Anélkül, hogy tudnánk, hogyan kell egy törtet kicsinyíteni, és nem rendelkeznénk stabil készségekkel az ilyen példák megoldásában, nagyon nehéz az algebrát tanulni az iskolában. Minél tovább megy, annál jobban megzavarja a törtek csökkentésével kapcsolatos alapvető ismereteit. új információ. Először hatványok jelennek meg, majd faktorok, amelyek később polinomokká válnak.
Hogyan kerülheti el, hogy itt összezavarodjon? Alaposan megszilárdítsa a korábbi témákban szerzett készségeket, és fokozatosan készüljön fel a töredék csökkentésének ismeretére, amely évről évre bonyolultabbá válik.
Alap tudás
Ezek nélkül nem tudsz megbirkózni semmilyen szintű feladattal. Ahhoz, hogy megértsük, meg kell értened két egyszerű dolgot. Először is: csak a tényezőket csökkentheti. Ez az árnyalat nagyon fontosnak bizonyul, amikor polinomok szerepelnek a számlálóban vagy a nevezőben. Ezután világosan meg kell különböztetnie, hol van a szorzó és hol az összeadás.
A második pont azt mondja, hogy bármilyen szám ábrázolható faktorok formájában. Ráadásul a redukció eredménye egy olyan tört, amelynek számlálója és nevezője már nem csökkenthető.
A közönséges törtek csökkentésére vonatkozó szabályok
Először is ellenőrizni kell, hogy a számláló osztható-e a nevezővel, vagy fordítva. Akkor pontosan ezt a számot kell csökkenteni. Ez a legegyszerűbb lehetőség.
A második az elemzés kinézet számok. Ha mindkettő egy vagy több nullára végződik, akkor lerövidíthető 10, 100 vagy ezerrel. Itt láthatja, hogy a számok párosak-e. Ha igen, akkor nyugodtan vághatja kettővel.
A tört csökkentésének harmadik szabálya a számláló és a nevező prímtényezőkbe való beszámítása. Ebben az időben aktívan fel kell használnia minden tudását a számok oszthatóságának jeleiről. E felbontás után már csak az ismétlődőket kell megkeresni, megszorozni és a kapott számmal csökkenteni.
Mi van, ha egy törtben algebrai kifejezés van?
Itt jelentkeznek az első nehézségek. Mert itt jelennek meg a kifejezések, amelyek azonosak lehetnek a tényezőkkel. Nagyon szeretném csökkenteni őket, de nem tudom. Az algebrai tört csökkentése előtt át kell alakítani úgy, hogy faktorai legyenek.
Ehhez több lépést kell végrehajtania. Előfordulhat, hogy mindegyiket végig kell mennie, vagy talán az első kínál megfelelő lehetőséget.
Ellenőrizze, hogy a számláló és a nevező, vagy a bennük lévő bármely kifejezés előjelben különbözik-e. Ebben az esetben csak mínusz egyet kell zárójelbe tenni. Ez egyenlő tényezőket eredményez, amelyek csökkenthetők.
Nézze meg, lehetséges-e eltávolítani a közös tényezőt a polinomból a zárójelek között. Lehetséges, hogy ez zárójelet eredményez, ami szintén lerövidíthető, vagy egy eltávolított monom lesz.
Próbálja meg csoportosítani a monomokat, hogy aztán egy közös tényezőt adjon hozzájuk. Ezek után kiderülhet, hogy lesznek csökkenthető tényezők, vagy ismét megismétlődik a közös elemek zárójelezése.
Próbálja meg figyelembe venni a rövidített szorzóképleteket írásban. Segítségükkel a polinomokat könnyen faktorokká alakíthatja.
Hatványos törtekkel végzett műveletsor
Annak érdekében, hogy könnyen megértsük azt a kérdést, hogyan lehet egy töredéket csökkenteni a hatalommal, határozottan emlékeznie kell a velük végzett alapvető műveletekre. Ezek közül az első a hatáskörök megsokszorozásához kapcsolódik. Ebben az esetben, ha az alapok megegyeznek, a mutatókat hozzá kell adni.
A második a felosztás. Ismétlem, azoknál, akiknek ugyanaz az oka, a mutatókat le kell vonni. Ezenkívül le kell vonni az osztalékban lévő számból, és nem fordítva.
A harmadik a hatványozás. Ebben a helyzetben a mutatók megsokszorozódnak.
A sikeres csökkentés azt is megköveteli, hogy a teljesítményeket egyenlő alapokra csökkentsük. Vagyis látni, hogy négy az kettő négyzet. Vagy 27 - a három kocka. Mert a 9 négyzetes és a 3 kockás csökkentése nehéz. De ha az első kifejezést (3 2) 2-re alakítjuk, akkor a redukció sikeres lesz.
Ebben a leckében megvizsgáljuk egy tört alapvető tulajdonságát, megtudjuk, mely törtek egyenlők egymással. Megtanuljuk csökkenteni a törteket, meghatározni, hogy egy tört redukálható-e vagy sem, gyakorolni fogjuk a törtek csökkentését, és megtanuljuk, mikor kell kontrakciót használni és mikor nem.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias guessnda consequatur cupiditate, ex id minimum quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Ez az információ a regisztrált felhasználók számára elérhető
A tört fő tulajdonsága
Képzeld el ezt a helyzetet.
Az asztalnál 3 személy és 5 almák Ossza meg 5 alma háromra. Mindenki kap \(\mathbf(\frac(5)(3))\) almát.
És a szomszéd asztalnál 3 személy és is 5 almák Mindegyik újra \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
Összesen 10 almák 6 Emberi. Mindegyik \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
De ez ugyanaz.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Ezek a törtek egyenértékűek.
Megduplázhatja az emberek számát és megkétszerezheti az almát. Az eredmény ugyanaz lesz.
A matematikában így van megfogalmazva:
Ha egy tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk (nem egyenlő 0-val), akkor az új tört egyenlő lesz az eredetivel.
Ezt a tulajdonságot néha " tört fő tulajdonsága ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
Például az ösvény városból faluba - 14 km.
Végigsétálunk az úton, és kilométerjelzőkkel határozzuk meg a megtett távolságot. Hat oszlopot, hat kilométert megtettünk, megértjük, hogy \(\mathbf(\frac(6)(14))\) távolságot tettünk meg.
De ha nem látjuk az oszlopokat (lehet, hogy nem voltak felszerelve), akkor az út mentén lévő villanyoszlopok segítségével kiszámíthatjuk az utat. Az övék 40 darab minden kilométerre. Vagyis összesen 560 egészen. Hat kilométer - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) oszlopok. Vagyis túljutottunk 240 tól től 560 oszlopok-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
1. példa
Jelöljön ki egy pontot koordinátákkal ( 5; 7 ) a koordinátasíkon XOY. Ez a \(\mathbf(\frac(5)(7))\) törtnek felel meg.
Kössük össze a koordináták origóját a kapott ponttal. Szerkesszünk meg egy másik pontot, amelynek koordinátái kétszerese az előzőeknek. Milyen töredéket kaptál? Egyenrangúak lesznek?
Megoldás
A koordinátasíkon egy tört ponttal jelölhető. A \(\mathbf(\frac(5)(7))\ tört ábrázolásához jelölje meg a pontot a koordinátával 5 a tengely mentén YÉs 7 a tengely mentén x. Rajzoljunk egyenest az origótól a pontunkig.
A \(\mathbf(\frac(10)(14))\) törtnek megfelelő pont is ugyanabban az egyenesben lesz
Egyenértékűek: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Ez a cikk az algebrai törtek konvertálásának témáját folytatja: tekintsünk egy ilyen műveletet az algebrai törtek csökkentésének. Határozzuk meg magát a fogalmat, fogalmazzunk meg redukciós szabályt és elemezzünk gyakorlati példákat.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Az algebrai tört redukálásának jelentése
A közönséges törtekről szóló anyagokban megvizsgáltuk a redukcióját. A tört redukálását úgy határoztuk meg, hogy a számlálót és a nevezőt elosztjuk egy közös tényezővel.
Az algebrai tört redukálása hasonló művelet.
1. definíció
Algebrai tört redukálása számlálójának és nevezőjének közös tényezővel való osztása. Ebben az esetben, ellentétben a közönséges tört redukciójával (a közös nevező csak egy szám lehet), az algebrai tört számlálójának és nevezőjének közös tényezője lehet polinom, különösen monomiális vagy szám.
Például a 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 algebrai tört csökkenthető a 3-as számmal, ami a következőt kapja: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Ugyanezt a törtet csökkenthetjük az x változóval, és így a 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 kifejezést kapjuk. Lehetőség van egy adott tört monomiális csökkentésére is 3 x vagy bármelyik polinom x + 2 év, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ill 3 x 2 + 6 x y.
Az algebrai tört csökkentésének végső célja egy nagyobb tört, mint egyszerű típus, legjobb esetben is redukálhatatlan tört.
Minden algebrai tört redukálható?
A közönséges frakciókon lévő anyagokból ismét tudjuk, hogy vannak redukálható és irreducibilis törtek. Az irreducibilis törtek olyan törtek, amelyeknek a számlálójában és a nevezőjében az 1-en kívül nincs közös tényező.
Ugyanez a helyzet az algebrai törtekkel: lehet, hogy a számlálóban és a nevezőben vannak közös tényezők, vagy nem. A közös tényezők jelenléte lehetővé teszi az eredeti tört egyszerűsítését a redukció révén. Ha nincsenek közös tényezők, lehetetlen egy adott tört optimalizálása redukciós módszerrel.
BAN BEN általános esetekÁltal adott típus Egy töredék számára meglehetősen nehéz megérteni, hogy csökkenthető-e. Természetesen bizonyos esetekben nyilvánvaló egy közös tényező jelenléte a számláló és a nevező között. Például a 3 x 2 3 y algebrai törtben teljesen egyértelmű, hogy a közös tényező a 3.
Az - x · y 5 · x · y · z 3 törtből azt is azonnal megértjük, hogy csökkenthető x-szel, y-val vagy x · y-val. És mégis, sokkal gyakrabban vannak példák az algebrai törtekre, amikor a számláló és a nevező közös tényezője nem olyan könnyen látható, sőt gyakrabban egyszerűen hiányzik.
Például csökkenthetjük az x 3 - 1 x 2 - 1 törtet x - 1-gyel, miközben a megadott közös tényező nem szerepel a bejegyzésben. De az x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 tört nem csökkenthető, mivel a számlálónak és a nevezőnek nincs közös tényezője.
Így egy algebrai tört redukálhatóságának meghatározása nem olyan egyszerű, és sokszor könnyebb egy adott alak törtével dolgozni, mint megkeresni, hogy reducálható-e. Ebben az esetben olyan átalakítások mennek végbe, amelyek adott esetben lehetővé teszik a számláló és a nevező közös tényezőjének meghatározását, vagy a tört irreducibilitására vonatkozó következtetés levonását. Ezt a kérdést a cikk következő bekezdésében részletesen megvizsgáljuk.
Az algebrai törtek csökkentésének szabálya
Az algebrai törtek csökkentésének szabálya két egymást követő műveletből áll:
- a számláló és a nevező közös tényezőinek megtalálása;
- ha ilyeneket találunk, a frakció csökkentését közvetlenül hajtjuk végre.
A közös nevezők megtalálásának legkényelmesebb módja egy adott algebrai tört számlálójában és nevezőjében lévő polinomok faktorizálása. Ez lehetővé teszi, hogy azonnal világosan láthassa a közös tényezők jelenlétét vagy hiányát.
Az algebrai tört redukálásának művelete egy algebrai tört fő tulajdonságán alapul, amelyet a definiálatlan egyenlőség fejez ki, ahol a, b, c néhány polinom, b és c pedig nem nulla. Első lépésként a törtet a · c b · c alakra redukáljuk, amelyben azonnal észrevesszük a c közös tényezőt. A második lépés a redukció végrehajtása, azaz. átmenet az a b alak törtrészére.
Tipikus példák
Némi nyilvánvalóság ellenére tisztázzuk kb különleges eset amikor egy algebrai tört számlálója és nevezője egyenlő. A hasonló törtek azonosak 1-gyel ennek a törtnek a változóinak teljes ODZ-jén:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Mert a közönséges törtek Az algebrai törtek speciális esetei, emlékezzünk vissza, hogyan történik a redukciójuk. A számlálóba és nevezőbe írt természetes számok prímtényezőkké kerülnek be, majd a közös tényezők (ha vannak) törlődnek.
Például 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Az egyszerű azonos tényezők szorzata hatványként írható fel, és a tört redukálása során használhatjuk az azonos bázisú hatványok osztó tulajdonságát. Akkor a fenti megoldás a következő lenne:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(a számláló és a nevező osztva egy közös tényezővel 2 2 3). Vagy az érthetőség kedvéért a szorzás és osztás tulajdonságai alapján a következő formát adjuk a megoldásnak:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Analógia útján az algebrai törtek redukcióját hajtjuk végre, amelyben a számlálónak és a nevezőnek egész együtthatós monomija van.
1. példa
Az algebrai tört adott - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Csökkenteni kell.
Megoldás
Egy adott tört számlálóját és nevezőjét egyszerű tényezők és változók szorzataként felírhatjuk, majd elvégezhetjük a csökkentést:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Racionálisabb módszer azonban az lenne, ha a megoldást olyan kifejezésként írnánk le, amely hatványokkal rendelkezik:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Válasz:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Ha egy algebrai tört számlálója és nevezője tört numerikus együtthatókat tartalmaz, két lehetséges további lépés lehetséges: vagy külön osztjuk el ezeket a törtegyütthatókat, vagy először megszabadulunk a törtegyütthatóktól úgy, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozzuk egy bizonyos értékkel. természetes szám. Az utolsó transzformációt egy algebrai tört alapvető tulajdonsága miatt hajtják végre (erről olvashat az „Algebrai tört redukálása új nevezőre” című cikkben).
2. példa
A megadott tört 2 5 x 0, 3 x 3. Csökkenteni kell.
Megoldás
A tört csökkentése a következőképpen lehetséges:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Próbáljuk meg másképpen megoldani a problémát, miután először megszabadultunk a törtegyütthatóktól - szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ezen együtthatók nevezőinek legkisebb közös többszörösével, azaz. LCM-en (5, 10) = 10. Akkor kapjuk:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.
Válasz: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Amikor az algebrai törteket redukáljuk Általános nézet, amelyben a számlálók és nevezők lehetnek monomiálisok vagy polinomok, akkor lehet probléma, ha a közös tényező nem mindig látható azonnal. Vagy ráadásul egyszerűen nem létezik. Ezután a közös tényező meghatározásához vagy a hiánya tényének rögzítéséhez az algebrai tört számlálóját és nevezőjét faktoráljuk.
3. példa
A racionális tört 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Csökkenteni kell.
Megoldás
Vegyük figyelembe a polinomokat a számlálóban és a nevezőben. Tegyük zárójelbe:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Látjuk, hogy a zárójelben lévő kifejezés rövidített szorzóképletekkel konvertálható:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Jól látható, hogy lehetséges egy töredéket egy közös tényezővel csökkenteni b 2 (a + 7). Csináljunk egy csökkentést:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Írjunk egy rövid magyarázat nélküli megoldást egyenlőségláncként:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Válasz: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Előfordul, hogy a közös tényezőket numerikus együtthatók rejtik el. Ekkor a törtek kicsinyítésekor optimális a számláló és a nevező nagyobb hatványán lévő számtényezőket zárójelbe tenni.
4. példa
Adott az 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 algebrai tört. Lehetőség szerint csökkenteni kell.
Megoldás
Első pillantásra a számlálónak és a nevezőnek nincs közös nevezője. Azonban próbáljuk meg átváltani a megadott törtet. Vegyük ki a számlálóból az x tényezőt:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 év - 3 1 2
Most már láthat némi hasonlóságot a zárójelben lévő kifejezés és a nevezőben lévő kifejezés között x 2 y miatt . Vegyük ki ezeknek a polinomoknak a nagyobb hatványainak numerikus együtthatóit:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Most láthatóvá válik a közös tényező, végrehajtjuk a redukciót:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Válasz: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Hangsúlyozzuk, hogy a racionális törtek redukálásának készsége a polinomok faktorálási képességétől függ.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Elérkeztünk tehát a csökkentéshez. Itt a tört alapvető tulajdonságát alkalmazzuk. DE! Nem olyan egyszerű. Sok törttel (beleértve az iskolai kurzusból származókat is) teljesen meg lehet boldogulni velük. Mi van, ha olyan törteket veszünk, amelyek „hirtelenebbek”? Nézzük meg közelebbről! Azt javaslom, hogy a törtekkel rendelkező anyagokat nézze meg.Tehát már tudjuk, hogy a tört számlálója és nevezője szorozható és osztható ugyanazzal a számmal, a tört nem fog változni. Nézzünk három megközelítést:
Közelítsd meg az egyiket.
A csökkentéshez osszuk el a számlálót és a nevezőt ezzel közös osztó. Nézzünk példákat:
Rövidítsük le:
A megadott példákban azonnal látjuk, hogy mely osztókat vegyük redukcióhoz. A folyamat egyszerű - végigmegyünk a 2, 3, 4, 5 és így tovább. A legtöbb iskolai kurzus példájában ez teljesen elég. De ha töredék:
Itt az osztók kiválasztásának folyamata sokáig tarthat;). Természetesen az ilyen példák kívül esnek az iskolai tananyagon, de meg kell birkózni velük. Az alábbiakban megnézzük, hogyan történik ez. Egyelőre térjünk vissza a létszámcsökkentési folyamathoz.
Mint fentebb tárgyaltuk, a tört csökkentése érdekében elosztottuk az általunk meghatározott közös osztó(k)kal. Minden helyes! Csak a számok oszthatóságának jeleit kell hozzáadni:
- ha a szám páros, akkor osztható 2-vel.
- ha egy szám az utolsó két számjegyből osztható 4-gyel, akkor maga a szám osztható 4-gyel.
— ha a számot alkotó számjegyek összege osztható 3-mal, akkor maga a szám osztható 3-mal. Például 125031, 1+2+5+0+3+1=12. A tizenkettő osztható 3-mal, így az 123031 osztható 3-mal.
- ha a szám 5-re vagy 0-ra végződik, akkor a szám osztható 5-tel.
— ha a számot alkotó számjegyek összege osztható 9-cel, akkor maga a szám osztható 9-cel. Például 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Tizennyolc osztható 9-cel, ami azt jelenti, hogy 623032 osztható 9-cel.
Második megközelítés.
Röviden fogalmazva, az egész művelet a számláló és a nevező faktorálásából, majd a számlálóban és a nevezőben egyenlő tényezők csökkentéséből áll (ez a megközelítés az első megközelítés következménye):
Vizuálisan a zavar és a hibák elkerülése érdekében az egyenlő tényezőket egyszerűen áthúzzák. Kérdés – hogyan lehet egy számot faktorálni? Minden osztót kereséssel kell meghatározni. Ez egy külön téma, nem bonyolult, nézz utána a tankönyvben vagy az interneten az információknak. Az iskolai törtekben jelenlévő faktorszámokkal nem fog nagy problémát okozni.
Formálisan a redukciós elv a következőképpen írható fel:
Megközelítés hármas.
Itt van a legérdekesebb a haladóknak és azoknak, akik azzá szeretnének válni. Csökkentsük a törtet 143/273. Próbáld ki magad! Nos, hogy történt ez gyorsan? Most nézz!
Megfordítjuk (cseréljük a számláló és a nevező helyét). A kapott törtet elosztjuk egy sarokkal, és vegyes számmá alakítjuk, azaz kijelöljük a teljes részt:
Máris könnyebb. Látjuk, hogy a számláló és a nevező 13-mal csökkenthető:
Most ne felejtsd el visszafordítani a törtet, írjuk fel a teljes láncot:
Ellenőrzött – kevesebb időt vesz igénybe, mint az osztók átkutatása és ellenőrzése. Térjünk vissza a két példánkhoz:
Első. Sarokkal osztva (nem számológépen) kapjuk:
Ez a töredék persze egyszerűbb, de a redukció megint probléma. Most külön elemezzük az 1273/1463 frakciót, és megfordítjuk:
Itt könnyebb. Tekinthetünk olyan osztót, mint a 19. A többi nem megfelelő, ez egyértelmű: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurrá! Írjuk fel:
Következő példa. Rövidítsük le a 88179/2717-et.
Osztva kapjuk:
Külön elemezzük az 1235/2717 frakciót, és megfordítjuk:
Tekinthetünk olyan osztót, mint például a 13 (legfeljebb 13 nem megfelelő):
Számláló 247:13=19 Nevező 1235:13=95
*A folyamat során egy másik osztót láttunk, amely egyenlő 19-cel. Kiderült, hogy:
Most írjuk fel az eredeti számot:
És nem számít, mi a nagyobb a törtben - a számláló vagy a nevező, ha ez a nevező, akkor megfordítjuk, és a leírtak szerint járunk el. Így tetszőleges törtet csökkenthetünk, a harmadik megközelítést univerzálisnak nevezhetjük.
Természetesen a fent tárgyalt két példa nem egyszerű példa. Próbáljuk ki ezt a technológiát az „egyszerű” törtrészeken, amelyeket már figyelembe vettünk:
Két negyed.
Hetvenkét hatvanas évek. A számláló nagyobb, mint a nevező, nem kell megfordítani:
Természetesen a harmadik megközelítést az ilyen egyszerű példákra egyszerűen alternatívaként alkalmazták. A módszer, mint már említettük, univerzális, de nem kényelmes és helyes minden frakcióra, különösen az egyszerűekre.
A frakciók sokfélesége nagy. Fontos, hogy megértse az elveket. Egyszerűen nincs szigorú szabály a törtekkel való munkavégzésre. Megnéztük, kitaláltuk, hogyan lenne kényelmesebb cselekedni, és haladtunk előre. Gyakorlással jön a készség, és feltöröd őket, mint a magokat.
Következtetés:
Ha a számláló és a nevező közös osztóját látja, használja őket a csökkentéshez.
Ha tudja, hogyan kell gyorsan faktorozni egy számot, akkor faktorálja a számlálót és a nevezőt, majd csökkentse.
Ha nem tudja meghatározni a közös osztót, használja a harmadik megközelítést.
*A törtek csökkentéséhez fontos a redukció elveinek elsajátítása, a tört alapvető tulajdonságának megértése, a megoldási megközelítések ismerete, valamint a számítások végzésekor rendkívül óvatosnak kell lenni.
És emlékezz! Törtet addig szokás csökkenteni, amíg meg nem áll, vagyis addig redukálják, amíg van közös osztó.
Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh.
Alapvető tulajdonságukon alapul: ha egy tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla polinommal osztjuk el, akkor egyenlő törtet kapunk.
Csak a szorzót csökkentheti!
A polinomok tagjai nem rövidíthetők!
Az algebrai tört csökkentéséhez először a számlálóban és a nevezőben lévő polinomokat faktorizálni kell.
Nézzünk példákat a törtek csökkentésére.
A tört számlálója és nevezője monomokat tartalmaz. Ők képviselik munka(számok, változók és hatványaik), szorzók csökkenthetjük.
A számokat a legnagyobb közös osztójukkal csökkentjük, azaz -vel legnagyobb szám, amellyel ezek a számok mindegyike el van osztva. 24 és 36 esetén ez 12. A csökkentés után 2 marad a 24-ből, és a 3 a 36-ból.
A fokokat a legalacsonyabb indexű fokkal csökkentjük. A tört csökkentése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt elosztjuk ugyanazzal az osztóval, és kivonjuk a kitevőket.
a² és a⁷ a²-re redukálódnak. Ebben az esetben egy marad az a² számlálójában (csak abban az esetben írunk 1-et, ha redukció után nem marad más tényező. 24-ből 2 marad, tehát a²-ből nem írunk 1-et). A7-ből a redukció után a5 marad.
b-t és b-t b-vel csökkentjük, a kapott egységeket nem írjuk le.
c3º és c5 lerövidül c5-re. Ami a c³º-ból megmarad, az c²⁵, a c⁵-ből egy (nem írjuk). És így,
Ennek az algebrai törtnek a számlálója és nevezője polinomok. Nem törölheti a polinomok feltételeit! (nem csökkentheti pl. 8x² és 2x!). Ennek a törtrésznek a csökkentéséhez szükséges. A számláló közös tényezője 4x. Vegyük ki a zárójelből:
A számlálónak és a nevezőnek is ugyanaz a tényezője (2x-3). Ezzel a tényezővel csökkentjük a törtet. A számlálóban 4x-et kaptunk, a nevezőben - 1-et. Az algebrai törtek 1 tulajdonsága szerint a tört egyenlő 4x-tel.
Csak a tényezőket csökkentheti (ezt a törtet nem csökkentheti 25x²-el!). Ezért a tört számlálójában és nevezőjében szereplő polinomokat faktorizálni kell.
A számláló az összeg teljes négyzete, a nevező a négyzetek különbsége. A rövidített szorzási képletekkel végzett bontás után a következőket kapjuk:
A törtet csökkentjük (5x+1) (ehhez a számlálóban kitevőként húzzuk ki a kettőt, így marad (5x+1)² (5x+1)):
A számláló közös tényezője 2, ezt vegyük ki a zárójelből. A nevező a kockák különbségének képlete:
A bővítés eredményeként a számláló és a nevező azonos tényezőt kapott (9+3a+a²). Ezzel csökkentjük a törtet:
A számlálóban lévő polinom 4 tagból áll. az első tagot a másodikkal, a harmadikat a negyedikkel, és távolítsa el az x² közös tényezőt az első zárójelekből. A nevezőt a kockaösszeg képlettel bontjuk:
A számlálóban vegyük ki a közös tényezőt (x+2) a zárójelekből:
Csökkentse a törtet (x+2-vel):
Betöltés...