La leçon vidéo « Équation d'une tangente au graphique d'une fonction » démontre Matériel pédagogique pour maîtriser le sujet. Au cours de la leçon vidéo, le matériel théorique nécessaire pour formuler le concept de l'équation d'une tangente au graphique d'une fonction en un point donné, un algorithme pour trouver une telle tangente et des exemples de résolution de problèmes en utilisant le matériel théorique étudié sont décrits. .
Le didacticiel vidéo utilise des méthodes qui améliorent la clarté du matériel. La présentation contient des dessins, des diagrammes, des commentaires vocaux importants, des animations, des surlignages et d'autres outils.
La leçon vidéo commence par une présentation du sujet de la leçon et une image d'une tangente au graphique d'une fonction y=f(x) au point M(a;f(a)). On sait que le coefficient angulaire de la tangente tracée au graphique en un point donné est égal à la dérivée de la fonction f΄(a) en ce point. Grâce au cours d'algèbre, nous connaissons également l'équation de la droite y=kx+m. La solution au problème de trouver l'équation tangente en un point est présentée schématiquement, ce qui se réduit à trouver les coefficients k, m. Connaissant les coordonnées d'un point appartenant au graphique de la fonction, nous pouvons trouver m en substituant la valeur des coordonnées dans l'équation tangente f(a)=ka+m. À partir de là, nous trouvons m=f(a)-ka. Ainsi, connaissant la valeur de la dérivée en un point donné et les coordonnées du point, on peut représenter l'équation tangente de cette manière y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Ce qui suit est un exemple de composition d’une équation tangente en suivant le diagramme. Étant donné la fonction y=x 2 , x=-2. En prenant a=-2, on trouve la valeur de la fonction en un point donné f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. On détermine la dérivée de la fonction f΄(x)=2x. À ce stade, la dérivée est égale à f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Pour composer l'équation, tous les coefficients a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ont été trouvés, donc l'équation tangente est y=4+(-4)(x+2). En simplifiant l'équation, nous obtenons y = -4-4x.
L'exemple suivant propose de construire une équation pour la tangente à l'origine du graphique de la fonction y=tgx. En un point donné a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. L’équation tangente ressemble donc à y=x.
En généralisation, le processus de composition d'une équation tangente au graphique d'une fonction en un certain point est formalisé sous la forme d'un algorithme composé de 4 étapes :
- Entrez la désignation a pour l'abscisse du point tangent ;
- f(a) est calculé ;
- f΄(x) est déterminé et f΄(a) est calculé. Les valeurs trouvées de a, f(a), f΄(a) sont substituées dans la formule de l'équation tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).
L'exemple 1 considère la composition de l'équation tangente au graphique de la fonction y=1/x au point x=1. Pour résoudre le problème, nous utilisons un algorithme. Pour une fonction donnée au point a=1, la valeur de la fonction f(a)=-1. Dérivée de la fonction f΄(x)=1/x 2. Au point a=1 la dérivée f΄(a)= f΄(1)=1. A partir des données obtenues, l'équation tangente y=-1+(x-1), ou y=x-2, est établie.
Dans l'exemple 2, il faut trouver l'équation de la tangente au graphique de la fonction y=x 3 +3x 2 -2x-2. La condition principale est le parallélisme de la tangente et de la droite y=-2x+1. Tout d’abord, on trouve le coefficient angulaire de la tangente, égal au coefficient angulaire de la droite y=-2x+1. Puisque f΄(a)=-2 pour une droite donnée, alors k=-2 pour la tangente souhaitée. On trouve la dérivée de la fonction (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Sachant que f΄(a)=-2, on trouve les coordonnées du point 3a 2 +6a-2=-2. Après avoir résolu l’équation, nous obtenons 1 =0 et 2 =-2. En utilisant les coordonnées trouvées, vous pouvez trouver l'équation tangente à l'aide d'un algorithme bien connu. On retrouve la valeur de la fonction aux points f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. La valeur de la dérivée au point f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. En substituant les valeurs trouvées dans l'équation tangente, nous obtenons pour le premier point a 1 =0 y=-2x-2, et pour le deuxième point a 2 =-2 l'équation tangente y=-2x-22.
L'exemple 3 décrit la composition de l'équation tangente pour la tracer au point (0;3) au graphique de la fonction y=√x. La solution est réalisée à l'aide d'un algorithme bien connu. Le point tangent a les coordonnées x=a, où a>0. La valeur de la fonction au point f(a)=√x. La dérivée de la fonction f΄(х)=1/2√х, donc en un point donné f΄(а)=1/2√а. En substituant toutes les valeurs obtenues dans l'équation tangente, nous obtenons y = √a + (x-a)/2√a. En transformant l'équation, nous obtenons y=x/2√а+√а/2. Sachant que la tangente passe par le point (0;3), on trouve la valeur de a. On trouve a à partir de 3=√a/2. Donc √a=6, a=36. On trouve l'équation tangente y=x/12+3. La figure montre le graphique de la fonction considérée et la tangente souhaitée construite.
Il est rappelé aux élèves les égalités approximatives Δy=≈f΄(x)Δxet f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. En prenant x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, on obtient f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), donc f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
Dans l'exemple 4, il faut trouver la valeur approximative de l'expression 2,003 6. Puisqu'il faut trouver la valeur de la fonction f(x) = x 6 au point x = 2,003, on peut utiliser formule bien connue, en prenant f(x)=x 6, a=2, f(a)= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Dérivée au point f΄(2)=192. Par conséquent, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Après avoir calculé l'expression, nous obtenons 2,003 6 ≈64,576.
La leçon vidéo « L'équation d'une tangente au graphique d'une fonction » est recommandée pour une utilisation dans un cours de mathématiques traditionnel à l'école. Pour un enseignant qui enseigne à distance, le matériel vidéo aidera à expliquer le sujet plus clairement. La vidéo peut être recommandée aux étudiants pour qu'ils la revoient indépendamment si nécessaire pour approfondir leur compréhension du sujet.
DÉCODAGE DE TEXTE :
On sait que si un point M (a; f(a)) (em de coordonnées a et ef de a) appartient au graphe de la fonction y = f (x) et si à ce point il est possible de tracer une tangente au graphique de la fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors le coefficient angulaire de la tangente est égal à f"(a) (eff premier de a).
Soit une fonction y = f(x) et un point M (a; f(a)), et on sait également que f´(a) existe. Créons une équation pour la tangente au graphique d'une fonction donnée en un point donné. Cette équation, comme l'équation de toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées, a la forme y = kx+m (le y est égal à ka x plus em), la tâche est donc de trouver les valeurs de les coefficients k et m. (ka et em)
Coefficient d'angle k= f"(a). Pour calculer la valeur de m, on utilise le fait que la droite souhaitée passe par le point M(a; f (a)). Cela signifie que si l'on substitue les coordonnées du point M dans l'équation de la droite, on obtient l'égalité correcte : f(a) = ka+m, d'où on trouve que m = f(a) - ka.
Il reste à substituer les valeurs trouvées des coefficients ki et m dans l'équation de la droite :
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
oui= F(un)+ F"(un) (X- un). ( y est égal à ef de a plus ef prime de a, multiplié par x moins a).
Nous avons obtenu l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point x=a.
Si, disons, y = x 2 et x = -2 (c'est-à-dire a = -2), alors f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4 ; f´(x) = 2x, ce qui signifie f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (alors le ef de a est égal à quatre, le ef du premier de x est égal à deux x, ce qui signifie ef premier à partir de a est égal à moins quatre)
En remplaçant les valeurs trouvées a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 dans l'équation, nous obtenons : y = 4+(-4)(x+2), c'est-à-dire y = -4x -4.
(E est égal à moins quatre x moins quatre)
Créons une équation pour la tangente au graphique de la fonction y = tgx(grec égal à la tangente x) à l'origine. On a : a = 0, f(0) = tan0=0 ;
f"(x)= , ce qui signifie f"(0) = l. En remplaçant les valeurs trouvées a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 dans l'équation, nous obtenons : y=x.
Résumons nos étapes pour trouver l'équation de la tangente au graphique d'une fonction au point x à l'aide d'un algorithme.
ALGORITHME DE DÉVELOPPEMENT D'UNE ÉQUATION POUR UNE TANGENTE AU GRAPHE DE LA FONCTION y = f(x) :
1) Désigner l'abscisse du point tangent par la lettre a.
2) Calculez f(a).
3) Trouvez f´(x) et calculez f´(a).
4) Remplacez les nombres trouvés a, f(a), f´(a) dans la formule oui= F(un)+ F"(un) (X- un).
Exemple 1. Créer une équation pour la tangente au graphique de la fonction y = - in
point x = 1.
Solution. Utilisons l'algorithme, en tenant compte de cela dans cet exemple
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f´(x)=; f´(une)= f´(1)= =1.
4) Remplacez les trois nombres trouvés : a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 dans la formule. Nous obtenons : y = -1+(x-1), y = x-2 .
Réponse : y = x-2.
Exemple 2. Étant donné la fonction y = x3 +3x2 -2x-2. Notez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = f(x), parallèle à la droite y = -2x +1.
En utilisant l'algorithme de composition de l'équation tangente, on prend en compte que dans cet exemple f(x) = x3 +3x2 -2x-2, mais l'abscisse du point tangent n'est pas indiquée ici.
Commençons à penser comme ça. La tangente souhaitée doit être parallèle à la droite y = -2x+1. Et les lignes parallèles ont des coefficients angulaires égaux. Cela signifie que le coefficient angulaire de la tangente est égal au coefficient angulaire de la droite donnée : k tangente. = -2. Hok cas. = f"(a). Ainsi, nous pouvons trouver la valeur de a à partir de l'équation f ´(a) = -2.
Trouvons la dérivée de la fonction y=F(X):
F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F"(une)= 3a 2 +6a-2.
D'après l'équation f"(a) = -2, c'est-à-dire 3a 2 +6a-2=-2 on trouve un 1 =0, un 2 =-2. Cela signifie qu'il existe deux tangentes qui satisfont aux conditions du problème : l'une au point d'abscisse 0, l'autre au point d'abscisse -2.
Vous pouvez maintenant suivre l'algorithme.
1) un 1 =0 et 2 =-2.
2) f(une 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(une 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(une 1) = f"(une 2) = -2.
4) En remplaçant les valeurs a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 dans la formule, nous obtenons :
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
En remplaçant les valeurs a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 dans la formule, nous obtenons :
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Réponse : y=-2x-2, y=-2x+2.
Exemple 3. A partir du point (0; 3) tracez une tangente au graphique de la fonction y = . Solution. Utilisons l'algorithme pour composer l'équation tangente, en tenant compte du fait que dans cet exemple f(x) = . A noter qu'ici, comme dans l'exemple 2, l'abscisse du point tangent n'est pas explicitement indiquée. Néanmoins, nous suivons l'algorithme.
1) Soit x = a l'abscisse du point de tangence ; il est clair que a >0.
3) f´(x)=()´=; f´(une) =.
4) Remplacer les valeurs de a, f(a) = , f"(a) = dans la formule
y=f (a) +f "(a) (x-a), on a:
Par condition, la tangente passe par le point (0 ; 3). En substituant les valeurs x = 0, y = 3 dans l'équation, nous obtenons : 3 = , puis =6, a =36.
Comme vous pouvez le voir, dans cet exemple, ce n'est qu'à la quatrième étape de l'algorithme que nous avons réussi à trouver l'abscisse du point tangent. En substituant la valeur a =36 dans l'équation, nous obtenons : y=+3
En figue. La figure 1 montre une illustration géométrique de l'exemple considéré : un graphique de la fonction y = est construit, une droite est tracée y = +3.
Réponse : y = +3.
On sait que pour une fonction y = f(x), qui a une dérivée au point x, l'égalité approximative est valable : Δyf´(x)Δx (delta y est approximativement égal à l'eff premier de x multiplié par delta x)
ou, plus en détail, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff de x plus delta x moins ef de x est approximativement égal à ef prime de x par delta x).
Pour faciliter la discussion ultérieure, modifions la notation :
au lieu de x nous écrirons UN,
au lieu de x+Δx on écrira x
Au lieu de Δx nous écrirons x-a.
Alors l’égalité approximative écrite ci-dessus prendra la forme :
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff de x est approximativement égal à ef de a plus ef prime de a, multiplié par la différence entre x et a).
Exemple 4. Trouvez la valeur approximative de l'expression numérique 2,003 6.
Solution. Nous parlons de trouver la valeur de la fonction y = x 6 au point x = 2,003. Utilisons la formule f(x)f(a)+f´(a)(x-a), en tenant compte du fait que dans cet exemple f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 et, donc, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.
En conséquence nous obtenons :
2,003 6 64+192 · 0,003, soit 2,0036 =64,576.
Si on utilise une calculatrice, on obtient :
2,003 6 = 64,5781643...
Comme vous pouvez le constater, la précision de l’approximation est tout à fait acceptable.
L'article fournit une explication détaillée des définitions, de la signification géométrique de la dérivée avec des notations graphiques. L'équation d'une droite tangente sera considérée avec des exemples, les équations d'une tangente aux courbes du 2ème ordre seront trouvées.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Définition 1
L'angle d'inclinaison de la droite y = k x + b est appelé angle α, qui est mesuré depuis la direction positive de l'axe x jusqu'à la droite y = k x + b dans la direction positive.
Sur la figure, la direction x est indiquée par une flèche verte et un arc vert, et l'angle d'inclinaison par un arc rouge. La ligne bleue fait référence à la ligne droite.
Définition 2
La pente de la droite y = k x + b est appelée coefficient numérique k.
Le coefficient angulaire est égal à la tangente de la droite, autrement dit k = t g α.
- L'angle d'inclinaison d'une droite n'est égal à 0 que si elle est parallèle à x et que la pente est égale à zéro, car la tangente de zéro est égale à 0. Cela signifie que la forme de l’équation sera y = b.
- Si l'angle d'inclinaison de la droite y = k x + b est aigu, alors les conditions 0 sont remplies< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, et il y a une augmentation dans le graphique.
- Si α = π 2, alors l'emplacement de la droite est perpendiculaire à x. L'égalité est spécifiée par x = c, la valeur c étant un nombre réel.
- Si l'angle d'inclinaison de la droite y = k x + b est obtus, alors il correspond aux conditions π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Une sécante est une droite qui passe par 2 points de la fonction f (x). En d’autres termes, une sécante est une ligne droite qui passe par deux points quelconques du graphique d’une fonction donnée.
La figure montre que A B est une sécante, et f (x) est une courbe noire, α est un arc rouge, indiquant l'angle d'inclinaison de la sécante.
Lorsque le coefficient angulaire d'une droite est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison, il est clair que la tangente d'un triangle rectangle A B C peut être trouvée par le rapport du côté opposé au côté adjacent.
Définition 4
On obtient une formule pour trouver une sécante de la forme :
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, où les abscisses des points A et B sont les valeurs x A, x B, et f (x A), f (x B) sont les fonctions de valeurs en ces points.
Évidemment, le coefficient angulaire de la sécante est déterminé à l'aide de l'égalité k = f (x B) - f (x A) x B - x A ou k = f (x A) - f (x B) x A - x B , et l'équation doit être écrite sous la forme y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ou
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .
La sécante divise visuellement le graphique en 3 parties : à gauche du point A, de A à B, à droite de B. La figure ci-dessous montre qu'il existe trois sécantes qui sont considérées comme coïncidentes, c'est-à-dire qu'elles sont définies à l'aide d'un équation similaire.
Par définition, il est clair qu'une droite et sa sécante en dans ce cas correspondre.
Une sécante peut couper plusieurs fois le graphique d’une fonction donnée. S'il existe une équation de la forme y = 0 pour une sécante, alors le nombre de points d'intersection avec la sinusoïde est infini.
Définition 5
Tangente au graphique de la fonction f (x) au point x 0 ; f (x 0) est une droite passant par un point donné x 0 ; f (x 0), avec la présence d'un segment qui a de nombreuses valeurs x proches de x 0.
Exemple 1
Examinons de plus près l'exemple ci-dessous. Il est alors clair que la droite définie par la fonction y = x + 1 est considérée comme tangente à y = 2 x au point de coordonnées (1 ; 2). Pour plus de clarté, il est nécessaire de considérer des graphiques dont les valeurs sont proches de (1 ; 2). La fonction y = 2 x est représentée en noir, la ligne bleue est la ligne tangente et le point rouge est le point d'intersection.
Évidemment, y = 2 x fusionne avec la droite y = x + 1.
Pour déterminer la tangente, nous devons considérer le comportement de la tangente A B lorsque le point B s'approche à l'infini du point A. Pour plus de clarté, nous présentons un dessin.
La sécante A B, indiquée par la ligne bleue, tend vers la position de la tangente elle-même, et l'angle d'inclinaison de la sécante α commencera à tendre vers l'angle d'inclinaison de la tangente elle-même α x.
Définition 6
La tangente au graphique de la fonction y = f (x) au point A est considérée comme la position limite de la sécante A B lorsque B tend vers A, c'est-à-dire B → A.
Passons maintenant à la signification géométrique de la dérivée d'une fonction en un point.
Passons à considérer la sécante A B pour la fonction f (x), où A et B de coordonnées x 0, f (x 0) et x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), et ∆ x est noté comme l'incrément de l'argument. Maintenant, la fonction prendra la forme ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pour plus de clarté, donnons un exemple de dessin.
Considérons le résultat triangle rectangle A B C. Nous utilisons la définition de la tangente pour résoudre, c'est-à-dire que nous obtenons la relation ∆ y ∆ x = t g α . De la définition d'une tangente, il résulte que lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . D'après la règle de la dérivée en un point, on a que la dérivée f (x) au point x 0 est appelée la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, où ∆ x → 0 , alors nous le notons f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Il s'ensuit que f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, où k x est noté la pente de la tangente.
Autrement dit, nous constatons que f ' (x) peut exister au point x 0, et comme la tangente à un graphique donné de la fonction au point de tangence égale à x 0, f 0 (x 0), où la valeur de la pente de la tangente au point est égale à la dérivée au point x 0 . Ensuite, nous obtenons que k x = f " (x 0) .
Signification géométrique La dérivée d'une fonction en un point est que le concept de l'existence d'une tangente au graphe en ce même point est donné.
Pour écrire l’équation d’une droite quelconque sur un plan, il faut disposer d’un coefficient angulaire avec le point par lequel elle passe. Sa notation est prise x 0 à l'intersection.
L'équation tangente au graphique de la fonction y = f (x) au point x 0, f 0 (x 0) prend la forme y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).
Cela signifie que la valeur finale de la dérivée f "(x 0) peut déterminer la position de la tangente, c'est-à-dire verticalement, à condition que lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ et lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ou absence totale sous la condition lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .
L'emplacement de la tangente dépend de la valeur de son coefficient angulaire k x = f "(x 0). Lorsqu'elle est parallèle à l'axe o x, on obtient que k k = 0, lorsqu'elle est parallèle à o y - k x = ∞, et la forme du équation tangente x = x 0 augmente lorsque k x > 0, diminue lorsque k x< 0 .
Exemple 2
Compilez une équation pour la tangente au graphique de la fonction y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 au point de coordonnées (1 ; 3) et déterminez l'angle d'inclinaison.
Solution
Par condition, nous avons que la fonction est définie pour tous les nombres réels. Nous constatons que le point avec les coordonnées spécifiées par la condition (1 ; 3) est un point de tangence, alors x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.
Il faut trouver la dérivée au point de valeur - 1. Nous obtenons cela
y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
La valeur de f' (x) au point de tangence est la pente de la tangente, qui est égale à la tangente de la pente.
Alors k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3
Il s'ensuit que α x = a r c t g 3 3 = π 6
Répondre: l'équation tangente prend la forme
y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
Pour plus de clarté, nous donnons un exemple dans une illustration graphique.
La couleur noire est utilisée pour le graphique de la fonction d'origine, la couleur bleue est l'image de la tangente et le point rouge est le point de tangence. La figure de droite montre une vue agrandie.
Exemple 3
Déterminer l'existence d'une tangente au graphique d'une fonction donnée
y = 3 · x - 1 5 + 1 au point de coordonnées (1 ; 1) . Écrivez une équation et déterminez l’angle d’inclinaison.
Solution
Par condition, nous avons que le domaine de définition d'une fonction donnée est considéré comme l'ensemble de tous les nombres réels.
Passons à la recherche de la dérivée
y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
Si x 0 = 1, alors f' (x) n'est pas défini, mais les limites s'écrivent sous la forme lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ et lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , ce qui signifie que existence tangente verticale au point (1 ; 1).
Répondre: l'équation prendra la forme x = 1, où l'angle d'inclinaison sera égal à π 2.
Pour plus de clarté, décrivons-le graphiquement.
Exemple 4
Trouvez les points sur le graphique de la fonction y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, où
- Il n'y a pas de tangente ;
- La tangente est parallèle à x ;
- La tangente est parallèle à la droite y = 8 5 x + 4.
Solution
Il faut faire attention à la portée de la définition. Par condition, on a que la fonction est définie sur l’ensemble de tous les nombres réels. Nous développons le module et résolvons le système avec des intervalles x ∈ - ∞ ; 2 et [ - 2 ; + ∞) . Nous obtenons cela
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Il faut différencier la fonction. Nous avons ça
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Lorsque x = − 2, alors la dérivée n'existe pas car les limites unilatérales ne sont pas égales à ce stade :
lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
On calcule la valeur de la fonction au point x = - 2, où on obtient ça
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, c'est-à-dire la tangente au point ( - 2 ; - 2) n'existera pas.
- La tangente est parallèle à x lorsque la pente est nulle. Alors k x = t g α x = f "(x 0). Autrement dit, il est nécessaire de trouver les valeurs d'un tel x lorsque la dérivée de la fonction le transforme à zéro. C'est-à-dire les valeurs de f' (x) seront les points de tangence, où la tangente est parallèle à x .
Quand x ∈ - ∞ ; - 2, alors - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, et pour x ∈ (- 2 ; + ∞) on obtient 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
Calculer les valeurs de fonction correspondantes
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 et 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
D'où - 5 ; 8 5, - 4 ; 4 3, 1 ; 8 5, 3; 4 3 sont considérés comme les points requis du graphe de fonction.
Considérons image graphique solutions.
La ligne noire est le graphique de la fonction, les points rouges sont les points de tangence.
- Lorsque les droites sont parallèles, les coefficients angulaires sont égaux. Ensuite, il faut rechercher les points sur le graphique de fonction où la pente sera égale à la valeur 8 5. Pour ce faire, il faut résoudre une équation de la forme y "(x) = 8 5. Alors, si x ∈ - ∞; - 2, on obtient que - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, et si x ∈ ( - 2 ; + ∞), alors 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.
La première équation n'a pas de racines, puisque le discriminant moins que zéro. Écrivons ça
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
Une autre équation a deux racines réelles, alors
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
Passons à la recherche des valeurs de la fonction. Nous obtenons cela
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Points avec des valeurs - 1 ; 4 15, 5; 8 3 sont les points auxquels les tangentes sont parallèles à la droite y = 8 5 x + 4.
Répondre: ligne noire – graphique de la fonction, ligne rouge – graphique de y = 8 5 x + 4, ligne bleue – tangentes aux points - 1 ; 4 15, 5; 8 3.
Il peut y avoir une infinité de tangentes pour des fonctions données.
Exemple 5
Écrivez les équations de toutes les tangentes disponibles de la fonction y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, qui sont situées perpendiculairement à la droite y = - 2 x + 1 2.
Solution
Pour compiler l'équation tangente, il est nécessaire de trouver le coefficient et les coordonnées du point tangent, en fonction de la condition de perpendiculaire des lignes. La définition est la suivante : le produit des coefficients angulaires perpendiculaires aux droites est égal à - 1, c'est-à-dire s'écrit k x · k ⊥ = - 1. De la condition nous avons que le coefficient angulaire est situé perpendiculairement à la droite et est égal à k ⊥ = - 2, alors k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.
Vous devez maintenant trouver les coordonnées des points de contact. Vous devez trouver x puis sa valeur pour une fonction donnée. Notez que d'après la signification géométrique de la dérivée au point
x 0 on obtient que k x = y" (x 0). De cette égalité on retrouve les valeurs de x pour les points de contact.
Nous obtenons cela
y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 péché 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 péché 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ péché 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Cette équation trigonométrique servira à calculer les ordonnées des points tangents.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ou 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ou 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ou x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z est un ensemble d'entiers.
x points de contact ont été trouvés. Vous devez maintenant passer à la recherche des valeurs de y :
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - péché 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ou y 0 = 3 - 1 - péché 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ou y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 ou y 0 = - 4 5 + 1 3
De là, nous obtenons que 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sont les points de tangence.
Répondre: les équations nécessaires s'écriront sous la forme
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈Z
Pour une représentation visuelle, considérons une fonction et une tangente sur une ligne de coordonnées.
La figure montre que la fonction est située sur l'intervalle [ - 10 ; 10 ], où la ligne noire est le graphique de la fonction, les lignes bleues sont des tangentes situées perpendiculairement à la ligne donnée de la forme y = - 2 x + 1 2. Les points rouges sont des points de contact.
Les équations canoniques des courbes du 2ème ordre ne sont pas des fonctions à valeur unique. Les équations tangentes pour eux sont compilées selon des schémas connus.
Tangente à un cercle
Définir un cercle de centre au point x centre ; y centre et rayon R, appliquez la formule x - x centre 2 + y - y centre 2 = R 2 .
Cette égalité peut s'écrire comme une union de deux fonctions :
y = R 2 - x - x centre 2 + y centre y = - R 2 - x - x centre 2 + y centre
La première fonction est située en haut et la seconde en bas, comme le montre la figure.
Compiler l'équation d'un cercle au point x 0 ; y 0 , qui est situé dans le demi-cercle supérieur ou inférieur, vous devriez trouver l'équation du graphique d'une fonction de la forme y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ou y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y centrez-vous au point indiqué.
Quand aux points x centre ; y centre + R et x centre ; y centre - R les tangentes peuvent être données par les équations y = y centre + R et y = y centre - R , et aux points x centre + R ; y centre et
x centre - R ; y centre sera parallèle à o y, alors on obtient des équations de la forme x = x c e n t e r + R et x = x c e n t e r - R .
Tangente à une ellipse
Lorsque l'ellipse a un centre en x centre ; y c e n t e r avec les demi-axes a et b, alors il peut être spécifié en utilisant l'équation x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.
Une ellipse et un cercle peuvent être désignés en combinant deux fonctions, à savoir la demi-ellipse supérieure et inférieure. Ensuite, nous obtenons cela
y = b a · a 2 - (x - x centre) 2 + y centre y = - b a · a 2 - (x - x centre) 2 + y centre
Si les tangentes sont situées aux sommets de l’ellipse, alors elles sont parallèles par rapport à x ou par rapport à y. Ci-dessous, pour plus de clarté, considérons la figure.
Exemple 6
Écrivez l'équation de la tangente à l'ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 aux points avec des valeurs de x égales à x = 2.
Solution
Il faut trouver les points tangents qui correspondent à la valeur x = 2. Nous substituons l'équation existante de l'ellipse et trouvons que
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Puis 2 ; 5 3 2 + 5 et 2 ; - 5 3 2 + 5 sont les points tangents qui appartiennent à la demi-ellipse supérieure et inférieure.
Passons à la recherche et à la résolution de l'équation de l'ellipse par rapport à y. Nous obtenons cela
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Évidemment, la demi-ellipse supérieure est spécifiée à l'aide d'une fonction de la forme y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, et la demi-ellipse inférieure y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.
Appliquons un algorithme standard pour créer une équation pour une tangente au graphique d'une fonction en un point. Écrivons que l'équation de la première tangente au point 2 ; 5 3 2 + 5 ressemblera à
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
On trouve que l'équation de la deuxième tangente de valeur au point
2 ; - 5 3 2 + 5 prend la forme
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Graphiquement, les tangentes sont désignées comme suit :
Tangente à l'hyperbole
Lorsqu'une hyperbole a un centre en x centre ; y centre et sommets x centre + α ; y centre et x centre - α ; y centre, l'inégalité x - x centre 2 α 2 - y - y centre 2 b 2 = 1 a lieu, si avec les sommets x centre ; y centre + b et x centre ; y c e n t e r - b , alors est spécifié en utilisant l'inégalité x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .
Une hyperbole peut être représentée comme deux fonctions combinées de la forme
y = b a · (x - x centre) 2 - a 2 + y centre = - b a · (x - x centre) 2 - a 2 + y centre ou y = b a · (x - x centre) 2 + a 2 + y centre = - b a · (x - x centre) 2 + a 2 + y centre
Dans le premier cas nous avons que les tangentes sont parallèles à y, et dans le second elles sont parallèles à x.
Il s'ensuit que pour trouver l'équation de la tangente à une hyperbole, il faut savoir à quelle fonction appartient le point de tangence. Pour déterminer cela, il est nécessaire de substituer les équations et de vérifier l'identité.
Exemple 7
Écrivez une équation pour la tangente à l'hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 au point 7 ; - 3 3 - 3 .
Solution
Il est nécessaire de transformer l'enregistrement solution pour trouver une hyperbole à l'aide de 2 fonctions. Nous obtenons cela
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 et y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
Il est nécessaire d'identifier à quelle fonction appartient un point donné de coordonnées 7 ; - 3 3 - 3 .
Évidemment, pour vérifier la première fonction il faut y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, alors le point n'appartient pas au graphe, puisque l'égalité ne tient pas.
Pour la deuxième fonction, nous avons que y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ce qui signifie que le point appartient au graphique donné. De là, vous devriez trouver la pente.
Nous obtenons cela
y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Répondre: l'équation tangente peut être représentée comme
y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
C'est clairement représenté comme ceci :
Tangente à une parabole
Pour créer une équation pour la tangente à la parabole y = a x 2 + b x + c au point x 0, y (x 0), vous devez utiliser un algorithme standard, alors l'équation prendra la forme y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0).Une telle tangente au sommet est parallèle à x.
Vous devez définir la parabole x = a y 2 + b y + c comme l'union de deux fonctions. Nous devons donc résoudre l’équation de y. Nous obtenons cela
x = une y 2 + par y + c ⇔ une y 2 + par y + c - x = 0 D = b 2 - 4 une (c - x) y = - b + b 2 - 4 une (c - x) 2 une y = - b - b 2 - 4 une (c - x) 2 une
Graphiquement représenté comme suit :
Pour savoir si un point x 0, y (x 0) appartient à une fonction, procédez doucement selon l'algorithme standard. Une telle tangente sera parallèle à o y par rapport à la parabole.
Exemple 8
Écrivez l'équation de la tangente au graphique x - 2 y 2 - 5 y + 3 lorsque l'on a un angle tangent de 150°.
Solution
Nous commençons la solution en représentant la parabole comme deux fonctions. Nous obtenons cela
2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
La valeur de la pente est égale à la valeur de la dérivée au point x 0 de cette fonction et est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison.
On a:
k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
À partir de là, nous déterminons la valeur x pour les points de contact.
La première fonction s’écrira sous la forme
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Évidemment, il n’y a pas de véritables racines, puisque nous avons obtenu une valeur négative. Nous concluons qu’il n’existe pas de tangente d’angle de 150° pour une telle fonction.
La deuxième fonction s’écrira sous la forme
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Nous avons que les points de contact sont 23 4 ; - 5 + 3 4 .
Répondre: l'équation tangente prend la forme
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
Représentons-le graphiquement de cette façon :
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée
Y = f(x) et si à ce stade une tangente peut être tracée au graphique de la fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors le coefficient angulaire de la tangente est égal à f"(a). Nous avons déjà utilisé à plusieurs reprises. Par exemple, au § 33, il a été établi que le graphique de la fonction y = sin x (sinusoïde) à l'origine forme un angle de 45° avec l'axe des x (plus précisément la tangente à la le graphique à l'origine fait un angle de 45° avec la direction positive de l'axe des x), et dans l'exemple 5 § 33 points ont été trouvés dans les délais donnés les fonctions, dans lequel la tangente est parallèle à l'axe des x. Dans l'exemple 2 du § 33, une équation a été établie pour la tangente au graphique de la fonction y = x 2 au point x = 1 (plus précisément, au point (1 ; 1), mais le plus souvent seule la valeur de l'abscisse est indiqué, estimant que si la valeur de l'abscisse est connue, alors la valeur de l'ordonnée peut être trouvée à partir de l'équation y = f(x)). Dans cette section, nous développerons un algorithme pour composer une équation tangente au graphique de n'importe quelle fonction.
Soit donné la fonction y = f(x) et le point M (a; f(a)), et on sait aussi que f"(a) existe. Composons une équation pour la tangente au graphique de a fonction donnée en un point donné. Cette équation est comme l'équation de toute ligne droite non parallèle à l'axe des ordonnées a la forme y = kx+m, la tâche est donc de trouver les valeurs des coefficients k et m.
Il n'y a aucun problème avec le coefficient angulaire k : on sait que k = f"(a). Pour calculer la valeur de m, on utilise le fait que la droite souhaitée passe par le point M(a; f (a)) Cela signifie que si nous substituons les coordonnées du point M dans l'équation de la droite, nous obtenons l'égalité correcte : f(a) = ka+m, d'où nous trouvons que m = f(a) - ka.
Il reste à substituer les valeurs trouvées des coefficients du kit dans l'équation droit:
Nous avons obtenu l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point x=a.
Si, disons,
En remplaçant les valeurs trouvées a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 dans l'équation (1), nous obtenons : y = 1+2(x-f), c'est-à-dire y = 2x-1.
Comparez ce résultat avec celui obtenu dans l'exemple 2 du § 33. Naturellement, la même chose s'est produite.
Créons une équation pour la tangente au graphique de la fonction y = tan x à l'origine. Nous avons: 
cela signifie cos x f"(0) = 1. En remplaçant les valeurs trouvées a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 dans l'équation (1), nous obtenons : y = x.
C'est pourquoi nous avons tracé la tangentoïde au § 15 (voir Fig. 62) passant par l'origine des coordonnées sous un angle de 45° par rapport à l'axe des abscisses.
Lors de la résolution de ces exemples assez simples, nous avons en fait utilisé un certain algorithme, contenu dans la formule (1). Rendons cet algorithme explicite.
ALGORITHME DE DÉVELOPPEMENT D'UNE ÉQUATION POUR UNE TANGENTE AU GRAPHIQUE DE LA FONCTION y = f(x)
1) Désigner l'abscisse du point tangent par la lettre a.
2) Calculez 1 (a).
3) Trouvez f"(x) et calculez f"(a).
4) Remplacez les nombres trouvés a, f(a), (a) dans la formule (1).
Exemple 1.Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction au point x = 1.
Utilisons l'algorithme, en tenant compte de cela dans cet exemple
En figue. 126 une hyperbole est représentée, une droite y = 2 est construite.
Le dessin confirme les calculs ci-dessus : en effet, la droite y = 2 touche l'hyperbole au point (1 ; 1).
Répondre: y = 2-x.
Exemple 2. Tracez une tangente au graphique de la fonction afin qu'elle soit parallèle à la droite y = 4x - 5.
Clarifions la formulation du problème. L'exigence de « tracer une tangente » signifie généralement « former une équation pour la tangente ». C'est logique, car si une personne était capable de créer une équation pour une tangente, il est peu probable qu'elle ait des difficultés à construire une ligne droite sur le plan de coordonnées en utilisant son équation.
Utilisons l'algorithme de composition de l'équation tangente en tenant compte de cela dans cet exemple Mais, contrairement à l'exemple précédent, il y a une ambiguïté : l'abscisse du point tangent n'est pas explicitement indiquée.
Commençons à penser comme ça. La tangente souhaitée doit être parallèle à la droite y = 4x-5. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs pentes sont égales. Cela signifie que le coefficient angulaire de la tangente doit être égal au coefficient angulaire de la droite donnée : 
Ainsi, nous pouvons trouver la valeur de a à partir de l’équation f"(a) = 4.
Nous avons: 
De l'équation Cela signifie qu'il existe deux tangentes qui satisfont aux conditions du problème : l'une au point d'abscisse 2, l'autre au point d'abscisse -2.
Vous pouvez maintenant suivre l'algorithme.
Exemple 3. A partir du point (0 ; 1) tracer une tangente au graphique de la fonction
Utilisons l'algorithme de composition de l'équation tangente, en tenant compte du fait que dans cet exemple, notons qu'ici, comme dans l'exemple 2, l'abscisse du point tangent n'est pas explicitement indiquée. Néanmoins, nous suivons l'algorithme.
Par condition, la tangente passe par le point (0 ; 1). En substituant les valeurs x = 0, y = 1 dans l'équation (2), on obtient : 
Comme vous pouvez le voir, dans cet exemple, ce n'est qu'à la quatrième étape de l'algorithme que nous avons réussi à trouver l'abscisse du point tangent. En substituant la valeur a =4 dans l'équation (2), on obtient :
En figue. 127 présente une illustration géométrique de l'exemple considéré : un graphique de la fonction est tracé
Au § 32 nous avons noté que pour une fonction y = f(x) ayant une dérivée en un point fixe x, l'égalité approchée est valable :
Pour faciliter le raisonnement ultérieur, changeons la notation : au lieu de x nous écrirons a, au lieu de nous écrirons x et, par conséquent, au lieu de nous écrirons x-a. Alors l’égalité approximative écrite ci-dessus prendra la forme :
Regardez maintenant la fig. 128. Une tangente est tracée au graphique de la fonction y = f(x) au point M (a; f (a)). Le point x est marqué sur l'axe des x à proximité de a. Il est clair que f(x) est l'ordonnée du graphique de la fonction au point spécifié x. Qu'est-ce que f(a) + f"(a) (x-a) ? C'est l'ordonnée de la tangente correspondant au même point x - voir formule (1). Quelle est la signification de l'égalité approximative (3) ? Le fait que Pour calculer la valeur approximative de la fonction, prenez la valeur en ordonnée de la tangente.
Exemple 4. Trouvez la valeur approximative de l'expression numérique 1,02 7.
Nous parlons de trouver la valeur de la fonction y = x 7 au point x = 1,02. Utilisons la formule (3), en tenant compte du fait que dans cet exemple
En conséquence nous obtenons :
Si on utilise une calculatrice, on obtient : 1,02 7 = 1,148685667...
Comme vous pouvez le constater, la précision de l’approximation est tout à fait acceptable.
Répondre: 1,02 7 =1,14.
A.G. Mordkovich Algèbre 10e année
Planification calendaire-thématique en mathématiques, vidéo en mathématiques en ligne, Mathématiques à l'école télécharger
Contenu de la leçon notes de cours cadre de support présentation de cours méthodes d'accélération technologies interactives Pratique tâches et exercices ateliers d'autotest, formations, cas, quêtes devoirs questions de discussion questions rhétoriques des étudiants Illustrations audio, clips vidéo et multimédia photographies, images, graphiques, tableaux, diagrammes, humour, anecdotes, blagues, bandes dessinées, paraboles, dictons, mots croisés, citations Modules complémentaires résumés articles astuces pour les curieux crèches manuels scolaires dictionnaire de base et supplémentaire des termes autres Améliorer les manuels et les leçonscorriger les erreurs dans le manuel mise à jour d'un fragment dans un manuel, éléments d'innovation dans la leçon, remplacement des connaissances obsolètes par de nouvelles Uniquement pour les enseignants des leçons parfaites plan de calendrier pour un an des lignes directrices programmes de discussion Leçons intégréesInstructions
On détermine le coefficient angulaire de la tangente à la courbe au point M.
La courbe représentant le graphique de la fonction y = f(x) est continue dans un certain voisinage du point M (y compris le point M lui-même).
Si la valeur f'(x0) n'existe pas, alors soit il n'y a pas de tangente, soit elle est verticale. Compte tenu de cela, la présence d'une dérivée de la fonction au point x0 est due à l'existence d'une tangente non verticale tangente au graphe de la fonction au point (x0, f(x0)). Dans ce cas, le coefficient angulaire de la tangente sera égal à f "(x0). Ainsi, la signification géométrique de la dérivée devient claire - le calcul du coefficient angulaire de la tangente.
Trouvez la valeur en abscisse du point tangent, qui est désigné par la lettre « a ». S'il coïncide avec un point tangent donné, alors « a » sera sa coordonnée x. Déterminer la valeur les fonctions f(a) en substituant dans l'équation les fonctions valeur en abscisse.
Déterminer la dérivée première de l'équation les fonctions f’(x) et remplacez-y la valeur du point « a ».
Prenez l'équation tangente générale, qui est définie comme y = f(a) = f (a)(x – a), et remplacez-y les valeurs trouvées de a, f(a), f "(a). En conséquence, la solution du graphique sera trouvée et tangente.
Résolvez le problème d'une manière différente si le point tangent donné ne coïncide pas avec le point tangent. Dans ce cas, il est nécessaire de remplacer « a » par des nombres dans l'équation tangente. Après cela, au lieu des lettres « x » et « y », remplacez la valeur des coordonnées du point donné. Résolvez l’équation résultante dans laquelle « a » est l’inconnue. Branchez la valeur résultante dans l’équation tangente.
Écrivez une équation pour une tangente avec la lettre « a » si l'énoncé du problème spécifie l'équation les fonctions et l'équation d'une droite parallèle par rapport à la tangente souhaitée. Après cela, nous avons besoin de la dérivée les fonctions, à la coordonnée au point « a ». Remplacez la valeur appropriée dans l’équation tangente et résolvez la fonction.
Soit une fonction f, qui à un moment donné x 0 a une dérivée finie f (x 0). Alors la droite passant par le point (x 0 ; f (x 0)), ayant un coefficient angulaire f '(x 0), est appelée tangente.
Que se passe-t-il si la dérivée n'existe pas au point x 0 ? Il existe deux options :
- Il n’y a pas non plus de tangente au graphique. Exemple classique- fonction y = |x | au point (0 ; 0).
- La tangente devient verticale. C'est vrai par exemple pour la fonction y = arcsin x au point (1 ; π /2).
Équation tangente
Toute droite non verticale est donnée par une équation de la forme y = kx + b, où k est la pente. La tangente ne fait pas exception, et pour créer son équation en un point x 0, il suffit de connaître la valeur de la fonction et la dérivée en ce point.
Soit donc une fonction y = f (x) qui a une dérivée y = f '(x) sur le segment. Alors en tout point x 0 ∈ (a ; b) une tangente peut être tracée au graphique de cette fonction, qui est donnée par l'équation :
y = f '(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Ici f '(x 0) est la valeur de la dérivée au point x 0, et f (x 0) est la valeur de la fonction elle-même.
Tâche. Étant donné la fonction y = x 3 . Écrivez une équation pour la tangente au graphique de cette fonction au point x 0 = 2.
Équation tangente : y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Le point x 0 = 2 nous est donné, mais il faudra calculer les valeurs f (x 0) et f '(x 0).
Tout d’abord, trouvons la valeur de la fonction. Tout est simple ici : f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8 ;
Trouvons maintenant la dérivée : f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2 ;
Nous substituons x 0 = 2 dans la dérivée : f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12 ;
Au total, nous obtenons : y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
C'est l'équation tangente.
Tâche. Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction f (x) = 2sin x + 5 au point x 0 = π /2.
Cette fois, nous ne décrirons pas chaque action en détail, nous indiquerons seulement les étapes clés. Nous avons:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7 ;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x ;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0 ;
Équation tangente :
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
Dans ce dernier cas, la ligne droite s'est avérée horizontale, car son coefficient angulaire k = 0. Il n'y a rien de mal à cela - nous sommes juste tombés sur un point extrême.
Chargement...