Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:
- Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
- Zbrajanje razlomaka sa različiti imenioci
Prvo, naučimo sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:
Primjer 2. Dodajte razlomke i .
Odgovor nije bio pravilan razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju cijeli dio lako se izdvaja - dva podeljena sa dva jednako je jedan:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate jednu celu picu:
Primjer 3. Dodajte razlomke i .
Opet, zbrajamo brojioce i ostavljamo imenilac nepromijenjen:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate pizzu:
Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.
Kao što vidite, nema ništa komplikovano u zbrajanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite imenilac nepromenjen;
Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima
Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.
Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.
Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo se osvrnuti na samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti komplikovanim.
Suština ove metode je da se prvo traži LCM nazivnika oba razlomka. LCM se zatim dijeli sa nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.
Brojioci i imenioci razlomaka se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke.
Primjer 1. Dodajmo razlomke i
Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6
LCM (2 i 3) = 6
Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.
Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:
Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.
Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:
Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:
Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:
Ovim je primjer završen. Ispada da dodam.
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:
Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).
Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri od šest komada). Zbrajanjem ovih komada dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo izdvojili cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).
Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. IN obrazovne institucije Nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM oba imenioca i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore vašim brojiocima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:
Ali postoji također stražnja strana medalje. Ako ne vodite detaljne bilješke u prvim fazama proučavanja matematike, tada počinju da se pojavljuju pitanja te vrste. “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.
Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:
- Naći LCM nazivnika razlomaka;
- Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
- Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
- Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
- Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada odaberite cijeli njegov dio;
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 
.
Koristimo gore navedene upute.
Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka
Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4
Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak
LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad prvog razlomka:
Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Pišemo ga iznad drugog razlomka:
Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobijamo treći dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:
Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima
Množimo brojioce i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:
Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Sve što ostaje je sabirati ove razlomke. Dodaj to:
Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, pomiče se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.
Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite njegov cijeli dio
Naš odgovor se pokazao kao nepravilan razlomak. Moramo istaći cijeli dio toga. Ističemo:
Dobili smo odgovor
Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:
- Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
- Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, ali ostavite imenilac isti.
Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je da oduzmete brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane nepromijenjen. Uradimo ovo:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.
Ponovo, od brojila prvog razlomka, oduzmite brojilac drugog razlomka i ostavite imenilac nepromijenjen:
Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako iz pizze izrežete pice, dobijate pizze:
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza 
Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojioca prvog razlomka morate oduzeti brojioce preostalih razlomaka:
Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:
- Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
- Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.
Zajednički nazivnik se nalazi po istom principu koji smo koristili kada smo sabirali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je napisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji je napisan iznad drugog razlomka.
Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.
Primjer 1. Pronađite značenje izraza:
Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate svesti na isti (zajednički) imenilac.
Prvo nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12
LCM (3 i 4) = 12
Sada se vratimo na razlomke i
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:
Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:
Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:
Dobili smo odgovor
Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako od pizze isečete picu, dobijate picu
Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:
Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje ovih razlomaka na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):
Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 
Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo morate svesti na isti (zajednički) imenilac.
Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.
Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka.
Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad prvog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Pišemo ga iznad drugog razlomka:
Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a imenilac trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:
Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:
Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.
Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prebacujemo na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:
Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ružno. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak.
Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa (GCD) brojeva 20 i 30.
Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:
Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojilac i nazivnik razlomka sa pronađenim gcd, odnosno sa 10
Dobili smo odgovor
Množenje razlomka brojem
Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je pomnožiti brojilac datog razlomka s tim brojem, a imenilac ostaviti isti.
Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.
Pomnožite brojilac razlomka brojem 1
Snimak se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu
Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, proizvod se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:
Ova notacija se može shvatiti kao uzimanje polovine jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza
Pomnožite brojilac razlomka sa 4
Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pice, dobit ćete dvije cijele pizze
A ako zamijenimo množitelj i množitelj, dobićemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:
Množenje razlomaka
Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.
Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.
Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:
Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:
Kako uzeti dvije trećine iz ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:
I uzmi dva od ova tri komada:
Napravićemo picu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:
Jedan komad ove pizze i dva koja smo uzeli imaće iste dimenzije:
Drugim riječima, govorimo o pizzi iste veličine. Stoga je vrijednost izraza
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza
Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:
Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza
Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:
Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, ali bi bilo dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojilac i nazivnik ovog razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 105 i 450.
Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:
Sada dijelimo brojilac i nazivnik našeg odgovora s gcd koji smo sada pronašli, odnosno sa 15
Predstavljanje cijelog broja kao razlomak
Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Ovo neće promijeniti značenje petice, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znamo, jednako pet:
Recipročni brojevi
Sada ćemo se upoznati sa vrlo zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".
Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.
Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:
Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.
Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:
Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo naopako:
Šta će se dogoditi kao rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:
To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada pomnožite 5 sa dobijete jedan.
Recipročna vrijednost broja također se može naći za bilo koji drugi cijeli broj.
Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.
Deljenje razlomka brojem
Recimo da imamo pola pice:
Podijelimo ga podjednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?
Vidi se da su nakon podjele polovine pice dobijena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.
Podjela razlomaka se vrši korištenjem recipročnih vrijednosti. Recipročni brojevi vam omogućavaju da zamijenite dijeljenje množenjem.
Da biste razlomak podijelili brojem, trebate taj razlomak pomnožiti s inverzom djelitelja.
Koristeći ovo pravilo, zapisaćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.
Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj je broj 2.
Da biste razlomak podijelili brojem 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa
) i imenilac po imenilac (dobijamo imenilac proizvoda).
Formula za množenje razlomaka:
Na primjer:
Prije nego počnete množenje brojionika i nazivnika, morate provjeriti može li se razlomak smanjiti. Ako možete smanjiti razlomak, bit će vam lakše napraviti daljnje proračune.
Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.
Dijeljenje razlomaka koji uključuju prirodne brojeve.
Nije tako strašno kao što se čini. Kao iu slučaju sabiranja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:
Množenje mješovitih razlomaka.
Pravila za množenje razlomaka (mješovito):
- pretvoriti miješane razlomke u nepravilne razlomke;
- množenje brojilaca i nazivnika razlomaka;
- smanjiti frakciju;
- Ako dobijete nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti razlomak.
Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate pretvoriti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.
Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.
Možda je zgodnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.
Bilješka! Da pomnožite razlomak sa prirodni broj Potrebno je podijeliti imenilac razlomka ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.
Iz gore navedenog primjera jasno je da je ovu opciju pogodnije koristiti kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.
Višespratni razlomci.
U srednjoj školi često se susreću trospratni (ili više) razlomci. primjer:
Da biste takav razlomak doveli u uobičajeni oblik, koristite podjelu na 2 točke:
Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.
Bilješka, Na primjer:
Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:
Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:
1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je da napišete nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego da se izgubite u mentalnim proračunima.
2. U zadacima sa različite vrste razlomci - idite na oblik običnih razlomaka.
3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.
4. Razlomke na više nivoa transformiramo u obične pomoću dijeljenja na 2 tačke.
5. Podijelite jedinicu s razlomkom u svojoj glavi, jednostavno okrećući razlomak.
Radnje sa razlomcima. U ovom članku ćemo pogledati primjere, sve detaljno s objašnjenjima. Razmotrit ćemo obične razlomke. Kasnije ćemo pogledati decimale. Preporučujem da pogledate cijelu stvar i da je proučavate uzastopno.
1. Zbir razlomaka, razlika razlomaka.
Pravilo: kada se sabiraju razlomci sa jednakim nazivnicima, rezultat je razlomak - čiji nazivnik ostaje isti, a njegov brojilac će biti jednak zbroju brojnika razlomaka.
Pravilo: pri izračunavanju razlike razlomaka sa istim nazivnicima dobijamo razlomak - imenilac ostaje isti, a brojnik drugog se oduzima od brojnika prvog razlomka.
Formalni zapis za zbir i razliku razlomaka sa jednakim nazivnicima:
Primjeri (1):
Jasno je da kada se daju obični razlomci, onda je sve jednostavno, ali šta ako se pomiješaju? Ništa komplikovano...
Opcija 1– možete ih pretvoriti u obične i onda ih izračunati.
Opcija 2– možete “raditi” odvojeno sa cijelim i razlomkom.
Primjeri (2):
Više:
Šta ako je data razlika dva mješovita razlomka i brojnik prvog razlomka je manji od brojnika drugog? Također možete djelovati na dva načina.
Primjeri (3):
*Preračunati u obične razlomke, izračunati razliku, pretvoriti rezultirajući nepravilni razlomak u mješoviti razlomak.
*Razdijelili smo ga na cjelobrojne i razlomke, dobili trojku, zatim predstavili 3 kao zbir 2 i 1, s jednim predstavljenim kao 11/11, zatim pronašli razliku između 11/11 i 7/11 i izračunali rezultat . Smisao gornjih transformacija je da uzmemo (odaberemo) jedinicu i predstavimo je u obliku razlomka sa nazivnikom koji nam je potreban, a onda od ovog razlomka možemo oduzeti drugu.
Drugi primjer:
Zaključak: postoji univerzalni pristup - da bi se izračunao zbir (razlika) mješovitih razlomaka s jednakim nazivnicima, oni se uvijek mogu pretvoriti u nepravilne, a zatim izvesti neophodna akcija. Nakon toga, ako je rezultat nepravilan razlomak, pretvaramo ga u mješoviti razlomak.
Gore smo pogledali primjere sa razlomcima koji imaju jednake nazivnike. Šta ako su imenioci različiti? U ovom slučaju, razlomci se svode na isti nazivnik i izvodi se navedena radnja. Za promjenu (transformaciju) razlomka koristi se osnovno svojstvo razlomka.
Pogledajmo jednostavne primjere:
U ovim primjerima odmah vidimo kako se jedan od razlomaka može transformirati da dobijemo jednake nazivnike.
Ako odredimo načine za smanjenje razlomaka na isti nazivnik, onda ćemo ovaj nazvati METODA PRVA.
Odnosno, odmah kada "procjenjujete" razlomak, morate shvatiti da li će ovaj pristup funkcionirati - provjeravamo da li je veći imenilac djeljiv manjim. A ako je djeljiv, onda vršimo transformaciju - množimo brojnik i imenilac tako da imenioci oba razlomka postanu jednaki.
Sada pogledajte ove primjere:
Ovaj pristup nije primjenjiv na njih. Postoje i načini za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik; hajde da ih razmotrimo.
Metoda DVA.
Pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka sa imeniocem drugog, a brojnik i imenilac drugog razlomka sa imeniocem prvog:
*U stvari, smanjujemo razlomke da se formiraju kada imenioci postanu jednaki. Zatim koristimo pravilo za sabiranje razlomaka s jednakim nazivnicima.
primjer:
*Ova metoda se može nazvati univerzalnom i uvijek radi. Jedina mana je to što nakon izračunavanja možete završiti s razlomkom koji ćete morati dodatno smanjiti.
Pogledajmo primjer:
Vidi se da su brojilac i imenilac djeljivi sa 5:
Metoda TREĆA.
Morate pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika. Ovo će biti zajednički imenitelj. Kakav je ovo broj? Ovo je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svakim od brojeva.
Vidite, evo dva broja: 3 i 4, ima mnogo brojeva koji su djeljivi sa njima - to su 12, 24, 36, ... Najmanji od njih je 12. Ili 6 i 15, oni su djeljivi sa 30, 60, 90 .... Najmanje je 30. Pitanje je - kako odrediti ovaj najmanji zajednički višekratnik?
Postoji jasan algoritam, ali često se to može učiniti odmah bez kalkulacija. Na primjer, prema gornjim primjerima (3 i 4, 6 i 15) nije potreban algoritam, uzeli smo velike brojeve (4 i 15), udvostručili ih i vidjeli da su djeljivi sa drugim brojem, ali parovi brojeva mogu bili drugi, na primjer 51 i 119.
Algoritam. Da biste odredili najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate:
- rastaviti svaki broj na JEDNOSTAVNE faktore
— zapišite razlaganje VEĆEG od njih
- pomnožite ga sa faktorima koji nedostaju drugih brojeva
Pogledajmo primjere:
50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
u raspadanju više jedna petica nedostaje
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
u proširenju većeg broja dva i tri nedostaju
=> LCM(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Najmanji zajednički višekratnik dvaju prostih brojeva je njihov proizvod
Pitanje! Zašto je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika korisno, budući da možete koristiti drugu metodu i jednostavno smanjiti rezultujući razlomak? Da, moguće je, ali nije uvijek zgodno. Pogledajte nazivnik za brojeve 48 i 72 ako ih jednostavno pomnožite 48∙72 = 3456. Složićete se da je prijatnije raditi sa manjim brojevima.
Pogledajmo primjere:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
proširenju većeg broja nedostaje trojka
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Sada koristimo prvu metodu:
*Pogledajte razliku u proračunima, u prvom slučaju ih ima minimalno, ali u drugom morate posebno raditi na komadu papira, pa čak i razlomak koji ste dobili treba smanjiti. Pronalaženje LOC-a značajno pojednostavljuje posao.
Više primjera:
*U drugom primjeru je jasno da je najmanji broj koji je djeljiv sa 40 i 60 120.
REZULTAT! OPŠTI RAČUNARSKI ALGORITAM!
— razlomke svodimo na obične ako postoji cijeli broj.
- razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika (prvo gledamo da li je jedan imenilac djeljiv drugim; ako je djeljiv, onda množimo brojnik i imenilac ovog drugog razlomka; ako nije djeljiv, postupamo drugim metodama gore navedeno).
- Nakon što smo dobili razlomke sa jednakim nazivnicima, izvodimo operacije (sabiranje, oduzimanje).
- ako je potrebno, smanjujemo rezultat.
- ako je potrebno, odaberite cijeli dio.
2. Proizvod frakcija.
Pravilo je jednostavno. Kada se množe razlomci, množe se njihovi brojnici i imenioci:
primjeri:
U ovom članku, nastavnik matematike i fizike govori o tome kako izvoditi osnovne operacije obične frakcije: sabiranje i oduzimanje, množenje i dijeljenje. Naučite kako mješoviti broj predstaviti kao nepravilan razlomak i obrnuto, kao i kako smanjiti razlomke.
Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka
Podsjetimo to imenilac razlomak je broj koji je odozdo, A brojilac- broj koji se nalazi gore od razlomka. Na primjer, u razlomku je broj brojnik, a broj imenilac.
Zajednički imenilac je najmanji mogući broj koji je djeljiv i sa nazivnikom prvog razlomka i sa nazivnikom drugog razlomka.
Primjer 1. Dodajte dva razlomka: .
Koristimo gore opisani algoritam:
1) Najmanji broj, koji je djeljiv i sa nazivnikom prvog razlomka i nazivnikom drugog razlomka, jednako je . Ovaj broj će biti zajednički imenilac. Sada morate dovesti oba razlomka na zajednički nazivnik.
2) Dodajte dobijene razlomke: 
.
Množenje običnih razlomaka
Drugim riječima, za sve realne brojeve , , , , vrijedi sljedeća jednakost:
Primjer 2. Pomnožite razlomke: .
Da bismo riješili ovaj problem, koristimo formulu prikazanu gore: 
.
Dijeljenje razlomaka
Drugim riječima, za sve realne brojeve , , , , , vrijedi sljedeća jednakost:
Primjer 3. Podijelite razlomke: .
Za rješavanje ovog problema koristimo gornju formulu: 
.
Predstavljanje mješovitog broja kao nepravilan razlomak
Hajde da sada shvatimo šta učiniti ako trebate izvršiti bilo koju operaciju s razlomcima predstavljenim u obliku mješovitih brojeva. U ovom slučaju, prvo morate predstaviti mješovite brojeve kao nepravilne razlomke, a zatim izvršiti potrebnu operaciju.
Podsjetimo to pogrešno Poziva se razlomak čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku.
Podsjetimo također da mješoviti broj ima frakcija I cijeli dio. Na primjer, mješoviti broj ima razlomački dio jednak , a cijeli broj jednak .
Primjer 4. Izrazite mješoviti broj kao nepravilan razlomak.
Koristimo algoritam predstavljen gore: 
.
Primjer 5. Predstavite nepravilan razlomak kao mješoviti broj.
Detetu je teško razumeti frakcione izraze. Većina ljudi ima poteškoća sa. Prilikom proučavanja teme "sabiranje razlomaka sa cijelim brojevima", dijete pada u stupor, jer mu je teško riješiti problem. U mnogim primjerima, prije izvođenja radnje, mora se izvršiti niz proračuna. Na primjer, pretvoriti razlomke ili pretvoriti nepravilan razlomak u pravilan razlomak.
Objasnimo to djetetu jasno. Uzmimo tri jabuke, od kojih će dvije biti cijele, a treću iseći na 4 dijela. Od isečene jabuke odvojite jednu krišku, a preostale tri stavite pored dva cela voća. Dobijamo ¼ jabuke sa jedne strane i 2 ¾ sa druge strane. Ako ih spojimo, dobićemo tri jabuke. Pokušajmo smanjiti 2 ¾ jabuke za ¼, odnosno ukloniti još jednu krišku, dobićemo 2 2/4 jabuke.
Pogledajmo bliže operacije s razlomcima koji sadrže cijele brojeve:
Prvo, prisjetimo se pravila izračuna za razlomke sa zajedničkim nazivnikom:
Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali ovo se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju konverziju.
Kako pronaći vrijednost izraza gdje su nazivnici različiti
U nekim zadacima morate pronaći značenje izraza gdje su nazivnici različiti. Pogledajmo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3
Nađimo vrijednost ovog izraza tako što ćemo pronaći zajednički nazivnik za dva razlomka.
Za brojeve 7 i 3, ovo je 21. Cjelobrojne dijelove ostavljamo istim, a razlomke dovodimo do 21, za to množimo prvi razlomak sa 3, drugi sa 7, dobijamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da se cijeli dijelovi ne mogu pretvoriti. Kao rezultat, dobijamo dva razlomka sa istim nazivnikom i izračunavamo njihov zbir:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Šta ako je rezultat zbrajanja nepravilan razlomak koji već ima cijeli broj:
2 1/3+3 2/3
IN u ovom slučaju Zbrojimo cijele dijelove i razlomke, dobijemo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, što znači 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Pronalaženje zbira je jasno, pogledajmo oduzimanje:
Iz svega rečenog slijedi pravilo za operacije s mješovitim brojevima:
- Ako trebate oduzeti cijeli broj od frakcijskog izraza, ne morate drugi broj predstaviti kao razlomak, dovoljno je izvršiti operaciju samo nad cijelim dijelovima.
Pokušajmo sami izračunati značenje izraza:
Pogledajmo pobliže primjer ispod slova "m":
4 5/11-2 8/11, brojilac prvog razlomka je manji od drugog. Da bismo to učinili, pozajmimo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobijemo,
3 5/11+11/11=3 cijeli 16/11, oduzmi drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11
- Budite oprezni prilikom dovršavanja zadatka, ne zaboravite pretvoriti nepravilne razlomke u mješovite razlomke, naglašavajući cijeli dio. Da biste to učinili, trebate podijeliti vrijednost brojila s vrijednošću nazivnika, tada ono što se događa zauzima mjesto cijelog dijela, ostatak će biti brojilac, na primjer:
19/4=4 ¾, provjerimo: 4*4+3=19, nazivnik 4 ostaje nepromijenjen.
rezimirati:
Prije započinjanja zadatka koji se odnosi na razlomke, potrebno je analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije treba izvršiti na razlomku da bi rješenje bilo ispravno. Potražite racionalnije rješenje. Ne idi težim putem. Planirajte sve radnje, riješite ih prvo u obliku nacrta, a zatim ih prenesite u svoju školsku svesku.
Da biste izbjegli zabunu prilikom rješavanja frakcijskih izraza, morate slijediti pravilo konzistentnosti. O svemu odlučite pažljivo, bez žurbe.
Učitavanje...