Il est nécessaire de comparer des quantités et des quantités pour résoudre des problèmes pratiques depuis l'Antiquité. Dans le même temps, des mots tels que plus et moins, plus haut et plus bas, plus léger et plus lourd, plus silencieux et plus fort, moins cher et plus cher, etc. sont apparus, désignant les résultats de la comparaison de quantités homogènes.
Les concepts de plus et de moins sont apparus en relation avec le comptage d'objets, la mesure et la comparaison de quantités. Par exemple, les mathématiciens de la Grèce antique savaient que le côté de tout triangle est inférieur à la somme des deux autres côtés et que le plus grand côté se trouve à l’opposé du plus grand angle d’un triangle. Archimède, en calculant la circonférence, a établi que le périmètre de tout cercle est égal à trois fois le diamètre avec un excès inférieur au septième du diamètre, mais supérieur à dix soixante-dix fois le diamètre.
Écrivez symboliquement les relations entre les nombres et les quantités à l'aide des signes > et b. Dossiers dans lesquels deux nombres sont reliés par l'un des signes : > (supérieur à), Vous avez également rencontré des inégalités numériques dans les classes inférieures. Vous savez que les inégalités peuvent être vraies ou fausses. Par exemple, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) est une inégalité numérique correcte, 0,23 > 0,235 est une inégalité numérique incorrecte.
Les inégalités impliquant des inconnues peuvent être vraies pour certaines valeurs des inconnues et fausses pour d'autres. Par exemple, l'inégalité 2x+1>5 est vraie lorsque x = 3, mais pas vraie lorsque x = -3. Pour une inégalité à une inconnue, vous pouvez définir la tâche : résoudre l'inégalité. Dans la pratique, les problèmes de résolution d'inégalités ne sont pas moins souvent posés et résolus que les problèmes de résolution d'équations. Par exemple, de nombreux problèmes économiques se résument à l’étude et à la solution de systèmes d’inégalités linéaires. Dans de nombreuses branches des mathématiques, les inégalités sont plus courantes que les équations.
Certaines inégalités constituent le seul aide, vous permettant de prouver ou de réfuter l'existence d'un certain objet, par exemple la racine d'une équation.
Inégalités numériques
Pouvez-vous comparer des nombres entiers ? décimales. Connaissez-vous les règles de comparaison ? fractions ordinaires avec les mêmes dénominateurs mais des numérateurs différents ; avec les mêmes numérateurs, mais différents dénominateurs. Ici, vous apprendrez comment comparer deux nombres en trouvant le signe de leur différence.
La comparaison de nombres est largement utilisée dans la pratique. Par exemple, un économiste compare les indicateurs prévus avec les indicateurs réels, un médecin compare la température d’un patient à la normale, un tourneur compare les dimensions d’une pièce usinée à une norme. Dans tous ces cas, certains chiffres sont comparés. À la suite de la comparaison des nombres, des inégalités numériques apparaissent.
Définition. Numéro un plus de numéro b, si différence a-b positif. Numéro un moins de nombre b, si la différence a-b est négative.
Si a est supérieur à b, alors ils écrivent : a > b ; si a est inférieur à b, alors ils écrivent : a Ainsi, l'inégalité a > b signifie que la différence a - b est positive, c'est-à-dire a - b > 0. Inégalité a Pour deux nombres a et b quelconques issus des trois relations suivantes a > b, a = b, a Comparer les nombres a et b signifie savoir lequel des signes >, = ou Théorème. Si a > b et b > c, alors a > c.
Théorème. Si vous ajoutez le même nombre aux deux côtés de l’inégalité, le signe de l’inégalité ne changera pas.
Conséquence. N'importe quel terme peut être déplacé d'une partie de l'inégalité à une autre en changeant le signe de ce terme en sens inverse.
Théorème. Si les deux côtés de l’inégalité sont multipliés par le même nombre positif, alors le signe de l’inégalité ne change pas. Si les deux côtés de l’inégalité sont multipliés par le même un nombre négatif, alors le signe de l'inégalité changera à l'opposé.
Conséquence. Si les deux côtés de l’inégalité sont divisés par le même nombre positif, alors le signe de l’inégalité ne changera pas. Si les deux côtés de l’inégalité sont divisés par le même nombre négatif, alors le signe de l’inégalité changera pour l’opposé.
Vous savez que les égalités numériques peuvent être additionnées et multipliées terme par terme. Ensuite, vous apprendrez comment effectuer des actions similaires avec des inégalités. La possibilité d’additionner et de multiplier les inégalités terme par terme est souvent utilisée en pratique. Ces actions aident à résoudre les problèmes d'évaluation et de comparaison du sens des expressions.
Lors de la résolution de divers problèmes, il est souvent nécessaire d'ajouter ou de multiplier terme par terme les côtés gauche et droit des inégalités. Parallèlement, on dit parfois que les inégalités s’additionnent ou se multiplient. Par exemple, si un touriste a marché plus de 20 km le premier jour et plus de 25 km le deuxième, alors on peut dire qu'en deux jours il a marché plus de 45 km. De même, si la longueur d'un rectangle est inférieure à 13 cm et la largeur est inférieure à 5 cm, alors on peut dire que l'aire de ce rectangle est inférieure à 65 cm2.
Lors de l'examen de ces exemples, les éléments suivants ont été utilisés théorèmes d'addition et de multiplication des inégalités :
Théorème. En ajoutant des inégalités de même signe, on obtient une inégalité de même signe : si a > b et c > d, alors a + c > b + d.
Théorème. En multipliant des inégalités de même signe, dont les côtés gauche et droit sont positifs, on obtient une inégalité de même signe : si a > b, c > d et a, b, c, d sont des nombres positifs, alors ac > bd.
Inégalités de signe > (supérieur à) et 1/2, 3/4 b, c Avec les signes d'inégalités strictes > et De la même manière, l'inégalité \(a \geq b \) signifie que le nombre a est supérieur ou égal à b, c'est-à-dire .et pas inférieur à b.
Les inégalités contenant le signe \(\geq \) ou le signe \(\leq \) sont dites non strictes. Par exemple, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ne sont pas des inégalités strictes.
Toutes les propriétés des inégalités strictes sont également valables pour les inégalités non strictes. De plus, si pour des inégalités strictes les signes > étaient considérés comme opposés et que vous savez que pour résoudre un certain nombre de problèmes appliqués, vous devez créer un modèle mathématique sous la forme d'une équation ou d'un système d'équations. Ensuite, vous apprendrez que les modèles mathématiques permettant de résoudre de nombreux problèmes sont des inégalités avec des inconnues. Nous présenterons le concept de résolution d’une inégalité et montrerons comment vérifier si numéro donné résoudre une inégalité spécifique.
Inégalités de forme
\(ax > b, \quad ax dans lesquels a et b reçoivent des nombres et x est une inconnue, sont appelés inégalités linéaires à une inconnue.
Définition. La solution d’une inégalité à une inconnue est la valeur de l’inconnue à laquelle cette inégalité devient une véritable inégalité numérique. Résoudre une inégalité, c’est trouver toutes ses solutions ou établir qu’il n’y en a pas.
Vous avez résolu les équations en les réduisant aux équations les plus simples. De même, lorsqu’on résout des inégalités, on essaie de les réduire, à l’aide de propriétés, à la forme d’inégalités simples.
Résoudre les inégalités du deuxième degré avec une seule variable
Inégalités de forme
\(ax^2+bx+c >0 \) et \(ax^2+bx+c où x est une variable, a, b et c sont des nombres et \(a \neq 0 \), appelés inégalités du deuxième degré à une variable.
Solution aux inégalités
\(ax^2+bx+c >0 \) ou \(ax^2+bx+c peut être considéré comme trouvant des intervalles dans lesquels la fonction \(y= ax^2+bx+c \) prend du positif ou du négatif valeurs Pour ce faire, il suffit d'analyser comment se situe le graphique de la fonction \(y= ax^2+bx+c\) dans le plan de coordonnées : où sont dirigées les branches de la parabole - vers le haut ou vers le bas, que ce soit la parabole coupe l'axe des x et si c'est le cas, à quels points.
Algorithme de résolution des inégalités du deuxième degré à une variable :
1) trouver le discriminant du trinôme carré \(ax^2+bx+c\) et découvrir si le trinôme a des racines ;
2) si le trinôme a des racines, alors marquez-les sur l'axe des x et tracez à travers les points marqués une parabole schématique dont les branches sont dirigées vers le haut pour un > 0 ou vers le bas pour un 0 ou vers le bas pour un 3) trouver les intervalles sur l'axe des x pour lesquels les points paraboles sont situés au-dessus de l'axe des x (s'ils résolvent l'inégalité \(ax^2+bx+c >0\)) ou en dessous de l'axe des x (s'ils résolvent l'inégalité inégalité
\(ax^2+bx+c Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles
Considérez la fonction
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Le domaine de cette fonction est l’ensemble de tous les nombres. Les zéros de la fonction sont les nombres -2, 3, 5. Ils divisent le domaine de définition de la fonction en intervalles \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) et \( (5; +\infty)\)
Voyons quels sont les signes de cette fonction dans chacun des intervalles indiqués.
L'expression (x + 2)(x - 3)(x - 5) est le produit de trois facteurs. Le signe de chacun de ces facteurs dans les intervalles considérés est indiqué dans le tableau :
En général, soit la fonction donnée par la formule
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
où x est une variable et x 1, x 2, ..., x n sont des nombres qui ne sont pas égaux les uns aux autres. Les nombres x 1 , x 2 , ..., x n sont les zéros de la fonction. Dans chacun des intervalles dans lesquels le domaine de définition est divisé par les zéros de la fonction, le signe de la fonction est conservé, et lors du passage par zéro, son signe change.
Cette propriété est utilisée pour résoudre des inégalités de la forme
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) où x 1, x 2, ..., x n sont des nombres non égaux les uns aux autres
Méthode considérée la résolution des inégalités est appelée la méthode des intervalles.
Donnons des exemples de résolution d'inégalités à l'aide de la méthode des intervalles.
Résoudre les inégalités :
\(x(0.5-x)(x+4) Évidemment, les zéros de la fonction f(x) = x(0.5-x)(x+4) sont les points \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)Nous traçons les zéros de la fonction sur l'axe des nombres et calculons le signe sur chaque intervalle :
Nous sélectionnons les intervalles auxquels la fonction est inférieure ou égale à zéro et notons la réponse.
Répondre:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Le concept d’inégalité mathématique est apparu dans l’Antiquité. Cela s'est produit lorsque l'homme primitif a commencé à avoir besoin de comparer leur quantité et leur taille lorsqu'il comptait et manipulait divers objets. Depuis l'Antiquité, Archimède, Euclide et d'autres scientifiques célèbres : mathématiciens, astronomes, designers et philosophes ont utilisé les inégalités dans leur raisonnement.
Mais ils utilisaient généralement une terminologie verbale dans leurs œuvres. Pour la première fois, des signes modernes désignant les concepts de « plus » et de « moins » tels que tous les écoliers les connaissent aujourd'hui ont été inventés et mis en pratique en Angleterre. Le mathématicien Thomas Harriot a rendu un tel service à ses descendants. Et cela s'est produit il y a environ quatre siècles.
Il existe de nombreux types d’inégalités connues. Parmi eux, il y en a des simples, contenant une, deux ou plusieurs variables, des rapports quadratiques, fractionnaires, complexes, et même ceux représentés par un système d'expressions. La meilleure façon de comprendre comment résoudre les inégalités est d’utiliser divers exemples.
Ne ratez pas le train
Pour commencer, imaginons qu’un résident zones rurales se dépêche de gare, qui est situé à 20 km de son village. Afin de ne pas rater le train partant à 11 heures, il doit quitter la maison à l'heure. A quelle heure faut-il le faire si sa vitesse est de 5 km/h ? La solution à ce problème pratique revient à remplir les conditions de l'expression : 5 (11 - X) ≥ 20, où X est l'heure de départ.
Cela est compréhensible, car la distance qu'un villageois doit parcourir jusqu'à la gare est égale à la vitesse de déplacement multipliée par le nombre d'heures de route. Une personne peut arriver tôt, mais elle ne peut pas être en retard. En sachant comment résoudre les inégalités et en appliquant vos compétences dans la pratique, vous obtiendrez X ≤ 7, ce qui est la réponse. Cela signifie que le villageois doit se rendre à la gare à sept heures du matin ou un peu plus tôt.
Intervalles numériques sur une ligne de coordonnées
Voyons maintenant comment mapper les relations décrites sur l'inégalité ci-dessus n'est pas stricte. Cela signifie que la variable peut prendre des valeurs inférieures à 7, ou qu'elle peut être égale à ce nombre. Donnons d'autres exemples. Pour ce faire, considérez attentivement les quatre figures présentées ci-dessous.
Sur le premier, vous pouvez voir image graphiqueécart [-7 ; 7]. Il se compose d'un ensemble de nombres placés sur une ligne de coordonnées et situés entre -7 et 7, limites comprises. Dans ce cas, les points sur le graphique sont représentés par des cercles pleins et l'intervalle est enregistré en utilisant
La deuxième figure est une représentation graphique de l’inégalité stricte. Dans ce cas, les nombres limites -7 et 7, représentés par des points perforés (non remplis), ne sont pas inclus dans l'ensemble spécifié. Et l'intervalle lui-même est écrit entre parenthèses comme suit : (-7 ; 7).
Autrement dit, après avoir compris comment résoudre des inégalités de ce type et reçu une réponse similaire, nous pouvons conclure qu'il s'agit de nombres compris entre les limites en question, à l'exception de -7 et 7. Les deux cas suivants doivent être évalués de manière manière similaire. La troisième figure montre des images des intervalles (-∞; -7] U ∪[ \frac(2)(3);∞)\)
Inégalités quadratiques avec discriminant négatif et nul
L'algorithme ci-dessus fonctionne lorsque le discriminant est supérieur à zéro, c'est-à-dire qu'il a des racines \(2\). Que faire dans les autres cas ? Par exemple, ceux-ci :
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\(1)x^2+2x+9>0\) |
\(2)x^2+6x+9≤0\) |
\(3)-x^2-4x-4>0\) |
\(4)-x^2-64<0\) |
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\(D=4-36=-32<0\) |
\(D=-4 \cdot 64<0\) |
Si \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
C'est-à-dire l'expression :
\(x^2+2x+9\) – positif pour tout \(x\), car \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - négatif pour tout \(x\), car \(a=-1<0\)
Si \(D=0\), alors le trinôme quadratique pour une valeur \(x\) est égal à zéro, et pour toutes les autres il a un signe constant, qui coïncide avec le signe du coefficient \(a\).
C'est-à-dire l'expression :
\(x^2+6x+9\) est égal à zéro pour \(x=-3\) et positif pour tous les autres x, car \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - égal à zéro pour \(x=-2\) et négatif pour tous les autres, car \(a=-1<0\).
Comment trouver x pour lequel le trinôme quadratique est égal à zéro ? Nous devons résoudre l’équation quadratique correspondante.
Compte tenu de ces informations, résolvons les inégalités quadratiques :
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1) \(x^2+2x+9>0\) |
L’inégalité, pourrait-on dire, nous pose la question : « pour lequel \(x\) l’expression de gauche est-elle supérieure à zéro ? Nous l'avons déjà découvert ci-dessus pour tout le monde. Dans la réponse, vous pouvez écrire : « pour tout \(x\) », mais il vaut mieux exprimer la même idée dans le langage mathématique. |
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Réponse : \(x∈(-∞;∞)\) |
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2) \(x^2+6x+9≤0\) |
Question d'inégalité : « pour lequel \(x\) l'expression de gauche est-elle inférieure ou égale à zéro ? Il ne peut pas être inférieur à zéro, mais il peut être égal à zéro. Et pour savoir à quelle affirmation cela se produira, résolvons l’équation quadratique correspondante. |
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Assemblons notre expression selon \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). |
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Désormais, la seule chose qui nous arrête, c'est la place. Réfléchissons ensemble : quel nombre au carré est égal à zéro ? Zéro! Cela signifie que le carré d’une expression est égal à zéro uniquement si l’expression elle-même est égale à zéro. |
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\(x+3=0\) |
Ce numéro sera la réponse. |
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Réponse : \(-3\) |
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3)\(-x^2-4x-4>0\) |
Quand l’expression de gauche est-elle supérieure à zéro ? Comme mentionné ci-dessus, l'expression de gauche est soit négative, soit égale à zéro ; elle ne peut pas être positive ; La réponse est donc jamais. Écrivons « jamais » dans le langage mathématique, en utilisant le symbole « ensemble vide » - \(∅\). |
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Réponse : \(x∈∅\) |
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4) \(-x^2-64<0\) |
Quand l'expression est à gauche moins que zéro? Toujours. Cela signifie que l'inégalité est vraie pour tout \(x\). |
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Réponse : \(x∈(-∞;∞)\) |
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