Ispravna piramida svojstava i oznaka. Geometrijske figure. Piramida

  • apothem- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena sa njenog vrha (osim toga, apotema je dužina okomice, koja se spušta od sredine pravilnog mnogougla na 1 njegovu stranu);
  • bočne strane (ASB, BSC, CSD, DSA) - trouglovi koji konvergiraju na vrhu;
  • bočna rebra ( AS , BS , Cs , DS ) - zajedničke strane bočnih strana;
  • vrh piramide (t. S) - tačka koja spaja bočne ivice i koja ne leži u ravni osnove;
  • visina ( SO ) - segment okomice, koji je povučen kroz vrh piramide do ravni njene osnove (krajevi takvog segmenta bit će vrh piramide i osnova okomice);
  • dijagonalni presjek piramide- presek piramide, koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
  • baza (A B C D) - poligon koji ne pripada vrhu piramide.

Svojstva piramide.

1. Kada su sva bočna rebra iste veličine, tada:

  • lako je opisati krug blizu osnove piramide, dok će vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
  • bočna rebra formiraju jednake uglove sa osnovnom ravninom;
  • štaviše, tačno je i obrnuto, tj. kada bočne ivice formiraju jednake uglove sa ravni osnove, ili kada se krug može opisati u blizini osnove piramide i vrh piramide se projektuje u centar ove kružnice, tada sve bočne ivice piramide imaju iste veličine.

2. Kada bočne strane imaju ugao nagiba prema ravni osnove iste veličine, tada:

  • lako je opisati krug blizu osnove piramide, dok će vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
  • visine bočnih strana su jednake dužine;
  • bočna površina je ½ umnožaka opsega baze na visinu bočne površine.

3. Sfera se može opisati u blizini piramide ako u osnovi piramide leži mnogokut oko kojeg se može opisati krug (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih. Iz ove teoreme zaključujemo da se sfera može opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide.

4. Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u 1. tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će postati centar sfere.

Najjednostavnija piramida.

Po broju uglova, osnova piramide je podeljena na trouglastu, četvorougaonu i tako dalje.

Piramida će trouglasti, četvorougaona, i tako dalje, kada je osnova piramide trokut, četverokut itd. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokutni - pentaedar i tako dalje.

Trouglasta piramida je piramida čija je osnova trokut. Visina ove piramide je okomita, koja se spušta od vrha piramide do njene osnove.

Pronalaženje visine piramide

Kako pronaći visinu piramide? Veoma jednostavno! Da biste pronašli visinu bilo koje trokutaste piramide, možete koristiti formulu volumena: V = (1/3) Sh, gdje je S površina baze, V je zapremina piramide, h njena visina. Izvedite formulu visine iz ove formule: da biste pronašli visinu trokutaste piramide, morate pomnožiti volumen piramide sa 3, a zatim podijeliti rezultirajuću vrijednost s površinom baze, to će biti: h = (3V) / S. Budući da je osnova trokutaste piramide trokut, možete koristiti formulu za izračunavanje površine trokuta. Ako znamo: površinu trokuta S i njegove stranice z, onda po formuli površine S = (1/2) γh: h = (2S) / γ, gdje je h visina piramide, γ je ivica trougla; ugao između stranica trokuta i samih dviju stranica, tada po sljedećoj formuli: S = (1/2) γφsinQ, gdje su γ, φ stranice trokuta, nalazimo površinu trokuta. Vrijednost sinusa ugla Q mora se naći u tabeli sinusa koja je dostupna na Internetu. Zatim zamjenjujemo vrijednost površine u formulu visine: h = (2S) / γ. Ako zadatak zahtijeva izračunavanje visine trokutaste piramide, tada je volumen piramide već poznat.

Pravilna trouglasta piramida

Odredite visinu pravilne trouglaste piramide, odnosno piramide u kojoj su sva lica jednakostranični trouglovi, znajući vrijednost ivice γ. U ovom slučaju, rubovi piramide su stranice jednakostraničnih trokuta. Visina pravilne trouglaste piramide će biti: h = γ√ (2/3), gdje je γ ivica jednakostraničnog trougla, h visina piramide. Ako je površina baze (S) nepoznata, a dati su samo dužina ivice (γ) i zapremina (V) poliedra, tada se potrebna varijabla u formuli iz prethodnog koraka mora zamijeniti svojim ekvivalentom, koji je izražen u smislu dužine ivice. Površina trokuta (pravilnog) jednaka je 1/4 proizvoda dužine stranice ovog trokuta na kvadrat kvadratnog korijena od 3. Zamijenite ovu formulu umjesto površine baze u prethodnu formulu, i dobijamo sledeću formulu: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V / (γ 2 √3). Volumen tetraedra se može izraziti u smislu dužine njegove ivice, tada se sve varijable mogu ukloniti iz formule za izračunavanje visine figure i ostaviti samo stranu trokutastog lica figure. Zapremina takve piramide može se izračunati dijeljenjem kubne dužine njene fasete kvadratnim korijenom od 2 sa 12 iz proizvoda.

Zamjenom ovog izraza u prethodnu formulu dobijamo sljedeću formulu za izračunavanje: h = 12 (γ 3 √2 / 12) / (γ 2 √3) = (γ 3 √2) / (γ 2 √3) = γ √ (2 / 3) = (1/3) γ√6. Također, pravilna trouglasta prizma se može upisati u sferu, a znajući samo polumjer sfere (R), možete pronaći samu visinu tetraedra. Dužina ivice tetraedra je: γ = 4R / √6. Zamijenite varijablu γ ovim izrazom u prethodnoj formuli i dobijete formulu: h = (1/3) √6 (4R) / √6 = (4R) / 3. Ista formula se može dobiti znajući polumjer (R) kružnice upisane u tetraedar. U ovom slučaju, dužina ivice trokuta će biti 12 puta veća od kvadratnog korena od 6 i poluprečnika. Ovaj izraz zamjenjujemo u prethodnu formulu i imamo: h = (1/3) γ√6 = (1/3) √6 (12R) / √6 = 4R.

Kako pronaći visinu pravilne četvorougaone piramide

Da biste odgovorili na pitanje kako pronaći dužinu visine piramide, morate znati, stotinu takvih pravilnih piramida. Četvorougaona piramida je piramida čija je osnova četverokut. Ako u uslovima problema imamo: zapreminu (V) i površinu osnove (S) piramide, tada će formula za izračunavanje visine poliedra (h) biti sljedeća - podijelite zapremina pomnožena sa 3 sa površinom S: h = (3V) / S. Sa kvadratnom osnovom piramide sa poznatim: datim volumenom (V) i dužinom stranice γ, zamijenite površinu (S) u prethodnoj formuli kvadratom dužine stranice: S = γ 2; H = 3V / γ 2. Visina pravilne piramide h = SO prolazi upravo kroz centar kruga, koji je opisan blizu osnove. Pošto je osnova ove piramide kvadrat, tačka O je presek dijagonala AD i BC. Imamo: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6. Dalje, nalazimo u pravouglom trouglu SOC (prema Pitagorinoj teoremi): SO = √ (SC 2 -OC 2). Sada znate kako pronaći visinu ispravne piramide.

Studenti se susreću sa konceptom piramide mnogo prije izučavanja geometrije. To je zbog poznatih velikih egipatskih čuda svijeta. Stoga, kada započinju proučavanje ovog divnog poliedra, većina studenata to već jasno zamišlja. Svi gore navedeni orijentiri imaju pravilan oblik. Šta ispravna piramida, i koja svojstva ima i o čemu će se dalje raspravljati.

U kontaktu sa

Definicija

Postoji mnogo definicija piramide. Od davnina uživa veliku popularnost.

Na primjer, Euklid ju je definirao kao tjelesnu figuru, koja se sastoji od ravni koje se, polazeći od jedne, konvergiraju u određenoj tački.

Heron je dao precizniju formulaciju. On je insistirao da je to figura koja ima osnovu i ravni u obliku trokuta, konvergiraju u jednoj tački.

Na osnovu savremene interpretacije, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar, koji se sastoji od određenog k-ugla i k ravnih figura trouglastog oblika, koje imaju jednu zajedničku tačku.

Hajde da to shvatimo detaljnije, od kojih elemenata se sastoji:

  • K-ugao se smatra bazom figure;
  • Trostrane figure su strane bočnog dijela;
  • gornji dio, iz kojeg potiču bočni elementi, naziva se vrh;
  • svi segmenti koji povezuju vrh nazivaju se ivicama;
  • ako se prava linija spusti od vrha do ravni figure pod uglom od 90 stepeni, tada je njen deo, zatvoren u unutrašnjem prostoru, visina piramide;
  • u bilo kojem bočnom elementu, okomita se može povući na stranu našeg poliedra, koja se naziva apotema.

Broj ivica se izračunava po formuli 2 * k, gdje je k broj stranica k-ugla. Koliko strana poliedra kao što je piramida može se odrediti izrazom k + 1.

Bitan! Piramida pravilnog oblika je stereometrijska figura čija je osnovna ravan k-ugao s jednakim stranama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnogo svojstava, koje su jedinstvene za nju. Nabrojimo ih:

  1. Osnova je figura pravilnog oblika.
  2. Rubovi piramide koji ograničavaju bočne elemente imaju jednake numeričke vrijednosti.
  3. Bočni elementi su jednakokraki trouglovi.
  4. Osnova visine figure pada u centar poligona, a istovremeno je središnja tačka upisanog i opisanog.
  5. Sva bočna rebra su nagnuta prema ravni baze pod istim uglom.
  6. Sve bočne površine imaju isti ugao nagiba u odnosu na bazu.

Sva ova svojstva znatno olakšavaju izvođenje proračuna članova. Na osnovu gore navedenih svojstava skrećemo pažnju na dva znaka:

  1. U slučaju kada se poligon uklapa u krug, bočne strane će imati jednake uglove sa bazom.
  2. Kada se opisuje kružnica oko poligona, sve ivice piramide koje izlaze iz vrha imaće istu dužinu i jednake uglove sa osnovom.

Zasnovan je na kvadratu

Pravilna četvorougaona piramida - poliedar zasnovan na kvadratu.

Ima četiri bočne strane, koje su po izgledu jednakokračne.

Na ravni je prikazan kvadrat, ali su zasnovani na svim svojstvima pravilnog četverokuta.

Na primjer, ako trebate povezati stranu kvadrata s njegovom dijagonalom, onda koristite sljedeću formulu: dijagonala je jednaka proizvodu stranice kvadrata i kvadratnog korijena iz dva.

Zasnovan je na pravilnom trouglu

Pravilna trouglasta piramida je poliedar sa pravilnim trouglom u osnovi.

Ako je osnova pravilan trokut, a bočne ivice jednake su rubovima baze, onda je takva figura nazvan tetraedar.

Sve strane tetraedra su jednakostranični trouglovi. U ovom slučaju morate znati neke točke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izračunavanja:

  • ugao nagiba rebara prema bilo kojoj osnovi je 60 stepeni;
  • veličina svih unutrašnjih ivica je takođe 60 stepeni;
  • bilo koji aspekt može poslužiti kao osnova;
  • nacrtani unutar figure su jednaki elementi.

Presjeci poliedra

U svakom poliedru postoje nekoliko vrsta sekcija avion. Često se u školskom kursu geometrije rade dva:

  • aksijalni;
  • paralelna osnova.

Aksijalni presjek se dobija kada ravan poliedra siječe vrh, bočne rubove i osu. U ovom slučaju, os je visina povučena od vrha. Rezna ravnina je ograničena linijama presjeka sa svim stranama, što rezultira trokutom.

Pažnja! U pravilnoj piramidi, aksijalni presjek je jednakokraki trokut.

Ako rezna ravnina ide paralelno sa bazom, onda je rezultat druga opcija. U ovom slučaju imamo lik poprečnog presjeka sličan bazi.

Na primjer, ako u osnovi postoji kvadrat, tada će i dio paralelan s bazom biti kvadrat, samo manjih veličina.

Prilikom rješavanja zadataka pod ovim uvjetom koriste se znaci i svojstva sličnosti figura, zasnovano na Talesovoj teoremi... Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sličnosti.

Ako je ravnina paralelna s bazom i odsiječe gornji dio poliedra, onda se u donjem dijelu dobije pravilna skraćena piramida. Tada se za stabljike skraćenog poliedra kaže da su slični poligoni. U ovom slučaju, bočne strane su jednakokraki trapezi. Aksijalni presjek je također jednakokraki.

Da bi se odredila visina skraćenog poliedra, potrebno je ucrtati visinu u aksijalnom presjeku, odnosno u trapezu.

Površine

Glavni geometrijski problemi koji se moraju rješavati u školskom predmetu geometrije su pronalaženje površina i zapremine piramide.

Postoje dvije vrste vrijednosti površine:

  • površina bočnih elemenata;
  • površina cele površine.

Iz samog naziva jasno je o čemu se radi. Bočna površina uključuje samo bočne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga pronašli, samo trebate sabrati površine bočnih ravnina, odnosno površine jednakokračnih 3-kuta. Pokušajmo izvući formulu za površinu bočnih elemenata:

  1. Površina jednakokračnog 3-ugla je Str = 1/2 (aL), gdje je a stranica baze, L je apotema.
  2. Broj bočnih ravni zavisi od vrste k-tog ugla u bazi. Na primjer, pravilna četverokutna piramida ima četiri bočne ravni. Stoga je potrebno sabrati površine četiri figure S strana = 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) = 1/2 * 4a * L. Izraz je na ovaj način pojednostavljen jer je vrijednost 4a = Rosn, gdje je Rosn obim baze. A izraz 1/2 * Rosn je njegov poluperimetar.
  3. Dakle, zaključujemo da je površina bočnih elemenata pravilne piramide jednaka umnošku poluperimetra osnove po apotemi: Sbok = Rosn * L.

Ukupna površina piramide sastoji se od zbira površina bočnih ravnina i baze: Sp.p. = Sside + Sbase.

Što se tiče površine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Zapremina pravilne piramide jednak je proizvodu površine osnovne ravni sa visinom, podijeljenom sa tri: V = 1/3 * Sbase * H, gdje je H visina poliedra.

Šta je ispravna piramida u geometriji

Svojstva pravilne četvorougaone piramide

Definicija

Piramida Je poliedar sastavljen od poligona \ (A_1A_2 ... A_n \) i \ (n \) trokuta sa zajedničkim vrhom \ (P \) (koji ne leži u ravni poligona) i suprotnim stranama koje se poklapaju sa stranicama poligon.
Oznaka: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
Primjer: petougaona piramida \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).

Trokuti \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) itd. su pozvani bočne strane piramide, segmenti \ (PA_1, PA_2 \), itd. - bočna rebra, poligon \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - osnovu, tačka \ (P \) - apex.

Visina piramide su okomite spuštene sa vrha piramide na ravan osnove.

Zove se piramida sa trouglom u osnovi tetraedar.

Piramida se zove ispravan ako je njegova osnova pravilan poligon i ispunjen je jedan od sljedećih uslova:

\ ((a) \) bočne ivice piramide su jednake;

\ ((b) \) visina piramide prolazi kroz središte kruga opisanog u blizini baze;

\ ((c) \) bočna rebra su nagnuta prema ravni baze pod istim uglom.

\ ((d) \) bočne strane su nagnute prema ravni baze pod istim uglom.

Regularni tetraedar- ovo je trouglasta piramida, čije su sve strane jednake jednakostranične trokute.

Teorema

Uslovi \ ((a), (b), (c), (d) \) su ekvivalentni.

Dokaz

Nacrtajmo visinu piramide \ (PH \). Neka je \ (\ alfa \) ravan osnove piramide.


1) Dokažimo da \ ((a) \) implicira \ ((b) \). Neka \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

Jer \ (PH \ perp \ alpha \), tada je \ (PH \) okomito na bilo koju pravu liniju koja leži u ovoj ravni, pa su trouglovi pravougaoni. Dakle, ovi trouglovi su jednaki u zajedničkom kraku \ (PH \) i hipotenuzi \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \). Dakle, \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). To znači da su tačke \ (A_1, A_2, ..., A_n \) na istoj udaljenosti od tačke \ (H \), dakle, leže na istoj kružnici poluprečnika \ (A_1H \). Po definiciji, ovaj krug je opisan oko poligona \ (A_1A_2 ... A_n \).

2) Dokažimo da \ ((b) \) implicira \ ((c) \).

\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) pravougaona i jednaka u dva kraka. Dakle, i njihovi uglovi su jednaki, dakle, \ (\ ugao PA_1H = \ ugao PA_2H = ... = \ ugao PA_nH \).

3) Dokažimo da \ ((c) \) implicira \ ((a) \).

Slično prvoj tački, trouglovi \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) pravougaona i duž kraka i oštrog ugla. To znači da su i njihove hipotenuze jednake, odnosno \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

4) Dokažimo da \ ((b) \) implicira \ ((d) \).

Jer u pravilnom poligonu centri opisane kružnice i upisane kružnice se poklapaju (općenito govoreći, ova tačka se naziva središte pravilnog poligona), tada je \ (H \) centar upisane kružnice. Nacrtajmo okomite iz tačke \ (H \) na stranice baze: \ (HK_1, HK_2 \), itd. Ovo su poluprečnici upisane kružnice (po definiciji). Zatim, prema TTP-u (\ (PH \) - okomito na ravan, \ (HK_1, HK_2 \), itd. - projekcije okomite na stranice) koso \ (PK_1, PK_2 \), itd. okomito na stranice \ (A_1A_2, A_2A_3 \), itd. respektivno. Dakle, po definiciji \ (\ ugao PK_1H, \ ugao PK_2H \) jednak uglovima između bočnih strana i baze. Jer trokuti \ (PK_1H, PK_2H, ... \) su jednaki (kao pravougaoni u dva kraka), zatim uglovi \ (\ ugao PK_1H, \ ugao PK_2H, ... \) su jednaki.

5) Dokažimo da \ ((d) \) implicira \ ((b) \).

Slično četvrtoj tački, trouglovi \ (PK_1H, PK_2H, ... \) su jednaki (kao pravougaoni po kraku i oštrom uglu), pa su segmenti \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) jednaki. Dakle, po definiciji, \ (H \) je centar kružnice upisane u bazu. Ali pošto za pravilne poligone, centri upisane i opisane kružnice se poklapaju, tada je \ (H \) centar opisane kružnice. Thtd.

Posljedica

Bočne strane pravilne piramide su jednaki jednakokraki trouglovi.

Definicija

Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz njenog vrha naziva se apothem.
Apoteme svih bočnih strana pravilne piramide su jednake jedna drugoj i takođe su medijane i simetrale.

Važne napomene

1. Visina pravilne trouglaste piramide pada u tački preseka visina (ili simetrala, ili medijana) osnove (osnova je pravilan trougao).

2. Visina pravilne četvorougaone piramide pada u tački preseka dijagonala osnove (osnova je kvadrat).

3. Visina pravilne šestougaone piramide pada u tački preseka dijagonala osnove (osnova je pravilan šestougao).

4. Visina piramide je okomita na bilo koju pravu liniju koja leži u osnovi.

Definicija

Piramida se zove pravougaona ako je jedan od njegovih bočnih rubova okomit na ravan baze.


Važne napomene

1. U pravougaonoj piramidi, ivica okomita na osnovu je visina piramide. To jest, \ (SR \) je visina.

2. Jer \ (SR \) je onda okomito na bilo koju pravu liniju od baze \ (\ trokut SRM, \ trokut SRP \)- pravougli trouglovi.

3. Trokuti \ (\ trokut SRN, \ trokut SRK \)- takođe pravougaone.
Odnosno, bilo koji trokut formiran od ove ivice i dijagonale koja se proteže od vrha ove ivice koja leži u osnovi bit će pravokutna.

\ [(\ Veliki (\ tekst (Zapremina i površina piramide))) \]

Teorema

Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine baze na visinu piramide: \

Posljedice

Neka je \ (a \) stranica baze, \ (h \) visina piramide.

1. Zapremina pravilne trouglaste piramide je \ (V _ (\ tekst (desni trouglasti pir.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),

2. Zapremina pravilne četvorougaone piramide je \ (V _ (\ tekst (desno četiri pir.)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).

3. Zapremina pravilne šestougaone piramide je \ (V _ (\ tekst (desni hex)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).

4. Zapremina pravilnog tetraedra je \ (V _ (\ tekst (desno tet.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).

Teorema

Bočna površina pravilne piramide jednaka je poluproizvodu perimetra baze po apotemi.

\ [(\ Velika (\ tekst (Krunja piramida))) \]

Definicija

Razmotrimo proizvoljnu piramidu \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \). Povučemo ravan paralelnu sa osnovom piramide kroz tačku koja leži na bočnoj ivici piramide. Ova ravan će podijeliti piramidu na dva poliedra, od kojih je jedan piramida (\ (PB_1B_2 ... B_n \)), a drugi se zove krnje piramide(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).


Skraćena piramida ima dvije osnove - poligone \ (A_1A_2 ... A_n \) i \ (B_1B_2 ... B_n \), koji su međusobno slični.

Visina skraćene piramide je okomica povučena iz neke tačke gornje osnove na ravan donje osnove.

Važne napomene

1. Sve bočne strane krnje piramide su trapezi.

2. Segment koji povezuje centre osnova pravilne krnje piramide (odnosno piramide dobijene rezanjem pravilne piramide) je visina.

Ovdje možete pronaći osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi oni se uče sa mentorom matematike u pripremi za ispit.

Zamislite ravan, poligon koja leži u njoj i tačka S koja ne leži u njoj. Povežite S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti linija se nazivaju bočna rebra. Poligon se naziva baza, a tačka S se naziva vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trouglastom (n = 3), četvorougaonom (n = 4), piramidom (n = 5) itd. Alternativni naziv za trouglastu piramidu je tetraedar... Visina piramide naziva se okomita, spuštena od njenog vrha do ravni baze.

Piramida se naziva ispravnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncept "pravilne piramide" i "ispravnog tetraedra". U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama baze, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica ivica su jednake. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira podudarnost centra P poligona sa osnovom visine, pa je pravilan tetraedar pravilna piramida.

Šta je Apothema?
Apotem piramide je visina njenog bočnog lica. Ako je piramida tačna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obratno nije tačno.

Predavač matematike o svojoj terminologiji: rad s piramidama je 80% izgrađen kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA

Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike nazove prvi od njih apothemic, i drugo costal... Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik mora da je unese jednostrano.

Formula za zapreminu piramide:
1) , gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2), gdje je polumjer upisane sfere, a ukupna površina piramide.
3) , gdje je MN udaljenost bilo koje dvije rubove koja se ukrštaju, a površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Svojstvo osnove visine piramide:

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u podnožju piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: Imajte na umu da sve tačke imaju jedno zajedničko svojstvo: na ovaj ili onaj način, bočne strane su svuda uključene (apoteme su njihovi elementi). Stoga, nastavnik može ponuditi manje tačnu, ali pogodniju formulaciju za pamćenje: tačka P se poklapa sa centrom upisanog kruga u osnovi piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi apotemski trouglovi jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem kruga opisanog blizu osnove piramide, ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Učitavanje ...Učitavanje ...