaju paralelograma dužina će biti osnova, a visina pravougaonika će biti visina paralelograma spuštenog na datu stranu.
- Područje paralelograma se također može naći množenjem dužina dvije susjedne baze i sinusa ugla između njih:
S = AD∙AB∙sinα
gde su AD, AB susedne baze koje formiraju presek i ugao a između sebe;
α je ugao između baza AD i AB.
- Također možete pronaći površinu paralelograma tako što ćete podijeliti na pola proizvod dužina dijagonala paralelograma sa sinusom ugla između njih.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ
gdje su AC, BD dijagonale paralelograma;
β je ugao između dijagonala.
- Postoji i formula za pronalaženje površine paralelograma kroz polumjer upisane kružnice. Napisano je kako slijedi:
Paralelogram je četverougao čije su stranice paralelne u parovima.
Na ovoj slici su suprotne strane i uglovi međusobno jednaki. Dijagonale paralelograma se sijeku u jednoj tački i dijele je na pola. Formule za površinu paralelograma omogućuju vam da pronađete vrijednost pomoću stranica, visine i dijagonala. Paralelogram se također može prikazati u posebnim slučajevima. Smatraju se pravokutnikom, kvadratom i rombom.
Prvo, pogledajmo primjer izračunavanja površine paralelograma po visini i strani na koju je spušten.
Ovaj slučaj se smatra klasičnim i ne zahtijeva dodatnu istragu. Bolje je uzeti u obzir formulu za izračunavanje površine kroz dvije strane i ugla između njih. Ista metoda se koristi u proračunima. Ako su stranice i ugao između njih dati, tada se površina izračunava na sljedeći način: 
Pretpostavimo da nam je dat paralelogram sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm.Ugao između njih je α = 30°. Nađimo područje: 
Površina paralelograma kroz dijagonale
Formula za površinu paralelograma pomoću dijagonala omogućava vam da brzo pronađete vrijednost.
Za izračune, trebat će vam veličina ugla koji se nalazi između dijagonala.
Razmotrimo primjer izračunavanja površine paralelograma pomoću dijagonala. Neka je zadan paralelogram sa dijagonalama D = 7 cm, d = 5 cm.Ugao između njih je α = 30°. Zamijenimo podatke u formulu: 
Primjer izračunavanja površine paralelograma kroz dijagonalu dao nam je odličan rezultat - 8,75.
Poznavajući formulu za površinu paralelograma kroz dijagonalu, možete riješiti skup zanimljivih zadataka. Pogledajmo jednu od njih.
zadatak: Dat je paralelogram površine 92 kvadratna metra. vidi Tačka F se nalazi na sredini njene strane BC. Nađimo površinu trapeza ADFB, koja će ležati u našem paralelogramu. Prvo, nacrtajmo sve što smo dobili prema uslovima.
Idemo do rješenja: 
Prema našim uslovima, ah =92, i prema tome, površina našeg trapeza će biti jednaka 
Paralelogram naziva se četvorougao čije su suprotne strane jedna drugoj paralelne. Glavni zadaci u školi na ovu temu su izračunavanje površine paralelograma, njegovog perimetra, visine i dijagonala. Naznačene vrijednosti i formule za njihov izračun bit će navedene u nastavku.
Svojstva paralelograma
Suprotne strane paralelograma, kao i suprotni uglovi, jednaki su jedni drugima:
AB=CD, BC=AD,
Dijagonale paralelograma u tački presjeka podijeljene su na dva jednaka dijela:
AO=OC, OB=OD.
Uglovi susedni bilo kojoj strani (susedni uglovi) iznose do 180 stepeni.
Svaka od dijagonala paralelograma dijeli ga na dva trokuta jednake površine i geometrijskih dimenzija.
Još jedno izvanredno svojstvo koje se često koristi pri rješavanju problema je da je zbir kvadrata dijagonala u paralelogramu jednak zbroju kvadrata svih strana:
AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) . 
Glavne karakteristike paralelograma:
1. Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima je paralelogram.
2. Četvorougao sa jednakim suprotnim stranama je paralelogram.
3. Četvorougao sa jednakim i paralelnim suprotnim stranama je paralelogram.
4. Ako su dijagonale četvorougla u tački preseka podeljene na pola, onda je to paralelogram.
5. Četvorougao čiji su suprotni uglovi jednaki u parovima je paralelogram
Simetrale paralelograma
Simetrale suprotnih uglova u paralelogramu mogu biti paralelne ili podudarne.
Simetrale susednih uglova (susednih jednoj strani) seku se pod pravim uglom (okomito).
Visina paralelograma
Visina paralelograma- ovo je segment izvučen iz ugla okomitog na osnovu. Iz ovoga slijedi da se iz svakog ugla mogu povući dvije visine.
Formula površine paralelograma
Površina paralelograma jednak je umnošku stranice i visine povučene na nju. Formula površine je sljedeća 
Druga formula nije ništa manje popularna u proračunima i definirana je na sljedeći način: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa kuta između njih
Na osnovu gornjih formula, znat ćete izračunati površinu paralelograma.
Perimetar paralelograma
Formula za izračunavanje perimetra paralelograma je
to jest, obim je jednak dvostrukom zbiru strana. Problemi koji uključuju paralelograme će se raspravljati u susjednim materijalima, ali za sada proučite formule. Većina problema u izračunavanju stranica i dijagonala paralelograma je prilično jednostavna i svodi se na poznavanje teoreme sinusa i Pitagorine teoreme.
Video kurs “Dobijte A” uključuje sve teme neophodne za uspjeh polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi problemi 1-13 Jedinstveni državni ispit profila matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!
Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.
Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.
Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.
Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složeni koncepti. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.
Učitavanje...