Ebben a leckében megvizsgáljuk a különböző exponenciális egyenlőtlenségeket, és megtanuljuk, hogyan lehet azokat megoldani a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldásának módszertana alapján
1. Az exponenciális függvény meghatározása és tulajdonságai
Emlékezzünk az exponenciális függvény definíciójára és alapvető tulajdonságaira. Az összes exponenciális egyenlet és egyenlőtlenség megoldása a tulajdonságokon alapul.
Exponenciális függvény- a forma függvénye, ahol a fok alapja és Itt x független változó, érv; y - függő változó, függvény.
Rizs. 1. Exponenciális függvénygráf
A grafikon növekvő és csökkenő kitevőket mutat, illusztrálva az exponenciális függvényt, ha az alap nagyobb, mint egy, és kevesebb, mint egy, de nagyobb, mint nulla.
Mindkét görbe áthalad a ponton (0; 1)
Exponenciális függvénytulajdonságok:
Tartomány: ;
Értéktartomány :;
A funkció monoton, ahogy nő, ahogy csökken.
A monoton függvény minden értékét egyetlen argumentumértéknek veszi.
Amikor, amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény nulláról nem inkluzív módon plusz végtelenre nő, vagyis az argumentum adott értékeihez monoton növekvő függvényünk van (). Ellenkezőleg, amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény a végtelenről nullára csökken, nem befogadó, vagyis az argumentum adott értékeihez monoton csökkenő függvényünk van ().
2. A legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek, megoldási technika, példa
A fentiek alapján bemutatunk egy technikát a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldására:
Az egyenlőtlenségek megoldásának módszertana:
Kiegyenlítse a fokok alapjait;
Hasonlítsa össze az indikátorokat, az egyenlőtlenség ellenkező jelére tartva vagy váltva.
Az összetett exponenciális egyenlőtlenségek megoldása általában a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségekre való csökkentésben áll.
A fok alapja nagyobb, mint egy, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség jele marad:
A jobb oldalt átalakítjuk a fokozat tulajdonságai szerint:
A fok alapja kevesebb, mint egy, az egyenlőtlenségi jelet meg kell fordítani:
A másodfokú egyenlőtlenség megoldásához megoldjuk a megfelelő másodfokú egyenletet:
Vieta tétele alapján megtaláljuk a gyökereket:
A parabola ágai felfelé irányulnak.
Így van megoldás az egyenlőtlenségre:
Könnyű kitalálni, hogy a jobb oldal nulla kitevőjű hatványként ábrázolható:
A fok alapja nagyobb, mint egy, az egyenlőtlenség jele nem változik, így kapjuk:
Emlékezzünk az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának technikájára.
Vegyünk egy töredékes racionális függvényt:
Megtaláljuk a definíció tartományát:
Keresse meg a függvény gyökereit:
A függvénynek egyetlen gyökere van, 
Kiválasztjuk az állandó előjelű intervallumokat, és minden intervallumban meghatározzuk a függvény előjeleit:
Rizs. 2. Az állandóság intervallumai
Tehát megkaptuk a választ.
Válasz: 
3. Tipikus exponenciális egyenlőtlenségek megoldása
Tekintsük az egyenlőtlenségeket azonos mutatókkal, de különböző alapokkal.
Az exponenciális függvény egyik tulajdonsága, hogy szigorúan pozitív értékeket vesz fel az argumentum bármely értékére, ami azt jelenti, hogy exponenciális függvényre osztható. Osszuk el az adott egyenlőtlenséget a jobb oldalával:
A fok bázisa nagyobb, mint egy, az egyenlőtlenség jele megmarad.
Illusztráljuk a megoldást:
A 6.3 ábra a függvények grafikonjait és. Nyilvánvaló, hogy ha az argumentum nagyobb, mint a nulla, akkor a függvény grafikonja magasabb, ez a függvény nagyobb. Ha az argumentumértékek negatívak, a függvény lemegy, kevesebb. Ha az argumentum értéke egyenlő, akkor a függvények egyenlőek, ami azt jelenti, hogy ez a pont az adott egyenlőtlenség megoldása is.
Rizs. 3. Illusztráció például 4
Az adott egyenlőtlenséget a fok tulajdonságai szerint alakítjuk át:
Itt vannak hasonló kifejezések:
Osszuk fel mindkét részt a következőkre:
Most a 4. példához hasonlóan folytatjuk a megoldást, osszuk fel mindkét részt:
A diploma alapja egynél nagyobb, az egyenlőtlenség jele marad:
4. Az exponenciális egyenlőtlenségek grafikus megoldása
6. példa - Oldja meg az egyenlőtlenséget grafikusan:
Tekintsük a bal és jobb oldali függvényeket, és rajzoljunk grafikont mindegyikről.
A függvény exponenciális, a definíció teljes tartományán, azaz az argumentum minden valós értékén növekszik.
A függvény lineáris, csökken a definíció teljes tartományában, vagyis az argumentum minden valós értékén.
Ha ezek a funkciók átfedik egymást, vagyis a rendszernek van megoldása, akkor az ilyen megoldás egyedi és könnyen kitalálható. Ennek érdekében egész számok között iterálunk ()
Könnyen belátható, hogy a rendszer gyökere a következő:
Így a függvények grafikonjai egy ponton metszik egymást egy egyenlő argumentummal.
Most választ kell kapnunk. Az adott egyenlőtlenség jelentése az, hogy a kitevőnek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie a lineáris függvénnyel, azaz magasabbnak kell lennie, vagy egybe kell esnie vele. A nyilvánvaló válasz: (6.4. Ábra)
Rizs. 4. Illusztráció például 6
Tehát megvizsgáltuk a különböző tipikus exponenciális egyenlőtlenségek megoldását. Ezután rátérünk a bonyolultabb exponenciális egyenlőtlenségek figyelembevételére.
Bibliográfia
Mordkovich A. G. Algebra és a matematikai elemzés alapelvei. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra és a matematikai elemzés elvei. - M.: Túzok. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra és a matematikai elemzés elvei. - M.: Oktatás.
Math. md. Matematika-ismétlés. com. Diffur. kemsu. ru.
Házi feladat
1. Algebra és az elemzés kezdete, 10-11. Évfolyam (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, 472., 473. sz .;
2. Oldja meg az egyenlőtlenséget:
3. Oldja meg az egyenlőtlenséget.
Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek azok az egyenletek és egyenlőtlenségek, amelyekben az ismeretlen a kitevőben található.
Az exponenciális egyenletek megoldása gyakran redukálódik az a x = a b egyenlet megoldására, ahol a> 0 és ≠ 1, x ismeretlen. Ennek az egyenletnek egyedi x = b gyöke van, mivel a következő tétel igaz:
Tétel. Ha a> 0, a ≠ 1 és a x 1 = a x 2, akkor x 1 = x 2.
Indokoljuk meg a megfontolt állítást.
Tegyük fel, hogy az x 1 = x 2 egyenlőség nem áll fenn, azaz x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, akkor az y = ax exponenciális függvény nő, és ezért az a x 1 egyenlőtlenség< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Mindkét esetben ellentmondást kaptunk az a x 1 = a x 2 feltétellel.
Tekintsünk több feladatot.
Oldja meg a 4 ∙ 2 x = 1 egyenletet.
Megoldás.
Az egyenletet 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 formában írjuk fel, ahonnan x + 2 = 0 kapunk, azaz x = -2.
Válasz. x = -2.
Oldja meg a 2 3x ∙ 3 x = 576 egyenletet.
Megoldás.
Mivel 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, az egyenlet 8 x ∙ 3 x = 24 2 vagy 24 x = 24 2 formában írható fel.
Tehát x = 2 lesz.
Válasz. x = 2.
Oldja meg a 3 x + 1 - 2 ∙ 3 x - 2 = 25 egyenletet.
Megoldás.
Ha a bal oldali zárójelekből kivesszük a 3 x - 2 közös tényezőt, akkor 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,
honnan 3 x - 2 = 1, azaz x - 2 = 0, x = 2.
Válasz. x = 2.
Oldja meg a 3x egyenletet = 7x.
Megoldás.
Mivel 7 x ≠ 0, az egyenletet 3 x / 7 x = 1 alakban írhatjuk, ahonnan (3/7) x = 1, x = 0.
Válasz. x = 0.
Oldja meg a 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0 egyenletet.
Megoldás.
A 3 x = a helyettesítésével ez az egyenlet az a 2 - 4a - 45 = 0 másodfokú egyenletre csökken.
Ezt az egyenletet megoldva megtaláljuk a gyökereit: a 1 = 9, a 2 = -5, ahonnan 3 x = 9, 3 x = -5.
A 3 x = 9 egyenlet gyöke 2, a 3 x = -5 egyenletnek nincs gyökere, mivel az exponenciális függvény nem vehet fel negatív értékeket.
Válasz. x = 2.
Az exponenciális egyenlőtlenségek megoldása gyakran a x> a b vagy a x egyenlőtlenségek megoldására redukálódik< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Tekintsünk néhány feladatot.
3 x egyenlőtlenség megoldása< 81.
Megoldás.
Az egyenlőtlenséget 3 x alakban írjuk fel< 3 4 . Так как 3 >1, akkor az y = 3 x függvény növekszik.
Ezért x -hez< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Így x -re< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Válasz. NS< 4.
Oldja meg az egyenlőtlenséget 16 x +4 x - 2> 0.
Megoldás.
Jelöljük 4 x = t, akkor megkapjuk a t2 + t - 2> 0 négyzet egyenlőtlenséget.
Ez az egyenlőtlenség t< -2 и при t > 1.
Mivel t = 4 x, két egyenlőtlenséget kapunk 4 x< -2, 4 х > 1.
Az első egyenlőtlenségnek nincs megoldása, mivel 4 x> 0 minden x ∈ R esetén.
A második egyenlőtlenséget 4 x> 4 0 alakban írjuk, ahonnan x> 0.
Válasz. x> 0.
Oldja meg az (1/3) egyenletet x = x - 2/3 grafikusan.
Megoldás.
1) Konstruáljuk meg az y = (1/3) x és y = x - 2/3 függvények grafikonjait.
2) Ábránk alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy a figyelembe vett függvények grafikonjai egy pontban metszik egymást az abszcisszával x The 1. Az ellenőrzés azt bizonyítja, hogy
x = 1 - ennek az egyenletnek a gyöke:
(1/3) 1 = 1/3 és 1 - 2/3 = 1/3.
Más szóval megtaláltuk az egyenlet egyik gyökerét. 
3) Keressünk más gyökereket, vagy bizonyítsuk be, hogy nincsenek. Az (1/3) x függvény csökken, az y = x - 2/3 függvény pedig növekszik. Ezért x> 1 esetén az első függvény értéke kisebb, mint 1/3, a második pedig több mint 1/3; x -en< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 és x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Válasz. x = 1.
Megjegyezzük, hogy a probléma megoldásából különösen az következik, hogy az (1/3) x> x - 2/3 egyenlőtlenség érvényes x -re< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásával, a forrás hivatkozása szükséges.
Sokan azt gondolják, hogy az exponenciális egyenlőtlenségek annyira összetettek és érthetetlenek. És hogy ezek megoldásának megtanulása szinte nagy művészet, amelyet csak a Kiválasztottak képesek megérteni ...
Teljes hülyeség! A példa nélküli egyenlőtlenségek egyszerűek. És mindig egyszerűen megoldják. Na, majdnem mindig. :)
Ma ezt a témát elemezzük kívül -belül. Ez a lecke nagyon hasznos lesz azok számára, akik még csak most kezdik megérteni az iskolai matematika ezen szakaszát. Kezdjük az egyszerű problémákkal, és térjünk át a bonyolultabb kérdésekre. Ma nem lesz bádog, de amit most olvas, az elegendő lesz az egyenlőtlenségek nagy részének feloldásához bármilyen ellenőrzési és önálló munkában. És ezen az egységes államvizsgán is.
Mint mindig, kezdjük a definícióval. Exponenciális egyenlőtlenség minden olyan egyenlőtlenség, amely exponenciális függvényt tartalmaz. Más szóval, mindig csökkenthető a forma egyenlőtlenségére
\ [((a) ^ (x)) \ gt b \]
Ahol $ b $ szerepe lehet egy közönséges szám, vagy talán valami nehezebb. Példák? Igen, kérem:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \ gt 4; \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \ négy ((2) ^ ((((x)) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))). \\\ vége (igazítás) \]
Azt hiszem, a jelentés világos: van egy $ ((a) ^ (x)) $ exponenciális függvény, összehasonlítjuk valamivel, majd megkérjük, hogy keressen $ x $. Különösen klinikai esetekben a $ x $ változó helyett valamilyen $ f \ left (x \ right) $ függvényt helyezhetnek el, és ezáltal kissé bonyolítják az egyenlőtlenséget. :)
Természetesen bizonyos esetekben az egyenlőtlenség súlyosabbnak tűnhet. Például:
\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]
Vagy akár ezt:
Általában az ilyen egyenlőtlenségek összetettsége nagyon eltérő lehet, de végül mégis egyszerű konstrukcióra redukálódnak $ ((a) ^ (x)) \ gt b $. És valahogy kitaláljuk egy ilyen konstrukcióval (különösen klinikai esetekben, amikor semmi sem jut eszünkbe, a logaritmusok segítenek nekünk). Ezért most megtanítjuk, hogyan kell megoldani az ilyen egyszerű konstrukciókat.
A legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldása
Gondoljunk egy egészen egyszerű dologra. Például ezt:
\ [((2) ^ (x)) \ gt 4 \]
Nyilvánvaló, hogy a jobb oldali szám átírható kettő hatványaként: $ 4 = ((2) ^ (2)) $. Így az eredeti egyenlőtlenség nagyon kényelmes formában írható át:
\ [((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]
És most a kezek viszketnek, hogy "áthúzzák" a kettőt a fokok alapjaiban, hogy megkapják a választ $ x \ gt 2 $. De mielőtt bármit is áthúznánk, emlékezzünk kettő erejére:
\ [((2) ^ (1)) = 2; \ quad ((2) ^ (2)) = 4; \ quad ((2) ^ (3)) = 8; \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16; ... \]
Mint látható, minél nagyobb a szám a kitevőben, annál nagyobb a kimeneti szám. - Köszönöm, Cap! Az egyik diák felkiált. Van ez másképp? Sajnos előfordul. Például:
\ [((\ bal (\ frac (1) (2) \ jobb)) ^ (1)) = \ frac (1) (2); \ quad ((\ bal (\ frac (1) (2) \ jobb)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ bal (\ frac (1) (2) \ jobb)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 ); ... \]
Itt is minden logikus: minél nagyobb a fok, annál többször szorozzuk meg a 0,5 -ös számot (azaz felezzük). Így a kapott számsor csökken, és az első és a második sorozat közötti különbség csak az alapban van:
- Ha a diploma alapja $ a \ gt 1 $, akkor a $ n $ kitevő növekedésével a $ ((a) ^ (n)) $ szám is növekedni fog;
- Ezzel szemben, ha $ 0 \ lt a \ lt 1 $, akkor a $ n $ kitevő növekedésével a $ ((a) ^ (n)) $ szám csökken.
Ezeket a tényeket összefoglalva megkapjuk a legfontosabb állítást, amelyen az exponenciális egyenlőtlenségek teljes megoldása alapul:
Ha $ a \ gt 1 $, akkor a $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ egyenlőtlenség egyenlő a $ x \ gt n $ egyenlőtlenséggel. Ha $ 0 \ lt a \ lt 1 $, akkor a $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ egyenlőtlenség egyenlő a $ x \ lt n $ egyenlőtlenséggel.
Más szóval, ha az alap nagyobb, mint egy, egyszerűen eltávolíthatja - az egyenlőtlenség nem változik. És ha az alap kisebb egynél, akkor azt is el lehet távolítani, de ebben az esetben az egyenlőtlenség jelét is meg kell változtatni.
Kérjük, vegye figyelembe: nem vettük figyelembe a $ a = 1 $ és a $ a \ le 0 $ lehetőségeket. Mert ezekben az esetekben bizonytalanság merül fel. Tegyük fel, hogyan lehet megoldani egy olyan egyenlőtlenséget, mint $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $? Bármelyik fokozat ismét egyet ad - soha nem kapunk hármat vagy többet. Azok. nincsenek megoldások.
Ez még érdekesebb negatív okok miatt. Vegyük például ezt az egyenlőtlenséget:
\ [((\ \ bal (-2 \ jobb)) ^ (x)) \ gt 4 \]
Első pillantásra minden egyszerű:
Jobb? De nem! Elég, ha helyettesíted a $ x $ pár páros és pár páratlan számot, hogy megbizonyosodj arról, hogy a megoldás rossz. Nézd meg:
\ [\ begin (align) & x = 4 \ Rightarrow ((\ bal (-2 \ jobb)) ^ (4)) = 16 \ gt 4; \\ & x = 5 \ Jobbra mutató nyíl ((\ \ bal (-2 \ jobb)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4; \\ & x = 6 \ Jobbra mutató nyíl ((\ bal (-2 \ jobb)) ^ (6)) = 64 \ gt 4; \\ & x = 7 \ Jobbra mutató nyíl ((\ \ bal (-2 \ jobb)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \\\ vége (igazítás) \]
Mint látható, a jelek váltakoznak. De még mindig vannak törtfokozatok és egyéb ón. Például hogyan rendelheti meg, hogy olvassa el a $ ((\ bal (-2 \ jobb)) ^ (\ sqrt (7))) $ (mínusz kettő a hét erejéig) szöveget? Semmiképpen!
Ezért a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy minden exponenciális egyenlőtlenségben (és egyébként egyenletekben is) $ 1 \ ne a \ gt 0 $. És akkor minden nagyon egyszerűen megoldódik:
\ [((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Jobbra mutató nyíl \ balra [\ start (igazítás) & x \ gt n \ quad \ left (a \ gt 1 \ right), \\ & x \ lt n \ quad \ left (0 \ lt a \ lt 1 \ right). \\\ vége (igazítás) \ jobbra. \]
Általában ismét emlékezzen a fő szabályra: ha az exponenciális egyenlet bázisa nagyobb, mint egy, egyszerűen eltávolíthatja; és ha az alap kisebb egynél, azt is el lehet távolítani, de az egyenlőtlenség jele megváltozik.
Megoldási példák
Vegyünk tehát néhány egyszerű exponenciális egyenlőtlenséget:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \\ & ((2) ^ ((((x)) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ vége (igazítás) \]
Az elsődleges feladat minden esetben ugyanaz: az egyenlőtlenségek csökkentése a legegyszerűbb $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ formára. Pontosan ezt fogjuk most tenni minden egyenlőtlenséggel, ugyanakkor megismételjük a fokok és az exponenciális függvény tulajdonságait. Akkor gyerünk!
\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]
Mit lehet itt tenni? Nos, a bal oldalon már van egy leleplező kifejezésünk - semmit nem kell megváltoztatni. De a jobb oldalon van valami baromság: tört, sőt gyökér a nevezőben!
Emlékezzünk azonban a törtekkel és hatványokkal való munka szabályaira:
\ [\ begin (align) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)); \\ & \ sqrt [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ vége (igazítás) \]
Mit jelent? Először is könnyen megszabadulhatunk a törttől, ha negatív kitevőjű hatványgá alakítjuk. Másodszor, mivel a nevezőnek gyökere van, jó lenne azt is hatalommá alakítani - ezúttal töredékes kitevővel.
Ezeket a műveleteket egymás után alkalmazzuk az egyenlőtlenség jobb oldalára, és meglátjuk, mi történik:
\ [\ frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ bal (\ sqrt (2) \ jobb)) ^ (- 1)) = ((\ bal (((2) ^ (\ frac ( 1) (3))) \ jobb)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ bal (-1 \ jobb))) = ((2) ^ (- \ frac (1) (3)))]]
Ne felejtse el, hogy egy fok fokos emelésekor ezeknek a fokozatoknak a mutatói hozzáadódnak. És általában, ha exponenciális egyenletekkel és egyenlőtlenségekkel dolgozunk, feltétlenül ismernünk kell legalább a legegyszerűbb szabályokat a diplomákkal való munkavégzéshez:
\ [\ begin (align) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)); \\ & \ frac ((((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)); \\ & ((\ bal (((a) ^ (x)) \ jobb)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ vége (igazítás) \]
Valójában csak az utolsó szabályt alkalmaztuk. Ezért eredeti egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:
\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ Jobbra mutató nyíl ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (-\ frac (1) (3)))]]
Most megszabadulunk a kettőtől a bázison. 2> 1 óta az egyenlőtlenség ugyanaz marad:
\ [\ begin (align) & x-1 \ le- \ frac (1) (3) \ Rightrrow x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3); \\ & x \ in \ left (- \ infty; \ frac (2) (3) \ right]. \\\ end (align) \]
Ez az egész megoldás! A fő nehézség egyáltalán nem az exponenciális függvényben van, hanem az eredeti kifejezés illetékes átalakításában: pontosan és a lehető leggyorsabban kell a legegyszerűbb formába hozni.
Tekintsük a második egyenlőtlenséget:
\ [((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \]
Hát hát. Itt tizedes törtek várnak ránk. Mint már sokszor mondtam, bármilyen hatáskörrel rendelkező kifejezésben meg kell szabadulnia a tizedes törtektől - gyakran ez az egyetlen módja annak, hogy gyors és egyszerű megoldást találjunk. Tehát megszabadulunk:
\ [\ begin (align) & 0,1 = \ frac (1) (10); \ quad 0,01 = \ frac (1) (100) = ((\ left (\ frac (1) (10) \ jobbra)) ^ (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \ Jobbra mutató nyíl ((\ \ bal (\ frac (1) (10) \ jobb)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ bal (\ frac (1) (10) \ jobb)) ^ (2)). \\\ vége (igazítás) \]
Ismét előttünk áll a legegyszerűbb egyenlőtlenség, sőt 1/10 -es bázissal, azaz kevesebb mint egy. Nos, eltávolítjuk az alapokat, miközben a jelet "kevesebb" -ről "többre" változtatjuk, és ezt kapjuk:
\ [\ begin (align) & 1-x \ gt 2; \\ & -x \ gt 2-1; \\ & -x \ gt 1; \\ & x \ lt -1. \\\ vége (igazítás) \]
Megkaptuk a végső választ: $ x \ in \ left ( - \ infty; -1 \ right) $. Kérjük, vegye figyelembe: a válasz pontosan a készlet, és semmiképpen sem olyan konstrukció, mint $ x \ lt -1 $. Mert formálisan egy ilyen konstrukció egyáltalán nem halmaz, hanem egyenlőtlenség a $ x $ változó tekintetében. Igen, nagyon egyszerű, de nem ez a válasz!
Fontos jegyzet... Ezt az egyenlőtlenséget más módon is meg lehetne oldani - ha mindkét részt egynél nagyobb bázissal redukálnánk. Nézd meg:
\ [\ frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ Jobbra mutató nyíl ((\ bal ((((10) ^ (- 1)) \ jobb)) ^ (1-x)) \ lt ((\ balra (((10) ^ (- 1)) \ jobbra)) ^ (2)) \ Jobbra ((10) ^ (- 1 \ cdot \ balra (1-x \ jobb))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]
Egy ilyen átalakítás után ismét exponenciális egyenlőtlenséget kapunk, de 10> 1 bázissal. Ez azt jelenti, hogy egyszerűen áthúzhatja a tízet - az egyenlőtlenség jelzése ebben az esetben nem változik. Kapunk:
\ [\ begin (align) & -1 \ cdot \ left (1 -x \ right) \ lt -1 \ cdot 2; \\ & x -1 \ lt -2; \\ & x \ lt -2 + 1 = -1; \\ & x \ lt -1. \\\ vége (igazítás) \]
Mint látható, a válasz pontosan ugyanaz. Ugyanakkor megmentettük magunkat a jel megváltoztatásának szükségességétől, és általában emlékezünk néhány szabályra. :)
\ [((2) ^ ((((x)) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 \]
Ettől azonban ne ijedjen meg. Bármi is szerepel a mutatókban, maga az egyenlőtlenség megoldásának technológiája ugyanaz marad. Ezért először vegye figyelembe, hogy 16 = 24. Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget, figyelembe véve ezt a tényt:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)); \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\\ end (align) \]
Hurrá! Megkaptuk a szokásos négyzet -egyenlőtlenséget! A jel sehol sem változott, mivel kettő van az alapnál - egynél nagyobb szám.
Funkció nullák a számsorban
Elhelyezzük a $ f \ függvény jeleit balra (x \ jobb) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - nyilvánvalóan a grafikonja parabola lesz, elágazásokkal felfelé, tehát lesznek "pluszok" "az oldalakon. Érdekel minket az a régió, ahol a függvény kisebb nullánál, azaz $ x \ in \ left (2; 5 \ right) $ - ez a válasz az eredeti problémára.
Végül gondoljunk egy másik egyenlőtlenségre:
\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]
Ismét egy exponenciális függvényt látunk, amelynek bázisa tizedes tört. Ezt a töredéket szokásosra fordítjuk:
\ [\ begin (align) & 0,2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (- 1)) \ Rightarrow \\ & \ Rightarrow ((0 , 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ bal (((5) ^ (- 1)) \ jobb)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right))) \ end (align) \]
Ebben az esetben a korábban megadott megjegyzést használtuk - a bázist 5> 1 -re redukáltuk a további döntésünk egyszerűsítése érdekében. Tegyük ugyanezt a jobb oldallal:
\ [\ frac (1) (25) = ((\ bal (\ frac (1) (5) \ jobb)) ^ (2)) = ((\ bal (((5) ^ (- 1)) \ jobb)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]
Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget, mindkét átalakítást figyelembe véve:
\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ Jobbra mutató nyíl ((5) ^ (- 1 \ cdot \ left (1+) ((x) ^ (2)) \ jobb))) \ ge ((5) ^ (- 2)) \]
Az alapok mindkét oldalon azonosak és meghaladják az egyet. A jobb és bal oldalon nincsenek más kifejezések, ezért csak "áthúzzuk" az ötösöket, és egy nagyon egyszerű kifejezést kapunk:
\ [\ begin (align) & -1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right) \ ge -2; \\ & -1 -((x) ^ (2)) \ ge -2; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1; \ quad \ left | \ cdot \ balra (-1 \ jobbra) \ jobbra. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ end (align) \]
Itt óvatosnak kell lennie. Sok diák szereti az egyenlőtlenség mindkét oldalának négyzetgyökét, és valami ilyesmit ír: $ x \ le 1 \ Rightarrow x \ in \ left ( - \ infty; -1 \ right] $. Ezt soha nem szabad megtenni, mivel a pontos négyzet gyöke modulus, és semmiképpen sem az eredeti változó:
\ [\ sqrt ((((x) ^ (2))) = \ bal | x \ jobb | \]
A modulokkal való munka azonban nem a legkellemesebb élmény, ugye? Tehát nem fogunk dolgozni. Ehelyett csak az összes kifejezést balra mozgatjuk, és az intervallum módszerrel oldjuk meg a szokásos egyenlőtlenséget:
$ \ begin (align) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0; \\ & \ bal (x-1 \ jobb) \ bal (x + 1 \ jobb) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1; \ quad ((x) _ (2)) = -1; \\\ end (align) $
Ismét jelölje meg a kapott pontokat a számegyenesen, és nézze meg a jeleket:
Kérjük, vegye figyelembe: a pontok tele vannak Mivel nem szigorú egyenlőtlenséget oldottunk meg, a grafikon összes pontja ki van töltve. Ezért a válasz a következő lesz: $ x \ in \ left [-1; 1 \ right] $ nem intervallum, hanem szegmens.
Általában szeretném megjegyezni, hogy az exponenciális egyenlőtlenségekben nincs semmi bonyolult. A ma elvégzett átalakítások jelentése egyszerű algoritmusra vezethető vissza:
- Keresse meg az alapot, amelyre minden fokot csökkenteni fogunk;
- Óvatosan hajtsa végre az átalakításokat, hogy $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ alakú egyenlőtlenséget kapjon. Természetesen a $ x $ és $ n $ változók helyett sokkal összetettebb függvények is létezhetnek, de a jelentés ettől nem változik;
- Húzd át a fokok alapjait. Ebben az esetben az egyenlőtlenség jele változhat, ha az alap $ a \ lt 1 $.
Valójában ez egy univerzális algoritmus minden ilyen egyenlőtlenség megoldására. És mindaz, ami még mindig elmondja Önt ebben a témában, csak speciális technikák és trükkök az átalakítás egyszerűsítésére és felgyorsítására. Most az egyik technikáról fogunk beszélni. :)
Racionalizálási módszer
Fontolja meg még egy sor egyenlőtlenséget:
\ [\ begin (align) & ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ ((((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\ & ((\ bal (2 \ sqrt (3) -3 \ jobb)) ^ ((((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1; \\ & ((\ bal (\ frac (1) (3) \ jobb)) ^ ((((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ bal (\ frac (1) (9) \ jobb)) ^ (16-x)); \\ & ((\ bal (3-2 \ sqrt (2) \ jobb)) ^ (3x - ((x) ^ (2))))) \ lt 1. \\\ vége (igazítás) \]
Tehát mi olyan különleges bennük? Könnyűek. Bár, állj meg! A π bizonyos fokig emelkedik? Mi ez a hülyeség?
Hogyan lehet a $ 2 \ sqrt (3) -3 $ számot hatványra emelni? Vagy $ 3-2 \ sqrt (2) $? A probléma írói nyilvánvalóan berúgtak a galagonyára a munka megkezdése előtt. :)
Valójában ezekkel a feladatokkal nincs semmi baj. Hadd emlékeztessem: az exponenciális függvény a $ ((a) ^ (x)) $ alakú kifejezés, ahol a $ a $ alap bármely pozitív szám, kivéve egyet. A π szám pozitív - ezt már tudjuk. A $ 2 \ sqrt (3) -3 $ és a $ 3-2 \ sqrt (2) $ számok is pozitívak -ezt könnyen láthatja, ha nullával hasonlítja össze őket.
Kiderül, hogy ezek az "ijesztő" egyenlőtlenségek nem különböznek a fent tárgyalt egyszerűektől? És ugyanúgy megoldják? Igen ez így van. Példájuk felhasználásával azonban egy olyan technikát szeretnék figyelembe venni, amely sok időt takarít meg az önálló munkán és a vizsgákon. A racionalizálás módszerére összpontosít. Szóval, figyelem:
A $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ alakú exponenciális egyenlőtlenségek egyenértékűek a $ \ left (xn \ right) \ cdot \ left (a-1 \) egyenlőtlenséggel jobb) \ gt 0 $.
Ez az egész módszer. :) Gondoltad volna, hogy lesz valami következő játék? Semmi ilyesmi! De ez az egyszerű tény, szó szerint egy sorban írva, nagyban leegyszerűsíti a munkánkat. Nézd meg:
\ [\ begin (mátrix) ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text ()) ^ ((((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Downarrow \\ \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) -3x + 2 \ jobb) \ jobb) \ cdot \ bal (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \ gt 0 \\\ end (mátrix) \]
Nincs több indikatív funkció! És nem kell emlékeznie arra, hogy a jel változik -e vagy sem. De új probléma merül fel: mit tegyünk a kibaszott szorzóval \ [\ left (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \]? Nem tudjuk, mi a π pontos értéke. Úgy tűnik azonban, hogy a kapitány a nyilvánvalóságra utal:
\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () \ kb 3,14 ... \ gt 3 \ Jobbra mutató \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () - 1 \ gt 3-1 = 2 \]
Általánosságban elmondható, hogy a π pontos értéke nem igazán zavar minket - csak fontos megértenünk, hogy mindenképpen $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ gt 2 $, azaz .e. ez pozitív állandó, és az egyenlőtlenség mindkét oldalát feloszthatjuk vele:
\ [\ begin (align) & \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \ gt 0 \\ & x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ gt 0; \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x -2 \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ balra (-1 \ jobbra) \ jobbra. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x -5 \ lt 0; \\ & \ bal (x-5 \ jobb) \ bal (x + 1 \ jobb) \ lt 0. \\\ vége (igazítás) \]
Amint látja, egy bizonyos pillanatban mínusz eggyel kellett osztanom, és az egyenlőtlenség jele megváltozott. Végül Vieta tétele szerint kibővítettem a négyzetháromsávot - nyilvánvaló, hogy a gyök egyenlő $ ((x) _ (1)) = 5 $ és $ ((x) _ (2)) = - 1 $. Ezután mindent az intervallumok klasszikus módszerével oldanak meg:
Az egyenlőtlenség megoldása intervallum módszerrel Minden pont kilyukadt, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. Érdekel minket a negatív értékekkel rendelkező terület, ezért a válasz $ x \ in \ left (-1; 5 \ right) $. Ez az egész megoldás. :)
Térjünk át a következő feladatra:
\ [((\ \ bal (2 \ sqrt (3) -3 \ jobb)) ^ ((((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 \]
Általában itt minden egyszerű, mert van egy a jobb oldalon. És emlékezünk arra, hogy az egyik bármilyen szám nulla fokig. Még akkor is, ha ez a szám az irracionális kifejezés a bal alsó sarokban:
\ [\ begin (align) & ((\ bal (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ ((((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ jobb)) ^ (0)); \\ & ((\ bal (2 \ sqrt (3) -3 \ jobb)) ^ ((((x) ^ (2)) -2x)) \ lt ((\ bal (2 \ sqrt (3) -3) \ jobb)) ^ (0)); \\\ vége (igazítás) \]
Nos, racionalizáljuk:
\ [\ begin (align) & \ left ((((x) ^ (2))) -2x -0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -3-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ balra (((x) ^ (2)) -2x -0 \ jobbra) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -4 \ right) \ lt 0; \\ & \ balra (((x) ^ (2)) -2x -0 \ jobbra) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \ ]
Csak a jelekkel kell foglalkozni. A $ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) $ faktor nem tartalmazza a $ x $ változót - ez csak egy állandó, és meg kell találnunk annak előjelét. Ehhez vegye figyelembe a következőket:
\ [\ begin (mátrix) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Downarrow \\ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 2 \ cdot \ left (2 -2 \ jobb) = 0 \\\ vége (mátrix) \]
Kiderül, hogy a második tényező nem csak állandó, hanem negatív állandó! És ha osztunk vele, az eredeti egyenlőtlenség jele ellenkezőleg változik:
\ [\ begin (align) & \ left (((x) ^ (2)) -2x -0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 2x -0 \ gt 0; \\ & x \ bal (x-2 \ jobb) \ gt 0. \\\ vége (igazítás) \]
Most minden teljesen nyilvánvalóvá válik. A jobb oldali négyzet alakú háromszög gyökei: $ ((x) _ (1)) = 0 $ és $ ((x) _ (2)) = 2 $. Jelöljük őket a számegyenesen, és nézzük meg a $ f \ left (x \ right) = x \ left (x-2 \ right) $ függvény jeleit:
Az az eset, amikor oldalirányú intervallumokra vagyunk kíváncsiak Érdekelnek minket a pluszjellel jelölt időközök. Már csak a válasz leírása maradt:
Tovább a következő példához:
\ [((\ bal (\ frac (1) (3) \ jobb)) ^ ((((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ bal (\ frac (1) (9) \ jobbra)) ^ (16-x)) \]
Nos, itt minden nyilvánvaló: a bázisokban azonos számú hatalom található. Ezért röviden leírok mindent:
\ [\ begin (mátrix) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)); \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Downarrow \\ ((\ bal ((((3))) ^ (- 1)) \ jobb)) ^ ((((x) ^ (2)) ) + 2x)) \ gt ((\ bal ((((3)) ^ (- 2)) \ jobb)) ^ (16-x)) \\\ vége (mátrix) \]
\ [\ begin (align) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 2x \ right))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \ bal (16-x \ jobb))); \\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2))- 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\ & \ bal (- ((x) ^ (2))- 2x- \ bal (-32 + 2x \ jobb) \ jobb) \ cdot \ bal (3-1 \ jobb) \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ balra (-1 \ jobbra) \ jobbra. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0; \\ & \ bal (x + 8 \ jobb) \ bal (x-4 \ jobb) \ lt 0. \\\ vége (igazítás) \]
Mint látható, az átalakítások során negatív számmal kellett megszoroznunk, így az egyenlőtlenség változott. A legvégén ismét Vieta tételét alkalmaztam egy négyzet alakú háromszög faktorálására. Ennek eredményeképpen a válasz a következő lesz: $ x \ in \ left (-8; 4 \ right) $ - a kívánság ezt számegyenes megrajzolásával, a pontok megjelölésével és a jelek megszámlálásával ellenőrizheti. Addig is áttérünk a halmazunk utolsó egyenlőtlenségére:
\ [((\ \ bal (3-2 \ sqrt (2) \ jobb)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1 \]
Amint láthatja, a bázison megint egy irracionális szám található, a jobb oldalon pedig ismét egy. Ezért exponenciális egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:
\ [((\ bal (3-2 \ sqrt (2) \ jobb)) ^ (3x-((x) ^ (2))))) \ lt ((\ bal (3-2 \ sqrt (2) \ jobbra)) ^ (0)) \]
Racionalizálást alkalmazunk:
\ [\ begin (align) & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (3-2 \ sqrt (2) -1 \ right) \ lt 0; \\ & \ bal (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ jobb) \ cdot \ bal (2-2 \ sqrt (2) \ jobb) \ lt 0; \\ & \ bal (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ jobb) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \ ]
Azonban teljesen nyilvánvaló, hogy $ 1- \ sqrt (2) \ lt 0 $, mivel $ \ sqrt (2) \ kb 1,4 ... \ gt 1 $. Ezért a második tényező ismét egy negatív állandó, amellyel az egyenlőtlenség mindkét oldala felosztható:
\ [\ start (mátrix) \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0 \\ \ Downarrow \ \\ vége (mátrix) \]
\ [\ begin (align) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0; \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ balra (-1 \ jobbra) \ jobbra. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0; \\ & x \ bal (x-3 \ jobb) \ lt 0. \\\ vége (igazítás) \]
Más bázisra költözés
Az exponenciális egyenlőtlenségek megoldásának külön problémája a „helyes” alap keresése. Sajnos első ránézésre egy megbízás során nem mindig nyilvánvaló, hogy mit vegyünk alapul, és mit tegyünk ennek alapján.
De ne aggódjon: itt nincs varázslat vagy "titkos" technológia. A matematikában minden olyan készség, amelyet nem lehet algoritmizálni, gyakorlattal könnyen fejleszthető. De ehhez különböző összetettségű problémákat kell megoldania. Például ezek:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))); \\ & ((\ bal (\ frac (1) (3) \ jobb)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\ bal (0,16 \ jobb)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ bal (6,25 \ jobb)) ^ (x)) \ ge 1; \\ & ((\ bal (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ jobb)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ vége (igazítás) \]
Kemény? Félve? Könnyebb, mint egy csirke az aszfalton! Próbáljuk meg. Első egyenlőtlenség:
\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x)))]]
Nos, azt hiszem, itt minden világos és egy sündisznó:
Átírjuk az eredeti egyenlőtlenséget, és mindent a „kettőre” redukálunk:
\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ Jobbra mutató nyíl \ bal (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ jobb) \ cdot \ bal (2-1 \ jobb) \ lt 0 \]
Igen, igen, jól értette: csak a fent leírt racionalizálási módszert alkalmaztam. Most óvatosan kell dolgoznunk: töredék-racionális egyenlőtlenségünk van (ez az egyik, ahol a nevezőben változó van), ezért mielőtt valamit nullával egyenlítenénk ki, mindent közös nevezőre kell hozni, és meg kell szabadulni az állandó tényező.
\ [\ begin (align) & \ left (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ right) \ cdot \ left (2-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ bal (\ frac ((((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ jobb) \ cdot 1 \ lt 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\\ end (align) \]
Most a szokásos távközlési módszert használjuk. Számláló nullák: $ x = \ pm 4 $. A nevező csak akkor tűnik el, ha $ x = 0 $. Összesen három pontot kell megjelölni a számegyenesen (minden pont kilyukadt, mivel az egyenlőtlenség szigorú). Kapunk:
Bonyolultabb eset: három gyökér Ahogy sejtheti, a keltetés azokat az időközöket jelöli, amelyeken a bal oldali kifejezés negatív értékeket vesz fel. Ezért két intervallum kerül egyszerre a végső válaszba:
Az intervallumok vége nem szerepel a válaszban, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú volt. A válasz további ellenőrzése nem szükséges. Ebben a tekintetben az exponenciális egyenlőtlenségek sokkal egyszerűbbek, mint a logaritmikusok: nincs ODV, nincs korlátozás stb.
Térjünk át a következő feladatra:
\ [((\ \ bal (\ frac (1) (3) \ jobb)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]
Itt sincsenek problémák, hiszen már tudjuk, hogy $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $, így az egész egyenlőtlenség a következőképpen írható át:
\ [\ begin (align) & ((\ left (((3) ^ (- 1) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Jobbra mutató nyilak ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & \ bal (- \ frac (3) (x)- \ bal (2 + x \ jobb) \ jobb) \ cdot \ bal (3-1 \ jobb) \ ge 0; \\ & \ bal (-\ frac (3) (x) -2-x \ jobb) \ cdot 2 \ ge 0; \ quad \ left | : \ bal (-2 \ jobb) \ jobb. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0; \\ & \ frac ((((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\\ end (align) \]
Kérjük, vegye figyelembe: a harmadik sorban úgy döntöttem, hogy nem vesztegetem az időt apróságokra, és azonnal felosztom mindent (−2). A passz az első zárójelbe ment (most mindenhol vannak pluszok), és a kettőt állandó szorzóval törölték. Pontosan ezt kell tennie, amikor valódi számításokat tervez független és ellenőrző munkákhoz - nem kell minden műveletet és átalakítást közvetlenül festenie.
Ezután az ismerős távközlési módszer jön szóba. Számláló nullák: de nem azok. Mert a diszkrimináns negatív lesz. Viszont a nevezőt csak $ x = 0 $ -nál nullázzuk - mint a múltkor. Nos, nyilvánvaló, hogy az $ x = 0 $ jobb oldalán a tört pozitív értékeket vesz fel, a bal oldalon pedig a negatív értékeket. Mivel a negatív értékek érdekelnek minket, a végső válasz $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) $.
\ [((\ \ bal (0,16 \ jobb)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ bal (6,25 \ jobb)) ^ (x)) \ ge 1 \]
De mit kell tennie az exponenciális egyenlőtlenségek tizedes törtjeivel? Így van: szabadulj meg tőlük, fordítsd át hétköznapivá. Tehát lefordítjuk:
\ [\ begin (align) & 0.16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ Rightarrow ((\ left (0.16 \ right)) ^ (1 + 2x)) = ((\ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6,25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ Jobbra mutató nyíl ((\ bal (6,25 \ jobb)) ^ (x)) = ((\ bal (\ frac (25)) (4) \ jobb)) ^ (x)). \\\ vége (igazítás) \]
Mit kaptunk tehát az exponenciális függvények alapjaiban? És kaptunk két kölcsönösen fordított számot:
\ [\ frac (25) (4) = ((\ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (- 1)) \ Jobbra mutató nyíl ((\ bal (\ frac (25) (4) \ jobb)) ^ (x)) = ((\ bal ((((\ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (- 1)) \ jobb)) ^ (x)) = ((\ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (- x)) \]
Így az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:
\ [\ begin (align) & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (\ frac (4) (25) \ right) ) ^ (- x)) \ ge 1; \\ & ((\ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (1 + 2x + \ bal (-x \ jobb))) \ ge ((\ bal (\ frac (4) (25) ) \ jobb)) ^ (0)); \\ & ((\ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (0) ). \\\ vége (igazítás) \]
Természetesen, ha az azonos bázisú fokokat megszorozzuk, azok mutatói összeadódnak, ami a második sorban történt. Ezenkívül a jobb oldali egységet mutattuk be, szintén diploma formájában, 4/25 bázissal. Már csak a racionalizálás szükséges:
\ [((\ \ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ bal (\ frac (4) (25) \ jobb)) ^ (0)) \ Jobbra mutató nyíl \ bal (x + 1-0 \ jobb) \ cdot \ bal (\ frac (4) (25) -1 \ jobb) \ ge 0 \]
Vegye figyelembe, hogy $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $, azaz a második tényező negatív állandó, és ha osztjuk vele, az egyenlőtlenség változni fog:
\ [\ begin (align) & x + 1-0 \ le 0 \ Jobbra mutató nyíl x \ le -1; \\ & x \ in \ left ( - \ infty; -1 \ right]. \\\ end (align) \]
Végül az utolsó egyenlőtlenség a jelenlegi "halmazból":
\ [((\ \ bal (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ jobb)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]
Elvileg itt is világos a megoldás ötlete: az egyenlőtlenségben szereplő összes exponenciális függvényt a "3" bázisra kell redukálni. De ehhez kicsit gyökerekkel és fokokkal kell foglalkoznia:
\ [\ begin (align) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3- frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))); \\ & 9 = ((3) ^ (2)); \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ vége (igazítás) \]
Ezeket a tényeket figyelembe véve az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:
\ [\ begin (align) & ((\ left ((((3)) ^ (\ frac (8) (3))) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((\ left (((3)) ^ (2)) \ jobb)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ vége (igazítás) \]
Ügyeljen a számítások 2. és 3. sorára: mielőtt bármit is kezdene az egyenlőtlenséggel, mindenképpen hozza azt a formát, amelyről a lecke legelején beszéltünk: $ ((a) ^ (x)) \ lt ((a) ^ (n)) $. Mindaddig, amíg a bal vagy a jobb oldalon van néhány bal tényező, további állandók stb. nem lehet racionalizálni és a területet „áthúzni”! Számtalan feladat ment rosszul ennek az egyszerű ténynek a félreértése miatt. Magam is folyamatosan figyelem ezt a problémát tanítványaim körében, amikor még csak az exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségeket kezdjük elemezni.
De térjünk vissza a problémánkhoz. Próbáljuk meg ezúttal racionalizálás nélkül csinálni. Ne feledje: a fok alapja nagyobb, mint egy, így a hármasokat egyszerűen át lehet húzni - az egyenlőtlenség jelzése ebben az esetben nem változik. Kapunk:
\ [\ begin (align) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4; \\ & 4x \ lt 12; \\ & x \ lt 3. \\\ end (igazítás) \]
Ez minden. A végső válasz $ x \ in \ left (- \ infty; 3 \ right) $.
Stabil kifejezés kiemelése és változó cseréje
Összefoglalva azt javaslom, hogy oldjunk meg további négy exponenciális egyenlőtlenséget, amelyek már elég nehézek a képzetlen diákok számára. Ahhoz, hogy megbirkózzon velük, emlékeznie kell a diplomákkal való munkavégzés szabályaira. Különösen a közös tényezők kivétele a zárójelből.
De a legfontosabb az, hogy megtanuljuk megérteni, hogy pontosan mit lehet kivenni a zárójelből. Az ilyen kifejezést stabilnak nevezik - új változóval jelölhető, és így megszabadulhat az exponenciális függvénytől. Lássuk tehát a feladatokat:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6; \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90; \\ & ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500; \\ & ((\ bal (0,5 \ jobb)) ^ (- 4x-8))- ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768. \\\ vége (igazítás) \]
Kezdjük a legelső sorral. Ezt az egyenlőtlenséget írjuk külön:
\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 \]
Vegye figyelembe, hogy $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $, tehát a jobb oldali oldal átírhatja:
Ne feledje, hogy nincs más exponenciális függvény, kivéve $ ((5) ^ (x + 1)) $, az egyenlőtlenségben. És általában a $ x $ változót sehol máshol nem találjuk, ezért bevezetünk egy új változót: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. A következő konstrukciót kapjuk:
\ [\ begin (align) & 5t + t \ ge 6; \\ & 6t \ ge 6; \\ & t \ ge 1. \\\ vége (igazítás) \]
Visszatérünk az eredeti változóhoz ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $), és ugyanakkor emlékezünk arra, hogy 1 = 5 0. Nekünk van:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0)); \\ & x + 1 \ ge 0; \\ & x \ ge -1. \\\ vége (igazítás) \]
Ez az egész megoldás! Válasz: $ x \ in \ left [-1; + \ infty \ right) $. Átmegyünk a második egyenlőtlenséghez:
\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]
Itt minden ugyanaz. Vegye figyelembe, hogy $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $. .. Ezután a bal oldal átírható:
\ [\ begin (align) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90; \ quad \ left | ((3) ^ (x)) = t \ jobb. \\ & t + 9t \ ge 90; \\ & 10t \ ge 90; \\ & t \ ge 9 \ Jobbra ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Jobbra ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)); \\ & x \ ge 2 \ Jobbra mutató nyíl x \ in \ left [2; + \ infty \ right). \\\ vége (igazítás) \]
Körülbelül így kell döntést hozni a valódi ellenőrzésről és a független munkáról.
Nos, próbáljunk valami bonyolultabbat. Például itt van egy egyenlőtlenség:
\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 \]
Mi itt a probléma? Először is, a bal oldali exponenciális függvények alapjai eltérőek: 5 és 25. Azonban 25 = 5 2, tehát az első tag átalakítható:
\ [\ begin (align) & ((25) ^ (x + 1.5)) = ((\ left ((((5) ^))) \ right)) ^ (x + 1.5)) = ((5) ^ (2x + 3)); \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ end (align ) \]
Mint látható, először mindent ugyanabba a bázisba vezettünk, majd észrevettük, hogy az első kifejezés könnyen redukálható a másodikra - elég csak a mutatót kibővíteni. Most már nyugodtan bevezethet egy új változót: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $, és az egész egyenlőtlenség a következőképpen íródik át:
\ [\ begin (align) & 5t-t \ ge 2500; \\ & 4t \ ge 2500; \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)); \\ & 2x + 2 \ ge 4; \\ & 2x \ ge 2; \\ & x \ ge 1. \\\ end (align) \]
Ismét nincsenek nehézségek! A végső válasz $ x \ in \ left [1; + \ infty \ right) $. A mai lecke végső egyenlőtlenségére térve:
\ [((\ \ bal (0,5 \ jobb)) ^ (- 4x-8))- ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768 \]
Az első dolog, amire figyelni kell, természetesen a tizedes tört az első fok bázisában. Meg kell szabadulni tőle, és ugyanakkor az összes exponenciális függvényt ugyanabba az alapba kell hozni - a "2" számot:
\ [\ kezdődik (igazítás) & 0,5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Jobbra mutató nyíl ((\ bal (0,5 \ jobb)) ^ (- 4x- 8)) = ((\ bal (((2) ^ (- 1) \ jobb)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)); \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ Jobbra mutató nyíl ((16) ^ (x + 1,5)) = ((\ bal (((2) ^ (4)) \ jobb))) ^ ( x + 1,5)) = ((2) ^ (4x + 6)); \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\\ end (align) \]
Remek, megtettük az első lépést - minden ugyanahhoz az alaphoz vezetett. Most stabil kifejezést kell választanunk. Ne feledje, hogy $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $. Ha bevezetünk egy új változót $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $, akkor az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:
\ [\ begin (align) & 4t-t \ gt 768; \\ & 3t \ gt 768; \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)); \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)); \\ & 4x + 6 \ gt 8; \\ & 4x \ gt 2; \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\\ vége (igazítás) \]
Természetesen felmerülhet a kérdés: hogyan találtuk meg, hogy 256 = 2 8? Sajnos itt csak ismernie kell a kettő (és ugyanakkor a három és az öt) hatalmát. Nos, vagy oszd el a 256 -ot 2 -vel (oszthatsz, mivel a 256 páros szám), amíg meg nem kapjuk az eredményt. Ez valahogy így fog kinézni:
\ [\ begin (align) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = ((2) ^ (8)). \ End (align ) \]
Ugyanez a helyzet hárommal (9, 27, 81 és 243 számok a hatásköre), és héttel (a 49 és 343 számokra is jó lenne emlékezni). Nos, az első ötnek vannak "szép" diplomái is, amelyeket tudnia kell:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (2)) = 25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ vége (igazítás) \]
Természetesen, ha szükséges, mindezen számok rekonstruálhatók az elmében, egyszerűen egymás után megszorozva őket. Ha azonban több exponenciális egyenlőtlenséget kell megoldania, és mindegyik bonyolultabb, mint az előző, akkor az utolsó dolog, amire gondolnia kell, néhány szám ereje. És ebben az értelemben ezek a problémák összetettebbek, mint a "klasszikus" egyenlőtlenségek, amelyeket az intervallumok módszerével oldanak meg.
és x = b a legegyszerűbb exponenciális egyenlet. Benne a nullánál nagyobb és de nem egyenlő eggyel.
Exponenciális egyenletek megoldása
Az exponenciális függvény tulajdonságaiból tudjuk, hogy értéktartománya pozitív valós számokra korlátozódik. Ha b = 0, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ugyanez a helyzet játszódik le abban az egyenletben, ahol b
Most feltételezzük, hogy b> 0. Ha az exponenciális függvényben a bázis a nagyobb, mint egy, akkor a függvény a definíció teljes tartományában növekszik. Ha a bázis exponenciális függvényében de az alábbi feltétel teljesül 0 Ennek alapján és a gyökértétel alkalmazásával azt találjuk, hogy az a x = b egyenletnek egyetlen gyöke van, b> 0 és pozitív esetén a nem egyenlő eggyel. Ahhoz, hogy megtaláljuk, b -t b = a c alakban kell ábrázolnia. Tekintsük a következő példát: Oldjuk meg az 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25 egyenletet. Képessük 25 -öt 5 2 -nek, így kapjuk: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2. Vagy mi az egyenértékű: x 2 - 2 * x - 1 = 2. A kapott másodfokú egyenletet bármelyik ismert módon megoldjuk. Két x = 3 és x = -1 gyököt kapunk. Válasz: 3; -1. Oldja meg a 4 x - 5 * 2 x + 4 = 0 egyenletet. Cserélje ki t = 2 x, és kapja meg a következő másodfokú egyenletet: t 2 - 5 * t + 4 = 0. Most oldja meg a 2 x = 1 és 2 x = 4 egyenleteket. Válasz: 0; 2. A legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldása szintén a növekvő és csökkenő függvények tulajdonságain alapul. Ha az exponenciális függvényben az a bázis nagyobb, mint egy, akkor a függvény a definíció teljes tartományában növekszik. Ha a bázis exponenciális függvényében de az alábbi feltétel teljesül 0 Vegyünk egy példát: oldjuk meg az egyenlőtlenséget (0,5) (7 - 3 * x)< 4. Vegye figyelembe, hogy 4 = (0,5) 2. Ekkor az egyenlőtlenség (0,5) (7 - 3 * x) formát ölt< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Kapjuk: 7 - 3 * x> -2. Ezért: x<3. Válasz: x<3. Ha az egyenlőtlenségben az alap nagyobb, mint egy, akkor az alapból való megszabaduláskor az egyenlőtlenség jelét nem kell megváltoztatni.
Akkor nyilvánvaló, hogy val vel megoldás lesz az a x = a c egyenletre.
Ezt az egyenletet bármelyik ismert módon megoldjuk. Megkapjuk a t1 = 1 t2 = 4 gyököketAz exponenciális egyenlőtlenségek megoldása
Betöltés ...