Juba mõnda aega on TheBatis (pole selge, mis põhjusel) SSL-i sisseehitatud sertifikaatide andmebaas lakanud õigesti töötamast.

Postituse kontrollimisel ilmub tõrge:

Tundmatu CA-sertifikaat
Server ei esitanud seansil juursertifikaati ja aadressiraamatust vastavat juursertifikaati ei leitud.
See seos ei saa olla salajane. Palun
võtke ühendust oma serveri administraatoriga.

Ja sellele pakutakse vastuste valikut – JAH / EI. Ja nii iga kord, kui postitad.

Lahendus

Sel juhul peate TheBatis asendama S/MIME ja TLS juurutusstandardi Microsoft CryptoAPI-ga!

Kuna mul oli vaja kõik failid üheks liita, teisendasin esmalt kõik doc-failid üheks pdf-failiks (kasutades programmi Acrobat) ja seejärel teisaldasin selle võrgukonverteri kaudu fb2-sse. Saate faile ka eraldi teisendada. Vormingud võivad olla absoluutselt mis tahes (allikas) ja doc ja jpg ja isegi zip-arhiiv!

Saidi nimi vastab olemusele:) Online Photoshop.

Värskendus mai 2015

Leidsin veel ühe suurepärase saidi! Veelgi mugavam ja funktsionaalsem täiesti suvalise kollaaži loomiseks! See sait on http://www.fotor.com/ru/collage/. Kasutada tervisele. Ja ma kasutan seda ise.

Elus silmitsi elektripliitide remondiga. Ma tegin juba palju asju, õppisin palju, kuid millegipärast oli mul plaatidega vähe pistmist. Vajalik oli regulaatorite ja põletite kontaktid vahetada. Tekkis küsimus - kuidas määrata elektripliidi põleti läbimõõtu?

Vastus osutus lihtsaks. Pole vaja midagi mõõta, saab rahulikult silma järgi määrata, mis suurust vajad.

Väikseim põleti on 145 millimeetrit (14,5 sentimeetrit)

Keskmine põleti on 180 millimeetrit (18 sentimeetrit).

Ja lõpuks kõige rohkem suur põleti on 225 millimeetrit (22,5 sentimeetrit).

Piisab, kui määrata suurus silma järgi ja mõista, millise läbimõõduga põletit vajate. Kui ma seda ei teadnud, hüppasin nende suurustega, ma ei teadnud, kuidas mõõta, millises servas liikuda jne. Nüüd olen targaks :) Loodan, et see aitas ka sind!

Oma elus puutusin kokku sellise probleemiga. Ma arvan, et ma pole ainuke.

Kui ülesandes on vaja läbi viia funktsiooni f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 täielik uuring selle graafiku koostamisel, siis kaalume seda põhimõtet üksikasjalikult.

Seda tüüpi ülesande lahendamiseks tuleks kasutada põhiliste elementaarfunktsioonide omadusi ja graafikuid. Uurimisalgoritm sisaldab järgmisi samme:

Määratluspiirkonna leidmine

Kuna uuringuid tehakse funktsiooni valdkonna kohta, on vaja alustada sellest sammust.

Näide 1

Antud näide hõlmab nimetaja nullide leidmist, et need DPV-st välja jätta.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Selle tulemusena saate juured, logaritmid jne. Siis saab ODZ-st otsida tüübi g (x) 4 paarisastme juurt võrratusega g (x) ≥ 0 , logaritmi log a g (x) võrratuse järgi g (x) > 0 .

ODZ piiride uurimine ja vertikaalsete asümptootide leidmine

Funktsiooni piiridel on vertikaalsed asümptoodid, kui ühepoolsed piirid sellistes punktides on lõpmatud.

Näide 2

Näiteks võtame piiripunktid, mis on võrdsed x = ± 1 2 .

Siis on vaja uurida funktsiooni ühepoolse piiri leidmiseks. Siis saame, et: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = piir x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = piir x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = piir x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = piir x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

See näitab, et ühepoolsed piirid on lõpmatud, mis tähendab, et jooned x = ± 1 2 on graafiku vertikaalsed asümptoodid.

Funktsiooni ja paaris või paaritu uurimine

Kui tingimus y (- x) = y (x) on täidetud, loetakse funktsioon paarisarvuliseks. See viitab sellele, et graafik asub sümmeetriliselt O y suhtes. Kui tingimus y (- x) = - y (x) on täidetud, loetakse funktsioon paarituks. See tähendab, et sümmeetria läheb koordinaatide alguspunkti suhtes. Kui vähemalt üks võrratus ebaõnnestub, saame üldvormi funktsiooni.

Võrdsuse y (- x) = y (x) täitumine näitab, et funktsioon on paaris. Ehitamisel tuleb arvestada, et O y suhtes tekib sümmeetria.

Ebavõrdsuse lahendamiseks kasutatakse suurenemise ja kahanemise intervalle vastavalt tingimustele f "(x) ≥ 0 ja f" (x) ≤ 0.

Definitsioon 1

Statsionaarsed punktid on punktid, mis muudavad tuletise nulliks.

Kriitilised punktid on domeeni sisemised punktid, kus funktsiooni tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.

Otsuse tegemisel tuleks arvestada järgmiste punktidega:

kuju f "(x) > 0 ebavõrdsuse olemasolevate suurenemise ja kahanemise intervallide puhul kriitilisi punkte lahendusse ei arvestata;
punktid, kus funktsioon on määratletud ilma lõpliku tuletiseta, tuleb lisada suurenemise ja kahanemise intervallidesse (näiteks y \u003d x 3, kus punkt x \u003d 0 määrab funktsiooni, tuletis on lõpmatuse väärtusega siinkohal on y "\u003d 1 3 x 2 3, y" (0) = 1 0 = ∞, x = 0 sisaldub suurendamise intervallis);
lahkarvamuste vältimiseks on soovitatav kasutada matemaatilist kirjandust, mida soovitab Haridusministeerium.

Kriitiliste punktide kaasamine suurenemise ja kahanemise intervallidesse juhul, kui need vastavad funktsiooni valdkonnale.

2. definitsioon

Sest funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide määramisel on vaja leida:

tuletis;
kriitilised punktid;
murda kriitiliste punktide abil definitsioonipiirkond intervallideks;
määrake tuletise märk igal intervallil, kus + on kasv ja - on vähenemine.

Näide 3

Leidke domeeni f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) tuletis. 2 .

Lahendus

Lahendamiseks vajate:

leidke statsionaarsed punktid, selles näites on x = 0 ;
leidke nimetaja nullid, näide võtab väärtuseks null x = ± 1 2 .

Iga intervalli tuletise määramiseks paljastame numbriteljel olevad punktid. Selleks piisab, kui võtta intervallist suvaline punkt ja teha arvutus. Kui tulemus on positiivne, joonistame graafikule +, mis tähendab funktsiooni suurenemist ja - selle vähenemist.

Näiteks f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, mis tähendab, et esimesel vasakpoolsel intervallil on + märk. Mõelge numbrile rida.

Vastus:

intervallil - ∞ on funktsiooni kasv; - 1 2 ja (- 1 2 ; 0 ] ;
intervallil on vähenemine [0; 1 2) ja 1 2; +∞ .

Diagrammil on + ja - abil kujutatud funktsiooni positiivsus ja negatiivsus ning nooled näitavad vähenemist ja suurenemist.

Funktsiooni äärmuspunktid on punktid, kus funktsioon on defineeritud ja mille kaudu tuletis märki muudab.

Näide 4

Kui võtta arvesse näidet, kus x \u003d 0, siis on selles oleva funktsiooni väärtus f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kui tuletise märk muutub +-st - ja läbib punkti x \u003d 0, siis loetakse punkti koordinaatidega (0; 0) maksimumpunktiks. Märgi muutmisel - asemel +, saame miinimumpunkti.

Kumerus ja nõgusus määratakse, lahendades võrratused kujul f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0 . Harvemini kasutavad nad nõgususe asemel nimetust kumer allapoole ja punni asemel ülespoole.

3. määratlus

Sest nõgususe ja kumeruse vahede määramine vajalik:

leida teine tuletis;
leida teise tuletise funktsiooni nullpunktid;
murda definitsioonipiirkond intervallideks ilmuvate punktide kaupa;
määrake lõhe märk.

Näide 5

Leia definitsioonipiirkonnast teine tuletis.

Lahendus

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Leiame lugeja ja nimetaja nullid, kus meie näitel saame, et nimetaja nullid x = ± 1 2

Nüüd peate arvujoonele panema punktid ja määrama iga intervalli teise tuletise märgi. Me saame sellest aru

Vastus:

funktsioon on kumer vahemikust - 1 2 ; 12;
funktsioon on lünkadest nõgus - ∞ ; - 1 2 ja 1 2 ; +∞ .

4. määratlus

pöördepunkt on punkt kujul x 0 ; f(x0) . Kui tal on funktsiooni graafiku puutuja, siis kui see läbib x 0, muudab funktsioon märgi vastupidiseks.

Teisisõnu, see on selline punkt, mille teine tuletis läbib ja muudab märki ning punktides ise on võrdne nulliga või seda pole olemas. Kõik punktid loetakse funktsiooni valdkonnaks.

Näites oli näha, et käändepunkte pole, kuna teine tuletis muudab märki läbides punkte x = ± 1 2 . Need omakorda ei kuulu määratlusvaldkonda.

Horisontaalsete ja kaldu asümptootide leidmine

Funktsiooni defineerimisel lõpmatuses tuleb otsida horisontaalseid ja kaldu asümptoote.

Definitsioon 5

Kaldus asümptoodid joonestatakse võrrandiga y = k x + b antud sirgeid kasutades, kus k = lim x → ∞ f (x) x ja b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Kui k = 0 ja b ei ole võrdne lõpmatusega, leiame, et kaldus asümptoot muutub horisontaalne.

Teisisõnu, asümptoodid on jooned, millele funktsiooni graafik läheneb lõpmatuses. See aitab kaasa funktsiooni graafiku kiirele koostamisele.

Kui asümptoote pole, kuid funktsioon on defineeritud mõlemas lõpmatuses, on vaja arvutada funktsiooni piir nendes lõpmatustes, et mõista, kuidas funktsiooni graafik käitub.

Näide 6

Näiteks kaaluge seda

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

on horisontaalne asümptoot. Pärast funktsiooni uurimist võite alustada selle ehitamist.

Funktsiooni väärtuse arvutamine vahepunktides

Graafiku kõige täpsemaks muutmiseks on soovitatav vahepunktides leida mitu funktsiooni väärtust.

Näide 7

Vaatletud näitest on vaja leida funktsiooni väärtused punktides x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Kuna funktsioon on paaris, saame, et väärtused langevad kokku nende punktide väärtustega, see tähendab, et saame x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Kirjutame ja lahendame:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Funktsiooni maksimumide ja miinimumide, käändepunktide, vahepunktide määramiseks on vaja ehitada asümptoote. Mugavaks tähistamiseks on fikseeritud suurenemise, vähenemise, kumeruse, nõgususe intervallid. Mõelge allolevale joonisele.

Läbi märgitud punktide on vaja tõmmata graafiku jooned, mis võimaldavad nooli järgides asümptootidele lähemale jõuda.

Sellega on funktsiooni täielik uurimine lõpetatud. Mõne elementaarfunktsiooni konstrueerimisel on juhtumeid, mille jaoks kasutatakse geomeetrilisi teisendusi.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Kuidas uurida funktsiooni ja koostada selle graafik?

Näib, et hakkan mõistma maailma proletariaadi juhi, 55 köites kogutud teoste autori hingelist palet .... Pikk teekond algas elementaarse teabega funktsioonid ja graafikud, ja nüüd lõpeb töö vaevarikka teemaga loomuliku tulemusega – artikliga funktsiooni täieliku uuringu kohta. Kauaoodatud ülesanne on sõnastatud järgmiselt:

Uurige funktsiooni diferentsiaalarvutuse meetoditega ja koostage uuringu tulemuste põhjal selle graafik

Või lühidalt: uurige funktsiooni ja joonistage see.

Miks uurida? Lihtsatel juhtudel pole meil elementaarsete funktsioonide käsitlemine keeruline, joonistage kasutades saadud graafik elementaarsed geomeetrilised teisendused jne. Keerulisemate funktsioonide omadused ja graafilised esitused pole aga kaugeltki ilmselged, mistõttu on vaja tervet uuringut.

Lahenduse põhietapid on kokku võetud võrdlusmaterjalis Funktsiooniuuringute skeem, see on teie jaotise juhend. Mannekeenid vajavad teema samm-sammult selgitamist, osa lugejaid ei tea, kust alustada ja kuidas õppetööd korraldada ning edasijõudnutele võivad huvi pakkuda vaid mõned punktid. Kuid kes iganes sa oled, kallis külastaja, pakutud kokkuvõte koos viidetega erinevatele õppetundidele orienteerib ja suunab sind võimalikult lühikese aja jooksul huvipakkuvas suunas. Robotid valasid pisara =) Kasutusjuhend koostati pdf-failina ja võttis lehel õige koha Matemaatilised valemid ja tabelid.

Jagasin funktsiooni uurimise 5-6 punktiks:

6) Uuringu tulemuste põhjal lisapunktid ja graafik.

Mis puudutab viimast tegevust, siis arvan, et kõik saavad kõigest aru – on suur pettumus, kui see mõne sekundi pärast maha kriipsutatakse ja ülesanne ülevaatamiseks tagastatakse. ÕIGE JA TÄPNE JOONIS on lahenduse põhitulemus! Suure tõenäosusega "varjab" see analüütilisi möödalaskmisi, samas kui vale ja/või lohakas ajakava tekitab probleeme isegi ideaalselt läbi viidud uuringuga.

Tuleb märkida, et teistes allikates võib uurimisobjektide arv, nende teostamise järjekord ja kujundusstiil oluliselt erineda minu pakutud skeemist, kuid enamasti on see täiesti piisav. Ülesande lihtsaim versioon koosneb vaid 2-3 sammust ja on sõnastatud umbes nii: "uurige funktsiooni tuletise ja joonise abil" või "uurige funktsiooni 1. ja 2. tuletise abil, graafik".

Loomulikult, kui mõnda teist algoritmi on teie koolitusjuhendis üksikasjalikult analüüsitud või teie õpetaja nõuab rangelt tema loengutest kinnipidamist, peate lahenduses mõned kohandused tegema. Pole keerulisem kui kahvli asendamine mootorsae lusikaga.

Kontrollime funktsiooni paaris / paaritu jaoks:

Sellele järgneb malli tellimusest loobumine:
, seega pole see funktsioon paaris ega paaritu.

Kuna funktsioon on pidev sees , siis vertikaalseid asümptoote pole.

Pole ka kaldus asümptoote.

Märge : Tuletan teile meelde, et mida kõrgem kasvu järjekord kui , seega on viimane piir täpselt " pluss lõpmatus."

Uurime välja, kuidas funktsioon lõpmatuses käitub:

Teisisõnu, kui me läheme paremale, siis graafik läheb lõpmatult palju üles, kui me läheme vasakule, siis lõpmatult alla. Jah, ühe kande all on ka kaks limiiti. Kui teil on raskusi märkide dešifreerimisega, külastage õppetundi teemal lõpmata väikesed funktsioonid.

Seega funktsioon pole ülalt piiratud ja ei ole altpoolt piiratud. Arvestades, et murdepunkte meil pole, saab selgeks ja funktsioonide vahemik: on ka mis tahes reaalarv.

KASULIK TEHNIKA

Iga ülesande samm toob uut teavet funktsiooni graafiku kohta, seega on lahenduse käigus mugav kasutada omamoodi PAIGUTUST. Joonistame mustandile Descartes'i koordinaatsüsteemi. Mis on kindlalt teada? Esiteks pole graafikul asümptoote, mistõttu pole vaja sirgjooni tõmmata. Teiseks teame, kuidas funktsioon lõpmatuses käitub. Analüüsi kohaselt teeme esimese ligikaudse hinnangu:

Pange tähele, et tegelikult järjepidevus funktsioon sisse lülitatud ja asjaolu, et , peab graafik teljega vähemalt korra ristuma. Või äkki on ristumispunkte mitu?

3) Konstantmärgi funktsiooni nullpunktid ja intervallid.

Esmalt leidke graafiku lõikepunkt y-teljega. See on lihtne. Funktsiooni väärtus on vaja arvutada, kui:

Pool merepinnast kõrgemal.

Teljega lõikepunktide (funktsiooni nullide) leidmiseks peate lahendama võrrandi ja siin ootab meid ebameeldiv üllatus:

Lõpus varitseb vaba liige, mis muudab ülesande oluliselt keerulisemaks.

Sellisel võrrandil on vähemalt üks reaalne juur ja enamasti on see juur irratsionaalne. Kõige hullemas muinasjutus ootavad meid kolm põrsakest. Võrrand on lahendatav kasutades nn Cardano valemid, kuid paberikahjustused on võrreldavad peaaegu kogu uuringuga. Sellega seoses on targem suuliselt või eelnõu järgi proovida vähemalt üks üles korjata terve juur. Kontrollime, kas need numbrid on:
- ei sobi;
- seal on!

Siin on õnne. Ebaõnnestumise korral saab ka testida ja ja kui need numbrid ei klapi, siis kardan, et võrrandi tulusaks lahenduseks on väga vähe võimalusi. Siis on parem uurimispunkt sootuks vahele jätta – ehk saab midagi selgemaks viimases etapis, kui lisapunktid läbi löövad. Ja kui juur (juured) on selgelt “halb”, siis on parem märkide püsivuse intervallidest tagasihoidlikult vaikida ja joonist täpsemalt täiendada.

Meil on aga ilus juur, seega jagame polünoomi ilma jäägita:

Polünoomi polünoomiga jagamise algoritmi käsitletakse üksikasjalikult tunni esimeses näites. Komplekssed piirid.

Selle tulemusena algse võrrandi vasak pool laieneb tooteks:

Ja nüüd natuke tervislikest eluviisidest. Muidugi ma saan sellest aru ruutvõrrandid tuleb lahendada iga päev, kuid täna teeme erandi: võrrandi on kaks tõelist juurt.

Arvureal joonistame leitud väärtused ja intervalli meetod Määrake funktsiooni märgid:

og Seega intervallidel graafik asub
x-telje all ja teatud intervallidega - selle telje kohal.

Saadud leiud võimaldavad meil oma paigutust täpsustada ja graafiku teine lähendus näeb välja järgmine:

Pange tähele, et funktsioonil peab intervallil olema vähemalt üks maksimum ja intervallil vähemalt üks miinimum. Aga me ei tea, mitu korda, kus ja millal ajakava "keerutab". Muide, funktsioonil võib olla lõpmatult palju äärmused.

4) funktsiooni suurendamine, vähenemine ja ekstreemsus.

Leiame kriitilised punktid:

Sellel võrrandil on kaks tegelikku juurt. Paneme need arvureale ja määrame tuletise märgid:

Seetõttu suureneb funktsioon võrra ja väheneb võrra.
Sel hetkel saavutab funktsioon maksimumi: .
Sel hetkel, kui funktsioon saavutab oma miinimumi: .

Väljakujunenud faktid suunavad meie malli üsna jäigasse raamistikku:

Ütlematagi selge, et diferentsiaalarvutus on võimas asi. Lõpuks tegeleme graafiku kujuga:

5) Kumerus-, nõgusus- ja käändepunktid.

Leidke teise tuletise kriitilised punktid:

Määratleme märgid:

Funktsiooni graafik on kumer sisse ja nõgus . Arvutame käändepunkti ordinaate: .

Peaaegu kõik sai selgeks.

6) Jääb üle leida lisapunktid, mis aitavad täpsemalt graafikut koostada ja enesetesti teha. Sel juhul on neid vähe, kuid me ei jäta tähelepanuta:

Teostame joonise:

Pöördepunkt on märgitud rohelisega, lisapunktid on tähistatud ristidega. Kuupfunktsiooni graafik on sümmeetriline selle käänupunkti suhtes, mis asub alati täpselt maksimumi ja miinimumi vahel.

Ülesande käigus andsin kolm hüpoteetilist vahejoonist. Praktikas piisab, kui joonistada koordinaatsüsteem, märkida leitud punktid ja pärast iga uuringu punkti mõelda mõttes, milline võiks funktsiooni graafik välja näha. Hea ettevalmistusega õpilastel ei ole raske sellist analüüsi läbi viia ainult oma mõtetes ilma mustandit kaasamata.

Eraldiseisva lahenduse jaoks:

Näide 2

Uurige funktsiooni ja koostage graafik.

Siin on kõik kiirem ja lõbusam, ligikaudne näide lõpetamisest tunni lõpus.

Fraktsionaalsete ratsionaalsete funktsioonide uurimine paljastab palju saladusi:

Näide 3

Diferentsiaalarvutuse meetodeid kasutades uurige funktsiooni ja koostage uuringu tulemuste põhjal selle graafik.

Lahendus: uuringu esimene etapp ei erine millegi märkimisväärse poolest, välja arvatud auk määratlusalal:

1) Funktsioon on defineeritud ja pidev kogu arvureal, välja arvatud punkt , domeeni: .

, seega pole see funktsioon paaris ega paaritu.

Ilmselgelt on funktsioon mitteperioodiline.

Funktsiooni graafik koosneb kahest pidevast harust, mis asuvad vasakul ja paremal pooltasandil – see on võib-olla 1. lõigu kõige olulisem järeldus.

2) Asümptoodid, funktsiooni käitumine lõpmatuses.

a) Ühepoolsete piiride abil uurime funktsiooni käitumist kahtlase punkti lähedal, kus vertikaalne asümptoot peab selgelt olema:

Tõepoolest, funktsioonid püsivad lõputu vahe punktis
ja sirgjoon (telg) on vertikaalne asümptoot graafikakunst.

b) Kontrollige, kas on olemas kaldus asümptoote:

Jah, rida on kaldus asümptoot graafika, kui .

Piire pole mõtet analüüsida, sest juba on selge, et funktsioon on oma kaldu asümptoodiga embuses pole ülalt piiratud ja ei ole altpoolt piiratud.

Uuringu teine punkt tõi funktsiooni kohta palju olulist teavet. Teeme umbkaudse visandi:

Järeldus nr 1 puudutab märkide püsivuse intervalle. "Miinus lõpmatuse" korral asub funktsiooni graafik üheselt x-telje all ja "pluss lõpmatuse" korral sellest teljest kõrgemal. Lisaks ütlesid ühepoolsed piirid meile, et nii punktist vasakul kui ka paremal on funktsioon samuti suurem kui null. Pange tähele, et vasakpoolsel pooltasandil peab graafik x-teljega vähemalt korra ristuma. Paremal pooltasandil ei pruugi funktsiooni nullpunkte olla.

Järeldus nr 2 on, et funktsioon suureneb punktis ja sellest vasakule (läheb "alt üles"). Sellest punktist paremal funktsioon väheneb (läheb "ülevalt alla"). Graafi paremal harul peab kindlasti olema vähemalt üks miinimum. Vasakul pole äärmused garanteeritud.

Järeldus nr 3 annab usaldusväärset teavet graafiku nõgususe kohta punkti läheduses. Me ei saa veel midagi öelda kumeruse/nõgususe kohta lõpmatuses, kuna joont saab suruda vastu oma asümptoodi nii ülalt kui ka alt. Üldiselt on praegu olemas analüütiline viis selle väljaselgitamiseks, kuid diagrammi kuju "millegi eest" selgub hiljem.

Miks nii palju sõnu? Järgmiste uurimispunktide kontrollimiseks ja vigade vältimiseks! Edasised arvutused ei tohiks tehtud järeldustega vastuolus olla.

3) Graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega, funktsiooni konstantmärgi intervallid.

Funktsiooni graafik ei ristu teljega.

Intervallmeetodi abil määrame märgid:

, kui ;
, kui .

Lõike tulemused on täielikult kooskõlas järeldusega nr 1. Pärast iga sammu vaadake mustandit, vaadake mõtteliselt uuringut ja lõpetage funktsiooni graafiku joonistamine.

Selles näites jagatakse lugeja termini kaupa nimetajaga, mis on eristamiseks väga kasulik:

Tegelikult on seda asümptootide leidmisel juba tehtud.

- kriitiline punkt.

Määratleme märgid:

võrra suureneb ja väheneb kuni

Sel hetkel, kui funktsioon saavutab oma miinimumi: .

Samuti ei olnud lahknevusi järeldusega nr 2 ja suure tõenäosusega oleme õigel teel.

See tähendab, et funktsiooni graafik on kogu definitsioonipiirkonna ulatuses nõgus.

Suurepärane – ja te ei pea midagi joonistama.

Käändepunkte pole.

Nõgusus on kooskõlas järeldusega nr 3, pealegi näitab see, et lõpmatuses (nii seal kui seal) asub funktsiooni graafik eespool selle kaldus asümptoot.

6) Kinnitame ülesande kohusetundlikult lisapunktidega. Siin peame kõvasti tööd tegema, sest teame uuringust vaid kahte punkti.

Ja pilt, mida ilmselt paljud on juba ammu esitanud:

Ülesande tegemisel tuleb jälgida, et õppetöö etappide vahel ei tekiks vastuolusid, kuid mõnikord on olukord kiireloomuline või isegi meeleheitlikult ummiktee. Siin analüütika "ei koondu" - ja kõik. Sel juhul soovitan avariitehnikat: leiame võimalikult palju graafikule kuuluvaid punkte (kui palju kannatust piisab), ja märgime need koordinaattasandile. Leitud väärtuste graafiline analüüs enamikul juhtudel ütleb teile, kus on tõde ja kus vale. Lisaks saab graafiku mõne programmi abil valmis ehitada, näiteks samas Excelis (selge, et selleks on vaja oskusi).

Näide 4

Kasutades diferentsiaalarvutuse meetodeid, uurige funktsiooni ja koostage selle graafik.

See on tee-seda-ise näide. Selles suurendab enesekontrolli funktsiooni ühtlus - graafik on telje suhtes sümmeetriline ja kui teie uuringus on midagi selle tõsiasjaga vastuolus, otsige viga.

Paaris või paaritu funktsiooni saab uurida ainult , ja siis saab kasutada graafiku sümmeetriat. See lahendus on optimaalne, kuid tundub minu arvates väga ebatavaline. Isiklikult võtan arvesse kogu numbritelge, kuid lisapunkte leian siiski ainult paremalt:

Näide 5

Viige läbi funktsiooni täielik uuring ja joonistage selle graafik.

Lahendus: tormas kõvasti:

1) Funktsioon on defineeritud ja pidev kogu reaalreal: .

See tähendab, et see funktsioon on paaritu, selle graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline.

Ilmselgelt on funktsioon mitteperioodiline.

2) Asümptoodid, funktsiooni käitumine lõpmatuses.

Kuna funktsioon on pidev sees , siis vertikaalseid asümptoote pole

Tavaliselt eksponendit sisaldava funktsiooni puhul eraldi"pluss" ja "miinus lõpmatuse" uurimine, meie elu hõlbustab aga just graafiku sümmeetria - kas on asümptoot vasakul ja paremal või ei ole. Seetõttu saab mõlemad lõpmatud piirid paigutada ühe kirje alla. Lahenduse käigus kasutame L'Hopitali reegel:

Sirge (telg) on graafiku horisontaalne asümptoot .

Pöörake tähelepanu sellele, kuidas ma kavalalt vältisin täisalgoritmi kaldus asümptoodi leidmiseks: piirmäär on üsna seaduslik ja selgitab funktsiooni käitumist lõpmatuses ning horisontaalne asümptoot leiti "justkui samal ajal".

Horisontaalse asümptoodi järjepidevusest ja olemasolust järeldub, et funktsioon ülalt piiratud ja altpoolt piiratud.

3) Graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega, püsivuse intervallid.

Siin lühendame ka lahendust:
Graafik läbib alguspunkti.

Muid koordinaattelgedega lõikepunkte pole. Veelgi enam, püsivuse intervallid on ilmsed ja telge ei saa joonistada: , mis tähendab, et funktsiooni märk sõltub ainult "x"-st:
, kui ;
, kui .

4) funktsiooni suurenemine, vähenemine, ekstreemsus.

on kriitilised punktid.

Punktid on nulli suhtes sümmeetrilised, nagu peakski olema.

Määratleme tuletise märgid:

Funktsioon suureneb intervalliga ja väheneb intervallidega

Sel hetkel saavutab funktsioon maksimumi: .

Vara tõttu (funktsiooni veidrus) miinimumi võib ära jätta:

Kuna funktsioon väheneb intervalliga , siis ilmselt asub graafik "miinus lõpmatuses" all oma asümptoodiga. Intervalli peal funktsioon ka väheneb, kuid siin on vastupidi - pärast maksimumpunkti läbimist läheneb joon teljele ülalt.

Eeltoodust järeldub ka, et funktsiooni graafik on "miinus lõpmatuses" kumer ja "pluss lõpmatuses" nõgus.

Pärast seda uuringu punkti joonistati ka funktsiooni väärtuste ala:

Kui teil on mõnest punktist arusaamatus, kutsun teid veel kord üles joonistama vihikusse koordinaatteljed ja, pliiats käes, analüüsima uuesti iga ülesande järeldust.

5) Graafiku kumerus, nõgusus, käänded.

on kriitilised punktid.

Punktide sümmeetria on säilinud ja suure tõenäosusega me ei eksi.

Määratleme märgid:

Funktsiooni graafik on kumer sisse ja nõgus edasi .

Kumerus/nõgusus äärmuslike intervallidega kinnitati.

Kõikides kriitilistes punktides on graafikul käänded. Leiame käändepunktide ordinaadid, vähendades samal ajal jällegi arvutuste arvu, kasutades funktsiooni veidrust:

Rešebnik Kuznetsov.
III Graafikud

Ülesanne 7. Viige läbi funktsiooni täielik uuring ja koostage selle graafik.

Enne valikute allalaadimise alustamist proovige probleem lahendada allpool oleva 3. valiku näidise järgi. Mõned valikud on arhiveeritud .rar-vormingus

7.3 Viige läbi funktsiooni täielik uuring ja koostage see graafik