Konsep garis tengah trapesium
Untuk memulainya, mari kita ingat bentuk mana yang disebut trapesium.
Definisi 1
Trapesium adalah segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.
Dalam hal ini, sisi paralel disebut alas trapesium, dan tidak sejajar - sisi trapesium.
Definisi 2
Garis tengah trapesium adalah ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisi trapesium.
Teorema garis tengah untuk trapesium
Sekarang kita memperkenalkan teorema pada garis tengah trapesium dan membuktikannya dengan metode vektor.
Teorema 1
Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan jumlah setengahnya.
Bukti.
Mari kita diberikan trapesium $ ABCD $ dengan basis $ AD \ dan \ BC $. Dan biarkan $ MN $ menjadi garis tengah trapesium ini (Gbr. 1).
Gambar 1. Garis tengah trapesium
Mari kita buktikan bahwa $ MN || AD \ dan \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $.
Perhatikan vektor $ \ overrightarrow (MN) $. Selanjutnya, kita menggunakan aturan poligon untuk menjumlahkan vektor. Di satu sisi, kita mengerti
Di sisi lain
Kami menambahkan dua persamaan terakhir, kami mendapatkan
Karena $ M $ dan $ N $ adalah titik tengah sisi-sisi lateral trapesium, kita akan memiliki
Kita mendapatkan:
Karena itu
Dari persamaan yang sama (karena $ \ overrightarrow (BC) $ dan $ \ overrightarrow (AD) $ adalah codirectional dan, oleh karena itu, collinear) kita peroleh $ MN || AD $.
Teorema terbukti.
Contoh tugas tentang konsep garis tengah trapesium
Contoh 1
Sisi trapesium masing-masing adalah $ 15 \ cm $ dan $ 17 \ cm $. Keliling trapesium adalah $ 52 \ cm $. Cari panjang garis tengah trapesium.
Larutan.
Mari kita tunjukkan garis tengah trapesium dengan $ n $.
Jumlah sisinya adalah
Oleh karena itu, karena kelilingnya adalah $ 52 \ cm $, jumlah alasnya adalah
Oleh karena itu, dengan Teorema 1, kita memperoleh
Menjawab:$ 10 \ cm $.
Contoh 2
Ujung-ujung diameter lingkaran dihilangkan dari garis singgungnya masing-masing sebesar $9$cm dan $5$cm.Temukan diameter lingkaran ini.
Larutan.
Mari kita diberikan sebuah lingkaran dengan pusat $ O $ dan diameter $ AB $. Gambarlah garis singgung $ l $ dan buat jarak $ AD = 9 \ cm $ dan $ BC = 5 \ cm $. Mari kita menggambar jari-jari $ OH $ (Gbr. 2).
Gambar 2.
Karena $ AD $ dan $ BC $ adalah jarak ke garis singgung, maka $ AD \ bot l $ dan $ BC \ bot l $ dan karena $ OH $ adalah jari-jarinya, maka $ OH \ bot l $, oleh karena itu, $ OH | \ kiri | AD \ kanan || SM $. Dari semua ini kita dapatkan bahwa $ ABCD $ adalah trapesium, dan $ OH $ adalah garis tengahnya. Dengan Teorema 1, kita memperoleh
Segi empat yang hanya dua sisinya sejajar disebut trapesium.
Sisi sejajar trapesium disebut alasan, dan sisi-sisi yang tidak sejajar disebut sisi samping... Jika sisi-sisinya sama, maka trapesium tersebut adalah sama kaki. Jarak antara alas disebut tinggi trapesium.
Garis Tengah Trapesium
Garis tengah adalah ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisi trapesium. Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya.
Dalil:
Jika sebuah garis lurus yang memotong bagian tengah salah satu sisinya sejajar dengan alas trapesium, maka garis tersebut membagi dua sisi trapesium yang kedua.
Dalil:
Panjang garis tengah sama dengan rata-rata aritmatika dari panjang alasnya
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN garis tengah, AB dan CD - basa, AD dan BC - sisi
MN = (AB + DC) / 2
Dalil:
Panjang garis tengah trapesium sama dengan rata-rata aritmatika dari panjang alasnya.
Tugas utama: Buktikan bahwa garis tengah trapesium membagi dua segmen yang ujungnya terletak di tengah alas trapesium.
Garis Tengah Segitiga
Ruas yang menghubungkan titik tengah kedua sisi segitiga disebut garis tengah segitiga. Panjangnya sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya setengah dari sisi ketiga.
Dalil: Jika sebuah garis yang memotong titik tengah salah satu sisi segitiga sejajar dengan sisi lain segitiga tersebut, maka garis tersebut membagi sisi ketiga menjadi dua.
AM = MC dan BN = NC =>
Menerapkan Properti Garis Tengah Segitiga dan Trapesium
Pembagian segmen menjadi sejumlah bagian yang sama.
Tugas: Bagilah ruas AB menjadi 5 bagian yang sama.
Larutan:
Misalkan p adalah sinar acak dengan asal di titik A dan tidak terletak pada garis AB. Kami berturut-turut meletakkan 5 segmen yang sama pada p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Kami menghubungkan A 5 ke B dan menggambar garis seperti itu melalui A 4, A 3, A 2 dan A 1, yang sejajar dengan A 5 B. Mereka berpotongan AB, masing-masing, di titik B 4, B 3, B 2 dan B 1 . Titik-titik tersebut membagi ruas garis AB menjadi 5 bagian yang sama. Memang, dari trapesium BB 3 A 3 A 5 kita melihat bahwa BB 4 = B 4 B 3. Dengan cara yang sama, dari trapesium B 4 B 2 A 2 A 4 kita peroleh B 4 B 3 = B 3 B 2
Sedangkan dari trapesium B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Kemudian dari B 2 AA 2 diperoleh B 2 B 1 = B 1 A. Kesimpulannya, diperoleh:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jelas bahwa untuk membagi segmen AB menjadi sejumlah bagian lain yang sama, kita perlu memproyeksikan jumlah segmen yang sama ke sinar p. Dan kemudian lanjutkan dengan cara yang dijelaskan di atas.
Pada artikel ini, kami telah membuat pilihan lain dari masalah trapesium untuk Anda. Kondisi tersebut entah bagaimana terhubung dengan garis tengahnya. Jenis tugas diambil dari bank terbuka tugas khas. Jika mau, Anda dapat menyegarkan kembali pengetahuan teoretis Anda. Blog telah membahas tugas-tugas yang kondisinya terkait juga. Secara singkat tentang garis tengah:
Garis tengah trapesium menghubungkan titik tengah sisi lateral. Ini sejajar dengan alas dan sama dengan setengah jumlah mereka.
Sebelum memecahkan masalah, mari kita lihat contoh teoretis.
Diketahui trapesium ABCD. Diagonal AC yang berpotongan dengan garis tengah membentuk titik K, diagonal BD membentuk titik L. Buktikan bahwa ruas KL sama dengan setengah selisih alasnya.
Pertama-tama mari kita perhatikan fakta bahwa garis tengah trapesium membagi dua setiap segmen yang ujungnya terletak pada alasnya. Kesimpulan ini menunjukkan dirinya sendiri. Bayangkan sebuah segmen yang menghubungkan dua titik dasar, itu akan membagi trapesium ini menjadi dua lainnya. Ternyata segmen yang sejajar dengan alas trapesium dan melewati tengah sisi di sisi lain akan melewati tengahnya.
Ini juga didasarkan pada teorema Thales:
Jika pada salah satu dari dua garis lurus kita sisihkan beberapa ruas yang sama secara berurutan dan melalui ujung-ujungnya menarik garis lurus sejajar yang memotong garis lurus kedua, maka ruas-ruas tersebut akan memotong ruas yang sama pada garis lurus kedua.
Artinya, dalam hal ini, K adalah tengah AC dan L adalah tengah BD. Jadi EK adalah garis tengah segitiga ABC, LF adalah garis tengah segitiga DCB. Berdasarkan sifat garis tengah segitiga:
Kami sekarang dapat mengekspresikan segmen KL melalui basis:
Terbukti!
Contoh ini diberikan karena suatu alasan. Dalam masalah untuk solusi independen, hanya ada masalah seperti itu. Hanya saja tidak dikatakan bahwa ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal terletak di garis tengah. Pertimbangkan tugas-tugasnya:
27819. Temukan garis tengah trapesium jika alasnya 30 dan 16.
Kami menghitung dengan rumus:
27820. Garis tengah trapesium adalah 28 dan alas yang lebih kecil adalah 18. Temukan alas trapesium yang lebih besar.
Mari kita nyatakan basis yang lebih besar:
Lewat sini:
27836. Garis tegak lurus, diturunkan dari puncak sudut tumpul ke dasar yang lebih besar dari trapesium sama kaki, membaginya menjadi bagian-bagian dengan panjang 10 dan 4. Temukan garis tengah trapesium ini.
Untuk menemukan garis tengah, Anda perlu mengetahui dasarnya. Basis AB mudah ditemukan: 10 + 4 = 14. Temukan DC.
Mari kita buat DF tegak lurus kedua:
AF, FE dan EB masing-masing akan menjadi 4, 6 dan 4. Mengapa?
Dalam trapesium sama kaki, garis tegak lurus yang diturunkan ke alas yang lebih besar membaginya menjadi tiga segmen. Dua di antaranya, yang merupakan kaki dari segitiga siku-siku yang dipotong, sama besar satu sama lain. Segmen ketiga sama dengan alas yang lebih kecil, karena ketika membangun ketinggian yang ditunjukkan, persegi panjang terbentuk, dan dalam persegi panjang sisi yang berlawanan sama. Dalam tugas ini:
Jadi DC = 6. Kami menghitung:
27839. Alas trapesium adalah 2: 3, dan garis tengahnya adalah 5. Temukan alas yang lebih kecil.
Mari kita perkenalkan koefisien proporsionalitas x. Maka AB = 3x, DC = 2x. Kita dapat menulis:
Oleh karena itu, basis yang lebih kecil adalah 2 2 = 4.
27840. Keliling trapesium sama kaki adalah 80, garis tengahnya sama dengan sisi lateral. Temukan sisi trapesium.
Berdasarkan kondisi tersebut, kita dapat menulis:
Jika Anda menetapkan garis tengah melalui nilai x, Anda mendapatkan:
Persamaan kedua sudah dapat ditulis dalam bentuk:
27841. Garis tengah trapesium adalah 7, dan salah satu alasnya lebih besar dari yang lain sebesar 4. Temukan alas trapesium yang lebih besar.
Mari kita nyatakan basis yang lebih kecil (DC) sebagai x, maka basis yang lebih besar (AB) akan sama dengan x + 4. Kita bisa menulis
Kami mendapatkan bahwa basis yang lebih rendah adalah awal lima, jadi yang lebih besar adalah 9.
27842. Garis tengah trapesium adalah 12. Salah satu diagonal membaginya menjadi dua segmen, selisihnya adalah 2. Temukan alas trapesium yang lebih besar.
Kita dapat dengan mudah menemukan alas trapesium yang lebih besar jika kita menghitung segmen EO. Ini adalah garis tengah pada segitiga ADB, dan AB = 2 EO.
Apa yang kita miliki? Dikatakan bahwa garis tengah adalah 12 dan perbedaan antara segmen EO dan OF adalah 2. Kita dapat menuliskan dua persamaan dan menyelesaikan sistem:
Jelas bahwa dalam hal ini dimungkinkan untuk mengambil sepasang angka tanpa perhitungan, ini adalah 5 dan 7. Namun, bagaimanapun, kami akan menyelesaikan sistem:
Oleh karena itu EO = 12–5 = 7. Jadi, basa yang lebih besar sama dengan AB = 2 EO = 14.
27844. Dalam trapesium sama kaki, diagonal-diagonalnya tegak lurus. Tinggi trapesium adalah 12. Tentukan garis tengahnya.
Segera, kami mencatat bahwa ketinggian yang ditarik melalui titik persimpangan diagonal dalam trapesium sama kaki terletak pada sumbu simetri dan membagi trapesium menjadi dua trapesium persegi panjang yang sama, yaitu alas dari ketinggian ini dibagi dua.
Tampaknya untuk menghitung garis tengah, kita harus menemukan pangkalan. Di sini kebuntuan kecil muncul ... Bagaimana, mengetahui ketinggian, dalam hal ini, menghitung pangkalan? Dan bukan bagaimana! Ada banyak trapesium seperti itu dengan ketinggian tetap dan diagonal yang berpotongan pada sudut 90 derajat. Bagaimana menjadi?
Perhatikan rumus garis tengah trapesium. Lagi pula, kita tidak perlu mengetahui alasannya sendiri, cukup mengetahui jumlah mereka (atau setengah jumlah). Kita bisa melakukan ini.
Karena diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus, segitiga siku-siku sama kaki terbentuk dengan tinggi EF:
Dari persamaan di atas, maka FO = DF = FC, dan OE = AE = EB. Sekarang mari kita tuliskan berapa tinggi yang dinyatakan dalam ruas-ruas DF dan AE:
Jadi garis tengahnya adalah 12.
* Secara umum, ini adalah tugas, seperti yang Anda pahami, untuk penghitungan verbal. Tapi saya yakin penjelasan rinci yang diberikan diperlukan. Jadi ... Jika Anda melihat gambar (asalkan sudut antara diagonal diamati selama konstruksi), persamaan FO = DF = FC, dan OE = AE = EB, langsung menarik perhatian Anda.
Sebagai bagian dari prototipe, ada juga jenis tugas dengan trapesium. Itu dibangun di atas selembar di dalam sangkar dan Anda perlu menemukan garis tengah, sisi sangkar biasanya 1, tetapi mungkin ada nilai yang berbeda.
27848. Temukan garis tengah trapesium ABCD jika sisi sel persegi adalah 1.
Sederhana saja, kami menghitung basis dengan sel dan menggunakan rumus: (2 + 4) / 2 = 3
Jika pangkalan dibangun pada sudut ke kisi sel, maka ada dua cara. Misalnya!
Tujuan pelajaran:
1) mengenalkan siswa dengan konsep garis tengah trapesium, mempertimbangkan sifat-sifatnya dan membuktikannya;
2) mengajarkan cara membangun garis tengah trapesium;
3) mengembangkan kemampuan siswa dalam menggunakan definisi garis tengah trapesium dan sifat-sifat garis tengah trapesium dalam menyelesaikan soal;
4) terus membentuk kemampuan siswa untuk berbicara dengan benar, menggunakan istilah-istilah matematika yang diperlukan; buktikan sudut pandang Anda;
5) mengembangkan pemikiran logis, memori, perhatian.
Selama kelas
1. Memeriksa pekerjaan rumah yang terjadi selama pelajaran. Pekerjaan rumah dilakukan secara lisan, ingat:
a) definisi trapesium; jenis trapesium;
b) menentukan garis tengah segitiga;
c) sifat garis tengah segitiga;
d) tanda garis tengah segitiga.
2. Mempelajari materi baru.
a) Papan menunjukkan trapesium ABCD.
b) Guru menyarankan untuk mengingat definisi trapesium. Setiap meja sekolah memiliki diagram petunjuk yang membantu mengingat konsep dasar dalam topik "Trapezium" (lihat Lampiran 1). Lampiran 1 dikeluarkan untuk setiap meja sekolah.
Siswa menggambar trapesium ABCD di buku catatan.
c) Guru menyarankan untuk mengingat topik apa konsep garis tengah ditemukan (“Garis tengah segitiga”). Siswa mengingat definisi garis tengah segitiga dan sifat-sifatnya.
e) Tuliskan definisi garis tengah trapesium, gambarkan dalam buku catatan.
Garis tengah trapesium disebut ruas yang menghubungkan titik tengah sisi lateralnya.
Sifat-sifat garis tengah trapesium pada tahap ini masih belum terbukti, oleh karena itu, tahap berikutnya dari pelajaran ini adalah mengerjakan pembuktian sifat garis tengah trapesium.
Dalil. Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan jumlah setengahnya.
Diberikan: ABCD - trapesium,
MN - garis tengah ABCD
Membuktikan, Apa:
1. SM || MN || IKLAN.
2. MN = (AD + SM).
Kita dapat menuliskan beberapa konsekuensi yang mengikuti dari kondisi teorema:
AM = MB, CN = ND, BC || IKLAN.
Tidak mungkin untuk membuktikan apa yang diperlukan hanya berdasarkan properti yang terdaftar. Sistem pertanyaan dan latihan harus mengarahkan siswa pada keinginan untuk menghubungkan garis tengah trapesium dengan garis tengah segitiga, yang sifat-sifatnya sudah mereka ketahui. Jika tidak ada saran, maka Anda dapat mengajukan pertanyaan: bagaimana membangun segitiga di mana segmen MN akan menjadi garis tengah?
Mari kita tuliskan konstruksi tambahan untuk salah satu kasus.
Tarik garis BN yang memotong perpanjangan sisi AD di titik K.
Elemen tambahan muncul - segitiga: ABD, BNM, DNK, BCN. Jika kita membuktikan bahwa BN = NK, maka ini berarti bahwa MN adalah garis tengah ABD, dan kemudian dimungkinkan untuk menggunakan sifat garis tengah sebuah segitiga dan membuktikan apa yang diperlukan.
Bukti:
1. Pertimbangkan BNC dan DNK, di dalamnya:
a) CNB = DNK (properti sudut vertikal);
b) BCN = NDK (properti sudut melintang);
c) CN = ND (sesuai dengan kondisi teorema).
Oleh karena itu BNC = DNK (sepanjang sisi dan dua sudut yang berdekatan).
Q.E.D.
Pembuktian dapat dilakukan secara lisan dalam pelajaran, dan di rumah dapat dikembalikan dan ditulis dalam buku catatan (atas kebijaksanaan guru).
Perlu dikatakan tentang cara lain yang mungkin untuk membuktikan teorema ini:
1. Gambarlah salah satu diagonal trapesium dan gunakan tanda dan sifat garis tengah segitiga.
2. Lakukan CF || BA dan perhatikan jajaran genjang ABCF dan DCF.
3. Lakukan EF || BA dan pertimbangkan persamaan FND dan ENC.
g) Pada tahap ini diberikan pekerjaan rumah: hal.84, buku teks, ed. Atanasyan L.S. (bukti properti garis tengah trapesium secara vektor), tulis di buku catatan.
h) Kami memecahkan masalah menggunakan definisi dan sifat-sifat garis tengah trapesium sesuai dengan gambar yang sudah jadi (lihat Lampiran 2). Lampiran 2 dikeluarkan untuk setiap siswa, dan solusi masalah dibuat pada lembar yang sama dalam bentuk singkat.
daerah trapesium. Salam pembuka! Dalam posting ini, kita akan melihat formula yang ditentukan. Mengapa dia persis sama dan bagaimana memahaminya. Jika ada pemahaman, maka Anda tidak perlu mempelajarinya. Jika Anda hanya ingin melihat formula ini dan apa yang mendesak, maka Anda dapat langsung menggulir halaman ke bawah))
Sekarang secara rinci dan teratur.
Trapesium adalah segi empat, dua sisi segiempat ini sejajar, dua lainnya tidak. Yang tidak sejajar adalah alas trapesium. Dua lainnya disebut sisi.
Jika sisi-sisinya sama, maka trapesium disebut sama kaki. Jika salah satu sisi lateral tegak lurus dengan alasnya, maka trapesium seperti itu disebut persegi panjang.
Dalam bentuk klasik, trapesium digambarkan sebagai berikut - alas yang lebih besar ada di bagian bawah, yang lebih kecil di bagian atas. Tapi tidak ada yang melarang menggambarkan dirinya dan sebaliknya. Berikut sketsa-sketsanya:
Konsep penting berikutnya.
Garis tengah trapesium adalah ruas garis yang menghubungkan titik tengah sisi-sisinya. Garis tengah sejajar dengan alas trapesium dan sama dengan jumlah setengahnya.
Sekarang mari kita selidiki lebih dalam. Kenapa gitu?
Perhatikan trapesium dengan alas a dan b dan dengan garis tengah aku, dan kami akan melakukan beberapa konstruksi tambahan: menggambar garis lurus melalui alas, dan tegak lurus melalui ujung garis tengah hingga berpotongan dengan alas:
* Penunjukan huruf dari simpul dan titik lain tidak sengaja diperkenalkan untuk menghindari penunjukan yang tidak perlu.
Perhatikan, segitiga 1 dan 2 sama besar pada tanda persamaan kedua segitiga, segitiga 3 dan 4 adalah sama. Kesetaraan segitiga menyiratkan kesetaraan elemen, yaitu kaki (masing-masing ditunjukkan dengan warna biru dan merah).
Sekarang perhatian! Jika kita secara mental "memotong" segmen biru dan merah dari dasar bawah, maka kita akan memiliki segmen (ini adalah sisi persegi panjang) yang sama dengan garis tengah. Selanjutnya, jika kita "menempelkan" garis biru dan merah yang terpotong ke dasar atas trapesium, maka kita juga akan mendapatkan segmen (ini juga sisi persegi panjang) yang sama dengan garis tengah trapesium.
Mengerti? Ternyata jumlah alasnya akan sama dengan dua garis tengah trapesium:
Lihat penjelasan lainnya
Mari kita lakukan hal berikut - membangun garis lurus yang melewati dasar trapesium yang lebih rendah dan garis lurus yang akan melewati titik A dan B:
Kami mendapatkan segitiga 1 dan 2, mereka sama di sisi dan sudut yang berdekatan dengannya (tanda kedua persamaan segitiga). Ini berarti bahwa segmen yang dihasilkan (dalam sketsa ditunjukkan dengan warna biru) sama dengan alas atas trapesium.
Sekarang perhatikan segitiga:
* Garis tengah trapesium ini dan garis tengah segitiga bertepatan.
Diketahui sebuah segitiga sama dengan setengah dari alas sejajarnya, yaitu:
Oke, diurutkan. Sekarang tentang luas trapesium.
Rumus luas trapesium:
Mereka mengatakan: luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah alasnya dan tingginya.
Artinya, ternyata sama dengan produk dari garis tengah dan tinggi:
Anda mungkin telah memperhatikan sekarang bahwa ini sudah jelas. Secara geometris, ini dapat dinyatakan sebagai berikut: jika kita secara mental memotong segitiga 2 dan 4 dari trapesium dan menempatkannya, masing-masing, pada segitiga 1 dan 3:
Kemudian kita mendapatkan persegi panjang yang luasnya sama dengan luas trapesium kita. Luas persegi panjang ini akan sama dengan produk dari garis tengah dan tinggi, yaitu, kita dapat menulis:
Tapi intinya di sini bukan pada rekamannya, tentu saja, tetapi pada pemahamannya.
Unduh (lihat) materi artikel dalam format * pdf
Itu saja. Sukses untuk Anda!
Hormat kami, Alexander.
Memuat ...