Kuadrat dari jumlah dua ekspresi
Ada sejumlah kasus di mana perkalian polinomial dengan polinomial dapat sangat disederhanakan. Seperti, misalnya, kasusnya (2 x+ 3kamu) 2 .
Ekspresi (2 x+ 3kamu) 2 adalah perkalian dua polinomial yang masing-masing sama dengan (2 x+ 3kamu)
(2x+ 3kamu) 2 = (2x+ 3kamu)(2x+ 3kamu)
Kami mendapatkan perkalian polinomial dengan polinomial. Mari kita jalankan:
(2x+ 3kamu) 2 = (2x+ 3kamu)(2x+ 3kamu) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9kamu 2 = 4x 2 + 12xy+ 9kamu 2
Artinya, ekspresi (2 x+ 3kamu) 2 sama dengan 4x 2 + 12xy + 9kamu 2
(2x+ 3kamu) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9kamu 2
Mari kita selesaikan contoh serupa, yang lebih sederhana:
(a+b) 2
Ekspresi ( a+b) 2 adalah perkalian dua polinomial yang masing-masing sama dengan ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Mari kita lakukan perkalian ini:
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = sebuah 2 + ab + ab + b 2 = sebuah 2 + 2ab + b 2
Itu ekspresinya (a+b) 2 sama dengan sebuah 2 + 2ab + b 2
(a+b) 2 = sebuah 2 + 2ab + b 2
Ternyata kasus ( a+b) 2 dapat diperpanjang untuk apa saja sebuah dan b. Contoh pertama yang kita selesaikan, yaitu (2 x+ 3kamu) 2 dapat diselesaikan dengan menggunakan identitas (a+b) 2 = sebuah 2 + 2ab + b 2 . Untuk melakukan ini, Anda perlu mengganti bukan variabel sebuah dan b istilah yang sesuai dari ekspresi (2 x+ 3kamu) 2 . Dalam hal ini, variabel sebuah pertandingan kontol 2 x, dan variabel b pertandingan kontol 3 kamu
sebuah = 2x
b = 3kamu
Dan kemudian kita bisa menggunakan identitasnya (a+b) 2 = sebuah 2 + 2ab + b 2 , tetapi sebagai ganti variabel sebuah dan b Anda perlu mengganti ekspresi 2 x dan 3 kamu masing-masing:
(2x+ 3kamu) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 kamu + (3kamu) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9kamu 2
Seperti terakhir kali, kami mendapat polinomial 4x 2 + 12xy+ 9kamu 2 . Solusinya biasanya ditulis lebih pendek, melakukan semua transformasi dasar dalam pikiran:
(2x+ 3kamu) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9kamu 2
Identitas (a+b) 2 = sebuah 2 + 2ab + b 2 disebut rumus kuadrat dari jumlah dua ekspresi. Rumus ini bisa dibaca seperti ini:
Kuadrat dari jumlah dua ekspresi sama dengan kuadrat dari ekspresi pertama ditambah dua kali produk dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua.
Pertimbangkan ekspresi (2 + 3) 2 . Ini dapat dihitung dengan dua cara: melakukan penambahan dalam tanda kurung dan kuadratkan hasilnya, atau gunakan rumus kuadrat dari jumlah dua ekspresi.
Cara pertama:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Cara kedua:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Contoh 2. Konversi ekspresi (5 sebuah+ 3) 2 menjadi polinomial.
Mari kita gunakan rumus kuadrat dari jumlah dua ekspresi:
(a+b) 2 = sebuah 2 + 2ab + b 2
(5sebuah + 3) 2 = (5sebuah) 2 + 2 × 5 sebuah × 3 + 3 2 = 25sebuah 2 + 30sebuah + 9
Cara, (5sebuah + 3) 2 = 25sebuah 2 + 30sebuah + 9.
Mari kita coba selesaikan contoh ini tanpa menggunakan rumus jumlah kuadrat. Kita harus mendapatkan hasil yang sama:
(5sebuah + 3) 2 = (5sebuah + 3)(5sebuah + 3) = 25sebuah 2 + 15sebuah + 15sebuah + 9 = 25sebuah 2 + 30sebuah + 9
Rumus kuadrat dari jumlah dua ekspresi memiliki arti geometris. Kami ingat bahwa untuk menghitung luas persegi, Anda perlu menaikkan sisinya ke pangkat kedua.
Misalnya, luas persegi dengan sisi sebuah akan sama dengan sebuah 2. Jika Anda menambah sisi persegi dengan b, maka luasnya sama dengan ( a+b) 2
Perhatikan gambar berikut:
Bayangkan bahwa sisi persegi yang ditunjukkan pada gambar ini bertambah sebesar b. Sebuah persegi memiliki semua sisi yang sama. Jika sisinya diperbesar sebesar b, maka sisi lainnya juga akan bertambah sebesar b
Hasilnya adalah kotak baru, yang lebih besar dari yang sebelumnya. Untuk melihatnya dengan baik, mari kita lengkapi sisi yang hilang:
Untuk menghitung luas persegi ini, Anda dapat menghitung secara terpisah persegi dan persegi panjang yang ada di dalamnya, lalu menjumlahkan hasilnya.
Pertama, Anda dapat menghitung persegi dengan sisi sebuah- luasnya akan sama dengan sebuah 2. Kemudian Anda dapat menghitung persegi panjang dengan sisi sebuah dan b- mereka akan sama ab. Kemudian Anda dapat menghitung persegi dengan sisi b
Hasilnya adalah jumlah area berikut:
sebuah 2 + ab+ab + b 2
Jumlah luas persegi panjang yang identik dapat diganti dengan mengalikan 2 ab, yang secara harfiah berarti "ulangi dua kali luas persegi panjang ab" . Secara aljabar, ini diperoleh dengan mengurangi suku-suku sejenis ab dan ab. Hasilnya adalah ekspresi sebuah 2 + 2ab+ b 2 , yang merupakan sisi kanan rumus kuadrat dari jumlah dua ekspresi:
(a+b) 2 = sebuah 2 + 2ab+ b 2
Kuadrat selisih dua ekspresi
Rumus kuadrat selisih dua ekspresi adalah sebagai berikut:
(a-b) 2 = sebuah 2 − 2ab + b 2
Kuadrat selisih dua ekspresi sama dengan kuadrat dari ekspresi pertama dikurangi dua kali produk dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua.
Rumus kuadrat selisih dua ekspresi diturunkan dengan cara yang sama seperti rumus kuadrat jumlah dua ekspresi. Ekspresi ( a-b) 2 adalah produk dari dua polinomial, yang masing-masing sama dengan ( a-b)
(a-b) 2 = (a-b)(a-b)
Jika Anda melakukan perkalian ini, Anda mendapatkan polinomial sebuah 2 − 2ab + b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = sebuah 2 − ab− ab+ b 2 = sebuah 2 − 2ab + b 2
Contoh 1. Konversi ekspresi (7 x 5) 2 menjadi polinomial.
Mari kita gunakan rumus kuadrat selisih dua ekspresi:
(a-b) 2 = sebuah 2 − 2ab + b 2
(7x− 5) 2 = (7x) 2 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Cara, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.
Mari kita coba selesaikan contoh ini tanpa menggunakan rumus kuadrat selisih. Kita harus mendapatkan hasil yang sama:
(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.
Rumus kuadrat selisih dua ekspresi juga memiliki arti geometris. Jika luas persegi dengan sisi sebuah adalah sama dengan sebuah 2 , maka luas persegi yang sisinya dikurangi b, akan sama dengan ( a-b) 2
Perhatikan gambar berikut:
Bayangkan bahwa sisi persegi yang ditunjukkan pada gambar ini dikurangi dengan b. Sebuah persegi memiliki semua sisi yang sama. Jika satu sisi dikurangi dengan b, maka sisi lainnya juga akan berkurang b
Hasilnya adalah kotak baru, yang lebih kecil dari yang sebelumnya. Itu disorot dengan warna kuning pada gambar. Sisinya adalah sebuah− b sejak sisi lama sebuah berkurang sebesar b. Untuk menghitung luas persegi ini, Anda dapat menggunakan luas asli persegi sebuah 2 kurangi luas persegi panjang yang diperoleh dalam proses pengurangan sisi persegi lama. Mari kita tunjukkan persegi panjang ini:
Kemudian kita dapat menulis ekspresi berikut: area lama sebuah 2 dikurangi daerah ab daerah minus ( a-b)b
sebuah 2 − ab − (a-b)b
Perluas tanda kurung dalam ekspresi ( a-b)b
sebuah 2 − ab - ab + b 2
Berikut adalah istilah serupa:
sebuah 2 − 2ab + b 2
Hasilnya adalah ekspresi sebuah 2 − 2ab + b 2 , yang merupakan ruas kanan rumus kuadrat selisih dua ekspresi:
(a-b) 2 = sebuah 2 − 2ab + b 2
Rumus kuadrat dari jumlah dan kuadrat selisih biasanya disebut rumus perkalian disingkat. Rumus ini memungkinkan Anda menyederhanakan dan mempercepat proses perkalian polinomial secara signifikan.
Sebelumnya kami katakan bahwa mempertimbangkan anggota polinomial secara terpisah, itu harus dipertimbangkan bersama dengan tanda yang terletak di depannya.
Tetapi ketika menerapkan rumus perkalian yang disingkat, tanda dari polinomial asli tidak boleh dianggap sebagai tanda dari istilah itu sendiri.
Misalnya, diberikan ekspresi (5 x − 2kamu) 2 , dan kita ingin menggunakan rumus (a-b) 2 = sebuah 2 − 2ab + b 2 , maka alih-alih b perlu diganti 2 kamu, bukan 2 kamu. Ini adalah fitur bekerja dengan formula yang tidak boleh dilupakan.
(5x − 2kamu) 2
sebuah = 5x
b = 2kamu
(5x − 2kamu) 2 = (5x) 2 2 × 5 x×2 kamu + (2kamu) 2 = 25x 2 − 20xy + 4kamu 2
Jika kita substitusikan 2 kamu, maka ini berarti bahwa perbedaan dalam tanda kurung dari ekspresi asli telah diganti dengan jumlah:
(5x − 2kamu) 2 = (5x + (−2kamu)) 2
dan dalam hal ini perlu diterapkan bukan rumus kuadrat selisih, tetapi rumus kuadrat jumlah:
(5x + (−2kamu) 2
sebuah = 5x
b = −2kamu
(5x + (−2kamu)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 kamu) + (−2kamu) 2 = 25x 2 − 20xy + 4kamu 2
Pengecualian mungkin ekspresi dari bentuk (x− (−kamu)) 2 . Dalam hal ini, menggunakan rumus (a-b) 2 = sebuah 2 − 2ab + b 2 alih-alih b harus diganti ( kamu)
(x− (−kamu)) 2 = x 2 2 × x× (− kamu) + (−kamu) 2 = x 2 + 2xy + kamu 2
Tapi mengkuadratkan ekspresi dari bentuk x − (−kamu), akan lebih mudah untuk mengganti pengurangan dengan penambahan x+y. Maka ekspresi aslinya akan berbentuk ( x +kamu) 2 dan akan mungkin untuk menggunakan rumus kuadrat dari jumlah, dan bukan selisihnya:
(x +kamu) 2 = x 2 + 2xy + kamu 2
Jumlah Kubus dan Kubus Selisih
Rumus pangkat tiga dari jumlah dua ekspresi dan pangkat tiga dari selisih dua ekspresi adalah sebagai berikut:
(sebuah + b) 3 = sebuah 3 + 3sebuah 2 b + 3ab 2 + b 3
(a-b) 3 = sebuah 3 − 3sebuah 2 b + 3ab 2 − b 3
Rumus pangkat tiga dari jumlah dua ekspresi dapat dibaca seperti ini:
Kubus dari jumlah dua ekspresi sama dengan pangkat tiga dari ekspresi pertama ditambah tiga kali kuadrat dari ekspresi pertama kali yang kedua ditambah tiga kali produk dari ekspresi pertama kali kuadrat dari yang kedua ditambah pangkat tiga dari yang kedua ekspresi.
Dan rumus pangkat tiga dari selisih dua ekspresi dapat dibaca sebagai berikut:
Kubus selisih dua ekspresi sama dengan pangkat tiga dari ekspresi pertama dikurangi tiga kali hasil kali kuadrat dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah tiga kali produk dari ekspresi pertama dan kuadrat dari kedua dikurangi kubus dari ekspresi kedua.
Saat memecahkan masalah, diinginkan untuk mengetahui formula ini dengan hati. Jika Anda tidak ingat, jangan khawatir! Anda bisa mengeluarkannya sendiri. Kita sudah tahu caranya.
Mari kita turunkan rumus jumlah kubus kita sendiri:
(a+b) 3
Ekspresi ( a+b) 3 adalah produk dari tiga polinomial, yang masing-masing sama dengan ( sebuah+ b)
(a+b) 3 = (sebuah+ b)(sebuah+ b)(sebuah+ b)
Tapi ekspresi ( a+b) 3 juga dapat ditulis sebagai (sebuah+ b)(sebuah+ b) 2
(a+b) 3 = (sebuah+ b)(sebuah+ b) 2
Dalam hal ini, faktor ( sebuah+ b) 2 adalah kuadrat dari jumlah dua ekspresi. Kuadrat jumlah ini sama dengan ekspresi sebuah 2 + 2ab + b 2 .
Kemudian ( a+b) 3 dapat ditulis sebagai (sebuah+ b)(sebuah 2 + 2ab + b 2) .
(a+b) 3 = (sebuah+ b)(sebuah 2 + 2ab + b 2)
Dan ini adalah perkalian polinomial dengan polinomial. Mari kita jalankan:
(a+b) 3 = (sebuah+ b)(sebuah 2 + 2ab + b 2) = sebuah 3 + 2sebuah 2 b + ab 2 + sebuah 2 b + 2ab 2 + b 3 = sebuah 3 + 3sebuah 2 b + 3ab 2 + b 3
Demikian pula, Anda dapat memperoleh rumus untuk pangkat tiga dari perbedaan dua ekspresi:
(a-b) 3 = (sebuah- b)(sebuah 2 − 2ab + b 2) = sebuah 3 − 2sebuah 2 b + ab 2 − sebuah 2 b + 2ab 2 − b 3 = sebuah 3 − 3sebuah 2 b+ 3ab 2 − b 3
Contoh 1. Ubah ekspresi ( x+ 1) 3 menjadi polinomial.
(sebuah + b) 3 = sebuah 3 + 3sebuah 2 b + 3ab 2 + b 3
(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Mari kita coba selesaikan contoh ini tanpa menggunakan rumus pangkat tiga dari jumlah dua ekspresi
(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Contoh 2. Konversi ekspresi (6sebuah 2 + 3b 3) 3 menjadi polinomial.
Mari kita gunakan rumus kubus untuk jumlah dua ekspresi:
(sebuah + b) 3 = sebuah 3 + 3sebuah 2 b + 3ab 2 + b 3
(6sebuah 2 + 3b 3) 3 = (6sebuah 2) 3 + 3 × (6 sebuah 2) 2 × 3 b 3+3×6 sebuah 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216sebuah 6+3×36 sebuah 4 × 3 b 3+3×6 sebuah 2×9 b 6 + 27b 9
Contoh 3. Konversi ekspresi ( n 2 3) 3 menjadi polinomial.
(a-b) = sebuah 3 − 3sebuah 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Contoh 4. Konversi ekspresi (2x 2 − x 3) 3 menjadi polinomial.
Mari kita gunakan rumus pangkat tiga dari perbedaan dua ekspresi:
(a-b) = sebuah 3 − 3sebuah 2 b + 3ab 2 − b 3
(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 3 × (2 x 2) 2× x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9
Mengalikan perbedaan dua ekspresi dengan jumlah mereka
Ada masalah di mana diperlukan untuk mengalikan perbedaan dua ekspresi dengan jumlah mereka. Sebagai contoh:
(a-b)(a+b)
Dalam ekspresi ini, perbedaan dua ekspresi sebuah dan b dikalikan dengan jumlah dari dua ekspresi yang sama. Mari kita lakukan perkalian ini:
(a-b)(a+b) = sebuah 2 + ab − ab − b 2 = sebuah 2 − b 2
Itu ekspresinya (a-b)(a+b) sama dengan sebuah 2 − b 2
(a-b)(a+b) = sebuah 2 − b 2
Kami melihat bahwa ketika mengalikan perbedaan dua ekspresi dengan jumlah mereka, kami mendapatkan perbedaan kuadrat dari ekspresi ini.
Produk dari perbedaan dua ekspresi dan jumlah mereka sama dengan perbedaan kuadrat dari ekspresi ini.
Kejadian (a-b)(a+b) dapat diperpanjang untuk setiap sebuah dan b. Sederhananya, jika ketika memecahkan masalah perlu mengalikan perbedaan dua ekspresi dengan jumlah mereka, maka perkalian ini dapat diganti dengan perbedaan kuadrat dari ekspresi ini.
Contoh 1. Lakukan perkalian (2x − 5)(2x + 5)
Dalam contoh ini, perbedaan ekspresi adalah 2 x dan 5 dikalikan dengan jumlah ekspresi yang sama ini. Kemudian menurut rumus (a-b)(a+b) = sebuah 2 − b 2 kita punya:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2
Kami menghitung sisi kanan, kami mendapatkan 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Mari kita coba selesaikan contoh ini tanpa menggunakan rumus (a-b)(a+b) = sebuah 2 − b 2 . Kita akan mendapatkan hasil yang sama 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25
Contoh 2. Lakukan perkalian (4x − 5kamu)(4x + 5kamu)
(a-b)(a+b) = sebuah 2 − b 2
(4x − 5kamu)(4x + 5kamu) = (4x) 2 − (5kamu) 2 = 16x 2 − 25kamu 2
Contoh 3. Lakukan perkalian (2sebuah+ 3b)(2sebuah− 3b)
Mari kita gunakan rumus untuk mengalikan perbedaan dua ekspresi dengan jumlah mereka:
(a-b)(a+b) = sebuah 2 − b 2
(2sebuah + 3b)(2sebuah- 3b) = (2sebuah) 2 − (3b) 2 = 4sebuah 2 − 9b 2
Dalam contoh ini, jumlah sukunya adalah 2 sebuah dan 3 b terletak lebih awal dari perbedaan istilah ini. Dan dalam rumus (a-b)(a+b) = sebuah 2 − b 2 perbedaan terletak lebih awal.
Tidak ada bedanya bagaimana faktor-faktor itu diatur ( a-b) di ( a+b) dalam rumus. Mereka dapat ditulis sebagai (a-b)(a+b) , dan (a+b)(a-b) . Hasilnya tetap sebuah 2 − b 2 , karena produk tidak berubah dari permutasi faktor.
Jadi dalam contoh ini, faktor (2 sebuah + 3b) dan 2 sebuah- 3b) dapat ditulis sebagai (2sebuah + 3b)(2sebuah- 3b) , dan (2sebuah- 3b)(2sebuah + 3b) . Hasilnya tetap 4. sebuah 2 − 9b 2 .
Contoh 3. Lakukan perkalian (7 + 3x)(3x − 7)
Mari kita gunakan rumus untuk mengalikan perbedaan dua ekspresi dengan jumlah mereka:
(a-b)(a+b) = sebuah 2 − b 2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49
Contoh 4. Lakukan perkalian (x 2 − kamu 3)(x 2 + kamu 3)
(a-b)(a+b) = sebuah 2 − b 2
(x 2 − kamu 3)(x 2 + kamu 3) = (x 2) 2 − (kamu 3) 2 = x 4 − kamu 6
Contoh 5. Lakukan perkalian (−5x− 3kamu)(5x− 3kamu)
Dalam ekspresi (−5 x− 3kamu) kita keluarkan 1, maka ekspresi aslinya akan berbentuk sebagai berikut:
(−5x− 3kamu)(5x− 3kamu) = −1(5x + 3kamu)(5x − 3kamu)
Kerja (5x + 3kamu)(5x − 3kamu) ganti dengan selisih kuadrat:
(−5x− 3kamu)(5x− 3kamu) = −1(5x + 3kamu)(5x − 3kamu) = −1((5x) 2 − (3kamu) 2)
Selisih kuadrat diapit tanda kurung. Jika ini tidak dilakukan, maka 1 hanya dikalikan dengan (5 x) 2 . Dan ini akan menyebabkan kesalahan dan mengubah nilai ekspresi asli.
(−5x− 3kamu)(5x− 3kamu) = −1(5x + 3kamu)(5x − 3kamu) = −1((5x) 2 − (3kamu) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)
Sekarang kalikan 1 dengan ekspresi tanda kurung dan dapatkan hasil akhir:
(−5x− 3kamu)(5x− 3kamu) = −1(5x + 3kamu)(5x − 3kamu) = −1((5x) 2 − (3kamu) 2) =
−1(25x 2 − 9kamu 2) = −25x 2 + 9kamu 2
Mengalikan perbedaan dua ekspresi dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah mereka
Ada masalah di mana diperlukan untuk mengalikan perbedaan dua ekspresi dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah mereka. Bagian ini terlihat seperti ini:
(a-b)(sebuah 2 + ab + b 2)
polinomial pertama ( a-b) adalah perbedaan dari dua ekspresi, dan polinomial kedua (sebuah 2 + ab + b 2) adalah kuadrat tidak lengkap dari jumlah kedua ekspresi ini.
Kuadrat tidak lengkap dari jumlah tersebut adalah polinomial dari bentuk sebuah 2 + ab + b 2 . Ini mirip dengan kuadrat jumlah biasa sebuah 2 + 2ab + b 2
Misalnya, ungkapan 4x 2 + 6xy + 9kamu 2 adalah kuadrat tidak lengkap dari jumlah ekspresi 2 x dan 3 kamu .
Memang, istilah pertama dari ekspresi 4x 2 + 6xy + 9kamu 2 , yaitu 4 x 2 adalah kuadrat dari ekspresi 2 x, karena (2 x) 2 = 4x 2. Suku ketiga dari ekspresi 4x 2 + 6xy + 9kamu 2 , yaitu 9 kamu 2 adalah kuadrat dari 3 kamu, karena (3 kamu) 2 = 9kamu 2. kontol tengah 6 xy, adalah produk dari ekspresi 2 x dan 3 y.
Jadi mari kita kalikan selisihnya ( a-b) dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah sebuah 2 + ab + b 2
(a-b)(sebuah 2 + ab + b 2) = sebuah(sebuah 2 + ab + b 2) − b(sebuah 2 + ab + b 2) =
sebuah 3 + sebuah 2 b + ab 2 − sebuah 2 b − ab 2 − b 3 = sebuah 3 − b 3
Itu ekspresinya (a-b)(sebuah 2 + ab + b 2) sama dengan sebuah 3 − b 3
(a-b)(sebuah 2 + ab + b 2) = sebuah 3 − b 3
Identitas ini disebut rumus untuk mengalikan perbedaan dua ekspresi dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah mereka. Rumus ini bisa dibaca seperti ini:
Produk dari perbedaan dua ekspresi dan kuadrat tidak lengkap dari jumlah mereka sama dengan perbedaan pangkat tiga dari ekspresi ini.
Contoh 1. Lakukan perkalian (2x − 3kamu)(4x 2 + 6xy + 9kamu 2)
Polinomial pertama (2 x − 3kamu) adalah perbedaan dari dua ekspresi 2 x dan 3 kamu. Polinomial kedua 4x 2 + 6xy + 9kamu 2 adalah kuadrat tidak lengkap dari jumlah dua ekspresi 2 x dan 3 kamu. Ini memungkinkan kita untuk menggunakan rumus tanpa membuat perhitungan yang panjang (a-b)(sebuah 2 + ab + b 2) = sebuah 3 − b 3 . Dalam kasus kami, perkalian (2x − 3kamu)(4x 2 + 6xy + 9kamu 2) dapat diganti dengan selisih kubus 2 x dan 3 kamu
(2x − 3kamu)(4x 2 + 6xy + 9kamu 2) = (2x) 3 − (3kamu) 3 = 8x 3 − 27kamu 3
(a-b)(sebuah 2 + ab+ b 2) = sebuah 3 − b 3 . Kami mendapatkan hasil yang sama, tetapi solusinya menjadi lebih lama:
(2x − 3kamu)(4x 2 + 6xy + 9kamu 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9kamu 2) − 3kamu(4x 2 + 6xy + 9kamu 2) =
8x 3 + 12x 2 kamu + 18xy 2 − 12x 2 kamu − 18xy 2 − 27kamu 3 = 8x 3 − 27kamu 3
Contoh 2. Lakukan perkalian (3 − x)(9 + 3x + x 2)
Polinomial pertama (3 x) adalah selisih dari dua ekspresi, dan polinomial kedua adalah kuadrat tidak lengkap dari jumlah kedua ekspresi ini. Ini memungkinkan kita untuk menggunakan rumus (a-b)(sebuah 2 + ab + b 2) = sebuah 3 − b 3
(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3
Mengalikan jumlah dua ekspresi dengan kuadrat tidak lengkap dari perbedaannya
Ada masalah di mana diperlukan untuk mengalikan jumlah dua ekspresi dengan kuadrat tidak lengkap dari perbedaannya. Bagian ini terlihat seperti ini:
(a+b)(sebuah 2 − ab + b 2)
polinomial pertama ( a+b (sebuah 2 − ab + b 2) adalah kuadrat tidak lengkap dari perbedaan dua ekspresi ini.
Kuadrat tidak lengkap dari perbedaan adalah polinomial dari bentuk sebuah 2 − ab + b 2 . Ini mirip dengan perbedaan kuadrat biasa sebuah 2 − 2ab + b 2 kecuali bahwa di dalamnya produk dari ekspresi pertama dan kedua tidak digandakan.
Misalnya, ungkapan 4x 2 − 6xy + 9kamu 2 adalah kuadrat tidak lengkap dari perbedaan ekspresi 2 x dan 3 y.
(2x) 2 − 2x× 3 kamu + (3kamu) 2 = 4x 2 − 6xy + 9kamu 2
Mari kita kembali ke contoh awal. Mari kita kalikan jumlahnya a+b dengan kuadrat selisih yang tidak lengkap sebuah 2 − ab + b 2
(a+b)(sebuah 2 − ab + b 2) = sebuah(sebuah 2 ab + b 2) + b(sebuah 2 − ab + b 2) =
sebuah 3 − sebuah 2 b + ab 2 + sebuah 2 b − ab 2 + b 3 = sebuah 3 + b 3
Itu ekspresinya (a+b)(sebuah 2 − ab + b 2) sama dengan sebuah 3 + b 3
(a+b)(sebuah 2 − ab + b 2) = sebuah 3 + b 3
Identitas ini disebut rumus untuk mengalikan jumlah dua ekspresi dengan kuadrat tidak lengkap dari perbedaannya. Rumus ini bisa dibaca seperti ini:
Produk dari jumlah dua ekspresi dan kuadrat tidak lengkap dari perbedaannya sama dengan jumlah pangkat tiga dari ekspresi ini.
Contoh 1. Lakukan perkalian (2x + 3kamu)(4x 2 − 6xy + 9kamu 2)
Polinomial pertama (2 x + 3kamu) adalah jumlah dari dua ekspresi 2 x dan 3 kamu, dan polinomial kedua 4x 2 − 6xy + 9kamu 2 adalah kuadrat tidak lengkap dari perbedaan ekspresi ini. Ini memungkinkan kita untuk menggunakan rumus tanpa membuat perhitungan yang panjang (a+b)(sebuah 2 − ab + b 2) = sebuah 3 + b 3 . Dalam kasus kami, perkalian (2x + 3kamu)(4x 2 − 6xy + 9kamu 2) dapat diganti dengan jumlah kubus 2 x dan 3 kamu
(2x + 3kamu)(4x 2 − 6xy + 9kamu 2) = (2x) 3 + (3kamu) 3 = 8x 3 + 27kamu 3
Mari kita coba selesaikan contoh yang sama tanpa menggunakan rumus (a+b)(sebuah 2 − ab+ b 2) = sebuah 3 + b 3 . Kami mendapatkan hasil yang sama, tetapi solusinya menjadi lebih lama:
(2x + 3kamu)(4x 2 − 6xy + 9kamu 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9kamu 2) + 3kamu(4x 2 − 6xy + 9kamu 2) =
8x 3 − 12x 2 kamu + 18xy 2 + 12x 2 kamu − 18xy 2 + 27kamu 3 = 8x 3 + 27kamu 3
Contoh 2. Lakukan perkalian (2x+ kamu)(4x 2 − 2xy + kamu 2)
Polinomial pertama (2 x+ kamu) adalah jumlah dari dua ekspresi, dan polinomial kedua (4x 2 − 2xy + kamu 2) adalah kuadrat tidak lengkap dari perbedaan ekspresi ini. Ini memungkinkan kita untuk menggunakan rumus (a+b)(sebuah 2 − ab+ b 2) = sebuah 3 + b 3
(2x+ kamu)(4x 2 − 2xy + kamu 2) = (2x) 3 + kamu 3 = 8x 3 + kamu 3
Mari kita coba selesaikan contoh yang sama tanpa menggunakan rumus (a+b)(sebuah 2 − ab+ b 2) = sebuah 3 + b 3 . Kami mendapatkan hasil yang sama, tetapi solusinya menjadi lebih lama:
(2x+ kamu)(4x 2 − 2xy + kamu 2) = 2x(4x 2 − 2xy + kamu 2) + kamu(4x 2 − 2xy + kamu 2) =
8x 3 − 4x 2 kamu + 2xy 2 + 4x 2 kamu − 2xy 2 + kamu 3 = 8x 3 + kamu 3
Tugas untuk solusi independen
Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup Vkontakte baru kami dan mulai menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru
Dalam pelajaran ini, kita akan berkenalan dengan rumus kuadrat dari jumlah dan kuadrat selisih dan menurunkannya. Mari kita buktikan rumus kuadrat dari jumlah tersebut secara geometris. Selain itu, kami akan menyelesaikan banyak contoh berbeda menggunakan rumus ini.
Perhatikan rumus kuadrat jumlah:
Jadi, kami telah menurunkan rumus untuk kuadrat dari jumlah:
Secara lisan, rumus ini dinyatakan sebagai berikut: kuadrat dari jumlah sama dengan kuadrat dari bilangan pertama ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kedua ditambah kuadrat dari bilangan kedua.
Rumus ini mudah direpresentasikan secara geometris.
Perhatikan persegi dengan sisi :
Daerah persegi.
Di sisi lain, persegi yang sama dapat direpresentasikan secara berbeda dengan membagi sisi menjadi a dan b (Gbr. 1).
Beras. 1. Persegi
Maka luas persegi dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari luas:
Karena kuadratnya sama, luasnya sama, yang berarti:
Jadi, kami telah membuktikan secara geometris rumus kuadrat dari jumlah tersebut.
Pertimbangkan contoh:
Komentar: contoh diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah kuadrat.
Kami memperoleh rumus untuk kuadrat dari perbedaan:
Jadi, kami telah menurunkan rumus untuk kuadrat dari perbedaan:
Secara lisan, rumus ini dinyatakan sebagai berikut: kuadrat selisihnya sama dengan kuadrat bilangan pertama dikurangi dua kali hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua.
Pertimbangkan contoh:
Rumus untuk kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dapat bekerja dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Ketika digunakan dari kiri ke kanan, ini akan disingkat rumus perkalian, mereka digunakan saat menghitung dan mengubah contoh. Dan ketika digunakan dari kanan ke kiri - rumus faktorisasi.
Pertimbangkan contoh di mana Anda perlu memfaktorkan polinomial tertentu menjadi faktor menggunakan rumus kuadrat dari jumlah dan kuadrat selisihnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu melihat dengan sangat hati-hati pada polinomial dan menentukan dengan tepat bagaimana mengembangkannya dengan benar.
Komentar: untuk memfaktorkan polinomial, Anda perlu menentukan apa yang diwakili dalam ekspresi ini. Jadi kita melihat persegi dan persegi kesatuan. Sekarang kita perlu menemukan produk ganda - ini adalah . Jadi, semua elemen yang diperlukan ada di sana, Anda hanya perlu menentukan apakah ini kuadrat dari jumlah atau selisihnya. Sebelum perkalian dua kali lipat ada tanda plus, yang berarti kita memiliki kuadrat dari jumlah tersebut.
Rumus perkalian yang disingkat.
Mempelajari rumus untuk perkalian yang disingkat: kuadrat dari jumlah dan kuadrat dari selisih dua ekspresi; perbedaan kuadrat dari dua ekspresi; pangkat tiga jumlah dan pangkat tiga selisih dua ekspresi; jumlah dan perbedaan pangkat tiga dari dua ekspresi.
Penerapan rumus perkalian disingkat saat memecahkan contoh.
Untuk menyederhanakan ekspresi, memfaktorkan polinomial, dan membawa polinomial ke bentuk standar, digunakan rumus perkalian yang disingkat. Rumus perkalian singkat yang perlu Anda hafal.
Misalkan a, b R. Maka:
1. Kuadrat jumlah dua ekspresi adalah kuadrat dari ekspresi pertama ditambah dua kali produk dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kuadrat selisih dua ekspresi adalah kuadrat dari ekspresi pertama dikurangi dua kali produk dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Selisih kuadrat dua ekspresi sama dengan produk dari perbedaan ekspresi ini dan jumlah mereka.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. jumlah kubus dari dua ekspresi sama dengan pangkat tiga dari ekspresi pertama ditambah tiga kali kuadrat dari ekspresi pertama kali yang kedua ditambah tiga kali produk dari ekspresi pertama kali kuadrat dari yang kedua ditambah pangkat tiga dari ekspresi kedua.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. perbedaan kubus dari dua ekspresi sama dengan pangkat tiga dari ekspresi pertama dikurangi tiga kali produk kuadrat dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah tiga kali produk dari ekspresi pertama dan kuadrat dari kedua dikurangi pangkat tiga dari ekspresi kedua.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Jumlah kubus dua ekspresi sama dengan produk dari jumlah ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari perbedaan ekspresi ini.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. perbedaan kubus dari dua ekspresi sama dengan produk dari perbedaan ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah ekspresi ini.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Penerapan rumus perkalian disingkat saat memecahkan contoh.
Contoh 1
Menghitung
a) Dengan menggunakan rumus kuadrat dari jumlah dua ekspresi, kita memperoleh
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Menggunakan rumus untuk perbedaan kuadrat dari dua ekspresi, kita memperoleh
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Contoh 2
Menghitung
Menggunakan rumus untuk perbedaan kuadrat dari dua ekspresi, kita memperoleh
Contoh 3
Sederhanakan Ekspresi
(x - y) 2 + (x + y) 2
Kami menggunakan rumus untuk kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dua ekspresi
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Rumus perkalian yang disingkat dalam satu tabel:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Juga akan ada tugas untuk solusi independen, di mana Anda dapat melihat jawabannya.
Rumus perkalian yang disingkat memungkinkan Anda melakukan transformasi ekspresi yang identik - polinomial. Dengan bantuan mereka, polinomial dapat difaktorkan, dan menggunakan rumus dalam urutan terbalik, produk binomial, kuadrat, dan kubus dapat direpresentasikan sebagai polinomial. Mari kita pertimbangkan semua rumus yang diterima secara umum untuk perkalian yang disingkat, turunannya, tugas umum untuk transformasi ekspresi yang identik menggunakan rumus ini, serta tugas pekerjaan rumah (jawabannya dibuka oleh tautan).
jumlah kuadrat
Rumus kuadrat dari jumlah adalah persamaan
(kuadrat jumlah dua bilangan sama dengan kuadrat bilangan pertama ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dan bilangan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua).
Alih-alih sebuah dan b bilangan apa pun dapat disubstitusikan ke dalam rumus ini.
Rumus jumlah kuadrat sering digunakan untuk menyederhanakan perhitungan. Sebagai contoh,
Menggunakan rumus jumlah kuadrat, polinomial dapat difaktorkan, yaitu, direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor yang identik.
Contoh 1
.
Contoh 2 Tulis sebagai ekspresi polinomial
Keputusan. Dengan rumus kuadrat jumlah, kita mendapatkan
Kuadrat selisihnya
Rumus kuadrat selisihnya adalah persamaan
(kuadrat selisih dua bilangan sama dengan kuadrat bilangan pertama dikurangi dua kali hasil kali bilangan pertama dan bilangan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua).
Rumus selisih kuadrat sering digunakan untuk menyederhanakan perhitungan. Sebagai contoh,
Dengan menggunakan rumus kuadrat selisih, polinomial dapat difaktorkan, yaitu, direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor yang identik.
Rumus berikut dari aturan untuk mengalikan polinomial dengan polinomial:
Contoh 5 Tulis sebagai ekspresi polinomial
Keputusan. Dengan rumus kuadrat selisihnya, kita peroleh
.
Terapkan sendiri rumus perkalian yang disingkat, lalu lihat solusinya
Pilihan persegi penuh
Seringkali polinomial derajat kedua berisi kuadrat dari jumlah atau perbedaan, tetapi terkandung dalam bentuk tersembunyi. Untuk mendapatkan kuadrat penuh secara eksplisit, Anda perlu mengubah polinomial. Untuk melakukan ini, sebagai aturan, salah satu suku polinomial direpresentasikan sebagai produk ganda, dan kemudian angka yang sama ditambahkan ke dan dikurangkan dari polinomial.
Contoh 7
Keputusan. Polinomial ini dapat ditransformasikan sebagai berikut:
Berikut kami sajikan 5 x dalam bentuk produk ganda dari 5/2 oleh x, ditambahkan ke polinomial dan dikurangi dengan angka yang sama, kemudian menerapkan rumus jumlah kuadrat untuk binomial.
Jadi kami telah membuktikan persamaannya
,
sama dengan persegi penuh ditambah angka .
Contoh 8 Pertimbangkan polinomial derajat kedua
Keputusan. Mari kita membuat transformasi berikut di atasnya:
Berikut kami sajikan 8 x dalam bentuk produk ganda x dengan 4, ditambahkan ke polinomial dan dikurangi dengan angka yang sama 4², menerapkan rumus kuadrat selisih untuk binomial x − 4 .
Jadi kami telah membuktikan persamaannya
,
menunjukkan bahwa polinomial derajat kedua
sama dengan persegi penuh ditambah angka 16.
Terapkan sendiri rumus perkalian yang disingkat, lalu lihat solusinya
jumlah kubus
Rumus jumlah kubus adalah persamaan
(kubus dari jumlah dua angka sama dengan pangkat tiga dari angka pertama ditambah tiga kali kuadrat dari angka pertama kali yang kedua, ditambah tiga kali produk dari angka pertama dikalikan dengan kuadrat dari yang kedua, ditambah kubus dari bilangan kedua).
Rumus jumlah kubus diturunkan sebagai berikut:
Contoh 10 Tulis sebagai ekspresi polinomial
Keputusan. Menurut rumus jumlah kubus, kita mendapatkan
Terapkan sendiri rumus perkalian yang disingkat, lalu lihat solusinya
perbedaan kubus
Perbedaan rumus kubus adalah persamaan
(kubus selisih dua bilangan sama dengan pangkat tiga bilangan pertama dikurangi tiga kali kuadrat bilangan pertama dan kedua, ditambah tiga kali hasil kali bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua dikurangi pangkat tiga nomor kedua).
Dengan bantuan rumus jumlah kubus, polinomial dapat diuraikan menjadi faktor-faktor, yaitu, dapat direpresentasikan sebagai produk dari tiga faktor yang identik.
Perbedaan rumus kubus diturunkan sebagai berikut:
Contoh 12. Tulis sebagai ekspresi polinomial
Keputusan. Dengan menggunakan rumus selisih kubus, kita peroleh
Terapkan sendiri rumus perkalian yang disingkat, lalu lihat solusinya
Selisih kuadrat
Rumus selisih kuadrat adalah persamaan
(selisih kuadrat dua bilangan sama dengan hasil kali jumlah bilangan-bilangan ini dan selisihnya).
Dengan menggunakan rumus jumlah kubus, polinomial apa pun dari bentuknya dapat difaktorkan.
Bukti rumus diperoleh dengan menggunakan aturan perkalian untuk polinomial:
Contoh 14 Tulis produk sebagai polinomial
.
Keputusan. Dengan perbedaan rumus kuadrat, kita mendapatkan
Contoh 15 Menguraikan pd pengali
Keputusan. Ungkapan ini dalam bentuk eksplisit tidak cocok dengan identitas apa pun. Tapi angka 16 bisa direpresentasikan sebagai pangkat dengan basis 4 : 16=4². Maka ekspresi asli akan mengambil bentuk yang berbeda:
,
dan ini adalah rumus untuk perbedaan kuadrat, dan menerapkan rumus ini, kita mendapatkan
Memuat...