ऑनलाइन घातों से भिन्नों को कम करना। विस्तृत समाधान के साथ बीजीय भिन्नों को कम करने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको भिन्न को कम करने और अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलने की अनुमति देता है

स्कूल में बच्चे छठी कक्षा में भिन्नों को कम करने के नियम सीखते हैं। इस लेख में, हम पहले आपको बताएंगे कि इस क्रिया का क्या अर्थ है, फिर हम बताएंगे कि एक कम करने योग्य अंश को एक अपरिवर्तनीय अंश में कैसे परिवर्तित किया जाए। अगला बिंदु भिन्नों को कम करने के नियम होंगे, और फिर हम धीरे-धीरे उदाहरणों पर पहुंचेंगे।

"अंश को कम करने" का क्या मतलब है?

तो हम सब यह जानते हैं साधारण अंशको दो समूहों में विभाजित किया गया है: रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल। नामों से ही आप समझ सकते हैं कि जो अनुबंध योग्य हैं वे अनुबंधित हैं, और जो अप्रासंगिक हैं वे अनुबंधित नहीं हैं।

• किसी भिन्न को छोटा करने का अर्थ है उसके हर और अंश को उनके (एक के अलावा) धनात्मक भाजक से विभाजित करना। परिणाम, निश्चित रूप से, एक छोटे हर और अंश के साथ एक नया अंश है। परिणामी अंश मूल भिन्न के बराबर होगा।

यह ध्यान देने योग्य है कि गणित की पुस्तकों में "एक अंश को कम करें" कार्य के साथ, इसका मतलब है कि आपको मूल अंश को इस अपरिवर्तनीय रूप में कम करने की आवश्यकता है। अगर हम बात करें सरल शब्दों में, फिर हर और अंश को उनके सबसे बड़े से विभाजित करें सामान्य भाजकऔर कमी आ गई है.

भिन्न को कैसे कम करें. भिन्नों को कम करने के नियम (ग्रेड 6)

तो यहाँ केवल दो नियम हैं.

1. भिन्नों को कम करने का पहला नियम यह है कि सबसे पहले अपने भिन्न के हर और अंश का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड ज्ञात करें।
2. दूसरा नियम: हर और अंश को सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करें, अंततः एक अघुलनशील अंश प्राप्त करें।

अनुचित भिन्न को कैसे कम करें?

भिन्नों को कम करने के नियम अनुचित भिन्नों को कम करने के नियमों के समान हैं।

एक अनुचित भिन्न को कम करने के लिए, आपको पहले हर और अंश को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करना होगा, और उसके बाद ही सामान्य गुणनखंडों को कम करना होगा।

मिश्रित अंशों को कम करना

भिन्नों को कम करने के नियम मिश्रित भिन्नों को कम करने पर भी लागू होते हैं। केवल एक छोटा सा अंतर है: हम पूरे भाग को नहीं छू सकते हैं, लेकिन अंश को कम कर सकते हैं या मिश्रित अंश को अनुचित अंश में बदल सकते हैं, फिर इसे कम कर सकते हैं और इसे फिर से उचित अंश में बदल सकते हैं।

मिश्रित भिन्नों को कम करने के दो तरीके हैं।

पहला: भिन्नात्मक भाग को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें और फिर पूरे भाग को अकेला छोड़ दें।

दूसरा तरीका: पहले इसे अनुचित भिन्न में बदलें, इसे सामान्य गुणनखंडों में लिखें, फिर भिन्न को कम करें। पहले से प्राप्त अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

उदाहरण ऊपर फोटो में देखे जा सकते हैं।

हम वास्तव में आशा करते हैं कि हम आपकी और आपके बच्चों की मदद करने में सक्षम थे। आख़िरकार, वे अक्सर कक्षा में असावधान रहते हैं, इसलिए उन्हें घर पर स्वयं अधिक गहनता से अध्ययन करना पड़ता है।

इस लेख में हम विस्तार से देखेंगे कि कैसे अंशों को कम करना. सबसे पहले, आइए चर्चा करें कि भिन्न को घटाना किसे कहते हैं। इसके बाद, आइये एक न्यूनीकरणीय अंश को अघुलनशील रूप में परिवर्तित करने के बारे में बात करते हैं। आगे हम भिन्नों को कम करने का नियम प्राप्त करेंगे और अंत में, इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

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भिन्न को कम करने का क्या मतलब है?

हम जानते हैं कि साधारण भिन्नों को न्यूनीकरणीय और अप्रासंगिक भिन्नों में विभाजित किया जाता है। आप नामों से अनुमान लगा सकते हैं कि कम करने योग्य भिन्नों को कम किया जा सकता है, लेकिन अपरिवर्तनीय भिन्नों को नहीं।

भिन्न को कम करने का क्या मतलब है? अंश कम करें- इसका मतलब है इसके अंश और हर को उनके सकारात्मक और एकता से भिन्न से विभाजित करना। यह स्पष्ट है कि भिन्न को कम करने के परिणामस्वरूप, छोटे अंश और हर के साथ एक नया भिन्न प्राप्त होता है, और, भिन्न के मूल गुण के कारण, परिणामी भिन्न मूल अंश के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, आइए सामान्य भिन्न 8/24 को उसके अंश और हर को 2 से विभाजित करके कम करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न 8/24 को 2 से कम करें। चूँकि 8:2=4 और 24:2=12, इस कमी के परिणामस्वरूप भिन्न 4/12 होता है, जो मूल भिन्न 8/24 के बराबर है (समान और असमान भिन्न देखें)। परिणामस्वरूप, हमारे पास है।

साधारण भिन्नों को अघुलनशील रूप में कम करना

आमतौर पर, किसी अंश को कम करने का अंतिम लक्ष्य एक अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त करना है जो मूल कम करने योग्य अंश के बराबर है। यह लक्ष्य मूल न्यूनीकरणीय अंश को उसके अंश और हर में कम करके प्राप्त किया जा सकता है। ऐसी कमी के परिणामस्वरूप, हमेशा एक अघुलनशील अंश प्राप्त होता है। वास्तव में, एक अंश अपरिवर्तनीय है, क्योंकि यह ज्ञात है और - . यहां हम कहेंगे कि किसी भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक क्या है सबसे बड़ी संख्या, जिससे इस अंश को कम किया जा सके।

इसलिए, एक सामान्य अंश को अघुलनशील रूप में कम करनाइसमें मूल न्यूनीकरणीय अंश के अंश और हर को उनकी जीसीडी से विभाजित करना शामिल है।

आइए एक उदाहरण देखें, जिसके लिए हम भिन्न 8/24 पर लौटते हैं और इसे संख्या 8 और 24 के सबसे बड़े सामान्य भाजक से कम करते हैं, जो 8 के बराबर है। चूँकि 8:8=1 और 24:8=3, हम अपरिवर्तनीय भिन्न 1/3 पर आते हैं। इसलिए, ।

ध्यान दें कि वाक्यांश "एक अंश को कम करें" का अर्थ अक्सर मूल अंश को उसके अघुलनशील रूप में कम करना होता है। दूसरे शब्दों में, भिन्न को कम करने का अर्थ अक्सर अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड से विभाजित करना होता है (किसी सामान्य गुणनखंड के बजाय)।

भिन्न को कैसे कम करें? भिन्नों को कम करने के नियम और उदाहरण

जो कुछ बचा है वह भिन्नों को कम करने के नियम को देखना है, जो बताता है कि किसी दिए गए भिन्न को कैसे कम किया जाए।

भिन्नों को कम करने का नियमइसमें दो चरण शामिल हैं:

• सबसे पहले, भिन्न के अंश और हर की जीसीडी पाई जाती है;
• दूसरे, भिन्न के अंश और हर को उनके gcd से विभाजित किया जाता है, जो मूल अंश के बराबर एक अपरिवर्तनीय भिन्न देता है।

आइए इसे सुलझाएं भिन्न को कम करने का उदाहरणबताए गए नियम के अनुसार.

उदाहरण।

अंश 182/195 घटाएँ।

समाधान।

आइए भिन्न को कम करने के नियम द्वारा निर्धारित दोनों चरणों को पूरा करें।

सबसे पहले हम GCD(182, 195) पाते हैं। यूक्लिड एल्गोरिथ्म का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है (देखें): 195=182·1+13, 182=13·14, यानी, जीसीडी(182, 195)=13।

अब हम भिन्न 182/195 के अंश और हर को 13 से विभाजित करते हैं, और हमें अपरिवर्तनीय भिन्न 14/15 प्राप्त होता है, जो मूल भिन्न के बराबर है। इससे अंश की कमी पूरी हो जाती है।

संक्षेप में समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है: .

उत्तर:

यहीं पर हम भिन्नों को कम करना समाप्त कर सकते हैं। लेकिन तस्वीर को पूरा करने के लिए, आइए भिन्नों को कम करने के दो और तरीकों पर गौर करें, जो आमतौर पर आसान मामलों में उपयोग किए जाते हैं।

कभी-कभी भिन्न के अंश और हर को कम करना कठिन नहीं होता। इस मामले में भिन्न को कम करना बहुत सरल है: आपको बस अंश और हर से सभी सामान्य गुणनखंडों को हटाना होगा।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह विधि सीधे भिन्नों को कम करने के नियम का पालन करती है, क्योंकि अंश और हर के सभी सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक के बराबर होता है।

आइए उदाहरण के समाधान पर नजर डालें।

उदाहरण।

अंश 360/2 940 घटाएँ।

समाधान।

आइए अंश और हर को सरल गुणनखंडों में विभाजित करें: 360=2·2·2·3·3·5 और 2,940=2·2·3·5·7·7. इस प्रकार, .

अब हम अंश और हर में सामान्य गुणनखंडों से छुटकारा पा लेते हैं; सुविधा के लिए, हम बस उन्हें काट देते हैं: .

अंत में, हम शेष कारकों को गुणा करते हैं:, और भिन्न की कमी पूरी हो जाती है।

यहां समाधान का संक्षिप्त सारांश दिया गया है: .

उत्तर:

आइए भिन्न को कम करने के दूसरे तरीके पर विचार करें, जिसमें क्रमिक कमी शामिल है। यहां, प्रत्येक चरण में, अंश को अंश और हर के कुछ सामान्य भाजक द्वारा कम किया जाता है, जो या तो स्पष्ट है या आसानी से उपयोग करके निर्धारित किया जाता है

भिन्नों के साथ काम करते समय कई छात्र वही गलतियाँ करते हैं। और सब इसलिए क्योंकि वे बुनियादी नियम भूल जाते हैं अंकगणित. आज हम इन नियमों को उन विशिष्ट कार्यों पर दोहराएंगे जो मैं अपनी कक्षाओं में देता हूं।

यहां वह कार्य है जो मैं उन सभी को प्रदान करता हूं जो गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं:

काम। एक पोरपोइज़ प्रतिदिन 150 ग्राम भोजन खाता है। लेकिन वह बड़ी हो गई और 20% अधिक खाने लगी। अब सुअर कितने ग्राम चारा खाता है?

नहीं सही समाधान. यह एक प्रतिशत समस्या है जो समीकरण पर आधारित है:

कई (बहुत से) भिन्न के अंश और हर में संख्या 100 को कम करते हैं:

यह वह गलती है जो मेरे छात्र ने इस लेख को लिखने के दिन ही की थी। जिन नंबरों को काट दिया गया है उन्हें लाल रंग से चिह्नित किया गया है।

कहने की आवश्यकता नहीं कि उत्तर ग़लत था। खुद जज करें: सुअर ने 150 ग्राम खाया, लेकिन 3150 ग्राम खाना शुरू कर दिया। यह बढ़ोतरी 20% नहीं, बल्कि 21 गुना यानि कि हुई है। 2000% तक.

ऐसी ग़लतफ़हमियों से बचने के लिए, बुनियादी नियम याद रखें:

केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है। शर्तें कम नहीं की जा सकतीं!

इस प्रकार, पिछली समस्या का सही समाधान इस प्रकार दिखता है:

वे संख्याएँ जो अंश और हर में संक्षिप्त हैं, लाल रंग में चिह्नित हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, अंश एक गुणनफल है, हर एक साधारण संख्या है। इसलिए, कटौती पूरी तरह से कानूनी है.

अनुपात के साथ काम करना

एक और समस्या क्षेत्र — अनुपात. खासतौर पर तब जब वेरिएबल दोनों तरफ हो। उदाहरण के लिए:

काम। प्रश्न हल करें:

ग़लत समाधान - कुछ लोग वस्तुतः हर चीज़ को m से छोटा करने के लिए उत्सुक रहते हैं:

कम किए गए चर लाल रंग में दिखाए गए हैं। अभिव्यक्ति 1/4 = 1/5 पूरी तरह से बकवास साबित होती है, ये संख्याएँ कभी भी समान नहीं होती हैं।

और अब - सही निर्णय. मूलतः यह सामान्य है रेखीय समीकरण. इसे या तो सभी तत्वों को एक तरफ ले जाकर या अनुपात की मूल संपत्ति द्वारा हल किया जा सकता है:

कई पाठक आपत्ति करेंगे: "पहले समाधान में गलती कहाँ है?" खैर, आइए जानें। आइए समीकरणों के साथ काम करने का नियम याद रखें:

किसी भी समीकरण को किसी भी संख्या से विभाजित और गुणा किया जा सकता है, शून्येतर.

क्या आप युक्ति चूक गए? आप केवल संख्याओं से भाग दे सकते हैं शून्येतर. विशेष रूप से, आप केवल एक चर m से विभाजित कर सकते हैं यदि m != 0. लेकिन क्या होगा यदि m = 0? आइए प्रतिस्थापित करें और जांचें:

हमें सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हुई, अर्थात्। m = 0 समीकरण का मूल है. शेष m != 0 के लिए हमें 1/4 = 1/5 के रूप की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है, जो स्वाभाविक रूप से गलत है। इस प्रकार, कोई गैर-शून्य जड़ें नहीं हैं।

निष्कर्ष: सब कुछ एक साथ रखना

इसलिए, भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए, तीन नियम याद रखें:

1. केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है। परिवर्धन संभव नहीं है. इसलिए, अंश और हर का गुणनखंड करना सीखें;
2. अनुपात का मुख्य गुण: चरम तत्वों का गुणनफल मध्य तत्वों के गुणनफल के बराबर होता है;
3. समीकरणों को केवल शून्य के अलावा अन्य संख्याओं से गुणा और विभाजित किया जा सकता है। केस k = 0 की अलग से जाँच की जानी चाहिए।

इन नियमों को याद रखें और गलतियाँ न करें।

विभाजनऔर उन पर भिन्न का अंश और हर सामान्य भाजक, एक से भिन्न , कहलाता है एक अंश को कम करना.

छोटा करना सामान्य अंश, आपको इसके अंश और हर को एक ही प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा।

यह संख्या दिए गए भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

निम्नलिखित संभव हैं निर्णय रिकॉर्डिंग प्रपत्रसामान्य भिन्नों को कम करने के उदाहरण.

छात्र को किसी भी प्रकार की रिकॉर्डिंग चुनने का अधिकार है।

उदाहरण। भिन्नों को सरल कीजिये.

भिन्न को 3 से कम करें (अंश को 3 से विभाजित करें;

हर को 3 से विभाजित करें)।

भिन्न को 7 से कम करें.

हम भिन्न के अंश और हर में संकेतित क्रियाएं करते हैं।

परिणामी अंश 5 से कम हो जाता है।

आइए इस अंश को कम करें 4) पर 5·7³- अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी), जिसमें अंश और हर के सामान्य गुणनखंड शामिल होते हैं, जिन्हें सबसे छोटे घातांक के साथ घात पर लिया जाता है।

आइए इस भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड अभाज्य गुणनखंडों में करें।

हम पाते हैं: 756=2²·3³·7और 1176=2³·3·7².

भिन्न के अंश और हर का GCD (सबसे बड़ा सामान्य भाजक) निर्धारित करें 5) .

यह सबसे कम घातांक के साथ लिए गए सामान्य कारकों का उत्पाद है।

जीसीडी(756, 1176)= 2²·3·7.

हम इस भिन्न के अंश और हर को उनकी gcd से विभाजित करते हैं, अर्थात 2²·3·7हमें एक अपरिवर्तनीय अंश मिलता है 9/14 .

या शक्ति की अवधारणा का उपयोग किए बिना, अंश और हर के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों के उत्पाद के रूप में लिखना संभव था, और फिर अंश और हर में समान कारकों को काटकर अंश को कम करना संभव था। जब कोई समान गुणनखंड नहीं बचता है, तो हम शेष गुणनखंडों को अंश में अलग से और हर में अलग से गुणा करते हैं और परिणामी भिन्न को लिखते हैं। 9/14 .

और आख़िरकार, इस अंश को कम करना संभव हो सका 5) धीरे-धीरे, भिन्न के अंश और हर दोनों पर संख्याओं को विभाजित करने के चिह्न लगाना। आइए इस तरह सोचें: संख्याएँ 756 और 1176 एक सम संख्या में समाप्त होता है, जिसका अर्थ है कि दोनों विभाज्य हैं 2 . हम भिन्न को कम करते हैं 2 . नये भिन्न के अंश और हर संख्याएँ हैं 378 और 588 में भी विभाजित किया गया है 2 . हम भिन्न को कम करते हैं 2 . हमने देखा कि संख्या 294 - यहां तक ​​कि, और 189 अजीब है, और 2 की कमी अब संभव नहीं है। आइए संख्याओं की विभाज्यता की जाँच करें 189 और 294 पर 3 .

(1+8+9)=18, 3 से विभाज्य है और (2+9+4)=15, 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्याएँ स्वयं 189 और 294 में विभाजित हैं 3 . हम भिन्न को कम करते हैं 3 . आगे, 63 3 और से विभाज्य है 98 - नहीं। आइए अन्य प्रमुख कारकों पर नजर डालें। दोनों संख्याएँ विभाज्य हैं 7 . हम भिन्न को कम करते हैं 7 और हमें अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त होता है 9/14 .

यह समझने के लिए कि भिन्नों को कैसे कम किया जाए, आइए पहले एक उदाहरण देखें।

भिन्न को छोटा करने का अर्थ है अंश और हर को एक ही चीज़ से विभाजित करना। 360 और 420 दोनों एक अंक में समाप्त होते हैं, इसलिए हम इस भिन्न को 2 से कम कर सकते हैं। नए भिन्न में, 180 और 210 दोनों भी 2 से विभाज्य हैं, इसलिए हम इस भिन्न को 2 से कम करते हैं। संख्या 90 और 105 में, योग अंकों का भाग 3 से विभाज्य है, इसलिए ये दोनों संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं, हम भिन्न को 3 से कम करते हैं। नए भिन्न में, 30 और 35 का अंत 0 और 5 पर होता है, जिसका अर्थ है कि दोनों संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं, इसलिए हम अंश को कम करते हैं 5 से भिन्न। छह-सातवें का परिणामी अंश अपरिवर्तनीय है। यह अंतिम उत्तर है.

हम एक ही उत्तर पर अलग-अलग तरीके से पहुंच सकते हैं।

360 और 420 दोनों शून्य पर समाप्त होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे 10 से विभाज्य हैं। हम भिन्न को 10 से कम करते हैं। नए भिन्न में, अंश 36 और हर 42 दोनों को 2 से विभाजित किया जाता है। हम भिन्न को 2 से कम करते हैं। अगले भिन्न में, अंश 18 और हर 21 दोनों को 3 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि हम भिन्न को 3 से कम करते हैं। हम परिणाम पर आए - छह सातवाँ।

और एक और उपाय.

अगली बार हम भिन्नों को कम करने के उदाहरण देखेंगे।