अपरिमेय संख्या- यह वास्तविक संख्या, जो परिमेय नहीं है, अर्थात्, एक भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां पूर्णांक हैं। एक अपरिमेय संख्या को एक अनंत गैर-दोहराव वाले दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है।
अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर बिना छायांकन के बड़े लैटिन अक्षर से बोल्ड किया जाता है। इस प्रकार: , अर्थात्। अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय का अंतर।
अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व पर, अधिक सटीक रूप से खंड, इकाई लंबाई के एक खंड के साथ अतुलनीय, प्राचीन गणितज्ञों द्वारा पहले से ही ज्ञात थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण की असंगति और वर्ग की भुजा, जो संख्या की अपरिमेयता के बराबर है।
गुण
- किसी भी वास्तविक संख्या को अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है, जबकि अपरिमेय संख्याएं और केवल उन्हें गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है।
- अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं के समुच्चय में डेडेकाइंड कट्स को परिभाषित करती हैं जिनकी निम्न वर्ग में कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है और उच्च वर्ग में कोई छोटी संख्या नहीं होती है।
- प्रत्येक वास्तविक पारलौकिक संख्या अपरिमेय होती है।
- प्रत्येक अपरिमेय संख्या या तो बीजीय या अनुवांशिक होती है।
- अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक रेखा पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।
- अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का क्रम वास्तविक अनुवांशिक संख्याओं के समुच्चय के क्रम के समरूपी है।
- अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बेशुमार है, दूसरी श्रेणी का समुच्चय है।
उदाहरण
| अपरिमेय संख्या - (3) - 2 - √3 - 5 - - - - - |
तर्कहीन हैं:
तर्कहीनता प्रमाण उदाहरण
2 . की जड़
इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात इसे एक अपरिमेय अंश के रूप में दर्शाया जाता है, जहां एक पूर्णांक है, और एक प्राकृतिक संख्या है। आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:
.इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सम, इसलिए, सम और । चलो जहां पूरे। फिर
इसलिए, सम, इसलिए, सम और । हमने वह प्राप्त कर लिया है और सम है, जो भिन्न की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। इसलिए, मूल धारणा गलत थी, और एक अपरिमेय संख्या है।
संख्या 3 . का बाइनरी लॉगरिदम
इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात इसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है, जहां और पूर्णांक हैं। चूंकि, और सकारात्मक लिया जा सकता है। फिर
लेकिन यह स्पष्ट है, यह अजीब है। हमें एक विरोधाभास मिलता है।
इ
कहानी
अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में स्पष्ट रूप से अपनाया गया था, जब मनावा (सी। 750 ईसा पूर्व - सी। 690 ईसा पूर्व) ने पाया कि 2 और 61 जैसी कुछ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस (सी। 500 ईसा पूर्व) के हिप्पासस को दिया जाता है, एक पाइथागोरस जिसने एक पेंटाग्राम के पक्षों की लंबाई का अध्ययन करके इस प्रमाण को पाया। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई पर्याप्त रूप से छोटी और अविभाज्य होती है, जो किसी भी खंड में शामिल होने की एक पूर्णांक संख्या होती है। हालांकि, हिप्पसस ने तर्क दिया कि लंबाई की कोई एक इकाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण में इकाई खंडों की एक पूर्णांक संख्या होती है, तो यह संख्या एक ही समय में सम और विषम दोनों होनी चाहिए। सबूत इस तरह दिखता था:
- एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और पैर की लंबाई के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ए:बी, कहाँ पे एतथा बीसबसे छोटा संभव के रूप में चुना गया।
- पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: ए= 2 बी².
- चूंकि एमैं भी, एसम होना चाहिए (क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
- जहां तक कि ए:बीअलघुकरणीय बीविषम होना चाहिए।
- चूंकि एसम, निरूपित ए = 2आप.
- फिर ए= 4 आप= 2 बी².
- बी= 2 आप, इसलिए बीसम है तो बीयहाँ तक की।
- हालांकि, यह साबित हो चुका है कि बीअजीब। विरोधाभास।
यूनानी गणितज्ञों ने अतुलनीय मात्राओं के इस अनुपात को कहा है अलोगोस(अव्यक्त), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार, हिप्पसस को उचित सम्मान नहीं दिया गया था। एक किंवदंती है कि हिप्पासस ने समुद्री यात्रा के दौरान खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए" पानी में फेंक दिया गया था, जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्ण संख्या और उनके अनुपात में घटाया जा सकता है। " हिप्पसस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या पेश की, इस अंतर्निहित धारणा को नष्ट कर दिया कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एक और अविभाज्य हैं।
अपरिमेय संख्याएँ प्राचीन काल से लोगों को ज्ञात हैं। हमारे युग से कुछ सदियों पहले, भारतीय गणितज्ञ मानव ने पाया कि कुछ संख्याओं के वर्गमूल (उदाहरण के लिए, 2) को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
यह लेख "अपरिमेय संख्या" विषय में एक प्रकार का परिचयात्मक पाठ है। हम एक व्याख्या के साथ अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा और उदाहरण देंगे, और यह भी पता लगाएंगे कि दी गई संख्या अपरिमेय है या नहीं।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
अपरिमेय संख्या। परिभाषा
ऐसा लगता है कि "तर्कहीन संख्या" नाम ही हमें एक परिभाषा का सुझाव देता है। एक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या है जो परिमेय नहीं है। दूसरे शब्दों में, ऐसी संख्या को भिन्न m n के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है।
परिभाषा। अपरिमेय संख्या
अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं, जो दशमलव संकेतन में, अनंत गैर-दोहराव वाले दशमलव अंश हैं।
एक अपरिमेय संख्या को अनंत गैर-आवधिक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को $I$ द्वारा दर्शाया जाता है और यह इसके बराबर होता है: $I=R / Q$।
मिसाल के तौर पर. अपरिमेय संख्याएँ हैं:
अपरिमेय संख्याओं पर संचालन
अपरिमेय संख्याओं के सेट पर, चार बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ प्रस्तुत की जा सकती हैं: जोड़, घटाव, गुणा और भाग; लेकिन सूचीबद्ध परिचालनों में से किसी के लिए भी अपरिमेय संख्याओं के सेट में बंद होने की संपत्ति नहीं है। उदाहरण के लिए, दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय संख्या हो सकती है।
मिसाल के तौर पर. दो अपरिमेय संख्याओं $0.1010010001 \ldots$ और $0.0101101110 \ldots$ का योग ज्ञात कीजिए। इनमें से पहली संख्या क्रमशः एक शून्य, दो शून्य, तीन शून्य, आदि द्वारा अलग किए गए लोगों के अनुक्रम से बनती है, दूसरी - शून्य के अनुक्रम से, जिसके बीच एक, दो वाले, तीन वाले आदि। रखे गए:
$$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
इस प्रकार, दी गई दो अपरिमेय संख्याओं का योग एक संख्या $\frac(1)(9)$ है, जो परिमेय है।
उदाहरण
व्यायाम।सिद्ध कीजिए कि संख्या $\sqrt(3)$ अपरिमेय है।
सबूत।हम विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि का उपयोग करेंगे। मान लीजिए कि $\sqrt(3)$ एक परिमेय संख्या है, अर्थात, इसे भिन्न $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां $m$ और $n$ हैं कोप्राइम प्राकृतिक संख्याएँ।
हम समानता के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, हमें मिलता है
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
संख्या 3$\cdot n^(2)$ 3 से विभाज्य है। इसलिए $m^(2)$ और इसलिए $m$ 3 से विभाज्य है। $m=3 \cdot k$ रखने पर, समानता $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ को के रूप में लिखा जा सकता है
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot के^(2)$$
यह अंतिम समानता से इस प्रकार है कि $n^(2)$ और $n$ 3 से विभाज्य हैं, इसलिए अंश $\frac(m)(n)$ को 3 से कम किया जा सकता है। लेकिन धारणा से, अंश $\ फ्रैक (एम) (एन) $ इरेड्यूसबल है। परिणामी विरोधाभास यह साबित करता है कि संख्या $\sqrt(3)$ को भिन्न $\frac(m)(n)$ के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है और इसलिए, यह अपरिमेय है।
क्यू.ई.डी.
सभी परिमेय संख्याओं को एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह पूर्ण संख्याओं पर लागू होता है (उदाहरण के लिए, 12, -6, 0), और अंतिम दशमलव अंश (उदाहरण के लिए, 0.5; -3.8921), और अनंत आवधिक दशमलव अंश (उदाहरण के लिए, 0.11(23); -3 ,(87) ))।
लेकिन अनंत अनावर्ती दशमलवसाधारण भिन्नों के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। वे यही हैं अपरिमेय संख्या(यानी तर्कहीन)। ऐसी संख्या का एक उदाहरण है, जो लगभग 3.14 के बराबर है। हालाँकि, यह वास्तव में क्या बराबर है, यह निर्धारित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि संख्या 4 के बाद अन्य संख्याओं की एक अंतहीन श्रृंखला है जिसमें दोहराव की अवधि को अलग नहीं किया जा सकता है। उसी समय, हालांकि संख्या को सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, इसका एक विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। संख्या किसी भी वृत्त की लंबाई और उसके व्यास की लंबाई का अनुपात है। इस प्रकार अपरिमेय संख्याएँ प्रकृति में मौजूद होती हैं, जैसा कि परिमेय संख्याएँ होती हैं।
अपरिमेय संख्याओं का एक अन्य उदाहरण धनात्मक संख्याओं का वर्गमूल है। कुछ संख्याओं से जड़ें निकालने से परिमेय मान मिलते हैं, दूसरों से - अपरिमेय। उदाहरण के लिए, 4 = 2, अर्थात 4 का मूल एक परिमेय संख्या है। लेकिन 2, √5, 7 और कई अन्य के परिणामस्वरूप अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, अर्थात, उन्हें केवल एक सन्निकटन के साथ निकाला जा सकता है, एक निश्चित दशमलव स्थान पर गोल किया जाता है। इस मामले में, अंश गैर-आवधिक प्राप्त किया जाता है। यानी इन संख्याओं का मूल क्या है, यह निश्चित रूप से और निश्चित रूप से कहना असंभव है।
तो 5, 2 और 3 के बीच की एक संख्या है, क्योंकि 4 = 2, और √9 = 3। हम यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 5, 3 की तुलना में 2 के अधिक निकट है, क्योंकि 4 9 की तुलना में 5 के अधिक निकट है। 5. दरअसल, 5 2.23 या √5 2.24।
अन्य गणनाओं में भी अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त की जाती हैं (और न केवल जड़ों को निकालते समय), वे ऋणात्मक होती हैं।
अपरिमेय संख्याओं के संबंध में, हम कह सकते हैं कि ऐसी संख्या द्वारा व्यक्त की गई लंबाई को मापने के लिए हम चाहे कोई भी इकाई खंड लें, हम निश्चित रूप से इसे नहीं माप सकते।
अंकगणितीय संक्रियाओं में, अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं के साथ भाग ले सकती हैं। इसी समय, कई नियमितताएं हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक अंकगणितीय संक्रिया में केवल परिमेय संख्याएँ शामिल हैं, तो परिणाम हमेशा एक परिमेय संख्या होता है। यदि केवल अपरिमेय संख्याएँ संक्रिया में भाग लेती हैं, तो स्पष्ट रूप से यह कहना असंभव है कि कोई परिमेय संख्या निकलेगी या अपरिमेय संख्या।
उदाहरण के लिए, यदि आप दो अपरिमेय संख्याओं √2 * √2 को गुणा करते हैं, तो आपको 2 प्राप्त होता है - यह एक परिमेय संख्या है। दूसरी ओर, 2 * 3 = √6 एक अपरिमेय संख्या है।
यदि एक अंकगणितीय संक्रिया में एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या शामिल है, तो एक अपरिमेय परिणाम प्राप्त होगा। उदाहरण के लिए, 1 + 3.14... = 4.14...; 17 - 4.
√17 - 4 एक अपरिमेय संख्या क्यों है? कल्पना कीजिए कि आपको एक परिमेय संख्या x प्राप्त होती है। तब 17 = x + 4. लेकिन x + 4 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि हमने मान लिया था कि x परिमेय संख्या है। संख्या 4 भी परिमेय है, इसलिए x + 4 परिमेय है। हालांकि, एक परिमेय संख्या अपरिमेय 17 के बराबर नहीं हो सकती है। इसलिए, यह धारणा कि √17 - 4 एक परिमेय परिणाम देता है, गलत है। अंकगणितीय संक्रिया का परिणाम अपरिमेय होगा।
हालाँकि, इस नियम का एक अपवाद है। यदि हम एक अपरिमेय संख्या को 0 से गुणा करते हैं, तो हमें एक परिमेय संख्या 0 प्राप्त होती है।
एक अपरिमेय संख्या की परिभाषा
अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं, जो दशमलव संकेतन में, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश हैं।
इसलिए, उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं का वर्गमूल लेकर प्राप्त संख्याएँ अपरिमेय होती हैं और प्राकृत संख्याओं का वर्ग नहीं होती हैं। लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ वर्गमूल निकालने से प्राप्त नहीं होती हैं, क्योंकि विभाजित करके प्राप्त की गई संख्या "pi" भी अपरिमेय होती है, और जब आप किसी प्राकृतिक संख्या से वर्गमूल निकालने का प्रयास करते हैं तो आपको इसे प्राप्त करने की संभावना नहीं होती है।
अपरिमेय संख्याओं के गुण
अनंत दशमलव अंशों में लिखी गई संख्याओं के विपरीत, गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंशों में केवल अपरिमेय संख्याएँ लिखी जाती हैं।
दो गैर-ऋणात्मक अपरिमेय संख्याओं का योग अंततः एक परिमेय संख्या हो सकती है।
अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं के समूह में डेडेकाइंड वर्गों को परिभाषित करती हैं, जिनमें निम्न वर्ग में कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है, और उच्च वर्ग में कोई छोटी संख्या नहीं होती है।
कोई भी वास्तविक पारलौकिक संख्या अपरिमेय होती है।
सभी अपरिमेय संख्याएँ या तो बीजीय या अनुवांशिक होती हैं।
रेखा पर अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय सघन रूप से भरा हुआ है, और इसकी किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होना तय है।
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अनंत, बेशुमार है और दूसरी श्रेणी का समुच्चय है।
परिमेय संख्याओं पर कोई अंकगणितीय संक्रिया करते समय, 0 से भाग देने के अलावा, उसका परिणाम एक परिमेय संख्या होगी।
एक परिमेय संख्या को एक अपरिमेय संख्या में जोड़ने पर, परिणाम हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।
अपरिमेय संख्याओं को जोड़ने पर, हम एक परिमेय संख्या प्राप्त कर सकते हैं।
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय सम नहीं होता है।
संख्याएं अपरिमेय नहीं हैं
कभी-कभी इस सवाल का जवाब देना काफी मुश्किल होता है कि क्या कोई संख्या अपरिमेय है, खासकर उन मामलों में जहां संख्या दशमलव अंश के रूप में है या संख्यात्मक अभिव्यक्ति, रूट या लॉगरिदम के रूप में है।
इसलिए, यह जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय नहीं हैं। यदि हम अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा का अनुसरण करते हैं, तो हम पहले से ही जानते हैं कि परिमेय संख्याएँ अपरिमेय नहीं हो सकती हैं।
अपरिमेय संख्याएँ नहीं हैं:
सबसे पहले, सभी प्राकृतिक संख्याएं;
दूसरा, पूर्णांक;
तीसरा, साधारण अंश;
चौथा, विभिन्न मिश्रित संख्याएँ;
पांचवां, ये अनंत आवर्त दशमलव भिन्न हैं।
उपरोक्त सभी के अलावा, परिमेय संख्याओं का कोई भी संयोजन जो अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों द्वारा किया जाता है, जैसे कि +, -, :, एक अपरिमेय संख्या नहीं हो सकता है, क्योंकि इस मामले में दो परिमेय संख्याओं का परिणाम भी होगा एक परिमेय संख्या हो।
अब देखते हैं कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं:
क्या आप एक फैन क्लब के अस्तित्व के बारे में जानते हैं जहां इस रहस्यमय गणितीय घटना के प्रशंसक पाई के बारे में अधिक से अधिक जानकारी की तलाश कर रहे हैं, इसके रहस्य को जानने की कोशिश कर रहे हैं। कोई भी व्यक्ति जो दशमलव बिंदु के बाद निश्चित संख्या में पाई संख्या जानता है, वह इस क्लब का सदस्य बन सकता है;
क्या आप जानते हैं कि जर्मनी में, यूनेस्को के संरक्षण में, कास्टडेल मोंटे महल है, जिसके अनुपात में आप पाई की गणना कर सकते हैं। राजा फ्रेडरिक द्वितीय द्वारा इस संख्या को एक पूरा महल समर्पित किया गया था।
यह पता चला है कि उन्होंने बाबेल की मीनार के निर्माण में पाई संख्या का उपयोग करने की कोशिश की थी। लेकिन हमारे बड़े अफसोस के कारण, यह परियोजना के पतन का कारण बना, क्योंकि उस समय पाई के मूल्य की सटीक गणना का पर्याप्त अध्ययन नहीं किया गया था।
गायिका केट बुश ने अपनी नई डिस्क में "पाई" नामक एक गीत रिकॉर्ड किया, जो प्रसिद्ध संख्या श्रृंखला 3, 141 से एक सौ चौबीस नंबरों पर बजता था ... ..
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