इस पाठ में, हम विभिन्न प्रदर्शन असमानताओं को देखेंगे और उन्हें सबसे सरल प्रदर्शन असमानताओं को हल करने की विधि के आधार पर निर्णय लेना सीखेंगे
1. संकेतक समारोह की परिभाषा और गुण
संकेतक समारोह के परिभाषा और मूल गुणों को याद करें। यह उन गुणों पर है कि सभी संकेतक समीकरणों और असमानताओं का समाधान आधारित है।
घातांक प्रकार्य - यह उस रूप का एक कार्य है जहां डिग्री का आधार और यहां एक्स एक स्वतंत्र चर, तर्क है; वाई - आश्रित चर, समारोह।
अंजीर। 1. अनुसूची संकेत समारोह
ग्राफ एक बड़ी इकाई और एक छोटी इकाई के आधार पर एक संकेतक कार्य को चित्रित करने वाले प्रदर्शकों में वृद्धि और घटते दिखाता है, लेकिन क्रमशः एक बड़ा शून्य।
दोनों वक्र बिंदु के माध्यम से गुजरते हैं (0; 1)
सूचक समारोह की गुण:
डोमेन: ;
मूल्य क्षेत्र :;
मोनोटोन का कार्य, घटाने के साथ, घटाने के साथ।
मोनोटोन सुविधा तर्क के एकमात्र मूल्य के साथ अपने प्रत्येक मूल्य को लेती है।
जब तर्क शून्य से प्लस इन्फिनिटी तक बढ़ता है, तो फ़ंक्शन शून्य से बढ़ता नहीं है, प्लस इन्फिनिटी के साथ, यानी, इन तर्क मूल्यों के साथ, हमारे पास एक नीरस रूप से बढ़ रहा कार्य () है। विपरीत के साथ, जब तर्क शून्य से प्लस अनंत तक बढ़ता है, तो फ़ंक्शन अनंत से शून्य से घटता है, यह समावेशी नहीं है, यानी, तर्क के इन मूल्यों के साथ, हमारे पास एक नीरस रूप से घटते हुए कार्य () हैं।
2. सबसे सरल प्रदर्शन असमानता, निर्णय तकनीक, उदाहरण
पूर्वगामी के आधार पर, हम सबसे सरल प्रदर्शन असमानताओं को हल करने की विधि देते हैं:
असमानता समाधान के तरीके:
डिग्री के आधारों को बराबर करें;
सूचनियों की तुलना करें, असमानता के विपरीत संकेत के लिए बचत या बदलना।
जटिल प्रदर्शन असमानताओं का समाधान एक नियम के रूप में, सबसे सरल संकेतक असमानताओं के लिए उनकी जानकारी में है।
डिग्री की नींव इकाई से अधिक है, इसका मतलब है कि असमानता का संकेत बनाए रखा जाता है:
हम डिग्री गुणों के अनुसार दाईं ओर बदलते हैं:
डिग्री की नींव इकाई से कम है, असमानता का संकेत विपरीत में बदला जाना चाहिए:
वर्ग असमानता को हल करने के लिए, संबंधित वर्ग समीकरण हल किया गया है:
विएटा प्रमेय पर जड़ें पाते हैं:
पैराबोला शाखाओं को निर्देशित किया जाता है।
इस प्रकार, हमारे पास असमानता का समाधान है:
यह अनुमान लगाना आसान है कि सही भाग को शून्य संकेतक के साथ डिग्री के रूप में दर्शाया जा सकता है:
डिग्री की नींव अधिक एकजुट है, असमानता का संकेत नहीं बदलता है, हमें मिलता है:
ऐसी असमानताओं को हल करने की विधि को याद करें।
हम एक आंशिक तर्कसंगत कार्य पर विचार करते हैं:
परिभाषा का क्षेत्र खोजें:
हमें फ़ंक्शन की जड़ें मिलती हैं:
समारोह में एकमात्र जड़ है, 
संरेखण के अंतराल का चयन करें और प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन के संकेत निर्धारित करें:
अंजीर। 2. अंतराल पर हस्ताक्षर करें
इस प्रकार, उन्हें जवाब मिला।
उत्तर: 
3. विशिष्ट संकेतक असमानताओं का समाधान
समान संकेतकों के साथ असमानताओं पर विचार करें, लेकिन विभिन्न आधार।
सूचक समारोह के गुणों में से एक - यह तर्क के किसी भी मूल्य के साथ सख्ती से सकारात्मक मान लेता है, इसका मतलब है कि एक संकेतक कार्य को विभाजित किया जा सकता है। इसके दाहिने हिस्से में दिए गए असमानता का विभाजन करें:
डिग्री की नींव अधिक एकजुट है, असमानता का संकेत संरक्षित है।
हम समाधान का वर्णन करते हैं:
चित्रा 6.3 कार्यों के ग्राफ दिखाता है और। जाहिर है, जब तर्क शून्य से अधिक होता है, तो फ़ंक्शन ग्राफ़ ऊपर स्थित होता है, यह सुविधा अधिक है। जब तर्क के मान नकारात्मक होते हैं, तो फ़ंक्शन नीचे जाता है, यह कम होता है। फ़ंक्शन तर्क का मूल्य बराबर है, इसका मतलब है कि यह बिंदु निर्दिष्ट असमानता का भी एक समाधान है।
अंजीर। 3. उदाहरण के लिए चित्रण 4
हम डिग्री गुणों के अनुसार पूर्व निर्धारित असमानता को परिवर्तित करते हैं:
हम समान सदस्य देते हैं:
हम दोनों भागों को विभाजित करते हैं:
अब हम उदाहरण 4 के लिए समान रूप से हल करना जारी रखते हैं, हम दोनों भागों को विभाजित करते हैं:
डिग्री की नींव अधिक एकजुट है, असमानता का संकेत बनाए रखा जाता है:
4. संकेतक असमानताओं का ग्राफिक समाधान
उदाहरण 6 - असमानता को ग्राफिक रूप से हल करें:
बाएं और दाएं भाग में कार्यों पर विचार करें और उनमें से प्रत्येक का एक कार्यक्रम बनाएं।
फ़ंक्शन एक प्रदर्शक है, जो अपने परिभाषा क्षेत्र में बढ़ता है, यानी, तर्क के सभी मान्य मूल्यों के साथ।
फ़ंक्शन रैखिक है, अपने परिभाषा क्षेत्र में घटता है, यानी, तर्क के सभी मान्य मूल्यों के साथ।
यदि ये फ़ंक्शन छेड़छाड़ करते हैं, तो, सिस्टम में समाधान होता है, तो ऐसा समाधान केवल एक ही होता है और अनुमान लगाना आसान होता है। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक () के माध्यम से जाओ
यह देखना आसान है कि इस प्रणाली की जड़ है:
इस प्रकार, कार्यों के ग्राफ एक बिंदु पर एक तर्क के साथ एक बिंदु पर छेड़छाड़ करते हैं।
अब आपको एक जवाब प्राप्त करने की आवश्यकता है। निर्दिष्ट असमानता का अर्थ यह है कि प्रदर्शक रैखिक फ़ंक्शन से अधिक या बराबर होना चाहिए, जो कि उच्च हो या इसके साथ मेल खाता हो। स्पष्ट उत्तर: (चित्र 6.4)
अंजीर। 4. उदाहरण 6 के लिए चित्रण
इसलिए, हमने विभिन्न विशिष्ट संकेतक असमानताओं का समाधान माना। इसके बाद, हम अधिक जटिल प्रदर्शन असमानताओं के विचार के लिए आगे बढ़ते हैं।
ग्रन्थसूची
मोर्दकोविच ए जी। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण शुरू किया। - एम।: Mnemozin। मुराविन जी के, मुराविना ओ वी। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण शुरू किया। - एम।: ड्रॉप। कोल्मोगोरोव एएन, अब्रामोव ए एम।, डुडनित्सिन यू। पी और अन्य। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण शुरू किया। - एम।: ज्ञान।
गणित। एमडी। गणित-पुनरावृत्ति। कॉम। डिफुर। केम्सू। रु।
होम वर्क
1. बीजगणित और विश्लेषण शुरू करें, 10-11 कक्षा (ए एन कोल्मोगोरोव, ए एम। अब्रामोव, यू। पी। डुडनिट्सिन) 1 99 0, संख्या 472, 473;
2. असमानता हल करें:
3. असमानता हल।
संकेतक समीकरण और असमानताएं ऐसे समीकरणों और असमानताओं पर विचार करती हैं जिनमें अज्ञात डिग्री संकेतक में निहित है।
संकेतक समीकरणों का समाधान अक्सर समीकरण को एक एक्स \u003d ए बी, जहां 0, और ≠ 1, एक्स - अज्ञात को हल करने के लिए कम हो जाता है। इस समीकरण में एकमात्र रूट x \u003d b है, क्योंकि निम्नलिखित प्रमेय सत्य है:
प्रमेय। यदि एक\u003e 0, ≠ 1 और x 1 \u003d a x 2, तो x 1 \u003d x 2।
माना अनुमोदन को सही ठहराते हैं।
मान लीजिए कि समानता x 1 \u003d x 2 का प्रदर्शन नहीं किया गया है, यानी। एक्स 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а > 1, फिर संकेतक समारोह वाई \u003d ए एक्स बढ़ता है और इसलिए असमानता और एक्स 1 किया जाना चाहिए< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 > और x 2। दोनों मामलों में, हमने एक विरोधाभास शर्त एक एक्स 1 \u003d ए एक्स 2 प्राप्त किया।
कई कार्यों पर विचार करें।
समीकरण 4 ∙ 2 x \u003d 1 को हल करें।
फेसला।
हम 2 2 ∙ 2 x \u003d 2 0 - 2 x + 2 \u003d 2 0 में समीकरण लिखते हैं, जहां से हमें x + 2 \u003d 0 मिलता है, यानी x \u003d -2।
उत्तर। x \u003d -2।
समीकरण 2 3x ∙ 3 x \u003d 576 हल करें।
फेसला।
2 3 x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2 के बाद, समीकरण को 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 या 24 x \u003d 24 2 के रूप में लिखा जा सकता है।
यहां से हमें x \u003d 2 मिलता है।
उत्तर। x \u003d 2।
समीकरण 3 x + 1 - 2 ∙ 3 \u200b\u200bx - 2 \u003d 25 हल करें।
फेसला।
ब्रैकेट के बाईं ओर, 3 x - 2 का कुल गुणक, हम 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25 प्राप्त करते हैं,
जहां 3 x - 2 \u003d 1, यानी एक्स - 2 \u003d 0, एक्स \u003d 2।
उत्तर। x \u003d 2।
समीकरण 3 x \u003d 7 x को हल करें।
फेसला।
7 x ≠ 0 के बाद से, समीकरण 3 x / 7 x \u003d 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहां से (3/7) x \u003d 1, x \u003d 0।
उत्तर। x \u003d 0।
समीकरण 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 \u003d 0 को हल करें।
फेसला।
प्रतिस्थापन 3 x \u003d और यह समीकरण एक वर्ग समीकरण को 2 - 4 ए -4 \u003d 0 में कम कर दिया गया है।
इस समीकरण को हल करना, हमें इसकी जड़ें मिलती हैं: एक 1 \u003d 9, और 2 \u003d -5, जहां से 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5।
समीकरण 3 एक्स \u003d 9 में रूट 2 है, और समीकरण 3 x \u003d -5 में जड़ें नहीं हैं, क्योंकि संकेतक कार्य नकारात्मक मान नहीं ले सकता है।
उत्तर। x \u003d 2।
सूचित असमानताओं का समाधान अक्सर असमानताओं को हल करने के लिए एक x\u003e b या a x को हल करने के लिए कम किया जाता है< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
कुछ कार्यों पर विचार करें।
असमानता 3 एक्स हल करें< 81.
फेसला।
हम 3 x के रूप में असमानता लिखते हैं< 3 4 . Так как 3 > 1, फिर फ़ंक्शन y \u003d 3 x बढ़ रहा है।
नतीजतन, एक्स पर< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
इस प्रकार, एक्स पर< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 एक्स< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
उत्तर। एच< 4.
असमानता 16 x +4 x - 2\u003e 0 हल करें।
फेसला।
4 एक्स \u003d टी को निरूपित करें, फिर हमें एक वर्ग असमानता टी 2 + टी - 2\u003e 0 मिलता है।
यह असमानता टी पर की जाती है< -2 и при t > 1.
चूंकि टी \u003d 4 एक्स, हमें दो असमानताएं 4 एक्स मिलती हैं< -2, 4 х > 1.
पहली असमानता समाधान नहीं है, क्योंकि सभी एक्स € \u200b\u200bआर के लिए 4 x\u003e 0 के बाद से।
दूसरी असमानता 4 x\u003e 4 0 के रूप में दर्ज की जाती है, जहां x\u003e 0।
उत्तर। x\u003e 0।
ग्राफिक रूप से समीकरण (1/3) x \u003d x - 2/3 को हल करें।
फेसला।
1) हम कार्यों के ग्राफ y \u003d (1/3) x और y \u003d x - 2/3 का निर्माण करते हैं।
2) हमारे ड्राइंग पर भरोसा करते हुए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि विचार किए गए कार्यों के आलेख एब्सिसा एक्स ≈ 1 के साथ बिंदु पर छेड़छाड़ करते हैं।
x \u003d 1 - इस समीकरण की जड़:
(1/3) 1 \u003d 1/3 और 1 - 2/3 \u003d 1/3।
दूसरे शब्दों में, हमने समीकरण की जड़ों में से एक पाया। 
3) हमें अन्य जड़ें मिलती हैं या साबित करते हैं कि ऐसा नहीं है। फ़ंक्शन (1/3) x घटा, और फ़ंक्शन y \u003d x - 2/3 बढ़ रहा है। इसलिए, एक्स\u003e 1 पर, पहले फ़ंक्शन के मान 1/3 से कम हैं, और दूसरा 1/3 से अधिक है; एक्स पर।< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 और एच।< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
उत्तर। x \u003d 1।
ध्यान दें कि इस समस्या को हल करने से, विशेष रूप से, यह असमानता (1/3) x\u003e x - 2/3 x पर किया जाता है< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
साइट, मूल स्रोत के लिए सामग्री संदर्भ की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ आवश्यक है।
बहुत से लोग मानते हैं कि प्रदर्शन असमानताएं ऐसी जटिल और समझ में नहीं आती हैं। और उन्हें क्या सीखना है - लगभग महान कला, जो केवल समझने में सक्षम हो सकती है ...
पूर्ण ब्रीच! संकेतक असमानताएं आसान हैं। और वे हमेशा हल हो जाते हैं। खैर, लगभग हमेशा। :)
आज हम इस विषय का साथ-साथ और पार करेंगे। यह सबक उन लोगों के लिए बहुत उपयोगी होगा जो स्कूल गणित के इस खंड को समझने के लिए शुरू होते हैं। आइए सरल कार्यों से शुरू करें और हम अधिक जटिल मुद्दों पर चले जाएंगे। आज कोई टिन नहीं होगा, लेकिन अब आप जो पढ़ेंगे, वह किसी भी नियंत्रण और स्वतंत्र कार्य पर सबसे असमानताओं को हल करने के लिए पर्याप्त होगा। और इस पर भी आपकी परीक्षा।
हमेशा के रूप में, चलो परिभाषा के साथ शुरू करते हैं। संकेतक असमानता एक सूचक समारोह युक्त किसी भी असमानता है। दूसरे शब्दों में, इसे हमेशा प्रजातियों की असमानता में कम किया जा सकता है
\\ [(ए) ^ (x)) \\ gt b \\]
जहां $ बी $ की भूमिका एक आम संख्या हो सकती है, और शायद कुछ और हो सकता है। उदाहरण? जी बोलिये:
\\ [\\ _ ourign) & ((2) ^ (x)) \\ gt 4; \\ quad ((2) ^ (x - 1) ^ \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)); \\ _ क्वाड ((2) ^ ((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ LT 16; \\\\ & ((0.1) ^ (1-x)) \\ Lt 0.01; \\ quad ((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) ( एक्स)))। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
मुझे लगता है कि अर्थ स्पष्ट है: कुछ की तुलना में एक संकेतक फ़ंक्शन $ ((ए) ^ (x)) $ है, और फिर $ x $ खोजने के लिए कहा गया है। विशेष रूप से नैदानिक \u200b\u200bमामलों में, एक परिवर्तनीय $ x $ के बजाय, कुछ फ़ंक्शन $ f \\ lem (x \\ दाएँ) $ और इस प्रकार थोड़ी असमानता बनती है। :)
बेशक, कुछ मामलों में, असमानता अधिक गंभीर लग सकती है। उदाहरण के लिए:
\\ [(9) ^ (x)) + 8 \\ gt ((3) ^ (x + 2)) \\]
या यहां तक \u200b\u200bकि यहां भी:
आम तौर पर, ऐसी असमानताओं की जटिलता सबसे अलग हो सकती है, लेकिन अंत में वे अभी भी $ ((ए) ^ (एक्स)) \\ जीटी बी $ के एक साधारण डिजाइन में कम हो जाते हैं। और इस तरह के एक डिजाइन के साथ, हम किसी भी तरह समझते हैं (विशेष रूप से नैदानिक \u200b\u200bमामलों में, जब कुछ भी ध्यान नहीं आता है, तो लॉगरिदम हमारी मदद करेगा)। इसलिए, अब हम ऐसे साधारण डिजाइनों का उल्लेख करेंगे।
सरल प्रदर्शन असमानताओं का समाधान
कुछ भी काफी सरल मानें। उदाहरण के लिए, यह है:
\\ [((2) ^ (x)) \\ gt 4 \\]
जाहिर है, दाईं ओर की संख्या को दो की डिग्री के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $ 4 \u003d ((2) ^ (2)) $। इस प्रकार, प्रारंभिक असमानता एक बहुत ही आरामदायक रूप में फिर से लिख जाएगी:
\\ [(2) ^ (x)) \\ gt ((2) ^ (2)) \\]
और अब हाथ $ x \\ gt $ 2 का उत्तर प्राप्त करने के लिए डिग्री के मैदान में खड़े twos "क्रॉस" खरोंच करेंगे। लेकिन वहां क्या धोखा देने से पहले, चलो डिग्री याद रखें:
\\ [(2) ^ (1)) \u003d 2; \\ quad ((2) ^ (2)) \u003d 4; \\ quad (2) ^ (3) ^ \u003d 8; \\ quad (2) ^ (4)) \u003d 16; ... \\]
जैसा कि हम देखते हैं, अधिक संख्या सीमा के संकेतक में है, बाहर निकलने पर अधिक संख्या। "धन्यवाद, टोपी!" - किसी को शिष्यों से बाहर निकालो। क्या यह अलग है? दुर्भाग्य से, ऐसा होता है। उदाहरण के लिए:
\\ [((\\ Left (\\ FRAC (1) (2) \\ दाएं) ^ (1)) \u003d \\ frac (1) (2); \\ quad (\\ Left (\\ Frac (1) (2) \\ दाएं)) ^ (2)) \u003d \\ frac (1) (4); \\ quad ((\\ बाएं (\\ frac (1) (2) \\ दाएं)) ^ (3)) \u003d \\ frac (1) (8) (8) ); ... \\]
यहां भी, सबकुछ तार्किक है: अधिक डिग्री, अधिक बार संख्या 0.5 स्वयं को गुणा किया जाता है (यानी, यह आधा में बांटा गया है)। इस प्रकार, संख्याओं का परिणामी अनुक्रम घटता है, और पहले और दूसरे अनुक्रम के बीच का अंतर केवल आधार पर होता है:
- यदि डिग्री $ a \\ gt $ 1 का आधार है, तो संकेतक $ N $ संख्या $ ((a) ^ (n)) बढ़ता है $ भी बढ़ेगा;
- और इसके विपरीत, यदि $ 0 \\ lt a \\ lt $ 1 $, जैसा कि संकेतक $ N $ संख्या $ ((a) ^ (n)) बढ़ता है तो $ कम हो जाएगा।
इन तथ्यों को संक्षेप में, हमें सबसे महत्वपूर्ण बयान मिलता है जिस पर संकेतक असमानताओं के सभी समाधान की स्थापना की जाती है:
यदि $ a \\ gt $ 1, तो असमानता $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ $ x \\ gt n $ की असमानता के बराबर है। यदि $ 0 \\ lt a \\ lt 1 $, तो असमानता $ ((ए) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ $ x \\ lt n $ की असमानता के बराबर है।
दूसरे शब्दों में, यदि आधार इकाई से अधिक है, तो इसे हटाया जा सकता है - असमानता का संकेत नहीं बदलेगा। और यदि आधार एक से कम है, तो इसे भी हटाया जा सकता है, लेकिन साथ ही आपको असमानता के संकेत को बदलना होगा।
कृपया ध्यान दें: हमने विकल्प $ a \u003d 1 $ और $ a \\ le 0 $ पर विचार नहीं किया। क्योंकि इन मामलों में अनिश्चितता उत्पन्न होती है। मान लीजिए कि $ $ ((1) ^ (x)) \\ gt $ 3 की असमानता को हल करने के लिए कैसे? किसी भी हद तक इकाई एक इकाई को फिर से देगी - हमें कभी भी ट्रिपल या अधिक नहीं मिलेगा। वे। कोई समाधान नहीं है।
नकारात्मक आधार के साथ, यह अभी भी और अधिक दिलचस्प है। यहां उदाहरण के लिए इस तरह की असमानता पर विचार करें:
\\ [((\\ Left (-2 \\ दाएं)) ^ (x)) \\ gt 4 \\]
पहली नज़र में, सब कुछ सरल है:
सही? और यहाँ नहीं है! यह सुनिश्चित करने के लिए कि निर्णय गलत है कि $ x $ के बजाय तैयार और कुछ विषम संख्या के बजाय प्रतिस्थापन करना पर्याप्त है। जरा देखो तो:
\\ [\\ _ align) & x \u003d 4 \\ राइट्रो ((\\ Left (-2 \\ दाएं)) ^ (4)) \u003d 16 \\ gt 4; \\\\ और x \u003d 5 \\ राइट्रो ((\\ Left (-2 \\ दाएं)) ^ (5)) \u003d - 32 \\ lt 4; \\\\ & x \u003d 6 \\ राइट्रो ((\\ Left (-2 \\ दाएं)) ^ (6)) \u003d 64 \\ gt 4; \\\\ & x \u003d 7 \\ राइट्रो (\\ Left (-2 \\ दाएं)) ^ (7)) \u003d - 128 \\ lt 4. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
जैसा कि आप देख सकते हैं, वैकल्पिक संकेत। लेकिन अधिक आंशिक डिग्री और अन्य टिन हैं। कैसे, उदाहरण के लिए, $ ((\\ Lep (-2 \\ दाएं)) की गणना करने के आदेश ^ (\\ sqrt (7))) $ (शून्य की जड़ की डिग्री के लिए दो बार शून्य)? हाँ, कुछ भी नहीं!
इसलिए, निश्चितता के लिए, ऐसा माना जाता है कि सभी संकेतक असमानताओं (और समीकरणों, वैसे भी, साथ ही) $ 1 \\ ne a \\ gt 0 $। और फिर सब कुछ हल किया जाता है:
\\ [(ए) ^ (x)) \\ gt (a) ^ (n) ^ (n)) \\ राइटारो \\ Left [\\ Brint (संरेखित) और x \\ gt n \\ qud \\ Left (a \\ gt 1 \\ दाएँ), \\\\ & x \\ lt n \\ quad \\ Left (0 \\ lt a \\ lt 1 \\ दाएँ)। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\ अधिकार। \\]
आम तौर पर, एक बार फिर मुख्य नियम याद करते हैं: यदि संकेतक समीकरण में आधार एक से अधिक है, तो इसे आसानी से हटाया जा सकता है; और यदि आधार एक से कम है, तो इसे भी हटाया जा सकता है, लेकिन असमानता का संकेत बदल जाएगा।
समाधान के उदाहरण
तो, कुछ सरल प्रदर्शन असमानताओं पर विचार करें:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) और ((2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)); \\\\ & (0.1) ^ (1-x)) \\ LT 0.01; \\\\ & ((2) ^ ((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ LT 16; \\\\ & (0.2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25)। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
सभी मामलों में प्राथमिक कार्य समान है: असमानताओं को सबसे सरल प्रकार ((ए) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) में कम करने के लिए। यही वह है जो अब हम प्रत्येक असमानता के साथ बनाते हैं, और साथ ही हम डिग्री और संकेतक समारोह के गुणों को दोहराते हैं। तो चलते हैं!
\\ [(2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\]
यहां मैं क्या कर सकता हूं? खैर, बाईं तरफ, हमारे पास एक प्रदर्शन अभिव्यक्ति है, कुछ भी बदलना आवश्यक नहीं है। लेकिन दाईं ओर कुछ प्रकार का बकवास होता है: अंश, और यहां तक \u200b\u200bकि denominator रूट में भी!
हालांकि, हमें अंशों और डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखें:
\\ [\\ n प्रारंभ (संरेखित) और \\ frac (1) ((a) ^ (n))) \u003d ((ए) ^ (- एन)); \\\\ \\ sqrt [k] (a) \u003d ((a) ^ (\\ frac (1) (k)))। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
इसका क्या मतलब है? सबसे पहले, हम आसानी से अंश से छुटकारा पा सकते हैं, इसे नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री में बदल सकते हैं। और दूसरी बात, चूंकि रूट संप्रदाय में खड़ा है, इसलिए इसे एक डिग्री में बदलना अच्छा होगा - इस बार एक आंशिक संकेतक के साथ।
इन कार्यों को लगातार असमानता के दाईं ओर लागू करें और देखें कि क्या होता है:
\\ [\\ Frac (1) (\\ sqrt (2)) \u003d ((\\ Left (\\ Sqrt (2) \\ दाएं) ^ (- 1)) \u003d ((\\ Left ((2) ^ (\\ frac ( 1) (3))) \\ दाएं)) ^ (- 1)) \u003d ((2) ^ (\\ frac (1) (3) \\ cdot \\ bept (-1 \\ दाएं)) \u003d ((2) ^ (- \\ frac (1) (3))) \\]
यह मत भूलना कि इन डिग्री के संकेतकों की डिग्री में डिग्री को खड़ा करना। आम तौर पर, संकेतक समीकरणों और असमानताओं के साथ काम करते समय, डिग्री के साथ काम करने के लिए कम से कम सबसे सरल नियमों को जानना बिल्कुल जरूरी है:
\\ [\\ _ ^ (^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x + y)); \\\\ \\ frac ((a) ^ (x))) (((ए) ^ (y))) \u003d ((a) ^ (x-y)); \\\\ & ((\\ Left (((a) ^ (x)) ^ (x)) ^) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x \\ cdot y))। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
असल में, हमने अभी आवेदन किया है। इसलिए, हमारी प्रारंभिक असमानता निम्नानुसार पुनर्लेखन की जाएगी:
\\ [(2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\ Retharrow ((2) ^ (x - 1)) \\ le ((2) ^ (- \\ Frac (1) (3))) \\]
अब आधार पर दो से छुटकारा पाएं। 2\u003e 1 के बाद से, असमानता संकेत वही रहेगा:
\\ [\\ _ align) और x-1 \\ le - \\ frac (1) (3) \\ reidraw x \\ le 1- \\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (3) (3); \\\\ & x \\ in \\ Left (- \\ unfty; \\ frac (2) (3) \\ दाएं]। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
यह सब निर्णय है! मुख्य कठिनाई प्रभाव समारोह में नहीं है, लेकिन मूल अभिव्यक्ति के सक्षम परिवर्तन में: आपको सावधानीपूर्वक और इसे सरल दिमाग में लाने के लिए इसे अधिकतम करने की आवश्यकता है।
दूसरी असमानता पर विचार करें:
\\ [(0.1) ^ (1-x)) \\ LT 0.01 \\]
इतना तो। यहां हम दशमलव अंशों की प्रतीक्षा करेंगे। जैसा कि मैंने पहले से ही कई बार बोला है, डिग्री के साथ किसी भी अभिव्यक्तियों में, आपको दशमलव भिन्नताओं से छुटकारा पाना चाहिए - यह एक त्वरित और सरल समाधान देखना अक्सर संभव होता है। तो हम इससे छुटकारा पाएंगे:
\\ [\\ _ align) & 0.1 \u003d \\ frac (1) (10); \\ quad 0,01 \u003d \\ frac (1) (100) \u003d ((\\ बाएं (\\ frac (1) (10) \\ अधिकार) ) ^ (2)); \\\\ & (0.1) ^ (1-x)) \\ lt 0.01 \\ राइट्रो ((\\ Left (\\ Frac (1) (10) \\ दाएं)) ^ (1-x)) \\ lt ((छोड़ दिया गया ( \\ Frac (1) (10) \\ दाएँ) ^ (2))। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
हमने हाल ही में सबसे सरल असमानता है, और यहां तक \u200b\u200bकि 1/10 के आधार पर भी। छोटी इकाइयाँ। खैर, हम नींव को हटा देते हैं, "कम" के साथ "अधिक" के साथ संकेत पारित करते हैं, और हमें मिलता है:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) और 1-x \\ gt 2; \\\\ & -x \\ gt 2-1; \\\\ & -x \\ gt 1; \\\\ & x \\ lt -1। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
अंतिम उत्तर प्राप्त हुआ: $ x \\ in \\ _ बाएं (- \\ unfty; -1 \\ दाएं) $। कृपया ध्यान दें: उत्तर ठीक एक सेट है, और किसी भी मामले में $ x \\ lt -1 $ का डिज़ाइन नहीं है। क्योंकि औपचारिक रूप से ऐसा डिज़ाइन बहुत कुछ नहीं है, और $ x $ वैरिएबल के सापेक्ष असमानता। हां, यह बहुत आसान है, लेकिन यह जवाब नहीं है!
महत्वपूर्ण लेख। इस असमानता को एक अलग तरीके से हल किया जा सकता है - दोनों हिस्सों को आधार के साथ डिग्री, बड़ी इकाई के साथ लाकर। जरा देखो तो:
\\ [\\ Frac (1) (10) \u003d ((10) ^ (- 1)) \\ Retharrow ((\\ Left (((10) ^ (- 1)) \\ दाएं) ^ (1-x)) \\ Lt ((\\ Left (((10) ^ (- 1)) \\ दाएं)) ^ (2)) \\ राइटारो ((10) ^ (- 1 \\ cdot \\ बाएं (1-x \\ दाएँ)) \\ lt ((10) ^ (- 1 \\ cdot 2)) \\]
इस तरह के परिवर्तन के बाद, हम फिर से एक प्रदर्शनकारी असमानता प्राप्त करते हैं, लेकिन आधार 10\u003e 1. और इसका मतलब है कि आप बस शीर्ष दस को पार कर सकते हैं - असमानता का संकेत नहीं बदलेगा। हम पाते हैं:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) & -1 \\ cdot \\ बाएं (1-x \\ दाएँ) \\ lt -1 \\ cdot 2; \\\\ और x-1 \\ lt -2; \\\\ & x \\ lt -2 + 1 \u003d -1; \\\\ & x \\ lt -1। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
जैसा कि आप देख सकते हैं, जवाब वही हो गया। साथ ही, हमने खुद को संकेत बदलने की आवश्यकता से बचाया और आम तौर पर कुछ नियम याद किया। :)
\\ [((2) ^ ((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ LT 16 \\]
हालांकि, इसे भयभीत होने दें। ताकि न तो संकेतक में न ही, असमानता को हल करने की तकनीक स्वयं ही बनी हुई है। इसलिए, हम उस 16 \u003d 2 4 के साथ शुरू करने के लिए नोट करते हैं। मैं इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए मूल असमानता को फिर से लिखता हूं:
\\ [\\ _ ourign) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt ((2) ^ (4)); \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \\ lt 4; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \\ lt 0. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
हुरेय! हमें सामान्य वर्ग असमानता मिली! संकेत कहीं भी नहीं बदला है, क्योंकि आधार पर एक दो बार, अधिक इकाइयां होती हैं।
एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष पर शून्य कार्य
हमने फ़ंक्शन $ F \\ Left (x \\ दाएं) \u003d ((x) ^ (2)) के संकेत सेट किए हैं - 7x + $ 10 - जाहिर है, यह शाखाओं के साथ एक पैराबॉल होगा, इसलिए "प्लस" होगा । हम उस क्षेत्र में रुचि रखते हैं जहां फ़ंक्शन शून्य से कम है, यानी। $ X \\ in \\ Left (2; 5 \\ दाएं) $ प्रारंभिक कार्य का उत्तर है।
अंत में, एक और असमानता पर विचार करें:
\\ [(0.2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25) \\]
फिर से हम आधार पर दशमलव अंश के साथ एक संकेतक कार्य देखते हैं। इस अंश को सामान्य में स्थानांतरित करें:
\\ [\\ _ Align) & 0.2 \u003d \\ frac (2) (10) \u003d \\ frac (1) (5) \u003d (5) ^ (- 1)) \\ राइटारो \\\\ & \\ राइट्रॉ (0, 2) ) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \u003d ((\\ Left (((5) ^ (- 1)) ^ (- 1)) ^) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ बाएं (1 + ((x) ^ (2)) \\ दाएं)) \\ अंत (संरेखित) \\]
इस मामले में, हमने पहले की गई टिप्पणियों का लाभ उठाया - आगे के निर्णय को सरल बनाने के लिए आधार को संख्या 5\u003e 1 में घटा दिया गया था। उसी तरह और सही भाग के साथ:
\\ [\\ Frac (1) (25) \u003d ((\\ बाएं (\\ frac (1) (5) \\ दाएं) ^ (2)) \u003d ((\\ Left ((5) ^ (- 1)) \\ दाएं)) ^ (2)) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ सीडीओटी 2)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
मैं मूल असमानता को फिर से लिखता हूं, दोनों परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए:
\\ [((0.2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (1) (25) \\ Retharrow ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ Left (1+) (x) ^ (2)) \\ राइट))) \\ Ge ((5) ^ (- 2)) \\]
दोनों तरफ के आधार एक समान और बेहतर हैं। दाईं ओर और बाईं ओर कोई अन्य शर्तें नहीं हैं, इसलिए वे केवल पांच "कस" और एक साधारण अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
\\ [\\ _ align) & -1 \\ cdot \\ Vept (1 + ((x) ^ (2)) \\ दाएं) \\ ge -2; \\\\ & -1 - ((x) ^ (2)) \\ ge -2; \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ Ge -2 + 1; \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ Ge -1; \\ क्वाड \\ Left | \\ Cdot \\ बाएं (-1 \\ दाएं) \\ अधिकार। \\\\ & ((x) ^ (2)) \\ le 1. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
यहां सावधान रहना आवश्यक है। कई छात्र असमानता के दोनों हिस्सों के वर्ग रूट को निकालना पसंद करते हैं और $ x \\ le 1 \\ retarow x \\ _ in \\ lep (- \\ unfty; -1 \\ दाएँ] की भावना में कुछ लिखना पसंद करते हैं। ऐसा करने के लिए किसी भी मामले में, चूंकि एक सटीक वर्ग की जड़ एक मॉड्यूल है, और किसी भी मामले में मूल चर नहीं है:
\\ [\\ Sqrt (((x) ^ (2))) \u003d \\ Left | एक्स \\ राइट | \\]
हालांकि, मॉड्यूल के साथ काम करना सबसे सुखद व्यवसाय नहीं है, है ना? तो हम काम नहीं करेंगे। और इसके बजाय, हम बस बाईं ओर सभी शर्तों को स्थानांतरित करते हैं और अंतराल की सामान्य असमानता को हल करते हैं:
$ \\ प्रारंभ (संरेखित) और ((x) ^ (2)) - 1 \\ le 0; \\\\ \\ बाएं (x-1 \\ दाएं) \\ Left (x + 1 \\ दाएं) \\ le 0 \\\\ \\ ((x) _ (1)) \u003d 1; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d -1; \\\\\\ अंत (संरेखित) $
हम फिर से संख्यात्मक पर प्राप्त अंकों को नोट करते हैं और संकेतों को देखते हैं:
नोट: अंक चित्रित हैं चूंकि हमने अविश्वसनीय असमानता हल की, ग्राफ पर सभी बिंदु चित्रित किए गए हैं। इसलिए, उत्तर इस तरह होगा: $ x \\ in \\ _ बाएं [-1; 1 \\ दाएं] $ - अंतराल नहीं, अर्थात् सेगमेंट।
आम तौर पर, मैं ध्यान देना चाहूंगा कि संकेतक असमानताओं में कुछ भी जटिल नहीं है। आज हमारे द्वारा किए गए सभी परिवर्तनों का अर्थ एक साधारण एल्गोरिदम में कम हो गया है:
- उस आधार को ढूंढें जिसमें हम सभी डिग्री को हल करेंगे;
- धीरे-धीरे रूपांतरण करें ताकि टाइप की असमानता $ ((ए) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ प्राप्त की जाती है। बेशक, $ x $ और $ n $ चर के बजाय, अधिक जटिल कार्य खड़े हो सकते हैं, लेकिन यह इससे नहीं बदला जाएगा;
- डिग्री की नींव पर प्रहार करें। साथ ही, यदि आधार $ a \\ lt $ 1 है तो असमानता का संकेत बदल सकता है।
संक्षेप में, यह ऐसी सभी असमानताओं को हल करने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम है। और आप सभी आपको इस विषय पर बताएंगे - केवल विशिष्ट तकनीकों और चालें, परिवर्तन को सरल बनाने और गति देने की अनुमति देती हैं। यहां हम इन तकनीकों में से एक के बारे में बात करेंगे। :)
युक्तिकरण पद्धति
असमानताओं के एक और बैच पर विचार करें:
\\ [\\ _ align) & ((\\ पाठ () \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\ text ()) ^ (x + 7)) \\ gt ((\\ पाठ () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2); \\\\ & ((\\ Left (2 \\ SQRT (3) -3 \\ दाएं) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ LT 1; \\\\ & ((\\ बाएं (\\ frac (1) (3) \\ दाएं)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ बाएं (\\ frac (1) (9) \\ दाएं)) ^ (16-x)); \\\\ & ((छोड़ दिया गया (3-2 \\ sqrt (2) \\ दाएं) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ Lt 1. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
तो उनके बारे में इतना खास क्या है? वे फेफड़े हैं। हालांकि, बंद करो! संख्या π किसी भी डिग्री में बनाया गया है? क्या बकवास है?
और $ 2 \\ SQRT (3) -3 $ की संख्या कैसे बनाएं? या $ 3-2 \\ SQRT (2) $? चुनौतियों ने स्पष्ट रूप से काम के लिए बैठने से पहले "हौथर्न" लड़ा। :)
वास्तव में, इन कार्यों में कुछ भी भयानक नहीं है। मुझे आपको याद दिलाने दें: एक संकेतक फ़ंक्शन को $ ((ए) ^ (x)) $ की अभिव्यक्ति कहा जाता है, जहां इकाई को छोड़कर आधार $ ए $ कोई सकारात्मक संख्या है। संख्या π सकारात्मक रूप से हम भी जानते हैं। संख्या $ 2 \\ sqrt (3) -3 $ और $ 3-2 \\ sqrt (2) $ भी सकारात्मक हैं - यह सुनिश्चित करना आसान है कि क्या आप उन्हें शून्य से तुलना करते हैं या नहीं।
यह पता चला है कि ये सभी "भयावह" असमानताएं सरल, चर्चा से अलग नहीं हैं? और उसी तरह हल हो गए हैं? हाँ, काफी सही है। हालांकि, उनके उदाहरण पर, मैं एक स्वीकृति पर विचार करना चाहूंगा जो स्वतंत्र कार्य और परीक्षाओं पर समय बचाता है। यह तर्कसंगत विधि के बारे में होगा। तो, ध्यान दें:
$ ((ए) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) की कोई भी संकेतक असमानता $ \\ Left (Xn \\ दाएँ) \\ cdot \\ Left (A-1) की असमानता के बराबर है \\ Right) \\ gt 0 $।
यह पूरी विधि है। :) और आपने सोचा कि कुछ अन्य गेम होगा? ऐसा कुछ नहीं! लेकिन यह एक साधारण तथ्य सचमुच एक पंक्ति में दर्ज किया गया है, हमें काम को काफी सरल बना देगा। जरा देखो तो:
\\ [\\ n प्रारंभ (matrix) ((\\ पाठ () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ पाठ ()) ^ (x + 7)) \\ gt ((\\ पाठ () \\! \\! \\ pi \\! ! \\! \\ पाठ ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\\\ \\ downarrow \\\\ \\ Left (X + 7- \\ Left (((x) ^ (2)) -3x + 2 \\ दाएं) \\ राइट) \\ cdot \\ बाएं (\\ टेक्स्ट () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ टेक्स्ट () -1 \\ राइट) \\ gt 0 \\\\\\ अंत (मैट्रिक्स) \\]
तो कोई और अधिक संकेतक कार्य नहीं! और याद नहीं है: साइन परिवर्तन या नहीं। लेकिन एक नई समस्या उत्पन्न होती है: डर कारक के साथ क्या करना है \\ [\\ Left (\\ पाठ () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ पाठ () -1 \\ दाएं) \\]? हम नहीं जानते कि संख्या π के सटीक मूल्य के बराबर क्या है। हालांकि, कप्तान स्पष्ट है क्योंकि यह संकेत देता है:
\\ [\\ text () \\! \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ पाठ () \\ लगभग 3,14 ... \\ gt 3 \\ राइटारो \\ टेक्स्ट () \\! \\! \\ pi \\! \\ \\ ) -1 \\ gt 3-1 \u003d 2 \\]
आम तौर पर, π का \u200b\u200bसटीक मूल्य विशेष रूप से अलग होता है, न कि क्या यह नहीं है कि क्या यह हमारे लिए यह समझना महत्वपूर्ण है कि किसी भी मामले में $ \\ पाठ () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ पाठ () -1 \\ gt $ 2, टी .. यह एक सकारात्मक स्थिर है, और हम इस पर असमानता के दोनों हिस्से को विभाजित कर सकते हैं:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) \\ Left (x + 7- \\ Left ((2)) - 3x + 2 \\ दाएं) \\ राइट) \\ cdot \\ बाएं (\\ टेक्स्ट () \\! \\! Pi \\! \\ \\ \\ पाठ () -1 \\ दाएं) \\ gt 0 \\\\ और x + 7- \\ Left ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ दाएं) \\ gt 0; \\\\ और x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \\ gt 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \\ gt 0; \\ क्वाड \\ Left | \\ Cdot \\ बाएं (-1 \\ दाएं) \\ अधिकार। \\\\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \\ lt 0; \\\\ और \\ Left (x-5 \\ दाएं) \\ बाएं (x + 1 \\ दाएं) \\ Lt 0. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक निश्चित बिंदु पर मुझे इकाई को कम से कम विभाजित करना पड़ा - साथ ही असमानता का संकेत बदल दिया गया था। अंत में, मैंने वियतनाम प्रमेय पर स्क्वायर ट्रिपल को विघटित किया - यह स्पष्ट है कि जड़ें $ ((x) _ (1)) के बराबर हैं \u003d 5 $ और $ ((x) _ (2)) \u003d - $ 1। आगे सब कुछ क्लासिक अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है:
अंतराल द्वारा असमानता को हल करें सभी बिंदु पूछताछ कर रहे हैं, क्योंकि प्रारंभिक असमानता सख्त है। हम नकारात्मक मूल्यों वाले क्षेत्र में रुचि रखते हैं, इसलिए उत्तर है: $ x \\ in \\ _ बाएं (-1; 5 \\ दाएं) $। यह पूरा समाधान है। :)
आइए हम अगले कार्य में जाएं:
\\ [(\\ Left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ दाएं) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1 \\]
यहां, सबकुछ सरल है, क्योंकि अधिकार इकाई के लायक है। और हमें याद है कि इकाई शून्य की संख्या है। भले ही यह संख्या एक तर्कहीन अभिव्यक्ति है, बाईं ओर स्थित है:
\\ [\\ n प्रारंभ (संरेखित) और ((\\ Left (2 \\ Sqrt (3) -3 \\ दाएं) ^ ((((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1 \u003d ( 2 \\ sqrt (3) -3 \\ दाएं) ^ (0)); \\\\ \\ (\\ Left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ दाएं) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt ((\\ left (2 \\ sqrt (3) -3 \\ \\ दाएं)) ^ (0)); \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
खैर, हम तर्कसंगतता को पूरा करते हैं:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) \\ Left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ दाएं) \\ cdot \\ बाएं (2 \\ sqrt (3) -3-1 \\ दाएं) \\ lt 0; \\\\ \\ \\ ^ ((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ राइट) \\ cdot \\ बाएं (2 \\ sqrt (3) -4 \\ दाएं) \\ lt 0; \\\\ \\ Left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ राइट) \\ cdot 2 \\ बाएं (\\ sqrt (3) -2 \\ दाएं) \\ Lt 0. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
यह केवल संकेतों से निपटने के लिए बनी हुई है। $ 2 \\ बाएं गुणक (\\ SQRT (3) -2 \\ दाएं) $ में एक चर $ x $ नहीं है, केवल एक स्थिर है, और हमें इसके संकेत को समझने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:
\\ [\\ n प्रारंभ (matrix) \\ sqrt (3) \\ lt \\ sqrt (4) \u003d 2 \\\\ \\ downarrow \\\\ 2 \\ बाएं (\\ sqrt (3) -2 \\ दाएं) \\ lt 2 \\ cdot \\ छोड़ (2 -2 \\ दाएं) \u003d 0 \\\\\\ अंत (मैट्रिक्स) \\]
यह पता चला है कि दूसरा कारक सिर्फ एक स्थिर नहीं है, बल्कि एक नकारात्मक स्थिर है! और जब उस पर विभाजित हो, प्रारंभिक असमानता का संकेत विपरीत में बदल जाएगा:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) \\ Left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ राइट) \\ cdot 2 \\ Left (\\ SQRT (3) -2 \\ दाएं) \\ LT 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ gt 0; \\\\ और x \\ Left (x-2 \\ दाएं) \\ gt 0. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
अब सब कुछ पूरी तरह से स्पष्ट हो जाता है। वर्ग ट्रिपल की जड़ें, दाएं पर खड़ी हो: $ ((x) _ (1)) \u003d 0 $ और $ ((x) _ (2)) \u003d $ 2। हम उन्हें एक संख्यात्मक रूप से नोट करते हैं और फ़ंक्शन $ f \\ Left (x \\ राइट) \u003d x \\ Left (X-2 \\ दाएँ) के संकेतों को देखते हैं:
मामला तब होता है जब हम साइड अंतराल में रुचि रखते हैं हम "प्लस" चिह्न द्वारा चिह्नित अंतराल में रुचि रखते हैं। यह केवल उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है:
निम्नलिखित उदाहरण पर जाएं:
\\ [((छोड़ दिया (\\ frac (1) (3) \\ दाएं)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ बाएं (\\ frac (1) (9) \\) दाएं)) ^ (16-x)) \\]
खैर, सबकुछ यहां स्पष्ट रूप से स्पष्ट है: मैदान में एक ही संख्या की डिग्री हैं। इसलिए, मैं सब कुछ संक्षेप में लिखूंगा:
\\ [\\ n प्रारंभ (मैट्रिक्स) \\ frac (1) (3) \u003d ((3) ^ (- 1)); \\ क्वाड \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (1) ((3) ^ ( 2)) \u003d ((3) ^ (- 2)) \\\\ \\ downarrow \\\\ ((\\ Left ((3) ^ (- 1)) ^ (- 1)) ^) ^ ((x) ^ (2) ) + 2x)) \\ gt ((\\ Left ((3) ^ (- 2)) \\ दाएं)) ^ (16-x)) \\\\\\ अंत (मैट्रिक्स) \\]
\\ [\\ _ ourign) & ((3) ^ (- 1 \\ cdot \\ Left (((x) ^ (2)) + 2x \\ दाएं))) \\ gt ((3) ^ (- 2 \\ cdot \\ बाएं (16-x \\ दाएं))); \\\\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \\ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\\\ \\ Left (- (x) ^ (2)) - 2x- \\ बाएं (-32 + 2x \\ दाएं) \\ राइट) \\ cdot \\ बाएं (3-1 \\ दाएं) \\ gt 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \\ gt 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \\ gt 0; \\ क्वाड \\ Left | \\ Cdot \\ बाएं (-1 \\ दाएं) \\ अधिकार। \\\\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \\ LT 0; \\\\ और \\ Left (x + 8 \\ दाएं) \\ Left (X-4 \\ 'सही) \\ Lt 0. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
जैसा कि आप देख सकते हैं, परिवर्तनों की प्रक्रिया में मुझे नकारात्मक संख्या को गुणा करना पड़ा, इसलिए असमानता का संकेत बदल दिया गया। अंत में, मैंने स्क्वायर ट्रिपल के गुणक पर विघटन करने के लिए वियता के प्रमेय को फिर से लागू किया। नतीजतन, उत्तर निम्न होगा: $ x \\ in \\ _ बाएं (-8; 4 \\ दाएं) $ - जो लोग यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष चित्रित करके, बिंदु और गिनती संकेतों को ध्यान में रखते हुए। और इस बीच, हम अपने "सेट" से आखिरी असमानता में बदल जाएंगे:
\\ [(\\ Left (3-2 \\ sqrt (2) \\ दाएँ) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt 1 \\]
जैसा कि आप देख सकते हैं, नीचे एक तर्कहीन संख्या फिर से है, और इकाई फिर से सही है। इसलिए, हम इस प्रकार हमारे संकेतक असमानता को फिर से लिखते हैं:
\\ [(\\ Left (3-2 \\ sqrt (2) \\ दाएं) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ Lt ((\\ Left (3-2 \\ sqrt (2) \\ दाएं)) ^ (0)) \\]
हम तर्कसंगतता लागू करते हैं:
\\ [\\ _ align (align) \\ Left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ राइट) \\ cdot \\ बाएं (3-2 \\ sqrt (2) -1 \\ दाएं) \\ lt 0; \\\\ \\ Left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ दाएं) \\ cdot \\ बाएं (2-2 \\ sqrt (2) \\ दाएँ) \\ lt 0; \\\\ \\ Left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ राइट) \\ cdot 2 \\ बाएं (1- \\ sqrt (2) \\ दाएँ) \\ Lt 0. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
हालांकि, यह काफी स्पष्ट है कि $ 1- \\ sqrt (2) \\ LT 0 $, $ \\ sqrt (2) \\ apport 1.4 ... \\ gt $ 1 के बाद से। इसलिए, दूसरा कारक एक नया नकारात्मक स्थिरता है जिसके लिए असमानता के दोनों हिस्से को विभाजित किया जा सकता है:
\\ [\\ n प्रारंभ (मैट्रिक्स) \\ Left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ राइट) \\ cdot 2 \\ बाएं (1- \\ sqrt (2) \\ दाएँ) \\ lt 0 \\\\ \\ downarrow \\ \\\\ अंत (मैट्रिक्स) \\]
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) और 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ gt 0; \\\\ और 3x - ((x) ^ (2)) \\ gt 0; \\ क्वाड \\ Left | \\ Cdot \\ बाएं (-1 \\ दाएं) \\ अधिकार। \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x \\ lt 0; \\\\ & x \\ Left (X-3 \\ दाएं) \\ Lt 0. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
दूसरे आधार पर संक्रमण
संकेतक असमानताओं को हल करने में एक अलग समस्या "सही" आधार की खोज है। दुर्भाग्यवश, हमेशा नहीं जब मैं पहली बार कार्य को देखता हूं, यह स्पष्ट है कि नींव के लिए लेना, और इस नींव की डिग्री क्या करना है।
लेकिन चिंता न करें: कोई जादू और "गुप्त" प्रौद्योगिकियां नहीं हैं। गणित में, किसी भी कौशल, जिसे एल्गोरिजीकृत नहीं किया जा सकता है, आसानी से अभ्यास द्वारा विकसित किया जा सकता है। लेकिन इसके लिए जटिलता के विभिन्न स्तरों की समस्याओं को हल करना होगा। उदाहरण के लिए, यहां हैं:
\\ [\\ _ प्रारंभ (align) & ((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) (x))); \\\\ & ((\\ बाएं (\\ frac (1) (3) \\ दाएं)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ Ge ((3) ^ (2 + x)); \\\\ & ((\\ Left (0.16 \\ दाएं)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ Left (6.25 \\ दाएं) ^ (x)) \\ ge 1; \\\\ & ((\\ बाएं (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ दाएं) ^ (- x)) \\ lt ((9) ^ (4-2x) ^ (4-2x)) \\ cdot 81. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
उलझा हुआ? भयानक? हां, यह डामर पर चिकन से आसान है! कोशिश करते हैं। पहली असमानता:
\\ [(2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((4) ^ (\\ frac (4) (x))) \\]
खैर, मुझे लगता है कि यहां सब कुछ स्पष्ट है:
हम मूल असमानता को फिर से लिखते हैं, सबकुछ "दो" आधार को कम करते हैं:
\\ [((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((2) ^ (\\ frac (8) (x))) \\ Retharrow \\ Left (\\ FRAC (x) (2) - \\ Frac (8) (x) \\ राइट) \\ cdot \\ बाएं (2-1 \\ दाएं) \\ lt 0 \\]
हां, हां, आप सब कुछ समझ गए हैं: मैंने अभी ऊपर वर्णित तर्कसंगतता विधि को लागू किया है। अब आपको सावधानी से काम करने की ज़रूरत है: हमने एक आंशिक तर्कसंगत असमानता (यह denominator में एक वैरिएबल है), इसलिए, शून्य से कुछ समान करने से पहले, सब कुछ सामान्य denominator में लाने और निरंतर गुणक से छुटकारा पाने के लिए आवश्यक है।
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) और \\ Left (\\ frac (x) (2) - \\ frac (8) (x) (x) \\ right) \\ cdot \\ बाएं (2-1 \\ दाएँ) \\ lt 0; \\\\ \\ \\ Left (\\ FRAC (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ राईट) \\ cdot 1 \\ lt 0; \\\\ \\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ Lt 0. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
अब हम मानक अंतराल विधि का उपयोग करते हैं। न्यूट्रिफायर शून्य: $ x \u003d \\ pm $ 4। डेनोमिनेटर केवल $ x \u003d 0 $ पर शून्य को संदर्भित करता है। कुल तीन बिंदुओं को संख्यात्मक सीधी रेखा (Otkoloty के सभी बिंदुओं, क्योंकि असमानता का संकेत सख्त है) पर ध्यान दिया जाना चाहिए। हम पाते हैं:
अधिक कठिन मामला: तीन जड़ें चूंकि यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है, हैचिंग उन अंतरालों को नोट किया जाता है जिन पर बाईं ओर अभिव्यक्ति नकारात्मक मान लेती है। इसलिए, अंतिम प्रतिक्रिया एक बार दो अंतराल पर जाएगी:
अंतराल का अंत प्रतिक्रिया में नहीं है, क्योंकि प्रारंभिक असमानता सख्त थी। इस प्रतिक्रिया के लिए कोई अतिरिक्त चेक की आवश्यकता नहीं है। इस संबंध में, संकेतक असमानताएं लॉगरिदमिक से कहीं अधिक आसान हैं: कोई प्रतिबंध नहीं है, आदि
अगले कार्य पर जाएं:
\\ [((\\ Left (\\ frac (1) (3) \\ दाएं)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ ge ((3) ^ (2 + x)) \\]
यहां, भी, कोई समस्या नहीं है, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि $ \\ frac (1) (3) \u003d ((3) ^ (- 1)) $, इसलिए सभी असमानता को फिर से लिखा जा सकता है:
\\ [\\ _ align ((3) ^ (- 1)) \\ दाएं)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ Ge (3) ^ (2 + x) )) \\ Retharrow ((3) ^ (- \\ frac (3) (x))) \\ Ge ((3) ^ (2 + x)); \\\\ \\ \\ Left (- \\ FRAC (3) (x) - \\ Left (2 + x \\ दाएं) \\ राइट) \\ cdot \\ बाएं (3-1 \\ दाएं) \\ ge 0; \\\\ और \\ Left (- \\ FRAC (3) (x) -2-x \\ दाएं) \\ cdot 2 \\ ge 0; \\ quad \\ Left | : \\ Left (-2 \\ दाएं) \\ अधिकार। \\\\ \\ frac (3) (x) + 2 + x \\ le 0; \\\\ \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \\ le 0. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
कृपया ध्यान दें: तीसरी पंक्ति में, मैंने निर्णय लेने और तुरंत (-2) पर सबकुछ विभाजित करने का फैसला किया। पहला ब्रैकेट पास हुआ (अब हर जगह प्लस हैं), और दोनों निरंतर कारक के साथ कम हो गए। यह वास्तव में यह है कि स्वतंत्र और परीक्षण कार्य पर वास्तविक गणना करते समय कार्य करना आवश्यक है - प्रत्येक क्रिया और परिवर्तन को पेंट करना आवश्यक नहीं है।
इसके अलावा, अमेरिका से परिचित अंतराल विधि प्रवेश कर रही है। अंकों के शून्य: और वे नहीं हैं। क्योंकि भेदभाव नकारात्मक होगा। बदले में, डेनोमिनेटर केवल $ x \u003d 0 $ पर रीसेट किया जाता है - आखिरी बार के रूप में। खैर, यह स्पष्ट है कि $ x \u003d 0 $ के दाईं ओर अंश सकारात्मक मान लेगा, और बाईं ओर नकारात्मक है। चूंकि हम वास्तव में नकारात्मक मान रुचि रखते हैं, फिर अंतिम उत्तर: $ x \\ in \\ _ बाएं (- \\ unfty; 0 \\ राइट) $।
\\ [((छोड़ दिया (0.16 \\ दाएं)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ Left (6.25 \\ दाएं)) ^ (x)) \\ ge 1 \\]
और संकेतक असमानताओं में दशमलव अंशों के साथ क्या किया जाना चाहिए? दाएं: उनसे छुटकारा पाएं, सामान्य में अनुवाद करें। तो हम स्थानांतरित करेंगे:
\\ [\\ _ align (align) & 0.16 \u003d \\ frac (16) (100) \u003d \\ frac (4) (25) \\ राइटारो ((\\ Left (0.16 \\ दाएं)) ^ (1 + 2x)) \u003d ((\\) बाएं (\\ frac (4) (25) \\ दाएं) ^ (1 + 2 एक्स)); \\\\ & 6,25 \u003d \\ frac (625) (100) \u003d \\ frac (25) (4) \\ राइटारो ((\\ विराम (6.25 \\ दाएं)) ^ (x)) \u003d ((\\ बाएं (\\ frac ( 25) (4) \\ दाएं)) ^ (x))। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
तो हमें संकेतक कार्यों के आधार पर क्या मिला? और हमें दो पारस्परिक रूप से रिवर्स संख्या मिली:
\\ [\\ Frac (25) (4) \u003d ((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ दाएं)) ^ (- 1)) \\ Retharrow ((\\ Left (\\ FRAC (25) (4) \\ दाएं)) ^ (x)) \u003d ((\\ Left ((\\ Left (\\ Frac (4) (25) \\ दाएं) ^ (- 1)) \\ दाएं) ^ (x)) \u003d (बाएं) (\\ Frac (4) (25) \\ दाएं) ^ (- x)) \\]
इस प्रकार, प्रारंभिक असमानता को फिर से लिखा जा सकता है:
\\ [\\ _ Align (align) & ((\\ Left (\\ frac (4) (25) \\ दाएं)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ बाएं (\\ frac (4) (25) \\ अधिकार) ) ^ (- एक्स)) \\ जीई 1; \\\\ & ((\\ बाएं (\\ frac (4) (25) \\ दाएं) ^ (1 + 2x + \\ बाएं (-x \\ दाएं)) \\ Ge ((\\ Left (\\ FRAC (4) (25) (25) ) \\ दाएं)) ^ (0)); \\\\ \\ (\\ left (\\ frac (4) (25) \\ दाएं) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ बाएं (\\ frac (4) (25) \\ दाएं)) ^ (0)) । \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
बेशक, एक ही आधार के साथ डिग्री गुणा करते समय, उनके संकेतक फोल्ड किए जाते हैं, जो दूसरी पंक्ति में हुआ था। इसके अलावा, हमने 4/25 के आधार पर डिग्री के रूप में, दाईं ओर स्थित एक इकाई प्रस्तुत की। यह केवल तर्कसंगतता को पूरा करने के लिए बनी हुई है:
\\ [(\\ Left (\\ frac (4) (25) \\ दाएं) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ बाएं (\\ frac (4) (25) \\ दाएं)) ^ (0)) \\ राइटारो \\ Left (x + 1-0 \\ दाएं) \\ cdot \\ बाएं (\\ frac (4) (25) -1 \\ दाएं) \\ ge 0 \\]
ध्यान दें कि $ \\ frac (4) (25) -1 \u003d \\ frac (4-25) (25) \\ LT 0 $, यानी दूसरा कारक एक नकारात्मक स्थिर है, और इसे विभाजित करते समय, असमानता का संकेत बदल जाएगा:
\\ [\\ _ align (align) और x + 1-0 \\ le 0 \\ retrow x \\ le -1; \\\\ और x \\ in \\ Left (- \\ unfty; -1 \\ दाएं]। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
अंत में, वर्तमान "किट" से आखिरी असमानता:
\\ [(\\ (छोड़ दिया (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ दाएं)) ^ (- x)) \\ lt ((9) ^ (4-2x) ^ (4-2x)) \\ cdot 81 \\]
सिद्धांत रूप में, यहां समाधान का विचार भी स्पष्ट है: असमानता में शामिल सभी संकेतक कार्यों को "3" के आधार पर कम किया जाना चाहिए। लेकिन इसके लिए जड़ों और डिग्री के साथ टिंकर करना होगा:
\\ [\\ n प्रारंभ (align) \\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \u003d \\ frac ((3) ^ (3))) ((3) ^ (\\ frac (1) (3))) ) \u003d ((3) ^ (3- \\ frac (1) (3))) \u003d ((3) ^ (\\ frac (8) (3))); \\\\ & 9 \u003d ((3) ^ (2)); \\ क्वाड 81 \u003d ((3) ^ (4))। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
इन तथ्यों को ध्यान में रखते हुए, प्रारंभिक असमानता को फिर से लिखा जा सकता है:
\\ [\\ n प्रारंभ (संरेखित) और ((\\ Left ((3) ^ (\\ frac (8) (3))) \\ दा right) ^ (- x)) \\ lt ((\\ Left ((3) ^ (2)) \\ दाएँ)) ^ (4-2x)) \\ cdot ((3) ^ (4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt ((3) ^ (8-4x)) \\ cdot ((3) ^ (4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ LT ((3) ^ (8-4x + 4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt ((3) ^ (4-4x))। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
गणना की दूसरी और तीसरी पंक्ति पर ध्यान दें: असमानता के साथ कुछ करने से पहले, इसे उसी चीज़ में लाना सुनिश्चित करें जिसके बारे में हमने पाठ की शुरुआत से बात की थी: $ (ए) ^ (x)) \\ lt ((ए) ^ (n)) $। जब तक आप बाएं या दाएं हैं, तब तक कुछ बाएं गुणक, अतिरिक्त स्थिरांक इत्यादि हैं, कोई तर्कसंगतता और "पीसने" कारण नहीं किया जा सकता है! इस साधारण तथ्य की गलतफहमी के कारण अनगिनत कार्य अनुचित रूप से थे। मैं अपने छात्रों पर लगातार इस समस्या को देख रहा हूं, जब हम सिर्फ संकेतक और लॉगरिदमिक असमानताओं के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ते हैं।
लेकिन चलो हमारे काम पर लौटें। आइए इस बार तर्कसंगतता के बिना करने के लिए प्रयास करें। हमें याद है: डिग्री का आधार इकाई से अधिक है, इसलिए ट्रोका बस फेंक सकता है - असमानता का संकेत नहीं बदलेगा। हम पाते हैं:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) & - \\ frac (8x) (3) \\ lt 4-4x; \\\\ और 4x- \\ frac (8x) (3) \\ LT 4; \\\\ \\ frac (4x) (3) \\ LT 4; \\\\ और 4x \\ lt 12; \\\\ & x \\ lt 3. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
बस इतना ही। अंतिम उत्तर: $ x \\ at \\ _ बाएं (- \\ unfty; 3 \\ दाएं) $।
एक स्थिर अभिव्यक्ति और चर के प्रतिस्थापन का चयन
अंत में, मैं एक और चार प्रदर्शन असमानताओं को हल करने का प्रस्ताव करता हूं जो पहले से ही तैयार छात्रों के लिए काफी जटिल हैं। उनके साथ सामना करने के लिए, आपको डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखना होगा। विशेष रूप से, ब्रैकेट के लिए सामान्य कारकों को जारी करना।
लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि समझना सीखना है: कोष्ठक से वास्तव में क्या लिया जा सकता है। इस तरह की अभिव्यक्ति को स्थिर कहा जाता है - इसे एक नए चर द्वारा दर्शाया जा सकता है और इस प्रकार संकेतक समारोह से छुटकारा पाता है। तो, चलो कार्यों को देखें:
\\ [\\ _ align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ Ge 6; \\\\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ Ge 90; \\\\ & ((25) ^ (x + 1.5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ gt 2500; \\\\ \\ (\\ बाएं (0.5 \\ दाएं)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1.5)) \\ gt 768. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
चलो पहली पंक्ति के साथ शुरू करते हैं। हम इस असमानता को अलग से लिखते हैं:
\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ Ge 6 \\]
ध्यान दें कि $ ((5) ^ (x + 2)) \u003d (((5) ^ (x + 1 + 1)) \u003d (((5) ^ (x + 1)) \\ cdot $ 5, तो सही -हैंड भाग फिर से लिख सकता है:
ध्यान दें कि $ ((5) ^ (x + 1)) को छोड़कर कोई अन्य संकेतक कार्य नहीं हैं, कोई असमानता नहीं है। और सामान्य रूप से, कहीं भी कोई चर $ x $ नहीं है, इसलिए हम एक नया चर पेश करते हैं: $ ((5) ^ (x + 1)) \u003d टी $। हमें निम्नलिखित डिज़ाइन मिलते हैं:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) और 5t + t \\ ge 6; \\\\ & 6t \\ ge 6; \\\\ & t \\ ge 1. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
हम प्रारंभिक परिवर्तनीय ($ t \u003d ((5) ^ (x + 1)) $) पर लौटते हैं, और साथ ही साथ हमें याद है कि 1 \u003d 5 0। हमारे पास है:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) और ((5) ^ (x + 1)) \\ Ge ((5) ^ (0)); \\\\ और x + 1 \\ ge 0; \\\\ & x \\ ge -1। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
यह सब निर्णय है! उत्तर: $ x \\ in \\ _ बाएं [-1; + \\ unfty \\ दाएँ) $। दूसरी असमानता पर जाएं:
\\ [(3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ Ge 90 \\]
यहाँ सब एक जैसा है। ध्यान दें कि $ ((3) ^ (x + 2)) \u003d (((3) ^ (x)) \\ cdot ((3) ^ (2) ^ (2)) \u003d 9 \\ cdot ((3) ^ (x)) $। फिर बाएं हिस्से को फिर से लिखा जा सकता है:
\\ [\\ _ Align (align) & ((3) ^ (x)) + 9 \\ cdot ((3) ^ (x)) \\ ge 90; \\ quad \\ Left | ((3) ^ (x)) \u003d t _ ठीक है। \\\\ & t + 9t \\ ge 90; \\\\ & 10t \\ ge 90; \\\\ & t \\ ge 9 \\ राइटारो ((3) ^ (x)) \\ ge 9 \\ rightrow ((3) ^ (x)) \\ ge ((3) ^ (2)); \\\\ & x \\ ge 2 \\ rethrow x \\ _ में \\ Left [2; + \\ unfty \\ दाएँ)। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
वास्तविक नियंत्रण और स्वतंत्र कार्य पर निर्णय लेने के लिए यह कैसे आवश्यक है।
खैर, चलो कुछ और जटिल कोशिश करते हैं। उदाहरण के लिए, यहां असमानता है:
\\ [((25) ^ (x + 1.5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ gt 2500 \\]
यहां क्या समस्या है? सबसे पहले, बाईं ओर स्थित संकेतक कार्यों के आधार, अलग: 5 और 25. हालांकि, 25 \u003d 5 2, इसलिए पहली अवधि को परिवर्तित किया जा सकता है:
\\ [\\ _ align) & ((25) ^ (x + 1.5)) \u003d ((\\ Left (((5) ^ (2)) \\ दाएं) ^ (x + 1.5)) \u003d (5) ) ^ (2x + 3)); \\\\ & ((5) ^ (2x + 3)) \u003d ((5) ^ (2x + 2 + 1)) \u003d ((5) ^ (2x + 2)) \\ cdot 5. \\\\ अंत (संरेखित) \\]
जैसा कि आप देख सकते हैं, हम सभी ने एक ही आधार का नेतृत्व किया, और फिर देखा कि पहली शब्द आसानी से दूसरे स्थान पर आता है - बस संकेतक को विघटित करें। अब आप सुरक्षित रूप से एक नया चर पेश कर सकते हैं: $ ((5) ^ (2x + 2)) \u003d टी $, और सभी असमानता फिर से लिख जाएगी:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) और 5t-t \\ ge 2500; \\\\ & 4t \\ ge 2500; \\\\ & t \\ ge 625 \u003d ((5) ^ (4)); \\\\ & ((5) ^ (2x + 2)) \\ Ge ((5) ^ (4)); \\\\ और 2x + 2 \\ ge 4; \\\\ और 2x \\ ge 2; \\\\ & x \\ ge 1. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
और फिर कोई कठिनाइयों! अंतिम उत्तर: $ x \\ in \\ Left [1; + \\ unfty \\ दाएँ) $। आज के पाठ में अंतिम असमानता पर जाएं:
\\ [(\\ (शेष (0.5 \\ दाएं)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1.5)) \\ gt 768 \\]
ध्यान देने की पहली बात यह है कि, निश्चित रूप से, पहली डिग्री के आधार पर दशमलव अंश। इससे छुटकारा पाने के लिए जरूरी है, और साथ ही साथ सभी संकेतक कार्यों को समान आधार पर लाते हैं - संख्या "2":
\\ [\\ _ align (align) & 0.5 \u003d \\ frac (1) (2) \u003d ((2) ^ (- 1)) \\ राइटारो ((\\ बाएं (0.5 \\ दाएं)) ^ (- 4x- 8)) \u003d (((छोड़ दिया (((2) ^ (- 1)) \\ दाएं) ^ (- 4x-8)) \u003d ((2) ^ (4x + 8)); \\\\ & 16 \u003d ((2) ^ (4)) \\ राइटारो ((16) ^ (x + 1.5)) \u003d ((\\ Left (((2) ^ (4)) \\ राइट)) ^ (x) + 1.5)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)); \\\\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \\ gt 768. \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
उत्कृष्ट, हमने पहला कदम बनाया - सब कुछ उसी आधार पर नेतृत्व किया। अब एक स्थिर अभिव्यक्ति आवंटित करना आवश्यक है। ध्यान दें कि $ ((2) ^ (4x + 8)) \u003d ((2) ^ (4x + 6 + 2)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)) \\ cdot $ 4। यदि आप एक नया चर $ ((2) ^ (4x + 6) दर्ज करते हैं) \u003d टी $, तो प्रारंभिक असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:
\\ [\\ _ शुरू (संरेखित) और 4 टी-टी \\ जीटी 768; \\\\ और 3t \\ gt 768; \\\\ & t \\ gt 256 \u003d ((2) ^ (8)); \\\\ & ((2) ^ (4x + 6)) \\ gt ((2) ^ (8)); \\\\ और 4x + 6 \\ gt 8; \\\\ और 4x \\ gt 2; \\\\ & x \\ gt \\ frac (1) (2) \u003d 0.5। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
स्वाभाविक रूप से, सवाल उठ सकता है: हमने 256 \u003d 2 8 कैसे पाई? दुर्भाग्यवश, आपको केवल डिग्री कटौती (और एक ही समय में ट्रिपल और पांच डिग्री की डिग्री) की आवश्यकता है। खैर, या 256 से 2 विभाजित करें (256-पॉइंट नंबर के बाद से विभाजित करना संभव है) जब तक कि हम परिणाम प्राप्त न करें। यह इस तरह दिखेगा:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) और 256 \u003d 128 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 64 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 32 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 16 \\ cdot 2 \\ Cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 8 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ सीडीओटी 2 \u003d \\\\ & \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d ((2) ^ (8))। \\ Eng (संरेखित) \\ ]
एक ट्रिपल के साथ समान (संख्या 9, 27, 81 और 243 इसकी डिग्री हैं), और सात के साथ (संख्या 49 और 343, भी याद रखना अच्छा होगा)। खैर, और शीर्ष भी जानने के लिए "सुंदर" डिग्री भी है:
\\ [\\ _ प्रारंभ (संरेखित) और ((5) ^ (2)) \u003d 25; \\\\ & ((5) ^ (3)) \u003d 125; \\\\ & ((5) ^ (4)) \u003d 625; \\\\ & ((5) ^ (5)) \u003d 3125। \\\\\\ अंत (संरेखित) \\]
बेशक, वांछित होने पर इन सभी संख्याओं को दिमाग में बहाल किया जा सकता है, बस उन्हें एक-दूसरे से गुणा कर रहा है। हालांकि, जब आपको कई प्रदर्शन असमानताओं को हल करना होता है, और प्रत्येक अगले पिछले एक की तुलना में अधिक जटिल होता है, तो बाद वाला, मैं क्या सोचना चाहता हूं - यह कुछ संख्या है। और इस अर्थ में, ये कार्य अंतराल विधि द्वारा हल किए गए "क्लासिक" असमानताओं की तुलना में अधिक जटिल हैं।
और x \u003d b सबसे सरल संकेत समीकरण है। उसमें ए। अधिक शून्य I लेकिन अ एक के बराबर नहीं।
संकेतक समीकरणों का समाधान
सूचक समारोह के गुणों से, हम जानते हैं कि मूल्यों का क्षेत्र सकारात्मक वास्तविक संख्याओं द्वारा सीमित है। फिर यदि बी \u003d 0, समीकरण में समाधान नहीं है। वही स्थिति समीकरण में होती है जहां बी
अब हम उस b\u003e 0 डालते हैं। यदि संकेतक समारोह में ए। अधिक इकाइयां, फ़ंक्शन पूरे परिभाषा क्षेत्र में बढ़ेगी। यदि आधार के लिए एक संकेतक समारोह में लेकिन अ निम्नलिखित स्थिति पूरी हो गई है 0 इस पर आधारित और रूट पर प्रमेय को लागू करना, हम यह प्राप्त करते हैं कि समीकरण एक x \u003d b में एक एकल रूट है, b\u003e 0 और सकारात्मक के साथ ए। एक के बराबर नहीं। इसे खोजने के लिए, बी \u003d ए सी में बी का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक है। निम्न उदाहरण पर विचार करें: समीकरण 5 (x 2 - 2 * x - 1) \u003d 25 हल करें। कल्पना कीजिए 25 2 के रूप में, हमें मिलता है: 5 (x 2 - 2 * x - 1) \u003d 5 2। या इसके बराबर क्या है: x 2 - 2 * x - 1 \u003d 2। हम किसी भी ज्ञात विधियों द्वारा प्राप्त वर्ग समीकरण को हल करते हैं। हमें दो जड़ें x \u003d 3 और x \u003d -1 मिलती हैं। उत्तर: 3; -1। मैं समीकरण 4 एक्स - 5 * 2 एक्स + 4 \u003d 0. को हल करता हूं: हम प्रतिस्थापित करेंगे: टी \u003d 2 एक्स और हम निम्नलिखित स्क्वायर समीकरण प्राप्त करते हैं: टी 2 - 5 * टी + 4 \u003d 0। अब हम समीकरण 2 x \u003d 1 और 2 x \u003d 4 को हल करते हैं। उत्तर: 0; 2। सबसे सरल प्रदर्शन असमानताओं का समाधान बढ़ते और अवरोही समारोह के गुणों पर भी आधारित है। यदि आधार फ़ंक्शन ए इकाई से अधिक है, तो फ़ंक्शन पूरे परिभाषा क्षेत्र में बढ़ेगा। यदि आधार के लिए एक संकेतक समारोह में लेकिन अ निम्नलिखित स्थिति की जाती है 0 एक उदाहरण पर विचार करें: असमानता को हल करने के लिए (0.5) (7 - 3 * x)< 4. ध्यान दें कि 4 \u003d (0.5) 2। तब असमानता फॉर्म (0.5) (7 - 3 * x) ले जाएगी< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. हमें मिलता है: 7 - 3 * x\u003e -2। इसलिए: एच।<3. उत्तर: एच।<3. यदि असमानता में, आधार अधिक एकजुट था, फिर जमीन से पहुंचने पर, असमानता के संकेत की आवश्यकता नहीं होगी।
तब यह स्पष्ट है कि से यह समीकरण के लिए एक समाधान होगा x \u003d a c।
हम इस समीकरण को किसी भी ज्ञात विधियों में हल करते हैं। हमें जड़ें t1 \u003d 1 t2 \u003d 4 मिलती हैंसंकेतक असमानताओं का समाधान
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