U ovom članku ćemo pokazati kako da date definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla i broja u trigonometriji. Ovdje ćemo govoriti o notacijama, dati primjere unosa i dati grafičke ilustracije. U zaključku, povučemo paralelu između definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u trigonometriji i geometriji.
Navigacija po stranici.
Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa
Pogledajmo kako se ideja sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa formira u školskom kursu matematike. U nastavi geometrije daje se definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog ugla u pravokutnom trokutu. A kasnije se proučava trigonometrija koja govori o sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu ugla rotacije i broja. Predstavimo sve ove definicije, damo primjere i damo potrebne komentare.
Oštar ugao u pravokutnom trokutu
Iz predmeta geometrije znamo definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog ugla u pravokutnom trokutu. Oni su dati kao omjer stranica pravouglog trougla. Dajemo njihove formulacije.
Definicija.
Sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane prema hipotenuzi.
Definicija.
Kosinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Definicija.
Tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu– ovo je omjer suprotne i susjedne strane.
Definicija.
Kotangens oštrog ugla u pravokutnom trokutu- ovo je omjer susjedne i suprotne strane.
Tu se uvode i oznake za sinus, kosinus, tangent i kotangens - sin, cos, tg i ctg, respektivno.
Na primjer, ako je ABC pravokutni trokut sa pravim uglom C, tada je sinus oštrog ugla A jednak omjeru suprotne stranice BC i hipotenuze AB, odnosno sin∠A=BC/AB.
Ove definicije vam omogućavaju da izračunate vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog ugla iz poznatih dužina stranica pravokutnog trokuta, kao i iz poznate vrednosti pronađite dužine ostalih stranica koristeći sinus, kosinus, tangentu, kotangens i dužinu jedne od stranica. Na primjer, ako bismo znali da je u pravokutnom trokutu krak AC jednak 3, a hipotenuza AB jednaka 7, tada bismo mogli izračunati vrijednost kosinusa oštrog ugla A po definiciji: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Ugao rotacije
U trigonometriji počinju da gledaju na ugao šire - uvode pojam ugla rotacije. Veličina ugla rotacije, za razliku od oštrog ugla, nije ograničena na 0 do 90 stepeni; ugao rotacije u stepenima (i u radijanima) može se izraziti bilo kojim realnim brojem od −∞ do +∞.
U tom svjetlu, definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa nisu date za akutni ugao, već za ugao proizvoljne veličine - ugao rotacije. One su date kroz x i y koordinate tačke A 1, do koje ide takozvana početna tačka A(1, 0) nakon svoje rotacije za ugao α oko tačke O - početka pravougaonog Dekartovog koordinatnog sistema i centar jediničnog kruga.
Definicija.
Sinus ugla rotacijeα je ordinata tačke A 1, odnosno sinα=y.
Definicija.
Kosinus ugla rotacijeα se naziva apscisa tačke A 1, odnosno cosα=x.
Definicija.
Tangent ugla rotacijeα je odnos ordinate tačke A 1 i njene apscise, odnosno tanα=y/x.
Definicija.
Kotangens ugla rotacijeα je odnos apscise tačke A 1 i njene ordinate, odnosno ctgα=x/y.
Sinus i kosinus su definisani za bilo koji ugao α, jer uvek možemo odrediti apscisu i ordinatu tačke, koja se dobija rotacijom početne tačke za ugao α. Ali tangenta i kotangens nisu definirani ni za jedan ugao. Tangenta nije definisana za uglove α u kojima početna tačka ide u tačku sa nultom apscisom (0, 1) ili (0, −1), a to se dešava pod uglovima 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Zaista, pri takvim uglovima rotacije, izraz tgα=y/x nema smisla, jer sadrži deljenje sa nulom. Što se tiče kotangensa, on nije definisan za uglove α pri kojima početna tačka ide u tačku sa nultom ordinatom (1, 0) ili (−1, 0), a to se dešava za uglove 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Dakle, sinus i kosinus su definisani za sve uglove rotacije, tangenta je definisana za sve uglove osim 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), a kotangens je definisan za sve uglove osim 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Definicije uključuju nam već poznate oznake sin, cos, tg i ctg, koriste se i za označavanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije (ponekad možete pronaći oznake tan i cot koje odgovaraju tangenti i kotangensu) . Dakle, sinus ugla rotacije od 30 stepeni može se zapisati kao sin30°, unosi tg(−24°17′) i ctgα odgovaraju tangentu ugla rotacije -24 stepena 17 minuta i kotangensu ugla rotacije α . Podsjetimo da se prilikom pisanja radijanske mjere ugla često izostavlja oznaka "rad". Na primjer, kosinus ugla rotacije od tri pi rad obično se označava cos3·π.
U zaključku ove tačke, vrijedno je napomenuti da kada se govori o sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije, izraz „ugao rotacije“ ili riječ „rotacija“ često se izostavlja. Odnosno, umjesto izraza "sinus ugla rotacije alfa", obično se koristi izraz "sinus ugla alfa" ili još kraće, "sinus alfa". Isto vrijedi za kosinus, tangent i kotangens.
Također ćemo reći da su definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog ugla u pravokutnom trouglu u skladu s upravo datim definicijama za sinus, kosinus, tangentu i kotangens ugla rotacije u rasponu od 0 do 90 stepeni. Mi ćemo to opravdati.
Brojevi
Definicija.
Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu ugla rotacije u t radijanima, respektivno.
Na primjer, kosinus broja 8 π po definiciji je broj jednako kosinsu ugao od 8·π rad. A kosinus ugla od 8·π rad jednak je jedan, pa je kosinus broja 8·π jednak 1.
Postoji još jedan pristup za određivanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Sastoji se u tome da je svakom realnom broju t pridružena tačka na jediničnom krugu sa centrom u početku pravougaonog koordinatnog sistema, a sinus, kosinus, tangenta i kotangens se određuju preko koordinata ove tačke. Pogledajmo ovo detaljnije.
Pokažimo kako se uspostavlja korespondencija između realnih brojeva i tačaka na kružnici:
- broju 0 dodjeljuje se početna tačka A(1, 0);
- pozitivni broj t je povezan s tačkom na jediničnom krugu, do koje ćemo doći ako se krećemo duž kružnice od početne točke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i hodamo stazom dužine t;
- negativan broj t je povezan sa tačkom jedinične kružnice, do koje ćemo doći ako se krećemo duž kružnice od početne tačke u smjeru kazaljke na satu i hodamo stazom dužine |t| .
Sada prelazimo na definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja t. Pretpostavimo da broj t odgovara tački na kružnici A 1 (x, y) (na primjer, broj &pi/2; odgovara tački A 1 (0, 1)).
Definicija.
Sinus broja t je ordinata tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t, odnosno sint=y.
Definicija.
Kosinus broja t se naziva apscisa tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno trošak=x.
Definicija.
Tangent broja t je odnos ordinate i apscise tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t, odnosno tgt=y/x. U drugoj ekvivalentnoj formulaciji, tangent broja t je omjer sinusa ovog broja i kosinusa, to jest, tgt=sint/cost.
Definicija.
Kotangens broja t je odnos apscise i ordinate tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t, odnosno ctgt=x/y. Druga formulacija je ova: tangent broja t je odnos kosinusa broja t i sinusa broja t: ctgt=cost/sint.
Ovdje napominjemo da su upravo date definicije u skladu sa definicijom datom na početku ovog pasusa. Zaista, tačka na jediničnom krugu koja odgovara broju t poklapa se sa tačkom dobijenom rotacijom početne tačke za ugao od t radijana.
Još uvijek vrijedi razjasniti ovu tačku. Recimo da imamo unos sin3. Kako možemo razumjeti da li je riječ o sinusu broja 3 ili o sinusu ugla rotacije od 3 radijana? Ovo je obično jasno iz konteksta, inače vjerovatno nije od fundamentalnog značaja.
Trigonometrijske funkcije ugaonog i numeričkog argumenta
Prema definicijama datim u prethodnom paragrafu, svakom kutu rotacije α odgovara vrlo specifična vrijednost sinα, kao i vrijednost cosα. Osim toga, svi uglovi rotacije osim 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) odgovaraju vrijednostima tgα, a vrijednosti koje nisu 180°k, k∈Z (πk rad) – vrijednosti od ctgα . Stoga su sinα, cosα, tanα i ctgα funkcije ugla α. Drugim riječima, ovo su funkcije kutnog argumenta.
Slično možemo govoriti o funkcijama sinus, kosinus, tangent i kotangens numeričkog argumenta. Zaista, svaki realni broj t odgovara vrlo specifičnoj vrijednosti sint, kao i trošku. Osim toga, svi brojevi osim π/2+π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima tgt, a brojevi π·k, k∈Z - vrijednostima ctgt.
Funkcije sinus, kosinus, tangent i kotangens se nazivaju osnovne trigonometrijske funkcije.
Obično je iz konteksta jasno da li se radi o trigonometrijskim funkcijama ugaonog argumenta ili numeričkog argumenta. Inače, nezavisnu promenljivu možemo zamisliti i kao meru ugla (ugaoni argument) i kao numerički argument.
Međutim, u školi se uglavnom proučavaju numeričke funkcije, odnosno funkcije čiji su argumenti, kao i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije, brojevi. Stoga, ako govorimo konkretno o funkcijama, onda je preporučljivo razmotriti trigonometrijske funkcije kao funkcije numeričkih argumenata.
Odnos definicija iz geometrije i trigonometrije
Ako uzmemo u obzir kut rotacije α u rasponu od 0 do 90 stepeni, onda su definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije u kontekstu trigonometrije u potpunosti u skladu s definicijama sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštar ugao u pravokutnom trokutu, koji su dati u kursu geometrije. Hajde da to opravdamo.
Opišimo jedinični krug u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu Oxy. Označimo početnu tačku A(1, 0) . Zarotirajmo ga za ugao α u rasponu od 0 do 90 stepeni, dobićemo tačku A 1 (x, y). Ispustimo okomicu A 1 H iz tačke A 1 na osu Ox.
Lako je vidjeti da je u pravokutnom trouglu A 1 OH jednaka uglu rotacije α, dužina kraka OH pored ovog ugla jednaka je apscisi tačke A 1, odnosno |OH|=x, dužina kraka A 1 H nasuprot uglu jednaka je ordinati od tačka A 1, odnosno |A 1 H|=y, a dužina hipotenuze OA 1 jednaka je jedan, jer je to poluprečnik jedinične kružnice. Tada je, po definiciji iz geometrije, sinus oštrog ugla α u pravokutnom trokutu A 1 OH jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze, odnosno sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. A po definiciji iz trigonometrije, sinus ugla rotacije α jednak je ordinati tačke A 1, odnosno sinα=y. Ovo pokazuje da je određivanje sinusa oštrog ugla u pravokutnom trokutu ekvivalentno određivanju sinusa ugla rotacije α kada je α od 0 do 90 stepeni.
Slično, može se pokazati da su definicije kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog ugla α u skladu sa definicijama kosinusa, tangenta i kotangensa ugla rotacije α.
Bibliografija.
- Geometrija. 7-9 razredi: udžbenik za opšte obrazovanje institucije / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, itd.]. - 20. ed. M.: Obrazovanje, 2010. - 384 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometrija: Udžbenik. za 7-9 razred. opšte obrazovanje institucije / A. V. Pogorelov. - 2. izd. - M.: Obrazovanje, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra i elementarne funkcije : Tutorial za učenike 9. razreda srednja škola/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Uredio doktor fizičko-matematičkih nauka O. N. Golovin - 4. izd. M.: Obrazovanje, 1969.
- algebra: Udžbenik za 9. razred. avg. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Obrazovanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A. G. Algebra i počeci analize. 10. razred. U 2 str. Prvi dio: tutorijal za obrazovne institucije(profilni nivo)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. izd., dop. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; uređeno od A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - I.: Prosvjeta, 2010.- 368 str.: ilustr.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bašmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosveta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.
U ovom članku ćemo pogledati sveobuhvatno. Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju vezu između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla i omogućavaju pronalaženje bilo koje od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznati drugi.
Hajde da odmah navedemo glavne trigonometrijske identitete koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapišimo ih u tabelu, a ispod ćemo dati izlaz ovih formula i dati potrebna objašnjenja.
Navigacija po stranici.
Odnos između sinusa i kosinusa jednog ugla
Ponekad se ne govori o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tabeli, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet vrsta 
. Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobijaju iz glavnog trigonometrijskog identiteta nakon što se oba njegova dijela podijele sa i, respektivno, i jednakosti 
I 
slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. O tome ćemo detaljnije govoriti u sljedećim paragrafima.
Odnosno, jednakost je od posebnog interesa, kojoj je dato ime glavnog trigonometrijskog identiteta.
Prije nego što dokažemo glavni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla identično je jednak jedinici. A sada da dokažemo.
Osnovni trigonometrijski identitet se vrlo često koristi kada pretvaranje trigonometrijskih izraza. Omogućava da se zbir kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla zamijeni jednim. Ništa manje često se koristi osnovni trigonometrijski identitet u obrnutim redosledom: jedinica se zamjenjuje zbirom kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg ugla.
Tangenta i kotangens kroz sinus i kosinus
Identiteti koji povezuju tangentu i kotangensu sa sinusom i kosinusom jednog kuta gledanja i 
odmah slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Zaista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangenta je omjer ordinate prema apscisi, tj. 
, a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. 
.
Zahvaljujući takvoj očiglednosti identiteta i Tangenta i kotangens se često definiraju ne kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangent ugla je omjer sinusa i kosinusa ovog ugla, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.
U zaključku ovog paragrafa treba napomenuti da su identiteti i odvijaju se za sve uglove pod kojima trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koji , osim (inače će nazivnik imati nulu, a nismo definirali dijeljenje nulom), i formula - za sve , različito od , gdje je z bilo koji .
Odnos između tangente i kotangensa
Još očiglednije trigonometrijski identitet nego prethodna dva, je identitet koji povezuje tangentu i kotangens jednog ugla forme . Jasno je da vrijedi za sve uglove osim , inače ni tangenta ni kotangens nisu definirani.
Dokaz formule veoma jednostavno. Po definiciji i odakle 
. Dokaz je mogao biti izveden malo drugačije. Pošto , To 
.
Dakle, tangenta i kotangens istog ugla pod kojim imaju smisla su .
Sinus i kosinus su prvobitno proizašli iz potrebe da se izračunaju količine u pravokutnim trokutima. Primijećeno je da ako se ne mijenja stepen mjera uglova u pravouglom trouglu, onda omjer stranica, bez obzira koliko se ove stranice mijenjaju po dužini, uvijek ostaje isti.
Tako su uvedeni koncepti sinusa i kosinusa. Sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane prema hipotenuzi, a kosinus je omjer stranice koja je susjedna hipotenuzi.
Teoreme kosinusa i sinusa
Ali kosinus i sinus se mogu koristiti za više od pravokutnih trougla. Da biste pronašli vrijednost tupog ili oštrog ugla ili stranice bilo kojeg trokuta, dovoljno je primijeniti teoremu kosinusa i sinusa.
Kosinusni teorem je prilično jednostavan: „Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije strane umanjenom za dvostruki proizvod tih stranica i kosinusa ugla između njih.”
Postoje dva tumačenja teoreme sinusa: mala i proširena. Prema maloljetniku: "U trouglu su uglovi proporcionalni suprotnim stranama." Ova teorema se često proširuje zbog svojstva opisane kružnice trokuta: „U trokutu su uglovi proporcionalni suprotnim stranama, a njihov omjer je jednak prečniku opisane kružnice.“
Derivati
Izvod je matematički alat koji pokazuje koliko se brzo funkcija mijenja u odnosu na promjenu argumenta. Derivati se koriste u geometriji, iu nizu tehničkih disciplina.
Prilikom rješavanja problema morate znati tablične vrijednosti izvoda trigonometrijskih funkcija: sinusa i kosinusa. Derivat sinusa je kosinus, a kosinus je sinus, ali sa predznakom minus.
Primjena u matematici
Sinusi i kosinusi se posebno često koriste u rješavanju pravokutnih trokuta i problema vezanih za njih.
Pogodnost sinusa i kosinusa ogleda se iu tehnologiji. Uglove i stranice bilo je lako procijeniti korištenjem kosinusnih i sinusnih teorema, razbijajući složene oblike i objekte u "jednostavne" trokute. Inženjeri koji se često bave proračunima omjera i mjera stepena potrošili su mnogo vremena i truda na izračunavanje kosinusa i sinusa netabelarnih uglova.
Tada su u pomoć priskočile Bradisove tablice koje sadrže hiljade vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa različitih uglova. IN Sovjetsko vreme neki nastavnici su prisiljavali svoje učenike da pamte stranice Bradisovih tabela.
Radijan je ugaona vrednost luka čija je dužina jednaka poluprečniku ili 57,295779513° stepeni.
Stepen (u geometriji) - 1/360. dio kruga ili 1/90. dio pravog ugla.
π = 3,141592653589793238462… (približna vrijednost Pi).
Kosinus tabela za uglove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Ugao x (u stepenima) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ugao x (u radijanima) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Prvo, razmotrite kružnicu poluprečnika 1 i centar na (0;0). Za bilo koji αÊR, polumjer 0A se može nacrtati tako da radijanska mjera ugla između 0A i ose 0x bude jednaka α. Smjer suprotno od kazaljke na satu smatra se pozitivnim. Neka kraj radijusa A ima koordinate (a,b).
Definicija sinusa
Definicija: Broj b, jednak ordinati jediničnog radijusa konstruisanog na opisan način, označava se sa sinα i naziva se sinus ugla α.
Primjer: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Definicija kosinusa
Definicija: Broj a, jednak apscisi kraja jediničnog poluprečnika konstruisanog na opisan način, označava se sa cosα i naziva se kosinus ugla α.
Primjer: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
Ovi primjeri koriste definiciju sinusa i kosinusa ugla u smislu koordinata kraja jediničnog radijusa i jediničnog kruga. Za vizuelniji prikaz, potrebno je da nacrtate jedinični krug i na njemu ucrtate odgovarajuće tačke, a zatim prebrojite njihove apscise da biste izračunali kosinus i ordinate da biste izračunali sinus.
Definicija tangente
Definicija: Funkcija tgx=sinx/cosx za x≠π/2+πk, kÊZ, naziva se kotangens ugla x. Područje definicije funkcije tgx su svi realni brojevi, osim x=π/2+πn, nÊZ.
Primjer: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Ovaj primjer je sličan prethodnom. Da biste izračunali tangentu ugla, morate ordinatu tačke podijeliti njenom apscisom.
Definicija kotangensa
Definicija: Funkcija ctgx=cosx/sinx za x≠πk, kÊZ naziva se kotangens ugla x. Područje definicije funkcije ctgx = su svi realni brojevi osim tačaka x=πk, kÊZ.
Pogledajmo primjer korištenja pravilnog pravokutnog trokuta
Da bi bilo jasnije šta su kosinus, sinus, tangent i kotangens. Pogledajmo primjer korištenja pravilnog pravokutnog trokuta sa uglom y i strane a,b,c. Hipotenuza c, krakovi a i b redom. Ugao između hipotenuze c i kraka b y.
definicija: Sinus ugla y je omjer suprotne strane i hipotenuze: siny = a/c
definicija: Kosinus ugla y je omjer susjednog kraka i hipotenuze: cosy = v/c
definicija: Tangent ugla y je omjer suprotne i susjedne strane: tgy = a/b
definicija: Kotangens ugla y je omjer susjedne i suprotne strane: ctgy= in/a
Sinus, kosinus, tangent i kotangens se također nazivaju trigonometrijske funkcije. Svaki ugao ima svoj sinus i kosinus. I skoro svako ima svoju tangentu i kotangens.
Vjeruje se da ako nam je zadan ugao, tada su nam poznati sinus, kosinus, tangenta i kotangens! I obrnuto. Dati sinus, odnosno bilo koju drugu trigonometrijsku funkciju, znamo ugao. Stvorene su čak i posebne tablice u kojima su trigonometrijske funkcije zapisane za svaki ugao.
Trigonometrija je grana matematičke nauke koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je još u danima antičke Grčke. Tokom srednjeg vijeka, naučnici sa Bliskog istoka i Indije dali su značajan doprinos razvoju ove nauke.
Ovaj članak je posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama osnovnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Njihovo značenje je objašnjeno i ilustrovano u kontekstu geometrije.
Yandex.RTB R-A-339285-1
U početku su definicije trigonometrijskih funkcija čiji je argument ugao izražene u smislu omjera strana pravokutnog trougla.
Definicije trigonometrijskih funkcija
Sinus ugla (sin α) je omjer kraka nasuprot ovom kutu i hipotenuze.
Kosinus ugla (cos α) - omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Tangent ugla (t g α) - omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
Kotangens ugla (c t g α) - omjer susjedne i suprotne strane.
Ove definicije su date za oštar ugao pravouglog trougla!
Hajde da damo ilustraciju.
U trouglu ABC sa pravim uglom C, sinus ugla A jednak je odnosu kraka BC i hipotenuze AB.
Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju vam da izračunate vrijednosti ovih funkcija iz poznatih dužina stranica trokuta.
Važno je zapamtiti!
Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa je od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus uzimaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijela brojevna prava, odnosno, ove funkcije mogu poprimiti bilo koju vrijednost.
Gore date definicije se odnose na oštre uglove. U trigonometriji se uvodi koncept ugla rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog ugla, nije ograničena na 0 do 90 stepeni. Ugao rotacije u stepenima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞ .
U tom kontekstu možemo definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla proizvoljne veličine. Zamislimo jediničnu kružnicu sa centrom u početku kartezijanskog koordinatnog sistema.
Početna tačka A sa koordinatama (1, 0) rotira oko centra jedinične kružnice za određeni ugao α i ide do tačke A 1. Definicija je data u smislu koordinata tačke A 1 (x, y).
Sinus (sin) ugla rotacije
Sinus ugla rotacije α je ordinata tačke A 1 (x, y). sin α = y
Kosinus (cos) kuta rotacije
Kosinus ugla rotacije α je apscisa tačke A 1 (x, y). cos α = x
Tangenta (tg) ugla rotacije
Tangens ugla rotacije α je odnos ordinate tačke A 1 (x, y) i njene apscise. t g α = y x
Kotangens (ctg) ugla rotacije
Kotangens ugla rotacije α je odnos apscise tačke A 1 (x, y) i njene ordinate. c t g α = x y
Sinus i kosinus su definirani za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Situacija je drugačija sa tangentom i kotangensom. Tangenta je nedefinisana kada tačka nakon rotacije ide u tačku sa nultom apscisom (0, 1) i (0, - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži podjelu nulom. Slična je situacija i sa kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definisan u slučajevima kada ordinata tačke ide na nulu.
Važno je zapamtiti!
Sinus i kosinus su definirani za sve uglove α.
Tangenta je definirana za sve uglove osim α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kotangens je definiran za sve uglove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Prilikom rješavanja praktičnih primjera nemojte reći „sinus ugla rotacije α“. Riječi “ugao rotacije” jednostavno su izostavljene, što implicira da je već iz konteksta jasno o čemu se govori.
Brojevi
Šta je sa definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne ugla rotacije?
Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja
Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj koji je, respektivno, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radian.
Na primjer, sinus broja 10 π jednak je sinusu ugla rotacije od 10 π rad.
Postoji još jedan pristup za određivanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Pogledajmo to izbliza.
Bilo koji pravi broj t tačka na jediničnom krugu je povezana sa centrom u početku pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema. Sinus, kosinus, tangent i kotangens se određuju preko koordinata ove tačke.
Početna tačka na kružnici je tačka A sa koordinatama (1, 0).
Pozitivan broj t
Negativan broj t odgovara tački do koje će početna tačka ići ako se kreće po kružnici u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođe putanju t.
Sada kada je uspostavljena veza između broja i tačke na kružnici, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.
Sinus (grijeh) od t
Sinus broja t- ordinata tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t. sin t = y
Kosinus (cos) od t
Kosinus broja t- apscisa tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x
Tangenta (tg) od t
Tangent broja t- odnos ordinate i apscise tačke na jediničnom krugu koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t
Najnovije definicije su u skladu i nisu u suprotnosti sa definicijom datom na početku ovog stava. Tačka na krugu koji odgovara broju t, poklapa se sa tačkom do koje ide početna tačka nakon skretanja za ugao t radian.
Trigonometrijske funkcije ugaonog i numeričkog argumenta
Svaka vrijednost ugla α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa ovog ugla. Kao i svi uglovi α osim α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odgovaraju određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore navedeno, je definisan za sve α osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Možemo reći da su sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije ugla alfa, ili funkcije kutnog argumenta.
Slično, možemo govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k, k ∈ Z, odgovaraju tangentnoj vrijednosti. Kotangens je, slično, definiran za sve brojeve osim π · k, k ∈ Z.
Osnovne funkcije trigonometrije
Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.
Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (ugaoni argument ili numerički argument) imamo posla.
Vratimo se definicijama datim na samom početku i alfa kutu, koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stepeni. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa u potpunosti su konzistentne sa geometrijskim definicijama datim omjerima pravokutnog trougla. Hajde da to pokažemo.
Uzmimo jediničnu kružnicu sa centrom u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Rotiramo početnu tačku A (1, 0) za ugao do 90 stepeni i povučemo okomitu na osu apscise iz rezultirajuće tačke A 1 (x, y). U rezultirajućem pravokutnom trokutu ugao A 1 O H jednak je kutu rotacije α, dužina kraka O H jednaka je apscisi tačke A 1 (x, y). Dužina kraka nasuprot ugla jednaka je ordinati tačke A 1 (x, y), a dužina hipotenuze jednaka je jedan, jer je to poluprečnik jedinične kružnice.
U skladu sa definicijom iz geometrije, sinus ugla α jednak je omjeru suprotne strane prema hipotenuzi.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
To znači da je određivanje sinusa oštrog ugla u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentno određivanju sinusa ugla rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stepeni.
Slično, korespondencija definicija se može prikazati za kosinus, tangent i kotangens.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Učitavanje...