पीओवी पिरामिड। पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें: आधार, पक्ष और पूर्ण

पिरामिड को हम किस आकार का कहते हैं? सबसे पहले, यह एक बहुफलक है। दूसरे, इस पॉलीहेड्रॉन के आधार पर एक मनमाना बहुभुज स्थित होता है, और पिरामिड के किनारों (पक्ष के चेहरे) में आवश्यक रूप से एक सामान्य शीर्ष पर अभिसरण करने वाले त्रिभुजों का आकार होता है। अब, पद से निपटने के बाद, हम यह पता लगाएंगे कि पिरामिड के सतह क्षेत्र को कैसे खोजना है।

यह स्पष्ट है कि इस तरह के एक ज्यामितीय शरीर का सतह क्षेत्र आधार के क्षेत्रों और इसकी पूरी पार्श्व सतह के योग से बना होता है।

पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना

गणना सूत्र का चुनाव हमारे पिरामिड के आधार पर स्थित बहुभुज के आकार पर निर्भर करता है। यह सही हो सकता है, यानी समान लंबाई के पक्षों के साथ, या यह गलत हो सकता है। आइए दोनों विकल्पों पर विचार करें।

आधार पर एक नियमित बहुभुज है

यह स्कूल के पाठ्यक्रम से जाना जाता है:

वर्ग का क्षेत्रफल उसके वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होगा;
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है जिसे 4 से विभाजित किया जाता है और तीन के वर्गमूल से गुणा किया जाता है।

लेकिन किसी भी नियमित बहुभुज (Sn) के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र भी है: आपको इस बहुभुज (P) की परिधि के मान को अंकित वृत्त (r) की त्रिज्या से गुणा करना होगा, और फिर विभाजित करना होगा दो से परिणाम: एसएन = 1/2 पी * आर ...

आधार पर - एक अनियमित बहुभुज

इसके क्षेत्र को खोजने की योजना पहले पूरे बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करना है, उनमें से प्रत्येक के क्षेत्र की गणना सूत्र का उपयोग करके करें: 1/2a * h (जहाँ a त्रिभुज का आधार है, h ऊँचाई को गिरा दिया गया है यह आधार), सभी परिणाम जोड़ें।

पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र

अब आइए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करें, अर्थात्। इसके सभी पार्श्व पक्षों के क्षेत्रों का योग। यहां 2 विकल्प भी संभव हैं।

आइए हमारे पास एक मनमाना पिरामिड है, अर्थात। जिसके आधार पर एक अनियमित बहुभुज है। फिर आपको प्रत्येक चेहरे के क्षेत्र की अलग से गणना करनी चाहिए और परिणाम जोड़ना चाहिए। चूंकि पिरामिड के किनारे, परिभाषा के अनुसार, केवल त्रिकोण हो सकते हैं, गणना उपरोक्त सूत्र के अनुसार की जाती है: एस = 1/2 ए * एच।
हमारे पिरामिड को सही होने दें, अर्थात। एक नियमित बहुभुज इसके आधार पर स्थित है, और पिरामिड के शीर्ष का प्रक्षेपण इसके केंद्र में है। फिर, पार्श्व सतह (एसबी) के क्षेत्र की गणना करने के लिए, पार्श्व पक्ष की ऊंचाई (एच) द्वारा आधार बहुभुज (पी) के परिधि के आधे उत्पाद को खोजने के लिए पर्याप्त है (सभी के लिए समान) चेहरे): एसबी = 1/2 पी * एच। एक बहुभुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाई को जोड़कर निर्धारित किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र उसके आधार के क्षेत्रफल को संपूर्ण पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के साथ जोड़कर पाया जाता है।

के उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, आइए हम बीजगणितीय रूप से कई पिरामिडों के सतह क्षेत्रों की गणना करें।

त्रिभुजाकार पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल

ऐसे पिरामिड के आधार पर एक त्रिभुज होता है। सूत्र Sо = 1/2a * h का उपयोग करके, हम आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। हम पिरामिड के प्रत्येक चेहरे के क्षेत्र को खोजने के लिए एक ही सूत्र लागू करते हैं, जिसमें त्रिकोणीय आकार भी होता है, और हमें 3 क्षेत्र मिलते हैं: एस 1, एस 2 और एस 3। पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र सभी क्षेत्रों का योग है: Sb = S1 + S2 + S3। पक्षों और आधार के क्षेत्रों को जोड़कर, हम वांछित पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र प्राप्त करते हैं: Sп = Sо + Sb।

एक चतुर्भुज पिरामिड का सतही क्षेत्रफल

पार्श्व सतह क्षेत्र 4 पदों का योग है: Sb = S1 + S2 + S3 + S4, जिनमें से प्रत्येक की गणना त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके की जाती है। और आधार के क्षेत्र को देखना होगा, चतुर्भुज के आकार के आधार पर - सही या गलत। दिए गए पिरामिड के आधार क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल को जोड़कर पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल पुनः प्राप्त किया जाता है।

इस ज्यामितीय आकृति और इसके गुणों के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करने से पहले, आपको कुछ शर्तों को समझना चाहिए। जब कोई व्यक्ति पिरामिड के बारे में सुनता है, तो वह मिस्र में विशाल इमारतों की कल्पना करता है। यह वही है जो उनमें से सबसे सरल दिखता है। लेकिन वे विभिन्न प्रकार और आकृतियों में आते हैं, जिसका अर्थ है कि ज्यामितीय आकृतियों के लिए गणना सूत्र अलग होंगे।

पिरामिड - ज्यामितीय आकृति, कई चेहरों को निरूपित करना और उनका प्रतिनिधित्व करना। वास्तव में, यह वही पॉलीहेड्रॉन है, जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है, और किनारों पर एक बिंदु पर जुड़ने वाले त्रिकोण होते हैं - शीर्ष। आकृति दो मुख्य प्रकार की है:

सही;
छोटा कर दिया

पहले मामले में, एक नियमित बहुभुज आधार पर स्थित है। यहाँ सभी भुजाएँ समान हैंआपस में और फिगर खुद परफेक्शनिस्ट की नजर को खुश कर देगा।

दूसरे मामले में, दो आधार हैं - बहुत नीचे एक बड़ा और शीर्ष के बीच एक छोटा, मुख्य के आकार को दोहराते हुए। दूसरे शब्दों में, एक छोटा पिरामिड आधार के समानांतर एक खंड के साथ एक बहुफलक है।

नियम और पदनाम

मूल शर्तें:

नियमित (समबाहु) त्रिभुज- तीन समान कोणों और समान भुजाओं वाली एक आकृति। इस मामले में, सभी कोण 60 डिग्री हैं। यह आकृति नियमित पॉलीहेड्रा में सबसे सरल है। यदि यह आकृति आधार पर स्थित है, तो ऐसे बहुफलक को नियमित त्रिभुजाकार कहा जाएगा। यदि आधार पर एक वर्ग है, तो पिरामिड को नियमित चतुर्भुज पिरामिड कहा जाएगा।
शिखर- उच्चतम बिंदु जहां चेहरे अभिसरण होते हैं। शीर्ष की ऊंचाई एक सीधी रेखा द्वारा बनाई गई है जो ऊपर से पिरामिड के आधार तक फैली हुई है।
किनारा- बहुभुज के विमानों में से एक। यह एक त्रिकोणीय पिरामिड के मामले में एक त्रिभुज के रूप में हो सकता है, या एक काटे गए पिरामिड के लिए एक ट्रेपोजॉइड के रूप में हो सकता है।
क्रॉस सेक्शन- एक विच्छेदन के परिणामस्वरूप एक सपाट आकृति। कट के साथ भ्रमित होने की नहीं, क्योंकि कट यह भी दर्शाता है कि कट के पीछे क्या है।
एपोथेम- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक खींचा गया एक खंड। यह चेहरे की ऊंचाई भी है जहां दूसरा ऊंचाई बिंदु है। यह परिभाषा केवल एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के संबंध में मान्य है। उदाहरण के लिए, यदि यह एक छोटा पिरामिड नहीं है, तो चेहरा एक त्रिभुज होगा। इस मामले में, इस त्रिकोण की ऊंचाई एपोटेम बन जाएगी।

क्षेत्र सूत्र

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिएकिसी भी प्रकार को कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आकृति सममित नहीं है और विभिन्न भुजाओं वाला बहुभुज है, तो इस मामले में सभी सतहों की समग्रता का उपयोग करके कुल सतह क्षेत्र की गणना करना आसान है। दूसरे शब्दों में, आपको प्रत्येक चेहरे के क्षेत्र की गणना करने और उन्हें एक साथ जोड़ने की आवश्यकता है।

ज्ञात मापदंडों के आधार पर, एक वर्ग, समलम्बाकार, मनमाना चतुर्भुज, आदि की गणना के लिए सूत्रों की आवश्यकता हो सकती है। विभिन्न मामलों में स्वयं सूत्रभी अलग होगा।

सही आकृति के मामले में, क्षेत्रफल ज्ञात करना बहुत आसान है। केवल कुछ प्रमुख मापदंडों को जानना पर्याप्त है। ज्यादातर मामलों में, केवल ऐसी आकृतियों के लिए गणना की आवश्यकता होती है। इसलिए, संबंधित सूत्र नीचे दिए जाएंगे। अन्यथा, आपको सब कुछ कई पन्नों पर रंगना होगा, जो केवल भ्रमित और भ्रमित करेगा।

गणना के लिए मूल सूत्रएक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र इस तरह दिखेगा:

एस = ½ पा (पी आधार की परिधि है, ए एपोटेम है)

आइए उदाहरणों में से एक को देखें। पॉलीहेड्रॉन का आधार ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5 है, और वे सभी 10 सेमी के बराबर हैं। एपोथेम को 5 सेमी के बराबर होने दें। सबसे पहले, आपको परिधि को खोजने की जरूरत है। चूँकि आधार के सभी पाँच फलक समान हैं, आप इसे इस तरह पा सकते हैं: P = 5 * 10 = 50 सेमी। अगला, हम मूल सूत्र लागू करते हैं: S = ½ * 50 * 5 = 125 सेमी वर्ग।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्रगणना करने में सबसे आसान। सूत्र इस तरह दिखता है:

S = ½ * ab * 3, जहाँ a एपोटेम है, b आधार का फलक है। यहां ट्रिपल गुणक का अर्थ है आधार किनारों की संख्या, और पहला भाग पार्श्व सतह क्षेत्र है। आइए एक उदाहरण देखें। 5 सेमी के एपोथेम और 8 सेमी के आधार किनारे के साथ एक आकृति दी गई है। गणना करें: एस = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 सेमी वर्ग।

छोटा पिरामिड पार्श्व सतह क्षेत्रगणना करना थोड़ा अधिक कठिन है। सूत्र इस तरह दिखता है: एस = 1/2 * (पी_01 + पी_02) * ए, जहां पी_01 और पी_02 आधारों की परिधि हैं, और एपोथेम है। आइए एक उदाहरण देखें। उदाहरण के लिए, एक चतुर्भुज आकृति के लिए, आधारों के पक्षों के आयाम 3 और 6 सेमी हैं, एपोथेम 4 सेमी है।

यहां, पहले आपको आधारों की परिधि खोजने की आवश्यकता है: p_01 = 3 * 4 = 12 सेमी; p_02 = 6 * 4 = 24 सेमी। यह मूल्यों को मूल सूत्र में स्थानापन्न करने और प्राप्त करने के लिए रहता है: S = 1/2 * (12 + 24) * 4 = 0.5 * 36 * 4 = 72 सेमी वर्ग।

इस प्रकार, किसी भी जटिलता के नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजना संभव है। सावधान रहना चाहिए और भ्रमित नहीं होना चाहिएये गणना पूरे पॉलीहेड्रॉन के कुल क्षेत्रफल के साथ हैं। और अगर आपको अभी भी ऐसा करने की ज़रूरत है, तो पॉलीहेड्रॉन के सबसे बड़े आधार के क्षेत्र की गणना करने और इसे पॉलीहेड्रॉन की पार्श्व सतह के क्षेत्र में जोड़ने के लिए पर्याप्त है।

वीडियो

विभिन्न पिरामिडों के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के तरीके के बारे में जानकारी को समेकित करने के लिए, यह वीडियो आपकी सहायता करेगा।

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समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विशिष्ट ज्यामितीय समस्याएं विभिन्न आकृतियों की सतहों के क्षेत्रों को निर्धारित करने की समस्याएं हैं। इस लेख में, हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

एक पिरामिड क्या है?

यहाँ पिरामिड की एक सख्त ज्यामितीय परिभाषा दी गई है। मान लीजिए कि n भुजाओं और n कोनों वाला कोई बहुभुज है। अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनें, जो निर्दिष्ट एन-गॉन के तल में नहीं होगा, और इसे बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से जोड़ दें। हमें एक निश्चित आयतन वाली आकृति प्राप्त होती है, जिसे n-पक्षीय पिरामिड कहते हैं। उदाहरण के लिए, आइए नीचे दिए गए चित्र में दिखाते हैं कि पंचकोणीय पिरामिड कैसा दिखता है।

किसी भी पिरामिड के दो महत्वपूर्ण तत्व उसका आधार (n-gon) और उसका शीर्ष होते हैं। ये तत्व एक दूसरे से n त्रिभुजों से जुड़े हुए हैं, जो आम तौर पर एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। ऊपर से आधार तक गिराए गए लम्ब को आकृति की ऊँचाई कहते हैं। यदि यह आधार को ज्यामितीय केंद्र पर काटता है (बहुभुज के द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है), तो ऐसे पिरामिड को एक सीधी रेखा कहा जाता है। यदि, इस शर्त के अलावा, आधार एक नियमित बहुभुज है, तो पूरे पिरामिड को नियमित कहा जाता है। नीचे दिया गया आंकड़ा दिखाता है कि त्रिकोणीय, चतुर्भुज, पंचकोणीय और हेक्सागोनल आधारों के साथ नियमित पिरामिड कैसा दिखता है।

पिरामिड सतह

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के प्रश्न पर आगे बढ़ने से पहले, सतह की अवधारणा पर अधिक विस्तार से ध्यान देना चाहिए।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है और आंकड़ों में दिखाया गया है, कोई भी पिरामिड चेहरे या भुजाओं के समूह से बनता है। एक भुजा आधार है और n भुजाएँ त्रिभुज हैं। संपूर्ण आकृति की सतह इसके प्रत्येक पक्ष के क्षेत्रों का योग है।

एक आकृति को खोलने के उदाहरण का उपयोग करके सतह का अध्ययन करना सुविधाजनक है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए एक सपाट पैटर्न नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल समान समद्विबाहु त्रिभुजों के चार क्षेत्रफलों के योग और एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

आकृति के पार्श्व पक्षों को बनाने वाले सभी त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल आमतौर पर पार्श्व सतह क्षेत्र कहलाता है। इसके बाद, हम दिखाएंगे कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए इसकी गणना कैसे की जाती है।

एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र

निर्दिष्ट आकार के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, उपरोक्त फ्लैट पैटर्न को देखें। मान लीजिए हम एक वर्गाकार आधार की भुजा जानते हैं। आइए इसे प्रतीक a से निरूपित करें। यह देखा जा सकता है कि चार समरूप त्रिभुजों में से प्रत्येक का आधार लंबाई a है। उनके कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको एक त्रिभुज के लिए यह मान जानना होगा। ज्यामिति पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है कि त्रिभुज S t का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे आधे भाग में विभाजित किया जाना चाहिए। अर्थात्:

जहाँ h b आधार a पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है। पिरामिड के लिए, यह ऊंचाई एपोथेम है। माना पिरामिड के लिए पार्श्व सतह के क्षेत्र एस बी प्राप्त करने के लिए अब प्राप्त अभिव्यक्ति को 4 से गुणा करना बाकी है:

एस बी = 4 * एस टी = 2 * एच बी * ए।

इस सूत्र में दो पैरामीटर हैं: एपोटेमा और आधार का एक पक्ष। यदि समस्या की अधिकांश स्थितियों में उत्तरार्द्ध ज्ञात है, तो पूर्व की गणना अन्य मात्राओं को जानकर की जानी चाहिए। हम दो स्थितियों के लिए apotema h b की गणना के लिए सूत्र देते हैं:

जब पार्श्व पसली की लंबाई ज्ञात हो;
जब पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात हो।

यदि हम पार्श्व किनारे की लंबाई (एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा) को प्रतीक L से निरूपित करते हैं, तो apotema h b सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एच बी = (एल 2 - ए 2/4)।

यह व्यंजक पाइथागोरस प्रमेय को पार्श्व सतह के त्रिभुज पर लागू करने का परिणाम है।

यदि पिरामिड की ऊँचाई h ज्ञात है, तो apotema h b की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

एच बी = (एच 2 + ए 2/4)।
इस व्यंजक को प्राप्त करना भी मुश्किल नहीं है यदि हम पिरामिड के अंदर पैरों h और a / 2 और एक कर्ण h b से बने समकोण त्रिभुज पर विचार करें।
आइए आपको दिखाते हैं कि दो दिलचस्प समस्याओं को हल करके इन फ़ार्मुलों को कैसे लागू किया जाए।

ज्ञात सतह क्षेत्र समस्या

यह ज्ञात है कि चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 108 सेमी 2 है। यदि पिरामिड की ऊंचाई 7 सेमी है, तो इसके एपोटेमा एच बी की लंबाई के मूल्य की गणना करना आवश्यक है।
आइए पार्श्व सतह के क्षेत्रफल S b का सूत्र ऊँचाई के पदों में लिखें। हमारे पास है:

एस बी = 2 * (एच 2 + ए 2/4) * ए।

यहाँ हमने S b के व्यंजक में संबंधित एपोटेमा सूत्र को सरलता से प्रतिस्थापित किया है। आइए समानता के दोनों पक्षों को चौकोर करें:

एस बी 2 = 4 * ए 2 * एच 2 + ए 4।

a का मान ज्ञात करने के लिए, आइए वेरिएबल्स को बदलें:

टी 2 + 4 * एच 2 * टी - एस बी 2 = 0।

अब हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

टी 2 + 196 * टी - 11664 = 0।

हमने इस समीकरण के केवल धनात्मक मूल को ही लिखा है। तब पिरामिड के आधार की भुजाएँ बराबर होंगी:

ए = t = √47.8355 ≈ 6.916 सेमी।

एपोटेमा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, यह सूत्र का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है:

एच बी = √ (एच 2 + ए 2/4) = √ (7 2 + 6.916 2/4) 7.808 सेमी।

चेप्स पिरामिड की पार्श्व सतह

आइए मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड के लिए पार्श्व सतह क्षेत्र का मान निर्धारित करें। यह ज्ञात है कि इसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी लंबाई 230.363 मीटर है। इमारत की ऊंचाई मूल रूप से 146.5 मीटर थी। इन संख्याओं को S b के संगत सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एस बी = 2 * (एच 2 + ए 2/4) * ए = 2 * √ (146.5 2 +230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 मीटर 2.

पाया गया मान 17 फुटबॉल मैदानों के क्षेत्रफल से थोड़ा बड़ा है।