Convertir une fraction commune en fraction décimale signifie trouver une fraction décimale qui serait égale à la fraction commune donnée. Lors de la conversion de fractions ordinaires en décimales, nous rencontrerons deux cas :
1) quand les fractions ordinaires peuvent être converties en décimales exactement;
2) quand les fractions ordinaires ne peuvent être converties qu'en décimales environ. Considérons ces cas séquentiellement.
1. Comment convertir une fraction irréductible ordinaire en une fraction décimale, ou, en d'autres termes, comment remplacer une fraction ordinaire par une fraction décimale qui lui est égale ?
Dans le cas où des fractions ordinaires peuvent être exactement converti en décimal, il y a deux façons un tel traitement.
Rappelons comment remplacer une fraction par une autre égale à la première, ou comment passer d'une fraction à une autre sans changer la valeur de la première. Nous l'avons fait en réduisant les fractions à un dénominateur commun (§86). Lorsque l'on réduit des fractions à un dénominateur commun, on procède comme suit : on trouve le dénominateur commun de ces fractions, on calcule un facteur supplémentaire pour chaque fraction, puis on multiplie le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par ce facteur.
Ayant remarqué cela, prenons la fraction irréductible 3/20 et essayons de la convertir en décimale. Le dénominateur de cette fraction est 20, mais vous devez le ramener à un autre dénominateur, qui serait représenté par un un avec des zéros. Nous rechercherons le plus petit dénominateur de un suivi de zéros.
Première façon la conversion d'une fraction en nombre décimal repose sur la décomposition du dénominateur en facteurs premiers.
Vous devez savoir par quel nombre vous devez multiplier 20 pour que le produit soit exprimé comme un suivi de zéros. Pour le savoir, vous devez d’abord vous rappeler en quels facteurs premiers les nombres représentés par un et des zéros sont décomposés. Voici les décompositions :
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Nous voyons que le nombre représenté par un avec des zéros n'est décomposé qu'en deux et cinq, et qu'il n'y a aucun autre facteur dans l'expansion. De plus, les deux et cinq sont inclus dans l'extension du même nombre. Et enfin, le nombre de ces facteurs et d'autres facteurs séparément est égal au nombre de zéros après celui dans l'image d'un nombre donné.
Voyons maintenant comment 20 se décompose en facteurs premiers : 20 = 2 2 5. Il en ressort clairement que dans la décomposition du nombre 20, il y a deux deux et un cinq. Cela signifie que si nous ajoutons un cinq à ces facteurs, nous obtiendrons un nombre représenté par un avec des zéros. Autrement dit, pour que le dénominateur ait un nombre représenté par un avec des zéros au lieu de 20, il faut multiplier 20 par 5, et pour que la valeur de la fraction ne change pas, il faut multiplier son numérateur par 5. , c'est à dire.
Ainsi, pour convertir une fraction ordinaire en décimale, vous devez décomposer le dénominateur de cette fraction ordinaire en facteurs premiers, puis égaliser le nombre de deux et cinq, en y introduisant (et, bien sûr, dans le numérateur ) les facteurs manquants dans le nombre requis.
Appliquons cette conclusion à quelques fractions.
Convertissez 3/50 en décimal. Le dénominateur de cette fraction est élargi comme suit :
Cela signifie qu'il lui manque un deux. Ajoutons-le :
Convertissez 7/40 en décimal.
Le dénominateur de cette fraction se décompose comme suit : 40 = 2 2 2 5, c'est-à-dire qu'il lui manque deux cinq. Introduisons-les au numérateur et au dénominateur en tant que facteurs :
D’après ce qui a été dit, il n’est pas difficile de conclure quelles fractions ordinaires se convertissent exactement en décimales. Il est bien évident qu'une fraction ordinaire irréductible, dont le dénominateur ne contient aucun autre facteur premier autre que 2 et 5, se convertit exactement en décimal. Une fraction décimale, obtenue en inversant une fraction ordinaire, aura autant de décimales que le nombre de fois que le dénominateur de la fraction ordinaire après sa réduction inclut le facteur numériquement prédominant 2 ou 5.
Si nous prenons la fraction 9/40, alors, d'une part, elle se transformera en une décimale, car son dénominateur comprend les facteurs 2 2 2 5, et d'autre part, la fraction décimale résultante aura 3 décimales, car le facteur numériquement dominant 2 entre en expansion trois fois. En effet:
Deuxième façon(en divisant le numérateur par le dénominateur).
Supposons que vous souhaitiez convertir 3/4 en fraction décimale. Nous savons que 3/4 est le quotient de 3 divisé par 4. Nous pouvons trouver ce quotient en divisant 3 par 4. Faisons ceci :
Ainsi, 3/4 = 0,75.
Autre exemple : convertissez 5/8 en fraction décimale.
Donc 5/8 = 0,625.
Ainsi, pour convertir une fraction en nombre décimal, il suffit de diviser le numérateur de la fraction par son dénominateur.
2. Considérons maintenant le deuxième des cas indiqués au début du paragraphe, c'est-à-dire le cas où une fraction ordinaire ne peut être convertie en une décimale exacte.
Une fraction irréductible ordinaire dont le dénominateur contient des facteurs premiers autres que 2 et 5 ne peut pas être convertie exactement en décimale. En effet, par exemple, la fraction 8/15 ne peut pas être convertie en décimale, puisque son dénominateur 15 est décomposé en deux facteurs : 3 et 5.
Nous ne pouvons pas éliminer le triple du dénominateur ni sélectionner un nombre entier tel que, après avoir multiplié le dénominateur donné par celui-ci, le produit soit exprimé comme un un suivi de zéros.
Dans de tels cas, on ne peut parler que de approximation fractions ordinaires en décimales.
Comment c'est fait? Cela se fait en divisant le numérateur d'une fraction commune par le dénominateur, c'est-à-dire dans ce cas, la deuxième méthode de conversion d'une fraction commune en décimale est utilisée. Cela signifie que cette méthode est utilisée à la fois pour une manipulation précise et approximative.
Si une fraction est convertie exactement en décimale, alors la division produit une fraction décimale finale.
Si une fraction ordinaire ne se convertit pas en une fraction décimale exacte, alors la division produit une fraction décimale infinie.
Puisque nous ne pouvons pas effectuer un processus de division sans fin, nous devons arrêter la division à une décimale, c’est-à-dire effectuer une division approximative. On peut par exemple arrêter de diviser à la première décimale, c'est-à-dire se limiter aux dixièmes ; si nécessaire, on peut s'arrêter à la deuxième décimale, obtenir des centièmes, etc. Dans ces cas, on dit que l'on arrondit une fraction décimale infinie. L'arrondi est effectué avec la précision requise pour résoudre ce problème.
§ 115. La notion de fraction périodique.
Une fraction décimale perpétuelle dans laquelle un ou plusieurs chiffres se répètent invariablement dans la même séquence est appelée fraction décimale périodique. Par exemple:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Un ensemble de nombres répétitifs est appelé période cette fraction. La période de la première des fractions écrites ci-dessus est 3, la période de la deuxième fraction est de 12, la période de la troisième fraction est de 234. Cela signifie que la période peut être composée de plusieurs chiffres - un, deux, trois, etc. Le premier ensemble de chiffres répétitifs est appelé la première période, le second la totalité - la deuxième période, etc., c'est-à-dire
Les fractions périodiques peuvent être pures ou mélangées. Une fraction périodique est dite pure si sa période commence immédiatement après la virgule. Cela signifie que les fractions périodiques écrites ci-dessus seront pures. Contre, fraction périodique est dit mixte s'il comporte un ou plusieurs chiffres non répétitifs entre la virgule décimale et le premier point, par exemple :
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Pour raccourcir la lettre, vous pouvez écrire les chiffres des points une fois entre parenthèses et ne pas mettre d'ellipses après les parenthèses, c'est-à-dire au lieu de 0,33... vous pouvez écrire 0,(3) ; au lieu de 2,515151... vous pouvez écrire 2,(51); au lieu de 0,2333... vous pouvez écrire 0,2(3); au lieu de 0,8333... vous pouvez écrire 0,8(3).
Les fractions périodiques se lisent comme ceci :
0,(3) - 0 entiers, 3 en période.
7,2(3) - 7 entiers, 2 avant le point, 3 dans le point.
5,00(17) - 5 entiers, deux zéros avant le point, 17 dans le point.
Comment naissent les fractions périodiques ? Nous avons déjà vu que lors de la conversion de fractions en décimales, il peut y avoir deux cas.
Premièrement, le dénominateur d'une fraction irréductible ordinaire ne contient aucun facteur autre que 2 et 5 ; dans ce cas, la fraction ordinaire devient une décimale finale.
Deuxièmement, le dénominateur d'une fraction irréductible ordinaire contient des facteurs premiers autres que 2 et 5 ; dans ce cas, la fraction ordinaire ne se transforme pas en décimale finale. Dans ce dernier cas, tenter de convertir une fraction en décimal en divisant le numérateur par le dénominateur aboutit à une fraction infinie qui sera toujours périodique.
Pour voir cela, regardons un exemple. Essayons de convertir la fraction 18/7 en décimal.
Nous savons bien sûr à l'avance qu'une fraction avec un tel dénominateur ne peut pas être convertie en une décimale finale, et nous ne parlons que d'une conversion approximative. Divisez le numérateur 18 par le dénominateur 7.
Nous avons huit décimales dans le quotient. Il n’est pas nécessaire de poursuivre la division, car elle ne prendra pas fin de toute façon. Mais il ressort clairement de là que la division peut être continuée indéfiniment et obtenir ainsi de nouveaux nombres dans le quotient. Ces nouveaux chiffres surgiront parce que nous aurons toujours des restes ; mais aucun reste ne peut être supérieur au diviseur, qui pour nous est 7.
Voyons quels soldes nous avions : 4 ; 5 ; 1; 3 ; 2 ; b, c'est-à-dire qu'il s'agissait de nombres inférieurs à 7. Évidemment, il ne peut y en avoir plus de six, et avec la poursuite de la division, ils devront être répétés, et après eux les chiffres du quotient seront répétés. L'exemple ci-dessus confirme cette idée : les décimales du quotient sont dans cet ordre : 571428, et ensuite les nombres 57 sont réapparus. Cela signifie que la première période est terminée et la seconde commence.
Ainsi, une fraction décimale infinie obtenue en inversant une fraction commune sera toujours périodique.
Si une fraction périodique est rencontrée lors de la résolution d'un problème, elle est alors prise avec la précision requise par les conditions du problème (au dixième, au centième, au millième, etc.).
§ 116. Actions conjointes avec fractions ordinaires et décimales.
Lors de la résolution de divers problèmes, nous rencontrerons des cas où le problème inclut à la fois l'ordinaire et décimales.
Dans ces cas, vous pouvez procéder de différentes manières.
1. Convertissez toutes les fractions en décimales. C'est pratique car les calculs avec des fractions décimales sont plus faciles qu'avec des fractions ordinaires. Par exemple,
Convertissons les fractions 3/4 et 1 1/5 en décimales :
2. Convertissez toutes les fractions en fractions ordinaires. Cela se fait le plus souvent dans les cas où il existe des fractions ordinaires qui ne se transforment pas en décimales finales.
Par exemple, 
Convertissons les fractions décimales en fractions ordinaires :
3. Les calculs sont effectués sans convertir certaines fractions en d'autres.
Ceci est particulièrement utile lorsque l'exemple implique uniquement une multiplication et une division. Par exemple,
Réécrivons l'exemple comme ceci :
4. Dans certains cas convertir toutes les fractions en décimales(même ceux qui se transforment en périodiques) et trouvez un résultat approximatif. Par exemple,
Convertissons 2/3 en fraction décimale, en nous limitant aux millièmes.
Rappelez-vous comment, dans la toute première leçon sur les nombres décimaux, j'ai dit qu'il existe des fractions numériques qui ne peuvent pas être représentées sous forme de décimales (voir la leçon « Décimales ») ? Nous avons également appris à factoriser les dénominateurs de fractions pour voir s'il y avait des nombres autres que 2 et 5.
Donc : j'ai menti. Et aujourd'hui, nous allons apprendre à convertir absolument n'importe quelle fraction numérique en décimal. Par la même occasion, nous ferons connaissance avec toute une classe de fractions à partie significative infinie.
Un nombre décimal périodique est un nombre décimal qui :
- La partie significative est constituée d'un nombre infini de chiffres ;
- A certains intervalles, les chiffres de la partie significative sont répétés.
L'ensemble des chiffres répétitifs qui constituent la partie significative est appelé la partie périodique d'une fraction, et le nombre de chiffres de cet ensemble est appelé la période de la fraction. Le segment restant de la partie significative, qui n’est pas répété, est appelé partie non périodique.
Puisqu’il existe de nombreuses définitions, il convient d’examiner quelques-unes de ces fractions en détail :
Cette fraction apparaît le plus souvent dans les problèmes. Partie non périodique : 0 ; partie périodique : 3 ; durée de la période : 1.
Partie non périodique : 0,58 ; partie périodique : 3 ; durée de la période : encore une fois 1.
Partie non périodique : 1 ; partie périodique : 54 ; durée de la période : 2.
Partie non périodique : 0 ; partie périodique : 641025 ; durée de la période : 6. Pour plus de commodité, les parties répétitives sont séparées les unes des autres par un espace - cela n'est pas nécessaire dans cette solution.
Partie non périodique : 3066 ; partie périodique : 6 ; durée de la période : 1.
Comme vous pouvez le constater, la définition d'une fraction périodique repose sur le concept partie importante d'un certain nombre. Par conséquent, si vous avez oublié de quoi il s'agit, je vous recommande de le répéter - voir la leçon "".
Transition vers une fraction décimale périodique
Considérons une fraction ordinaire de la forme a /b. Factorisons son dénominateur en facteurs premiers. Il existe deux options :
- Le développement ne contient que les facteurs 2 et 5. Ces fractions sont facilement converties en décimales - voir la leçon « Décimales ». De telles personnes ne nous intéressent pas ;
- Il y a autre chose dans le développement que 2 et 5. Dans ce cas, la fraction ne peut pas être représentée sous forme décimale, mais elle peut être convertie en valeur décimale périodique.
Pour définir une fraction décimale périodique, vous devez trouver ses parties périodiques et non périodiques. Comment? Convertissez la fraction en fraction impropre, puis divisez le numérateur par le dénominateur à l'aide d'un coin.
Ce qui suit se produira :
- Se séparera en premier partie entière , s'il existe ;
- Il peut y avoir plusieurs nombres après la virgule ;
- Après un moment, les chiffres commenceront répéter.
C'est tout! Les nombres répétitifs après la virgule décimale sont désignés par la partie périodique, et ceux qui précèdent sont désignés par la partie non périodique.
Tâche. Convertissez des fractions ordinaires en décimales périodiques :
Toutes les fractions sans partie entière, on divise donc simplement le numérateur par le dénominateur avec un « coin » :
Comme vous pouvez le constater, les restes se répètent. Écrivons la fraction sous la forme « correcte » : 1,733 ... = 1,7(3).
Le résultat est une fraction : 0,5833 ... = 0,58(3).
Écrire à forme normale: 4,0909 ... = 4,(09).
On obtient la fraction : 0,4141 ... = 0.(41).
Transition de la fraction décimale périodique à la fraction ordinaire
Considérons la fraction décimale périodique X = abc (a 1 b 1 c 1). Il est nécessaire de le transformer en un classique « à deux étages ». Pour ce faire, suivez quatre étapes simples :
- Trouvez la période de la fraction, c'est-à-dire comptez le nombre de chiffres dans la partie périodique. Soit ceci le nombre k ;
- Trouvez la valeur de l'expression X · 10 k. Cela équivaut à décaler la virgule décimale de période complèteà droite - voir la leçon « Multiplier et diviser des nombres décimaux » ;
- L'expression originale doit être soustraite du nombre résultant. Dans ce cas, la partie périodique est « brûlée » et reste fraction commune;
- Trouvez X dans l'équation résultante. Nous convertissons toutes les fractions décimales en fractions ordinaires.
Tâche. Réduire à l'ordinaire fraction impropre Nombres:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
On travaille avec la première fraction : X = 9,(6) = 9,666 ...
Les parenthèses ne contiennent qu'un seul chiffre, donc le point est k = 1. Ensuite, on multiplie cette fraction par 10 k = 10 1 = 10. On a :
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Soustrayez la fraction d'origine et résolvez l'équation :
10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87 ;
9X = 87 ;
X = 87/9 = 29/3.
Examinons maintenant la deuxième fraction. Donc X = 32,(39) = 32,393939...
Période k = 2, donc multipliez le tout par 10 k = 10 2 = 100 :
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Soustrayez à nouveau la fraction d'origine et résolvez l'équation :
100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207 ;
99X = 3207 ;
X = 3207/99 = 1069/33.
Passons à la troisième fraction : X = 0,30(5) = 0,30555... Le schéma est le même, je vais donc juste donner les calculs :
Période k = 1 ⇒ multiplier le tout par 10 k = 10 1 = 10 ;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4 ;
9X = 11/4 ;
X = (11/4) : 9 = 11/36.
Enfin, la dernière fraction : X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Encore une fois, pour plus de commodité, les parties périodiques sont séparées les unes des autres par des espaces. Nous avons:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000 ;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475 ;
9999X = 2475 ;
X = 2475 : 9999 = 25/101.
L'opération de division implique la participation de plusieurs composantes principales. Le premier d’entre eux est ce qu’on appelle le dividende, c’est-à-dire un nombre soumis à la procédure de division. Le second est le diviseur, c'est-à-dire le nombre par lequel la division est effectuée. Le troisième est le quotient, c'est-à-dire le résultat de l'opération de division du dividende par le diviseur.
Résultat de la division
Le plus option simple Le résultat qui peut être obtenu lorsque deux entiers positifs sont utilisés comme dividende et diviseur est un autre entier positif. Par exemple, en divisant 6 par 2, le quotient sera égal à 3. Cette situation est possible si le dividende est le diviseur, c'est-à-dire qu'il est divisé par celui-ci sans reste.Il existe cependant d'autres options lorsqu'il est impossible de réaliser une opération de division sans reste. Dans ce cas, un nombre non entier devient un quotient, qui peut être écrit comme une combinaison d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire. Par exemple, en divisant 5 par 2, le quotient est de 2,5.
Nombre dans la période
L'une des options qui peuvent résulter si le dividende n'est pas un multiple du diviseur est ce qu'on appelle le nombre en période. Cela peut résulter d'une division si le quotient s'avère être un ensemble de nombres qui se répètent sans fin. Par exemple, un nombre dans un point peut apparaître lors de la division du nombre 2 par 3. Dans cette situation, le résultat, sous forme de fraction décimale, sera exprimé comme une combinaison d'un nombre infini de 6 chiffres après la virgule.Afin d'indiquer le résultat d'une telle division, une manière particulière d'écrire les nombres dans un point a été inventée : un tel nombre est indiqué en plaçant un chiffre répétitif entre parenthèses. Par exemple, le résultat de la division de 2 par 3 serait écrit en utilisant cette méthode sous la forme 0,(6). Cette notation est également applicable si seulement une partie du nombre résultant de la division est répétitive.
Par exemple, en divisant 5 par 6, le résultat sera un nombre périodique de la forme 0,8(3). L'utilisation de cette méthode, d'une part, est plus efficace que d'essayer d'écrire tout ou partie des chiffres d'un nombre dans une période, et d'autre part, elle a une plus grande précision par rapport à une autre méthode de transmission de tels nombres - l'arrondi, et en plus, il vous permet de distinguer les nombres en période d'une fraction décimale exacte avec la valeur correspondante en comparant la grandeur de ces nombres. Ainsi, par exemple, il est évident que 0,(6) est nettement supérieur à 0,6.
Comme on le sait, l'ensemble des nombres rationnels (Q) comprend l'ensemble des nombres entiers (Z), qui à son tour comprend l'ensemble des nombres naturels (N). En plus des nombres entiers, les nombres rationnels incluent les fractions.
Pourquoi alors l’ensemble des nombres rationnels est-il parfois considéré comme des fractions décimales périodiques infinies ? En effet, outre les fractions, ils comprennent également les nombres entiers, ainsi que les fractions non périodiques.
Le fait est que tous les nombres entiers, ainsi que n'importe quelle fraction, peuvent être représentés comme une fraction décimale périodique infinie. Autrement dit, pour tous les nombres rationnels, vous pouvez utiliser la même méthode d’enregistrement.
Comment est représentée une décimale périodique infinie ? Dans celui-ci, un groupe répétitif de nombres après la virgule décimale est placé entre parenthèses. Par exemple, 1,56(12) est une fraction dans laquelle le groupe de chiffres 12 est répété, c'est-à-dire que la fraction a la valeur 1,561212121212... et ainsi de suite à l'infini. Un groupe répétitif de nombres est appelé un point.
Cependant, nous pouvons représenter n’importe quel nombre sous cette forme si nous considérons sa période comme étant le nombre 0, qui se répète également à l’infini. Par exemple, le nombre 2 est identique à 2,00000.... Par conséquent, il peut être écrit comme une fraction périodique infinie, c'est-à-dire 2,(0).
La même chose peut être faite avec n’importe quelle fraction finie. Par exemple:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Cependant, en pratique, ils n'utilisent pas la transformation d'une fraction finie en une fraction périodique infinie. Par conséquent, ils séparent les fractions finies et les fractions périodiques infinies. Ainsi, il est plus correct de dire que les nombres rationnels incluent
- tous les entiers
- fractions finales,
- fractions périodiques infinies.
En même temps, rappelez-vous simplement que les entiers et les fractions finies sont représentables en théorie sous la forme de fractions périodiques infinies.
En revanche, les notions de fractions finies et infinies sont applicables aux fractions décimales. En ce qui concerne les fractions, les décimales finies et infinies peuvent être représentées de manière unique sous forme de fraction. Cela signifie que du point de vue des fractions ordinaires, les fractions périodiques et finies sont la même chose. De plus, les nombres entiers peuvent également être représentés sous forme de fraction en imaginant que nous divisons le nombre par 1.
Comment représenter une fraction périodique infinie décimale comme une fraction ordinaire ? L’algorithme le plus couramment utilisé ressemble à ceci :
- Réduisez la fraction pour qu'après la virgule décimale, il n'y ait qu'un point.
- Multipliez une fraction périodique infinie par 10 ou 100 ou ... pour que la virgule décimale se déplace vers la droite d'un point (c'est-à-dire qu'un point finit dans la partie entière).
- Associez la fraction originale (a) à la variable x et la fraction (b) obtenue en multipliant par le nombre N à Nx.
- Soustrayez x de Nx. De b je soustrais a. Autrement dit, ils constituent l’équation Nx – x = b – a.
- Lors de la résolution d’une équation, le résultat est une fraction ordinaire.
Un exemple de conversion d'une fraction décimale périodique infinie en une fraction ordinaire :
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
X =
Fraction périodique une fraction décimale infinie dans laquelle, à partir d'un certain point, il n'y a qu'un certain groupe de chiffres périodiquement répété. Par exemple, 1.3181818... ; En bref, cette fraction s'écrit ainsi : 1,3(18), c'est-à-dire qu'ils mettent le point entre parenthèses (et disent : « 18 dans le point »). P. est dit pur si le point commence immédiatement après la virgule, par exemple 2(71) = 2,7171..., et mixte si après la virgule il y a des nombres précédant le point, par exemple 1,3(18). Le rôle des fractions décimales en arithmétique est dû au fait que lorsque des nombres rationnels, c'est-à-dire des fractions ordinaires (simples), sont représentés par des fractions décimales, des fractions finies ou périodiques sont toujours obtenues. Plus précisément : une fraction décimale finale est obtenue lorsque le dénominateur d'une fraction simple irréductible ne contient pas d'autres facteurs premiers autres que 2 et 5 ; dans tous les autres cas, le résultat est une fraction P., et, de plus, elle est pure si le dénominateur d'une fraction irréductible donnée ne contient pas du tout les facteurs 2 et 5, et mixte si au moins un de ces facteurs est contenu au dénominateur. Toute fraction fractionnaire peut être convertie en fraction simple (c'est-à-dire qu'elle est égale à un nombre rationnel). Une fraction pure est égale à une fraction simple dont le numérateur est le point, et le dénominateur est représenté par le nombre 9, écrit autant de fois qu'il y a de chiffres dans le point ; Lors de la conversion d'une fraction mixte en fraction simple, le numérateur est la différence entre le nombre représenté par les nombres précédant la deuxième période et le nombre représenté par les nombres précédant la première période ; Pour composer le dénominateur, il faut écrire le nombre 9 autant de fois qu'il y a de nombres dans le point, et ajouter autant de zéros à droite qu'il y a de nombres avant le point. Ces règles supposent que le P. donné est correct, c'est-à-dire qu'il ne contient pas d'unités entières ; sinon, la partie entière fait l’objet d’une attention particulière. Les règles permettant de déterminer la durée de la période d'une fraction correspondant à une fraction ordinaire donnée sont également connues. Par exemple, pour une fraction p/p, Où R- nombre premier et 1 ≤ un ≤ p- 1, la durée de la période est un diviseur R- 1. Donc, pour les approximations connues d'un nombre (voir Pi)
22/7 et 355/113 périodes sont respectivement égales à 6 et 112.
Grand Encyclopédie soviétique. - M. : Encyclopédie soviétique. 1969-1978 .
Synonymes:Voyez ce qu'est « Fraction périodique » dans d'autres dictionnaires :
Fraction décimale infinie dans laquelle, à partir d'un certain endroit, un certain groupe de chiffres (point) est périodiquement répété, par exemple. 0,373737... fraction périodique pure ou 0,253737... fraction périodique mixte... Grand Dictionnaire encyclopédique
Fraction, fraction infinie Dictionnaire des synonymes russes. fraction périodique nom, nombre de synonymes : 2 fraction infinie (2) ... Dictionnaire de synonymes
Fraction décimale dans laquelle une série de chiffres est répétée dans le même ordre. Par exemple, 0,135135135... est une p.d. dont la période est 135 et qui est égale à la fraction simple 135/999 = 5/37. Dictionnaire de mots étrangers inclus dans la langue russe. Pavlenkov F.... Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe
Un nombre décimal est une fraction dont le dénominateur est 10n, où n entier naturel. Il a formulaire spécial entrées : une partie entière dans le système numérique décimal, puis une virgule puis une partie fractionnaire dans le système numérique décimal, et le nombre de chiffres de la partie fractionnaire... Wikipédia
Une fraction décimale infinie dans laquelle, à partir d'un certain point, un certain groupe de chiffres (point) est périodiquement répété ; par exemple, 0,373737... fraction périodique pure ou 0,253737... fraction périodique mixte. * * * PÉRIODIQUE… … Dictionnaire encyclopédique
Fraction décimale sans fin dans laquelle, à partir d'un certain endroit, la définition est périodiquement répétée. groupe de chiffres (point); par exemple, 0,373737... P. d. pur ou 0,253737... P. d. mixte... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique
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décimal périodique- - [L.G. Sumenko. Dictionnaire anglais-russe sur les technologies de l'information. M. : Entreprise d'État TsNIIS, 2003.] Sujets informatique en général EN circulant décimalrécurrent décimalpériode décimalpériodique décimalpériodique décimal ... Guide du traducteur technique
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Une fraction dont le dénominateur est diplôme entier les nombres 10. D. s'écrivent sans dénominateur, en séparant autant de chiffres au numérateur de droite par une virgule qu'il y a de zéros au dénominateur. Par exemple, dans un tel enregistrement, la partie de gauche... ... Grande Encyclopédie Soviétique
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