iracionalan broj- ovo pravi broj, koji nije racionalan, odnosno ne može se predstaviti kao razlomak, gdje su cijeli brojevi, . Iracionalni broj se može predstaviti kao beskonačna decimala koja se ne ponavlja.
Skup iracionalnih brojeva obično se označava velikim latiničnim slovom podebljanim bez senčenja. Dakle: , tj. skup iracionalnih brojeva je razlika skupova realnih i racionalnih brojeva.
O postojanju iracionalnih brojeva, tačnije segmente koji su neuporedivi sa segmentom jedinične dužine, poznavali su već stari matematičari: poznavali su, na primer, nesamerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.
Svojstva
- Svaki realan broj može se zapisati kao beskonačan decimalni razlomak, dok se iracionalni brojevi i samo oni zapisuju kao neperiodični beskonačni decimalni razlomci.
- Iracionalni brojevi definiraju Dedekindove rezove u skupu racionalnih brojeva koji nemaju najveći broj u nižoj klasi niti najmanji broj u višoj.
- Svaki pravi transcendentalni broj je iracionalan.
- Svaki iracionalni broj je ili algebarski ili transcendentalan.
- Skup iracionalnih brojeva je svuda gust na realnoj liniji: između bilo koja dva broja nalazi se iracionalan broj.
- Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfan redu na skupu realnih transcendentalnih brojeva.
- Skup iracionalnih brojeva je nebrojiv, skup je druge kategorije.
Primjeri
| Iracionalni brojevi - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Iracionalni su:
Primjeri dokaza iracionalnosti
Koren od 2
Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao nesvodljivi razlomak, gdje je cijeli broj i prirodan broj. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:
.Iz ovoga slijedi da je čak, dakle, čak i . Neka gdje cijeli. Onda
Stoga, čak, dakle, čak i . Dobili smo da su i parni, što je u suprotnosti sa nesvodljivošću razlomka . Dakle, prvobitna pretpostavka je bila pogrešna i predstavlja iracionalan broj.
Binarni logaritam broja 3
Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se uzeti pozitivno. Onda
Ali jasno je, čudno je. Dobijamo kontradikciju.
e
istorija
Koncept iracionalnih brojeva su implicitno usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750. pne - oko 690. pre nove ere) otkrio da se kvadratni koreni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti.
Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. godine prije Krista), pitagorejcu koji je pronašao ovaj dokaz proučavajući dužine stranica pentagrama. U doba Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica dužine, jer pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. On je pokazao da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trougla sadrži cijeli broj jediničnih segmenata, onda taj broj mora biti i paran i neparan u isto vrijeme. Dokaz je izgledao ovako:
- Omjer dužine hipotenuze i dužine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, gdje a I b odabrana kao najmanja moguća.
- Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
- Jer a² čak, a mora biti paran (pošto bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
- Ukoliko a:b nesvodivo b mora biti čudno.
- Jer ačak, označiti a = 2y.
- Onda a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², dakle b je paran onda bčak.
- Međutim, to je i dokazano b odd. Kontradikcija.
Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipasu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.
Iracionalni brojevi poznati su ljudima od davnina. Nekoliko stoljeća prije naše ere, indijski matematičar Manava je otkrio da se kvadratni korijeni nekih brojeva (na primjer, 2) ne mogu eksplicitno izraziti.
Ovaj članak je svojevrsna uvodna lekcija u temu "Iracionalni brojevi". Dat ćemo definiciju i primjere iracionalnih brojeva s objašnjenjem, a također ćemo saznati kako odrediti da li je dati broj iracionalan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Iracionalni brojevi. Definicija
Čini se da nam sam naziv "iracionalni brojevi" sugerira definiciju. Iracionalan broj je realan broj koji nije racionalan. Drugim riječima, takav broj se ne može predstaviti kao razlomak m n , gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj.
Definicija. Iracionalni brojevi
Iracionalni brojevi su oni brojevi koji su, u decimalnom zapisu, beskonačni decimalni razlomci koji se ne ponavljaju.
Iracionalni broj se može predstaviti kao beskonačan neperiodični razlomak. Skup iracionalnih brojeva je označen sa $I$ i jednak je: $I=R / Q$ .
Na primjer. Iracionalni brojevi su:
Operacije nad iracionalnim brojevima
Na skup iracionalnih brojeva mogu se uvesti četiri osnovne aritmetičke operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje; ali ni za jednu od navedenih operacija skup iracionalnih brojeva nema svojstvo zatvaranja. Na primjer, zbir dva iracionalna broja može biti racionalan broj.
Na primjer. Pronađite zbir dva iracionalna broja $0,1010010001 \ldots$ i $0,0101101110 \ldots$. Prvi od ovih brojeva formiran je nizom jedinica, odvojenih jednom nulom, dvije nule, tri nule, itd., Drugi - nizom nula, između kojih jedna, dvije jedinice, tri jedinice itd. nalaze se:
$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Dakle, zbir dva data iracionalna broja je broj $\frac(1)(9)$, koji je racionalan.
Primjer
Zadatak. Dokažite da je broj $\sqrt(3)$ iracionalan.
Dokaz. Koristićemo metodu dokazivanja kontradikcijom. Pretpostavimo da je $\sqrt(3)$ racionalan broj, odnosno da se može predstaviti kao razlomak $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , gdje su $m$ i $n$ koprosti prirodni brojevi brojevi.
Kvadiramo obje strane jednakosti, dobivamo
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Broj 3$\cdot n^(2)$ je djeljiv sa 3. Dakle, $m^(2)$ i stoga je $m$ djeljiv sa 3. Stavljanjem $m=3 \cdot k$, jednakost $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ može se napisati kao
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Iz posljednje jednakosti slijedi da su $n^(2)$ i $n$ djeljivi sa 3, pa se razlomak $\frac(m)(n)$ može smanjiti za 3. Ali prema pretpostavci, razlomak $\ frac(m)(n)$ je nesvodiv. Dobivena kontradikcija dokazuje da se broj $\sqrt(3)$ ne može predstaviti kao razlomak $\frac(m)(n)$ i stoga je iracionalan.
Q.E.D.
Svi racionalni brojevi se mogu predstaviti kao obični razlomak. Ovo se odnosi na cijele brojeve (na primjer, 12, -6, 0), i završne decimalne razlomke (na primjer, 0,5; -3,8921) i beskonačne periodične decimalne razlomke (na primjer, 0,11(23); -3 ,(87) )).
ali beskonačne neponavljajuće decimale ne mogu se predstaviti kao obični razlomci. To su oni iracionalni brojevi(tj. iracionalno). Primjer takvog broja je π, koji je približno jednak 3,14. Međutim, ne može se utvrditi čemu je on tačno jednak, jer nakon broja 4 postoji beskonačan niz drugih brojeva u kojima se periodi koji se ponavljaju ne mogu razlikovati. Istovremeno, iako se broj π ne može tačno izraziti, on ima specifično geometrijsko značenje. Broj π je omjer dužine bilo kojeg kruga i dužine njegovog prečnika. Dakle, iracionalni brojevi postoje u prirodi, kao i racionalni brojevi.
Drugi primjer iracionalnih brojeva su kvadratni korijeni pozitivnih brojeva. Izdvajanje korijena iz nekih brojeva daje racionalne vrijednosti, iz drugih - iracionalne. Na primjer, √4 = 2, tj. korijen od 4 je racionalan broj. Ali √2, √5, √7 i mnogi drugi rezultiraju iracionalnim brojevima, odnosno mogu se izdvojiti samo uz aproksimaciju, zaokruženu na određeno decimalno mjesto. U ovom slučaju, razlomak se dobija neperiodično. Odnosno, nemoguće je tačno i definitivno reći šta je koren ovih brojeva.
Dakle, √5 je broj između 2 i 3, budući da je √4 = 2, a √9 = 3. Takođe možemo zaključiti da je √5 bliži 2 nego 3, jer je √4 bliži √5 nego √9 do √5. Zaista, √5 ≈ 2,23 ili √5 ≈ 2,24.
Iracionalni brojevi se dobijaju i u drugim proračunima (i to ne samo kod vađenja korena), oni su negativni.
U odnosu na iracionalne brojeve, možemo reći da bez obzira koji jedinični segment uzmemo za mjerenje dužine izražene takvim brojem, ne možemo je definitivno izmjeriti.
U aritmetičkim operacijama iracionalni brojevi mogu učestvovati zajedno s racionalnim. Istovremeno, postoji niz pravilnosti. Na primjer, ako su samo racionalni brojevi uključeni u aritmetičku operaciju, tada je rezultat uvijek racionalan broj. Ako u operaciji učestvuju samo iracionalni, onda je nemoguće nedvosmisleno reći hoće li ispasti racionalni ili iracionalni broj.
Na primjer, ako pomnožite dva iracionalna broja √2 * √2, dobićete 2 - ovo je racionalan broj. S druge strane, √2 * √3 = √6 je iracionalan broj.
Ako aritmetička operacija uključuje racionalan i iracionalan broj, onda će se dobiti iracionalan rezultat. Na primjer, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.
Zašto je √17 - 4 iracionalan broj? Zamislite da dobijete racionalan broj x. Tada je √17 = x + 4. Ali x + 4 je racionalan broj, jer smo pretpostavili da je x racionalan. Broj 4 je također racionalan, pa je x + 4 racionalan. Međutim, racionalni broj ne može biti jednak iracionalnom √17. Stoga je pretpostavka da √17 - 4 daje racionalan rezultat netačna. Rezultat aritmetičke operacije će biti iracionalan.
Međutim, postoji izuzetak od ovog pravila. Ako pomnožimo iracionalan broj sa 0, dobićemo racionalni broj 0.
Definicija iracionalnog broja
Iracionalni brojevi su oni brojevi koji su, u decimalnom zapisu, beskonačni neperiodični decimalni razlomci.
Tako, na primjer, brojevi dobiveni uzimanjem kvadratnog korijena prirodnih brojeva su iracionalni i nisu kvadrati prirodnih brojeva. Ali ne dobijaju se svi iracionalni brojevi vađenjem kvadratnog korijena, jer je broj "pi" dobiven dijeljenjem također iracionalan, i malo je vjerovatno da ćete ga dobiti kada pokušate izvući kvadratni korijen iz prirodnog broja.
Svojstva iracionalnih brojeva
Za razliku od brojeva napisanih u beskonačnim decimalnim razlomcima, samo iracionalni brojevi se zapisuju u neperiodične beskonačne decimalne razlomke.
Zbir dva nenegativna iracionalna broja može na kraju biti racionalan broj.
Iracionalni brojevi definišu Dedekindove sekcije u skupu racionalnih brojeva, u čijoj nižoj klasi nema najvećeg, a u višoj klasi nema nižeg.
Svaki pravi transcendentalni broj je iracionalan.
Svi iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentalni.
Skup iracionalnih brojeva na liniji je gusto zbijen, a između bilo koja dva njegova broja mora postojati iracionalni broj.
Skup iracionalnih brojeva je beskonačan, nebrojiv i skup je 2. kategorije.
Prilikom izvođenja bilo koje aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima, osim dijeljenja sa 0, rezultat će biti racionalan broj.
Prilikom dodavanja racionalnog broja iracionalnom broju, rezultat je uvijek iracionalan broj.
Prilikom sabiranja iracionalnih brojeva, kao rezultat možemo dobiti racionalni broj.
Skup iracionalnih brojeva nije paran.
Brojevi nisu iracionalni
Ponekad je prilično teško odgovoriti na pitanje da li je broj iracionalan, posebno u slučajevima kada je broj u obliku decimalnog razlomka ili u obliku brojčanog izraza, korijena ili logaritma.
Stoga neće biti suvišno znati koji brojevi nisu iracionalni. Ako slijedimo definiciju iracionalnih brojeva, tada već znamo da racionalni brojevi ne mogu biti iracionalni.
Iracionalni brojevi nisu:
Prvo, svi prirodni brojevi;
Drugo, cijeli brojevi;
Treće, obični razlomci;
Četvrto, različiti mješoviti brojevi;
Peto, ovo su beskonačni periodični decimalni razlomci.
Pored svega navedenog, bilo koja kombinacija racionalnih brojeva koju izvode znaci aritmetičkih operacija, kao što su +, -, , :, ne može biti iracionalan broj, jer će u ovom slučaju i rezultat dva racionalna broja biti racionalan broj.
Sada da vidimo koji su brojevi iracionalni:
Znate li za postojanje kluba obožavatelja u kojem obožavatelji ovog misterioznog matematičkog fenomena traže sve više informacija o Pi, pokušavajući da razotkriju njegovu misteriju. Članom ovog kluba može postati svaka osoba koja zna napamet određeni broj Pi brojeva nakon decimalnog zareza;
Da li ste znali da u Njemačkoj, pod zaštitom UNESCO-a, postoji palača Castadel Monte, zahvaljujući čijim proporcijama možete izračunati Pi. Ovom broju je kralj Fridrik II posvetio čitavu palatu.
Ispostavilo se da su pokušali da koriste broj Pi u izgradnji Vavilonske kule. Ali, na našu veliku žalost, to je dovelo do propasti projekta, jer u to vrijeme tačan proračun vrijednosti Pi nije bio dovoljno proučen.
Pevačica Kejt Buš na svom novom disku snimila je pesmu pod nazivom "Pi", u kojoj je zvučalo sto dvadeset četiri broja iz čuvene serije brojeva 3, 141 ... ..
Učitavanje...