Depuis un certain temps maintenant, dans TheBat (on ne sait pas pour quelle raison), la base de données de certificats intégrée pour SSL a cessé de fonctionner correctement.

Lors de la vérification du message, une erreur apparaît :

Certificat CA inconnu
Le serveur n'a pas présenté de certificat racine dans la session et le certificat racine correspondant n'a pas été trouvé dans le carnet d'adresses.
Cette connexion ne peut pas être secrète. S'il vous plaît
contactez votre administrateur de serveur.

Et il est proposé un choix de réponses - OUI / NON. Et donc à chaque fois que vous tirez du courrier.

La solution

Dans ce cas, vous devez remplacer la norme d'implémentation S/MIME et TLS par Microsoft CryptoAPI dans TheBat !

Comme j'avais besoin de fusionner tous les fichiers en un seul, j'ai d'abord converti tous les fichiers doc en un seul fichier pdf (à l'aide du programme Acrobat), puis je l'ai transféré sur fb2 via un convertisseur en ligne. Vous pouvez également convertir les fichiers individuellement. Les formats peuvent être absolument n'importe lesquels (source) et doc, et jpg, et même archive zip !

Le nom du site correspond à l'essentiel :) Photoshop en ligne.

Mise à jour mai 2015

J'ai trouvé un autre super site ! Encore plus pratique et fonctionnel pour créer un collage complètement arbitraire ! Ce site est http://www.fotor.com/ru/collage/ . Utilisation sur la santé. Et je vais l'utiliser moi-même.

Confronté dans la vie à la réparation de cuisinières électriques. J'ai déjà fait beaucoup de choses, j'ai beaucoup appris, mais d'une manière ou d'une autre, je n'avais pas grand-chose à voir avec les carreaux. Il a fallu remplacer les contacts sur les régulateurs et les brûleurs. La question s'est posée - comment déterminer le diamètre du brûleur sur la cuisinière électrique?

La réponse s'est avérée simple. Pas besoin de mesurer quoi que ce soit, vous pouvez déterminer calmement à l'œil nu la taille dont vous avez besoin.

Le plus petit brûleur est de 145 millimètres (14,5 centimètres)

Brûleur moyen est de 180 millimètres (18 centimètres).

Et enfin le plus grand brûleur est de 225 millimètres (22,5 centimètres).

Il suffit de déterminer la taille à l'œil nu et de comprendre de quel diamètre vous avez besoin d'un brûleur. Quand je ne le savais pas, je planais avec ces tailles, je ne savais pas comment mesurer, quel bord naviguer, etc. Maintenant, je suis sage :) J'espère que cela vous a aidé aussi!

Dans ma vie, j'ai fait face à un tel problème. Je pense que je ne suis pas le seul.

Si dans la tâche il est nécessaire de réaliser une étude complète de la fonction f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 avec la construction de son graphique, nous examinerons ce principe en détail.

Pour résoudre un problème de ce type, il faut utiliser les propriétés et les graphes des principales fonctions élémentaires. L'algorithme de recherche comprend les étapes suivantes :

Trouver le domaine de définition

Puisque la recherche s'effectue sur le domaine de la fonction, il faut commencer par cette étape.

Exemple 1

L'exemple donné consiste à trouver les zéros du dénominateur afin de les exclure de la DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

En conséquence, vous pouvez obtenir des racines, des logarithmes, etc. Alors on peut chercher dans l'ODZ la racine d'un degré pair de type g (x) 4 par l'inégalité g (x) ≥ 0 , le logarithme log a g (x) par l'inégalité g (x) > 0 .

Enquête sur les limites de l'ODZ et recherche d'asymptotes verticales

Il existe des asymptotes verticales sur les frontières de la fonction, lorsque les limites unilatérales en ces points sont infinies.

Exemple 2

Par exemple, considérons les points frontières égaux à x = ± 1 2 .

Ensuite, il est nécessaire d'étudier la fonction pour trouver la limite unilatérale. Alors on obtient que : lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim X → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Cela montre que les limites unilatérales sont infinies, ce qui signifie que les droites x = ± 1 2 sont les asymptotes verticales du graphe.

Enquête sur la fonction et pour pair ou impair

Lorsque la condition y (- x) = y (x) est remplie, la fonction est considérée comme paire. Ceci suggère que le graphe est situé symétriquement par rapport à O y. Lorsque la condition y (- x) = - y (x) est remplie, la fonction est considérée comme impaire. Cela signifie que la symétrie va par rapport à l'origine des coordonnées. Si au moins une inégalité échoue, on obtient une fonction de forme générale.

Le respect de l'égalité y (- x) = y (x) indique que la fonction est paire. Lors de la construction, il faut tenir compte du fait qu'il y aura symétrie par rapport à O y.

Pour résoudre l'inégalité, des intervalles d'augmentation et de diminution sont utilisés avec les conditions f "(x) ≥ 0 et f" (x) ≤ 0, respectivement.

Définition 1

Points fixes sont des points qui ramènent la dérivée à zéro.

Points critiques sont des points intérieurs du domaine où la dérivée de la fonction est égale à zéro ou n'existe pas.

Lors de la prise de décision, les points suivants doivent être pris en compte :

• pour les intervalles existants d'augmentation et de diminution de l'inégalité de la forme f "(x) > 0, les points critiques ne sont pas inclus dans la solution ;
• les points auxquels la fonction est définie sans dérivée finie doivent être inclus dans les intervalles d'augmentation et de diminution (par exemple, y \u003d x 3, où le point x \u003d 0 définit la fonction, la dérivée a la valeur de l'infini à ce stade, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 est inclus dans l'intervalle d'augmentation);
• Afin d'éviter les désaccords, il est recommandé d'utiliser la littérature mathématique, ce qui est recommandé par le ministère de l'Éducation.

L'inclusion de points critiques dans les intervalles d'augmentation et de diminution dans le cas où ils satisfont le domaine de la fonction.

Définition 2

Pour déterminant les intervalles de croissance et de diminution de la fonction, il faut trouver:

• dérivé;
• points critiques;
• diviser le domaine de définition à l'aide de points critiques en intervalles;
• déterminer le signe de la dérivée à chacun des intervalles, où + est une augmentation et - est une diminution.

Exemple 3

Trouver la dérivée sur le domaine f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

La solution

Pour résoudre il vous faut :

• trouver des points stationnaires, cet exemple a x = 0 ;
• trouver les zéros du dénominateur, l'exemple prend la valeur zéro à x = ± 1 2 .

Nous exposons des points sur l'axe numérique pour déterminer la dérivée sur chaque intervalle. Pour ce faire, il suffit de prendre n'importe quel point de l'intervalle et de faire un calcul. Si le résultat est positif, nous dessinons + sur le graphique, ce qui signifie une augmentation de la fonction, et - signifie sa diminution.

Par exemple, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ce qui signifie que le premier intervalle à gauche a un signe +. Considérez sur le nombre ligne.

Réponse:

• il y a augmentation de la fonction sur l'intervalle - ∞ ; - 1 2 et (- 1 2 ; 0 ] ;
• il y a une diminution sur l'intervalle [ 0 ; 1 2) et 1 2 ; +∞ .

Dans le diagramme, en utilisant + et -, la positivité et la négativité de la fonction sont représentées, et les flèches indiquent une diminution et une augmentation.

Les points extrêmes d'une fonction sont les points où la fonction est définie et par lesquels la dérivée change de signe.

Exemple 4

Si nous considérons un exemple où x \u003d 0, alors la valeur de la fonction qu'il contient est f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Lorsque le signe de la dérivée passe de + à - et passe par le point x \u003d 0, le point de coordonnées (0; 0) est considéré comme le point maximum. Lorsque le signe passe de - à +, nous obtenons le point minimum.

La convexité et la concavité sont déterminées en résolvant des inégalités de la forme f "" (x) ≥ 0 et f "" (x) ≤ 0 . Moins souvent, ils utilisent le nom renflement vers le bas au lieu de concavité et renflement vers le haut au lieu de renflement.

Définition 3

Pour déterminer les écarts de concavité et de convexité nécessaire:

• trouver la dérivée seconde ;
• trouver les zéros de la fonction de la dérivée seconde ;
• briser le domaine de définition par les points qui apparaissent en intervalles ;
• déterminer le signe de l'écart.

Exemple 5

Trouvez la dérivée seconde du domaine de définition.

La solution

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nous trouvons les zéros du numérateur et du dénominateur, où, en utilisant notre exemple, nous avons que les zéros du dénominateur x = ± 1 2

Vous devez maintenant placer des points sur la droite numérique et déterminer le signe de la dérivée seconde de chaque intervalle. On comprend ça

Réponse:

• la fonction est convexe de l'intervalle - 1 2 ; 12 ;
• la fonction est concave à partir des intervalles - ∞ ; - 1 2 et 1 2 ; +∞ .

Définition 4

point d'inflexion est un point de la forme x 0 ; f(x0) . Lorsqu'elle a une tangente au graphe de la fonction, puis lorsqu'elle passe par x 0, la fonction change de signe en l'opposé.

En d'autres termes, il s'agit d'un tel point par lequel la dérivée seconde passe et change de signe, et aux points eux-mêmes est égal à zéro ou n'existe pas. Tous les points sont considérés comme le domaine de la fonction.

Dans l'exemple, on a vu qu'il n'y a pas de points d'inflexion, puisque la dérivée seconde change de signe en passant par les points x = ± 1 2 . Ceux-ci, à leur tour, ne sont pas inclus dans le domaine de la définition.

Recherche d'asymptotes horizontales et obliques

Lors de la définition d'une fonction à l'infini, il faut rechercher les asymptotes horizontales et obliques.

Définition 5

Asymptotes obliques sont tracées à l'aide de lignes données par l'équation y = k x + b, où k = lim x → ∞ f (x) x et b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pour k = 0 et b non égal à l'infini, on trouve que l'asymptote oblique devient horizontal.

En d'autres termes, les asymptotes sont les droites que le graphe de la fonction approche à l'infini. Ceci contribue à la construction rapide du graphe de la fonction.

S'il n'y a pas d'asymptotes, mais que la fonction est définie aux deux infinis, il est nécessaire de calculer la limite de la fonction à ces infinis pour comprendre comment se comportera le graphe de la fonction.

Exemple 6

A titre d'exemple, considérons que

k = lim X → ∞ F (x) X = lim X → ∞ X 2 4 X 2 - 1 X = 0 b = lim X → ∞ (f (x) - k X) = lim X → ∞ X 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

est une asymptote horizontale. Après avoir recherché la fonction, vous pouvez commencer à la construire.

Calcul de la valeur d'une fonction aux points intermédiaires

Pour rendre le tracé le plus précis, il est recommandé de trouver plusieurs valeurs de la fonction à des points intermédiaires.

Exemple 7

A partir de l'exemple que nous avons considéré, il faut trouver les valeurs de la fonction aux points x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Puisque la fonction est paire, nous obtenons que les valeurs coïncident avec les valeurs en ces points, c'est-à-dire que nous obtenons x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Écrivons et résolvons :

F (- 2) = F (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 F (- 1) - F (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 F - 3 4 = F 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 F - 1 4 = F 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pour déterminer les maxima et les minima de la fonction, les points d'inflexion, les points intermédiaires, il faut construire des asymptotes. Pour une désignation pratique, les intervalles d'augmentation, de diminution, de convexité, de concavité sont fixes. Considérez la figure ci-dessous.

Il est nécessaire de tracer des lignes de graphe passant par les points marqués, ce qui vous permettra de vous rapprocher des asymptotes, en suivant les flèches.

Ceci conclut l'étude complète de la fonction. Il existe des cas de construction de certaines fonctions élémentaires pour lesquelles des transformations géométriques sont utilisées.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Comment étudier une fonction et tracer son graphique ?

Il semble que je commence à comprendre le visage émouvant du chef du prolétariat mondial, auteur d'ouvrages complets en 55 volumes .... Le long voyage a commencé par des informations élémentaires sur fonctions et graphiques, et maintenant travailler sur un sujet laborieux se termine par un résultat naturel - un article à propos de l'étude de fonction complète. La tâche tant attendue est formulée comme suit :

Étudier la fonction par des méthodes de calcul différentiel et, sur la base des résultats de l'étude, construire son graphique

Ou en bref : examinez la fonction et tracez-la.

Pourquoi explorer ? Dans des cas simples, il ne nous sera pas difficile de traiter des fonctions élémentaires, tracer un graphe obtenu à l'aide transformations géométriques élémentaires etc. Cependant, les propriétés et les représentations graphiques de fonctions plus complexes sont loin d'être évidentes, c'est pourquoi toute une étude est nécessaire.

Les principales étapes de la solution sont résumées dans le document de référence Schéma d'étude de fonction, ceci est votre guide de section. Les nuls ont besoin d'une explication étape par étape du sujet, certains lecteurs ne savent pas par où commencer et comment organiser l'étude, et les étudiants avancés peuvent ne s'intéresser qu'à quelques points. Mais qui que vous soyez, cher visiteur, le résumé proposé avec des pointeurs vers différentes leçons vous orientera et vous dirigera dans la direction qui vous intéresse dans les plus brefs délais. Les robots ont versé une larme =) Le manuel a été constitué sous forme de fichier pdf et a pris toute sa place sur la page Formules et tableaux mathématiques.

J'avais l'habitude de décomposer l'étude de la fonction en 5-6 points :

6) Points supplémentaires et graphique basés sur les résultats de l'étude.

Quant à l'action finale, je pense que tout le monde comprend tout - ce sera très décevant si, en quelques secondes, elle est barrée et que la tâche est renvoyée pour révision. UN DESSIN CORRECT ET PRÉCIS est le résultat principal de la solution ! Il est très probable qu'il "dissimule" des oublis analytiques, tandis qu'un calendrier incorrect et/ou bâclé causera des problèmes même avec une étude parfaitement menée.

Il convient de noter que dans d'autres sources, le nombre d'éléments de recherche, l'ordre de leur mise en œuvre et le style de conception peuvent différer considérablement du schéma que j'ai proposé, mais dans la plupart des cas, cela suffit amplement. La version la plus simple du problème consiste en seulement 2-3 étapes et est formulée à peu près comme suit : « explorez la fonction en utilisant la dérivée et tracez » ou « explorez la fonction en utilisant les dérivées 1ère et 2e, tracez ».

Naturellement, si un autre algorithme est analysé en détail dans votre manuel de formation ou si votre professeur vous oblige strictement à respecter ses cours, vous devrez alors apporter quelques ajustements à la solution. Pas plus difficile que de remplacer une fourchette par une cuillère pour tronçonneuse.

Vérifions la fonction pair/impair :

Ceci est suivi d'un modèle de désinscription :
, donc cette fonction n'est ni paire ni impaire.

Comme la fonction est continue sur , il n'y a pas d'asymptotes verticales.

Il n'y a pas non plus d'asymptotes obliques.

Noter : je vous rappelle que plus ordre de croissance que , donc la limite finale est exactement " un plus infini."

Découvrons comment la fonction se comporte à l'infini :

En d'autres termes, si nous allons vers la droite, alors le graphique monte infiniment loin, si nous allons vers la gauche, infiniment loin vers le bas. Oui, il y a aussi deux limites sous une même entrée. Si vous avez des difficultés à déchiffrer les signes, veuillez consulter la leçon sur fonctions infinitésimales.

Donc la fonction pas limité d'en haut et non limité par le bas. Considérant que nous n'avons pas de points d'arrêt, il devient clair et gamme de fonctions: est aussi n'importe quel nombre réel.

TECHNIQUE UTILE

Chaque étape de la tâche apporte de nouvelles informations sur le graphe de la fonction, donc au cours de la solution, il est pratique d'utiliser une sorte de LAYOUT. Dessinons un système de coordonnées cartésien sur le brouillon. Que sait-on avec certitude ? Premièrement, le graphique n'a pas d'asymptotes, il n'est donc pas nécessaire de tracer des lignes droites. Deuxièmement, nous savons comment la fonction se comporte à l'infini. Selon l'analyse, nous tirons la première approximation :

A noter qu'en effet continuité fonction sur et le fait que , le graphique doit croiser l'axe au moins une fois. Ou peut-être y a-t-il plusieurs points d'intersection?

3) Zéros de la fonction et intervalles de signe constant.

Tout d'abord, trouvez le point d'intersection du graphique avec l'axe des ordonnées. C'est simple. Il faut calculer la valeur de la fonction lorsque :

A moitié au-dessus du niveau de la mer.

Pour trouver les points d'intersection avec l'axe (zéros de la fonction), il faut résoudre l'équation, et ici une mauvaise surprise nous attend :

À la fin, un membre libre se cache, ce qui complique considérablement la tâche.

Une telle équation possède au moins une racine réelle, et le plus souvent cette racine est irrationnelle. Dans le pire des contes de fées, trois petits cochons nous attendent. L'équation est résoluble en utilisant ce que l'on appelle Les formules de Cardano, mais les dommages au papier sont comparables à la quasi-totalité de l'étude. A cet égard, il est plus sage, oralement ou sur brouillon, d'essayer d'en relever au moins une ensemble racine. Vérifions si ces chiffres sont :
- ne correspond pas;
- il y a!

C'est de la chance ici. En cas d'échec, vous pouvez également tester et, et si ces chiffres ne correspondent pas, j'ai bien peur qu'il y ait très peu de chances de trouver une solution rentable à l'équation. Ensuite, il est préférable de sauter complètement le point de recherche - peut-être que quelque chose deviendra plus clair à l'étape finale, lorsque des points supplémentaires apparaîtront. Et si la racine (les racines) sont clairement «mauvaises», il vaut mieux rester modestement silencieux sur les intervalles de constance des signes et compléter plus précisément le dessin.

Cependant, nous avons une belle racine, nous divisons donc le polynôme sans reste :

L'algorithme de division d'un polynôme par un polynôme est décrit en détail dans le premier exemple de la leçon. Limites complexes.

En conséquence, le côté gauche de l'équation d'origine se développe en un produit :

Et maintenant un peu sur un mode de vie sain. Bien sûr, je comprends que équations du second degré doivent être résolus chaque jour, mais aujourd'hui nous allons faire une exception : l'équation a deux vraies racines.

Sur la droite numérique, nous traçons les valeurs trouvées et méthode d'intervalle définir les signes de la fonction :


og Ainsi, sur les intervalles graphique situé
sous l'axe des x, et à des intervalles - au-dessus de cet axe.

Les résultats obtenus nous permettent d'affiner notre mise en page, et la deuxième approximation du graphique ressemble à ceci :

Veuillez noter que la fonction doit avoir au moins un maximum sur l'intervalle et au moins un minimum sur l'intervalle. Mais nous ne savons pas combien de fois, où et quand le programme "s'enroulera". Au fait, une fonction peut avoir une infinité de extrêmes.

4) Augmentation, diminution et extrema de la fonction.

Trouvons les points critiques :

Cette équation a deux racines réelles. Plaçons-les sur la droite numérique et déterminons les signes de la dérivée :


La fonction augmente donc de et diminue de .
Au moment où la fonction atteint son maximum : .
Au moment où la fonction atteint son minimum : .

Les faits établis enfoncent notre modèle dans un cadre plutôt rigide :

Inutile de dire que le calcul différentiel est une chose puissante. Traitons enfin de la forme du graphique :

5) Convexité, concavité et points d'inflexion.

Trouvez les points critiques de la dérivée seconde :

Définissons les signes :


Le graphe de la fonction est convexe sur et concave sur . Calculons l'ordonnée du point d'inflexion : .

Presque tout s'est éclairci.

6) Il reste à trouver des points supplémentaires qui aideront à construire plus précisément un graphique et à effectuer un autotest. Dans ce cas, ils sont peu nombreux, mais nous ne négligerons pas :

Exécutons le dessin :

Le point d'inflexion est marqué en vert, les points supplémentaires sont marqués de croix. Le graphique d'une fonction cubique est symétrique par rapport à son point d'inflexion, qui est toujours situé exactement au milieu entre le maximum et le minimum.

Au cours du devoir, j'ai donné trois dessins intermédiaires hypothétiques. En pratique, il suffit de dessiner un système de coordonnées, de marquer les points trouvés et, après chaque point de l'étude, de déterminer mentalement à quoi pourrait ressembler le graphique de la fonction. Il ne sera pas difficile pour les étudiants ayant un bon niveau de préparation de mener une telle analyse uniquement dans leur esprit sans impliquer un brouillon.

Pour une solution autonome :

Exemple 2

Explorez la fonction et construisez un graphique.

Tout est plus rapide et plus amusant ici, un exemple approximatif de finition à la fin de la leçon.

Beaucoup de secrets sont révélés par l'étude des fonctions rationnelles fractionnaires :

Exemple 3

En utilisant les méthodes du calcul différentiel, étudiez la fonction et, sur la base des résultats de l'étude, construisez son graphique.

La solution: la première étape de l'étude ne diffère en rien de remarquable, à l'exception d'un trou dans la zone de définition :

1) La fonction est définie et continue sur toute la droite numérique à l'exception du point , domaine: .

, donc cette fonction n'est ni paire ni impaire.

Évidemment, la fonction est non périodique.

Le graphique de la fonction se compose de deux branches continues situées dans les demi-plans gauche et droit - c'est peut-être la conclusion la plus importante du 1er paragraphe.

2) Asymptotes, le comportement d'une fonction à l'infini.

a) A l'aide de limites unilatérales, nous étudions le comportement de la fonction près du point suspect, où l'asymptote verticale doit clairement être :

En effet, les fonctions perdurent écart sans finà ce point
et la droite (axe) est asymptote verticale arts graphiques .

b) Vérifiez s'il existe des asymptotes obliques :

Oui, la ligne est asymptote oblique graphiques si.

Cela n'a aucun sens d'analyser les limites, puisqu'il est déjà clair que la fonction dans une étreinte avec son asymptote oblique pas limité d'en haut et non limité par le bas.

Le deuxième point de l'étude a apporté beaucoup d'informations importantes sur la fonction. Faisons un croquis approximatif :

La conclusion n° 1 concerne les intervalles de constance de signe. À "moins l'infini", le graphique de la fonction est uniquement situé sous l'axe des x, et à "plus l'infini", il est au-dessus de cet axe. De plus, les limites unilatérales nous ont dit qu'à la fois à gauche et à droite du point, la fonction est également supérieure à zéro. Veuillez noter que dans le demi-plan gauche, le graphique doit croiser au moins une fois l'axe des abscisses. Dans le demi-plan droit, il peut n'y avoir aucun zéro de la fonction.

La conclusion n°2 est que la fonction augmente sur et à gauche du point (va « de bas en haut »). A droite de ce point, la fonction diminue (va "de haut en bas"). La branche droite du graphique doit certainement avoir au moins un minimum. A gauche, les extrêmes ne sont pas garantis.

La conclusion n°3 donne une information fiable sur la concavité du graphe au voisinage du point. Jusqu'à présent, nous ne pouvons rien dire sur la convexité/concavité à l'infini, puisque la ligne peut être plaquée contre son asymptote à la fois par le haut et par le bas. De manière générale, il existe un moyen analytique de comprendre cela pour le moment, mais la forme du graphique "pour rien" deviendra plus claire ultérieurement.

Pourquoi tant de mots ? Pour contrôler les points de recherche ultérieurs et éviter les erreurs ! Les calculs ultérieurs ne doivent pas contredire les conclusions tirées.

3) Points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées, intervalles de signe constant de la fonction.

Le graphique de la fonction ne croise pas l'axe.

En utilisant la méthode des intervalles, nous déterminons les signes:

, si ;
, si .

Les résultats du paragraphe sont pleinement cohérents avec la conclusion n° 1. Après chaque étape, regardez le brouillon, référez-vous mentalement à l'étude et finissez de dessiner le graphique de la fonction.

Dans cet exemple, le numérateur est divisé terme à terme par le dénominateur, ce qui est très bénéfique pour la différenciation :

En fait, cela a déjà été fait lors de la recherche d'asymptotes.

- point critique.

Définissons les signes :

augmente de et diminue jusqu'à

Au moment où la fonction atteint son minimum : .

Il n'y avait pas non plus de divergences avec la conclusion n ° 2 et, très probablement, nous sommes sur la bonne voie.

Cela signifie que le graphe de la fonction est concave sur tout le domaine de définition.

Excellent - et vous n'avez pas besoin de dessiner quoi que ce soit.

Il n'y a pas de points d'inflexion.

La concavité est cohérente avec la conclusion n°3, de plus, elle indique qu'à l'infini (à la fois là et là) le graphe de la fonction se situe au dessus son asymptote oblique.

6) Nous épinglerons consciencieusement la tâche avec des points supplémentaires. Ici, nous devons travailler dur, car nous ne connaissons que deux points de l'étude.

Et une image que beaucoup ont probablement présentée depuis longtemps:

Au cours de la mission, il faut veiller à ce qu'il n'y ait pas de contradictions entre les étapes de l'étude, mais parfois la situation est urgente voire désespérément sans issue. Ici, l'analyse "ne converge pas" - et c'est tout. Dans ce cas, je recommande une technique d'urgence: nous trouvons autant de points appartenant au graphique que possible (quelle patience suffit-il), et les marquons sur le plan des coordonnées. L'analyse graphique des valeurs trouvées dans la plupart des cas vous dira où est la vérité et où est le mensonge. De plus, le graphique peut être pré-construit à l'aide d'un programme, par exemple, dans le même Excel (il est clair que cela nécessite des compétences).

Exemple 4

En utilisant les méthodes du calcul différentiel, étudiez la fonction et tracez son graphique.

Ceci est un exemple à faire soi-même. Dans ce document, la maîtrise de soi est renforcée par la régularité de la fonction - le graphique est symétrique autour de l'axe, et si quelque chose dans votre étude contredit ce fait, recherchez une erreur.

Une fonction paire ou impaire ne peut être étudiée que pour , puis la symétrie du graphique peut être utilisée. Cette solution est optimale, mais elle semble, à mon avis, très inhabituelle. Personnellement, je considère tout l'axe numérique, mais je trouve toujours des points supplémentaires uniquement à droite :

Exemple 5

Faire une étude complète de la fonction et tracer son graphique.

La solution: se précipita fort:

1) La fonction est définie et continue sur toute la ligne réelle : .

Cela signifie que cette fonction est impaire, son graphe est symétrique par rapport à l'origine.

Évidemment, la fonction est non périodique.

2) Asymptotes, le comportement d'une fonction à l'infini.

Comme la fonction est continue sur , il n'y a pas d'asymptotes verticales

Pour une fonction contenant un exposant, typiquement séparé l'étude de "plus" et "moins l'infini", cependant, notre vie est facilitée par la seule symétrie du graphique - soit il y a une asymptote à gauche et à droite, soit il n'y en a pas. Par conséquent, les deux limites infinies peuvent être organisées sous une seule entrée. Au cours de la résolution, nous utilisons La règle de l'Hôpital:

La ligne droite (axe) est l'asymptote horizontale du graphique à .

Faites attention à la façon dont j'ai habilement évité l'algorithme complet pour trouver l'asymptote oblique: la limite est tout à fait légale et clarifie le comportement de la fonction à l'infini, et l'asymptote horizontale a été trouvée "comme si en même temps".

Il résulte de la continuité sur et de l'existence d'une asymptote horizontale que la fonction limité d'en haut et limité par le bas.

3) Points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées, intervalles de constance.

Ici, nous raccourcissons également la solution :
Le graphe passe par l'origine.

Il n'y a pas d'autres points d'intersection avec les axes de coordonnées. De plus, les intervalles de constance sont évidents, et l'axe ne peut pas être tracé : , ce qui signifie que le signe de la fonction ne dépend que du "x":
, si ;
, si .

4) Croissant, décroissant, extrema de la fonction.


sont des points critiques.

Les points sont symétriques autour de zéro, comme il se doit.

Définissons les signes de la dérivée :


La fonction augmente sur l'intervalle et diminue sur les intervalles

Au moment où la fonction atteint son maximum : .

En raison de la propriété (bizarre de la fonction) le minimum peut être omis :

Puisque la fonction décroît sur l'intervalle , alors, évidemment, le graphe se situe à "moins l'infini" en dessous de avec son asymptote. Sur l'intervalle, la fonction diminue également, mais ici le contraire est vrai - après avoir traversé le point maximum, la ligne s'approche de l'axe par le haut.

Il découle également de ce qui précède que le graphique de la fonction est convexe à "moins l'infini" et concave à "plus l'infini".

Après ce point de l'étude, la zone des valeurs de la fonction a également été dessinée:

Si vous avez une mauvaise compréhension de certains points, je vous invite à nouveau à dessiner des axes de coordonnées dans votre cahier et, un crayon à la main, à réanalyser chaque conclusion du devoir.

5) Convexité, concavité, inflexions du graphe.

sont des points critiques.

La symétrie des points est préservée et, très probablement, nous ne nous trompons pas.

Définissons les signes :


Le graphe de la fonction est convexe sur et concave sur .

La convexité/concavité à des intervalles extrêmes a été confirmée.

À tous les points critiques, il y a des inflexions dans le graphique. Trouvons les ordonnées des points d'inflexion, tout en réduisant encore le nombre de calculs, en utilisant l'impair de la fonction :

Reshebnik Kouznetsov.
III Graphiques

Tâche 7. Réaliser une étude complète de la fonction et construire son graphe.

        Avant de commencer à télécharger vos options, essayez de résoudre le problème selon l'exemple ci-dessous pour l'option 3. Certaines des options sont archivées au format .rar

        7.3 Faire une étude complète de la fonction et la tracer

La solution.

        1) Portée :         ou         c'est-à-dire       .
.
Ainsi :         .

        2) Il n'y a pas de points d'intersection avec l'axe Ox. En effet, l'équation         n'a pas de solution.
Il n'y a pas de points d'intersection avec l'axe Oy car        .

        3) La fonction n'est ni paire ni impaire. Il n'y a pas de symétrie autour de l'axe des ordonnées. Il n'y a pas non plus de symétrie quant à l'origine. Car
.
Nous voyons que         et        .

        4) La fonction est continue dans le domaine
.

; .

; .
Donc, le point         est un point de discontinuité de seconde espèce (discontinuité infinie).

5) Asymptotes verticales :       

Trouvez l'asymptote oblique        . Ici

;
.
On a donc une asymptote horizontale : y=0. Il n'y a pas d'asymptotes obliques.

        6) Trouvez la dérivée première. Dérivée première :
.
Et c'est pourquoi
.
Trouvons les points stationnaires où la dérivée est égale à zéro, c'est-à-dire
.

        7) Trouvez la dérivée seconde. Dérivée seconde :
.
Et cela est facile à vérifier puisque