दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य। भाजक और गुणक

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के तीन तरीकों पर विचार करें।

फैक्टरिंग द्वारा ढूँढना

पहला तरीका यह है कि इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जाए।

मान लीजिए हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, हम इनमें से प्रत्येक संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित करते हैं:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड इसमें प्रवेश करें। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को अधिकतम संभव घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

तो एलसीएम (99, 30, 28) = 13 860। 13 860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30 या 28 से विभाज्य नहीं है।

इन संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए, आपको उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को उसके मिलने वाले सबसे बड़े घातांक के साथ लेना होगा, और इन कारकों को एक साथ गुणा करना होगा।

चूँकि सहअभाज्य संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं, उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 परस्पर अभाज्य हैं। इसलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340।

विभिन्न अभाज्यों के कम से कम सामान्य गुणकों की तलाश करते समय भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरा तरीका यह है कि फिटिंग द्वारा कम से कम सामान्य गुणक का पता लगाया जाए।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या को अन्य दी गई संख्याओं से पूरी तरह विभाजित किया जाता है, तो इन संख्याओं का LCM उनमें से बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6. उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एलसीएम (60, 30, 10, 6) = 60

अन्यथा, निम्न प्रक्रिया का उपयोग कम से कम सामान्य गुणक को खोजने के लिए किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम ऐसी संख्याएँ पाते हैं जो सबसे बड़ी संख्या के गुणज हैं, इसे आरोही क्रम में प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करते हैं और जाँचते हैं कि क्या शेष दी गई संख्याएँ परिणामी गुणनफल से विभाज्य हैं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। उनमें से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए - यह संख्या 24 है। इसके बाद, ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 24 के गुणज हैं, यह जाँचते हुए कि उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है या नहीं:

24 1 = 24 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 2 = 48 - 3 से विभाज्य, लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 3 = 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

तो एलसीएम (24, 3, 18) = 72।

एलसीएम को क्रमिक रूप से खोजकर ढूँढना

तीसरा तरीका एलसीएम को क्रमिक रूप से खोजकर कम से कम सामान्य गुणक खोजना है।

दो दी गई संख्याओं का LCM उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

उदाहरण 1. आइए दो दी गई संख्याओं का LCM ज्ञात करें: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: GCD (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम काम को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

अत: LCM (12, 8) = 24.

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करें:

1. सबसे पहले, दी गई संख्याओं में से किन्हीं दो का LCM ज्ञात कीजिए।
2. फिर, कम से कम सामान्य गुणक का एलसीएम और तीसरी दी गई संख्या।
3. फिर, परिणामी कम से कम सामान्य गुणक और चौथी संख्या का एलसीएम, आदि।
4. इस प्रकार, LCM की खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण 2. आइए तीन दी गई संख्याओं का एलसीएम खोजें: 12, 8 और 9। संख्याओं 12 और 8 का एलसीएम हम पिछले उदाहरण में पहले ही पा चुके हैं (यह संख्या 24 है)। यह 24 का सबसे छोटा सामान्य गुणक और तीसरी दी गई संख्या - 9 को खोजने के लिए बनी हुई है। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: GCD (24, 9) = 3. LCM को संख्या 9 से गुणा करें:

हम काम को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

तो एलसीएम (12, 8, 9) = 72।

एक बहु एक ऐसी संख्या है जो किसी दी गई संख्या से समान रूप से विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या है जो समूह में प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य होती है। अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। एलसीएम की गणना कई अन्य विधियों का उपयोग करके भी की जा सकती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की एक श्रृंखला

दिए गए नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से कम होती है। यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए आप इस विधि का उपयोग कर सकते हैं।

1. एक बहु एक ऐसी संख्या है जो किसी दी गई संख्या से समान रूप से विभाज्य होती है। गुणन तालिका में कई संख्याएँ पाई जा सकती हैं।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 5 के गुणज हैं वे हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं की दो श्रृंखलाओं की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणकों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 8 के गुणज हैं वे हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. गुणज की दोनों पंक्तियों में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।योग ज्ञात करने के लिए आपको गुणकों की लंबी श्रंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणज की दोनों पंक्तियों में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या सबसे छोटी सामान्य गुणज होती है।

   • उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणजों की श्रृंखला में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. दिए गए नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से बड़ी होती है। यदि दी गई संख्याएँ छोटी हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, 20 और 84 का सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए आप इस पद्धति का उपयोग कर सकते हैं।

   2. पहले अंक का गुणनखंड करें।यानी आपको ऐसे अभाज्य अभाज्य खोजने होंगे, जिन्हें गुणा करने पर आपको दी गई संख्या प्राप्त हो। एक बार जब आप प्रमुख कारक पा लेते हैं, तो उन्हें समानता के रूप में लिख लें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ mathbf (2)) \ गुना 10 = 20)तथा 2 × 5 = 10 (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ mathbf (2)) \ बार (\ mathbf (5)) = 10)... इस प्रकार, 20 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 5 हैं। उन्हें व्यंजक के रूप में लिखिए:।

   3. दूसरे नंबर को फैक्टर करें।इसे उसी तरह करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया था, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करें, जिन्हें गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त होगी।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ mathbf (2)) \ बार 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ mathbf (7)) \ गुना 6 = 42)तथा 3 × 2 = 6 (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ mathbf (3)) \ बार (\ mathbf (2)) = 6)... इस प्रकार, 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें व्यंजक के रूप में लिखिए:।

   4. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखंड लिखिए।इन कारकों को गुणन संक्रिया के रूप में लिखिए। जैसा कि आप प्रत्येक कारक को लिखते हैं, इसे दोनों भावों में काट दें (व्यंजक जो अभाज्य गुणनखंडों का वर्णन करते हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखिए 2 × (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 \ बार)और दोनों भावों में 2 काट दें।
      • दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखिए 2 × 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 \ बार 2)और दूसरे 2 को दोनों भावों में काट दें।

   5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंडों को जोड़ें।ये ऐसे गुणनखंड हैं जिन्हें दोनों व्यंजकों में काट नहीं दिया गया है, अर्थात ऐसे गुणनखंड जो दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\ डिस्प्लेस्टाइल 20 = 2 \ गुना 2 \ गुना 5)दोनों 2 (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य गुणनखंड हैं। गुणनखंड 5 को पार नहीं किया गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 \ बार 2 \ बार 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल 84 = 2 \ गुना 7 \ गुना 3 \ गुना 2)दोनों 2 को भी काट दिया गया है (2)। गुणनखंड 7 और 3 को काटकर नहीं निकाला गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 \ बार 2 \ बार 5 \ बार 7 \ बार 3).

   6. कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें।ऐसा करने के लिए, दर्ज गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 \ गुना 2 \ गुना 5 \ गुना 7 \ गुना 3 = 420)... अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।

   सामान्य भाजक ढूँढना

   1. टिक-टैक-टो गेम के लिए ग्रिड बनाएं।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएँ होती हैं जो अन्य दो समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। यह तीन पंक्तियाँ और तीन कॉलम बनाता है (ग्रिड # चिह्न के समान है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहली संख्या लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ पर दूसरी संख्या लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 का सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात करें। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में 18 लिखें, और पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में 30 लिखें।

   2. दोनों संख्याओं का भाजक उभयनिष्ठ ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम पर लिख लें। प्रमुख कारकों की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई आवश्यकता नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएं हैं, इसलिए उनका सामान्य भाजक 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को पहले भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को संगत संख्या के नीचे लिखिए। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 2 = 9 (\ डिस्प्लेस्टाइल 18 \ डिव 2 = 9)इसलिए 9 अंडर 18 लिखें।
      • 30 2 = 15 (\ डिस्प्लेस्टाइल 30 \ डिव 2 = 15)इसलिए 15 अंडर 30 लिखें।

   4. दोनों भागफलों का भाजक उभयनिष्ठ ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में भाजक लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को दूसरे गुणनखंड से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संबंधित भागफल के अंतर्गत लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 3 = 3 (\ डिस्प्लेस्टाइल 9 \ डिव 3 = 3)इसलिए 3 अंडर 9 लिखें।
      • 15 3 = 5 (\ डिस्प्लेस्टाइल 15 \ डिव 3 = 5)इसलिए 5 अंडर 15 लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त कोशिकाओं के साथ ग्रिड को पूरक करें।वर्णित चरणों को तब तक दोहराएं जब तक कि भागफल में एक सामान्य भाजक न हो।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं को सर्कल करें।फिर चयनित संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्या 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 \ गुना 3 \ गुना 3 \ गुना 5).

   8. संख्याओं के गुणन का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ डिस्प्लेस्टाइल 2 \ गुना 3 \ गुना 3 \ गुना 5 = 90)... अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिथम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे भाग दिया जाता है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेष वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर शेष रहती है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 6 = 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल 15 \ डिव 6 = 2)ओस्ट। 3:
        15 लाभांश है
        6 भाजक है
        2 भागफल है
        3 शेष है।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि कोई प्राकृत संख्या a, प्राकृत संख्या $ b $ से विभाज्य है, तो $ b $ को $ a $ का भाजक कहा जाता है, और $ a $ को $ b $ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए $ a $ और $ b $ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $ c $ को $ a $ और $ b $ दोनों के लिए सामान्य भाजक कहा जाता है।

$ a $ और $ b $ के लिए सामान्य भाजक का सेट परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $ a $ से अधिक नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन भाजक के बीच एक सबसे बड़ा है, जिसे संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है $a $ तथा $b $, और इसे दर्शाने के लिए अंकन का उपयोग किया जाता है:

$ जीसीडी \ (ए; बी) \ या \ डी \ (ए; बी) $

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड होगी।

उदाहरण 1

$ 121 $ और $ 132 की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए। $

$ 242 = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

$ 132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

उन संख्याओं को चुनिए जो इन संख्याओं के अपघटन में शामिल हैं

$ 242 = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

$ 132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड होगी।

$ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

उदाहरण 2

$63 और $81 एकपदी का GCD ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$ 63 = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

$81 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

हम उन संख्याओं को चुनते हैं जो इन संख्याओं के अपघटन में शामिल होती हैं

$ 63 = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

$81 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड होगी।

$ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

आप संख्याओं के भाजक के सेट का उपयोग करके दो संख्याओं का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ की संख्याओं का GCD ज्ञात कीजिए।

समाधान:

संख्या $ 48 $: $ \ बाएँ \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ दाएँ \) $ के भाजक का सेट खोजें

अब हम संख्या $ 60 $: $ \ \ बाएँ \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ right \ के भाजक का सेट पाते हैं ) $

आइए इन सेटों का प्रतिच्छेदन खोजें: $ \ बाएँ \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ दाएँ \) $ - यह सेट $ 48 $ की संख्या के सामान्य भाजक के सेट को निर्धारित करेगा और $ 60 $। इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ का नंबर होगा। तो $48 और $60 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12 होगा।

एलसीएम की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृत संख्याओं का सामान्य गुणज$ a $ और $ b $ एक प्राकृत संख्या है जो $ a $ और $ b $ दोनों का गुणज है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें बिना किसी शेष के मूल से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $ 25 $ और $ 50 $ की संख्याओं के लिए, सामान्य गुणक संख्याएँ $ 50,100,150,200, आदि होंगी।

कम से कम सामान्य गुणक को सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा और एलसीएम $ (ए; बी) $ या के $ (ए; बी) द्वारा दर्शाया जाएगा। $

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. कारक संख्या
2. उन गुणनखंडों को लिखिए जो पहली संख्या का भाग हैं और उनमें उन गुणनखंडों को जोड़ें जो दूसरी संख्या का भाग हैं और पहली संख्या में नहीं जाते हैं।

उदाहरण 4

$99$ और $77$ संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

कारक संख्या

$ 99 = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उनमें वे कारक जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले में नहीं जाते हैं

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्त्य होगी

$ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

संख्या विभाजकों की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। यूक्लिड के एल्गोरिथ्म नामक जीसीडी को खोजने का एक तरीका है।

वे कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $ a $ और $ b $ प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और $ a \ vdots b $, तो $ D (a; b) = b $

यदि $ a $ और $ b $ प्राकृतिक संख्याएँ हैं जैसे कि $ b

$ डी (ए; बी) = डी (ए-बी; बी) $ का उपयोग करके, हम क्रमिक रूप से मानी गई संख्याओं को तब तक घटा सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की ऐसी जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य हो। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $ a $ और $ b $ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

GCD और LCM के गुण

1. $ a $ और $ b $ का कोई भी सामान्य गुणक K $ (a; b) $ . से विभाज्य है
2. यदि $ a \ vdots b $, तो K $ (a; b) = a $

यदि K $ (a; b) = k $ और $ m $ एक प्राकृत संख्या है, तो K $ (am; bm) = किमी $

यदि $ d $ $ a $ और $ b $ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d) ) $

यदि $ a \ vdots c $ और $ b \ vdots c $, तो $ \ frac (ab) (c) $ $ a $ और $ b $ का एक सामान्य गुणक है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $ a $ और $ b $ के लिए, समानता

$ डी (ए; बी) \ cdot К (ए; बी) = अब $

संख्याओं $ a $ और $ b $ का कोई भी सामान्य भाजक संख्या $ D (a; b) $ का भाजक है

गणितीय अभिव्यक्तियों और समस्याओं के लिए बहुत अधिक अतिरिक्त ज्ञान की आवश्यकता होती है। एनओसी मुख्य में से एक है, विशेष रूप से अक्सर हाई स्कूल में विषय का अध्ययन किया जाता है, जबकि सामग्री को समझना विशेष रूप से कठिन नहीं है, एक व्यक्ति जो डिग्री और गुणन तालिका से परिचित है, उसे आवश्यक का चयन करना मुश्किल नहीं होगा संख्याएँ और परिणाम खोजें।

परिभाषा

सामान्य गुणक एक संख्या है जिसे एक ही समय (ए और बी) में दो संख्याओं में पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है। बहुधा यह संख्या मूल संख्याओं a और b को गुणा करके प्राप्त की जाती है। संख्या विचलन के बिना, एक ही बार में दोनों संख्याओं से विभाज्य होनी चाहिए।

एनओसी पदनाम के लिए अपनाया गया एक संक्षिप्त नाम है, जिसे पहले अक्षरों से इकट्ठा किया गया है।

नंबर पाने के तरीके

एलसीएम खोजने के लिए, संख्याओं को गुणा करने की विधि हमेशा उपयुक्त नहीं होती है; यह साधारण एकल-अंक या दो-अंकीय संख्याओं के लिए अधिक उपयुक्त है। यह कारकों से विभाजित करने के लिए प्रथागत है, जितनी बड़ी संख्या होगी, उतने अधिक कारक होंगे।

उदाहरण संख्या 1

सबसे सरल उदाहरण के लिए, स्कूल आमतौर पर सरल, एकल या दो अंकों की संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित समस्या को हल करने की आवश्यकता है, संख्या 7 और 3 का सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात करें, समाधान काफी सरल है, बस उन्हें गुणा करें। नतीजतन, एक संख्या 21 है, बस कोई छोटी संख्या नहीं है।

उदाहरण संख्या 2

कार्य का दूसरा संस्करण बहुत अधिक कठिन है। संख्या 300 और 1260 को देखते हुए, LCM ज्ञात करना अनिवार्य है। कार्य को हल करने के लिए, निम्नलिखित क्रियाओं को माना जाता है:

पहली और दूसरी संख्याओं का सरलतम गुणनखंडों में अपघटन। 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. पहला चरण पूरा हो चुका है।

दूसरे चरण में पहले से प्राप्त डेटा के साथ काम करना शामिल है। प्राप्त संख्याओं में से प्रत्येक को अंतिम परिणाम की गणना में भाग लेना चाहिए। प्रत्येक कारक के लिए, घटनाओं की सबसे बड़ी संख्या मूल संख्याओं से ली जाती है। LCM कुल संख्या है, इसलिए इसमें संख्याओं से लेकर एक तक के गुणनखंड दोहराए जाने चाहिए, यहां तक ​​कि वे भी जो एक प्रति में मौजूद हैं। दोनों प्रारंभिक संख्याओं में उनकी रचना संख्या 2, 3 और 5 है, अलग-अलग डिग्री में, एक मामले में केवल 7 है।

अंतिम परिणाम की गणना करने के लिए, आपको समीकरण में प्रस्तुत की गई शक्तियों में से प्रत्येक संख्या को सबसे बड़ी शक्ति में लेना होगा। जो कुछ बचा है वह गुणा करना और उत्तर प्राप्त करना है, सही भरने के साथ, कार्य बिना स्पष्टीकरण के दो चरणों में फिट बैठता है:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) एलसीएम = 6300।

यही पूरी समस्या है, यदि आप गुणा करके आवश्यक संख्या की गणना करने की कोशिश करते हैं, तो उत्तर निश्चित रूप से सही नहीं होगा, क्योंकि 300 * 1260 = 378,000।

इंतिहान:

6300/300 = 21 - सत्य;

6300/1260 = 5 - सही।

प्राप्त परिणाम की शुद्धता की जाँच - LCM को दोनों प्रारंभिक संख्याओं से विभाजित करके निर्धारित की जाती है, यदि संख्या दोनों मामलों में एक पूर्णांक है, तो उत्तर सही है।

गणित में LCM का क्या अर्थ है

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में एक भी बेकार कार्य नहीं है, यह कोई अपवाद नहीं है। इस संख्या के लिए सबसे आम उपयोग भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना है। आमतौर पर हाई स्कूल के ग्रेड 5-6 में क्या पढ़ा जाता है। यह अतिरिक्त रूप से सभी गुणकों के लिए एक सामान्य भाजक भी है, यदि ऐसी स्थितियाँ समस्या में हैं। एक समान व्यंजक न केवल दो संख्याओं का गुणज ढूंढ सकता है, बल्कि इससे भी अधिक बड़ी संख्या - तीन, पाँच, इत्यादि का भी गुणनफल प्राप्त कर सकता है। जितनी अधिक संख्या - कार्य में उतनी ही अधिक क्रियाएं, लेकिन इससे जटिलता नहीं बढ़ती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 250, 600 और 1500 को देखते हुए, आपको उनका कुल LCM ज्ञात करना होगा:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - यह उदाहरण बिना रद्दीकरण के गुणनखंड का विस्तार से वर्णन करता है।

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

व्यंजक की रचना करने के लिए सभी कारकों का उल्लेख करना आवश्यक है, इस स्थिति में 2, 5, 3 दिए गए हैं, - इन सभी संख्याओं के लिए, अधिकतम डिग्री निर्धारित करना आवश्यक है।

ध्यान दें: सभी गुणकों को पूर्ण सरलीकरण के लिए लाया जाना चाहिए, यदि संभव हो तो, एकल-मूल्यवान के स्तर तक विस्तार करना।

इंतिहान:

1) 3000/250 = 12 - सत्य;

2) 3000/600 = 5 - सत्य;

3) 3000/1500 = 2 - सत्य।

इस पद्धति में किसी चालबाज़ियों या प्रतिभा-स्तर की क्षमताओं की आवश्यकता नहीं है, सब कुछ सरल और सीधा है।

एक और तरीका

गणित में, बहुत कुछ जुड़ा हुआ है, दो या दो से अधिक तरीकों से बहुत कुछ हल किया जा सकता है, यही बात कम से कम सामान्य गुणक, एलसीएम खोजने पर भी लागू होती है। सरल दो अंकों और एक अंक वाली संख्याओं के मामले में निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है। एक तालिका संकलित की जाती है जिसमें गुणक को लंबवत, गुणक को क्षैतिज रूप से दर्ज किया जाता है, और उत्पाद को स्तंभ के प्रतिच्छेदन कक्षों में दर्शाया जाता है। आप तालिका को एक पंक्ति के माध्यम से प्रतिबिंबित कर सकते हैं, एक संख्या ली जाती है और इस संख्या को पूर्णांकों से गुणा करने के परिणाम, 1 से अनंत तक, एक पंक्ति में लिखे जाते हैं, कभी-कभी 3-5 अंक पर्याप्त होते हैं, दूसरी और बाद की संख्याएं होती हैं एक ही कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया के अधीन। सब कुछ तब तक होता है जब तक कि सामान्य गुणक नहीं मिल जाता।

संख्या 30, 35, 42 को देखते हुए, आपको सभी संख्याओं को जोड़ने वाला LCM ज्ञात करना होगा:

1) 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, आदि के गुणज।

2) 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, आदि के गुणज।

3) 42 के गुणज: 84, 126, 168, 210, 252, आदि।

यह ध्यान देने योग्य है कि सभी संख्याएं काफी भिन्न हैं, उनमें से एकमात्र सामान्य संख्या 210 है, इसलिए यह एलसीएम होगा। इस गणना से जुड़ी प्रक्रियाओं में, सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी है, जिसकी गणना समान सिद्धांतों के अनुसार की जाती है और अक्सर पड़ोसी समस्याओं का सामना करना पड़ता है। अंतर छोटा है, लेकिन काफी महत्वपूर्ण है, एलसीएम एक संख्या की गणना मानता है जो सभी दिए गए प्रारंभिक मानों से विभाजित होता है, और जीसीडी सबसे बड़े मूल्य की गणना मानता है जिसके द्वारा मूल संख्याओं को विभाजित किया जाता है।

एक व्यापक स्कूल की 5 वीं कक्षा में "मल्टीपल" विषय का अध्ययन किया जाता है। इसका लक्ष्य गणितीय गणनाओं के लिखित और मौखिक कौशल में सुधार करना है। इस पाठ में, नई अवधारणाएँ पेश की गई हैं - "गुणक" और "भाजक", एक प्राकृतिक संख्या के भाजक और गुणक खोजने की तकनीक, एलसीएम को विभिन्न तरीकों से खोजने की क्षमता पर काम किया जा रहा है।

यह विषय बहुत महत्वपूर्ण है। इस पर ज्ञान को भिन्नों के साथ उदाहरणों को हल करते समय लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) की गणना करके एक सामान्य भाजक खोजने की जरूरत है।

A का गुणज एक पूर्णांक है जो बिना शेषफल के A से विभाज्य होता है।

प्रत्येक प्राकृत संख्या में अनंत गुणज होते हैं। इसे सबसे छोटा माना जाता है। गुणक स्वयं संख्या से कम नहीं हो सकता।

हमें यह सिद्ध करना है कि 125 5 का गुणज है। ऐसा करने के लिए, पहली संख्या को दूसरे से भाग दें। यदि 125 शेष के बिना 5 से विभाज्य है, तो उत्तर हाँ है।

यह विधि छोटी संख्याओं के लिए लागू होती है।

एलसीएम की गणना करते समय विशेष मामले होते हैं।

1. यदि आपको 2 संख्याओं (उदाहरण के लिए, 80 और 20) के लिए एक सामान्य गुणक खोजने की आवश्यकता है, जहां उनमें से एक (80) को शेष के बिना दूसरे (20) से विभाजित किया जाता है, तो यह संख्या (80) सबसे छोटी है इन दो संख्याओं में से कई।

एलसीएम (80, 20) = 80।

2. यदि दो में एक उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो हम कह सकते हैं कि उनका LCM इन दो संख्याओं का गुणनफल है।

एलसीएम (6, 7) = 42.

आइए अंतिम उदाहरण देखें। 42 के संबंध में 6 और 7 भाजक हैं। वे बिना शेषफल के एक गुणज को विभाजित करते हैं।

इस उदाहरण में, 6 और 7 युग्मित भाजक हैं। उनका गुणनफल संख्या (42) के सबसे गुणक के बराबर है।

एक संख्या अभाज्य कहलाती है यदि वह केवल स्वयं या 1 (3: 1 = 3; 3: 3 = 1) से विभाज्य हो। बाकी को समग्र कहा जाता है।

एक अन्य उदाहरण में, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या 9 42 का भाजक है।

42: 9 = 4 (शेष 6)

उत्तर 9 42 का भाजक नहीं है, क्योंकि उत्तर में शेष है।

भाजक गुणक से इस मायने में भिन्न होता है कि भाजक वह संख्या है जिससे प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित किया जाता है, और गुणक स्वयं इस संख्या से विभाज्य होता है।

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एतथा बी, उनके सबसे छोटे गुणज से गुणा करने पर, स्वयं संख्याओं का गुणनफल प्राप्त होगा एतथा बी.

अर्थात्: जीसीडी (ए, बी) एक्स एलसीएम (ए, बी) = ए एक्स बी।

अधिक सम्मिश्र संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणज निम्न प्रकार से पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, 168, 180, 3024 का एलसीएम ज्ञात कीजिए।

हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं, इन्हें अंशों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:

168 = 2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

एलसीएम (168, 180, 3024) = 15120।