Les étudiants découvrent le concept de pyramide bien avant d’étudier la géométrie. La faute en revient aux célèbres grandes merveilles égyptiennes du monde. Par conséquent, lorsqu'ils commencent à étudier ce merveilleux polyèdre, la plupart des étudiants l'imaginent déjà clairement. Toutes les attractions mentionnées ci-dessus ont la forme correcte. Ce qui s'est passé pyramide régulière, et ses propriétés seront discutées plus loin.

En contact avec

Définition

Il existe de nombreuses définitions d’une pyramide. Depuis l’Antiquité, il est très populaire.

Par exemple, Euclide l'a défini comme une figure corporelle constituée de plans qui, partant d'un seul, convergent en un certain point.

Heron a fourni une formulation plus précise. Il a insisté sur le fait que c'était le chiffre qui a une base et des plans en forme de triangles, convergeant en un point.

Reposant sur interprétation moderne, la pyramide est représentée comme un polyèdre spatial composé d'un certain k-gon et de k figures plates forme triangulaire, ayant un point commun.

Regardons cela plus en détail, de quels éléments se compose-t-il :

Le k-gon est considéré comme la base de la figure ;
Des formes à 3 polygones font saillie sur les bords de la partie latérale ;
la partie supérieure d'où proviennent les éléments latéraux est appelée sommet ;
tous les segments reliant un sommet sont appelés arêtes ;
si une ligne droite descend du sommet au plan de la figure sous un angle de 90 degrés, alors sa partie contenue dans l'espace interne est la hauteur de la pyramide ;
dans tout élément latéral, une perpendiculaire, appelée apothème, peut être tracée du côté de notre polyèdre.

Le nombre d'arêtes est calculé à l'aide de la formule 2*k, où k est le nombre de côtés du k-gon. Le nombre de faces d'un polyèdre tel qu'une pyramide peut être déterminé à l'aide de l'expression k+1.

Important! Une pyramide de forme régulière est une figure stéréométrique dont le plan de base est un k-gon à côtés égaux.

Propriétés de base

Pyramide correcte possède de nombreuses propriétés, qui lui sont propres. Listons-les :

La base est une figure de forme correcte.
Les arêtes de la pyramide qui limitent les éléments latéraux ont des valeurs numériques égales.
Les éléments latéraux sont des triangles isocèles.
La base de la hauteur de la figure tombe au centre du polygone, tout en étant à la fois le point central de l'inscrit et du circonscrit.
Toutes les nervures latérales sont inclinées par rapport au plan de base selon le même angle.
Toutes les surfaces latérales ont le même angle d'inclinaison par rapport à la base.

Grâce à toutes les propriétés répertoriées, effectuer des calculs d'éléments est beaucoup plus simple. Sur la base des propriétés ci-dessus, nous prêtons attention à deux signes :

Dans le cas où le polygone s'inscrit dans un cercle, les faces latérales auront la base angles égaux.
Lors de la description d'un cercle autour d'un polygone, toutes les arêtes de la pyramide partant du sommet auront des longueurs égales et des angles égaux avec la base.

La base est un carré

Pyramide quadrangulaire régulière - un polyèdre dont la base est un carré.

Il présente quatre faces latérales d’apparence isocèle.

Un carré est représenté sur un plan, mais repose sur toutes les propriétés d’un quadrilatère régulier.

Par exemple, s'il faut relier le côté d'un carré avec sa diagonale, alors utilisez la formule suivante : la diagonale est égale au produit du côté du carré et de la racine carrée de deux.

Il est basé sur un triangle régulier

Correct pyramide triangulaire– un polyèdre dont la base est un 3-gon régulier.

Si la base est un triangle régulier et que les bords latéraux sont égaux aux bords de la base, alors une telle figure appelé tétraèdre.

Toutes les faces d'un tétraèdre sont des 3-gones équilatéraux. DANS dans ce cas Il faut connaître certains points et ne pas perdre de temps dessus lors du calcul :

l'angle d'inclinaison des côtes par rapport à n'importe quelle base est de 60 degrés ;
la taille de toutes les faces internes est également de 60 degrés ;
n'importe quel visage peut servir de base ;
, dessinés à l'intérieur de la figure, ce sont des éléments égaux.

Sections d'un polyèdre

Dans tout polyèdre il y a plusieurs types de sections plat. Souvent, dans un cours de géométrie scolaire, ils travaillent avec deux :

axial;
parallèlement à la base.

Une section axiale est obtenue en croisant un polyèdre avec un plan qui passe par le sommet, les arêtes latérales et l'axe. Dans ce cas, l'axe est la hauteur tirée du sommet. Le plan de coupe est limité par les lignes d'intersection avec toutes les faces, ce qui donne un triangle.

Attention! Dans une pyramide régulière, la section axiale est un triangle isocèle.

Si le plan de coupe est parallèle à la base, le résultat est la deuxième option. Dans ce cas, nous avons une figure en coupe similaire à la base.

Par exemple, s'il y a un carré à la base, alors la section parallèle à la base sera également un carré, mais de plus petites dimensions.

Lors de la résolution de problèmes dans cette condition, ils utilisent des signes et des propriétés de similitude des figures, basé sur le théorème de Thales. Tout d’abord, il faut déterminer le coefficient de similarité.

Si le plan est tracé parallèlement à la base et qu'il coupe la partie supérieure polyèdre, on obtient alors une pyramide tronquée régulière en partie inférieure. On dit alors que les bases d’un polyèdre tronqué sont des polygones similaires. Dans ce cas, les faces latérales sont des trapèzes isocèles. La section axiale est également isocèle.

Afin de déterminer la hauteur d'un polyèdre tronqué, il est nécessaire de tracer la hauteur dans la coupe axiale, c'est-à-dire dans le trapèze.

Superficies

Les principaux problèmes géométriques qui doivent être résolus dans un cours de géométrie scolaire sont trouver la surface et le volume d'une pyramide.

Il existe deux types de valeurs de superficie :

zone des éléments latéraux;
superficie de toute la surface.

D'après le nom lui-même, il est clair de quoi nous parlons. La surface latérale comprend uniquement les éléments latéraux. Il s'ensuit que pour le trouver, il suffit d'additionner les aires des plans latéraux, c'est-à-dire les aires des 3-gones isocèles. Essayons de dériver la formule pour l'aire des éléments latéraux :

L'aire d'un 3-gon isocèle est Str=1/2(aL), où a est le côté de la base, L est l'apothème.
Le nombre de plans latéraux dépend du type de k-gon à la base. Par exemple, une pyramide quadrangulaire régulière possède quatre plans latéraux. Il faut donc additionner les aires de quatre chiffres Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. L'expression est ainsi simplifiée car la valeur est 4a = Rosn, où Rosn est le périmètre de la base. Et l'expression 1/2*Rosn est son demi-périmètre.
Nous concluons donc que l'aire des éléments latéraux pyramide régulièreégal au produit du demi-périmètre de la base et de l'apothème : Sside=Rosn*L.

L'aire de la surface totale de la pyramide est constituée de la somme des aires des plans latéraux et de la base : Sp.p. = Sside + Sbas.

Quant à l'aire de la base, ici la formule est utilisée en fonction du type de polygone.

Volume d'une pyramide régulièreégal au produit de l'aire du plan de base et de la hauteur divisé par trois : V=1/3*Sbas*H, où H est la hauteur du polyèdre.

Qu'est-ce qu'une pyramide régulière en géométrie

Propriétés d'une pyramide quadrangulaire régulière

Pyramide. Pyramide tronquée

Pyramide est un polyèdre dont l'une des faces est un polygone ( base ), et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun ( faces latérales ) (Fig.15). La pyramide s'appelle correct , si sa base est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base (Fig. 16). Une pyramide triangulaire dont toutes les arêtes sont égales s’appelle tétraèdre .

Côte latérale d'une pyramide est le côté de la face latérale qui n'appartient pas à la base Hauteur la pyramide est la distance entre son sommet et le plan de la base. Toutes les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont égales les unes aux autres, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. La hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée du sommet est appelée apothème . Coupe diagonale s'appelle une section d'une pyramide par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Surface latérale la pyramide est la somme des aires de toutes les faces latérales. Superficie totale est appelée la somme des aires de toutes les faces latérales et de la base.

Théorèmes

1. Si dans une pyramide tous les bords latéraux sont également inclinés par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.

2. Si tous les bords latéraux d’une pyramide ont des longueurs égales, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d’un cercle circonscrit près de la base.

3. Si toutes les faces d'une pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d'un cercle inscrit dans la base.

Pour calculer le volume d’une pyramide arbitraire, la formule correcte est :

Où V- volume;

Socle S– la superficie de base ;

H– hauteur de la pyramide.

Pour une pyramide régulière, les formules suivantes sont correctes :

Où p– périmètre de base ;

ha un– l'apothème ;

H- hauteur;

S plein

Côté S

Socle S– la superficie de base ;

V– volume d'une pyramide régulière.

Pyramide tronquée appelée partie de la pyramide comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide (Fig. 17). Pyramide tronquée régulière appelée partie d'une pyramide régulière comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide.

Les raisons pyramide tronquée - polygones similaires. Faces latérales – les trapèzes. Hauteur d’une pyramide tronquée est la distance entre ses bases. Diagonale une pyramide tronquée est un segment reliant ses sommets qui ne se trouvent pas sur la même face. Coupe diagonale est une section d'une pyramide tronquée par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Pour une pyramide tronquée, les formules suivantes sont valables :

(4)

Où S 1 , S 2 – zones des bases supérieures et inférieures ;

S plein– superficie totale ;

Côté S– surface latérale ;

H- hauteur;

V– volume d’une pyramide tronquée.

Pour une pyramide tronquée régulière, la formule est correcte :

Où p 1 , p 2 – périmètres des bases ;

ha un– apothème d’une pyramide tronquée régulière.

Exemple 1. Dans une pyramide triangulaire régulière, l'angle dièdre à la base est de 60º. Trouvez la tangente de l'angle d'inclinaison du bord latéral au plan de la base.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 18).

La pyramide est correcte, c'est à dire à la base triangle équilatéral et toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. L'angle dièdre à la base est l'angle d'inclinaison de la face latérale de la pyramide par rapport au plan de la base. L'angle linéaire est l'angle un entre deux perpendiculaires : etc. Le sommet de la pyramide est projeté au centre du triangle (le centre du cercle circonscrit et le cercle inscrit du triangle abc). L'angle d'inclinaison du bord latéral (par exemple S.B.) est l'angle entre le bord lui-même et sa projection sur le plan de la base. Pour la côte S.B. cet angle sera l'angle SBD. Pour trouver la tangente, il faut connaître les jambes DONC Et O.B.. Laissez la longueur du segment BD est égal à 3 UN. Point À PROPOS segment de ligne BD est divisé en parties : et De on trouve DONC: De là on retrouve :

Répondre:

Exemple 2. Trouvez le volume d'une pyramide quadrangulaire tronquée régulière si les diagonales de ses bases sont égales à cm et cm et que sa hauteur est de 4 cm.

Solution. Pour trouver le volume d’une pyramide tronquée, on utilise la formule (4). Pour trouver l'aire des bases, vous devez trouver les côtés des carrés de base, connaissant leurs diagonales. Les côtés des bases sont respectivement égaux à 2 cm et 8 cm, ce qui signifie les aires des bases et en remplaçant toutes les données dans la formule, nous calculons le volume de la pyramide tronquée :

Répondre: 112cm3.

Exemple 3. Trouvez l'aire de la face latérale d'une pyramide tronquée triangulaire régulière dont les côtés des bases mesurent 10 cm et 4 cm et la hauteur de la pyramide est de 2 cm.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 19).

La face latérale de cette pyramide est un trapèze isocèle. Pour calculer l'aire d'un trapèze, vous devez connaître la base et la hauteur. Les bases sont données selon la condition, seule la hauteur reste inconnue. Nous la trouverons d'où UN 1 E perpendiculaire à un point UN 1 sur le plan de la base inférieure, UN 1 D– perpendiculaire à UN 1 par CA. UN 1 E= 2 cm, puisque c'est la hauteur de la pyramide. Trouver DE Faisons un dessin supplémentaire montrant la vue de dessus (Fig. 20). Point À PROPOS– projection des centres des bases supérieure et inférieure. depuis (voir fig. 20) et d'autre part D'ACCORD– rayon inscrit dans le cercle et OM– rayon inscrit dans un cercle :

MK = DE.

D'après le théorème de Pythagore de

Zone du visage latéral :

Répondre:

Exemple 4. A la base de la pyramide se trouve un trapèze isocèle dont les bases UN Et b (un> b). Chaque face latérale forme un angle égal au plan de la base de la pyramide j. Trouvez la surface totale de la pyramide.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 21). Superficie totale de la pyramide SABCDégal à la somme des aires et de l'aire du trapèze A B C D.

Utilisons l'affirmation selon laquelle si toutes les faces de la pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet est projeté au centre du cercle inscrit dans la base. Point À PROPOS– projection du sommet Sà la base de la pyramide. Triangle GAZON est la projection orthogonale du triangle CDD au plan de la base. En utilisant le théorème sur l'aire de la projection orthogonale d'une figure plane, on obtient :

De même, cela signifie Ainsi, le problème se réduisait à trouver l'aire du trapèze A B C D. Dessinons un trapèze A B C D séparément (Fig. 22). Point À PROPOS– le centre d'un cercle inscrit dans un trapèze.

Puisqu’un cercle peut s’inscrire dans un trapèze, alors ou Du théorème de Pythagore nous avons

Ce didacticiel vidéo aidera les utilisateurs à se faire une idée du thème Pyramide. Pyramide correcte. Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition. Considérons ce qu'est une pyramide régulière et quelles propriétés elle possède. Ensuite, nous démontrons le théorème sur la surface latérale d’une pyramide régulière.

Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec le concept de pyramide et lui donner une définition.

Considérons un polygone Un 1 Un 2...Un, qui se situe dans le plan α, et le point P., qui ne se situe pas dans le plan α (Fig. 1). Relions les points P. avec des pics Un 1, Un 2, Un 3, … Un. On a n Triangles: Un 1 Un 2 R, Un 2 Un 3 R et ainsi de suite.

Définition. Polyèdre RA 1 A 2 ...A n, composé de n-carré Un 1 Un 2...Un Et n Triangles RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 est appelé n-pyramide du charbon. Riz. 1.

Riz. 1

Considérons une pyramide quadrangulaire PABCD(Fig.2).

R.- le sommet de la pyramide.

A B C D- la base de la pyramide.

RA- côte latérale.

UN B- nervure de base.

De ce point R. laissons tomber la perpendiculaire RN au plan de base A B C D. La perpendiculaire tracée est la hauteur de la pyramide.

Riz. 2

La surface totale de la pyramide est constituée de la surface latérale, c'est-à-dire l'aire de toutes les faces latérales, et l'aire de la base :

S complet = S côté + S principal

Une pyramide est dite correcte si :

sa base est un polygone régulier ;
le segment reliant le sommet de la pyramide au centre de la base est sa hauteur.

Explication à l'aide de l'exemple d'une pyramide quadrangulaire régulière

Considérons une pyramide quadrangulaire régulière PABCD(Fig. 3).

R.- le sommet de la pyramide. Base de la pyramide A B C D- un quadrilatère régulier, c'est-à-dire un carré. Point À PROPOS, le point d'intersection des diagonales, est le centre du carré. Moyens, RO est la hauteur de la pyramide.

Riz. 3

Explication: dans le bon sens n Dans un triangle, le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit coïncident. Ce centre est appelé centre du polygone. Parfois, on dit que le sommet est projeté vers le centre.

La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème et est désigné ha un.

1. toutes les arêtes latérales d’une pyramide régulière sont égales ;

2. Les faces latérales sont des triangles isocèles égaux.

Nous donnerons une preuve de ces propriétés en utilisant l’exemple d’une pyramide quadrangulaire régulière.

Donné: PABCD- pyramide quadrangulaire régulière,

A B C D- carré,

RO- hauteur de la pyramide.

Prouver:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Voir Fig. 4.

Riz. 4

Preuve.

RO- hauteur de la pyramide. C'est-à-dire directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct JSC, VO, SO Et FAIRE couché dedans. donc des triangles ROA, ROV, ROS, TIGE- rectangulaire.

Considérons un carré A B C D. Des propriétés d’un carré il résulte que AO = VO = CO = FAIRE.

Puis les triangles rectangles ROA, ROV, ROS, TIGE jambe RO- général et jambes JSC, VO, SO Et FAIRE sont égaux, ce qui signifie que ces triangles sont égaux sur deux côtés. De l’égalité des triangles découle l’égalité des segments, RA = PB = RS = PD. Le point 1 a été prouvé.

Segments UN B Et Soleil sont égaux parce qu’ils sont côtés d’un même carré, RA = PB = RS. donc des triangles AVR Et VSR- isocèle et égale sur trois côtés.

De la même manière, nous constatons que les triangles ABP, VCP, CDP, DAP sont isocèles et égaux, comme cela doit être prouvé au paragraphe 2.

L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème :

Pour le prouver, choisissons une pyramide triangulaire régulière.

Donné: RAVS- pyramide triangulaire régulière.

AB = BC = AC.

RO- hauteur.

Prouver: . Voir Fig. 5.

Riz. 5

Preuve.

RAVS- pyramide triangulaire régulière. C'est UN B= AC = BC. Laisser À PROPOS- centre du triangle abc, Alors RO est la hauteur de la pyramide. A la base de la pyramide se trouve un triangle équilatéral abc. remarquerez que .

Triangles RAV, RVS, RSA- des triangles isocèles égaux (par propriété). Une pyramide triangulaire a trois faces latérales : RAV, RVS, RSA. Cela signifie que l'aire de la surface latérale de la pyramide est :

Côté S = 3S RAW

Le théorème a été prouvé.

Le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m, la hauteur de la pyramide est de 4 m. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.

Donné: pyramide quadrangulaire régulière A B C D,

A B C D- carré,

r= 3 m,

RO- hauteur de la pyramide,

RO= 4 m.

Trouver: Côté S. Voir Fig. 6.

Riz. 6

Solution.

D'après le théorème prouvé, .

Trouvons d'abord le côté de la base UN B. On sait que le rayon d'un cercle inscrit à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 3 m.

Ensuite, M.

Trouver le périmètre du carré A B C D d'un côté de 6 m :

Considérons un triangle BCD. Laisser M- milieu du côté CC. Parce que À PROPOS- milieu BD, Que (m).

Triangle DPC- isocèle. M- milieu CC. C'est, RM- la médiane, et donc la hauteur dans le triangle DPC. Alors RM- apothème de la pyramide.

RO- hauteur de la pyramide. Puis, directement RO perpendiculaire au plan abc, et donc direct OM, couché dedans. Trouvons l'apothème RM depuis triangle rectangle ROM.

Nous pouvons maintenant trouver la surface latérale de la pyramide :

Répondre: 60 m2.

Le rayon du cercle circonscrit à la base d'une pyramide triangulaire régulière est égal à m. La surface latérale est de 18 m 2. Trouvez la longueur de l'apothème.

Donné: PCAA- pyramide triangulaire régulière,

AB = BC = SA,

R.= m,

Côté S = 18 m2.

Trouver: . Voir Fig. 7.

Riz. 7

Solution.

Dans un triangle rectangle abc Le rayon du cercle circonscrit est donné. Trouvons un côté UN B ce triangle en utilisant la loi des sinus.

Connaître le côté triangle régulier(m), trouvons son périmètre.

Par le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière, où ha un- apothème de la pyramide. Alors:

Répondre: 4 m.

Nous avons donc examiné ce qu'est une pyramide, ce qu'est une pyramide régulière, et nous avons prouvé le théorème sur la surface latérale d'une pyramide régulière. Dans la prochaine leçon, nous nous familiariserons avec la pyramide tronquée.

Bibliographie

Géométrie. 10e-11e années : manuel pour les élèves les établissements d'enseignement(niveaux de base et profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill.
Géométrie. 10e-11e année : manuel pour l'enseignement général les établissements d'enseignement/ Sharygin I.F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill.
Géométrie. 10e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e éd., stéréotype. - M. : Outarde, 008. - 233 p. : ill.

Portail Internet "Yaklass" ()
Portail Internet "Festival idées pédagogiques"Premier septembre" ()
Portail Internet « Slideshare.net » ()

Devoirs

Un polygone régulier peut-il être la base d'une pyramide irrégulière ?
Montrer que les arêtes disjointes d’une pyramide régulière sont perpendiculaires.
Trouvez la valeur de l'angle dièdre du côté de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière si l'apothème de la pyramide est égal au côté de sa base.
RAVS- pyramide triangulaire régulière. Construisez l’angle linéaire de l’angle dièdre à la base de la pyramide.

apothème- la hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière, qui est tirée de son sommet (de plus, l'apothème est la longueur de la perpendiculaire, qui s'abaisse du milieu du polygone régulier jusqu'à l'un de ses côtés) ;
faces latérales (ASB, BSC, CSD, DSA) - des triangles qui se rejoignent au sommet ;
côtes latérales ( COMME , BS. , C.S. , D.S. ) — aspects communs bords latéraux ;
sommet de la pyramide (t.S) - un point qui relie les nervures latérales et qui ne se situe pas dans le plan de la base ;
hauteur ( DONC ) - un segment perpendiculaire tracé passant par le sommet de la pyramide jusqu'au plan de sa base (les extrémités d'un tel segment seront le sommet de la pyramide et la base de la perpendiculaire) ;
section diagonale de la pyramide- une section de la pyramide qui passe par le sommet et la diagonale de la base ;
base (A B C D) - un polygone n'appartenant pas au sommet de la pyramide.

Propriétés de la pyramide.

1. Lorsque tous les bords latéraux ont la même taille, alors :

il est facile de décrire un cercle près de la base de la pyramide, et le sommet de la pyramide sera projeté au centre de ce cercle ;
les nervures latérales forment des angles égaux avec le plan de la base ;
De plus, l’inverse est également vrai, c’est-à-dire lorsque les nervures latérales forment des angles égaux avec le plan de la base, ou lorsqu'un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide et que le sommet de la pyramide sera projeté au centre de ce cercle, cela signifie que tous les bords latéraux de la pyramide ont la même taille.

2. Lorsque les faces latérales ont un angle d'inclinaison par rapport au plan de la base de même valeur, alors :

il est facile de décrire un cercle près de la base de la pyramide, et le sommet de la pyramide sera projeté au centre de ce cercle ;
les hauteurs des faces latérales sont d'égales longueurs ;
l'aire de la surface latérale est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de la hauteur de la face latérale.

3. Une sphère peut être décrite autour d'une pyramide si à la base de la pyramide se trouve un polygone autour duquel un cercle peut être décrit (condition nécessaire et suffisante). Le centre de la sphère sera le point d'intersection des plans qui passent par les milieux des arêtes de la pyramide qui leur sont perpendiculaires. De ce théorème, nous concluons qu’une sphère peut être décrite aussi bien autour de n’importe quelle pyramide triangulaire ou autour de n’importe quelle pyramide régulière.

4. Une sphère peut s'inscrire dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en 1er point (condition nécessaire et suffisante). Ce point deviendra le centre de la sphère.

La pyramide la plus simple.

En fonction du nombre d'angles, la base de la pyramide est divisée en triangulaire, quadrangulaire, etc.

Il y aura une pyramide triangulaire, quadrangulaire, et ainsi de suite, lorsque la base de la pyramide est un triangle, un quadrilatère, etc. Une pyramide triangulaire est un tétraèdre - un tétraèdre. Quadrangulaire - pentagonal et ainsi de suite.

Définition

Pyramide est un polyèdre composé d'un polygone \(A_1A_2...A_n\) et de \(n\) triangles avec un sommet commun \(P\) (ne se trouvant pas dans le plan du polygone) et des côtés opposés, coïncidant avec le côtés du polygone.
Désignation : \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemple : pyramide pentagonale \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triangles \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. sont appelés faces latérales pyramides, segments \(PA_1, PA_2\), etc. – côtes latérales, polygone \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, point \(P\) – haut.

Hauteur les pyramides sont une perpendiculaire descendant du sommet de la pyramide jusqu'au plan de la base.

Une pyramide avec un triangle à sa base s'appelle tétraèdre.

La pyramide s'appelle correct, si sa base est un polygone régulier et que l'une des conditions suivantes est remplie :

\((a)\) les bords latéraux de la pyramide sont égaux ;

\((b)\) la hauteur de la pyramide passe par le centre du cercle circonscrit près de la base ;

\((c)\) les nervures latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon le même angle.

\((d)\) les faces latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon le même angle.

Tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux égaux.

Théorème

Les conditions \((a), (b), (c), (d)\) sont équivalentes.

Preuve

Trouvons la hauteur de la pyramide \(PH\) . Soit \(\alpha\) le plan de la base de la pyramide.

1) Montrons que de \((a)\) il suit \((b)\) . Soit \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Parce que \(PH\perp \alpha\), alors \(PH\) est perpendiculaire à toute ligne située dans ce plan, ce qui signifie que les triangles sont rectangles. Cela signifie que ces triangles sont égaux en jambe commune \(PH\) et en hypoténuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Cela signifie \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Cela signifie que les points \(A_1, A_2, ..., A_n\) sont à la même distance du point \(H\), ils se trouvent donc sur le même cercle de rayon \(A_1H\) . Ce cercle, par définition, est circonscrit au polygone \(A_1A_2...A_n\) .

2) Montrons que \((b)\) implique \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire et égal sur deux pieds. Cela signifie que leurs angles sont également égaux, donc \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Montrons que \((c)\) implique \((a)\) .

Semblables au premier point, les triangles \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire à la fois le long de la jambe et de l'angle aigu. Cela signifie que leurs hypoténuses sont également égales, c'est-à-dire \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Montrons que \((b)\) implique \((d)\) .

Parce que dans un polygone régulier les centres des cercles circonscrits et inscrits coïncident (d'une manière générale, ce point est appelé centre d'un polygone régulier), alors \(H\) est le centre du cercle inscrit. Traçons des perpendiculaires du point \(H\) aux côtés de la base : \(HK_1, HK_2\), etc. Ce sont les rayons du cercle inscrit (par définition). Alors, selon TTP (\(PH\) est une perpendiculaire au plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sont des projections perpendiculaires aux côtés) inclinées \(PK_1, PK_2\), etc. perpendiculaire aux côtés \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivement. Donc par définition \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)égal aux angles entre les faces latérales et la base. Parce que les triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (comme rectangulaires sur deux côtés), alors les angles \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) sont égaux.

5) Montrons que \((d)\) implique \((b)\) .

Semblable au quatrième point, les triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (comme rectangulaires le long de la jambe et de l'angle aigu), ce qui signifie que les segments \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sont égal. Cela signifie que, par définition, \(H\) est le centre d'un cercle inscrit dans la base. Mais parce que Pour les polygones réguliers, les centres des cercles inscrits et circonscrits coïncident, alors \(H\) est le centre du cercle circonscrit. Chtd.

Conséquence

Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles égaux.

Définition

La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème.
Les apothèmes de toutes les faces latérales d'une pyramide régulière sont égaux les uns aux autres et sont également médians et bissecteurs.

Notes IMPORTANTES

1. La hauteur d'une pyramide triangulaire régulière tombe au point d'intersection des hauteurs (ou bissectrices, ou médianes) de la base (la base est un triangle régulier).

2. La hauteur d'une pyramide quadrangulaire régulière tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un carré).

3. La hauteur d'une pyramide hexagonale régulière tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un hexagone régulier).

4. La hauteur de la pyramide est perpendiculaire à toute ligne droite située à la base.

Définition

La pyramide s'appelle rectangulaire, si l'un de ses bords latéraux est perpendiculaire au plan de la base.

Notes IMPORTANTES

1. Dans une pyramide rectangulaire, le bord perpendiculaire à la base correspond à la hauteur de la pyramide. Autrement dit, \(SR\) est la hauteur.

2. Parce que \(SR\) est perpendiculaire à toute ligne partant de la base, alors \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– des triangles rectangles.

3. Triangles \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- également rectangulaire.
Autrement dit, tout triangle formé par cette arête et la diagonale émergeant du sommet de cette arête situé à la base sera rectangulaire.

\[(\Large(\text(Volume et superficie de la pyramide)))\]

Théorème

Le volume de la pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur de la pyramide : \

Conséquences

Soit \(a\) le côté de la base, \(h\) la hauteur de la pyramide.

1. Le volume d’une pyramide triangulaire régulière est \(V_(\text(triangle rectangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Le volume d’une pyramide quadrangulaire régulière est \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Le volume d’une pyramide hexagonale régulière est \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Le volume d'un tétraèdre régulier est \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Théorème

L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale au demi-produit du périmètre de la base et de l'apothème.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Définition

Considérons une pyramide arbitraire \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Traçons un plan parallèle à la base de la pyramide passant par un certain point situé sur le bord latéral de la pyramide. Ce plan divisera la pyramide en deux polyèdres, dont l'un est une pyramide (\(PB_1B_2...B_n\)), et l'autre est appelé pyramide tronquée(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

La pyramide tronquée a deux bases - les polygones \(A_1A_2...A_n\) et \(B_1B_2...B_n\) qui sont similaires les uns aux autres.

La hauteur d'une pyramide tronquée est une perpendiculaire tracée depuis un certain point de la base supérieure jusqu'au plan de la base inférieure.

Notes IMPORTANTES

1. Toutes les faces latérales d’une pyramide tronquée sont des trapèzes.

2. Le segment reliant les centres des bases d'une pyramide tronquée régulière (c'est-à-dire une pyramide obtenue par section transversale d'une pyramide régulière) est la hauteur.