Pembagian polinomial dengan "kolom" ("sudut"). Pembagian polinomial dengan sudut Membagi ekspresi dengan ekspresi online

Penyataan

sisa pribadi tidak lengkap.

Komentar

Untuk setiap polinomial $A(x)$ dan $B(x)$ (derajat $B(x)$ lebih besar dari 0) ada polinomial unik $Q(x)$ dan $R(x)$ dari kondisi asersi.

  1. Sisanya setelah membagi polinomial $x^(4) + 3x^(3) +5$ dengan $x^(2) + 1$ adalah $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
  2. Sisanya setelah membagi polinomial $x^(4) + 3x^(3) +5$ dengan $x^(4) + 1$ adalah $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
  3. Sisanya setelah membagi polinomial $x^(4) + 3x^(3) +5$ dengan $x^(6) + 1$ adalah $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Penyataan

Untuk dua polinomial $A(x)$ dan $B(x)$ (di mana derajat polinomial $B(x)$ bukan nol), terdapat representasi polinomial $A(x)$ dalam bentuk $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, di mana $Q(x)$ dan $R(x)$ adalah polinomial dan derajat $R(x)$ lebih kecil dari derajat $B(x).$

Bukti

Kami akan membuktikan pernyataan dengan induksi pada derajat polinomial $A(x).$ Dilambangkan dengan $n$. Jika $n = 0$, pernyataan tersebut benar: $A(x)$ dapat direpresentasikan sebagai $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Sekarang, biarkan pernyataan tersebut dibuktikan untuk polinomial derajat $n \ leqm$. Mari kita buktikan pernyataan polinomial berderajat $k= n+1.$

Biarkan derajat polinomial $B(x)$ sama dengan $m$. Pertimbangkan tiga kasus: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ dan buktikan asersi masing-masing.

  1. $k< m$
    Polinomial $A(x)$ dapat direpresentasikan sebagai

    $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

    Penegasan telah dibuat.

  2. $k = m$
    Biarkan polinomial $A(x)$ dan $B(x)$ memiliki bentuk

    $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \titik + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(di mana ) \: a_(n+1) \neq 0;$

    $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \titik + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(di mana ) \: b_(n+1) \neq 0.$

    Mari kita nyatakan $A(x)$ sebagai

    $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Besar(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Besar).$

    Perhatikan bahwa derajat polinomial $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ paling banyak $n+1$, maka representasi ini adalah yang diinginkan dan pernyataan terpenuhi.

  3. $k > m$
    Kami mewakili polinomial $A(x)$ dalam bentuk

    $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \titik + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (di mana) \: a_(n+1) \neq 0.$

    Pertimbangkan polinomial $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ dapat direpresentasikan sebagai $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, dimana derajat polinomial $R"(x)$ lebih kecil dari $m$, maka representasi untuk $A(x) $ dapat ditulis ulang sebagai

    $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

    Perhatikan bahwa derajat polinomial $xR"(x)$ kurang dari $m+1$, yaitu kurang dari $k$. Maka $xR"(x)$ memenuhi asumsi induktif dan dapat direpresentasikan sebagai $ xR" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, di mana derajat polinomial $R""(x)$ kurang dari $m$. Tulis ulang representasi untuk $A (x)$ sebagai

    $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

    $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

    Derajat polinomial $R""(x) + a_(0)$ lebih kecil dari $m$, jadi pernyataan ini benar.

Pernyataan itu terbukti.

Dalam hal ini, polinomial $R(x)$ disebut sisa dari membagi $A(x)$ dengan $B(x)$, dan $Q(x)$ - pribadi yang tidak lengkap.

Jika sisa $R(x)$ adalah polinomial nol, maka $A(x)$ dikatakan habis dibagi $B(x)$.

Sebuah bukti diberikan bahwa pecahan tak wajar yang terdiri dari polinomial dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari polinomial dan pecahan biasa. Contoh pembagian polinomial dengan sudut dan perkalian dengan kolom dianalisis secara rinci.

Isi

Dalil

Biarkan Pk (x), Qn (x) adalah polinomial dalam variabel x derajat k dan n , masing-masing, dengan k n . Maka polinomial P k (x) hanya dapat direpresentasikan dengan cara berikut:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
dimana S k-n (x)- polinomial derajat k-n , U n- 1 (x)- polinomial derajat tidak lebih tinggi dari n- 1 , atau nol.

Bukti

Menurut definisi polinomial:
;
;
;
,
di mana p i , q i - koefisien yang diketahui, s i , u i - koefisien yang tidak diketahui.

Mari kita perkenalkan notasi:
.
Pengganti dalam (1) :
;
(2) .
Suku pertama di ruas kanan adalah polinomial berderajat k. Jumlah suku kedua dan ketiga adalah polinomial derajat paling banyak k - 1 . Samakan koefisien pada x k :
p k = s k-n q n .
Jadi s k-n = p k / q n .

Mari kita ubah persamaannya (2) :
.
Mari kita perkenalkan notasi: .
Karena s k-n = p k / q n , maka koefisien pada x k sama dengan nol. Oleh karena itu - ini adalah polinomial derajat paling banyak k - 1 , . Maka persamaan sebelumnya dapat ditulis ulang menjadi:
(3) .

Persamaan ini memiliki bentuk yang sama dengan persamaan (1) , hanya nilai k yang menjadi 1 lebih kecil. Mengulangi prosedur ini k-n kali, kita mendapatkan persamaan:
,
dari mana kita menentukan koefisien polinomial U n- 1 (x).

Jadi, kami telah menentukan semua koefisien yang tidak diketahui s i , u l . Selain itu, s k-n 0 . Lemmanya terbukti.

Pembagian polinomial

Membagi kedua ruas persamaan (1) pada Q n (x), kita mendapatkan:
(4) .
Dengan analogi dengan angka desimal, S k-n (x) disebut bagian bilangan bulat dari pecahan atau pribadi, U n- 1 (x)- sisa pembagian. Pecahan polinomial yang derajat polinomial pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial penyebutnya disebut pecahan biasa. Pecahan polinomial yang derajat polinomial pembilangnya lebih besar atau sama dengan derajat polinomial penyebutnya disebut pecahan biasa.

persamaan (4) menunjukkan bahwa setiap pecahan polinomial yang tidak wajar dapat disederhanakan dengan menyatakannya sebagai jumlah dari bagian bilangan bulat dan pecahan biasa.

Pada intinya, bilangan desimal bilangan bulat adalah polinomial, di mana variabelnya sama dengan bilangan itu 10 . Sebagai contoh, mari kita ambil nomor 265847. Ini dapat direpresentasikan sebagai:
.
Artinya, itu adalah polinomial derajat kelima dari 10 . Angka 2, 6, 5, 8, 4, 7 adalah koefisien ekspansi dari angka dalam pangkat 10.

Oleh karena itu, polinomial dapat diterapkan pada aturan pembagian dengan sudut (kadang-kadang disebut pembagian dengan kolom), yang diterapkan pada pembagian bilangan. Satu-satunya perbedaan adalah, saat membagi polinomial, Anda tidak perlu mengonversi angka yang lebih besar dari sembilan ke angka yang lebih tinggi. Pertimbangkan proses membagi polinomial dengan sudut menggunakan contoh spesifik.

Contoh pembagian polinomial dengan sudut


.

Di sini pembilangnya adalah polinomial derajat keempat. Penyebutnya adalah polinomial derajat kedua. Sejauh 4 ≥ 2 , maka pecahan tersebut tidak benar. Kami memilih bagian bilangan bulat dengan membagi polinomial dengan sudut (dalam kolom):



Mari kita berikan penjelasan rinci tentang proses pembagian. Polinomial asli ditulis di kolom kiri dan kanan. Di bawah polinomial penyebut, di kolom kanan, kami menggambar garis horizontal (sudut). Di bawah garis ini, pada suatu sudut, akan ada bagian bilangan bulat dari pecahan.

1.1 Kami menemukan anggota pertama dari bagian bilangan bulat (di bawah sudut). Untuk melakukan ini, kami membagi suku tertinggi dari pembilang dengan suku tertinggi dari penyebut: .

1.2 Berkembang biak 2x2 pada x 2 - 3x + 5:
. Hasilnya ditulis di kolom kiri:

1.3 Kami mengambil perbedaan polinomial di kolom kiri:

.



Jadi, kami mendapat hasil antara:
.

Pecahan di ruas kanan salah karena derajat polinomial pembilangnya ( 3 ) lebih besar atau sama dengan derajat polinomial penyebut ( 2 ). Kami ulangi perhitungannya. Hanya sekarang pembilang pecahan berada di baris terakhir kolom kiri.
2.1 Bagilah anggota senior pembilang dengan anggota senior penyebut: ;

2.2 Kita kalikan dengan penyebutnya: ;

2.3 Dan kurangi dari baris terakhir kolom kiri: ;


Hasil antara:
.

Kami ulangi perhitungannya lagi, karena ada pecahan yang tidak wajar di ruas kanan.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Jadi kami mendapat:
.
Derajat polinomial pembilang pecahan kanan lebih kecil dari derajat polinomial penyebutnya, 1 < 2 . Oleh karena itu, pecahannya benar.

;
2 x 2 - 4 x + 1 adalah seluruh bagian;
x- 8 - sisa pembagian.

Contoh 2

Pilih bagian bilangan bulat dari pecahan dan temukan sisa pembagiannya:
.

Kami melakukan tindakan yang sama seperti pada contoh sebelumnya:

Di sini sisa pembagian adalah nol:
.

Perkalian polinomial dengan kolom

Anda juga dapat mengalikan polinomial dengan kolom, mirip dengan perkalian bilangan bulat. Mari kita pertimbangkan contoh spesifik.

Contoh perkalian polinomial dengan kolom

Cari produk polinomial:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Hasilnya ditulis dalam kolom, menyelaraskan kekuatan x.

3
;
;
;
.

Perhatikan bahwa hanya koefisien yang dapat ditulis, dan pangkat variabel x dapat dihilangkan. Kemudian perkalian dengan kolom polinomial akan terlihat seperti ini:

Contoh 2

Temukan produk polinomial dalam kolom:
.

Saat mengalikan polinomial dengan kolom, penting untuk menuliskan pangkat variabel x yang sama di bawah satu sama lain. Jika beberapa pangkat x dihilangkan, maka pangkat tersebut harus ditulis secara eksplisit dengan mengalikan dengan nol, atau meninggalkan spasi.

Dalam contoh ini, beberapa derajat dihilangkan. Oleh karena itu, kami menulisnya secara eksplisit, dikalikan dengan nol:
.
Kami mengalikan polinomial dengan kolom.

1 Kami menulis polinomial asli di bawah satu sama lain dalam kolom dan menggambar garis.

2.1 Kami mengalikan suku terendah dari polinomial kedua dengan polinomial pertama:
.
Hasilnya ditulis dalam kolom.

2.2 Suku berikutnya dari polinomial kedua sama dengan nol. Oleh karena itu, produknya dengan polinomial pertama juga sama dengan nol. Baris nol dapat dihilangkan.

2.3 Kami mengalikan suku berikutnya dari polinomial kedua dengan polinomial pertama:
.
Hasilnya ditulis dalam kolom, menyelaraskan kekuatan x.

2.3 Kami mengalikan suku (tertinggi) berikutnya dari polinomial kedua dengan polinomial pertama:
.
Hasilnya ditulis dalam kolom, menyelaraskan kekuatan x.

3 Setelah semua suku dari polinomial kedua dikalikan dengan yang pertama, kita menggambar garis dan menambahkan suku-suku dengan pangkat yang sama x:
.

Pandangan umum tentang monomial

f(x)=axn, di mana:

-sebuah- koefisien yang dapat dimiliki oleh salah satu himpunan N, Z, Q, R, C

-x- variabel

-n eksponen yang termasuk dalam himpunan N

Dua monomial adalah serupa jika mereka memiliki variabel yang sama dan eksponen yang sama.

Contoh: 3x2 dan -5x2; x 4 dan 23x4

Jumlah monomial yang tidak serupa satu sama lain disebut polinomial (atau polinomial). Dalam hal ini, monomial adalah istilah dari polinomial. Suatu polinomial yang mengandung dua suku disebut binomial (atau binomial).
Contoh: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Suatu polinomial yang mengandung tiga suku disebut trinomial.

Bentuk umum polinomial dengan satu variabel

di mana:

  • a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0 adalah koefisien polinomial. Mereka dapat berupa bilangan asli, bilangan bulat, rasional, nyata, atau kompleks.
  • sebuah- koefisien pada suku dengan eksponen tertinggi (koefisien utama)
  • sebuah 0- koefisien pada suku dengan eksponen terkecil (suku bebas, atau konstan)
  • n- derajat polinomial

Contoh 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

  • polinomial derajat ketiga dengan koefisien 5, -2, 7 dan -1
  • 5 - faktor utama
  • -1 - anggota gratis
  • x- variabel

Contoh 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

  • polinomial derajat keempat dengan koefisien -2√3.½ dan -4
  • -2√3 - faktor utama
  • -4 - anggota gratis
  • x- variabel

Pembagian polinomial

p(x) dan q(x)- dua polinomial:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Untuk menemukan hasil bagi dan sisa pembagian p(x) pada q(x), Anda perlu menggunakan algoritme berikut:

  1. Derajat p(x) harus lebih besar atau sama dengan q(x).
  2. Kita harus menulis kedua polinomial dalam urutan menurun. Jika di p(x) tidak ada istilah dengan derajat apa pun, itu harus ditambahkan dengan koefisien 0.
  3. Anggota utama p(x) dibagi menjadi anggota terkemuka q(x), dan hasilnya ditulis di bawah garis pemisah (dalam penyebut).
  4. Kami mengalikan hasilnya dengan semua istilah q(x) dan tuliskan hasilnya dengan tanda yang berlawanan di bawah istilah p(x) dengan derajat yang sesuai.
  5. Kami menambahkan istilah demi istilah istilah dengan derajat yang sama.
  6. Kami menetapkan istilah yang tersisa untuk hasil p(x).
  7. Kami membagi suku terdepan dari polinomial yang dihasilkan dengan suku pertama dari polinomial q(x) dan ulangi langkah 3-6.
  8. Prosedur ini diulang sampai polinomial yang baru diperoleh memiliki derajat kurang dari q(x). Polinomial ini akan menjadi sisa pembagian.
  9. Polinomial yang ditulis di bawah garis pemisah merupakan hasil pembagian (quotient).

Contoh 1
Langkah 1 dan 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 BERHENTI

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Pribadi

Jawaban: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Contoh 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) BERHENTI

x 2 +3x+12 --> Hasil Bagi C(x)

Jawaban: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Pembagian dengan polinomial derajat pertama

Pembagian ini dapat dilakukan dengan menggunakan algoritma di atas, atau bahkan lebih cepat menggunakan metode Horner.
Jika sebuah f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, polinomial dapat ditulis ulang sebagai f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- polinomial derajat pertama q(x)=mx+n
Maka polinomial dalam hasil bagi akan memiliki derajat n-1.

Menurut metode Horner, $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 = a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
di mana b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- pribadi. Sisanya akan berupa polinomial dengan derajat nol, karena derajat polinomial di sisa harus lebih kecil dari derajat pembagi.
Pembagian dengan sisa p(x)=q(x).c(x)+r p(x)=(mx+n).c(x)+r jika $x_0=-\frac(n)(m)$
Perhatikan bahwa p(x 0)=0.c(x 0)+r p(x 0)=r

Contoh 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 = 3

b 3 \u003d 5
b 2 \u003d 3,5-2 \u003d 13
b 1 =3.13+4=43 c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 \u003d 3.43-6 \u003d 123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Contoh 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7 b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Contoh 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Panah kanan c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Kesimpulan
Jika kita membagi polinomial dengan derajat lebih tinggi dari satu, kita perlu menggunakan algoritma untuk menemukan hasil bagi dan sisanya 1-9 .
Jika kita membagi dengan polinomial derajat pertama mx+n, kemudian untuk menemukan hasil bagi dan sisanya, Anda perlu menggunakan metode Horner dengan $x_0=-\frac(n)(m)$.
Jika kita hanya tertarik pada sisa pembagian, cukup dengan mencari p(x0).
Contoh 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 = 1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5

Biarkan itu diperlukan

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) (2x - 1).

Di sini produk (2x 3 - 7x 2 + x + 1) dan satu faktor (2x - 1) diberikan, - Anda perlu mencari faktor lain. Dalam contoh ini, segera jelas (tetapi ini tidak dapat ditentukan secara umum) bahwa faktor lain, yang diinginkan, atau hasil bagi, juga merupakan polinomial. Ini jelas karena produk ini memiliki 4 suku, dan pengali ini hanya 2. Namun, tidak mungkin untuk mengatakan terlebih dahulu berapa banyak suku yang dimiliki pengganda yang diinginkan: mungkin ada 2 suku, 3 suku, dst. Mengingat suku tertinggi dari produk selalu ternyata dari mengalikan suku tertinggi dari satu faktor dengan suku tertinggi lainnya (lihat perkalian polinomial dengan polinomial) dan bahwa tidak mungkin ada suku seperti ini, kami yakin bahwa 2x 3 (suku tertinggi dari produk ini) akan diperoleh dari mengalikan 2x (suku tertinggi dari faktor ini ) dengan suku awal yang tidak diketahui dari pengali yang dicari. Untuk menemukan yang terakhir, oleh karena itu, kita harus membagi 2x 3 dengan 2x - kita mendapatkan x 2 . Ini adalah anggota senior dari swasta.

Ingatlah bahwa ketika mengalikan polinomial dengan polinomial, setiap suku dari satu polinomial harus dikalikan dengan setiap suku yang lain. Oleh karena itu, hasil kali ini (2x 3 - 7x 2 + x + 1) adalah hasil kali pembagi (2x - 1) dan semua suku hasil bagi. Tetapi sekarang kita dapat menemukan produk dari pembagi dan anggota pertama (tertinggi) dari hasil bagi, yaitu (2x - 1) x 2; kita dapatkan 2x 3 - x 2 . Mengetahui hasil kali pembagi dengan semua suku hasil bagi (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) dan mengetahui hasil kali pembagi dengan suku pertama hasil bagi (it = 2x 3 - x 2), dengan pengurangan kita dapat menemukan produk dari pembagi dengan semua yang lain, kecuali 1, anggota pribadi. Mendapatkan

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Suku tertinggi (–6x 2) dari hasil kali sisa ini harus merupakan hasil kali dari suku tertinggi dari pembagi (2x) dan suku tertinggi dari sisanya (kecuali suku ke-1) dari hasil bagi. Dari sini kita menemukan istilah senior dari hasil bagi yang tersisa. Kita membutuhkan –6x 2 2x, kita mendapatkan –3x. Ini adalah suku kedua dari hasil bagi yang diinginkan. Kita dapat menemukan kembali hasil kali pembagi (2x - 1) dan suku hasil bagi kedua, yang baru saja ditemukan, yaitu -3x.

Kami mendapatkan (2x - 1) (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. Dari seluruh hasil kali ini, kita telah mengurangkan hasil kali pembagi dengan suku pertama hasil bagi dan mendapatkan sisa -6x 2 + x + 1, yang merupakan hasil kali pembagi dengan sisanya, kecuali suku pertama dari hasil bagi. Mengurangkan dari itu produk yang baru saja ditemukan -6x 2 + 3x, kita mendapatkan sisanya, yang merupakan produk dari pembagi dengan semua yang lain, kecuali anggota hasil bagi ke-1 dan ke-2:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Membagi suku senior sisa hasil kali ini (–2x) dengan suku senior pembagi (2x), kita mendapatkan suku senior sisa hasil bagi, atau suku ketiganya, (–2x) 2x = -1, ini adalah suku ke-3 dari hasil bagi.

Mengalikan pembagi dengan itu, kita mendapatkan

(2x – 1) (–1) = –2x + 1.

Kurangi produk pembagi ini dengan suku ke-3 hasil bagi dari seluruh produk yang tersisa sejauh ini, mis.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

kita akan melihat bahwa dalam contoh kita produk dibagi menjadi sisanya, kecuali untuk 1, 2 dan 3, anggota hasil bagi = 0, dari mana kita menyimpulkan bahwa hasil bagi tidak memiliki anggota lagi, yaitu.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

Dari yang sebelumnya kita lihat: 1) lebih mudah untuk mengatur persyaratan dividen dan pembagi dalam kekuatan menurun, 2) perlu untuk menetapkan semacam urutan untuk melakukan perhitungan. Urutan yang nyaman seperti itu dapat dianggap sebagai urutan yang digunakan dalam aritmatika saat membagi angka multi-nilai. Setelah itu, kami mengatur semua perhitungan sebelumnya sebagai berikut (penjelasan lebih singkat diberikan di samping):

Pengurangan yang diperlukan di sini dilakukan dengan mengubah tanda-tanda dari suku-suku pengurangan, dan tanda-tanda variabel ini ditulis di atas.

Ya, itu tertulis

Ini berarti: pengurangannya adalah 2x 3 - x 2, dan setelah mengubah tanda, kami mendapatkan -2x 3 + x 2.

Karena pengaturan perhitungan yang diterima, karena fakta bahwa istilah pembagian dan pembagi disusun dalam pangkat menurun, dan karena fakta bahwa derajat huruf x di kedua polinomial turun setiap kali 1, ternyata bahwa istilah tersebut ditulis di bawah satu sama lain (misalnya: –7x 2 dan +x 2) mengapa mudah untuk membuangnya. Dapat dicatat bahwa tidak semua anggota dividen diperlukan pada setiap saat perhitungan. Misalnya, suku +1 tidak diperlukan pada saat suku ke-2 dari hasil bagi ditemukan, dan bagian perhitungan ini dapat disederhanakan.


Contoh lainnya:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) (b 2 + a 2 + ab).

Susunlah huruf a dalam pangkat menurun dan bagi hasil serta pembaginya:


(Perhatikan bahwa di sini, karena tidak adanya istilah dengan 3 dalam dividen, pada pengurangan pertama ternyata istilah yang tidak mirip -a 2 b 2 dan -2a 3 b ditandatangani di bawah satu sama lain. Tentu saja, mereka tidak dapat dikurangi menjadi satu periode dan keduanya ditulis di bawah garis senioritas).


Dalam kedua contoh, kita harus lebih memperhatikan istilah yang mirip: 1) istilah yang tidak mirip sering kali ditulis di bawah satu sama lain dan 2) kadang-kadang (seperti, misalnya, dalam contoh terakhir, istilah -4a n dan -a n pada pengurangan pertama) istilah serupa keluar tertulis tidak satu di bawah yang lain.

Pembagian polinomial dimungkinkan dalam urutan yang berbeda, yaitu: setiap kali mencari suku terendah atau seluruh atau sisa bagi. Lebih mudah dalam kasus ini untuk mengatur polinomial ini dalam pangkat menaik dari beberapa huruf. Sebagai contoh:


Artikel ini akan mempertimbangkan pecahan rasional, alokasi bagian bilangan bulatnya. Pecahan benar dan salah. Bila pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya pada suatu pecahan, maka itu adalah pecahan biasa, dan sebaliknya.

Perhatikan contoh pecahan biasa: 1 2, 9 29, 8 17, tidak wajar: 16 3, 21 20, 301 24.

Kita akan menghitung pecahan yang dapat diperkecil, yaitu 12 16 adalah 3 4, 21 14 adalah 3 2.

Saat memilih bagian bilangan bulat, proses pembagian pembilang dengan penyebut dilakukan. Kemudian pecahan seperti itu dapat direpresentasikan sebagai jumlah bilangan bulat dan bagian pecahan, di mana bagian pecahan dianggap sebagai rasio sisa pembagian dan penyebut.

Contoh 1

Temukan sisanya jika 27 dibagi 4.

Keputusan

Perlu untuk membuat pembagian dengan kolom, maka kita mendapatkan itu

Jadi, 27 4 \u003d bagian bilangan bulat + sisa n dan m dan penambang \u003d 6 + 3 4

Menjawab: sisa 3 .

Contoh 2

Pilih seluruh bagian 331 12 dan 41 57 .

Keputusan

Kami membagi penyebut dengan pembilang menggunakan sudut:

Oleh karena itu, kami memiliki 331 12 \u003d 27 + 7 12.

Pecahan kedua benar, yang berarti bahwa bagian bilangan bulat sama dengan nol.

Menjawab: bilangan bulat bagian 27 dan 0 .

Pertimbangkan klasifikasi polinomial, dengan kata lain, fungsi rasional pecahan. Dianggap benar jika derajat pembilangnya lebih kecil dari derajat penyebutnya, jika tidak maka dianggap salah.

Definisi 1

Pembagian polinomial dengan polinomial terjadi sesuai dengan prinsip pembagian dengan sudut, dan representasi fungsi sebagai jumlah dari bagian bilangan bulat dan pecahan.

Untuk membagi polinomial menjadi binomial linier, digunakan skema Horner.

Contoh 3

Bagilah x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 dengan monomial 2 x 2.

Keputusan

Dengan menggunakan sifat pembagian, kita tuliskan bahwa

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Seringkali jenis transformasi ini dilakukan ketika mengambil integral.

Contoh 4

Bagilah polinomial dengan polinomial: 2 x 3 + 3 dengan x 3 + x.

Keputusan

Tanda pembagian dapat ditulis dalam bentuk pecahan 2 x 3 + 3 x 3 + x. Sekarang Anda perlu memilih seluruh bagian. Kami melakukan ini dengan membagi dengan kolom. Kami mengerti

Jadi, kita mendapatkan bahwa bagian bilangan bulat memiliki nilai - 2 x + 3, maka seluruh ekspresinya ditulis sebagai 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Contoh 5

Bagi dan temukan sisanya setelah membagi 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 dengan x 3 + 2 x 2 - 1 .

Keputusan

Mari kita perbaiki pecahan dalam bentuk 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .

Derajat pembilang lebih besar dari pada penyebut, yang berarti bahwa kita memiliki pecahan biasa. Menggunakan pembagian dengan kolom, pilih seluruh bagian. Kami mengerti

Mari kita lakukan pembagian lagi dan dapatkan:

Dari sini kita dapatkan bahwa sisanya adalah - 65 x 2 + 10 x - 3, maka:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2x2 - 1

Ada kasus di mana perlu untuk melakukan konversi pecahan tambahan agar dapat mengungkapkan sisanya saat membagi. Ini terlihat seperti ini:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Artinya sisa pembagian 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 dengan x 3 - 3 menghasilkan nilai - 3 x 2 + 6 x - 4. Untuk menemukan hasilnya dengan cepat, rumus perkalian yang disingkat digunakan.

Contoh 6

Bagilah 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 dengan 2 x + 3 .

Keputusan

Mari kita menulis pembagian sebagai pecahan. Kami mendapatkan bahwa 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Perhatikan bahwa dalam pembilang, ekspresi dapat ditambahkan menggunakan rumus jumlah kubus. Kami memiliki itu

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Polinomial yang diberikan habis dibagi tanpa sisa.

Untuk solusinya, metode solusi yang lebih nyaman digunakan, dan pembagian polinomial dengan polinomial dianggap paling universal, oleh karena itu, sering digunakan ketika memilih bagian bilangan bulat. Entri terakhir harus berisi polinomial yang dihasilkan dari pembagian.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Memuat...Memuat...